概率基础 - 基本概率

'求解两人进行石头剪刀布平局的概率。'

'从一堆糖袋中随机抽取100个袋子进行称重，得到平均重量为300.4克。假设糖的母标准差为7.5克，在95％的置信度下估计每袋的平均重量。'

'假设检验的步骤'

'求解 X 和 Y 的联合分布，并确定 X 和 Y 是否相互独立。'

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'例题62 二项分布和随机变量转换'

'请计算在某事件中一点奖金都得不到的概率。'

'求和、期望值和方差的序列\n有标有编号的卡片1,2, ..., n，每个有 n, n-1, ..., 1 张。将这些卡片放入袋子中。充分搅拌袋子，然后从中取出一张卡片，记其上的编号为随机变量 X。\n(1) 求 P(X=k)。\n(2) 求 E(X) 和 V(X)。'

'计算掷两个骰子时的点数之和 X 的概率分布，并计算 X 落在特定范围内的概率。'

'通常情况下, 如果随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，并且分别取这些值的概率为p1，p2，…，pn，则概率P应满足的条件是什么？'

'作为数学问题，我们将通过数学来考虑选举中的席位分配。具体来说，使用一般的选举系统（例如多数不输法或修正圣拉格法），根据给定的选票数量计算分配给各政党的席位数。以下是各政党的选票数。请计算分配给每个政党的席位数。'

'從具有平均值為 120，母體標準差為 30 的正態分佈母體中抽取一個大小為 100 的隨機樣本時，請計算以下概率。'

'从 n 张卡片中，每张卡片上都写有 1,2,3,...,n 中的一个数字。当随机抽取 2 张卡片时，记卡片上数字较小的为 X，较大的为 Y。请注意，n ≥ 2。(1) 求 X=k 的概率。其中，k=1,2,3,...,n。(2) 求 X 的期望值。(3) 求 Y 的方差。'

'对于某个商品 A，进行了 300 人的调查，其中有 210 人支持商品 A。请计算支持商品 A 的人群在母群体中的比例占比，以 95% 的置信度计算置信区间。其中√7=2.65，四舍五入到小数第 3 位。'

'从一个袋子里取出两颗红珠和一颗白珠时，同时取出两颗珠子时，珠子的排列方式有两颗红珠为红1，红2区分开（红1，红2），（红1，白），（红2，白）三种。在这次实验中，令取出的红珠个数为X，则X可能取1或2这两个值，求X取这些值的概率。'

'一种药物的副作用发生率以往是 4%，但使用改进的新药给 400 名患者后，有 8 人发生了副作用。可以判断副作用的发生率是否有下降。请在 5% 的显著水平下进行检验。假设这 400 名患者是随机抽取的。'

'某种药物的副作用发生率传统上为4%，但使用改进的新药在400名患者中，有8人发生副作用。可以判断副作用发生率已经下降了吗？请在显著水平5%下进行检验。假设400名患者是随机抽取的。'

'关于下划线部分，请回答以下问题：\n（1）通过互联网交易，现在可以直接从国外购买商品。然而，也出现了商品未送达、损坏等问题。在这种情况下，可以咨询国民生活中心。请从以下选项中选择负责管理该机构的官方机构并作出回答：\n1. 金融厅 2. 国税厅\n3. 消费厅 4. 公正交易委员会'

'在下面线部分j上，关于下列句子X·Y，请从以下选项中选择一个正确的正误组合，并用编号回答。'

'解说视频的应用场景举例'

'当投掷一枚硬币8次时，求连续出现正面至少5次的概率。'

'当点P最初位于数轴上的原点O时，每投掷一次骰子，如果出现偶数点数，则向正方向移动3个单位，如果出现奇数点数，则向负方向移动2个单位。当投掷了10次骰子时，点P位于原点O的概率是多少？'

'求两个骰子的点数乘积小于等于24的概率。'

