基本代数 - 代数运算（算术，指数，根）

'请展示和与积的公式。'

'请计算以下复数的乘法：\n（a + bi） * （c + di）\n其中a、b、c、d是实数。'

'求出由以下条件确定的数列 {a_{n}}, {b_{n}} 的通项公式。'

'请回答以下问题。'

'根据以下规则计算序列a_n的表示形式：初始条件为a_1=5，若为偶数，则为a_n/2，若为奇数，则为a_n+1。'

'请计算以下表达式：(6) [\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'请描述恒等式的性质。'

'利用解和系数的关系来求解以下值。'

'请找出由以下条件确定的数列 {a_{n}}, {b_{n}} 的通项公式。'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'请计算以下表达式：(4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'練習 將多項式P(x)除以(x+1)^2的餘數為18x+9，除以x-2的餘數為30時的餘數為9，求P(x)除以(x+1)^2(x-2)的餘數。'

'求由以下條件確定的數列 {a_{n}}, {b_{n}} 的通項。'

'简化以下表达式。'

'展示基本分式操作。'

'综合练习'

'请计算以下内容。'

''

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'请使用复数的四则运算进行以下计算：(3 + 4i) + (1 - 2i)。'

'練習 (1) 中，n是一个自然数。求 x^n-3^n 除以 (x-3)^2 的余数。另外，求31x^n-3^n 除以 x^2-5x+6 的余数。在 (2) 中，求3x^100+2x^97+1 除以 x^2+1 的余数。'

''

'(1) \ \\frac{8 x^{3} z}{9 b c^{3}} \\times \\frac{27 a b c}{4 x y z^{2}}=\\frac{6 a x^{2}}{c^{2} \oldsymbol{y z}} \\n(2) \\( \\frac{4 a^{2}-b^{2}}{a^{2}-4 b^{2}} \\div \\frac{2 a+b}{a-2 b}=\\frac{(2 a+b)(2 a-b)}{(a+2 b)(a-2 b)} \\times \\frac{a-2 b}{2 a+b} \\)\n\=\\frac{2 a-b}{a+2 b}\\n(3) \\( \\frac{x^{2}}{x+1}-\\frac{1}{x+1}=\\frac{x^{2}-1}{x+1}=\\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1 \\)'

''

'求满足下列条件的数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ 的通项公式。\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'展示多项式除法的商和余数。'

'数列{p a_{n}+q b_{n}}是等差数列，首项是p a_{1}+q b_{1}=p a+q b，公差是p d+q e'

'找出符合以下条件的数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ 的通项公式。'

'根据以下条件确定的数列 {a_n}，求第 5 项。'

'求等差数列首项为100，公差为-8的数列的前30项和。'

'求出数列 $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$ 的通项公式。'

'求第15項到第30項的和S，其中第10項為1，第16項為5，為公差為1的等差數列。'

'通过在x = i处代入多项式，找到给定等式的余数。'

'使用长除法，求下列方程式被[ ]内的一次方程式整除时的商和余数。'

'计算以下方程：'

'求商 Q(x) 和余数 ax + b，其中 x^{2020} + x^{2021} 除以 x^2 + x + 1'

'练习29：解决以下问题。给定多项式 $P(x)$，当用 $(x-1)(2x+1)$ 除以 $P(x)$ 时商为 $Q(x)$，余数为 $ax+b$。下面的等式成立：$P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b$。'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'在a>b的等式两侧加上c得到a+c>b+c，在c>d的等式两侧加上b得到b+c>b+d，因此a+c>b+d'

'请计算以下两个复数的加法：\n（a + bi） + （c + di）\n其中a，b，c，d均为实数。'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'请计算以下复数的减法。\n（a + bi） - （c + di）\n这里a、b、c、d是实数。'

'求多項式在 [ ] 中的一次式下的余数。'

'使用不等号表示以下组中数字的大小关系。\ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'练习 104 册 p.208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ 两边平方得 \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ 所以 \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ 于是 \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ 因此得到 \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'求22的合： 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'根据条件找到序列{an}的通项公式。'

'用不等式表示以下每组数的大小关系。'

'平方的大小关系'

'计算以下表达式。'

'63的立方根的特性'

'计算下列表达式。'

'对于两个数列{an}，{bn}和常数p'

'求一般项中的一项'

'在例题108中，A解决问题时设x+y=k。对于所有包含在区域D中的(x, y)组合，计算x+y的值，找到x+y的最大值和最小值是不可能的。因此...将x+y=k，(x, y)视为直线y=-x+k上的点来处理。因此，只需考虑直线y=-x+k穿过区域D内的点时(即具有与区域D共享点时)，y截距k的最大值和最小值。现在，在相同条件下，让我们考虑2x+y的最大值和最小值。设2x+y=k，检查直线y=-2x+k的移动，可以发现k的最小值也是与A相同，即当直线(2)经过原点O时。但是，k的最大值却是与A不同，而是当直线(2)经过点(10/3, 0)时。'

'求B(134)(20+1)^{100}的十位数。'

'求数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的通项公式，其中总和 \ S_{n} \ 由下式表示：'

'使用可用的证明方法证明下面的等式成立。'

'多项式的除法'

'请说明复数的除法计算方法。'

'解与系数之间的关系'

'求解以下值。'

'请计算以下表达式。'

'已知 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010，\\log_{10} 3 = 0.4771。问2011是几位数？求2^{2011}的最高位数字。'

'求多项式P(x)=2 x^{3}-3 x+1被以下一次式除后的余数。'

'調和平均'

'有理数的指数\n\ a>0, m, n \ 是正整数, \ r \ 是正有理数时，\\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'当多项式P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20被x-4整除时余数为17时，求常数a的值。'

