基本数论 - 有理数和无理数

'练习题13的最高位数字505。对于非负实数a，其中0≤r<1，并且a-r为整数的实数r被表示为{a}。换句话说，{a}表示a的小数部分。(1)找出使{n log_10 2}的小数部分小于0.02的正整数n。(2)找出十进制表示中2的n次幂的最高位数字为7的正整数n。其中，0.3010<log_10 2<0.3011，0.8450<log_10 7<0.8451。[京都大]'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'1度的正切是有理数吗？'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'当 x=π，y=π/12 时，最大值为 25/12 π; 当 x=0，y=5/12 π 时，最小值为 5/12 π'

'有理数系数的多项式'

'x = (3 ± √21) / 3'

'当 1 ≤ a < (3 + √6) / 3 时，M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'请计算负数的平方根。假设a是正实数。'

'求下列数列的和。'

'(1) 假设存在一个有理数 x 满足 3^{x}=5。由于 3^{x}=5>1，因此 x>0。因此，x=\x0crac{m}{n}(m, n 是正整数)，且 3^{\x0crac{m}{n}}=5。两边同时乘以 n 可得 3^{m}=5^{n} (1) 左边是 3 的倍数，但右边不是 3 的倍数，因此矛盾。因此，满足 3^{x}=5 的 x 不是有理数。'

'(1) 当 a > 0, x > 0 时，a^{1/2x} > 0, a^{-1/2x} > 0'

'翻译给定的文本成多种语言。'

'求解。'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'证明不满足方程 $3^{x}=5$ 的 $x$ 不是有理数。'

'1度的正切是有理数吗'

'负数的平方根'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'研究1等差数列和等比数列'

'计算以下和：\\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。'

''

'用不等号表示以下每组数的大小关系。\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'求解(1)至(3)的平方根。并计算(4)至(6)。'

'用不等号表示以下每组数字的大小。'

'求解以下四个和。'

'解以下不等式：（1）$\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$（2）$5^{x+3}>\\frac{1}{25}$（3）$2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'当 x=√10，y=10 时，最大值为1/2'

'在此表中尋找對應於數值5.67的值。'

'(1)〜(3)求每个数的平方根。 (4)〜(6)计算。'

''

'用不等号表示以下每组数字的大小。'

'(8) 在图6中，主尺的2毫米刻度的长度与辅助尺的最小1刻度的长度之间存在0.05毫米的差异，即2 - 1.95 = 0.05（毫米）。因此，当主尺和辅尺的刻度线对齐时，在辅尺上，读数将偏离1个刻度，测量长度（测量值）将产生0.05毫米的差异。因此，图6中的千分尺可读取的长度为0.05毫米的间隔。'

'（1）最大值为\\\sqrt{2}\，最小值为\-\\sqrt{2}\\\n（2）最大值为5，最小值为-5'

'当复数z满足|z-1|≤|z-4|≤2|z-1|时，在复平面上绘制z的移动范围。'

'自然常数是什么？'

'设 α、z 为复数，且 |α|>1。比较 |z-α| 和 |αz-1| 的大小。'

'欧洲：关于π的事实是无理数可以通过间接证明方法，比如反证法和部分积法，在高中数学范围内证明。这里我们介绍了1947年尼文发表的证明。假设π是有理数，π = {b} / {a}（a，b是自然数）。令f（x）= {1} / {n！} x ^ {n}（b-ax） ^ {n} = {a} ^ {n} / {n！} x ^ {n}（π-x） ^ {n}，考虑定积分I = ∫_ {0} ^ {π} f（x）sinxdx。首先，我们证明I是整数。对于I，重复使用部分积分法，因为f（x）是第2n次多项式'

'求解复数\ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \的幅角\ \\theta \。其中，\ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \。'

'求a和b的值，使得函数y=√(2x+4)的值域为1≤y≤3。'

'假设“n是一个整数。如果n的平方是7的倍数，则n是7的倍数”，是真的。请利用这个命题证明√7是无理数。'

'基础例题23 分母有理化 将下列式子的分母有理化并简化。'

'如果将3人分成3组，每组3人，那么在消除A、B、C的区分后，每种分组方式有3！种可能，因此总共有多少种分组方式？'

