基本代数 - 表达式的展开和因式分解

'展开式的通用项是\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\n其中 \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(a) \ a^{3} b^{2} c \ 项的系数是, 当 \ p=3, q=2, r=1 \ 时为\n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(b) \ a^{4} c^{2} \ 项的系数是, 当 \ p=4, q=0, r=2 \ 时为\n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'求解以下展开式中指定项的系数。(1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [常数项]'

'请找出以下表达式中特定项的通项公式和系数。'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'请解决以下方程：'

'展开表达式 \\( (a+b+c)^{n} \\) 的一般项是\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\n其中 \ p+q+r=n \'

'(2) (解 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) 展开式的通项是 $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$\n其中 $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$。\n$x^{4}$ 的项是在 $q+2 r=4$ 时，即 $q=4-2r$。'

'求出数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的通项公式。'

'展开以下多项式。'

'和符号 \ \\Sigma \, \ \\Sigma \ 的性质\n和符号 \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\n这个性质中的 \ p, q \ 是与 \ k \ 无关的常数。\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\n数列和公式中的 \ c, r \ 是与 \ n \ 无关的常数。\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \n特别是 \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'二项式定理的应用问题'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'(A + B)的平方加(A - B)的平方'

'请简化以下连分数：\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'(3) (2)求得的圆方程展开整理后为：x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0。将y = x^2代入得x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0，即x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0。因此x = 0, -m, α, β。因此，抛物线y = x^2和(2)求得的圆A、B、O除外没有其他共有点的充要条件是x = -m是方程x(x^2 - mx - 1) = 0的根。'

'请在复数范围内因式分解以下二次方程：\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'求P(x)=x³-4x²+x-7在x=-2時的餘數'

'(1) 由于解为 \ \\alpha, \eta \，得到'

'将P(x)除以(x+1)^{2}(x-2)，商为Q(x)，余数为R(x)，则成立以下等式。'

'(2)\\n\\\\(\\n\\\egin{aligned}\\nS & =1+3 x+5 x^{2}+\\\\cdots \\\\cdots+(2 n-1) x^{n-1} \\\\\\nx S & =\\\\quad x+3 x^{2}+\\\\cdots \\\\cdots+(2 n-3) x^{n-1}+(2 n-1) x^{n}\\n\\end{aligned}\\n\\\\)\\n\\n边边引くと\\\\( (1-x) S=1+2\\left(x+x^{2}+\\\\cdots \\\\cdots+x^{n-1}\\right)-(2 n-1) x^{n} \\)\\n\\nよって, \\\\x \\neq 1 \\\\ のとき\\\\(\\n\\\egin{aligned}\\n(1-x) S & =1+2 \\\\cdot \\\\frac{x\\left(1-x^{n-1}\\right)}{1-x}-(2 n-1) x^{n} \\\\\n& =\\\\frac{1-x+2\\left(x-x^{n}\\right)-(2 n-1) x^{n}(1-x)}{1-x} \\\\\n& =\\\\frac{1+x-(2 n+1) x^{n}+(2 n-1) x^{n+1}}{1-x}\\n\\end{aligned}\\n\\\\)\\n\\nゆえに \\\\ S=\\\\frac{1+x-(2 n+1) x^{n}+(2 n-1) x^{n+1}}{(1-x)^{2}} \\\\n\\\\( x=1 \\text{ のとき } \\quad \egin{aligned}\\nS & =1+3+5+\\\\cdots \\\\cdots+(2 n-1)=\\\\sum_{k=1}^{n}(2 k-1) \\\\\n& =2 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} n(n+1)-n=n^{2}\\n\\end{aligned}\\n\\)'

'确定常数a、b、c、d的值，使等式( x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6成为关于x、y的恒等式。'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\ a>b, x>y 所以, a-b>0, x-y>0 \\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\因此 \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'另 x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'求解给定展开式中指定项的系数。(1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'求解展开式的通项表达式。'

'设$f(y)=y^{2}+y-a-9$，则关于轴的情况为$-3<-\x0crac{1}{2}<3$。由$f(3)>0$可得$a<3$，且$f(-3)>0$可得$a<-3$。综上得到$-\x0crac{37}{4}<a<-3$。'

'练习问题：求展开式中的x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p的系数。'

'使用二项式定理展开(a+b)ⁿ。'

'数学 I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} & =\\triangle \\mathrm{OAP}-\\int_{0}^{1}(-3x^{2}+3)dx+2y_{1} \\& =\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p+3 \\int_{0}^{1}(x^{2}-1)dx+2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\& =\\frac{3}{2}p+3\\left[\\frac{x^{3}}{3}-x\\right]_{0}^{1}+(2-p)^{3} \\& =\\frac{3}{2}p-2+(2-p)^{3} \\& =-p^{3}+6p^{2}-\\frac{21}{2}p+6 \\end{aligned}\\]'

'(2)给定方程组的解为 \ \\alpha, \eta \ ，因此'

'练习79册302页y = a x ^（3）-2 x上的点（t，a t3-2 t）和原点的距离的平方为t ^（2）+（a t3- 2 t） ^（2）=a ^（2）t6-4 a t4+5 t2'

'请说明使得上述等式为0的条件。'

'对于实数t，考虑两点P(t, t^{2})和Q(t+1, (t+1)^{2})。'

'(2) 由 f(a)=f(a+1) 推导出 a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'求出展开式中指定项的系数。(1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, 常数项]'

'已知 19x^{3} 的系数为1的3次方程式Q(x)除以x-1的余数为-1，除以x-2的余数为8。'

'关于序列 \ \\{a_{n}\\} \，其中总和从第1项到第n项为 \ S_{n}=2 n^{2}-n \，请回答以下问题：\n1. 求一般项 \ a_{n} \。\n2. 求和 \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \。'

''

'解决以下方程式。'

'请检查以下等式是否恒等：\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

''

'展开左侧的复杂表达式，以示变为简单的右侧表达式。\n(2)，（3）由于左侧和右侧同样复杂，因此对左侧和右侧进行变形，以示它们成为相同的表达式。'

'将2x²-8分解为(x²+4)(x²-2)'