'从包中随机取出一颗球，继续这个操作。取出的球不放回袋子中。求以下概率：（1）红球最早被取完的概率（2）正好取完红球，而袋中只剩下 5 个白球的概率。'

'投掷两个骰子时，和大于等于10的概率是多少？'

'三个箱子 A，B，C 中分别放有红珠、白珠、黑珠。它们的数量如右表所示。随机选择一个箱子并取出一颗珠子。求出以下概率。'

'当同时投掷2个骰子时，使得点数的乘积小于等于24的概率是多少？'

'求解在3次操作后红色球为0个的概率。'

'从1到6的号码牌都准备好了，每个数字有相应数量的牌。当从中抽取一张时，哪个选项更有利？\n(1) 找到相同数字编号的100日元硬币。\n(2) 当抽到偶数时，只会得到700日元。'

'基础样本 47 反复尝试概率的基础\n一共有 8 张彩票，其中包含 2 张中奖彩票。在依次抽取后放回的情况下，连续抽取 5 次，求以下概率：\n(1) 中奖 2 次的概率\n(2) 中奖至少 4 次的概率'

'A和B比赛，先胜3场者获胜。假设A在一场比赛中获胜概率为1/3。回答以下问题。'

'从 91 到 50 的牌中抽取一张牌时，求不是 3 的倍数的概率。'

'同时投掷3个骰子。(1) 求其中任意2个骰子的点数和为5的概率。(2) 求其中任意2个骰子的点数和为10的概率。(3) 求任意2个骰子的点数和均不是5的倍数的概率。'

'共有 9 张上面写有 从 1 到 9 的纸牌，每张各有 1 张。从这些纸牌中抽取 3 张时，所有纸牌上的数字都是奇数的概率是 A。另外，抽取的 3 张纸牌的数字总和是奇数的概率是 B。'

'同时投掷两个骰子，最小值为3或最大值为4的概率是多少？'

'箱子里有 9 张红色号码牌 (1 到 9) 和 6 张白色号码牌 (1 到 6)。从这个盒子里抽一张号码牌时，事件 A 是抽到偶数牌的事件，事件 B 是抽到红色牌的事件。求解以下概率。'

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'a中奖，c也中奖的概率'

'当同时掷两个骰子时，求两个骰子都出现相同点数的概率，以及两个点数和为奇数的概率。'

'在经过3次操作后，红色球的数量至少为2的概率是多少？'

'由于在每一回合中从袋子 A 取出白色球，从袋子 B 取出红色球的情况，所以所求概率为'

'当同时投掷3枚硬币时，求2枚正面朝上，1枚背面朝上的概率。'

'3人重复玩剪刀石头布游戏。但是，输掉的人无法参加下一轮。回答以下问题。'

'投掷一个六面骰子三次，求得最大点数为6的概率。'

'请计算红球第一次出现的概率以及在第二次出现白球的条件概率。'

'投掷硬币9次，第9次正好到达点Q的概率是多少。'

'在进行了10次PRA和B游戏后，A赢了7次。根据这个结果，我们可以认为A比B更强吗？请使用假设检验的方法，考虑置信水平为0.05的标准。请注意，游戏没有平局。'

'在3个箱子A、B、C中，分别有红球、白球、黑球。它们的数量如右表所示。随机选择一个箱子并取出一个球。求下列概率。'

'A、B两个人进行如下游戏。从一个包含2个红球和1个白球的袋子里拿出一个球，看颜色然后放回。根据拿出来的球的颜色，当是红球时A得1分，是白球时B得2分。'

'请计算在一次试验中事件 A 发生的概率连续发生 8 次或更多次。'

'请计算投掷4枚硬币时出现正面的概率，并计算期望值X。'

'从包含3张中奖券的10张彩票中同时抽取2张时，至少抽到1张中奖券的概率是多少？'

'求得投掷骰子时，骰子点数乘积为奇数或12的倍数的概率。'