'在 x=（√2+√3）/（√2-√3），y=（√2-√3）/（√2+√3）的情况下，求以下表达式的值。'

'设1+√10的整数部分为a，小数部分为b，求以下值：（1）a，b；（2）b + 1/b，b² + 1/b²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'证明当分数a = m / n（其中m、n是整数且n>0）成为无限小数时，a是一个循环小数。'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) 证明$\\sqrt{5}$是无理数。'

'根号3是无理数。求满足7+a√3/2+√3=b+9√3的有理数a, b的值。'

'(1) 依次为 \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57（ア）20/3'

'假设有6条南北向道路和4条东西向道路的一个城市。从点P到点Q，按最短路径前进。在此过程中，掷一枚硬币，如果是正面朝上，则向东移动1个区块，如果是反面朝上，则向北移动1个区块。硬币的正反面出现的概率相等，均为1/2。另外，在到达点Q之前，如果在最东边的道路交叉口硬币正面朝上，或者在最北边的道路交叉口硬币反面朝上，那么无法继续前进，必须停留在那个交叉口。'

'练习23'

'两个实数a，b的和，差，积，商始终是实数。 例如，即使是有理数的和也始终是有理数。 请解释有理数和实数范围内任何时候都可以进行四则运算。 但是除法不考虑被0除的情况。'

'请证明有理数与无理数的和是无理数。'

'(1) 将 \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \ 化简。'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'证明√5是无理数。'

'體積 \ \\frac{4}{3} \, 距離 \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'确定常数a的范围，并找到相交点坐标。'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x = \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'证明有理数加无理数是无理数。'

'进行一项游戏，反复投掷一枚硬币，如果正面朝上出现3次，则可以获得奖品。然而，投掷次数最多为5次，在第三次出现正面朝上后，将不再投掷。如果第一次出现背面朝上，则获奖所需的正反面出现顺序有多少种可能性？'

'请调查以下命题的真假。但使用集合来调查第（2），（3）。\n（1）对于实数a，b，如果a的平方等于b的平方，则a等于b\n(2) 对于实数x，如果|x|<3，则x<3\n(3) 对于实数x，如果x<1，则|x|<1'

'例题 98：求解有解范围为 0 < x < 1 和 1 < x < 2 的二次方程的解的存在范围。'

'(ア) \ \\frac{1}{7} \'

'请描述平方根的性质。'

'平方根是数a的正平方根，有两个，绝对值相等但符号不同。0的平方根是0。例如：5的平方根是sqrt{5} 和 -sqrt{5}。包含根号的表达式示例：sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}。sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}。'

''

'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'请将以下表达式的分母有理化。'

'当 x=(2+√3)/(2-√3)，y=(2-√3)/(2+√3) 时，求下列方程的值。'

'证明sqrt3是无理数。假设sqrt3是有理数，即存在两个不含除1之外的正公约数的自然数m和n满足sqrt3=m/n。由此得m=sqrt3n。两边平方得m^2=3n^2，所以m是3的倍数。因此存在自然数k使得m=3k。代入得9k^2=3n^2，即n^2=3k^2，所以n是3的倍数，矛盾。所以sqrt3是无理数。'

'使用反证法证明以下命题：至少一个是无理数的 x 的平方和 x 的立方。'

'(1) 设a、b、c、d为有理数，√l为无理数。当a+b√l=c+d√l时，证明b=d成立。同时证明a=c也成立。(2) 求满足(1+3√2)x+(3+2√2)y=-5-√2的有理数x，y的值。'

'将给定表达式的分母有理化。'

''

'(1) 对于某个自然数n，√n是一个有理数，是真的 (2) 对于所有实数x，x^2 ≠ x + 2，是假的'

''

'将循环小数0.2、1.21、0.13分别表示为分数。'

'请回答以下问题。127 (1) 已知三角形的一条边长为 b=2√7，请计算其他两条边的长度。'

'请说明条件p及其否定。'

'利用根號3為無理數的事實，證明1+2根號3也是無理數。'

''

''

'解释无理数的定义，并举其两个特点。'

'什么是平方根？请举例详细解释。'

