基本代数 - 解不等式

'练习证明对于任意正实数$a, b, x, y, z$，以下不等式成立并找出等号成立的条件。'

'求解不等式log_{x} y+2・\\frac{1}{log_{x} y}<3。首先假设log_{x} y=t。于是，得到\\frac{t^{2}-3t+2}{t}<0。进一步得到\\frac{(t-1)(t-2)}{t}<0，然后分别解t>0和t<0的情况。'

'根据给定的不等式'

'证明给定的不等式。'

'为了同时满足不等式x^{2}+y^{2}-2x-2y ≤ 0和x-2y+1 ≤ 0，使不等式y-kx-k-1 ≤ 0成立，找出常数k的取值范围。'

'证明以下不等式：'

'求常数a的取值范围，使得不等式3a^2x-x^3≤16对于x≥0始终成立。'

'当x为29时。换句话说，我们只需要找到使得不等式(2)成立的条件即可。因此，根据(2)，我们得出a=c并且b=d。练习9|II| => 本书 p.52'

'求解以下不等式：(1) 2sinθ - √2 ≥ 0 (2) 2cosθ - 1 < 0 (3) √3tanθ - 1 < 0'

'证明以下不等式。并说明何种情况下等式成立。'

'解决不等式$x^{2}+y^{2}<x+y$，并绘制其区域图，确保其满足另一个约束条件$0 < x + y < 2$。'

'求实数a的范围，使不等式4t^2+at+1-a>0始终成立，其中t>0。'

'不等式的证明（2）'

'重要示例118 对数不等式表示的区域'

'证明与数列相关的多变量不等式'

'证明4x + 2/y ≥ 2√(2x/y)。'

'求不等式表示的区域：(1) 边界线为直线'

'请计算表示的区域'

'当同时满足三个不等式 x-y ≥ -2，x-4y ≤ 1，2x+y ≤ 5 时，求 x+y 的可能取值范围。'

'不等式表示的区域'

'当a>0，b>0，c>0，d>0时，证明以下不等式成立。并查明等号的情况。'

'证明不等式。并确定在哪些情况下等式成立。'

'当x>1时，求x+1/(x-1)的最小值。'

'不等式证明（3）...使用（实数）^2 ≥ 0'

'求不等式所代表的区域：境界线为圆'

'当 0 ≤ x < 2π 时，找出满足以下不等式的 x 的值范围。'

'不等式的证明（4）...利用平方的大小关系'

'证明不等式$x^{3}+5>3 x^{2}$成立。'

'求x和y满足三个不等式x-y ≥ -2，x-4y ≤ 1，2x+y ≤ 5时，x+y的取值范围。'

'当不等式0≤y≤-1/2|x|+3成立时，求x+y的最大值、最小值以及对应的x、y的值。'

'不等式的证明（5）...包含绝对值的不等式'

'当a > 0, b > 0时，证明以下不等式成立。另外，找出当等号成立的情况。(1) a+9/a ≥ 6 (2) 6b/a + 2a/3b ≥ 4'

'当a>0时，证明不等式a+\\frac{1}{4a} \\geqq 1成立。并找出等号成立的情况。'

'请解决以下不等式：a+8 > \\frac{3 a}{a+1}'

'解方程组'

'解出下列方程，求出a的取值范围。'

'证明不等式e^x>1+x成立。其中，x不等于0。'

'解决不等式|x-2|>4。'

'解开以下不等式：(1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \\frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x'

'你的帽子是什么颜色？——反证法的应用——'

'包含参数的二次不等式'

'不等式始终成立的条件'

'两次不等式的解法(1)'

'解决以下不等式：0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)'

'不等式|3x-6|<b的解是什么？ 如果y=b的图形位于y=|3x-6|图形的上方，则x的范围会是什么？请解释当b>0时。'

'我已经学习了当α<β时，解为(x−α)(x−β)<0的条件是α<x<β，现在要求解的是反向的情况。'

'求解以下方程和不等式。'

'解决以下不等式。'

'不等式|3x-6|<ax的解是什么？如果y=ax的图形在y=|3x-6|的图形上方，那么x的范围是什么？'

