基本代数 - 代数方程（线性，二次）

'解下列方程：'

'通过虚数解确定系数'

'设定为每年年底要偿还的金额为 x 万日元，则求解每年年底余额为零所需的 x。'

'求解具有根1,2和3的三次方程式。'

'求下列直线的方程：\n(1) 通过点 (6，-4)，且与直线 3x + y - 7 = 0 平行的直线\n(2) 通过点 (-1,3)，且与直线 x - 5y + 2 = 0 垂直的直线'

'因此，所求的表达式的值为'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'鉴别以下二次方程的解类型。其中，a是一个常数。(1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'给出下列方程式 $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$, 决定常数 $k$ 的取值范围, 使方程有以下根:'

'解决以下联立方程组。'

'当 0 ≤ α < π/2 时，sin α 是图[1]中点 P 的 y 坐标，2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) 是半径 OQ、OR 所代表的角度。\n∠ AOQ=∠ BOP= π/2 - α，因此\n2β₁ = π/2 - α，2β₂ = 2π - (π/2 - α)\n因此 β₁ = π/4 - α/2，β₂ = 3π/4 + α/2\n\n当 π/2 ≤ α ≤ π 时，sin α 是图[2]中点 P 的 y 坐标，2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) 是半径 OQ、OR 所代表的角度。 ∠AOQ=∠BOP=α - π/2，因此2β₁ = α - π/2，2β₂ = 2π - (α - π/2)\n因此 β₁ = -π/4 + α/2，β₂ = 5π/4 - α/2\n0 ≤ α < π/2 时\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(π/4 - α/2) + 1/3(3/4π + α/2) = 11/12α + 3/8π\n\n所以 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 < 5/6π\n当 π/2 ≤ α ≤ π 时\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(-π/4 + α/2) + 1/3(5/4π - α/2) = 13/12α + 7/24π \n所以 5/6π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\n根据 (1)，(2)，当 0 ≤ α ≤ π 时 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\ny = sin(α + β₁/2 + β₂/3) 是最大的时候\nα + β₁/2 + β₂/3 = π/2 即 11/12α + 3/8π = π/2 所以 α = 3/22π 时 y 的值为1。'

'请确定以下二次方程的解的类型。'

'练习解下列方程和不等式。'

'找出使二次方程式 $x^2-mx+3m=0$ 仅有整数解的常数 $m$ 的值以及对应的整数解。'

'求解以下二次方程的两个根的和与积。'

'请解决以下习题：二次方程式的解。'

'重要例题23 | 二次方程的解和方程的值 二次方程 $x^{2}+n x+p=0$ 的两个解为 $a, b$，$x^{2}+n x+q=0$ 的两个解为 $c, d$。其中，$p, q$ 是整数，$n$ 是实数。 (1) 用 $p, q$ 表示 $(c-a)(c-b)$。 (2) 证明 $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ 是一个平方数（可以表示为某个整数的平方）。'

'请利用p_n和p_{n+1}来计算(n+2)秒后的概率p_{n+2}。'

'(1) 二次方程式 x^2-k x+3 k-4=0 (1) 的判别式为 D，有 D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16。二次方程式 (1) 有复数解的条件是 D<0，所以 k^2-12 k+16<0。'

'给定3条直线，其中a，b为常数。 x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1。当这3条直线通过相同点时，证明3点 (-1,1),(3,-1),(a, b) 在同一直线上。'

''

'使用和与积的公式解三角方程式。'

'(1) 解方程 : $6x^{2}-61x+153=0$。'

'依次为 4x + 3y - 17 = 0，3x - 4y + 6 = 0'

'依据以下条件，解决问题。'

'找到通过点 \\( (x_{1}, y_{1}) \\) 且垂直于 \ x \ 轴的直线方程。'

'当具有虚数解α时，关于共轭复数进行解释，并展示其性质。'

'(1) 设2次方程$x^{2}+3x-6=0$的两个解为$\\alpha, \eta$，那么构造一个以$2\\alpha+\eta, \\alpha+2\eta$为解的二次方程。 (2) 设二次方程$x^{2}+px+q=0$的解为$\\alpha, \eta$，那么构造一个以$\\alpha^{2}, \eta^{2}$为解的二次方程之一为$x^{2}-4x+36=0$。已知这个方程成立，求实数常数$p, q$的值。'

'求解满足下列方程的数值 α, β, γ：\ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'求解整数方程式 $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ 有整数解的整数$m$的值。'

'练习以原点O为起点，在数轴上投掷硬币，如果是正面则向正方向前进2，如果是反面则向正方向前进481。将到达点n的概率记为pn。其中，n为自然数。\n(1) 求解n大于等于3时，pn，pn-1，pn-2的关系式。\n(2) 求解pn。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'(1) (6, 4) (2) 依次 (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'数学II'

'將漸化式的兩邊取倒數 \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ 將 \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} 代入得 \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} \\ 轉換得到 \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) \\ 且 \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 因此, 數列 \\ \\{b_{n}+2\\} 是首項為 3 ，公比為 3 的等比數列，有 \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} \\ 即 \\ b_{n} = 3^{n} - 2 \\ 因此得 \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'(2) 设两个交点A、B的x坐标分别为α、β。消去y=x^{2}和y=m(x+2)中的y得到x^{2}-mx-2m=0。α、β是这个二次方程的两个不同的实数解。设判别式为D，D=(-m)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-2m)=m(m+8)。由D>0可知m(m+8)>0，因此m<-8,0<m。另外，根据解与系数的关系可知α+β=m。因此，假设线段AB的中点坐标为(x, y)，则x=(α+β)/2=m/2。同时，y=m(x+2)。由(2)和(3)消去m得到y=2x(x+2)，也就是y=2x^{2}+4x。此外，根据(1)和(2)可知x<-4,0<x。因此，所求轨迹是抛物线y=2x^{2}+4x的x<-4,0<x的部分。'