'证明√3是无理数。假设√3是有理数，可以表示为√3 = p/q，其中p和q是互质的整数。平方两边得到3 = p^2/q^2，移项得到3q^2 = p^2。因此p^2是3的倍数，根据假设，p是3的倍数，可以表示为p = 3m。代入原式得到3q^2 = 9m^2，约掉3得到q^2 = 3m^2，即q也是3的倍数。这与p和q互质相矛盾，所以假设不成立，√3是无理数。'

'移除以下方程中的双重平方根。'

'求1/6、1/9、1/14、1/21、1/30的通项。'

'计算每个表达式。'

'(1) \\\frac{\\sqrt{3}-1}{4}\'

'117\n求a，b的值，其中a=(6±√14)/2，b=(6∓√14)/2\n（复号同顺）'

'设a、b为非零实数。如下所示的等式在a>0，b>0时成立，但在其他情况下如何呢？请分别讨论以下情况：[1] a>0，b<0 [2] a<0，b>0 [3] a = √(a/b) (2)√(a) / √(b) = √(a/b) (3)√(a)√(b) = √(ab)'

'关于序列1/1、1/2、3/2、1/3、3/3、5/3、1/4、3/4、5/4、7/4、1/5......'

'562厘米或(1+√3)厘米'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) 略'

'求下列值：\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'令a是一个不同于1的正常数。给定 a^x=8 和 a^y=25，求 log_{10} 500 用 x 和 y 表示。'

'在确定高次方程式的系数的问题中，下列[1]，[2]是问题解决的基础。首先，让我们掌握这个最重要的要点。 x=α是方程f(x)=0的解⇔f(α)=0（代入后成立）⇐[1]⇔f(x)有因子x−α⇐[2]最基本的解法是，[1]的策略是“解是代入”。在例题61, 62中，我们首先展示了这种策略的答案。然而，像例题62那样，当解为虚数时，进行代入后的计算会变得有些繁琐。'

'计算以下各表达式。(5) (根号3+根号-1)(1-根号-3)'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'问题95 sqrt{15}的2分之1<r<4'

'计算下列等式。假设a>0，b>0。'

'求从第一项到第n项的总和。'

'(2) 如果xy是无理数，则x，y中至少一个是无理数的逆，逆否命题和反命题，并说明其真假。'

'利用維基根號（2）中√3為無理數，證明1/√2 + 1/√6為無理數。'

''

'根据本61逆证法，证明\ \\sqrt{7} \是无理数，进而证明\ \\sqrt{5}+\\sqrt{7} \是无理数。\ \\angle \\mathrm{p} .102 \ 基本事项2。证明一个数是无理数（即不是有理数）直接证明是困难的。因此，我们假设要证明的内容不成立，推导出矛盾，从而证明该内容成立，这就是逆证法。'

'在△ABC中，a=1+√3，b=2，C=60°。求解以下内容：\n(1) AB边的长度\n(2) ∠B的大小\n(3) △ABC的面积\n(4) 外接圆的半径\n(5) 内接圆的半径\n[类 奈良教育大]\np. 285 EX118,119'

'关于√2的值'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'对于以下命题，请给出逆否和逆否否，并判断其真假。'

'利用分母有理化的方法。'

'(3) 求取(1+√3)^3的值。'

'专注于第5种情况，将\\sqrt{2}除以\\sqrt{3}再乘以\\sqrt{5}。我们可以进行如下推导：\n(1) \\( \\quad( \\text{等式} )=\\frac{3 \\sqrt{2} \\sqrt{3}}{2(\\sqrt{3})^{2}}-\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt{2}}{3(\\sqrt{2})^{2}}=\\frac{3 \\sqrt{6}}{6}-\\frac{\\sqrt{6}}{6}=\\frac{2 \\sqrt{6}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}}{3} \\)'

'在例题28中，将x的分母有理化得出x=5-2√6，将y的分母有理化得出y=5+2√6。'

'證明以下問題的各部分。(2) 假設 √n 和 √(n+1) 都是有理數。證明 √n 和 √(n+1) 都是正整數。(3) 假設 √(n+1) - √n 是有理數。證明 √n 和 √(n+1) 的性質。 請解答以下問題。從 (a x + y)/(1 - a) = a 推導出 a x + y = a(1 - a)，解這個方程式。'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'将给定表达式化简，并有理化分母。'

