基本数论 - 质数和因数分解

'请说明因式定理。'

'利用二项定理证明以下等式成立：{ }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'公约数（多项式）：两个或两个以上多项式的一个多项式，它整除所有给定多项式的最大多项式。'

'(1) 如果m是素数，则证明d_{m}=m。\n(2) 对于所有自然数k，利用数学归纳法证明k^m-k可以被d_{m}整除。'

'证明对于所有的自然数 n，表达式4^{2n+1} + 3^{n+2} 是13的倍数。'

'数学 II\n(1)由 (α-2)(α+3)=0 得 α=2,-3\n(2) 由 α=2 时 k=8, α=-3 时 k=-27\n因此 k=8,-27'

'练习（1）证明当n为自然数时，4^（2n+1）+3^（n+2）是13的倍数。'

'(1) 将 $k^ 3$ 除以 $n$ 的商为 $q$, 余数为 $r$, 则 $k^ 3=qn+r(0≤r≤n-1)$ 当 $n$ 和 $k$ 互质时, $n$ 和 $k^ 3$ 互质。 因此 $r≠0$, 所以 $1≤r≤n-1$ (1) 两边除以 $n$ 可得 $\\frac{k^ 3}{n}=q+\\frac{r}{n}$ 由 $1≤r≤n-1$ 可知, $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$ 因此 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1, 所以 $\\left[\\frac{k^ 3}{n}\\right]=\\left[q+\\frac{r}{n}\\right]=q$'

'(2) 证明对于所有的k，k^m - k可以被d_m整除。[1] 当k=1时，有1^m - 1 = 0，并且d_m ≠ 0，因此0可以被d_m整除。因此，(1)成立。[2] 假设k=l时(1)成立，即l^m - l可以被d_m整除。考虑k=l+1的情况，(l+1)^m - (l+1)={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} 根据假设，l^m - l可以被d_m整除。另外，d_m是{m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)}的最大公约数，因此这些项也可以被d_m整除。因此，(l+1)^m - (l+1)可以被d_m整除。因此，当k=l+1时，(1)也成立。由[1]，[2]可知，对于所有自然数k，(1)都成立。'

'假设p是素数，r是正整数，请证明以下内容：\n(1) 当x₁，x₂，...，xᵣ都是正整数时，\\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{r}\\right)^{p}-\\left(x_{1}{ }^{p}+x_{2}^{p}+\\cdots+x_{r}^{p}\\right) \\)是p的倍数。\n(2) 当r不能被p整除时，\ r^{p-1}-1 \是p的倍数。\n[类 东大]'

'证明当p是素数时，做以下证明：\n（1）对于满足1 ≤ k ≤ p-1的自然数k，对应的 p_k 选择k 是p的倍数。\n（2）2^p-2 是力的倍数。\n[Tohoku Gakuin University]'

'设将三个字母（a、b、c）横向排列n个构成长度为n的单词。其中n=1,2,3,……。例如，abbaca、caab都是长度为4的不同单词。在所有长度为n的单词中，将包含奇数个a的定义为xn，其他的定义为yn。求解xn和yn。'

'练习55 (1) [1] 中给出 m=2 时, d_2 是能整除最大的自然数, 即 d_2=2, 也成立 d_m=m。[2] 当 m 大于等于3 且为素数时, {m C_1}=m, 所以只需证明 {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} 都是 m 的倍数即可。对于 k=2,3,…,m-1, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} 所以 k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1} 因为 m 大于等于3 且 k 处于 2 到 m-1 之间, 所以 k 和 m 互质。因此, {m C_k} 是 m 的倍数。因此, d_m=m 也成立。由 [1], [2] 可知, 若 m 为素数, 则 d_m=m。'

'综合演习'