'将给定的文本转换成多种语言。'

'设14k为实数，考虑关于x的二次方程x^{2}-kx+3k-4=0。'

'考虑整数a、b、c满足以下条件(*)。 ∫(x²+bx)dx在a到c的积分=∫(x²+ax)dx在b到c的积分 (1) 当整数a、b、c满足(*)和a≠b时, 用a、b表示c²。 (2) 当c=3时, 找出满足(*)和a<b的整数组(a, b)。 (3) 当整数a、b、c满足(*)和a≠b时, 证明c是3的倍数。'

'求解由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。'

'练习2曲线y=2x^{3}+2x^{2}+a，y=x^{3}+2x^{2}+3x+b相切，并且切线通过点（2,15），求常数a，b的值和切线方程。'

'练习 39：x² = x + 3，即 x² - x - 3 = 0 有两个解 α, β (α < β)，并且由解与系数的关系得到 α + β = 1，αβ = -3。证明之。另外，根据递归式 a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0 证明。最终求得 a_{n}。'

''

'请说明具有实数系数的奇次方程至少有一个实数解。'

'一数学 B 练习 62'

'求解下列表达式的值。'

'(3) 根据两个数的和α+β=-4和积αβ=13，求二次方程式并求解。'

'请根据常数a的值对方程sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π)的解进行分类并回答解的数量。'

'首项为 a，公差为 d，则第 10 项为 1，第 16 项为 5，因此 a+9d=1，a+15d=5，解得a=-5，d=2/3。设从首项到第 n 项的和为 Sn，S30=1/2·30{2·(-5)+(30-1)·2/3}=140，S14=1/2·14{2·(-5)+(14-1)·2/3}=-28/3，所以 S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'练习38：将递归式转换为 a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n})。因此，数列 {a_{n+1} + 4a_{n}} 的首项是 a_{2} + 4a_{1} = 9，公比为 -4，证明其为等比数列。另外，证明 a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}。最终求得 a_{n}。'

'二次方程式 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两个解分别为 $\\alpha, \eta$，则 $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$，$\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$。'

'分别用 $D_{1}$、$D_{2}$ 和 $D_{3}$ 表示三个方程的判别式。求出使每个判别式有虚数解的 a 的取值范围。根据方程的判别式来进行计算。'

'给定的三个实数a、b、c按照等差数列和等比数列的顺序排列。当a、b、c的乘积为125时，求a、b、c的值。'

'从C2方程获得(x-3)^2+(y-a)^2=a^2-4a+5。求出这个方程与直线y=x+1在不同的两点交点的条件。'

'数学 II 练习册 61 页'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\n将此二次方程的判别式记为 D\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\n由于 D<0，因此该二次方程没有实数解。因此，圆(A)和直线(3)没有交点。'

'y = bx - a² / 4'

'当 a = 1 时，C₂的方程为x^2-6x+y^2-2y+8=0。现在定义k为常数，考虑以下方程：k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0。求使其成为直线的条件。'

'由于D>0且(α-4)+(β-4)>0且(α-4)(β-4)>0，故存在两个差均大于4的解。'

'由于线段PQ的中点(3+p)/2, (4+q)/2位于直线ℓ上，所以'

'具有重根的三次方程式'

'解决以下4次方程式：x^{4}=4'

'当\ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \时，证明\ a, b, c \中至少有一个为1。'

'请解释方程式 (x-3)^{2}(x+2)=0 的解及其重根。'

'设 $Q(x)$ 为2次多项式。整式$P(x)$不能被$Q(x)$整除，但{$P(x)$}^2能被$Q(x)$整除。证明二次方程$Q(x)=0$有重根。'

'因为实数为正，所以 $x-2>0$ 且 $3-x>0$。因此 $2<x<3$。由于 $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$。'

'将给定的文本视为二次方程式b的解'

'利用解和系数的关系求解以下值。'

'重要例题27 | 两个方程式的解'

'蔬菜A每个含有营养物质x₁ 8克，营养物质x₂ 4克，营养物质x₃ 2克；蔬菜B每个含有营养物质x₁ 4克，营养物质x₂ 6克，营养物质x₃ 6克。选择这两种蔬菜，每种选几个混合制作蔬菜汁。希望选取的蔬菜能够使营养物质x₁至少含量为42克，营养物质x₂至少含量为48克，营养物质x₃至少含量为30克。在尽可能选择较少的蔬菜A和蔬菜B数量来制作果汁时，蔬菜A的数量a和蔬菜B的数量b组合(a，b)为'

'对所有自然数n，通过利用an + bn + cn = 1来推导cn + 1。'

'湖37本册p.119 求解方程式x^2+y^2+lx+my+n=0中的圆。该圆通过点A(8,5)，因此8^2+5^2+8l+5m+n=0；通过点B(1,-2)，因此1^2+(-2)^2+l-2m+n=0；通过点C(9,2)，因此9^2+2^2+9l+2m+n=0。整理得到8l+5m+n=-89，l-2m+n=-5，9l+2m+n=-85。 解这些方程得到l=-8，m=-4，n=-5。因此，所求方程式为x^2+y^2-8x-4y-5=0。另一种解法是ABC的外心是所求圆的圆心。AB的垂直平分线方程为y-3/2=-1(x-9/2)，即y=-x+6。也可将4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2代入x=y=0进行验证。从(1)-(2) ÷ 7得到l+m=-12，从(1)-(3)得到l-3m=-4，因此4m=-16等。'

'例 4 | 形成等差数列的3个数字\n有3个组成等差数列的数，它们的和为18，积为162。请找出这3个数。'

'(2) 体积为 V 的长方体，其中 V = x y z (2), (3), (4) 推导出 x, y, z 是 t 的三次方程 t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0 的解。x, y, z 为正数的条件是 (5) 三次方程有三个正解。'