'请给出以下命题的反例。'

'請練習簡化下列表達式，並將分母理性化。'

'请解释实数和平方根的性质。'

'设33®中A为有理数集合，B为无理数集合，空集为∅。在以下方框中选择集合符号∈，∋，⊆，⊇，∪，∩并填入合适的符号。'

'请证明 \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ 是无理数。假设已知 \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ 都是无理数。'

'证明对于有理数a，b，c，d和无理数x成立着如果a+bx=c+dx，则a=c且b=d。'

'基本示例 27 整数部分、小数部分'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'根据给定条件, AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}。取点D, E, F, G如图所示，将长方形的垂直长度记为x，则DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x，FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x。另外，由0<CE<AC可知，0<2 x<3 \\sqrt{2}，即0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}。定义两个长方形的总面积为y，则y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6。当x=\\sqrt{2}时，y达到最大值6。因此，两个长方形的总面积的最大值为6。'

'通过反证法证明'

'将给定表达式的分母有理化并简化。'

'请证明有理数和无理数的和是无理数。'

'证明PR√2+√3是无理数。假设√2和√3都是无理数。'

'证明有理数与无理数的和为无理数。'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'从 \\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ 推出 \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\，直线 \x=1\ 上，当 \y\ 坐标为 \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ 时的点记为 \\\mathrm{T}\，则直线 \OT\ 与半径为1的半圆的交点为图中的点 \\\mathrm{P}\。所求得 \\\theta\ 是 \\\angle \\mathrm{AOP}\。'

'简化以下表达式。'

'当 x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}，y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} 时，请计算以下表达式的值。'

'当 84 a > -1 / 8 时的解数，a=-1 / 8 时的解数，a < -1 / 8 时的解数'

'当 x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}} 时，求以下表达式的值。\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'请使用反证法证明√3是无理数。'

'79 (1) 给定 z=√3+i, -√3-i (2) 给定 z=2i, -√3-i, √3-i'

''

'(2) 点 z 满足方程式 |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z，即 w=2(1+√3 i) z 从 z =w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8 中代入到(1)式中得 |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1，即 |(1-√3 i)/8||w-8|=1 |(1-√3 i)/8|=2/8=1/4 所以 |w-8|=4 因此，点 w 绘制了以点 8 为中心、半径为 4 的圆。参考 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)) 所以，点(2+2 √3 i) z 是将点 z 经过原点旋转 π/3 后乘以 4 倍得到的点。因此，圆 |z-(1-√3 i)|=1 的中心点 1-√3 i 移动到点 8，圆的半径为 4。因此，点 w 绘制了以点 8 为中心、半径为 4 的圆。'

'请说明以下术语：有界，有限确定值，有向线段，有心二次曲线，有理函数，阳函数，四平方定理，偏角，离心率，立体的体积，莱姆曼，零因子，零矩阵，零向量，lemniscate，连续，莱布尼茨级数，洛必达法则，罗尔定理'

'对于复数 \ \\alpha=a+b i \，\ \\overline{\\alpha}=a-b i \ 被称为共轭复数，也称为 \ \\alpha \ 的共轭复数。请使用这个定义证明以下内容：\n\n(1) 如果 \ \\alpha \ 是实数，则 \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \，如果 \ \\alpha \ 是纯虚数且 \ \\alpha \\neq 0 \，则 \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \。\n(2) 证明 \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ 是实数。\n(3) 证明 \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \。\n(4) 证明 \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \。'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\n(1), s^2/b^2 + t^2 = 1\n(2) 代入 t^2 = 1 - s^2/b^2\n得到 s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1\n整理得 s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)\ns > 0, b > 0，得 s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\n(2), (3) 得 t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)\nt > 0, a > 0, b > 1，得 t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'练习问题的答案为 t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'练习 44\\n（1）（解1）x=1/(y^2-2y) 从中得到 y^2-2y-1/x=0 将这个二次方程的判别式记为D\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 则有 1/x+1 >= 0 所以 x<=-1,0<x 所以 x<=-1,0<x 时 y=1±√(1+1/x)'

'练习题答案 62（1）a= \\ frac{9}{8}'