'同时投掷3个骰子。'

'有20张卡片，上面分别写着从1到20的整数。（1）一次取出两张卡片，取出的两张卡片上的整数之和是3的倍数的概率是多少？（2）一次取出17张卡片，取出的17张卡片上的整数之和是3的倍数的概率是多少？'

'一共有 20 张彩票，其中包括 3 张中奖彩票。在不放回的情况下抽取彩票，求以下概率：\n(1) A 和 B 依次抽取 1 张彩票时，A 抽中失败，B 抽中的概率\n(2) A、B 和 C 依次抽取 1 张彩票时，只有 C 抽中的概率'

'A和B比赛，先赢得3场比赛的一方将获胜。假设A在一场比赛中获胜的概率为1/3。回答以下问题。假设没有平局。(2) 求A在第4场比赛中获胜的概率。'

'A和B比赛，先胜3场者获胜。假设一场比赛中A获胜的概率为1/3。回答以下问题。假设没有平局。(3) 求A获胜的概率。'

'A和B参加一场游戏。假设每一轮中A战胜B的概率为2/3，B战胜A的概率为1/3。\n1. 规定先赢得3局的人获胜，求A获胜的概率。\n2. 当一方的胜利次数比另一方多2次时，胜利次数更多的人获胜，求A在第四轮之前获胜的概率。'

'从1000到9999之间选择一个四位数整数，求其中至少有两个相同数字出现的概率。'

'在邮箱中，有 9 张红色号码牌编号 1 到 9，以及 6 张白色号码牌编号 1 到 6。从这个邮箱中抽取一张号码牌时，定义偶数号码牌为事件 A，红色号码牌为事件 B。请计算以下概率：\n(1) P(A ∩ B)\n(2) P_B(A)\n定义全集为 U。根据右表，邮箱中的号码牌数量如下：'

'三个人进行一次剪刀石头布游戏时，求不会平局的概率。'

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'解释如何确定在一场对战游戏中每个玩家的获胜概率。'

'企业X进行了一项调查，调查了他们公司生产的A铅笔和另一家公司Y生产的B铅笔哪个更容易书写，结果显示在所有回答者中，有三分之二的人认为“A更容易书写”。随后，公司Y改良了B铅笔，重新进行了调查，结果显示在30人中有14人认为“A更容易书写”。我们可以判断A相较于B的书写便利性是否下降。请使用假设检验的思路，对以下情况进行讨论。但使用这里举的骰子投掷实验结果。'

'顺时针排列在圆周上的点 A、B、C、D、E、F。投掷骰子，出现1或2时，动点 P 顺时针移动两个相邻点，出现3、4、5或6时，逆时针移动一个相邻点。以点 A 作为起点，投掷5次骰子并移动时，求在点 B 的概率。'

'请说明当事件A和B绝不同时发生时的概率加法定理。'

'当同时投掷3个骰子时，求和为5的概率是多少。'

'基本示例57原因的概率\n有制造部件的机器A，B，不良品发生率分别为A为3％，B为5％。假设从A和B的部件中以7:3的比例混合大量部件中选择一个部件，将其视为不良品的事件为E。在此情况下，请计算以下概率。\n(1)概率P(E)\n(2)事件E发生的原因是机器A的概率'

'当同时投掷3个骰子时，求得总和为5的概率。'

'箱A里有3个红色球和2个白色球，总共5个球，箱B里有3个红色球和4个白色球，总共7个球。从A和B中各取2个球时，取出的4个球全为红色球的概率为A，取出的4个球中，有2个红色球和2个白色球的概率为B。'

'当3个人一起玩猜拳一次时，求出出现平局的概率。'

'有2789张卡片，每张上面分别写有字母D，A，I，G，A，K，U。这9张卡片被充分洗牌后排成1列。当只看到D，G，K，U的卡片时，从左到右按照这个顺序排列的概率是什么？这个概率用符号A表示。另外，三张I连续排列的概率用符号B表示。'