'演习20 III \ \\Rightarrow \ 本册 \ p. 471 \\n(1) 假设1或2是大骰子的结果为 \ X \\n\n\\[ x_{n}=1 \\cdot X+(-1) \\cdot(n-X)=2 X-n \\]\n\n由于 \ X \ 符合二项分布 \\( B\\left(n, \\frac{1}{3}\\right) \\), 所以, \ X \ 的均值 \\( E(X) \\) 和方差 \\( V(X) \\) 是 \\( E(X)=\\frac{n}{3} \\), \\( V(X)=n \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{2}{3}=\\frac{2}{9} n \\)。\n因此, \ x_{n} \ 的均值 \\( E\\left(x_{n}\\right) \\) 和方差 \\( V\\left(x_{n}\\right) \\) 为\n\\[\egin{aligned}\nE\\left(x_{n}\\right) & =E(2 X-n)=2 E(X)-n \\\\ & =2 \\cdot \\frac{n}{3}-n=-\\frac{n}{3} \\\\nV\\left(x_{n}\\right) & =V(2 X-n)=2^{2} V(X)=\\frac{8}{9} n\n\\end{aligned}\n\\]\n(2) 由于 \\( V\\left(x_{n}\\right)=E\\left(x_{n}^{2}\\right)-\\left\\{E\\left(x_{n}\\right)\\right\\}^{2} \\) 所以\n\\[E\\left(x_{n}^{2}\\right)=V\\left(x_{n}\\right)+\\left\\{E\\left(x_{n}\\right)\\right\\}^{2}=\\frac{8}{9} n+\\left(-\\frac{n}{3}\\right)^{2}=\\frac{1}{9} n(n+8)\\]\n\n(3) 由于 \\( S=\\pi\\left(x_{n}{ }^{2}+y_{n}{ }^{2}\\right) \\), 所以, \ S \ 的均值 \\( E(S) \\) 为\n\n\\[E(S)=\\pi\\left\\{E\\left(x_{n}{ }^{2}\\right)+E\\left(y_{n}{ }^{2}\\right)\\right\\}\\]\n\n现在, 让我们计算 \ y_{n} \ 的均值 \\( E\\left(y_{n}\\right) \\) 和方差 \\( V\\left(y_{n}\\right) \\)。假设1是小骰子的结果为 \ Y \, 那么\n\ y_{n}=2 Y-n \\n\ Y \ 也符合二项分布 \\( B\\left(n, \\frac{1}{6}\\right) \\), 类似于第(1)部分\n\\[ \egin{array}{l}\nE\\left(y_{n}\\right)=2 \\cdot \\frac{n}{6}-n=-\\frac{2}{3} n \\\\\nV\\left(y_{n}\\right)=2^{2} \\cdot n \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{5}{6}=\\frac{5}{9} n\n\\end{array} \\]\n类似地, 根据第(2)部分\n\\[\egin{aligned}\nE\\left(y_{n}^{2}\\right) & =\\frac{5}{9} n+\\left(-\\frac{2}{3} n\\right)^{2}=\\frac{1}{9} n(4 n+5) \\\\\n\\text { 因此 } \\quad E(S) & =\\pi\\left\\{\\frac{1}{9} n(n+8)+\\frac{1}{9} n(4 n+5)\\right\\} \\\\\n& =\\frac{1}{9} n(5 n+13) \\pi\n\\end{aligned}\\]'

'数学I即(α-1)(β-1)(γ-1)=0,所以α,β,γ至少有一个是1。'

'求多项式 x^2020+x^2021 除以多项式 x^2+x+1 的余数。'

'(2) 令t=x+1/x，则证明利用数学归纳法得到x^n+1/x^n将成为t的n次方程。'

'计算给定的指数'

'设k为实数。 对于三次方程f(x)=x^{3}-kx^{2}-1，设方程f(x)=0的三个解为α，β，γ。 g(x)是一个三次方程，其x^{3}的系数为1，并且方程g(x)=0的三个解为αβ，βγ，γα。\n(1) 请用α，β，γ表达g(x)。\n(2) 求解具有共同解的两个方程f(x)=0和g(x)=0的k值。'

'在练习本册中(第35页), 如果将P的三次项的系数记为a, b, c为常数, 则P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c)。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'300'

'练习 56 (1) (上半部分) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 又αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 因此 P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (下半部分) [1] 当n=1时，P_1=2，当n=2时，P_2=6 因此，当n=1,2时，P_n 是非4倍数的偶数。 [2] 假设n=k, k+1时，P_n 是非4倍数的偶数。'

'首项为 a，公差为 d，将首项到第 n 项求和为 S_{n}，则 S_{5}=125，S_{10}=500，因此1/2・5{2a+(5-1)d}=125，1/2・10{2a+(10-1)d}=500，得出 a+2d=25 ... (1)，2a+9d=100 ... (2)。解方程组 (1)，(2) 可得 a=5，d=10'

'关于整式f(x)=x^{4}-x^{2}+1，回答以下问题。'

'(1 + xi)(3 - i)这个表达式是实数还是纯虚数取决于 x 的值。'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$的展开式的一般项是$_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$。$x^{4} y^{3}$的项是$r=3$时，其系数是'

'展开以下表达式：(a+b)³和(a-b)³'

''

'确定常数 a、b 和 c 的值，使得该等式对于 x 是恒等式。'

'求解展開式(a+2b+3c)^{6}中a^{3} b^{2} c項的系数，以及a^{4} c^{2}項的系数。'

'数列 {P_{n}} 被定义如下。'

'请列举数字版图表式参考书的三个基本功能。'

'等差数列的证明'

'练习，分解下列方程式。'

'是否能将 P 分解为 x、y 的一次式的乘积取决于 α、β 不是 y 的一次式。'

'展开以下表达式。(1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'利用二项式定理，证明下面的等式。'

'因为抛物线y=x^2+bx+c的顶点在直线y=x上，所以顶点的坐标可以设为(k, k)。因此，抛物线的方程为y=(x-k)^2+k即y=x^2-2kx+k^2+k。抛物线(1)和抛物线y=-x^2+4的交点的x坐标为x^2-2kx+k^2+k=-x^2+4即2x^2-2kx+k^2+k-4=0的实数解。(1)，(2)有两个不同的交点，所以设(3)的判别式为D，则D>0。计算D/4=(-k)^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8，由此-k^{2}-2k+8>0，即k^{2}+2k-8<0解得-4<k<2.在这种情况下，将两个交点的x坐标记为α、β(α<β)，α、β是(3)的解，因此有α+β=k，αβ=(k^{2}+k-4)/2。因此，(β-α)^{2}=(α+β)^{2}-4αβ=k^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8=-(k+1)^{2}+9。'

'考虑当数学B329 n=k+2时'

'请证明函数的恒等式。'

'转化递推式, 数学归纳法转化递推式\n- 相邻两项 \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) 对于满足 \ \\alpha = p \\alpha + q \ 的 \ \\alpha \\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- 相邻三项 \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ 的解为 \ \\alpha, \eta \ 那么\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\n数学归纳法\n要证明命题 \ P \ 关于自然数 \ n \ 对于所有自然数成立的步骤是\n[1] 证明当 \ n=1 \ 时 \ P \ 成立。\n[2] 假设当 \ n=k \ 时 \ P \ 成立, 证明当 \ n=k+1 \ 时 \ P \ 也成立。'