'一个容器，当高度为 h 厘米时，容积为 π/4(h²+h) 厘米³，水面积为 π/2(h+1/2) 平方厘米。假设这个容器每秒注入 π 厘米³ 的水。求水开始注入后 5 秒后的状态，求：(A) 水面距底部的高度 h，(B) 水面上升速度 v，(C) 水面积增长速度 w。'

'不等式的成立条件'

'练习题答案 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'求解 1 的 n 次方根，并解释每个值对应于单位圆上的哪个位置。'

'求解下列问题的最大值和最小值。'

'(1) \ z \是一个非零、非1和-1的所有实数'

'阅读以下证明，证明 e 是无理数。'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'证明不等式e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'练习41 III：证明不等式\ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \。'

'(1) 略\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

'请说明“ e 是无理数”的证明。请使用反证法和无穷级数的方法，展示证明 e 是无理数的步骤。'

'当α=√3+i，β=2-2i时，请用极坐标形式分别表示αβ和α/β。其中，参数θ为0≤θ<2π。'

'设a，b为非负实数。下面的等式在a>0，b>0的情况下成立，但在其他情况下又如何呢？请按照以下情况进行研究。'

'计算下列数学问题。'

'(1) 令 a=1/4, b=3/4， 并且 2ab = 3/8，a^2 + b^2 = 5/8，\n\na<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b 可能被推测。'

'回答以下问题。假设 $\\sqrt{3}$ 是无理数。\n(1) 证明 $\\log_{3} 4$ 是无理数。\n(2) 找出一对实数 $(a, b)$，其中 $a$ 和 $b$ 是无理数，$a^{b}$ 是有理数。'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'使用常用对数确定位数和小数的首位'

''

'找到满足等式 20的x次方=10的(y+1)次方的有理数x, y。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'问题24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'找出满足方程z^2=2+2sqrt(3)i的复数z。'

'32 常用对数\n33 相关拓展问题 练习'

'使用常用对数来确定位数和小数点的位置'

'最大值为(9 + 4√3) / 9，最小值为(9 - 4√3) / 9'

''

'用不等号表示以下每组数字的大小关系。'

'当147a<-√{3}时，- \\frac{\\sqrt{3}}{2}a+\\frac{1}{4}，- \\sqrt{3} \\leqq a<\\sqrt{2}时 \\frac{a^{2}}{4}+1，\\sqrt{2} \\leqq a时 \\frac{\\sqrt{2}}{2}a+\\frac{1}{2}'

'95不是有理数。'

'设在复平面上的点a为正实数，w=a（cosπ/36+isinπ/36）。定义复数序列{zn}为z1=w，zn+1=znw^(2n+1)（n=1,2,…）。 （1）求出zn的辐角。 （2）在复数平面上，将原点命名为O，表示zn的点为Pn。 当1≤n≤17时，找出使△OPnPn+1成为直角等腰三角形的n和a的值。'

'(3) x = √5/10 其最大值为 √5/2, x = -1/2 其最小值为 -1/2'

'请说明如何利用无限等比级数的概念来表示循环小数为分数。'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) 用实数a的整数部分(k≤a<k+1并且k是整数)表示为[a]。求[ f(1)],[ f(2)],[ f(3)],……[ f(1000)]中不同项的个数。如有必要，可将对数10取为2.3026进行计算。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'练习 ⊕ 31'

'当一个球掉到地板上时，球会反弹到下落高度的3/5。'

'计算下列表达式。'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'已知顶点为A(-1), B(1), C(√3i)的三角形ABC是一个等边三角形，若三角形PQR的顶点为P(α), Q(β), R(γ)，并且是一个等边三角形，则证明等式α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0成立。'

'无理函数的图像和值域\n无理数的图像和画线的交点，无理数不等式'

'(1) 当|x|足够小时，求下列函数的一阶近似和二阶近似。'

'设α和z为复数，且|α|>1。比较|z-α|和|α z-1|的大小。'

'请用极坐标形式表示以下复数。其中幅角theta满足0 ≤ 𝜃 < 2𝜋。'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2。 假定 (1) 为 y=1/(x+3)，(2) 为 y=1/(3-x)。解得 x=0。要求的不等式解为，(1) 的图形在 (2) 的图形上方，或者在具有共享点的 x 值范围内。因此，从图中我们可以得出 x 的取值范围是 -3 < x ≤ 0, 3 < x。'