'(3) \ m, n \ 是自然数，\ p \ 是素数，因此，\ m, n, p \ 是非零实数。因此，通过(1)，得到 \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \。另外，在 \ a^{m} = b^{n} \ 中，满足 \ 1 < a < b \，因此\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { 即 } a^{m} > a^{n} \\\\\\\底数 \ a \ 大于1，因此 \ m > n \。因此，由(2)得到 \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \，因此\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'(1)的解为α，β，且f(x)=x^2+2ax+a-1。 α，β在(2)的两个解之间的条件是，在(3)条件下f(α)<0，f(β)<0。'

'当非零实数$x, y, z$满足$3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$时，求$\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$的值。'

'假设整数a，b不是3的倍数，并设f（x）=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1。证明不存在满足f（x）=0的整数x。'

'当$4^{x}=6^{y}=24$时，求$\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$的值。'

'让我们回顾一下二次方程的根！当 b^2-4ac=0 时，实数解是平方根的情况。在二次方程 ax^2+bx+c=0 的解的公式 x=-b±√(b^2-4ac)/(2a) 中，当 b^2-4ac=0 时，√(b^2-4ac) 和 -√(b^2-4ac) 都是0，因此解为 x=-b/(2a)。'

'超过10723张'

'设n是大于或等于3的自然数，证明不等式4^{n}>8 n+1（A）。'

'多项式 2x^3+5x^2-23x+10 的因数是哪一个？'

'当且仅当 k ≥ 0 时，存在实数 x，y 满足方程 x² - xy + y² = k 和 x + y = 1。'

'如何找到使P(k)=0的k'

'基础57：根据可整除条件求系数'

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'如果一年利率为1％，以每年复利方式存入100万日元，第几年利息和本金加起来首次超过110万日元？可以使用常用对数表。'

'2020年度Shibuya Education Institute Makuhari Middle School arithmetic first exam'

'将不是平方数或立方数的大于1的整数按从小到大的顺序排列。 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots 当时，从小到大数数到第2020个整数是多少。'

'（4）黑色正方形的边长在1厘米以上100厘米以下时，白色正方形的数量在8个以上（（1+1）x4 = 8个）404个以下（（100+1）x4 = 404个）。而无法用连续整数之和表示的数除了1之外不具有奇数约数，这样的数可用素数之积表示为2 x ・・・ x 2。因此，在上述范围内，有8个（个）、16个（个）、32个（个）、64个（个）、128个（个）、256个（个），对应于每种情况下黑色正方形的边长分别为1厘米、3厘米、7厘米、15厘米、31厘米、63厘米。'

'「百八の煩脑」是什么意思？'

'每次大使拜访总理时都受到热烈欢迎。'

'关于第5题中的下划线部分d，外汇汇率与外国货币的兑换比率称为外汇市场。针对下面关于此事项的文X和Y，请从以下选项中选择一个正确的选项组合并回答。'

'各 6 点 × 2'

'(2) 3240被表示为质数的积，则3240 =2×2×2×3×3×3×3×5。'

'从小到大排列不是平方数的大于1的整数, 依次为2,3,5,6,7,8,10, ...，请问从小到大数第300个整数是多少？'

None

'(1) 使用二项式定理证明不等式$2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$成立。(2) 求$\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$的值。'

'参考线复线'

'证明对于两个整数 a、b，如果 a+b 和 ab 互质，则 a 和 b 互质。'

'求56以下的自然数中与56互质的数量。'

'设a，b为自然数，则a + b = p + 4, ab^{2} = q。找出满足条件的素数p和q。'

'证明：从1到50的整数中选择任意26个不同的数，必定包含和为51的两个数。'

'证明n^{2}+1是5的倍数，当且仅当n被5除的余数为2或3。'

'关于 PR 3500 的正因数'

'素数是大于1的自然数，它的正整数因子只有1和它本身，而非素数的数则被称为合数。例如2，3，5，7，11等是素数，而4，6，8，9等是合数。'

'因数分解 (基本)'