'数学 \ \\mathbb{I} \ 题意的直线是，可以画出如图所示的两条直线，因此，该直线与x轴正向成的角度是 \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { 或 } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'证明当a+b+c=0时，等式a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0成立。'

'求多项式 $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ 除以 $x-2$ 的余数。'

'使用除法等式确定多项式'

'求解数列的通項公式，使得從第一項到第 n 項的和為 Sn'

'求解由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。a1=1，an+1=an+n^2'

'当 x=3+2i，y=3-2i 时，请分别求 x+y，xy，x^2+y^2 的值。'

'展示复数的通用加法，减法和乘法方法。'

'求幂根的值。'

'将以下表达式改写为 r*sin(θ+α) 的形式。其中 r>0，-π<α≤π。'

'求等差数列首项为3，公差为-5的情况下，从首项到第11项的求和S。'

'当将多项式P(x)=3x^{3}-ax+b除以x-2时余数为24，除以x+2时余数为-16时，求常数a, b的值。'

'掌握多项式除法，攻克第7个例题!'

''

'求得由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。 (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'求出满足方程的实数x和y的值。'

'使用长除法，计算以下多项式A被一次式B除以得到的商和余数。'

'(2+i)(x+yi)=3-2i，求解实数x和y的值。'

'分数的加法和减法'

'计算下列表达式。'

'当多项式P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4被x+1整除时余数为-2时，求常数a的值。'

'請計算多項式 A 被 B 整除後的商 Q 和餘數 R。並以 A=BQ+R 的形式給出結果。'

'求和 \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\)。'

'直线2x+5y=3的斜率是-2/5。求与该直线垂直的直线的斜率，并导出其方程。'

'標準 56: 決定多項式相除的餘式'

'(4) 加法、減法\n分母が異なる分数式の加法，減法では，分母が同じ分数式に直してから計算する。\n2つ以上の分数式の分母を同じにすることを通分という。\n例：\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'证明不等式成立。'

'}前述表达'

'基础 33: 复数的加法、减法、乘法'

'（1）找出多项式P（x）=2x^3-3x+1被以下一次式除尽时的余数。\n（A）x-1\n（B）2x+1\n（2）当多项式P（x）=1/2x^3+ax+a^2-20被x-4除尽时余数为17，求常数a的值。\n（3）当多项式P（x）=x^3+ax^2+x+b被x+2除尽余数为-5，被x-3除尽余数为20，求常数a、b的值。'

'7点 x 3'

''

'请从以下选项中选择正确答案。'

'172（1）\\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'在复数平面上，有一个由三个点O，A和B组成的三角形OAB。其中，O是原点。设外接圆的圆心为P。如果由A，B和P三个点所代表的复数分别为α，β和z，则假设αβ=z成立。此时，求α应满足的条件，并在复数平面上绘制点A(α)所描述的图形。'

'请使用z和z的共轭形式来表示以下表达式：(1) a (2) b (3) a-b (4) a^2-b^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'设 z 和 w 是满足 |z|=2,|w|=5 的复数。当 z \x08ar{w} 的实部为 3 时，求 |z-w| 的值。'

'请确定这一连立递推方程的通项公式：\\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\ cos \\frac{5}{12} \\pi\\left(\\ cos\\frac{7}{12}\\pi+i\\ sin\\frac{7}{12}\\pi\\right)'

''

'对于给定的向量 $\\ vec{a} = (11,23)$ 和 $\\ vec{b} = (-2,-3)$，要使 $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$ 最小, t的值为多少？进一步, 求 $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$ 的最小值。'

'矢量a的大小| a | a表示有向线段的长度。 '

'将以下表达式转换为不包含 sqrt 的形式。'

''

'(1) 求\ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \时，求下列式子的值：\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[大阪经大] 基础 25,113'

'多项式的加法和减法'

'多项式的加法和减法'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text {（1）} A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n（2）\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(ア) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'在短跑赛跑中，跑完100米所需时间（以下简称时间）与每步行进的距离（以下称为步幅）以及每秒的步数（以下称为步频）有关。 步幅和步频分别由以下方程确定。'

'应用积分法则'

'从多项式中减去-2x^{2}+5x-3，错误地加了这个表达式，答案为-4x^{2}+13x-6。请找出正确答案。'

'求解有68个数字，其中有1个数字出现3次，有2个数字出现3次，有2个数字出现2次的情况下的排列总数。'

'数字的排列（根据数字的大小关系条件）'

'考虑将一群人分成几组的方法数量。但前提是每组至少有一个人。'

'(整体) - (不是)概念的应用'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'请计算以下表达式。'

'从多项式减去(-2x^2+5x-3)，但错误地加了这个表达式，结果变成了-4x^2+13x-6。请计算出正确的答案。'

'求从(2)中减去的公式为8x^2-5xy+5y^2。'

''

'请展示加法的交换律。'

'四边形的数量和组合'

'116 4-√7/3'

'整理给定多项式的合并同类项。当关注 [ ] 中的字符时，确定其次数和常数项。'

'在学习了包含绝对值的表达式的处理、必要条件和充分条件之后，请尝试下一个问题。'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

''

'根据多项式的加法，减法和乘法计算规则，进行以下多项式的计算。'

'有8个苹果，可以将它们分成A、B、C、D四个袋子，有多少种方式？可以有一些袋子不放任何苹果。'

'关于多项式的加法，减法和乘法，经常会遇到要对不同的多项式进行加减或相乘的问题。通过例题加深理解。'

'确定下列单项式的系数和次数。同时，注意方括号中的字母表示什么。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'当A=2x^{3} +3x^{2}+5，B=x^{3}+3x+3，C=-x^{3} -15x^{2} + 7x时，计算以下表达式。(1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'简化下列表达式。其中 n 是一个自然数。(1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'计算以下18个表达式。'