'例题42 | 通过固定点的直线方程\n设k为常数。直线(2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0无论k的值如何都经过一个固定点。该固定点的坐标为A。另外，当这条直线的斜率为1/3时，k的值为B。\n[福冈大]'

'a³ - a² - b = 0 或者 9a + 27b - 1 = 0 其中a ≠ 1/ 3'

'底数是一个不等于1的正数'

'求出其中一個方程式具有虛數解的條件。'

'綜合演習'

'使用两个数的和与积来求解二次方程式。'

'例18对称方程的值（2）\n对于2次方程$2 x^{2}+4 x+3=0$的两个根$\\alpha, \eta$，求以下表达式的值。\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'例题38 相邻3项之间的递推式（2）'

'展示具有实数系数的二次方程ax² + bx + c = 0的解和判别式。'

'當通過相交點2x-y-1 = 0和x+5y-17 = 0的直線與4x+3y-6 = 0平行時，找出方程式。'

'(1) 从两个数的和α+β=7和积αβ=3中找出二次方程式并求解。'

'解决以下问题。'

'(1) 使用两个数的和和积来找到二次方程的解。'

'例17 | 对称式的值(1)\n二次方程 x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\n设二次方程的两个解为\\alpha, \eta，求以下式的值。\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'(2)中的解和系数关系为α+β=-p，αβ=q。在x²+qx+p=0中，解和系数的关系为α(β-2)+β(α-2)=-q，α(β-2)+β(α-2)=p，2αβ-2(α+β)=-q，因此，2q+2p=-q，即2p+3q=0。从(2)中得到αβ+αβ-2(α+β)+4=p，从(1)中得到q(q+2p+4)=p，因此p=-3/2q。将(6)代入(5)并整理得到4q²-11q=0，即q(4q-11)=0。解得q=0和11/4。当q=0时，由(6)可得p=0。此时，α=0，β=0，与α、β不相等的假设相矛盾。当q=11/4时，由(6)得到p=-33/8。'

'设方程(1)和(2)的判别式分别为D1和D2。'

'整理方程式得'

'点(1,2)在直线(3)上,所以a+2b=1'

'为满足 y=-2x+3 ，x位于-3 ≤ x ≤ 2的范围内，求y的可能值范围。'

'证明以下等式：\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \n其中，a + b + c = 0。'

'展示三次方程式的解与系数之间的关系。'

'确定常数 k 的值，满足以下条件：\n(1) 一个解是另一个解的两倍\n(2) 一个解是另一个解的平方'

'对于实数a、b，记f（x）=x^3-3 a x+b。将|x|限制在-1≤x≤1时的最大值记为M。'

'设点P的坐标为（a，b）。经过点P且斜率为m的直线为y = m(x-a) + b，与曲线C的共有点的x坐标是方程x^3 - x = m(x-a) + b的实数解。当这个方程有三个不同的实数解时，直线ℓ与曲线C相交于三个不同的点。'

'练习'

'请找出满足以下条件的 k 的值。'

'求过两个不同点\\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\) 的直线方程。'

'假设给定数列是等差数列，初项为5，公差为-7。假设该等差数列的第n项为-1010，则得出5+(n-1)×(-7)=-1010，解得7n=1022，所以n=146（自然数）。因此，给定数列可以是等差数列。另外，-1010是第146项。'

'给定数学文字转换为多种语言。'

'练习39⇒本册p.91\\ 从三次方程的解和系数之间的关系中 \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'当方程式$x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$表示一个圆时\n(1) 求常数$k$的取值范围。\n(2) 在$k$值变化的这个范围内，求圆的圆心的轨迹。'

'对于满足 x-2y+z=4 和 2x+y-3z=-7 的所有x, y, z的值，当且仅当满足ax^2+2by^2+3cz^2=18时，求常数a，b，c的值。'

'寻找满足方程组 x - 2y + z = 4 和 2x + y - 3z = -7 的所有x、y、z的值，以及满足方程19ax² + 2by² + 3cz² = 18的常数a、b、c的值。'

'确定常数a，b，c的值，使等式3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c成为关于x的恒等式。'

'求以下3次方程式的不同实数解的数量。'

'确认对数方程式和指数条件'

'当三次方程 $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ 有重根时，请求常数 $a$ 的值。'

'求下列直线的方程式。'

'求和等于 2，乘积等于-2的两个数字是什么？求解。'

'发展 52: 二次方程解的证明问题'

'请判断以下二次方程的解的类型。其中，(4)中的k是一个常数。'

'找出能够被给定多项式P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2整除的条件，其中x = 2和x = -1。'

''

'当二次方程式$x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$有两个不同的解都大于1时，求常数$a$的取值范围。'

'二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个解 $\\alpha, \eta$ 和判别式 $D$：\n1. $\\alpha, \eta$ 是两个不同的正解 $\\Longleftrightarrow D > 0$ 且 $\\alpha + \eta > 0$ 且 $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ 是两个不同的负解 $\\Longleftrightarrow D > 0$ 且 $\\alpha + \eta < 0$ 且 $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ 是符号不同的解 $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'考虑二次方程的实根\\\alpha, \eta\和实数\k\的大小关系 \\\alpha-k, \eta-k\的符号\n\n关注和\\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\)、积\\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)的符号'

'求解以下三次方程的不同实数解的个数。'

'为了使方程 $x^{2}+2mx+6-m=0$ 同时有两个不同的实数解大于1，确定常数$m$的取值范围。'

'确定常数m的取值范围，使得二次方程$x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$满足以下条件：(1) 有两个正根。(2) 有两个不同的负根。(3) 有异号的两个根。'

'设a、b为常数。当多项式x^3-x^2+ax+b能被多项式x^2+x+1整除时，求a、b的值。'