'数学A'

'概率及其基本特性'

'同时投掷1个大、中、小3个骰子，分别得到a、b、c点。请回答以下问题：\n(1) 求满足1/a+1/b≥1的概率。\n(2) 求满足1/a+1/b≥1/c的概率。'

'有三个考生A，B，C。如果每个人通过各自的首选学校的可能性分别为4/5，3/4和2/3，求下列可能性。'

'当两人进行一次猜拳游戏时，确定胜负的概率是多少？'

'同时掷两个骰子，将两个骰子的点数中较小的记为X（如果相等则记为该数），较大的记为Y（如果相等则记为该数）。设常量a为1至6之间的某个整数，请计算以下概率：(1) X>a (2) X≤a (3) X=a (4) Y=a'

'在一项试验中，如果每个基本事件发生的可能性都是相同的，那么这些基本事件被认为具有相同的确定性。在这样的试验中，假设总的可能性数量为 N，事件 A 发生的次数为 a，求事件 A 发生的概率 P(A)。'

'有 20 张卡片，上面分别写着从 1 到 20 的整数。'

'基本排列题 44 独立试验的概率\n（1）同时掷一个骰子和一枚硬币，求骰子出现4以下的点数且硬币正面朝上的概率。\n（2）A袋中有6个白球，4个黑球，B袋中有8个白球，2个黑球。从A袋中取出3个球，从B袋中取出2个球，求全部为白球的概率。\n第329页基本知识11\nC. HART \\& SOLUTION'

'同时投掷2个骰子时，最小值为3或最大值为4的概率是多少？一共有36种可能的结果。'

'袋子里有3个白色珠子和6个黑色珠子。当从袋子中同时取出4个珠子时，请计算发生以下情况的概率：\n（1）取出1个白珠和3个黑珠。\n（2）4个珠子都是同一颜色。'

'5个事件和概率'

'给定示例问题\n一般情况下，从编号为1到100的100张卡片中抽取一张卡片时，求其编号为3的倍数或4的倍数的概率。'

'在某公司中，已经开发出了一支改良版的A型圆珠笔B，为了评估其书写舒适度，随机选择了20名参与者进行了A和B哪支更易写的调查，结果有15人选择了B。根据此调查结果，可以判断消费者认为B更易写吗？以0.05的概率作为标准，使用下面硬币投掷实验的结果来进行考虑。实验投掷一枚公平的硬币，然后将硬币投掷20次为一组，记录每组中出现正面的次数。重复进行这个实验200次后，得到了如下结果。'

'求出取出4个同色球的概率。'

'从不包含小丑的一副52张扑克牌中，A和B依次抽取一张牌。计算不放回抽取的情况下以下概率：\n(1) A和B都抽取到红心的概率\n(2) B抽取到红心的概率'

'組合的基本。'

'请解释概率及其基本特性，并计算以下情况的概率。'

'将DREAM这5个字母随机排列成一列时，求以下情况的概率：\n(1) 右端是E。\n(2) A和D相邻。'

'（1）同时投掷2个骰子时，求得两个骰子的点数和为4的概率。'

'从一个袋子中取出4个珠子时，其中有2种颜色的珠子的概率是多少？'

'當同時投擲3個骰子時，請計算以下概率：(1) 至少一個奇數點數出現的機率 (2) 三個點數之和不為4的機率'

'同时投掷3个骰子时，求以下概率：\n（1）至少有一个奇数的概率\n（2）三个数字的总和不为4的概率'

'将一枚硬币抛掷 6 次，求以下概率：\n(1) 至少出现 4 次正面的概率\n(2) 至少出现一次正面的概率'

'袋中有6个红球和4个白球。当同时取出3个球时，求红球和白球同时被取出的概率。'

'假設檢定是使用樣本數據來判斷有關母群體的一個假設在統計上是否正確的過程。'