'習慣於完成平方'

'第 2 章实数, 一次不等式: 包含 5 的根号的表达式计算'

'计算多项式A和B的和与差。'

'(2x + 3x)合并同类项为5x。'

'请告诉单项式的次数和系数。另外，当注意到方括号中的字母时，请告诉该字母的次数和系数。'

'求多项式 A、B 的和 A + B 和差 A - B。'

'標準 5: 多項式的加法和減法 (2)'

'第1章 方程式计算: 1 多项式的加法和减法'

''

'解释集合A、B的基本性质，并说明德摩根定律。'

'当 $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$ 时，计算以下表达式。 （1）$3 A-2 C$ （2）$A-2(B-C)-3 C$'

'使用和法则。'

'(4) 将 -1<y<3 的每条边乘以 -2 得到 -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'请执行单项式的乘法。请使用指数规则。'

'计算给定的多项式A和B的求和和差。'

'计算以下表达式：（8）（√6 + 2）（√3 - √2）'

'请根据以下乘法规则，修改表中错误的陈述。'

'如果按照1, 4号标记相同，2, 3, 5号标记相同的方式依次区分五种香味，可以用右侧的图案表示。这个图案被称为“須磨”。共有52种表示五种香味区别的图案。其中每一个都附有《源氏物语》中除了“桐壺”和“夢浮椿”之外的卷名，称为源氏香图。请考虑两种香的情况下有多少种图案。如果将5根分为3根和2根，有多少种方案？也请考虑将香分成4根和1根的情况。'

'简要说明绝对值的概念。'

'计算以下表达式。'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'熟能生巧'

'计算以下表达式：(2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'计算以下表达式。'

'（1）有8种不同果汁要分给A和B两个人，有多少种方式可以分配？假设A和B至少各得到1种果汁。\n（2）有8种不同果汁要分成2组，有多少种方式可以分配？'

'请计算以下表达式：(7)(√20 + √3)(√5 - √27)'

'计算包含平方根的表达式。计算以下表达式：\ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

''

'执行多项式的加法和减法。例如，请计算以下问题。'

'计算以下方程。'

'利用乘法法则。'

'请计算以下表达式：(3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'使用指数法则简化表达式。'

'当同时投掷一枚大中小三个骰子时，所有骰子的点数都是奇数的情况有多少种？'

'请竖式计算以下表达式'

'请计算以下表达式。'

'(1) 将10名人员放入2个房间A或B的方法有多少种。 但是，也可以让所有人进入一个房间。\n(2) 将10名人员分成两组A，B的方法有多少种。\n(3) 将10名人员分成两组的方法有多少种。'

'计算以下表达式：（1）3√3 - 6√3 + 5√3'

'解释以下表达式的计算：500x z^3乘以\\frac{1}{4} x^2 y^4 乘以 \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'将3名女性视为一组，10名男性和1组女性的排列总数为(11-1)!=10!种。对于任何情况，女性的排列方式都有3!种。因此，所求概率为(10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22。'

'有1个红玉，2个蓝玉，2个黄玉，2个白玉。\n（1）共有多少种方法可以将这7个玉放成环形排列。\n（2）当为这7颗珠子穿过线并制作手镯时，可以制作多少种手镯。'

'请计算以下表达式。'

'比较幂和幂根的大小：请比较以下幂和幂根的大小。'

'求解 n 为偶数和奇数时的 S_n：偶数时为 S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2)'

'已知公比为2，首项为1的等比数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \，求和 \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \。'

'对于解(II)，像解(IV)那样降低次数也是一个好方法。'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'计算以下算式。(1)\ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2)\ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) 计算以下表达式：\n\n这里，$\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) 计算以下表达式：\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2}$'

'确定常数a、b、c、d、e的值，使第一个表达式可以被第二个表达式整除。'

'请计算以下内容。'

'简化以下表达式。'

'(4) 计算$\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'找到由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'计算以下表达式并求解：\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'求商和余数'

'求解以下方程的值：\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'证明：（1）当a：b=c：d时，等式（a+c）（d+f）=（a+c+e）（b+d+f）成立'

'求出平方后得到 8i 的复数。'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'计算以下内容。'

'我该怎么办？ 花子：由于P(x)除以(x-1)^{2}的余数是2x+3，所以可以用s x^{2}+t x+u=来表示。 （i）在下列选项中选择一个符合条件的表达式。 (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) 求解s, t, u的值，得到s=, t= , u=。填入正确的数值。'

'请计算以下表达式。'

'求多项式在给定一次式下的余数。(1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"如果a < 0，b < 0，则设a = -a'，b = -b'，其中a'> 0，b'> 0 ，则"

'将下列表达式表示为 r\\sin (\\theta+\\alpha) 的形式。其中，r>0，-\\pi<\\alpha\\leq\\\\pi。'

'计算下列公式。注意，a>0, b>0。'

'使用给定一系列步骤找到 b_n、c_n 和 a_n 的值 (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'求等比数列的和，初始项为1，公比为2，表达式为 log₂(a₁) + log₂(a₂) + ... + log₂(aₙ)。'

'當多項式 A 被多項式 2x^{2}-1 整除時，商為 2x-1，餘數為 x-2，求 A。'

'(3) 利用分配律 $( a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'当多项式 $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ 被 $x^{2}+x+1$ 整除的余数为 $-x+3$ 时，求常数 $a, b$ 的值。'

'求整式 $x^3-2x^2-45x-40$ 除以整式 $x-8$ 的商和余数。'

'请检查以下等式是否恒等式。'

''

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'假设两个实数a，b均为正数。i为虚数单位。'

'简化下列表达式。'

'无法从数学Im求得最小值。'

'证明带条件的等式'

'简化以下表达式。'

''