'解决以下方程和不等式：(1) |2x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x|≤2'

'解这两个二次不等式。'

'确定常数a、b的值，使得二次不等式ax^2+9x+2b>0的解为4<x<5。'

'从不等式的解得到系数'

'不等式和文字题目'

'解这个不等式。(1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \\frac{3 x + 4}{3}'

'解二次不等式的文字表示'

'二元一次不等式的解法(2)'

'解决以下二次不等式。'

'解两个不等式。(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'按照给定的(1), (2)中的不等式(A)，依次将其转化为(1), (2), (3)中的方程，求解(3)得出(A)的解。判断解(3)是否正确。如果不正确，指出哪个转化 (A)→(1), (1)→(2), (2)→(3) 是错误的。其中a为实数常数。 (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3): x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1'

'解方程：(4) 解-\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2}。'

'解决 x(x-1)<0。'

'请检查以下两个不等式是否始终对所有实数 x 成立：\n(1) 2x^2-3x+1 < 0\n(2) 2x^2-4x+2 ≥ 0\n(3) 2x^2-5x+4 ≤ 0\n(4) 2x^2-6x+4 > 0'

'两个不等式的应用（解决方案：'

'解决以下不等式：\n（1）\\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x\\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n（2）\2\\leqq x^{2}-x\\leqq 4 x-4\\n（3）\\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2\\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\'

'在花子的班上，她考虑了数学课上的不等式|3x-6|<ax+b其中，a，b是常数。首先，求解不等式（1）时a=2，b=1。'

'二次方程组的应用'

'解决下列不等式：(4) - (2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3'

'解方程 x^{2}-x-6 \\geqq 0。'

'解方程：5(x-3) < 3(2x-5)'

'解这个方程：\n(1) |3x+8|=5x\n(2) |x+1|+|x-1|=2x+8'

'求解以下不等式。'

'求解不等式（5）|5x-9| ≤ 3，找出 x 的范围。'

'解：x的值为[2, 12/5]'

'解决以下方程和不等式。'

'检查以下两个数字的大小关系，并用不等式表示。'

'从解决两个不等式得到的结果中获取信息。'

'求解以下不等式。'

'请检查以下命题的真假。但请使用集合的方法来检验(2),(3)。\n(2) 对于实数 x，如果 |x|>2，则 x>2。\n(3) 对于实数 x，如果 |x+2|<1，则 |x|<3。'

'当a = 4， b = 6时，找出满足不等式（1）的x范围 |3x - 6| < 4x + 6。'

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'解决不等式\ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \。'

'解下列不等式。(3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5'

'求解以下不等式：(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'利用对偶证明命题'

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'掌握不等式性质，征服例题34！'

'回顾联立不等式和二次不等式的基础！'

'第2章 实数，一次不等式：61个不等式'

'让我们回顾一下二次不等式的基本原理！'

'两个不等式求解方法的总结'

'绝对不等式'

'请说明一次不等式的性质。'

'解以下不等式。'

'解决以下两个二次不等式:'

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'考虑不等式|2x-6|<x'

'请说明一次不等式的基本性质。'

'掌握不等式的性质，攻克例题34！'

'实践3：联立二次不等式的应用'

'判别式，回顾二次不等式的基础！'

'解下列二次不等式。(1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0'

'(2) $\\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2$'

'找到常数 m 的取值范围，使得给定的两个不等式始终成立。'

'两个不等式的解法总结'

'解决不等式3|x+1|≥x+5。'

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'不等式（1）的解是，y=|2x-6|-x……(2)图形的x的取值范围使得y<0。（利用(2)的图形，找出(1)的解）。\n(i) 解2x-6≥0得到x≥，解2x-6<0得到x<，因此当x≥时，(2)是y=。\n当x<时，(2)是y=。'

'设TR（x）为实数。使用集合，检查以下命题的真假。'

'求解下列二次不等式。'

'解方程组 { |x+1|<\\frac{3}{2}, x^{2}-2 x-3>0 }。'