'同时掷三个骰子时，求以下概率：\n(1) 所有点数都大于等于3的概率\n(2) 最小点数为3的概率'

'从 10 张抽奖券中，有 2 张是中奖的。每次抽取一张后放回，抽取 4 次后，中奖和未中奖数量相等的概率是多少？'

'调查分年龄段的选择性问卷答案比例。'

'袋子里有5个红球，4个黑球。从这个袋子里同时拿出3个球时，求以下概率：(1) 三个球都是同一颜色的概率 (2) 只有2个球是同一颜色的概率'

'投掷1枚硬币3次，至少出现一次正面的概率是多少？'

'求出在前一个问题中出现“摇出偶数或质数”的事件。'

'请计算以下概率：\n（1）抛一枚硬币投掷三次，正面出现一次的概率\n（2）抛一枚硬币投掷三次，正面至少出现一次的概率\n（3）抛一枚硬币投掷四次，连续出现两次及以上正面的概率\n（4）抛一枚硬币投掷五次，没有连续出现两次正面的概率'

'投掷一个骰子三次。求三次投掷的点数总和为6的概率。'

'7个独立试验和概率'

'投掷一个六面骰子四次时，求下列概率：(1) 最小值为1的概率 (2) 最小值为1且最大值为6的概率'

'从装有3个白色珠子和6个红色珠子的袋子中取出一个珠子，看颜色后放回袋子。连续进行这一试验4次，求至少取到3个白色珠子的概率。'

'一家公司已经开发了一种改进版的A型圆珠笔B，在对20名随机被选择的人进行了A和B哪一个更容易写的调查中，有12人选择了B。根据这个调查结果，可以认为消费者认为B更容易写吗？将标准概率设为0.05，并结合下面的抛硬币实验结果进行讨论。实验投放一个公平的硬币，然后进行20次抛硬币的实验称为1组，并记录1组中正面朝上的次数。重复这个实验200次后，结果如下：'

'投掷4次骰子时，求以下概率：(1) 最小值为1的概率 (2) 最小值为1且最大值为6的概率'

'从写有1到9的卡片中各取一张共9张卡片，同时取出3张卡片时，求这3张卡片上的数字之和为奇数的概率。'

'投掷3枚硬币时，3枚都是正面朝上的概率是多少？'

'同时投掷两个大小为2的骰子，使得两个骰子的点数乘积为10的倍数的概率是多少？'

'从一个袋子里分别装有1个红色、1个蓝色、1个黄色和1个白色的球中取出一个球时，求取出红球的概率。'

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'求解抛掷1枚硬币5次，正面朝上出现3次的概率。'

'从装有4个红珠和3个白珠的袋子中同时取出2个珠子时，请计算以下概率：（1）两个珠子都是红珠的概率（2）取出的珠子是不同颜色的概率'

'基本例题38000描述了从三个盒子A，B，C中抽取1张彩票的情景，当中奖彩票的概率分别为1/4，2/3，1/2。当从每个盒子中抽取1张彩票时，请计算以下概率。'

'TR12个抽奖中有2个中奖券。A，B，C三人按顺序各抽一次。在44^3种情况下，求只有A和C中奖的概率。'

'在这 8 道题中，当随机标记正确的和错误的答案时，恰好有 2 道正确的概率是多少？'

'A、B和C三人进行一次剪刀石头布游戏。求A和B两人获胜的概率。'

'當同時投擲一個骰子和一個硬幣時，求骰子出現奇數點和硬幣出現背面的概率。'

'训练35（1）\n一个袋子里面装有标有从1到6的红色玉6个和标有从1到5的蓝色玉5个。从这个袋子里取出一个球时，求取到的球的编号是奇数或者是蓝色球的概率。'

'对于以下试验，请考虑：“同时抛掷两个骰子”，计算“至少有一个骰子是6”的概率。'