None

'在给定条件下，当p=3k+2时，找到使得p, 2p+1, 4p+1均为素数的自然数p是p=3。而对于大于等于5的素数p，很明显2p+1和4p+1中至少一个会是3的倍数。'

'请判断以下命题的真假：\n(2) 28的正约数为1,2,4,7,14,28，共有6个。因此，这是一个真命题。\n(3) 当n=36时，n是4的倍数且是6的倍数，但不是24的倍数。因此是一个假命题（以n=36作为反例）。'

'利用素数的性质'

'关于互质的证明'

'证明连续整数的乘积是2的倍数。'

'对于质数问题，应该如何考虑呢，我有些困惑。 质数的定义是，“大于2的整数，并且除了1和它本身以外没有正约数的数”，这个定义很简单。关键是如何利用这个定义。首先，让我们掌握以下属性(1)，(2)：(1) 质数 p 的约数是 ±1 和 ±p（正约数是1和p这两个），(2) 质数大于等于2，偶数的质数只有2。另外，大于3的质数都是奇数。利用“质数 p 的约数是 ±1 和 ±p” 这一特性， 当 (n-3)(n-9) 是质数 p 的时候， 可能会有以下四种情况，(A)到(D)。在考虑大小关系 n-9<n-3 和 1<p,-p<-1 时，尤其要注意 (B) n-9=1 和 (C) n-3=-1 是唯一可能的。特别是在负数情况下，容易出现像 n-9=-1 这样的错误。 表格中如下：（内容太长省略）。'

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'找出正因子个数为28个的最小正整数。'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'互质的自然数的数量'

'计算 72 和 120 的最大公约数和最小公倍数。\n通过其中12个数字共同的质因数进行分解。\n例如，不断地通过2进行分解。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n请计算最大公约数和最小公倍数。'

'找出所有使得三个数 p, 2p+1, 4p+1 都是素数的自然数 p。'

'设p，q为素数，且p＜q。又设m，n为正整数，且m≥3，n≥2。假设在1到p的m次方乘以q的n次方之间的整数中，可以被p或q整除的整数个数为240。请找出满足这些条件的（p，q，m，n）组合。'

'基础例题 106 正因数的个数\n（1）求 630 的正因数个数。\n（2）将自然数 N 分解为质因数，其中质因数包括 p 和 7，没有其他质因数。此外，N 的正因数有 6 个，且正因数的总和为 104。求出质因数 p 和自然数 N 的值。'

'完全数和素数'

'(2)假设a是正整数，p=a^2 + 1是一个素数。那么，n^2 + 1是p的倍数，当且仅当n除以p的余数是a或者p - a。'

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'证明对于两个互质的整数a和b，a+b和ab也互质。'

'使用质因数分解找到 2 个整数或 3 个整数的最大公约数和最小公倍数。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

None

'求所有小于432的自然数中与432互质的数的个数。'

'(2) 证明: 当自然数P不能被2或3整除时，证明P^2-1可被24整除。'

'求735以下的自然数中与735互质的数的个数。'

'应该求出13的15次方除以5的余数。'

'设a、b为自然数。证明当ab是3的倍数时，a或b必定是3的倍数。'

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'按照D→A→B→C→E的顺序涂色。涂色方式为D→A→B有3！=6（种）对于每种方法，C和E的涂色方式各有1种。因此，所求的涂色总数为6×1×1=6（种）。'

'求正整数 756 的正因数个数。'

'问题 (2) 将自然数N分解为素数因子，其中素数因子为p和5，并且除此之外没有其他素数因子。此外，N有8个正约数，它们的总和为90。请找出素数因子p和自然数N的值。'

'三个数都是素数的条件'

'当自然数N的素因数分解为N=p^a * q^b * r^c ......时，N的正因子个数为(a+1)(b+1)(c+1)......。'

'有一个猜年龄的谜题：我年龄除以 3 的余数是 1，除以 5 的余数是 4，除以 7 的余数是 1。请猜测我的年龄。但年龄不会超过 105 岁。'