'求解以下不等式：'

'实践 1: 包含绝对值的不等式与图表'

'求解以下二次不等式。'

'确定常数a，b的值，使得以下条件成立：\n（1）二次不等式 x^2 + ax + b < 0 的解为 -\x0crac{1}{2} < x < 3。\n（2）二次不等式 ax^2 + x + b ≤ 0 的解为 x ≤ -1, 2 ≤ x。'

'求解不等式3|x+1| ≥ x+5。'

'绝对不等式'

'求解不等式|2x|+|x-5|≥8。'

'解决以下不等式：(1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \\\\ 5-3 x<1-x\\end{\overlineray}\\right.'

'总结二次不等式的解法'

'求解方程组\\(\\left\\{\egin{array}{l}x>3a+1\\\\2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right.\\)，并找出满足以下条件的常数a的取值范围。\\n1. 无解。\\n2. 解中包含2。\\n3. 解中包含的整数仅为3个。'

'设 p 为一个常数，解方程 p x ≥ 2 x-3。'

'解下列不等式。'

'求解以下二次不等式。'

'求解不等式组\\left\\{\egin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right.关于满足以下条件的常数$a$的取值范围：（1）方程有解。 （2）解中恰好包含3个整数。'

'求解符合不等式系统 {2（x+1）≥ 5x-2，-5x < -3x+4} 的整数 x 的所有值。'

'证明不等式 A < B ≤ C。'

'解以下不等式。'

'使用图表解决2个不等式。'

'训练：35（2）'

'（1）y ≥ 0\n（2）y ≤ 0\n（3）0 ≤ y ≤ 6\n（4）-1 ≤ y < 1'

'证明当x>1时，3x+1>x+3成立。'

'解方程 \\\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \。'

'(1) 如果 x+y>0 且 x-y>0，则证明 2x+y>0。'

'证明不等式成立。'

'请绘制不等式区域图。'

'证明下列不等式。'

'证明以下不等式:'

'证明不等式成立'

'求解不等式 $2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5$。'

'斜线部分表示的不等式是什么？假设不包括边界线。'

'求解指数不等式：解下列指数不等式。'

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'解不等式 2log₃x - 4logₓ27 ≤ 5。'

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'证明以下不等式。并且回答何时等号成立。'

'对数不等式的解法（2）：解下列对数不等式。'

'当满足不等式 x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0, 3 x+y-18 <= 0 时，求 x-4 y 的最大值和最小值。'

'请不使用 $\\log_{10} 2=0.3010 \\cdots \\cdots$，证明不等式 $\\frac{3}{10}<\\log_{10} 2<\\frac{4}{13}$。由于 $2^{10}=1024,2^{13}=8192$, 因此 $10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4 }$。将这两个不等式两边取常用对数。'

'解决不等式：\9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}\'

'求a的最小值，使不等式a sin ^{2} x+6 sin x+1始终成立。'

'当PR（x，y）满足4个不等式x≥0，y≥0，x-2y+8≥0，3x+y-18≤0时，请确定x-4y的最大和最小值。'

'在STEP UP教科书中没有涉及的内容中，特别需要注意的事项。'

'证明当 PR 中 a ≥ 0，b ≥ 0 时，下列不等式成立。并且等号在什么情况下成立。'

'对数不等式的解法（1）：解下列对数不等式。'

'否定条件'

'解下列方程和不等式。'

'求绝对不等式的值域'

'解决以下方程：\n（1）$|x-2|=3x$\n（2）$|x-1|+|x-2|=x$'

'解决不等式a(x+1)>x+a^{2}。其中a是一个常数。'

'求取满足不等式 x^2 - 2mx + m + 6 > 0 的所有 x 值范围为 0 ≤ x ≤ 8 的常数 m 的范围。'

'求定数a的取值范围，使得对所有实数x都成立不等式a(x^2+x-1)<x^2+x。'

'包含绝对值的不等式求解方法'

'[1] 当 \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \ 时，不等式为\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\n因此 \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \，所以 \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\n因此 \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \'

'解决以下不等式。'