'当a=-\\frac{24}{\\pi^{2}}, b=\\frac{12}{\\pi^{2}}时，最小值为 -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'求当复数z满足|z-i|=1时，|z+√3|的最大值和最小值，并求出此时z的值。'

'当a= \\frac{2}{e+1} 时，最小值为 \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'如何将正方形三等分'

'1的n次方根的性质'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'有一种成长无法用数字来表达。'

'假设复数 z 满足 |z| ≤ 1。关于由 w = z-√2 表示的复数 w，回答以下问题：(1) 在复平面上，点 w 绘制了什么图形？进行图示。(2) 将 w^2 的绝对值表示为 r，偏角表示为 θ，则求出 r 和 θ 的范围。设 0 ≤ θ < 2π。'

'432基本问题85复数的乘积和商\nα=1-i, β=√3+i。其中，相角为0≤θ<2π。\n(1) 分别用极坐标形式表示αβ和α/β。\n(2) 求解arg(β^4)，|α/β^4|。\n(3)参考p.429基础知识1 1, 2'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'将以下函数的值按从大到小的顺序排列：（11^1/10，13^1/12，15^1/14）'

'证明不等式 \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \。'

'当 t = 2/3 时，求最小值。'

''

'当复数z满足|z|=1时，|z^3-1/z^3|的最大值是一个。'

'通过极坐标形式表示1+√3i和1+i，分别求cos(π/12)和sin(π/12)的值。'

'9除以8'

'42（1）10√3（2）1:3'

'当z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \时，最大值为3。当z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\)时，最小值为1。'

'描述一的n次根的特性。'

'速度差無限大'

'34（1）\\\\（ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\）\\n(2)\\\\（\\frac{\\sqrt{2}}{324}）\\n（3）\\\\（ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \\）'

'144'

'例11循坏小数'

'将以下循环小数表示为分数。'

'证明不存在自然数n使得√n和√(n+1)同时为有理数。'

'练习4 | II --> 本册p.59\n（2）\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'在示例31中，石头从点A到B和C的概率分别为1/2。从点B到C和D的概率也分别为1/2。对于来到每个点的石头，从A和B到C，从B和C到D，从C和D到E等等。因此，可以得出以下结论。当石头从点P、Q到点R时，到达点P、Q、R的概率分别为p、q、r，则r=1/2 p+1/2 q。利用这一点，可以逐步计算到达每个点的概率。'

'请阅读关于实数及其性质的说明，并回答以下问题：\n1. 如何分类实数？\n2. 如何表示数轴上与坐标a对应的点P？\n3. 请定义绝对值。\n4. 请定义平方根，并解释正平方根和负平方根的区别。'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'请举出无理数在具体数学问题中的例子。'

'从数学I（3）中提取的128，考虑不等式 \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\] 可得 \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ 解方程 \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \ 可得 \ \\theta=30^{\\circ} \ 因为解在直线 \ x=1 \ 上的点，且 \ y \ 坐标大于或等于 \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \，所以解范围为 \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \'

'练习使用唯一性素因子分解证明以下内容。'

'证明根号3是无理数。'

'令 x 为正数。长度均为有理数的矩形可以用一种正方形铺满。也就是说，对于边长为 1、x 的矩形，如果 x 为有理数，则可以用一种正方形铺满。如果无法用一种正方形铺满，则矩形的另一边长为无理数。利用这一点，证明 √10 是无理数。'

'求函数y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5}的值域。'

'42 √7 或者 1+√6'

使下列分数的分母有理化。 (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x 是无理数。用反证法证明以下命题。x^2 和 x^3 至少有一个是无理数。

平方根和对称式的值 x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} 时, 求以下式子的值。 (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

训练27 （1）从以下(1)至(4)中，选择所有正确的陈述。 (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$。 (2) $\sqrt{0.25}=0.5$。 (3) rac{49}{64} 的平方根是 \pm rac{7}{8} 。 (4) rac{49}{64} 的平方根仅为 rac{7}{8} 。 （2）求 \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) 的各自的值。