'(3) 认为存在实数p, q, r, s, t, u满足方程x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u)。展开右边后，x^2的系数为p s，比较两边的x^2系数得到ps=1。因此，必须满足p不等于0，s不等于0。'

'设a为实常数，考虑两个圆C1：x^{2}+y^{2}=4，C2：x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0'

'请将以下表达式进行因式分解。'

'求多项式$P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$被一次式除时的余数。'

'使用因式定理对以下方程进行因式分解。'

'请计算以下表达式的系数。(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'拓展 51：因式分解2次2項式（使用解公式）'

'组立除法\n将三次方程式 $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 除以一次方程式 $x-k$ 得到商式 $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ 和余数 $R$。\n这个商的系数 $l, m, n$ 和余数 $R$ 可以通过下面的方法求得，这个方法称为组立除法。\n\n正明 根据除法等式 $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ 可得\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\n这个等式是关于 $x$ 的恒等式。\n将右边展开整理得到\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\n比较两边系数得到\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\n因此\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'求展开式中带有项的系数'

'请检查以下等式是否恒等式。'

'设k为常数。 当(a+kb+c)^{5}的展开式中 a^{2}bc^{2}的系数为60时，求k的值。另外，求ac^{4}的系数。'

''

'请对给定方程进行因式分解。'

'恒等式的系数确定（1）...系数比较法'

'[7!/(3!2!2!)]'

'使用二项式定理展开(a+b)^{4}，并求得各项的系数。'

'数列 {a_{n}}: 1, 3, 8, 19, 42, 89, 的差分序列为 {b_{n}}。若数列 {b_{n}} 的差分序列是等比数列，则\n(1) 求数列 {b_{n}} 的一般项。\n(2) 求数列 {a_{n}} 的一般项。《基本例题 19'

'使用二项式定理，求下列表达式的展开式。'

'请求解以下表达式展开式中括号内项的系数。'

'为了使等式$x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$对于所有的$x$成立, 确定常数$a, b, c$的值。'

'确定常数a和b的值，使得下列多项式能被给定的表达式整除：'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'请因式分解以下表达式。'

'部分分数分解'

'基础 61：高次方程式的解法（1）- 利用因式分解'

'求展开式中 [ ] 内项的系数。'

'在高次多项式的因式分解中，找到使 P(k)=0 成立的 k，然后使用因式定理。 这里我们将讨论如何找到使 P(k)=0 成立的 k。'

'展开式中 (a+b+c)^{n} 的系数是什么？'

'求展開式中的 [ ] 項的係數。'

'找出满足以下条件的多项式 A 和 B。'

'基础 45: 在复数范围内对二次方程进行因式分解'

'(a+b+c)^{5} [a b^{2} c^{2}]的展開式中，[ ]內項的係數是多少？'

'二项式定理'

'请检查以下方程是否恒等式。'

'在数学 I 中，我们学习了因式分解，并学习了如何利用它来解二次方程。在这里，我们将利用因式定理来考虑如何解 n 次以上的方程。'

'设二次方程 $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ 的两个解为 $\\alpha, \eta$，求下列式子的值。 (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'将x^2+1/(x^2-1)转换为4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4进行思考。'

'请使用二项式定理展开(a+b)^4。'

'请确定常数a、b、c的值，使下面的等式成立，其中x为恒等式(1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1}(2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'已知 B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5，求 A。'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'展开以下表达式。'

'曲线 C 和直线 l 的共享点的 x 坐标是，方程 x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0 的实数解。左边有 x+2 作为因数，因此因式分解得到 (x+2)^{2}(x-2)=0，即 x=2,-2，因此，曲线 C 和直线 l 的共享点中，除了接点之外的点的 x 坐标是2。'

'考虑数列{a_n}从第一个数到第五个数，对于n=1,2,3,4，有a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}....对于所有自然数n成立(1)，这时，a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) 成立。a_{1}=11, a_{2}=101, (2)表示，当n为E时，a_{n}是11的倍数，a_{n}是11的倍数时，n是F。'

''

'展开下列表达式。'

'请在复数范围内因式分解以下二次方程：\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'设数列{a_{n}}，定义b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n}'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'求展开式中的 [ ] 中项的系数。6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'证明当a+b+c=0时，a^{2}-b c=b^{2}-c a成立。'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'使用积和公式'

'在数学I中，我们学习了二次式。在数学II中，我们将学习处理三次式等高次数的表达式。因此，让我们首先学习三次式的展开和因式分解。'

'求展开式中的 x^4 项的系数。'

''

'将三次多项式展开并因式分解'

'设2次方程2x²-3x+5=0的两个解为α、β，则以α²、β²为解的二次方程是？'

'使用解的公式进行512元的二次方程的因式分解。'

'确定常数a，b的值，使得下面的等式对于x成立：'

'使用二项式定理，找出以下表达式的展开式。'

'请因式分解以下方程：\\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\)。'

'[x^3]的系数是多少？'

'如何从递推式中求得通项公式。\\n解下列递推式，求得数列通项公式：\\n\\n1. 等差数列类型\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ 为常数 \\]）\\n\\n2. 等比数列类型\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ 为常数 \\]）\\n\\n3. 差分数列类型\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) 为差分数列通项公式 \\]）\\n\\n此外，\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ 和 \ q \ 为常数， \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）\\n的递推式形式，并解出数列的通项公式。'

'基础 59：高次多项式的因式分解'

''

'求15^4(1+x+x^2)^{8}展开式中x^{11}的系数。'

'请因式分解以下方程式。'

'请计算在以下情况下，A除以B的商和余数。'

'分解下列方程式。'

'数列 {a_{n}}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots 的差分序列为 {b_{n}}。 当数列 {b_{n}} 的差分序列为等比数列时：(1)求数列 {b_{n}} 的一般项。(2)求数列 {a_{n}} 的一般项。'

'求解展開式'

'展开和因式分解的表达式'

'当 a=2 时，(x-2y+1)(x+y+1)，当 a=-5/2 时，(x-2y-2)(x+y-1/2)'

'训练13 求下列等比数列的和。 (1) 第一项为4，公比为1/2，项数为7 (2) 数列3，-3，3，-3，...，项数为n (3) 数列18，-6，2，...，项数为n'

'求调和数列{an}的通项，其中第2项为1，第5项为1/13。'

'解4次方程式x^4+8x^3+20x^2+16x-12=0。'

'除了搅拌之外，给出溶解固体以增快溶解速度的两种方法。假设水和固体的量保持不变。'

'图1显示了一个教室的座位表。共有9个座位，学生全都面向黑板坐着。为了避免前后左右的座位连在一起，座位是确定的。例如，当为座位编号，如果有学生坐在①号座位，其他学生就不能坐在2号和4号座位。请回答以下问题。(1) A、B、C、D、E五位学生坐下时，有多少种确定座位的方式？(2)A、B、C、D四位学生坐下时，有多少种确定座位的方式？(3)A、B、C三位学生坐下时，有多少种确定座位的方式？'