'从0到3中选择与A匹配的选项。'

'将下列角度重新表示为弧度，将弧度重新表示为角度。'

'计算以下表达式：(x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'该时的最大利润是 a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (万日元)'

'抛一枚硬币，正面得1分，反面得2分。将这一试验重复n次，将得分总和除以3，余数为0的概率为a_{n}，余数为1的概率为b_{n}，余数为2的概率为c_{n}。(1)求a_{1}，b_{1}，c_{1}。(2)用b_{n}和c_{n}表示a_{n+1}。(3)用a_{n}表示a_{n+1}。(4)用n表示a_{n}。'

'同时投掷50日元硬币2枚、100日元硬币4枚和500日元硬币1枚时，求出正面朝上的硬币总额的期望值和标准偏差。'

'证明第n项为5n+1的数列是等差数列，并求出其首项和公差。'

'基础例题 19 分数式的恒等式（部分分数分解）'

'基本示例55 利用除法降低次数的高次多项式的值\nP(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2，回答以下问题。\n（1）当x=-1+i时，证明x^{2}+2 x+2=0。\n（2）求出P(x)除以x^{2}+2 x+2的商和余数。\n（3）求出P(-1+i)的值。'

'将多项式 P(x) 除以一次式 ax+b 的余数是多少？'

'求多项式 A 被多项式 B 除的商和余数，其中 x 是'

'证明当a+b+c=0时，成立等式：a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)=0。'

'关于这个除法，下面的等式成立。'

'用不等号表示以下各组数的大小关系。'

'展示复数 z = a + bi 的加法和减法。'

'从写有1到9的9张牌中抽取3张牌并排列，组成一个3位数。'

'(2) 大小关系和差的正负 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'求解由以下条件确定的数列 {a_n} 的通项公式。'

''

'请使用以下指数法则解决问题：指数法则：a^{r} a^{s}=a^{r+s} 特别是当 a 为 3，r 为 2，s 为 4 时，请求 a^{r+s} 的值。'

'将给定的分式化简为最简分式。'

'共享单车运营公司X计划在一个城镇建立两个基地A、B。每个基地都放有大量可出租的自行车，用户可从任何一个基地借用，也可归还到任何一个基地。每天，A、B基地所有自行车仅出租一次，并于当天归还到任一基地。假设出租的自行车归还比例恒定不变，A出借的自行车中，70%归还到A，30%归还到B。B出借的自行车中，20%归还到A，80%归还到B。第n天结束后，A、B基地的自行车数量占总数的比例分别为an、bn。假设第一天前A、B基地自行车数量比例为20%、80%，请回答以下问题。 (1) 求解an。'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'计算以下表达式：'

'求解下列方程：\\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'将给定的右侧表达式转换为'

"如果a < 0，b > 0，令a = -a'，其中a' > 0，则"

'请将4和14分别赋值给a。'

'用不等式表示以下每组数字的大小关系。'

'使用长除法，求多项式A除以多项式B的商和余数。(1) A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, B=x+3 (2) A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, B=2 x-1'

'整理以下多项式中的同类项，并确定(2), (3)多项式中方括号内的字母对应的次数和常数项。'

'简化下列表达式中的二次方根。'

'计算以下表达式。'

'设12为实数，b为正常数。求函数f(x)=x^{2}+2(ax+b|x|)的最小值m。另外，当a的值变化时，以a的值为横轴，m的值为纵轴绘制m的图形。'

'基础事项\n3 平方根\n(1) 定义 2 的平方为 a 的数为 a 的平方根。\n(2) 性质 1. 当 a ≥ 0 时，(√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2. 当 a ≥ 0 时，√(a²) = a; 当 a < 0 时，√(a²) = -a，即√(a²) = |a|\n(3) 公式 当 a > 0, b > 0, k > 0 时，\n3. √a * √b = √(a * b); 4. (√a) / (√b) = √(a / b); 5. √(k² * a) = k * √a\n\n有理化分母 将包含根号的分母形式转变为不包含根号的形式，这个过程称为有理化分母。'

'请计算以下指数法则的使用示例。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'请提供多项式加法和减法的示例。'

'求出以下表达式的值。'

'求解以下表达式的值。'

'多项式计算的基本规则'

'简化下列表达式，去掉其中的双平方根。'

'请计算以下表达式。'

'(2) 当 \-2<x<\\frac{3}{4}\ 时，\ x+2>0,\\; 4 x-3<0 \，因此，\\(\\sqrt{(x+2)^{2}}-\\sqrt{(4 x-3)^{2}}=|x+2|-|4 x-3|= (x+2)-\\{-(4 x-3)\\}\\)'

'移除方程的平方根并简化：$\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ （其中$-2<x<\\frac{3}{4}$）。'

'将a = b = c作为实数, 将A, B, C定义为A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}。求abc的表达式。'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'计算以下数学题。'

'根据正弦定理得到 $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$，因此\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\n根据正弦定理\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\n因此\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'求平行移动2个单位到x轴方向，-1个单位到y轴方向的抛物线方程，使其与抛物线y=-2 x^{2}+3重合。'

'求PR（2）sin 160°cos 70°+cos 20°sin 70°的值。'

'多项式的加法，减法和乘法'

'简化以下方程并移除根号。'

''

'在基本示例13的第（1）部分，您应考虑如何将共同表达式整理并替换。'

'列举多项式加法和乘法的基本法则。'

'太郎先生决定使用（3）（2）, 以使得利润最大化。请找到使利润最大化的 x 值，并求出此时的利润。'

'多项式的加法和减法\n和 A+B 是将 A 和 B 的项全部相加，如果有相似项，则进行整理。\n差 A-B 被看作 A+(-B)，即改变 B 的每一项的符号后加到 A 上。\n纵向计算\n如右所示，也可以将相似项排列在一起进行纵向计算。这时，应将缺少的次数项留出空位。'