'对于 a>0 和 D>0，二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个不同实数解为α，β(α<β)。当 a x^2 + b x + c > 0 时，解为 x < α 或 β < x。 当 a x^2 + b x + c < 0 时，解为 α < x < β。 当 a x^2 + b x + c ≥ 0 时，解为 x ≤ α 或 β ≤ x。 当 a x^2 + b x + c ≤ 0 时，解为α ≤ x ≤ β。'

'求解2个不等式$a(x-3a)(x-a^2)<0$。其中$a$是非零常数。'

'解2个不等式（2）α<β时，如果存在等号，则解中也包含等号'

'找出满足5x - 7 < 2x + 5的所有自然数x的值。'

'x ≤ 3 并且 y > 2'

'找出不等式 x^2-4x+1=t 的范围。'

'1次不等式的性质：如果a < b，则a + c < b + c，a - c < b - c。如果a < b且c > 0，则ac < bc，a/c < b/c。如果a < b且c < 0，则ac > bc，a/c > b/c。如果a < b且b < c，则a < c。'

'解决以下不等式组：(1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2(1-x)>-6-x \\\\ 2 x-3>-9\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3(x-4) \\leqq x-3 \\\\ 6 x-2(x+1)<10\\end{\overlineray}\\right. (3) 不等式 $x+9 \\leqq 3-5 x \\leqq 2(x-2)$。'

'在包含绝对值的方程式或不等式中，以绝对值符号内的表达式为分割点，分情况消去绝对值并解决方程或不等式。'

'解决以下一次不等式。'

'解方程和不等式:'

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'|x-4|>3x 表示为 (*)'

'求范围值为3的整数x同时满足x²-(a+1)x+a≤0和3x²+2x-1≥0的3种存在的整数x的情况。'

'对于任意实数x，y，z，找出使不等式ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx ≥ 0成立的常数a的范围。'

'练习提出以下命题的否定，并检查原命题和其否定的真假。'

'包含绝对值的一次不等式（使用图形）'

'练习解决以下不等式。'

'解不等式 \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \。'

'练习阐述以下命题的否定。'

'[1]当 \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \ 时, 不等式为 \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \。整理得到 \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \, 因此 \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\)。所以 \ \\quad-1<x<3 \。\ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ 与共同范围为 \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \'

'求解不等式ax > 3x - b。'

'当 a=-1 时，在区间 -1 ≤ x ≤ 2 中，y 是一个常数。'

'证明|x-4|<3x。'

'求解下列不等式。'

'求解以下不等式。'

'解开不等式|2x-3| ≤ |3x+2|。'

'设a，b，c和p为实数。假设实数x满足不等式ax^2+bx+c>0，bx^2+cx+a>0和cx^2+ax+b>0的集合与x>p的实数集合相匹配。'

'求值域'

'对于所有实数x，y，是否9x²-12xy+4y²>0'

'练习解决以下二次不等式。'

'解决以下不等式：'

'(2) x>12'

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'练习解以下一次不等式。'

'解决以下方程式和不等式：\n（1）|x-3| + |2x-3| = 9\n（2）||x-2|-4| = 3x\n（3）|2x-3| ≤ |3x+2|\n（4）2|x+2| + |x-4| < 15'

'请说明一次不等式的基本性质。'

'求解不等式2x^4-11x^2+5>0.'

'解决以下一次不等式：\n(1) 4x - 5 > 3x + 2\n(2) -2x + 7 ≤ 5'

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'解不等式时涉及三角比的方法'

'解决以下二次不等式。'

'假定不等式A < B，并证明以下不等式：\n1. A + C < B + C\n2. A - C < B - C\n3. A * C < B * C (其中C > 0)\n4. A / C < B / C （其中C > 0）'

'解答：\n（1）x > 2\n（2）x > -23\n（3）x > 11/5 且 x < 3\n（4）-2 < x < 0\n（5）-6/5 <= x <= 3\n（6）x < -2 或 x > 6'

'求解以下不等式：\n(1) x+3<2\n(2) 2x ≥ 5\n(3) -3x ≤ 4'