'求1+x+x^2+⋯+x^n的和。'

'將給定的文本翻譯成多種語言。'

'从想成为的自己开始逆向思维。'

'针对数列{an}，请回答以下问题：（1）求数列{an^2 + bn^2}的通项公式。并求lim_{n->∞} (an^2 + bn^2)。 （2）证明lim_{n->∞} an = lim_{n->∞} bn = 0。并求∑_{n=1}^{∞} an，∑_{n=1}^{∞} bn。'

'近似值与近似表达式'

''

'从单词mathematics中随机选取4个字母，形成排列的数量。'

'请因式分解以下表达式。'

'在列出PR NAGOYAJO的8个字符的所有排列中，同时包含AA和OO的排列有多少个，不相邻字符的排列有多少个。'

'请因式分解以下方程:'

'请计算以下表达式。'

'将4个A，5个B和2个C分成组合的方法是C_9^5×C_4^2。'

'2 x^{2}-6 x+4'

'将3名学生放入A的方法有 C_9^3 种'

'请将3x ^ {2} -5x +1补全为完全平方。'

'19（1）\\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2)\\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'整理给定多项式的同类项。'

'展开下列表达式。'

'展开以下表达式。'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'将以下表达式进行因式分解：$2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'展开以下表达式。'

'请因式分解以下表达式。'

'(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24的因式分解是什么?'

'因式分解以下表达式。'

'因此，所需排列的数量为\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (种) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'请因式分解以下表达式。\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'整理多项式'

'计算以下表达式。'

'回答以下实数的子集问题。'

'请因式分解以下表达式：$2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'将以下表达式进行因式分解。(1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'请根据 x 进行降幂排序。'

'展开以下表达式。'

'请因式分解以下方程：\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'(4)\\((3 a-b)(9 a^{2}+3 a b+b^{2})\\)的展开是：'

'将给定的表达式进行因式分解。'

'展开表达式(2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z)后，求解xyz的系数。'

'给定字符串的排列总数是多少？'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'请将{1}/{3}x^{2}+2x+1完成平方。'

'展开公式'

'展开表达式(a+b+c+d)(p+q+r)(x+y)，会得到多少项？'

'请计算以下表达式。'

'多项式的乘积展开，可以通过反复利用分配律来展开复杂的表达式。但是，如果继续进行计算而没有考虑因式分解的步骤，很容易陷入困境。在这里，我们按照优先级高低的顺序总结了找到因式分解步骤的方法。在考虑因式分解时，请注意这些要点。'

'设A=5x³ -2x² +3x +4，B=3x³ -5x² +3，计算以下结果：(1) A+B (2) A-B'

'请将-2 x^{2}+10 x-7完成平方。'

'请分解以下表达式。'

'请分解以下方程：$x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)\\)'

'请简化以下数学表达式。'

'3个集合的交集，并集\n交集A∩B∩C是属于A、B、C的元素集合的所有元素。\n并集A∪B∪C是属于至少一个A、B、C的元素集合的所有元素。\n关于3个集合的性质\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(数量定理的扩展)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(德摩根律的扩展)'

''

'展开表达式(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)并求出xyz的系数。'

'(例) 对于方程 x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13（x > 0，y > 0）'

'请分解以下表达式：\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

''

'展开以下表达式。'

'请简化这个表达式。'

'(5) 展开以下表达式。(x+y+z)(x-y-z)'

'展开以下表达式。'

'方幂定理'

'对称表达式'

'展开以下表达式。'

'6（1）\\n\\[\\n\\\egin{aligned}\\n x^{2}-14 x+49 & =x^{2}-2 \\\\cdot x \\\\cdot 7+7^{2} \\\\\n & =(x-7)^{2} \\end{aligned} \\n\\]\\n（2）\\（a^{2}+12 a b+36 b^{2}=a^{2}+2 \\\\\\\\cdot a \\\\\\\\cdot 6 b+(6 b)^{2}\\）\\n\\[\\n=(a+6 b)^{2}\\n\\]\\n（3）\\（25 a^{2}-81=(5 a)^{2}-9^{2}\\）\\n\\[\\n=(5 a+9)(5 a-9)\\n\\]\\n(4)\\n\\[\\n\\\egin{aligned}\\n9 x^{2}-64 y^{2} & =(3 x)^{2}-(8 y)^{2} \\\\\\\\n & =(3 \oldsymbol{x}+8 \oldsymbol{y})(3 \oldsymbol{x}-8 \oldsymbol{y})\\n\\end{aligned}\\n\\]\\n（5）\\n\\[\\n\\text{5) } \egin{aligned}\\n& 25 x^{2}+40 x y+16 y^{2} \\\\\\\\n= & (5 x)^{2}+2 \\\\\\\\cdot 5 x \\\\\\\\cdot 4 y+(4 y)^{2} \\\\\\\\n= & (5 x+4 y)^{2}\\n\\end{aligned}\\n\\]\\n（6）\\n\\[\\n\\text{（6） } \egin{aligned}\\n& 9 a^{2}-42 a b+49 b^{2} \\\\\\\\n= & (3 a)^{2}-2 \\\\\\\\cdot 3 a \\\\\\\\cdot 7 b+(7 b)^{2} \\\\\\\\n= & (3 a-7 b)^{2}\\n\\end{aligned}\\n\\]\\n（7）\\n\\[\\n\\\egin{aligned}\\n x^{2}+5 x+6 & =x^{2}+(2+3) x+2 \\\\\\\\n x^{2}-7 x+12 & =x^{2}+(-3-4) x+(-3) \\\\\\\\n & =(x-3)(x-4)\\n\\end{aligned}\\n\\]\\n（8）\\n\\[\\n\\\egin{aligned}\\n x^{2}-7 x+12 & =x^{2}+(-3-4) x+(-3) \\\\\\\\n & =(x-3)(x-4)\\n\\end{aligned}\\n\\]'

'将给定方程转化为形式 y=a(x-p)^{2}+q（完成平方）。'

'请因式分解以下表达式。'

'请将以下方程分解因式。'

'12（1） \\((x-y)(2x+y-1)\\) （2） \\((x+y-3)(3x+y+2)\\） （3） \\((x+2y-1)(3x-y+2)\\） （4） \\((x+y-z)(x-2y+z)\\)'

'一个被4条直线围成的长方形，是由2条垂直线和2条水平线组合而成的，所以所求个数为${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{（个）}'

'使用0、1、2、3、4、5这6种数字，能够组成多少个不超过4位的正整数？允许重复使用同一个数字。'