'求等比数列的第一项和公比，使得前三项的和为-7，第三项到第五项的和为-63。'

'高次方程式：求解方程 $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$，已知其中一个解为$x=2$。请确定常数$a$的值和另外一个解。'

'具有条件的恒等式'

'针对二次方程 $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$，回答以下问题。\n（1）当有两个虚数解时，求定数 $m$ 的取值范围。\n（2）当有重根时，求定数 $m$ 的值以及此时的重根。'

'假設二次方程式 x^{2}-3x+4=0 的兩個解為 α, β，求下列式的值。'

'展示解二次方程式ax^2 + bx + c = 0的公式，并求解。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，求解以下方程：(1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'确定常数a、b、c的值，使等式x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c成立。'

'设三次方程 $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ 的三个解分别为 $α, β, γ$，求 $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ 和 $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$ 的值。'

'当三次方程 $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ 有重根时, 求常数 $a$ 的值。'

'求出以下二次方程式的两个解的和与积。\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'求解下列直线方程:'

'基础 62: 高次方程式的解法 (2) - 利用因式定理'

'解方：使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，其中a = 1，b = -3，c = -3。答案：x = 3或x = -1。'

''

'判断以下二次方程的解的类型。其中，(4)中的 k 是常数。'

'求解2x^{2}+4x-1=0的方法和答案。'

'176（1）y=4 x-9 (2) y=-2 x，y=6 x-16'

'阐明二次方程式的解与系数之间的关系。设二次方程式为ax^2+bx+c=0，解为α和β，则利用求解公式可得以下关系。\n\n1. 解的和α+β\n2. 解的积αβ'

'求由递归式$a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$确定的数列的通项公式。'

''

'设二次方程x^2+2x-4=0的两个解为α, β，那么以α+2和β+2为两个解的二次方程是什么？'

'当恒等式(k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0对于所有的k都成立时，求x和y的值。'

'当二次方程式$x^{2}-a x+4=0$有两个不同的解，且都小于3时，求常数$a$的取值范围。'

'拓展53：整数解的二次方程式（利用解和系数之间的关系）'

'求解高次方程 x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0。'

'基础例题 62确定64高次方程式的系数（1）……实数解的条件3次方程式$x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$有-1和-3作为解。（1）求常数$a$，$b$的值。（2）求此方程式的其他解。'

'当二次方程 $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ 存在两个不同的正解时，找出常数 $a$ 的取值范围。'

'考虑多项式P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r。当3次方程P(x)=0的解为-2和两个自然数α, β(α<β)时，请求α、β、q和r。'

'当二次方程式x^2+2mx+15=0具有以下解时，找出常数m的值和两个解。'

'请找出二次方程 ax^{2}+bx+c=0 的解公式。'

'当二次方程 $3 x^{2}+6 x+m=0$ 的两个解满足以下条件时，分别求解常数 $m$ 和两个解。'

'根据25次条件确定的数列{an}，求其通项公式。(1) a1=1,an+1=2an-3(2) a1=1,2an+1-an+2=0'

'考虑三次方程 $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$。'

'根据以下表找到“高次方程式”的信息。'

'\ 67 a=1,10 \'

'解决以下二次方程式。'

'求定数m的值和两个解，使得二次方程$3x^{2}+6x+m=0$满足以下条件：(1) 一个解是另一个解的3倍。(2) 两个解的比为2:3。'

'二次方程式的解'

'求通过三个点的圆的方程。'

'Development 69: Solution of Higher Order Equations (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'证明等式 A=B 的三种方法\n\n等式 A=B 有时会带有条件，但基本上是恒等式。证明等式的方法一般有以下三种：\n\n(1) 比较两边，通过转换较复杂的一边来推导出较简单的一边。\n\nA=⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = B\n（或 B =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = A）\n\n因此 A = B\n\n(2) 分别对两边进行变形，得到相同的表达式 C。\n\nA=⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = C\n\n因此 A = B\n\n(3) 对 A - B 进行变形，证明 A - B = 0。\n\nA - B =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = 0\n\n因此 A = B'

'假设TR中a和b是实数，并且方程x ^ {3}-2x ^ {2} + ax + b =0有x = 2 + i作为解。求出a，b的值和方程的所有解。'

'当方程$a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$有实数解时，求常数$a$的值的范围。'

'求出以下直线的方程：\n（1）经过点（3,0），斜率为2\n（2）经过点（-1,4），斜率为-3\n（3）经过点（3,2），垂直于x轴\n（4）经过点（1,-2），与x轴平行'

'函数$y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$在$x=a$时取得最小值$b$。求$|a+b|$的值。'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'请确定常数 a、b 和 c 的值，使得以下等式对 x 成立：(1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'探讨三次方程式具有重根的条件'

'将第三个方程式代入第一个方程式，可以得到以下方程：a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25。整理后，得到以下二次方程：a^{2} - 7a + 12 = 0。因此，得到以下解：(a - 3)(a - 4) = 0，因此 a = 3, 4。将这些值代入第三个方程式，结果如下：a = 3 时，b = 4；a = 4 时，b = -3。因此，切线方程如下：3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'基本43：对称方程的两个解的值'

'当函数 f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 10，最小值为 -10 时，请找出常数 a, b 的值。'

'当S_{2}=2 S_{1}时，\\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9，即(m+3)^{3}=54，m是实数，所以m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'当 k=0 时有一个实数解；当 k=-1 时有重根；当 -1<k<0 时有两个不同的实数解；当 k>0 时有两个不同的实数解；当 k<-1 时有两个不同的虚数解。'

'基本42：二次方程的两个解的和与乘积'

'设k为常数。判断方程kx^2 + 4x - 4 = 0的解的类型。'

'求出使得线段l1，l2平行或垂直的m的值。'