考虑关于 x 和 y 的多项式 P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by ，其中 a 和 b 是有理常数。 (1) 当 x = 1/(2-√3)、y = 1/(2+√3) 时，求 x + y 和 x - y 的值。 (2) 当 P 在 (1) 中的 x, y 值时等于 4，求 a 和 b 的值。

5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 时，求以下表达式的值。 (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

设 x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, 求下列公式的值：(1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3}+x^{3} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

关于积 x y，对于 x 和 y，因为 x 的分母和 y 的分子相同，并且 x 的分子和 y 的分母相同，所以不用有理化分母就可以计算出 x y=1。逆数关系：\frac{A}{B}, \frac{B}{A}

利用反证法证明：（1） 证明 $\sqrt{2}$ 是无理数。使用反证法，假设 $\sqrt{2}$ 是一个有理数。那么存在两个互质的整数 p 和 q，使得 \sqrt{2} = rac{p}{q}。通过平方两边得到 2 = rac{p^2}{q^2}，即 2q^2 = p^2。由于 p^2 是偶数，则 p 也是偶数。因此 p=2k，对某个整数 k 来说，得到 2q^2 = (2k)^2，即 2q^2 = 4k^2。简化得到 q^2 = 2k^2，因此 q 也是偶数。于是 p 和 q 共有因数 2，与 p 和 q 互质矛盾，假设不成立， $\sqrt{2}$ 必是无理数。

证明 TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ 是一个无理数。你可以使用以下已知事实: 如果一个整数 $n$ 的平方是 3 的倍数，那么 $n$ 也是 3 的倍数。

用整数 $m$ 和非零整数 $n$ 表示的分数 rac{m}{n} 称为什么？

将 rac{30}{7} 表示为小数时，求小数点后第 100 位的数字。

使下列分数的分母有理化。 (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) 假设 $a, b, c, d$ 是有理数, $\sqrt{l}$ 是无理数。当 $a+b \sqrt{l}=c+d \sqrt{l}$ 时, 证明 $b=d$ 成立。另外, 也要证明在这种情况下 $a=c$ 也成立。(2) 求出满足 \( (1+3 \sqrt{2}) x+(3+2 \sqrt{2}) y=-5-\sqrt{2} \) 的有理数 $x, y$ 的值。

在小数第几位结束的小数叫什么？

利用√6是无理数，证明以下数是无理数： (1) 1-√24 (2) √2+√3

在某一位以下数字重复排列的小数叫什么？

去掉下列表达式中的双重根号。 (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

（1）从以下 1〜（4）中选择所有正确的。 (1) 7 的平方根是 $\pm \sqrt{7}$ (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} 。(2) 7 的平方根仅为 $\sqrt{7}$。(4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} 。（2）求 \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \) 的值。

把循环小数 $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ 分别表示为分数。

TRAINING 42 当 \sqrt{6}+3 的整数部分为 a，小数部分为 b 时，a^{2}+b^{2} 的值是 \square。

通过使用√3是无理数，证明1+2√3是无理数。

小数点以下の数字が限りなく続く小数は何と呼ばれますか？

点 \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) 是点 $z$ 如何移动的点。设旋转角度 $heta$ 的范围是 $-\pi< heta \leqq \pi$。

由于点 rac{z}{z-2} 在虚轴上，所以 rac{z}{z-2} 的实部为 0。

复数的绝对值 对复数 $z=a+bi$，点 $z$ 和原点 $O$ 之间的距离 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 称为复数 $z=a+bi$ 的绝对值，并用 $|z|$ 表示。 即复数的绝对值是实数。 求下面复数 $z$ 的绝对值。 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

共轭复数的性质 对于复数 α 和 β，以下内容成立。

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) 在 $t=-1$ 取得最小值 $2 \sqrt{5}$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

计算以下复数。 (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

计算以下复数的辐角。 (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) 依次为 rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

复数 $z$ 的虚部为正数，3个点 \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) 是等腰直角三角形的顶点。此时，求 $z$。

对复数 $z$ ， 证明 |z|=|-\overline{z}| 。

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (ウ) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

设复数 lpha 的实部和虚部都为正。此外，假设 |lpha|=|eta|=1 。已知复数 i lpha, rac{i}{lpha}, eta 在复平面上构成一个正三角形的三个顶点，求 lpha 和 eta 。