'A市和B市之间有5条独立的公交线路。在以下情况下，有多少种方法可以往返A市和B市。'

'假设有4颗白色珠子，3颗黑色珠子，1颗红色珠子。将它们排成一行有\ \\square \种方法，排成一个圆有\ \\square \种方法。此外，通过这些珠子穿线，制作成环的方法有\ \\square \种。'

'请分解以下方程。'

'请因式分解以下表达式。'

'练习答案 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'(4)尽量因式分解$-3x^{3} + (9y + z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$。'

'请计算以下表达式。'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'請因數分解以下方程式。'

'请因式分解以下表达式。'

'数，字母和它们的乘积表达式称为什么？'

'二次展开公式'

''

'展开下列表达式。'

'展开以下表达式。'

''

'整理以下方程式，按照x（1），x（2），a（3）的次幂顺序。'

'整理以下表达式，按照x的降幂顺序。'

'请将以下二次方程完成平方。'

'请因式分解以下表达式。'

'给定多项式P=3x^{3}-3xy^{2}+x^{2}-y^{2}+ax+by。'

'展开公式是 (a^2) - (b^2)'

'请计算以下表达式。'

'使用因式分解公式展开以下表达式。'

'(a-b)^{2}的展开公式是a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'请分解以下表达式。'

'在第2节“多项式的乘法”中，我们学习了如何展开多项式的乘积形式，并将其表示为一个多项式的方法。现在，我们将学习相反的过程，即将一个多项式表示为单项式或多项式的乘积形式。'

'展开以下表达式。'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'展开以下表达式：x（x-1）（x+1）（x^2+1）（x^4+1）'

'将函数y=f(x)的图像相对于原点对称移动时所代表的函数是y=-f(-x)。如果a和b是实数，并且函数f(x)=x^{2}+ax+b在0 <= x <= 1处的最小值为m，则用a和b来表示m。'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'将给定方程y=-x^{2}+2 x进行转换'

'请分解以下表达式。'

'展开以下表达式：\n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'请使用乘法计算以下多项式：(x + 2)(x - 3)'

'请因式分解以下多项式。'

'请因式分解以下表达式。'

'确定单项式的次数和系数。还可以确定方括号内的字母对应的次数和系数。'

'请完成以下二次方程的平方'

'请因式分解以下表达式。'

'计算以下表达式：(4) (√3 + √5)²'

'从7名成员中选择部长、副部长和财务的方法有多少种？请注意，不允许兼任。'

'请因数分解以下表达式。'

'展开以下表达式。'

'与以往不同，考虑允许重复使用相同物品的排列。例如，如果从两种字符A和B中允许重复地取3个字符排成一行，则树状图如右所示，总共有2^{3} (种方式)。'

'求下列方程的值。'

''

'请因式分解以下表达式。'

''

'(1) 展开以下表达式。(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'请因式分解以下表达式。'

''

'分解下列方程式。(1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(ア) -x^{2}+8 x\n(1) -x^{2}+16\n(ウ) 2\n(I) 24'

'请因式分解以下表达式。(1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'将给定表达式进行转换，并求出最大值和最小值： (1) 3x^2 + 4y^2 进行转换并代入。 (2) 根据x和y的范围求最大值和最小值。 (3) 当x为实数时，y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 进行转换，并令t = x^2 + 2x。求最大值和最小值。'

'在展开的表达式中，x^5的系数为甲，x^3的系数为乙。'

'将 10 名学生分成一些小组。这时有多少种将其分为(1) 2 人，3 人，5 人的 3 个小组的方法。(2) 3 人，3 人，4 人的 3 个小组的方法。(3) 2 人，2 人，3 人，3 人的 4 个小组的方法。'

''

'将抛物线y=x^{2}+a x+b关于原点对称移动后的抛物线方程是，将x，y分别替换为-x，-y得到-y=(- x)^{2}+a(-x)+b即y=-x^{2}+a x-b。将抛物线y=-x^{2}+a x-b沿x轴方向移动3个单位，y轴方向移动6个单位，新抛物线方程是y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b即y=-x^{2}+(a+6) x-3a-b-3，这等于y=-x^{2}+4 x-7，因此a+6=4，-3a-b-3=-7，解得a=-2，b=10。'

'展开以下表达式。'

'包含相同物品的排列'

'请因式分解表达式(3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3。'

'请分解以下表达式。'

'(9) 将下列表达式因式分解：$(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'请将以下表达式进行因式分解。'

'展开(a+b+c)(x+y)(p+q)后，会得到多少项？'

'将抛物线y=ax^{2}+bx+c沿x轴方向平行移动2个单位，y轴方向平行移动-1个单位，得到抛物线33y=-2x^{2}+3。求解系数a、b、c的值。'

'(a+b)^{2}的展开公式是：a^{2} + 2ab + b^{2}'

'展开以下表达式。'

'请因式分解以下表达式：(1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'从4名学生中选出1名主席和1名副主席时，有多少种选择方式？要求主席和副主席不能兼任。'

'展开以下表达式：(x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'

'(1) 展开表达式 (x-2 y+1)(x-2 y-2)'

'如果有3名候选人，并且有10人进行匿名投票，那么有多少种投票方式？'

''

'1. （1）次数3，系数为2；$a$：次数1，系数为$2x^{2}$\n2. 次数17，系数为$-\x0crac{1}{3}$；$y$：次数7，系数为$-\x0crac{1}{3}ab^{7}x^{2}$；$a$和$b$：次数8，系数为$-\x0crac{1}{3}x^{2}y^{7}$'

'(3) x^{3}+2 x^{2}-9 x-18\nx^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x^{3}+2 x^{2})-(9 x+18)=x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)…'

'展开以下表达式。'

'请计算一种，三种和四种香料的图案数量，并找出每种情况的可能性。'

'将 12 个人分成几种方式?'

'计算以下方程：(6)(4 + 2√3)(4 - 2√3)'

'请展开以下表达式。'

'(9) \\ ((x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2)'

'请因式分解以下表达式。'

'请因式分解以下方程：'

'请因式分解以下表达式。'

'解释以下表达式的计算：(a+b)^2 + (a-b)^2'

'计算以下表达式：(5) (3√2 - √3)²'

'(4)(a-b)^{2}+c(b-a) 的因式分解是什么？'

'把抛物线 y=x^{2}+a x+b 关于原点对称移动，再沿 x 轴方向移动 3，y 轴方向移动 6，得到抛物线 y=-x^{2}+4 x-7。求解 a 和 b 的值。'

'请将以下二次方程式配方完毕。'

'将 12 人分成以下几种方式, 有多少种分法?'