'求解不等式\|x^{2}-4| \\leqq x+2\。'

'绝对不等式的问题。'

'求解下列2次不等式。 (6) 2 x-3>-x^{2}'

'不等式 (5) 的解是 x > 0 吗？'

'解决以下二次不等式：(5) 4 x^{2}-5 x-3<0'

'求解包含绝对值的不等式。'

'解出以下方程或不等式。'

'大哥给小弟 3 支铅笔后, 小弟的数量会变多'

'解下列不等式。'

'找出使得对于所有实数x，ax^2+2bx+1>0成立的实数a、b的条件。'

'解下列联立不等式。'

'求解不等式 2x^{2} - 3x - 5 > 0。'

'(4) ≤'

'(4) 解决不等式 x^{2}-2 x-2 \\leqq 0'

'设a, b为常数，且满足x^{2}-5 x+6 ≤ 0（1），x^{2}+a x+b < 0（2）。既不存在能同时满足（1）和（2）的x值，又范围在 2 ≤ x < 5之间能满足（1）或（2）的x值。求a和b的值。'

'求解包含绝对值的二次不等式不等式| x ^ {2} -2x | > 2-x。'

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'解决下列两个不等式：\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'解决以下两个二次不等式。'

'解决以下两个二次不等式：\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'求解以下方程或不等式。'

'解决以下联立不等式。'

'当 $a+1<5$ 即 $a<4$ 时，从图 [4] 可知，$x=a+1$ 取得最小值。最小值为 $f(a+1)=a^{2}-7 a-9$'

'解决不等式：x(x-1) < 0'

'解方程组。'

'寻找始终成立的不等式条件在某个变量范围内。'

'（的 十 甲 工 大） \\ r \\ n解 以下 不等式。\\ r \\ n1。 \\（ \\左 \\ { \\开始 \\数组 \\ {l} x ^ {2}> 1 + x \\ \\ x \\ leqq 15-6 x ^ {2} \\结局 \\ right } \\ ） \\ r \\ n2。 \\ 2 \\ leqq x ^ {2}-x \\ leqq 4 x-4 \\ r \\ n3。 \\（ \\左 \\ { \\开始 \\数组 \\ {l} x ^ {2} + 3 x + 2 \\ leqq 0 \\ \\ x ^ {2} -x-2 <0 \\ 结尾 \\ right} \\）'

'求解下列不等式。'

'找到常数a的条件，使得不等式2x^{2} - 3x - 5 > 0和x^{2}+(a-3)x-2a+2<0同时成立的x整数值只有一个。'

'陈述以下条件的否定。'

'4个1个不等式'

'求解以下不等式。'

'解释未给定的不等式 $2 x^{4}-11 x^{2}+5>0$。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'解以下不等式。'

'解以下不等式。'

'证明对于所有正数 x 和 y，不等式 x(logx - logy) ≥ x - y 成立。证明当且仅当 x = y 时等号成立。'

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'\ 2 x^{2}+x-6 \\geq 0 \的不等式如何解？'

'利用不等式$|a+b| \\leqq |a|+|b|$来证明下面的不等式：'

'解决以下不等式。'

'请解释以下表达式的含义：\ p < q \\Leftrightarrow a^p > a^q \，其中 \ 0 < a < 1 \。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，求解以下不等式。'

'不等式的证明'

'解决以下不等式。其中，a是正常数。\\[x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \\leqq 0\\]'

'证明 27 个不等式 [利用 A-B>0 等]'

'证明并找出等号成立的情况'

'对数不等式及其区域的图示'

'指数不等式的解法'

'求解以下不等式。'

'求解不等式 \ \\log _{4} x^{2}-\\log _{x} 64 \\leqq 1 \。'

'(1) a^{2}-3 b>0'

'处理包含绝对值的不等式'

'练习解下列不等式。'

'扩展雨31不等式的证明'

'不等式表示的区域'

'将以下各组数的大小用不等号表示。'

'求解不等式$\\log_{4}x^{2}-\\log_{x}64 \\leqq 1$。'