'求解以下三次方程的不同实数解的数量:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'求x和y的值，使得(k+2)x-(1-k)y-k-5=0对任何k值都成立。'

'解下列方程和不等式。'

'为了使（3）（1）具有虚数解，必须满足条件'

'求解二次方程式x^2=k的解。这里k是任意实数。'

'假设公比是 r，则从第一项到第三项的等比数列和是 21，如果第二项是 4，那么首项是 a，那么 a=，公比 r=。'

'考虑q，r为实数，多项式P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r。设333次方程P(x)=0的解为-2和两个自然数\\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\)时，求解\ \\alpha, \eta \和\ q, r \。[类似于中心考试]'

'解决以下方程和不等式。'

'例3x^2+3x+1=0的解是'

'发展 54: 二次方程的解的存在范围（2）'

'解下列方程:'

'A和B分别解出了关于x的相同二次方程。A错误地得出了x²的系数为26-2/3，解为1。B错误地得出了常数项为-1/3，解为1/2。请求出原来正确的二次方程的解。'

'当三次方程 $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ 有三个不同的实数解时, 求常数 $a$ 的取值范围。'

'考虑二次方程 $x^{2}+(m+1)x+m-1=0$。'

'标准65：高次方程式的系数确定（2）- 虚数解的条件'

'当三次方程 $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ 具有重根时，求常数 $a$ 的值。'

'标准49：二次方程的解存在范围（1）'

'求等比数列的首项和公比，使从第 3 项到第 5 项之和为-63，从第 1 项到第 3 项之和为-7。'

'基础 41: 二次方程式存在虚数解、重根的条件'

'设三次方程 $x^{3}-2 x+1=0$ 的三个解为 $\\alpha, \eta, \\gamma$，求解以下表达式的值。'

'拓展学习-发展192 3次方程式的实数解的数量(3) 利用极值'

'58商，剩下按照顺序为 (1) x^2+2x-6，-10 (2) x^2-5x+4，3'

'求第 n 項總和從第一項到第 n 項的和 S_{n} 通過下列數列 {a_{n}} 的一般項。'

"当用一元多项式表示的函数f(x)满足f'(x)-f(x)=x²+1时，f(x)是一个次函数，并且f(x)= 。"

'标准 40：判断二次方程式解的类型（2）'

'通过方程式x-2y+6=0，可以转化为y=\\frac{1}{2}x+3来表示，因此表示了斜率为\\frac{1}{2}，截距为3的直线。'

'确定常数m的值范围，使得二次方程$x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$满足以下条件：（1）具有两个正解。（2）具有两个不同的负解。（3）具有异号解。'

'拓展 66: 三次方程式的解与系数的关系'

'第3章高次方程式-49\n EX a、b、c、d 是实数常数。多项式P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d 在除以x^{2}-1后得到x+2余29，除以x^{2}+1后得到3x+4余。此时a=->，b=-1，c=d=√。[摂南大]\nP(x)在除以x^{2}-1即(x+1)(x-1)后的商为Q(x)，在除以x^{2}+1后的商为R(x)，则以下等式成立。\nP(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+x+2\nP(x)=(x^{2}+1)R(x)+3x+4\nP(1)=3，P(-1)=1，P(i)=4+3i'

'第7章指数函数和对数函数'

'求通过不同点 (x_1, y_1), (x_2, y_2) 的直线方程。'

'计算下列二次方程的两个根的和与积。'

''

'求和为2，乘积为-4的两个数是多少。'

'当三次方程式$x^{3}-3a^{2}x+4a=0$有三个不同的实数解时，求常数$a$的取值范围。'

'发展 68: 具有三个不同实数解的三次方程的条件'

'证明当a+b+c=0时，等式a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b成立。'

''

'关于下划线部分g，国土交通省去年也进行了补助金招标，旨在推广下一代车辆。关于下一代车辆的以下声明X・Y的正误组合中，请从以下内容中选择一个正确答案并以编号回答。'

'选择表达積木A移动距离的正确表达式，并给出符号。'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, 图略'

'证明以下方程在给定范围内至少有一个实数解。'

'假设a为实数，求解方程f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a的实数解个数。'

'请将分母去掉并解出以下方程：\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'求一个同时满足条件 (A) 和 (B) 的五次多项式 f(x)。'

'设a，b为实数，三次方程式x^3+ax^2+bx+1=0有虚数解α。证明α的共轭复数α¯也是这个方程的解。另外，用α和α¯表示第三个解β，以及系数a，b。'

'求速度、加速度、位置和行程（直线运动）。'

'证明当 a>1 时，方程 a x^2 − 2 x + a = 0 (1) 的两个解分别为 α，β，方程 x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) 的两个解分别为 γ，δ。记 A(α)，B(β)，C(γ)，D(δ)，证明点 A、B、C、D 四点共圆。'

'基础8: 代数解法解无理方程和无理不等式'

'在双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 上的点 $(a, b)$ 处的切线斜率为 $m$，回答以下问题。假设 $b \neq 0$。\n(1) 求解 $a, b, m$ 之间的关系式。\n(2) 将该双曲线上的点与直线 $y=2x$ 之间的距离记为 $d$。求 $d$ 的最小值。并找出使 $d$ 达到最小值的曲线上的点的坐标。[神奈川大]'

'解方程组得到的点集构成什么几何图形？'

'解方程 \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \。'

'20（1）\ |\\alpha|^{2} \\n（2）略（3）\ a=b \时的最大值为\ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \时的最小值为\ \\frac{3}{10} \'

'解方程和不等式。'

'假设两个复数w和z（z≠2）满足w=iz/(z-2)。\n[弘前大]\n1. 当点z沿着以原点为中心、半径为2的圆周移动时，点w将绘制出什么形状？\n2. 当点z沿着虚轴移动时，点w将绘制出什么形状？\n3. 当点w沿着实轴移动时，点z将绘制出什么形状？'

