概率基础 - 随机变量

'相对频率R遵循与样本比率相同的分布，因此，R近似服从正态分布N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n)即N(1/6, 5/36n)。因此，令Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n))，Z近似服从N(0,1)。因此，P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60)\n\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array}\n因此，所求值为n=500时\nP(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 n=2000时\nP(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 n=4500时\nP(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'请创建描述随机变量 X 的概率分布的表。'

'从总体中抽取样本时，每次都放回地一次次选取下一个称为有放回抽样。相反，连续抽取而不放回所选取的称为无放回抽样。从总体随机抽取大小为 n 的样本，并将这 n 个元素中的变量值分别记为 X₁，X₂，......，Xₙ。使用放回抽样进行抽样的情况下，可以将其视为随机抽取大小为 1 的样本 n 次重复试验。因此，X₁，X₂，......，Xₙ 是分别遵循总体分布的相互独立的随机变量。'

'请根据给定的表格找到对应于 z = 5.93 的点。'

'在抽奖过程中抽数之前抽到中奖号码的次数的概率分布为何？'

'全国选民中A党的支持率为32％。在100名随机抽取的选民中，对于66名选民，将第k个被抽取的人支持A党对应为1，不支持对应为0的值作为随机变量Xk。求样本平均值X̄的期望值E(X̄)和标准偏差σ(X̄)。'

'(n+1)秒后，两个粒子在同一点上的概率p_{n+1}是多少？'

'当两个随机变量X和Y的乘积XY也是一个随机变量，并且X和Y是相互独立的时候，成立以下定理。E(XY) = E(X)E(Y)。'

'使用符号表示变量X取值大于等于a且小于等于b的概率。'

'例题 67 样本比率和正态分布'

'第2章 统计推断 8. 概率变量和概率分布 9. 概率变量转换 10. 概率变量的和与期望值 11. 二项分布 12. 正态分布 13. 总体与样本, 样本均值及其分布 14. 估计 15. 假设检验'

'当掷骰子 n 次时，记 1 点出现的相对频率为 R。找到 n=500, 2000, 4500 三种情况时的 P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) 的值。'

'连续型随机变量是什么？'

'随机变量的转换\nX 是随机变量，a、b 是常数。\n当 Y=aX+b 时\nE(Y)=aE(X)+b \nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'假设给定两个随机变量 X 和 Y 的联合分布如下:'

'对于两个随机变量X，Y，如果X和Y彼此独立，则有V(X+Y) = V(X) + V(Y)。'

'选择负二项分布的两种定义之一，求事件 A 在第 k 次发生之前试验次数 X 或失败次数 Y 的概率。'

'從具有母平均58，母標準差12的正態分佈的母體中抽取大小為100的隨機樣本時，請計算以下概率。'

'在一次试验中事件 A 发生的概率是 p。在进行 n 次重复试验中，A 发生 r 次的概率是 ${}_n C_r p^r q^{n-r}$，其中 q=1-p。在数学 A 中，我们学习了关于重复试验的概率。在重复试验中，某一事件发生的次数称为随机变量 X，X 就是一个随机变量。让我们继续思考这件事。'

'样本大小 n 为 900，所以对于总体平均值 m，95% 的置信区间为 X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))'

'请计算对于总体均值 m 的 95% 置信区间。'

'随机变量 X 的取值范围是 0 ≤ X ≤ 1，并且其概率密度函数为 f(x)=a(2-x)。其中， a 是正常数。\n（1）求 a 的值。\n(2) 求随机变量 X 的期望值 E(X) 和方差 V(X)。'

'在 A <= m <= B 的置信区间基础上，从同一样本中得到的母平均 m 的 99% 置信区间 E <= m <= F 相对于 A <= m <= B 的范围会如何？请选择以下选项：'

'当同时掷两个骰子时，请计算以下随机变量X的概率分布。但要注意，对于第(2)个问题，如果两个骰子的点数相同，则取这个点数作为X。(1) 两个骰子的点数差X (2) 出现的最小点数X 当同时投掷两个骰子时，点数的可能性为 6^{2}=36（种）'

'同时掷两个骰子，较小的那个数字记为X。求以下各项：如果出现相同的数字则取该数字为X。'

'同时投掷大、中、小三个骰子，将大、中、小骰子的点数分别作为百位、十位、个位数字，构成一个三位整数。请计算以下期望值：\n1. 各位数字的和的期望值\n2. 三位整数的期望值'

'令 n 大于或等于 8 的自然数。从 1、2、...、n 中随机选择不同的 6 个数，并将它们按照从小到大的顺序排列为 X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6}。\n1) 求使 X_3=5 的概率 p_{n}。\n2) 求使 p_n 最大化的自然数 n。'