'求解不等式组 y≥x²，y≤10-3x，y≤x+6 所表示的区域面积。'

'请绘制以下不等式所表示的区域。'

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'证明不等式成立。等式何时成立？'

'求解不等式的图形范围：当 x<0 时，2x ≤ y ≤ 1；当 0 ≤ x < 1/2 时，2x ≤ y ≤ x²+1；当 1/2 ≤ x ≤ 1 时，1 ≤ y ≤ x²+1；当 x > 1 时，1 ≤ y ≤ 2x。'

'练习6\n对于正常数a，求a的取值范围使不等式a的x次方大于等于x对任意正实数x成立。'

'设定K为由不等式-sin x≤y≤cos 2x,0≤x≤π/2定义的区域。(1)求K的面积。(2)求围绕x轴旋转形成的旋转体的体积。〔神户大学〕'

'证明不等式f(x)>g(x)'

'求满足不等式$x^{2}>2^{x}$的正实数$x$的取值范围。'

'当实数x，y满足两个不等式y≤x+1，x²+4y²≤4时，求y-2x的最大值和最小值。'

'证明下列不等式。'

'证明不等式|S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x|\\leqq \\frac{1}{n+1}。'

'当实数x，y满足不等式y≤2x+1，x²+2y²≤22时，请找出x+y的最大值和最小值。'

'证明不等式\ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \。'

'解下列不等式。'

'找到使不等式a^x >= x成立对所有正实数x的范围。'

'解方程 $\\sqrt{4-x}>x-2$。'

'证明不等式$\\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y|$。'

'在领域的最大值和最小值之间（2）\n解联立不等式x-2y+3≥0, 2x-y ≤0, x+y≥0，表示区域为A。将点（x, y）移动到区域A时，求y^2-4x的最大值和最小值。'

'当不等式 $x^{2}-10 x-24>0,(x+1)(x-a^{2}+a)<0$ 同时成立且不存在 $x$ 时，求常数 $a$ 的取值范围。'

'检查以下命题及其否定的真假。\n(1) 对于所有实数 x，都有 2 x^{2}+1>0\n(2) 对于任意实数 x, y，都有 x^{2}-4 x y+4 y^{2}>0\n(3) 存在自然数 x，使得 x^{2}-3 x-10=0'

'请判断以下命题是否成立。'

'解下列方程和不等式。'

'请找出不等式3x - 5x < 4 + 8的范围。'

'将不等式的两边乘以-1，并解决2 x^2 + 3 x + 7 ≤ 0。将二次方程式2 x^2 + 3 x + 7 = 0的判别式记为D，则D = 3^2 - 4 * 2 * 7 = -47 < 0。因此，给定的不等式没有解。作为另一种解决方法，完成平方并确认没有解。'

'86 - Mathematics I'

'解3(x-1) \\geqq x+3，找出解，并确定解的范围。'

'如果购买的商品数量在10个以下，则A店比B店便宜，设所需数量为x个，则x>10。'

'練習\n86\n(1) \ 2 \\sin \\theta>\\sqrt{2} \ 得出 \ \\quad \\sin \\theta>\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ 解 为 \ \\sin \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ 得到 \ \\quad \\theta=45^{\\circ}, 135^{\\circ} \\n\n不等式的解是在半圆周上，y坐标大于 \ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \ 的角度范围，故为 \ 45^{\\circ}<\\theta<135^{\\circ} \\n\n(2) \ 2 \\cos \\theta<\\sqrt{3} \ 得出\n\n\ \\cos \\theta<-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\n\n\ \\cos \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ 得 \ \\quad \\theta=150^{\\circ} \\n不等式的解是在半圆周上，x坐标小于 \ -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ 的角度\n1三平方の定理。\n別解 Dから辺 \ \\mathrm{AB} \ に垂線 DE を下ろすと, Eは 辺 \ \\mathrm{AB} \ の中点であり\n\n\ \egin{aligned}\n\\mathrm{AE} & =\\frac{\\sqrt{4+2 \\sqrt{2}}}{2} \\\\\n\\mathrm{DE} & =\\sqrt{\\mathrm{AD}^{2}-\\mathrm{AE}^{2}} \\\\\n& =\\frac{\\sqrt{4-2 \\sqrt{2}}}{2}\n\\end{aligned} \\n\n故\n\ \\sin 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{DE}}{\\mathrm{AD}} \,\n\ \\cos 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{AD}} \\n也可求得。\n4 孪\n練習\n図\n形\n計\n諻\n1三角比を含む不等式で は, まず, 不等号を = と おいた三角方程式を解く。\ \\leqq 180^{\\circ} \ 所以得 \ 150^{\\circ}<\\theta \\leqq 180^{\\circ} \ 不要超过 180 度。'