'在基本示例 6 和 12 中，介绍了汇总共同表达式然后继续计算的方法。请说明您推进解决方案的方法。'

'计算包含平方根的表达式'

'(1) 给出将 x 替换为 x-(-1) 即 x+1，将 y 替换为 y-2 的表达式。 (2) 对于函数 f(x) = -2x^2 + 1，给出求得的函数。'

''

'计算以下表达式。'

'以下计算为错误。请列出所有错误的等号，以及判断为错误的理由。'

'从多项式中减去-2x^2 + 5x - 3，但错误地将该表达式添加到了表达式中，因此答案变为-4x^2 + 13x - 6。请找出正确的答案。'

'(1) 当 $x=3$ 时，$f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$。(2) 当 $x=0$ 时，$f(0)=-2 \\cdot 0+1=1$'

'请解释两个有理数的和，差，乘积和商。'

'通过组合项来制造公因子是可行的。'

'当x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\时，求x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}，x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}，x^{6}+\\frac{1}{x^{6}}的值。[立教大]由x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\可知\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{然后} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\n因此 x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3}所以 x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'挑战问题\\n在33项短跑比赛中， 100米赛跑中，运动员所花时间（称为时间）与每步进距离（称为步幅）和每秒步数（称为步频）有关。 步幅和步频分别由以下方程式给出。 \\n\ \\n \egin {\overlineray} {l} \\ n \\ text {步幅}（m /步）= \\ frac {100（m）}{要跑100 m的步数（步）} \\ n \\ text {步频}（步 /秒）= \\ frac {要跑100 m的步数（步）} {时间（秒）} \\ n \\ end {\overlineray} \\ n \ \\ n但是，要跑100 m的步数可能会导致最后一步越过终点线，因此可能被表示为小数。 除非另有说明，否则省略单位。 \\ n例如，当时间为10.81且步数为48.5时，步幅为\\（\\ frac {100} {48.5} \\），大约为2.06，步频为\\（\\ frac {48.5} {10.81} \\），约为4.49。 \\ n在以小数形式回答时，请四舍五入到指定精度的下一个数字。 \\ n（1）将步幅记为x，将步频记为z。 步频是每秒的步数，步幅是每步的前进距离，因此每秒的前进距离即平均速度用x和z表示为A（m/s）。 \\ n因此，时间和步幅，步频之间的关系为 \\ n \\ text {时间} = \\ frac {100} {A的平方} \\ n，当A达到最大值时，时间变得最好。 然而，时间变得最好是指时间值变得更小。 \\ n请选择以下（）〜5中符合条件的内容。 \\ n（0）\\（x+z \\） \\ n（1）\\（z-x \\） \\ n（2）\\（x z \\） \\ n（3）\\（\\ frac {x+z} {2} \\） \\ n（4）\\（\\ frac {z-x} {2} \\） \\ n（5）\\（\\ frac {x z} {2} \\）'

'求和A + B。'

'计算以下表达式：\n(1) A+B\n(2) A-B\n其中A=5x^3-2x^2+3x+4，B=3x^3-5x^2+3'

'当两个数a，b的范围为-2 ≤ a ≤ 1, 0 < b < 3时，求1/2a - 3b的可能取值范围。'

'找到满足以下方程的向量 x，并用向量 a 表示：\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'三点A，B，C共线的充要条件是AC=kAB，其中k为实数。'

'给出三个不同的复数 \ \\alpha, \eta, \\gamma \，对等式 \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) 成立时，回答以下问题。'

'(2) 当复数 $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ 满足 $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ 且 $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$ 时，求 $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$ 的值。'

'（g∘f）（x）=g（f（x））=2 f（x）-1=2（x + 2）-1=2x + 3（f∘g）（x）=f（g（x））=g（x）+2=（2x-1）+2=2x + 1'

'當（1）$s=\\frac{b^{2} c^{2}}{a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}}$，$t=\\frac{c^{2} a^{2}}{a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}}$時，求$c\\sqrt{\\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+4 c^{2}}}$的最小值。'

'1622 \\pi^{2} a'

'练习问题的答案是60（1）\\log \eta -\\log \\alpha- \\frac{2(\eta -\\alpha)}{\\alpha+\eta}'

'求（1）的解：计算(g∘f)(x),(f∘g)(x)。\n求（2）的证明：(h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x)。\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}。'

'(2) - (1) 乘以3得到(3), (4) 得到 z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'问题6'

'三点A，B和C在一条直线上的条件，垂直条件\n假设c是实数常数。分别用α=1+i，β=-i，γ=-2+ci表示点A，B和C。\n(1) 确定c的值，使得点A，B，C共线。\n(2) 确定c的值，使线段AB和AC互相垂直。'

'练习问题78\n(1) 当\\( (1-\\cos \\theta-i \\sin \\theta)^{-1} \\) 被表示为 \ \\frac{1}{2}+\\frac{i}{a} \ 时, 求实数 \ a \ 的值。\n(2) 利用 \\( (1-\\cos \\theta-i \\sin \\theta)\\left(1+\\cos \\theta+i \\sin \\theta+(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)^{n}\\right)=1-(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)^{n+1} \\) 证明\n\\n\egin{\overlineray}{l}\n1+\\cos \\theta+\\cos 2 \\theta+\\cdots+\\cos n \\theta=\\frac{\\sin \\frac{n+1}{2} \\theta \\cos \\frac{n}{2} \\theta}{\\sin \\frac{1}{2} \\theta} \\text {, } \\\\\n\\sin \\theta+\\sin 2 \\theta+\\cdots+\\sin n \\theta=\\frac{\\sin \\frac{n+1}{2} \\theta \\sin \\frac{n}{2} \\theta}{\\sin \\frac{1}{2} \\theta} \\\\n\\end{\overlineray}\n\'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'练习题答案 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'90（2）\（0,1-a）,（0,-1-a）\'