'袋子里有6个编号为1到6的红球和5个编号为1到5的蓝球。从袋子中取出一个球时，求取出的球的编号为奇数或者为蓝球的概率。'

'请计算至少有一个骰子投掷出6的概率。'

'投掷一枚硬币三次，只有一次正面向上的概率是多少。'

'从一个装有5个红色玉和4个白色玉的袋子中同时取出4个玉的情况下，取出的玉有两种颜色的概率是多少。'

'当同时投掷3个骰子时，请计算以下概率：\n（1）所有骰子都大于等于3的概率\n（2）最小点数为3的概率\n[来源：滋贺大学]'

'在3个人之间进行一次猜拳时，求平局发生的概率。'

'當同時擲兩個骰子時，請求以下機率：\n（1）不出現相同數字的機率\n（2）至少有一個偶數的機率'

'概率及其基本性質'

'设n为一个自然数，总共有(2n+1)张卡片，上面写有数字0,1,2,⋯,2n且每个数字仅出现一次。从中随机抽取一张卡片，记其上数字为X。求当根据以下步骤定义Y时，对于所有k=0,1,2, ⋯ , 2n时Y=k的概率。另外，求Y的方差。(a)如果X是奇数，则Y=X。(b)如果X是偶数（包括0），则将该卡片放回，从所有卡片中再次随机抽取一张，其上数字为Y。'

'随机抽取了某地区的一个小学六年级的 600 名学生进行调查，发现其中有 262 人患有龋齿。据称全国小学六年级患龋比例为 40%。在下列显著水平下对该地区小学六年级患龋比例是否高于全国进行检验。'

'有 9 张上面写有数字 1 到 9 的卡片。从这些卡片中，连续不放回地抽取 4 张卡片，依次记作 a、b、c、d。(1) 求 a b c d 的乘积为偶数的概率。(2) 将卡片的千位记为 a、百位记为 b、十位记为 c、个位记为 d，求得到的 4 位数 N 的期望值。[Akita]'

'无法确定投掷一个骰子出现 671 的概率是否为1/6。'

'购买数字教材时需要确认的事项是什么？'

'从某地区的小学六年级随机抽取的600名学生调查发现，有262人患龋齿。据称全国小学六年级患龋比例为40%。能否说这个地区小学六年级患龋者比例大于全国的水平？请用以下显著性水平进行检验。'

'当随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=1-\x0crac{1}{2} x（0 ≤ x ≤ 2）时，求指定的概率。'

'样本均值为X̄=6.5，总体标准偏差为σ，样本大小为n=250。因此，对于总体均值m的95％置信水平的置信区间为[6.5-1.96⋅σ/√250, 6.5+1.96⋅σ/√250]'

'在一次实验中，随着实验结果的确定，与每个值对应的概率也确定的变量称为随机变量。一般来说，随机变量X的可能值为 x1, x2, ..., xn，并且分别对应的概率为 p1, p2, ..., pn 时，有以下关系。'

'从 n 张卡片中，每张卡片上分别写有数字 1、2、3、...、n。从这些卡片中随机抽取 2 张卡片时，将较小的数字记为 X，较大的数字记为 Y。其中 n ≥ 2。 (1) 求得 X = k 的概率。其中 k = 1, 2, 3, ..., n。 (2) 求得 X 的期望值。 (3) 求得 Y 的方差。'

'基本题目75大数法则\n从具有母平均0，母标准偏差1的总体中抽取的大小为n的样本的样本平均X̄为－0.1以上0.1以下的概率P(|X̄|≤0.1)在n=100，400，900的每种情况下求。'

'在某地区A，测量了400名15岁男生的身高，得到平均值为168.4厘米，标准差为5.7厘米。求A地区15岁男生身高均值m厘米的95%置信区间。'