'证明连续的四个整数n(n+1)(n+2)(n+3)是24的倍数。'

'全排列'

'证明当 n 为正整数时，2n-1 和 2n+1 互质。'

'证明当自然数P既不能被2整除也不能被3整除时，P^2-1可以被24整除。'

'73省略'

'证明三个数同时为质数的条件'

'鸽子洞原理（房间分配法）'

'令n为自然数。找出使得以下值为质数的n的所有可能值：\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'在发现大素数时面临的挑战是什么？'

'求最小的自然数n，使得√(378n)成为自然数。'

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'当一个整数可以表示为多个整数的乘积时，乘积中的每个整数称为原整数的因子。如果是质数，则称为质因子，并将自然数表示为仅包含质数的乘积形式，这称为质因数分解。'

'孪生素数和三胞胎素数'

'找到正因數個數為28的最小正整數。'

'素数的寻找方法（埃拉托斯特尼筛法）\n如果自然数 n 不能被小于或等于其平方根的所有素数整除，则 n 是一个素数。\n利用这个规律，考虑一种寻找小于等于 50 的所有素数的方法。'

'因數的個數和總和'

'因式分解'

'让我们回顾一下因式分解的基础知识！'

'基础 11: 通过提取公因数进行因式分解'

'(1) 证明连续两个整数的乘积是2的倍数。'

'如果两个整数a，b没有共同质因数，则它们的最大公约数为1。如果两个整数a和b的最大公约数为1，则a和b互质。'

'14（1）144种\n(2) 720种\n(3) 1440种'

'让我们总结一下质因数分解的基本步骤。为了将质因数分解适用的公式：'

'擲骰子兩次，積為12的倍數的方式有多少種？'

'根据a≥1和b≥1，有a+b>a+b-1≥1，因为a+b-1是一个素数，所以a+b-1=1，所以a+b=p。因为a≥1且b≥1，所以a=1，b=1。这样，从（2）可以得出p=2，p是一个素数。因此，使p成为素数的a，b为a=1，b=1。'

'（1）计算60的阶乘的结果，最多能被3整除多少次？98\n（2）计算50的阶乘，末尾会连续出现多少个0？'

'（1）证明：假设整数n不是3的倍数，则n可以表示为3k±1（k为整数）。那么n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k)必定是3的倍数。'

'提取公因数并进行因式分解。'

'95（1）n=21（2）n=30,270'

'请使用辗转相除法来求解以下两对整数的最大公约数：(1) 221,91 (2) 418,247 (3) 1501,899'

'找出所有使51，2p+1和4p+1均为素数的p的值。当p是素数时，检查2p+1和4p+1是否也是素数。'

'证明对于两个正整数a和b，如果a和b互质，则a+b和ab互质。'

'证明对于任意的自然数 a 和 k，a 和 ka+1 互质。'

None

'在完成基本示例和标准示例后，您应该解决什么样的问题？'

'请回答以下问题：（1）计算60!的结果，能被3整除的最大次数是多少？（2）计算50!，求末尾连续出现多少个0？'

'证明自然数 a, b 的以下命题：\n(1) 如果 a 和 b 互质，则 a^2 和 b^2 互质。\n(2) 如果 a+b 和 ab 互质，则 a 和 b 互质。'

'证明对于大于等于2的自然数n，n^4+4不是质数。'

'使用符号 $\\subset ,=$ 描述集合 $A, B$ 之间的关系。A=\\{n \\mid n 是小于等于7的素数 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'关于以下数学问题：（1）使用10除以2得到的商，4除以2得到的商，2除以2得到的商，使用计算倍数2的个数的方法，最大可以整除10！的次数是多少？（2）使用10除以5的商，计算10!的结果，问末尾连续出现多少个0？'

'（1）求正数720的正因子个数。\n\n（2）将自然数N进行素因数分解，素因数为2和3，没有其他素因数。此外，N的正因子恰好有10个。求出所有这样的自然数N。'