'设经过单位圆上不同的两点A(α)和B(β)的直线上的点为P(z)。证明等式z+αβ𝑧¯=α+β成立。'

'用极坐标表示练习z = sinα + i cosα（其中0 ≤ α < 2π）。'

'矩阵的加法和减法，数量乘法'

'练习'

'练习题答案 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x，g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'(4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'CHART是什么？'

'練習\n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \ 將\n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \ 代入時\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\n整理後得到以下結果。\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'矩阵的加法减法和数量乘法'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ 将两边乘以 \ z \ 整理得\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\n解得 \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'关于矩阵 A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) 和 B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right)，确定 $x, y, z$ 的值，以满足 $AB=BA=O$。'

'當 $\\ vec {a} = (-2,1), \\ vec {b} = (3,-2)$ 時，請以分量表示 $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$。並求其大小。'

'(另一种解法)\n\n当z是实数，根据二次方程（x + 1/x）^ 2 = x ^ 2 + 1 + 2时，(x + 1/x)^3=x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x)\n考虑z为实数：(-√2) ^ 3 + 3√2 = 0。\n继而：√2\n\n因此，z^6 + 1/z^6的方程等于(z^3 + 1/z^3)^2-2=√2-2= 0。\n所以，z^12 + 1/z^12等于(z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2。'

'考虑曲线 alpha z + beta, 当点 z 在以原点 O 为中心、半径为1的圆上移动时, 表示点 w = (1-i)z - 2i。请问，点 w 将绘制出什么样的图形？'

'当 $k=0,1,2$ 时， $z$ 分别为 $z_{0}$，$z_{1}$，$z_{2}$'

'当 k 是自然数时'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'练习问题答案 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'练习(2) \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\)。 当 \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \ 时，求 \ |\\vec{p}| \ 的最大值和最小值。'

''

'数学C'

'请按顺序求解。'

''

'给定 x = 1 + √2i，求下列方程的值。'

"对于多项式 f(x) 关于 x，如果 f(3) = 2，f'(3) = 1，则在 f(x) 被 \\\\underline{201}(x-3)^{2} 整除时的余数是多少。"

'让我们来确认多项式的除法。'

'将多项式 P(x) 除以 x-1 得到余数为 5，除以 x-2 得到余数为 7。此时，求将 P(x) 除以 x^2-3x+2 得到的余数。'

'求多项式A除以多项式B的商和余数。'

'2个多项式除法'

'关于直线l：y=-2x，点A（a，b）的对称点是B。这时，用a，b表示点B的坐标。另外，当点A沿着直线y=x移动时，求点B的轨迹方程。'

''

'请计算将多项式P(x)除以二次式x^2+3x+2得到的余数。'

'设 n 为大于等于 2 的自然数, i 为虚数单位。当 α=1+√3i, β=1-√3i 时, 求解 (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3} 的值。'

'(2) 将多项式P(x)除以(x-3)，(x+2)(x-1)(x-3)得到余数分别为a和R(x)。已知R(x)中x^2的系数为2，另外，将P(x)除以(x+2)(x-1)的余数为4x-5。求a的值。[類 法政大]'

'证明对于任意满足条件a+b+c≠0，abc≠0的实数a，b，c，恒等式1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)成立。在这种情况下，证明对于任意奇数n，恒等式1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n也成立。'

'将多项式 P(x) 除以 x^2-1 得到余数 4x-3，除以 x^2-4 得到余数 3x+5。此时，求 P(x) 除以 x^2+3x+2 的余数。'

'170 (ウ) \a-b\'

'练习（1）将多项式$x^{2} + ax^{2} + x + 1$除以多项式$x^{2} + x + 1$，商为$bx - 1$，余数为$R$。求常数$a, b$及$R$的值。其中，$R$为关于$x$的多项式或常数。'

'将多项式 P(x) 除以 x^{2}+5 x+4 得到余数为 2 x+4，除以 x^{2}+x-2 得到余数为 -x+2。此时，请计算 P(x) 除以 x^{2}+6 x+8 的余数。'

'请计算以下表达式：\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'求P（x）÷（x-1）（x+2）的余数。'

'(3) 长本 10 分数式的乘法，除法'

''

'辰本 18 除以恒等式'

'求一次多项式P(x)被一次因式(x-a)除的余数。'

'求多项式A在多项式B下的商和余数。'

''

'(1) 求下列值。'

'求函数f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1的a和b的值，使得函数能被(x-1)^2整除。'

'多项式的除法和多项式的确定'

'确定实数x的值范围，使得数列{\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}}收敛。并求出此时数列的极限值。'

'设z ≠ 0。在复数平面上，当点z和点z^5关于原点O对称时，求z的值。另外，在复数平面上，求对应于求得的z值的顶点的多边形的面积。'

'当点P（x，y）沿逆时针方向绕半径为1以原点为中心的圆周旋转一周时，点Q1（-y，x）和点Q2（x^2 + y^2，0）分别绕原点逆时针方向旋转多少周？'

'定义一个取整数值的整数n的函数f(n)，g(n)如下：f(n)=1/2 n(n+1)，g(n)=(-1)^{n}，定义合成函数h(n)=g(f(n))。进一步，连续掷一个四面体骰子4次，依次得到的结果为 j, k, l, m，记a=h(j)，b=h(k)，c=h(l)，d=h(m)，考虑函数P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d。'

'另解1. 令z=x+yi(x, y)为实数'