None

'求解满足给定二次不等式的实数 x 的范围：a x^2 - 3x + b > 0'

'设a为常数。寻找同时满足以下两个不等式的整数，且这些整数仅限于自然数的情况下，求a的取值范围。'

'设a为常数。解以下关于x的不等式。'

'证明不等式|x+2|-|x-1| <= 3。'

'练习 69 本册 p.146 (1) 不等式 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 即 a>-1/2 时 不等式的解为 1/2<x<a+1 满足条件的整数 x 只有一个的条件是 1<a+1 ≤ 2 因此 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 即 a=-1/2 时 不等式为 2(x-1/2)^{2}<0 整数 x 满足此条件不存在。 [3] a+1<1/2 即 a<-1/2 时 不等式的解为 a+1<x<1/2 满足条件的整数 x 只有一个的条件是 -1 ≤ a+1 <0 因此 -2≤ a<-1 综上所述，所求 a 的范围是，结合 (1) 和 (2) 得 -2 ≤ a<-1, 0<a ≤ 1'

'已知a，b，c，p是实数。证明不等式ax^2+bx+c>0，bx^2+cx+a>0，7cx^2+ax+b>0对所有实数x成立的集合与x>p成立的实数x的集合相同。'

''

'当 x = 1 时，不等式为 0 > 0，不是解。'

'求解下列不等式的公共范围。\n(A)：6x+5≥2x-3 和 x+13 > 7x-5\n(B)：2x+8 > x+7 和 3x-3 > 4x-1'

''

'求解以下方程和不等式。'

'关于两个不等式||x-9|-1|≤2（1），|x-4|≤k（2），回答以下问题。其中，k是正常数。'

'根据\u2002x^2 >= 0\u2002可以得出\u20022x^2 + 1 > 0。由\u2002Δ A ∩ B ⊂ A\u2009和\u20092\u2009∈\u2009A\u2002\u2009得出\u20027\u2009∈\u2009A\u2002的情况。\u2002\u2002考虑\u20022\u2009∈\u2009B，7 ∉ B'

'[3] -a/2 > 1 即 a < -2 时'

'求解下列不等式。'

'侧 17 | 解联立不等式\n（1）求解以下联立不等式。\n（a） \\left\\{\egin{\overlineray}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right. \n（b） \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right. \n（2）解不等式$9-7 x<3-5 x<2(x-2)$。'

'|3 x-4| < 2 x 转为-2 x < 3 x - 4 < 2 x，即 \\ \\left\\{ \egin{array}{l}-2 x < 3 x - 4 \\\\ 3 x - 4 < 2 x \\end{array} \\right. 求解。'

'写出以下命题的否定。'

'解决以下不等式：|x-1|+2|x| <= 3'

解以下二次不等式。 (1) $x^{2}-8 x+16>0$ (2) $x^{2}-8 x+16<0$ (3) $x^{2}-8 x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8 x+16 \leqq 0$

解以下二次不等式。 (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

二次不等式 基本 93 二次不等式的解法 (1)

解以下二次不等式。 (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

基本 32 利用不等式的性质 (1) 标准 33 利用不等式的性质 (2) 基本 34 1 次不等式的解法 基本 35 联立不等式的解法 标准 36 不等式的整数解 标准 37 不等式的应用题 基本 38 含绝对值的方程与不等式…基本 标准 39 通过分类解决含绝对值的方程