'放射性物质如镭等以每个时刻的质量比例减少的速度减少质量。以比例常数 k(k>0)和初始质量 A 来表示质量 x 的时间 t 函数。此外, 对于镭而言, 质量减半需要1600年。在800年内，最初数量的大约是多少百分比？四舍五入到小数点以下。'

''

'解方程 \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\。'

'实数解的个数'

'考虑复数z同时满足条件(A)和(B)的情况。 (A) z + i/z 是实数 (B) z 的虚部是正的 (1) 设|z|=r，用 r 表示 z。(2) 求 z 的虚部最大时的 z。'

'设a ≠ 0。对于函数f(x) = 2ax - 5a^2，找到使f^{-1}(x)和f(x)相等的常数a的值。'

'假设存在序列 {a_{n}} 和从第一个项到第n项的和 S_{n}'

'求解以下二次方程：\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

''

'作为男子短距离100m赛跑选手的太郎，注意到(1)，决定考虑如何使步幅和脚步频率达到最佳状态。'

'解出以下的二次方程。'

'求解满足条件的常数a的取值范围，对于两个二次方程$x^{2}-x+a=0$和$x^{2}+2ax-3a+4=0$。'

'为了确定二次方程存在解的范围，让我们考虑满足以下条件的图形:'

'设a，p为常数。求解以下关于x的方程的实数解。'

'求解以下联立方程组。'

'有多少种方法可以将12本不同的书分成以下几种方式?'

''

'设二次方程 $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ 的两个不同实数解为 $\\alpha, \eta$，并且满足 $1<\\alpha<2<\eta$，求常数 $a$ 的取值范围。'

'当方程式$ax^{2}+bx+1=0$有两个解$-2,3$时，求常数$a,b$的值。'

'对于二次方程 \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ 的两个不同实数解 \ \\alpha, \eta \，满足 \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \ ，确定常数 \ a \ 的值范围。'

'请计算二次方程式 $2 x^{2}+3 x+k=0$ 的实数解的个数。'

'求解以下联立方程组。'

'第1章\n数字和表达式\n23\n例\n(1) 求和为 x^2+2x 的表达式为 2x^2-3x+1。'

'一个实数解位于0<x<1的范围内，另一个实数解位于4<x<6的范围内时，常数a的取值范围是多少？'

'解下列二次方程。'

'二次方程的根的存在范围是什么？'

'请计算以下二次方程的实数解的个数。'

'已知长度为a、b的线段，求解二次方程 x^{2}-a x-b^{2}=0 的正解，并将其作为长度绘制线段。'

'找出二次方程式 $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ 在 $-3<x<3$ 范围内具有两个不同实数解的常数 $a$ 的范围。'

'当二次方程 $x^{2}-2 a x+a+6=0$ 满足以下条件时，求常数 $a$ 的值范围： (1) 有正解和负解。 (2) 有两个不同的负解。'

'在可以排列的所有由8个字母YOKOHAMA组成的序列中，求至少包含AO或者OA中至少一个的序列数。'

'请将给定的文本翻译成多种语言。'

'第2章 集合与命题\n(2) 解下列方程式\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\n其中，p和q是有理数。'

'当有4名男子和5名女子排成一列时，有多少种下列方式？(1) 四名男子都相邻 (2) 男子之间不相邻'

'请说明对命题的逆、对偶和逆否三种情况。'

'从最大值和最小值确定系数(3)'

''

'54（2），（3）;（2）x=2时最大值为7，x=0时最小值为3'

'二次方程式$x^{2}+x+k=0, x^{2}+k x+1=0$都有实数解的$k$值的范围是什么？'

'当 x ≥ 0、y ≥ 0，并且2x+y=8时，请求xy的最大值和最小值。'

'使用解的公式找到以下2次方程的解。'

'根据以下条件求一次函数，并使利润最大化。'

'请说明以下命题的真假。'

'解方程式。'

'如果二次方程式 $x^{2}+(a+4) x+a-3=0$ 的一个解是 $a$，求另一个解。'

''

'求解以下关于 x 的不等式。其中 a 是常数。\\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]'

'解决下列联立方程组。'

'二次方程式的应用'

'在一所学校里，决定为了清洁而完全排空游泳池中的水。但是，假设使用水泵每分钟排水一定数量。假设排水开始后 t 分钟时游泳池中剩余的水量为 V m³。'

'解出以下方程式。'

'解下列联立方程组。'

'在有5个人参加的派对上，每个人准备了一份礼物，然后进行抽签，每个人都分到一份礼物。特定的两个人A，B分别领取自己准备的礼物，剩下的三个人分别领取除自己准备的礼物以外的礼物的方式有多少种是A。'

'基础例题30 整数解的组合数量（利用重复组合）'

'求解具有 x < 2 和 x > 2 的解的存在范围为二次方程式。'

'61 a=2, b=-5 或者 a=-2, b=3'

'解决以下关于 x 的不等式。其中，a 是一个常数。\ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \'

'请提供“一次不定方程式”并附上链接。'

'求两条抛物线 y=x^2-x+1 和 y=-x^2-x+3 的两个共同点的坐标。'

'31 (1) \ x=6,-2 \\n(2) \ x \\text{≤}-5, \\quad \\frac{1}{5} \\text{≤} x \'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'解决包含绝对值的方程和不等式：(1) $|x|=c$、(2) $|x|<c$、(3) $|x|>c$'

'命题 p⇒q（p 是假设，q 是结论）。设满足条件 p 的所有集合为 P，满足条件 q 的所有集合为 Q。命题 p⇒q 为真，等价于 P ⊆ Q。请判断这个命题的真假。'

''

'对于函数$f(x)=x^{2}+2x-a^{2}+5$，找出使得以下条件成立的$a$的取值范围。'