'数学正确'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) 从（2）的结果式中得到 aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3)，因此数列 {aₙ - 2/3} 的初始项 a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3，公比为 -1/2，所以 aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾，因此 aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3，因此 limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'若 g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 被 (x-1)^{2} 整除，求解 a 和 b 的关系，其中 a 和 b 与 x 无关。'

'求解以下表达式的值：\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'请注意 α ≠ π'

'求下列无穷级数的和。'

'数列 {a_{n}},{b_{n}} 满足以下关系式。'

'这些复数中哪些是实数，哪些是纯虚数？其中，假设αβ̅是虚数。'

''

'设 PR α, β 为复数。 (1) 当 α= |β|=1, α-β+1=0 时，求 α β 和 α/β+β/α 的值。 (2) 当 |α|=|β|=|α-β|=1 时，求 |2 β-α| 的值。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\)，\\vec{a}=\\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)，\\vec{b}=\\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right)，\\vec{c}=\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right)\\，\\vec{e},\\vec{e},\\vec{e}\\vec{e}_{3} 分别用 \\vec{a}，\\vec{b}，\\vec{c} 表示。另外，\\vec{d}=(3,4,5) 用 \\vec{a}，\\vec{b}，\\vec{c} 表示。\\n[近畿大]\\n(后半) \\vec{d} 用 \\overrightarrow{e_{1}},\\overrightarrow{e_{2}},\\overrightarrow{e_{3}} 表示，并代入前半的结果。'

'向量平行条件: 当向量 𝐚≠0 ,𝐛≠0 时， 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 其中 𝑘 为实数。'

'当且仅当两个不平行的向量 \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (其中 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) 满足 \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\) 时，求实数 \ s, t \ 的值。'

'使用极坐标形式解决以下方程：(1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'当复合函数(g∘f)(x)=x满足时，找出常数a，b，c的值。'

'考虑以下复数序列。'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\ log\xa0\\ frac{3}{4}'

'将给定复数表示为极坐标形式。其中，参数 𝜃 的范围为 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋。(1) 2(𝑠𝑖𝑛 (𝜋/3) + 𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜋/3)) (2) 𝑧=𝑐𝑜𝑠 (12/7)𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (12/7)𝜋 的情况下 -3𝑧'

'（2）\\（2（cos（π/10）+i sin（π/10））\\)^{5}'

'通过表示为极坐标形式，求出cos(5/12π) 和 sin(5/12π) 的值。'

'为向量a=(11,-2)和b=(-4,3)定义向量c=a+tb。实数t在变化。'

'令α=2+i，β=4+5i。求点β绕点α旋转π/4后的复数γ。'

''

'（1）证明对于任意复数z，z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z是实数。\n(2) 证明对于\\\overline{\\alpha} z\不是实数的复数z，\\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\是纯虚数。'

'给定 \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \，求 \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) 关于 \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \ 的表达。'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'给定了不在同一平面上的4个不同点O, A, B, C，对于两点P, Q，当⃗OP=⃗OA-⃗OB，⃗OQ=-5⃗OC时，求实数k, l的值，使得k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC成立。'

'做231次試驗，事件 \ A \ 發生的機率為 \\( p(0<p<1) \\)。進行這個試驗 \ n \ 次，奇數次發生 \ A \ 的機率為 \ a_{n} \。'

'用极坐标形式表示下列复数。其中，幅角θ满足0 ≤ θ < 2π。(1) z = -cosα + i sinα (0 ≤ α < π) (2) z = sinα - i cosα (0 ≤ α < π/2)'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

''

'13'

'请将下列分数函数 y=(6x+5)/(2x-1) 转换为基本形式 y=k/(x-p)+q。'

'(3) -\\frac{(b-a)^{11}}{2772}'

'对于满足|z|=|w|=1且zw≠1的复数z和w，证明(z-w)/(1-zw)是实数。'

'当p = 1时，a_{n}=2 n，当p ≠ 1时，a_{n}=\\frac{2\\left(p^{n}-1\\right)}{p-1}；-1<p<1'

'将z=x+y，其中x，y为实数，视为实数关系式处理。这种处理方式可以让我们更容易地通过熟悉的实数来考虑问题，制定计算方针更容易，这是最大的优点。但是，计算通常会变得复杂。（例题 101 四解 1）在例题 100 中，z=x+y i(x, y は実数） (1), (2), (4) 也可以求解，但与方法1相比，计算量会增加。'

'从第一项到第 n 项的部分和为 S_n'

'(1) \\frac{28 \\sqrt{2}}{3}-\\frac{32}{3}'

'求复合函数f(x)和g(x)的合成函数(f ∘ g)(x)。(1) 当f(x)=\\frac{x-1}{2x+3}, g(x)=\\frac{-x}{x+1}时，求(f ∘ g)(x)。(2) 设a, b为实数，f(x)=\\frac{x+1}{ax+b}，求满足(f ∘ f)(x)=x的a, b。(3) 设a为实数且a ≠ 0，f(x)=\\frac{ax+1}{-ax}，求满足(f ∘(f ∘ f))(x)=x的a。其中，(f ∘(f ∘ f))(x)表示f((f ∘ f)(x))。[Yamaguchi Hiroshi] Example 11'

'(2) 1-2 \\log 2'

'求P = (-1 + √3 i) / 2)^n + ((-1 - √3 i) / 2)^n的值。其中，n是一个正整数。'

'求α = a + bi, β = c + di的和与差。'

'用多种语言翻译给定的文本。'

'已知常数 a、b 满足 100<a<b。定义 x_{n}= (a^{n}/b + b^{n}/a)^{1/n}(n=1,2,3, ...)。'

'点w随z在何种图形上移动。'

'13\n(3) \\( y^{\\prime}=-\\frac{(5 x+3)^{\\prime}}{(5 x+3)^{2}}=-\\frac{5}{(5 x+3)^{2}} \\)'