解以下方程和不等式。 (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

求以下連立不等式的解滿足的條件所對應的參數 $a$ 的範圍：\[ \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \]（1）解不存在。（2）解包含2。（3）解包含的整數只有3個。

练习问题 93 - 解以下二次不等式。(6) $x^{2}+x \leqq 6$

练习题 93 - 解下列二次不等式。(4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

判定命题的真值。 设 $x$ 是实数，$n$ 是整数。 用集合来检查以下命题的真伪。 (1) $x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0$ (2) $n$ 是 18 的正约数 $\Longrightarrow n$ 是 24 的正约数

解下面的 2 次不等式。(3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

解以下的二次不等式。 (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$ (4) $x^{2}+3 \geqq 0$

求满足方程组 \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \) 的所有整数 $x$ 的值。

求关于以下联立不等式的解中满足下列条件的常数 $a$ 的取值范围。 （1）有解。 （2）解中恰有3个整数。 \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

练习问题 93 - 解以下二次不等式。(3) $x^{2}-2x < 0$

解以下不等式。 (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

解下列不等式。 (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

当3. \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 时，求函数 \( f(x)=(1-x)|x+2| \) 的最大值。

对于给定的不等式联立方程 \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. ，求出满足以下条件的常数 $a$ 的值的范围。 （1）有解。 （2）解包含恰好2个整数。

设$x$为实数。使用集合来确定以下命题的真伪。 (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

练习问题 93 - 解下列二次不等式。(5) $x^{2} > 9$

让我们以流程图的形式整理二次不等式的解法。基本例题93到96中，我们解了各种类型的二次不等式。现在让我们来整理一下。 我们考虑 $ax^{2} + bx + c$。首先，检查是否可以因式分解。如果可以因式分解，就变成 \( a(x-lpha)(x-eta) \) 或 \( a(x-lpha)^{2} \) 的形式。 然后画出图像 $y = ax^{2} + bx + c$，假设 $a > 0$。 总结如下表： egin{\overlineray}{c} 不等式的类型 & 解的范围 \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \leqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & lpha \leqq x \leqq eta \\hline\end{array}\) 重要的是理解解的原因，而不是死记硬背这个表。

二次不等式 基本 94 二次不等式的解法 (2)

练习题 93 - 解下列二次不等式。(2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

解决包含绝对值的不等式 2|x+4|<x+10 的情况划分。

解答下面的二次不等式。 (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

解不等式 $x^2-4x+3<0$。

练习问题 93 - 解以下二次不等式。(1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

将不等式的所有项移到左边并整理得到 $a x^{2}+b x+c>0$, $a x^{2}+b x+c \leqq 0 （ a, b, c$ 为常数，其中 a eq 0 ） 这样,左边是 \( x 的二次不等式称为 $x$ 的二次不等式。然后，使二次不等式成立的 $x$ 的值称为该不等式的解，找出所有解的方法称为解二次不等式。在这一节中，我们将学习使用二次函数的图像来解二次不等式。我们将积极利用在前一节中学到的二次函数的图像与 $x$ 轴的相对位置的关系。 ■ 二次不等式的解和二次函数的图像 注意：以下我们将 $x^{2}$ 的系数 $a$ 的符号设为正来进行讨论，这样并不会带来不便。因为当 $a$ 的符号为负时，可以将两边同时乘以 -1 使 $x^{2}$ 的系数为正再进行求解。 求二次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \) 的解，即是当令 $y=a x^{2}+b x+c$ 时，研求使 $y>0$ 的 $x$ 的值域，这即是找到 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图像在 $x$ 轴上方的 $x$ 的值域。 以具体的例子，二次不等式 $x^{2}-4 x+3>0$ (1) 来说明。

解以下二次不等式。(2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

解不等式 3|x+1| $\geqq x+5$。

求解以下二次不等式。 (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

用不等式表示从10中减去一个数x的3倍大于-5的式子。

解不等式 $|2 x|+|x-5| \geqq 8$。

不等式 $x^2-4x+3>0$ を解け。

解这个不等式。 (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

解方程和不等式。 (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

解不等式 2x-5<9。