''

'当二次方程 $x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0$ 有重根时，求常数 $m$ 的值和此时的重根。'

'解下列方程和不等式。'

'当 x=3/2 时，最小值为 3/2，最大值为无穷大。'

'使用二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解法，解出方程式。'

'当抛物线y = x ^ {2} +（2k-3）x-6k切割自x轴的线段长度为5时，请找到常数k的值。'

'有一个抽奖活动，同时投掷3个骰子一次。有多个抽奖场馆，每个场馆的中奖条件都不同。'

'当二次方程式 x^2 + 3x + m - 1 = 0 没有实数解时，求常数 m 的取值范围。'

'当二次方程 $x^{2}+m x+9=0$ 有以下这些情况时，请求常数 $m$ 的取值范围。'

'例如，方程x+y=10有许多整数解。请找出此方程的任意三个整数解。'

'解决方程$x^{2}+3x-5=0$。'

'当二次方程 $x^{2}+2 m x-m+2=0$ 的解如下时, 求常数 $m$ 的取值范围。 （1）有两个不同的实数解。 （2）有实数解。 （3）没有实数解。'

'第5章二次方程式和二次不等式\n假设以某个速度将球向上投掷，从投掷起到 x 秒后球距地面的高度为 h 米。如果 h 的值由 h=-5x^2+40x 给出，那么当球的高度从地面35米以上到65米以下时，x 的值在什么范围内？'

'求 \ a, b \ 的值，使得 \ P=4 \ 对于点 \ x, y \ 的值为 \\( (2, 1) \\)。'

'解方程式。1.基本86-使用因式分解的方法解二次方程式。2.基本87-使用解根公式解二次方程式。3.基本88-具有实数解的条件(1)'

'解方程式x^2+3x-4=0。'

'确定常数a的值范围，使二次方程$x^{2}-(a-4)x+a-1=0$满足以下条件：（1）具有两个不同的负解。（2）具有正解和负解。'

'24（1）的逆：如果x，y中至少有一个是负数，则x+y=-3，错误的逆命题：如果x≥0且y≥0，则x+y≠-3，真身：如果x+y≠-3，则x≥0且y≥0。'

'2次(1)5项式(2)(ア)2项式,常数项2 y^{2} + 5 y - 12(1)2项式,常数项6 x^{2} - 6 x - 12(ら)2项式,常数项-12'

'求解方程 $x^{2}+m x+9=0$ 的根具有以下特征时，求常数 $m$ 的取值范围。'

'当图形始终位于x轴上方时的条件是，图形是一个朝下的抛物线，并且不与x轴有交点。因此，二次方程mx^2+3x+m=0的判别式为D'

'解下列等式和不等式。(1) |(√14-2)x+2|=4 (2) 3|x-1|≤4 (3) x+|3x-2|=3'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'当二次方程式 $x^{2}-2mx+2(m+4)=0$ 有重根时，请求常数 $m$ 的值和此时的重根。'

'当二次方程式$x^{2}+5x+7-m=0$有两个不同的实数解时，请求常数$m$的取值范围。'

'对于数学I TR中的函数f(x) = x ^ 2 - 2ax - a + 6，所有实数x都满足f(x) > 0的常数a的值范围是从A到T。此外，在-1 ≤ x ≤ 1的情况下，始终满足f(x) ≥ 0的a值范围是从ウ到エ。'

'在两个不等式中，首先，将 > 替换为 =，然后解二次方程。为了解二次不等式 x^2-6x+3>0，首先解方程 x^2-6x+3=0。根据解的公式，x=(-(-3) ± √((-3)^2-1*3))/1=3 ± √6。\n\n解 x^2-6x+3>0 的值，在图 y=x^2-6x+3 上，找出使 y>0 的 x 值的范围，即 x<3-√6，3+√6<x。'

'(2) 2不等式$x^{2}+mx+m+2<0$有解'

'当x=-1时，71(2)的最大值为5，没有最小值。'

'(1) \\\\解方程2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) \\\\解得 x=-1, \\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\给定 \\theta=60^{\\circ}, \\ 180^{\\circ} \\\\\\\n'

'二次方程的解可以根据判别式 $D = b^{2} - 4ac$ 的符号进行分类。'

'求解满足以下条件的常数a的范围：方程组x^2+ax+a+3=0（1），x^2-2ax+8a=0（2）'

'求直线2x + 3y = 7 (1)和4x + 11y = 19 (2)的交点以及通过点(5,4)的直线方程。'

'当3次函数$f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$满足$(x-2)f^{prime}(x)=3 f(x)$时，求$a, b, c$的值。'

'解决以下二次方程式。'

'(1) 求解方程 2x^2 - 2√6x + 3 = 0。'

'第1章 序列'

'在范围为 -π < x ≤ π 的情况下，求解方程 4cos²x-2cosx-1=a 的解的数量。'

'求解满足给定等式的a的值。'

'证明当 (2) $\\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b}$ 时，等式 $ax+by+cz=0$ 成立。'

''

'\ \\alpha, \eta \ 是实数，所以，由 \\( (\eta-\\alpha)^{3}=4^{3} \\) 可得\n\\n\eta-\\alpha=4\n\\n\ \\alpha, \eta \ 是方程式 \ x^{2}-2=m x \ 的两个解，即 \ x^{2}-m x-2=0 \，因此，根与系数的关系为\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\alpha+\eta=m, \\alpha \eta=-2 \n\\text { 因此 } \\quad(\eta-\\alpha)^{2}=(\\alpha+\eta)^{2}-4 \\alpha \eta \n=m^{2}+8 \n\\end{array}\n\\]\n由 \ \\alpha<\eta \ 可知，\ \eta-\\alpha>0 \，所以\n\\n\eta-\\alpha=\\sqrt{m^{2}+8}\n\\n由 \ \eta-\\alpha=4 \ 可知，\ \\quad \\sqrt{m^{2}+8}=4 \，因此，\ m^{2}+8=16 \，得到 \ m^{2}=8 \，由于 \ m<0 \，所以 \ m=+-2 \\sqrt{ 久 } \'