'数学 I'

'请因数分解以下表达式。'

'请因式分解以下表达式。'

'请完成以下二次方程的平方'

'请将以下表达式因式分解。'

'展开（a+b+c)(x+y)(p+q)后，会得到多少项？'

'展开下列表达式。'

'展开以下表达式。'

'整理多項式並進行加法和減法。'

'请分解以下方程式。'

'展开（ax+b）（cx+d）的公式。'

'求抛物线 y=x^{2}-4 a x+4 a^{2}-4 a-3 b+9 的顶点坐标。另外，请找到使得该抛物线与 x 轴没有共享点的自然数 a, b。'

'基本示例 9, 10\n展开以下表达式：\n(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)'

'展开以下表达式。'

'单项式的乘积是使用指数法则计算的。例如 2 a b \\times 3 a^{2} b'

'组队问题有区别和无区别'

'(1) $y=(x-1)^{2}-2[y=x^{2}-2 x-1]$\\n(2) $y=-(x-1)^{2}+2[y=-x^{2}+2 x+1]$'

'展开下列表达式：(a+b+c)^2(a+b-c)^2'

'展开以下表达式。'

'请因式分解以下表达式。'

''

'(5) x^{3}+x^{2}+3 x y-27 y^{3}+9 y^{2}\nx^{3}-27 y^{3}+{x²+3 x y+9 y²}=(x-3 y)[x²+x⋅3 y+(3 y)²]+x²+…'

'(1) \ x^{2}+x+\\frac{1}{4} \'

'请将以下表达式进行因式分解。'

'已知 3^{3} x^{2} 的系数为 -1，图形经过点 (1,1)，顶点位于直线 y=x 上的二次函数是什么？'

'展开以下表达式。'

'[2*(x)^6]'

'(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)'

''

'将给定的表达式A除以x+2，商为B，余数为-5。再将商B除以x+2，商为38x^2-4，余数为2。求当整式A除以(x+2)^2时的余数。根据神奈川大学的条件：A=(x+2)B-5，B=(x+2)(x^2-4)+2。将(2)代入(1)得：A=(x+2){(x+2)(x^2-4)+2}-5=(x+2)^2(x^2-4)+2(x+2)-5=(x+2)^2(x^2-4)+2x-1。因此，将A除以二次式(x+2)^2得到的余数为一次式或常数，所以求得余数为2x-1。'

'求数列 {a_n} 的通项公式，使得从第一个到第 n 个数的和 S_n 满足以下关系：'

''

'这个等差数列{an}的第一个到第n个和为Sn。(1)的结果，对于a1到a16是正数，a17之后是负数，所以Sn在n=16时达到最大值。'

'展开下列表达式。'

'求和：\\(\\sum_{l=5}^{9}(2+l^{2})\\)'

'请分解以下方程：(1) $a^{3} b^{3}-b^{3} c^{3}$；(2) $(x+y)^{3}-(y+z)^{3}$；(3) $8 a^{3}-36 a^{2}+54 a-27$'

'证明下列等式。'

'请在复数范围内对以下二次方程进行因式分解。(1) x^2 - 20x + 91 (2) x^2 - 4x - 3 (3) 3x^2 - 2x + 3'

'(2) \ x^{4}-16 x^{2}+16 \'

'\\(\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right)=(a x+b y+c z)^{2} \\)+(a y-b x)^{2}+(b z-c y)^{2}+(c x-a z)^{2} \\)'

'已知多项式f(x)除以(x-1)^2的商和余数分别为g(x)和3x-1，并且当f(x)除以352(x-2)时余数为6。求g(x)除以x-2的余数是多少，以及f(x)除以(x-1)(x-2)的商为多少x-ウ几？'

'将整式A除以x+2，商为B，余数为-5。再将商B除以x+2，商为x^2-4，余数为2。求将整式A除以(x+2)^2后的余数。'

'使用展开公式(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}，将x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}进行因式分解。'

'用通項展開( x + 1 )^6，可以得到'

'求下列和。'

'求解数列的通项公式问题(1):\\egin{\overlineray}{l}a_{1}=1 \\\\a_{2}=3 a_{1}-1=3 \\cdot 1-1=2 \\\\a_{3}=3 a_{2}-1=3 \\cdot 2-1=5 \\\\a_{4}=3 a_{3}-1=3 \\cdot 5-1=14 \\\\a_{5}=3 a_{4}-1=3 \\cdot 14-1=41 \\end{\overlineray}\'

'二项式定理是一个关于代数运算的公式，用于展开形如 (a+b)^n 的多项式。展开式是指将多项式乘开并相加以得到结果的方式。'

'求解下列展开式中方括号内的值。'

'请因式分解以下表达式。'

'请分解以下表达式。'

'一次式 x-k 是多项式 P(x) 的因子的条件是什么？'

'(1)由于P(-2)=-3，所以P(x)=(x-1)(x+2)Q_{3}(x)+a(x+2)-3。(2)由于P(1)=4，所以3a-3=4，因此a=\\frac{7}{3}。因此，要求的余数是\\frac{7}{3}(x+2)-3=\\frac{7}{3}x+\\frac{5}{3}。'

'(a) 在有理数范围内，将以下方程进行因式分解：\n1）$x^{4}+2 x^{2}-15$\n2）$8 x^{3}-27$\n(b) 在实数范围内，将以下方程进行因式分解：\n1）$x^{4}+2 x^{2}-15$\n2）$8 x^{3}-27$\n(c) 在复数范围内，将以下方程进行因式分解：\n1）$x^{4}+2 x^{2}-15$\n2）$8 x^{3}-27$'

'(3) \\( P(x)=\\{x(x+3)\\}\\{(x+1)(x+2)\\}-24 \\)'

'请在（甲）有理数，（乙）实数，（丙）复数范围内因式分解以下表达式：\n（1）x^{4}+2 x^{2}-15\n（2）8 x^{3}-27'

'[计算指定展开表达式中的项的系数]'

'將x^{3}-x^{2}-5x-3代入x=-1得到(-1)^{3}-(-1)^{2}-5\\cdot(-1)-3=0 \\n因此，x^{3}-x^{2}-5x-3有因數x+1或x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3) =(x+1)^{2}(x-3)'

'求解PR\\left(x^{2}-3 x+1\\right)^{10}展开式中的x^{3}的系数。'

'求解以下数列的通项公式。-3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ...'