'根据假设检验判断（2）'

'点 P 最初位于数轴上的原点 O，并且每投掷一次骰子，如果出现偶数点，则向正方向移动 3，如果出现奇数点，则向负方向移动 2。当投掷 10 次骰子时，点P位于原点O的概率是 A。'

'在6次投掷中，出现5次正面的概率为${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$。在6次投掷中全部都是正面的概率为$(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$。这些概率相加为$\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$。'

'想要检验针对某种疾病给予的药物是否有效。假设药物给予后，被认为有效的比例是33％至63％。从患有该疾病的患者中随机选择了n个人进行投药，如果第i个患者被认为药物有效则记为1，否则记为0，将其定义为随机变量Xi。\n(1) 求样本均值\ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \的平均值和方差。\n(2) 从患有该疾病的患者中随机选择了400人，其中320人认为药物有效。在这种情况下，计算母比例的95%置信区间，四舍五入到第三位。假设样本量400足够大。[类 九州大学]'

'一个城市的选民对A政党的支持率为64%。从这个城市的选民中随机抽取100人时，将第k个被抽取的人是否支持A政党分别对应值为1或0的随机变量定义为X_k。'

'从总体 {A, B, C, D} 中提取大小为2的样本时，请列出每种情况下可能的样本。'

'袋子里有 1 个白球, 2 个红球, 3 个蓝球。从袋子中一次取出 2 个球且不放回的情况下，设取出的红球数为 X，取出的蓝球数为 Y。请求出 X, Y 的联合分布。'

'给定随机变量X，Y的概率分布如下表，求Var(3X+2Y)，Var(6X-4Y)。假设X和Y是相互独立的。'

'以P大学所有学生为总体，A县出生者的母比率为0.2，随机样本大小为400，则随机变量X服从二项分布B(400,0.2)。因此，X的期望值E(X)和标准偏差σ(X)为E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'求P（190 ≤ X ≤ 220）。'

'在P大学的所有学生中, 20% 是A县的人。从P大学的学生中随机抽取了400人, 其中是A县人的数量为X。求X的期望值和标准偏差。'

'投掷一颗六面骰子360次，假设6点的次数为X。求X落在以下范围内的概率。其中，根号2=1.41。'

'假设从未阅读过书籍的学生母比率为0.5。在这种情况下，在100名随机样本中从不阅读书籍的学生数量的概率变量表示为X，则X服从哪种分布。此外，X的平均值（期望值）是什么，标准偏差是多少。'

'想要调查对某种疾病治疗效果的药物是否有效。假设给药后被判断为有效的比率为p。从患有该疾病的患者中随机选择n人给药，若第i个患者观察到药物有效，则记为1，否则记为0，定义随机变量Xi。'

'已知A市新生儿男女比例相等。在某一年中，从A市新生儿中随机抽取n人时，将第k个被抽取的新生儿对应为男性为1，女性为0的随机变量为Xk。'

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'考虑一种游戏，投掷一个骰子，如果出现1、2，则得0分，如果出现3、4、5，则得1分，如果出现6，则得100分。将80次投掷的总得分除以100得到余数X。求当X≤46时的概率。其中，√5 = 2.24。'

'存在正相关关系'

'右侧表格中列出了一个由10名学生组成的小班级中针对数学和英语进行的两次测验的分数，总分为100分。'

'198数学I练习187右侧的散点图是30人班级中汉字和英语单词的100分测试得分的散点图。'

'滑雪跳台滑雪是一项竞技项目，评分主要根据飞行距离和空中姿势的优美程度。选手从斜坡滑下，然后从斜坡边缘飞出。飞行距离 D（单位为米）对应得分 X，空中姿势对应得分 Y。考虑一场比赛中的 58 次跳台滑雪。\n（1）根据图1中的3个散点图，请选择下列哪些说法是正确的：\n1. X 和 Y 之间存在正相关。\n2. 最大速度的跳跳对应最大的 X。\n3. 最大速度的跳跳对应最大的 Y。\n4. Y 最小的跳跳不一定对应最小的 X。\n5. 得分 X 大于等于 80 的跳跳，其速度 V 均大于等于 93。\n6. Y 大于等于 55 且速度 V 大于等于 94 的跳跳不存在。'

'设定概率变量'

'例1. 在掷一次骰子的实验中，事件 A：投出奇数点，事件 B：投出4点或更高的点，那么 A={1,3,5}，B={4,5,6}，则 A ∩ B={5} 是奇数且大于等于4的点。 A ∪ B={1,3,4,5,6} 是奇数或大于等于4的点。'