'在Y地区，政党B的支持率为1/3。政党B提出了某项政策，支持率可能发生了变化，因此决定进行民意调查。对30人进行了调查，其中15人表示支持政党B。根据这一结果，可以判断政党B的支持率是否上升。请使用假设检验的思想，对以下各种情况进行讨论。假设进行200次实验，每次投掷30次公平的骰子，记录出现1到4的次数如下表所示：'

'右图是一个30人班级的汉字和英文单词187个100分制测试成绩的散点图。(1)根据这个散点图，研究汉字和英语单词得分之间是否存在相关性。如果存在相关性，请说明是正向关系还是负相关关系。(2)根据这个散点图，制作英文单词的频数分布表。数据档次设为“满”。'

'这个骰子很容易出现1点'

'数据相关性'

'进行了9次A和B的游戏。A赢了7次。从这个结果来看，可以判断A比B强吗？使用假设检验的方法，以0.05的标准概率进行讨论。假设游戏没有平局。'

'通过数据集成计算平均值和方差'

'进行了10场比赛后，A赢了7场。根据这个结果，我们可以认为A比B更强吗？请使用假设检验的概念，考虑显著性水平为0.05。假设不存在平局。'

'一家公司创建了形象代言人，并对20人进行了调查，其中13人表示“对公司的印象变好了”。根据这个结果，我们可以判断公司的形象是否变好。请使用假设检验的方法，以0.05的标准概率进行思考。假设进行了200次投掷公平硬币的实验，记录正面朝上的次数，结果如下表。请使用这些结果进行思考。'

'练习22\n（1）第一次操作后，有标记的面必定会出现在侧面，所以下一次操作后，有标记的面连续出现在侧面的概率是\n\\\\n\\\\frac{2}{4}=\\\\frac{1}{2}\n\\\'

'在这4个阶段中，主要是第2阶段的准则决定成功与否。具体的制定方式可以在本文的图表中看到，在此之前，让我们先提出一般注意事项。'

'为了计算最高位为k的概率，计算包含n的范围宽度Lk。'

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'當同時投擲12個骰子時，和數為質數的機率是多少？'

'例题23 | 组合与概率\n红，蓝，黄各有4张牌，每张牌上都写有1至4的编号。从这12张牌中随机取出3张时，求发生以下情况的概率：\n(1) 全部是同一种颜色。\n(2) 编号全部不同。\n(3) 颜色和编号都完全不同。\n[埼玉医大]'

'计算概率'

'计算概率'

'计算概率'

'请计算将硬币抛掷6次时，出现3次正面的概率。'

'投掷一次骰子，结果为质数的概率为\\\frac{3}{6}\，结果为非质数的概率也为\\\frac{3}{6}\。\\({}_{5}\\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}=5\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}\\)\n(イ) 出现至少4次质数的情况，是指出现4次或5次质数的情况，因此概率为\n\\(\\frac{5}{32}+\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}+\\frac{1}{32}=\\frac{3}{16} \\)'

'计算概率'

'计算概率'

'从取出的卡片全都是7或以下的情况中除去全都是6或以下的情况，求在取一张卡片时最大值为7的概率。'

'移動点在31个图形的周围的概率'

'示例 24 | 石头剪刀布概率\n当 4 个人玩一次石头剪刀布时，求以下概率：\n(1) 只有一个人获胜的概率\n(2) 有2 个人获胜的概率\n(3) 平局的概率'

'计算概率'

'概率计算'

'12. 概率计算'

'进行一次射门将球射入球门的概率为\ \\frac{2}{3} \'

'从一个包含3个红球和3个蓝球的袋子里取出2个球，检查颜色后放回，并重复此动作2次。求在执行2次之后，取出的4个球中有2个红球和2个蓝球的概率。'

'抛掷8次骰子，出现偶数目标7次。从这个结果可以判断这个骰子更容易出现偶数点吗？使用假设检验的方法，以0.05的标准概率进行讨论。'

'数学我'