'请计算展开表达式中的指定项'

'(x+y)^{3}展开为x^3+3x^2y+3xy^2+y^3。'

'假设PR中a为常数。对于抛物线$y=x^{2}+a x+3-a$，当a变化为所有实数值时，求顶点的轨迹。抛物线的方程可以变形为$y=\\left(x+\\frac{a}{2}\\right)^{2}-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$，设抛物线的顶点为P(x, y)，则$x=-\\frac{a}{2}$(1)，$y=-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$(1)由(1)可知$a=-2 x$，将此代入(2)得$y=-\\frac{1}{4}(-2 x)^{2}-(-2 x)+3=-x^{2}+2 x+3$，因此所求轨迹为抛物线$y=-x^{2}+2 x+3$，对应顶点坐标为$\\left(-\\frac{a}{2},-\\frac{a^{2}}{4}-a+3\\right)$。'

'利用共轭复数也是解的性质，解方程 f(x)=0 时，如果有虚数解 p+q i，那么 p-q i 也是解。'

'证明至少有一个为0'

'请在复数范围内因式分解以下二次方程：\n(1) $15 x^{2}+14 x-8$\n(2) $x^{2}-2 x-2$\n(3) $x^{2}+2 x+3$'

'在展开表达式中求得项的系数'

'\\( x^{4}-16 =\\left(x^{2}-4\\right)\\left(x^{2}+4\\right) =(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right) \\)\\n因此，方程式是\\n\\[(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right)=0\\]\\n因此\ x+2=0 \ 或者 \ x-2=0 \ 或者 \ x^{2}+4=0 \ 所以\ x= \\pm 2, \\pm 2 i \'

'求解以下表达式的展开式中的 [a^2 b^3 c^2 项的系数]'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'(1) 求 (2x^3 - 3x)^5 中的 [x^9] 项的系数'

'当常数为k时，二次方程$x^{2}+3xy+2y^{2}-3x-5y+k$可以被解因数分解为$x,y$的一次方程的乘积时，求k的值。并求解因数分解的结果。'

'将给定的数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 定义为首项为1、公差为3的等差数列。将从数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的首项到第 \ n \ 项的 n 个项的两两乘积之和记为 \ S_{n} \。例如，\ S_{3}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3} \。求出 \ S_{10} \。'

'求解下列展开式中的指定项系数。'

'(3)求解方程 (x + 1)(x + 3) = x(9 - 2x)。'

'有5张卡片，上面分别写着从1到5的数字。从中同时取出2张卡片时，找出所取卡片上的数字的期望值(E(5 X^{2}+3))和方差(V(3 X + 1))。'

'利用二项定理展开 (a + b)^n。'

'(1) 设a，b为常数，假设关于x的多项式x^{3}+ax+b被(x+1)^{2}整除。求a，b的值。(2) 设n为大于2的自然数。当关于x的多项式x^{n}+ax+b被(x-1)^{2}整除时，求常数a，b的值。'

'请因式分解以下多项式：x^3 - 6x^2 + 11x - 6。'

''

'(1) (Equation) \\( = \\frac{x^{2}-1}{x+1} = \\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} \\)\ = x-1 \ (2) And Equation \=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\\frac{2 x}{x^{2}-1}+\\frac{1}{x^{2}-1} \\\(=\\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\\frac{x-1}{x+1} \\)'

'求(1)展开式中的x³的系数[爱知工大]'

'一次式 ax+b 是多项式 P(x) 的因式的条件是什么？'

'为了确保第一表达式能够被第二表达式整除，请确定常数 a, b, c, d, e 的值。'

'在公式 $S_n = \\frac{a\\left(r^n-1\\right)}{r-1}$ 中，取 $a=-1, r=2, n=10$，求得的和为\n\\[ \\frac{-1 \\cdot\\left(2^{10}-1\\right)}{2-1} = -(1024-1) = -1023 \\]\n在公式 $S_n = na$ 中，取 $n=10, a=3$，求得的和为\n\ 10 \\cdot 3 = 30 \'

'展开以下表达式。'

'给定等式如下：'

'求解函数 f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, 使得 \\[\\int_{-3}^{3} f(x) d x=s \\cdot f(p)+t \\cdot f(q)\\] 成立, 其中 s, t, p, q 的值。且要求 p ≤ q。'

'展开以下三次方程并因式分解：(a+b)^{3}，(a-b)^{3}，(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})，(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})'

'请分解以下表达式：\n2. (1) (甲) 乘积：(3 x-y)(9 x^{2}+3 x y+y^{2})\n(乙) 乘积：9(a+2 b)(a^{2}-2 a b+4 b^{2})\n(丙) 乘积：(2 x-y z)(4 x^{2}+2 x y z+y^{2} z^{2})\n(2) (x+4)^{3}'

'证明以下等式成立。'

'(1) \\((x-7)(x-13)\\)\n(2) \\((x-2-\\sqrt{7})(x-2+\\sqrt{7})\\)\n(3) \\(3\\left(x-\\frac{1+2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\left(x-\\frac{1-2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\)'

'假设 a 是负常数。求函数 f(x)=2x³-3(a+1)x²+6a x 在区间 -2 ≤ x ≤ 2 的最大值和最小值。'

'填写方框，使方程式成立：(x-1)^{3}-7(x-1)^{2}+17(x-1)-9 = 314'

'使用以下步骤找到a_n：(1) a_{n}=2+\\frac{3}{n+2} (2) a_{n}=\\frac{3 \\cdot 5^{n}+1}{5^{n}-1}'

'计算下列表达式：(1) \\( \\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)} \\) (2) \ \\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2} \'

'当 k 是常数时，二次方程 x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k 能够因式分解为 x, y 的一次方程的乘积。求 k 的值。并且求得因式分解的结果。'

'(1) \ a_{n}=5^{n+1}-20 \\cdot 3^{n-1} \'

'请确定常数 a、b、c 的值，使得下面的等式对于 x 和 y 成立：(1) x^2 + a x y + b y^2 = (c x + y)(x - 4y)'

'(2)(2x-\\frac{1}{2}y+z)^4[x y^2 z]的系数'

''

'(1) \\( (x+y)^{3}=x^{3}+3 \oldsymbol{x}^{2} \oldsymbol{y}+3 \oldsymbol{x} \oldsymbol{y}^{2}+\oldsymbol{y}^{3} \\)(2) \\( (a-1)\\left(a^{2}+a+1\\right)=a^{3}-1^{3}=a^{3}-1 \\)'

'求等差数列的和：\\( \\sum_{k=5}^{14}(2k-9) \\)'

'请因式分解以下表达式。'

''

'对于图形 B_{n+1}，请注意最右边的一列。如图1所示，在突出的部分放置瓷砖垂直，剩下的部分将与图形 A_{n+1} 相匹配。这种铺瓷砖的方式有a_{n+1}种。另一方面，如图2所示，在突出的部分放置横向瓷砖会有3种配置方式，并且剩下的部分与图形 B_{n} 相匹配。这种铺瓷砖的方式有b_{n}种。由此可得 b_{n+1} = a_{n+1} + b_{n}，其中b_{2} = a_{2} + b_{1} = 11 + 4 = 15'

