概率基础 - 概率分布（离散，连续）

'在一个国家中，据说其公民的血型比例为O型30％，A型35％，B型25％，AB型10％。现在，在随机选择400人时，求AB型人数在37人以上49人以下的概率。'

'求解抛掷两枚硬币时正面数量X的概率分布，期望值E(X)，方差V(X)，标准偏差σ(X)。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'随机变量X可以取任意值在区间[0,10]内，并且其概率密度函数为f(x)=kx(10-x)（其中k为常数）。在这种情况下，k='

'请解释第一类错误和第二类错误。'

'样本均值的分布\n当从母平均为 m，母标准偏差为 σ 的总体中抽取大小为 n 的随机样本时，样本均值 X̅ 近似地服从正态分布 N(m, σ^2/n)。'

'当随机变量 X 服从正态分布 N(m, σ^2) 时, 求 P(|X-m| ≥ σ/4), 要求保留到小数第 4 位并进行四舍五入。'

'证明在一次试验中事件A发生的概率为p。当这个试验重复n次时，事件A发生的次数X服从二项分布，并求其均值、方差和标准差。'

'當母體中具有特徵 A 的比例 (母比率) 為 p 時，樣本比率 R 可以被認為遵循什麼分佈？'

'让我们更深入地了解二项分布。'

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'当随机变量X服从正态分布N(m, σ^2)时，展示得到标准正态分布Z的转换公式。'

'(1) 当随机变量 Z 服从标准正态分布 N(0,1) 时，求概率 P(-1.98 ≤ Z ≤ -0.5)。\n(2) 当随机变量 X 服从正态分布 N(30,4²) 时，求概率 P(22 ≤ X ≤ 32)。'

'请使用正态分布表解决以下问题：当u = 0.4且z = 0.73时，请计算概率。'

'某产品的不良率约为 7%。若要使不良率的置信度为95%的置信区间宽度小于等于4%、2%，需要抽取多少个以上的产品？'

'请计算偏差值 y 大于65的百分比（％）。其中，y的平均值为50，标准偏差为10，令z=(y-50)/10，则z符合标准正态分布N(0,1)。'

'选举中的席位分配'

'由于样本大小 n 为 400，因此对于总体均值 m 的置信度为 95% 的置信区间为 51.0-1.96*(9.5 / sqrt(400)) <= m <= 51.0 + 1.96*(9.5 / sqrt(400))，因此 m 的范围是 50.069 <= m <= 51.931'

'概率分布，二项式分布'

'當同時擲兩個骰子時，求隨機變量 X 的概率分佈。如果兩個骰子的點數相同，則將該點數作為 X。'

'当随机变量X的概率密度函数f(x)由以下方程给定时，求指定概率。'

'让我们回顾一下二项分布！'

'准备 3 张写有 1 的牌，3 张写有 2 的牌，3 张写有 3 的牌，总共 9 张牌。从中随机选择 3 张牌，选出的牌上写的数的和是 3 的倍数的概率是多少？'

'请说明当将事件B改为“(3)球出现”时，事件A和事件B变为互斥事件。'

'「至少有2名女生连续排列」这一事件是「女生不相邻」这一事件A的余事象。女生不相邻的情况是，3名女生排列在10名男生之间。男生10人的循环排列总数为(10-1)!=9!（种）。对于任何一种情况，3名女生在10个位置中的3个位置上坐的排列方式为10P3种。因此，女生不相邻的排列方式为9! × 10P3（种）。因此，所求概率为 P(̅A) = 1 - P(A) = 1 - (9!×10P3/12!) = 1 - 10×9×8/12×11×10 = 5/11。'

'假设有一个不均匀的骰子，其面数为1，2，3，4，5，6的概率分别为1/6, 1/6, 1/4, 1/4, 1/12, 1/12。请计算连续掷三次骰子，使得三次投掷的点数和为6的概率。[Tokyo Denki University]'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'526'

'假设概率分布为A的4个人a，b，c，d分成了两组{a，b}和{c，d}，每个人必须等概率地指定另一组的一个人。假设每个人的选择是独立的。设互相指定对方的对数为X，求：(1) 随机变量X的分布。(2) 求X的期望值。'

'基本例题62 二项分布的平均和方差\n从一个袋子中取出6个红球和4个白球，然后放回去。重复这个过程6次，设红球出现的次数为X，求X的期望E(X)，方差V(X)，标准偏差σ(X)。'

'假设成绩符合正态分布，当 m = 62、σ = 20 时，成绩为 85 的学生将得到什么评分？'

'项目：统计推断\n主题：概率分布\n问题编号：6\n问题内容：请解释概率分布。'

'以高校学生为总体，未阅读书籍的学生比例为0.5，随机样本大小为100。当随机变量X遵循二项分布B(100, 0.5)时，请计算X的平均值（期望值）和标准偏差。另外，假设未阅读书籍的学生比例为0.5，若X近似服从正态分布，求出概率。'

'同时投掷两个骰子，将结果较小的那个定义为X，请确定X的概率分布。并计算P(X ≤ 3)。'

'掷一次骰子出现1的概率为1/6。'

'设X是一个均值为6，方差为2的二项分布随机变量。记X = k时的概率为Pk。求Pk = 4和Pk = 3时的比值。'

'给定概率密度函数为 f(x) 的随机变量 X，求正常数 a 的值。'

'基础例题68 正态分布的应用\n假设某高中男生的身高X服从均值为170.9厘米，标准偏差为5.4厘米的正态分布。回答以下问题。结果保留小数点后一位，进行四舍五入。\n（1）身高在175厘米以上的学生约占总人数的百分之几？\n（2）身高处于前4%的学生中，身高至少是多少厘米？'

'当使用一种新药于400名患者时，有8人出现副作用。如果假设一直在使用的药物的副作用发生率为4％，那么我们能否说这种新药的副作用发生率不是4％？请以5％的显著性水平进行检验。另外，请问在1％的显著性水平下呢？假设这400名患者是随机抽取的。'

'当随机变量 X 服从正态分布 N(15,3^2) 时，求以下概率：\n(1) P(X ≤ 18)\n(2) P(6 ≤ X ≤ 21)'

'在学校A，64％的全体学生支持事情X。而在另一所学校B，从随机抽取的400名学生中，有274名学生支持X。可以说B学生对X的支持率与A学生的支持率存在差异吗？请以5%的显著水平进行检验。'

'请说明如何找到符合标准正态分布的随机变量Z。'

'假设考试成绩呈正态分布，平均分为58.4分，标准差为25分。请计算从参加考试的人中随机抽取的100个人的平均分至少为62分的概率。'

'计算概率分布'