'(2) 1次试验中，将石头逆时针移动表示为+，顺时针移动表示为-，不移动表示为0，经过4次试验后石头在C处的组合有5种情况：\n[1] (+,+,0,0)\n[2] (+,+,+,-)\n[3] (-,0,0,0)\n[4] (-,-,+ ,0)\n[5] (-,-,-,-)\n1次迭代的概率'

'计算概率'

'概率计算'

'数学学习方法有哪些特点，与其他学科相比有何不同？'

'从装有5颗红宝石，4颗白宝石，3颗蓝宝石的袋子中拿出一颗宝石时，求红宝石被取出的概率。'

'同时抛掷12（2）3枚硬币时，求出1枚是正面，2枚是反面的概率。'

'请计算以下概率：'

'事件A，C和D的和事件是目和为6的约数，这三个事件是互斥的。'

'为什么要学习数学？'

'投掷两个骰子时，大的骰子为奇数，小的骰子为5以上的数字的概率是多少。'

'求解在第n轮产生唯一赢家的概率。'

'在每场比赛中，A获胜的概率是1/3，B获胜的概率是2/3。\nA要获胜，有以下3种情况：\n12次试验是独立的，可以乘以概率。\n加法原理（将概率相加）\n除了素数外的1次✔️\n${ }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}$\n5次中，素数出现4次\n5次中，素数出现4次\n利用加法原理。\n3次中有2次确定。\n难以求解的概率可以改变角度（余事件）。\n${}_{6} \\mathrm{C}_{3} \\times{ }_{3} \\mathrm{C}_{1} \\times{ }_{2} \\mathrm{C}_{2}$ 也可以。\n将60种可能性分为X发生3次，Y发生1次，Z发生2次的概率相乘。\nB获胜的概率是1-1/3'

'从除了小丑的52张扑克牌中抽取1张时，事件A：抽到ACE，B：抽到红桃，C：抽到花色牌，哪两个事件是互斥的？'

'有27张卡片，编号从1到9，每个编号有3张卡片。在充分洗牌后，抽取2张卡片，求：\n(1) 两张卡片编号相同的概率\n(2) 两张卡片编号相同或两张卡片编号的总和不超过5的概率。'

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'概率计算'

'27. 概率计算'

'在进行了10次A和B之间的游戏后，A赢了8次。从这个结果来看，我们可以认为A比B更强吗？请使用假设检验的方法，考虑基准概率为0.05。假设游戏不存在平局。'

'掷骰子3次，得到的点数乘积为X。求X大于2的概率。'

'计算概率'

'计算概率'

'有时候用数字来表示事件发生的可能性。这个数字被称为“概率”。基于概率的定义，本章探讨概率的定理和性质（包括概率的加法定理、乘法定理，独立试验的概率等），并结合前一章学到的排列组合等概念，学习如何计算概率。此外，还将学习关于试验结果所获得的数值的平均值——也称为期望值。'

'练习射箭的选手A，B，C三人对靶射出一箭时，命中的概率依次为1/2，1/3，1/4。由于Γ×1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1，因此“至少有一个人命中靶”这种观点是正确的。'

'计算概率'

'示例 32 最大值和最小值的概率\n當擲一個骰子 4 次時，求以下概率。\n(1) 最小值是 3 的概率。\n(2) 最小值為 1 且最大值為 6 的概率。'

'计算概率'

'求2场比赛后A获胜4场并获得冠军的概率。'

'[1] 〜 [3] 事件互为互斥, 因此请计算所需的概率。'

'28. 概率计算'

'求三个数字组合，使其总和为零，计算取出球的总数和概率。'

'两个骰子的点数组合有 6 × 6 = 36 种可能（种）。'

'概率计算'

'计算概率'

'计算概率'

“共同范围”还是“组合范围”？在上一页的例题44的答案中，有些地方是要求“共同范围”，有些地方是要求“组合范围”。让我们根据例题44的答案，详细了解一下它们的区别。