'大于2的自然数，除了1和它本身之外没有正约数的数称为素数。 大于2的自然数，不是素数的数称为合成数。'

'用七夕的 8 个字母可以组成多少个字符串？'

'问题 A (2) 寻找两个自然数分别为6m、6n。其中m、n为互质的自然数。由于6m>6,6n>6，因此m>1，n>1。根据条件4536=6m・6n可知m*n=126。由于m和n不可能为平方数，所以m不等于n，因此1<m<n。求满足条件的m、n对可得(m, n)=(2,63),(3,42),(6,21),(7,18),(9,14)。其中互质的对有(m, n)=(2,63),(7,18),(9,14)，因此所求的两个自然数为12,378或42,108或54,84。'

'2进制数101转换为10进制是多少？'

'将单词“addition”的8个字母横排成1列时，有多少种排列方式？'

'掌握倍数识别方法，攻克例题85！'

'找出具有8个正约数的最小自然数。'

'99培训'

'(1) 自然数N表示为5进制时有3位数的有多少个？'

'找出有4个正因子的最小自然数。'

'答: 数学部分50: 省略51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

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'找到所有使p, 2p+1, 4p+1均为质数的p。'

'有序排列。'

'99 (1) (ア) n=4 (1) n=2,14 (2) a=1, b=1'

'证明当 a 和 k 为自然数时，a 和 k a+1 互质。'

'將示例83區分為最大值和最小值後，可以得出下面的結論。'

'求解整数解的一次不定方程式问题（3）（使用欧几里得算法）。'

'让我们回顾一下如何求解一次不定方程的整数解！当找不到整数解时，可以使用辗转相除法。通过逆向追溯辗转相除法的计算，可以找到整数解。'

'假设a和b不互质，即a和b有共同的素因子p，则a=pk，b=pl（k，l为自然数）。'

'当同时投掷两个骰子时，没有出现数字1的情况有多少种可能性？'

'在 x 轴上有点 P。投掷一个六面体骰子，出现的点数为 6 的倍数时，P 沿着 x 轴正方向前进 1，出现的点数不是6的倍数时，P 沿着 x 轴负方向前进 2。当投掷四次骰子时，从原点出发的点 P 在 x=-2 点的概率为甲 ，在原点的概率为乙。'

'求648的正因数个数和总和。'

'求解除以14余5、除以9余7的自然数n中最大的三位数。'

'求EX人的孩子最大值n和相应的a，b'

'因数分解的方法'

'欧几里德算法\n对于自然数a和b，令a除以b得到余数r，则a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。\n通过这个方法的重复使用，可以求得两个自然数的最大公约数。这个方法称为欧几里德算法或简称互除法。\n例如，求319和143的最大公约数\n观察319除以143得到商和余数的等式319=143*2+33，根据定理可知求319和143的最大公约数等同于求143和33的最大公约数。继续这个操作，会发现余数越来越小。另外，余数大于等于0，因此最终余数会变为0。余数为0时，除数就是要求的最大公约数。'

'数学 A\nTR\n(1) 使用合同式求解以下内容：\n求 12^{1000} 除以 11 的余数\n求 13^{81} 的个位数\n(2) 当整数 a, b, c 满足 a^2+b^2=c^2 时，使用合同式证明至少有 a, b 中至少有一个是 3 的倍数。'

'希望将 5390 除以一个自然数 n，使得余数为 0，并且商是一个自然数的平方。请找出符合条件的 n 的最小值。'

'利用合同式，求解以下内容。'

'找出具有8个正因数的最小自然数。'

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'对自然数 N 进行素因数分解，其中素数因子包括 3 和 5，没有其他素数因子。此外，N 有恰好 6 个正约数。请找出所有符合条件的自然数 N。'

'请说明使用逆否命题证明方法，并使用逆否命题证明以下命题T：'