'三次方程式$x^{3}+a x^{2}-21 x+b=0$的解是$1,3, c$。求定数$a$, $b, c$的值。'

'求解满足以下方程的a的值。a=2'

'关于直线 l: 2x - y + 3 = 0, m: 3x - 2y - 1 = 0，请回答以下问题。'

'确定常数a的值范围，使得两个二次方程9x^{2}+6ax+4=0（1）和x^{2}+2ax+3a=0（2）满足以下条件。 （1）都有复数解 （2）至少一个有复数解 （3）只有（1）有复数解'

'当 a = -1 时 x = 2, -1\n当 a = 0 时 x = 0, 2\n当 a = 8 时 x = -4, 2'

'当方程式$x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0$表示圆时，'

'求c的取值范围，使得方程x^3-6x+c=0有两个不同的正解和一个负解。'

'数列{\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}的前n项和{\ S_{n} \}满足关系式{\ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \}时\n(1) 求初项{\ a_{1} \}。\n(2) 求{\ a_{n}, a_{n+1} \}的两项间的关系式。\n(3) 求数列{\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}的一般项。'

'找出所有使得三次方程式 $x^{3}+(a+2)x^{2}-4a=0$ 恰好有两个实数解的实数 $a$。'

'使用二次方程式ax^2 + bx + c = 0的解公式求解。'

'花子和太郎读到关于这个问题的对话后，请回答以下问题。'

'确定常数a，b的值，满足以下条件：\n(1) 当 x-1 是 x^3-3x^2+a 的因式时，余数为2。\n(2) 当 2x+1 是 2x^3-3x^2+ax+6 的因式时，能整除。\n(3) 当 x+2 能整除 x^3+ax^2-5x+b，余数为8，当 x+1 是它的因式时。'

'将给定的文本转化为多种语言。'

'确定实数k的值，使得方程（1 + i）x ^ {2} +（k + i）x + 3 + 3ki = 0有实数解。然后找出这个实数解。'

'将求和为-2，积为3的两个数作为二次方程的解。'

'求常数a的值，使得方程2x ^ 3-(3a + 1) x ^ 2 + 2ax + 4具有两个不同的实数解。'

'求解以下联立方程组。'

'第2章\n复数和方程\n解2次方程2x^2 + 4x + 3 = 0的两个根α，β，证明以下内容。\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10'

'当二次方程式 $x^{2}+4 a x+8 a^{2}-20 a+25=0$ 有实数解时，$a=\\{ \\text{constant} \\}$，其解为$x=\\{ \\text{constant} \\}$。'

'创建一个二次方程，其中和为 \ p \，乘积为 \ q \。'

'求解满足下列方程组的实数 x, y 的值。'

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'创建一个以2次方程式的根α和β为解的方程。'

''

'当方程$x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0$有解$x=-1,3$时, 求常数$a, b$的值。并求出此时的其他解。'

'求二次方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两个根的和与积分分别是二次方程 $x^{2}+b x+a=0$ 的两个根。请求出常数 $a, b$ 的值。'

'每天的利润是 (a x + 3 y) 万元。将 ax + 3 y = l ……5) 代入，(5) 表示斜率为-a/3，y截距为l/3的直线。'

'请尝试在与A相同的条件下考虑 -3x+y 的最大值和最小值（将其称为C）。将 -3x+y=k，则y=3x+k。'

'设A为多项式。将x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10除以A，商为A，余数为5x^2 - 4x + 1。求多项式A。'

'确定常数 a、b、c 和 d 的值，使得以下等式对于 x 成立：'

'求p的值范围，使方程x^3-3p^2x+8p=0有三个不同的实数解。'

'对于 x 的二次方程 8x^2-4x-a=0，其中两个解为 sin θ 和 cos θ 时，求常数 a 的值和这个方程的两个解。[类 慶應大]根据二次方程的解与系数的关系，sin θ+cos θ=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2}，sin θ cos θ=-\\frac{a}{8}。将 (1) 两边平方得到 sin^2 θ+2sin θ cos θ+cos^2 θ=\\frac{1}{4}，所以 1+2sin θ cos θ=\\frac{1}{4}，于是 sin θ cos θ=-\\frac{3}{8}。代入 (2) 得 -\\frac{a}{8}=-\\frac{3}{8}，因此 a=3。因此给定的二次方程是 8x^2-4x-3=0。求解这个方程，得到两个解 x=(1±√7)/4。'

'基础列题18 恒等式的系数确定'

'请使用递推式找出数列的通项公式。'

'已知二次方程 $3 x^{2}-2 x-4=0$ 的两个解为 $\\alpha, \eta$，求以下表达式的值。'

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'当 (x + y) / 2 = (y + z) / 5 = (z + x) / 7（非零）时，求 (xy + yz + zx) / (x^2 + y^2 + z^2) 的值。'

'四次方程式 x^4+ax^3+7x^2+bx+26=0 有两个共同解与二次方程式 x^2+2x+2=0 相同且有37。 [Tokushima Bunri University] (1) 求实数常数a，b的值。(2) 求解四次方程式的剩余解。'

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'（3）对于首项a和公比r都是实数的等比数列，如果从首项到第n项的和为Sn，则当Sn=3和Sn=27时。此时求a，r的值。'

'数学 \ \\mathbb{I} \ EX\\n2 次方程式 \\( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) 的两个解为 \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \。求正常数 \ a \ 和 \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \ 的值。其中, \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \。'

'(1) $x^{2}-14 x+45=0$'

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