'将周长分成6等分，顺时针方向依次标记为A、B、C、D、E、F，在点A作为起点放置一颗小石。掷骰子，如果出现偶数点数则向顺时针方向前进2点，如果出现奇数点数则向顺时针方向前进1点，继续这个游戏，当小石恰好回到点A时，则游戏结束。'

'请计算从5个数字中选择3个以创建偶数的排列总数。'

'計算多項式 A 和 B 的和 A+B 及差 A-B。\n(1) A=7x-5y+17，B=6x+13y-5\n(2) A=7x^3-3x^2-16，B=7x^2+4x-3x^3\n(3) A=3a^2-ab+2b^2，B=-2a^2-ab+7b^2'

'请解决以下计算问题。'

'将基本形式转换为 \ x^{2} \，并将系数为 \ \\frac{1}{3} \ 的绝对值符号移到外面。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'请计算以下表达式。'

'请计算从5个数字中选择3个数字以创建4的倍数的排列总数。'

'请将以下表达式相加：(1) 13x + 8y + 12 和 x - 18y + 22'

'(2) 由 $\\sin ^{2} \theta+ \\cos ^{2} \theta=1$ 得 $\\sin ^{2} \\theta=1- \\cos ^{2} \\theta=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}=\\frac{9}{25}$。 $\\theta$ 是锐角，因此 $\\sin \\theta>0$，所以 $\\sin \\theta=\\sqrt{\\frac{9}{25}}=\\frac{3}{5}$。又 $\\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}$。'

'从数字0、1、2、3、4中选择3个不同的数字组成一个三位数，记为N。另外，将这个三位数N的百位数记为x，十位数记为y，个位数记为z。求解以下概率：(1) N是3的倍数的概率 (2) y>z的概率'

'(1) 5+√3'

'(1) \\[\egin{aligned} \\sqrt{\\frac{x}{y}} &= \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\end{aligned}\\]'

'请展示整式加法、减法和乘法的以下计算规律。'

'(1) \2 a-2\'

'请解决与平方根计算相关的问题，来自“第1章 数字和表达式的习题”。'

'证明如果 k ≠ l，则 r(k) ≠ r(l)。'

'请计算以下表达式的加减：\n(1) A+B = (3a^2-ab+2b^2) + (-2a^2-ab+7b^2)\n(2) A-B = (3a^2-ab+2b^2) - (-2a^2-ab+7b^2)\n将此函数称为“CHECK 3”。'

''

'说出以下命题的逆、逆否和逆否命题。'

'手的出现方式是5人，每人有“剪刀，石头，布”三种可能，因此总共有3的5次方种方式。(1) 考虑谁将取胜以及如何取胜，计算所求概率。(2) 考虑哪两人将取胜以及他们将如何取胜，计算所求概率。(3) 计算出现平局，也就是比赛没有胜负产生的概率。'

'计算以下表达式的值。'

''

计算以下表达式。 (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

设 3+\sqrt{2} 的整数部分为 a，小数部分为 b。a^{2}+2 a b+4 b^{2} 的值为 \square。

计算以下问题。\n(1) \( 2 a imes\left(a^{3} ight)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b imes\left(-5 a b^{3} ight) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y ight)^{2} imes\left(-3 x^{3} y^{2} ight)^{3} \)

计算以下表达式。 (3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (4) $\frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

设全集为 U ，满足条件 p, q 的整体集合分别为 P, Q ，那么满足条件“ p 与 q ”的整体集合如何表示？

计算以下问题。 (1) $x^{2} imes x^{5}$ (2) \( \left(x^{5} ight)^{2} \) (3) \( \left(-x^{2} y z ight)^{4} \) (4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3} ight)^{3} imes\left(-3 a^{2} b ight)^{2} \) (5) \( \left(-x y^{2} ight)^{2} imes\left(-2 x^{3} y ight) imes 3 x y \)

发 例 题 基本例题 27 $40 \sqrt{A^{2}}$ 的解 释. $a$ 为实数时, $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ 简化后, 当 $a>\frac{1}{3}$ 时，结果为 $\square$；当 $-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ 时，结果为1 $\qquad$； 当 $a<-2$ 时，结果为 $\qquad$ \ [例如，センター試験]\& GUIDE $A \geqq 0$ 的时候 $\sqrt{A^{2}}=A, A<0$ 的时候 $\sqrt{A^{2}}=-A$ ，所以 $\sqrt{A^{2}}=|A|$ 成立。 $\square$$\qquad$ $!$ 利用这点，用绝对值符号表示 \( \sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2| 。

计算下列表达式。 (1) \( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} )

计算以下表达式。 (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

求函数 \( f(x)=2x+1 \) 在 $x=-1, 0, 1$ 处的值。

请表示满足条件“p且q”的所有元素的集合。

请解释一下四则计算。

计算以下等式。 (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

复数和的图示 2个复数 \alpha=a+bi, eta=c+di 的和为 \[ \alpha + eta = (a + c) + (b + d)i \] 在复数平面上绘制时，可以得到以下几点。 1. 从原点开始，沿着点 eta 平行移动位置点 $\alpha$，得到的点即为和的位置。 请计算以下和，并在复数平面上绘制它们。 1. $\alpha = 1 + 2i$， eta = 3 + 4i 2. $\alpha = -1 + i$， eta = 2 - 3i

给定 f(x)=-2x+3 和 g(x)=2x²-4x+3，求以下值。 (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

将以下转换按绝对值和偏角的顺序进行。 (1) $2r, heta$ (2) $r, heta+\pi$ (3) $r,- heta$ (4) rac{1}{r},- heta (5) $r^{2}, 2 heta$ (6) $2r, \pi- heta$