'求解以下表达式的系数：\n1. (1) x^{3}-x^{2}+\x0crac{1}{3} x-\x0crac{1}{27}\n(2) -8 s^{3}+12 s^{2} t-6 s t^{2}+t^{3}\n(3) 27 x^{3}+8 y^{3}\n(4) -a^{3}+27 b^{3}\n(5) 64 x^{6}-48 x^{4} y^{2}+12 x^{2} y^{4}-y^{6}'

'请因数分解以下表达式。'

'将右边改写为'

'设 g(x) = (x^3 - 2x^2 - 45x - 40) / (x - 8)，求 g(2020) 的小数部分。其中，实数 a 的小数部分是指，将 a 取整后得到的最大整数为 n，其差值为 a - n。'

'求下列等差数列的通项公式。\n（a）1,-\\frac{1}{2},-2,-\\frac{7}{2} ,\n（b）p+1,4,-p+7,-2 p+10 ,\n（2）在公差数列中，第9项为26，第18项为53，134是该数列的第几项？另外，第几项首次超过1000。'

'求等差数列的通项公式。设首项为a，公差为d。'

'请因式分解以下表达式。(1) $2(x-1)^{2}-11(x-1)+15$ (2) $x^{2}-y^{2}+4y-4$ (3) $x^{4}-10x^{2}+9$ (4) $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)-8$'

'展开以下方程式。'

'展开下列表达式。'

'(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24的因式分解为 (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)'

'展开(x+y+1)(x^{2}-xy+y^{2}-x-y+1)。'

'(2) \\[\egin{aligned}(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) & =(x-1)(x+1) \\times(x-2)(x+2) =(x^{2}-1) \\times(x^{2}-4) =(x^{2})^{2}-5 x^{2}+4 =x^{4}-5 x^{2}+4 \\]'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'\\[ (4) \\left(-2 a x^{3} y\\right)^{2}\\left(-3 a b^{2} x y^{3}\\right) =(-2)^{2} a^{2}\\left(x^{3}\\right)^{2} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 a^{2} x^{6} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 \\cdot(-3) a^{2+1} b^{2} x^{6+1} y^{2+3} =-12 a^{3} b^{2} x^{7} y^{5} \\]'

'展开以下表达式。'

'综合实数x、y满足|2x+y|+|2x-y|=4时，2x^2+xy-y^2的可取值范围是11≤2x^2+xy-y^2≤9。'

'将给定的问题翻译成多种语言。'

'请因式分解以下表达式。'

'请将以下方程进行因式分解。'

'令 a 为实数，b 为正常数。求函数 f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|) 的最小值 m。另外，当 a 变化时，将 a 值作为横轴，m 的值作为纵轴绘制 m 的图形。'

''

'分解下列方程式。'

'（1）对左边进行因数分解得到'

'(1) 利用 a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b)，对 a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c 进行因式分解。'

'(3a-2b)^{2}'

'请因式分解以下方程：\n(1) 3 x^{2}+10 x+3\n(2) 2 x^{2}-9 x+4\n(3) 6 x^{2}+x-1\n(4) 8 x^{2}-2 x y-3 y^{2}\n(5) 6 a^{2}-a b-12 b^{2}\n(6) 10 p^{2}-19 p q+6 q^{2}'

'(4) (2√6+√3)(√6-4√3)的值是多少？'

'展开以下表达式。'

'请因式分解以下表达式。'

'将给定的方程进行因式分解。(1) x^{2}-2 x y+y^{2}-x+y'

'将给定表达式进行因式分解。'

'利用十字相乘法因式分解公式 $a c x^{2}+(a d+b c) x+b d=(a x+b)(c x+d)$，可以找到系数$a, b, c, d$，这是非常有用的。'

'将下列表达式进行因式分解。'

'从右侧挂带开始'

'(3) \\ [(x-3 y+2 z)(x+3 y-2 z) = \\{x-(3 y-2 z)\\}\\{x+(3 y-2 z)\\} = x^{2}-(3 y-2 z)^{2} =x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}+12 y z]'

'观察方程中的 [ ] 部分，确定其次数和常数项。'

'将以下表达式进行因式分解。(1) x^{6}-1'

'从右侧斜纹开始，6 a^{2}-a b-12 b^{2} =(2 a-3 b)(3 a+4 b)'

'(5) (1-√7+√3)(1+√7+√3) 的值是多少？'

'展开以下表达式：(1) (a+2)^{2} (2) (3 x-4 y)^{2} (3) (2 a+b)(2 a-b) (4) (x+3)(x-5) (5) (2 x+3)(3 x+4) (6) (4 x+y)(7 y-3 x)'

'(2a-5b)^{3}的展开式是：8a^{3}-60a^{2}b+150ab^{2}-125b^{3}'

'请将以下表达式因式分解。'

'展开以下表达式。'

'从右侧横挂的'

'(3)找到与3x^2-2x+1的和为x^2-x的表达式。\n(2)将某些多项式与a^3+2a^2b-5ab^2+5b^3相加时误减了，导致答案变为-a^3-4a^2b+10ab^2-9b^3。请找出正确答案。'

''

'展开以下表达式。'

'展开以下表达式。'

'展开以下方程：(x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)'

'多项式的加法减法乘法运算规则 A、B、C 为多项式。交换律 A+B=B+A，AB=BA 结合律 (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) 分配律 A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC 指数律 m、n 为正整数。1. a^m a^n = a^(m+n) 2. (a^m)^n = a^(mn) (参考) a^0 = 1 3. (ab)^n = a^n b^n 展开公式、因数分解: 1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 3. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 4. (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd (参考) 5. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 6. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3'

'请分解下列表达式。'

'计算(x+b)(x+c)(b-c)+(x+c)(x+a)(c-a)+(x+a)(x+b)(a-b)。'

'练习：因式分解以下表达式。'

'\\[ (3) \\left(-2 a^{2} b\\right)^{3}\\left(3 a^{3} b^{2}\\right)^{2} =(-2)^{3}\\left(a^{2}\\right)^{3} b^{3} \\times 3^{2}\\left(a^{3}\\right)^{2}\\left(b^{2}\\right)^{2} =-8 a^{2 \\times 3} b^{3} \\times 9 a^{3 \\times 2} b^{2 \\times 2} =-8 a^{6} b^{3} \\times 9 a^{6} b^{4} =(-8) \\cdot 9 a^{6+6} b^{3+4} =-72 a^{12} b^{7} \\]'

''

'对下列表达式进行因式分解：(x+y+1)^{4}-(x+y)^{4}'

'展开以下表达式。'

'(3 x-4 y)(5 y+4 x)'

'当a = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}时，请计算以下表达式的值。\n(1) a^{2}-a-1\n(2) a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1'

'(2)(2p-q)(4p^{2}+2pq+q^{2})'

'请分解以下方程:'