'求10000的约数个数。'

'求10000的因数个数。'

'设a, b为自然数。证明以下内容：(1) 若a和b互质，则a^{2}和b^{2}互质。(2) 若a+b和ab互质，则a和b互质。'

'证明对于任意自然数a，a和a+1互质。'

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'将给定的 150 乘以一个两位数的自然数 n，使其成为某个自然数的平方。求出满足条件的 n 的最大值。'

'同时投掷三个骰子，每个骰子都显示奇数的投掷方式有多少种？'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\ (\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\ (\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'在小于500的自然数中，找出以下集合的元素个数：\n(1) 可以被3整除的数集合\n(2) 可以被3、5和7整除的数集合\n(3) 可以被3整除但不能被5整除的数集合\n(4) 既不能被3整除也不能被5整除的数集合\n(5) 可以被3整除但不能同时被5和7整除的数集合'

'（1）求 1800 的正因数个数。\n\n（2）将自然数 N 分解质因数，质因数包括 3 和 5，没有其他质因数。另外，N 的正因数恰好有 6 个。找出所有这样的自然数 N。'

'当不为0的实数x，y，z满足2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}时，求\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}的值。'

'请查找方程 x^3-3x^2-9x+k=0 的不同实数解的数量。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'求数列1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ...的通项公式。'

'当非零实数x，y，z满足2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}时，求\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}的值。'

'在1和10之间，求以质数为分母的既约分数的总和为198时，求p的值。'

'使用二项定理的值，找到以下值。'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'考虑从1到300的所有整数。'

'考虑数列 $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$，求该数列的通项公式。'

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'有两个复数z=x+yi(这里x, y是实数)，使得z的平方等于8i。求这两个z的值。'

'假设是等比数列，公比为\\frac{6}{3}=2。设第n项为1500，则3* 2^{n-1}=1500。得到 2^{n-1}=500，500=2^{2}* 5^{3}，因此不存在满足这个等式的自然数n。因此，不可能成为等比数列。'

'证明对于所有正整数 n，3^(3n-2)+5^(3n-1) 是7的倍数。'

'证明对于所有正整数 n，3^{3n-2}+5^{3n-1} 是7的倍数。'

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'令 k 为正整数。找出满足 5n^{2}-2kn+1<0 的整数 n 只有一个的 k 的所有值。'

'从以下 A 到 E 中选择正确的选项。'

'关于两个方程 $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$，确定常数 $a$ 的值范围，使得满足以下条件：\n（1）两者都有实数解\n（2）至少有一个方程没有实数解\n（3）只有一个方程有实数解'

'将给定文字翻译成多种语言。'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'当实数x，y满足x²+y²=2时，求2x+y的最大值和最小值。并求此时的x，y的值。'

'高斯符号和图表（高斯符号）'

'180（1），（3）'

'求定数k的取值范围，使得二次方程x²+(2k-1)x+(k-1)(k+3)=0有实数解。'

'三个连续自然数中，最小的数的平方等于另外两个数的和。求这三个数。'

'(1) 因为"大"一词并不清晰，所以无法确定其正确性。 因此，这不是一个命题。'

'求解二次方程 $x^{2}+(a-3) x-a+6=0$ 不具有实数解的定数 $a$ 的范围。'

'使用常数a求解抛物线y = 2x^2 + 3x - a + 1与x轴的交点数量。'

'2 因数分解'

''

'求解分解为二次不等式的解。请找到以下不等式的解。'

'请证明表达式 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 具有因子。'

'找到一个条件，使得方程比p有解大，比p有解小。'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'17 (3) 1 的翻译'

'(4) 让a₁, b₁为互质的正整数，a₂, b₂也是互质的正整数。集合Q₁和Q₂定义为\nQ₁={z | z是通过整数k表示为(𝑒^(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π𝑖))^{k}的复数}\nQ₂={z | z是通过整数k表示为(𝑒^(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π𝑖))^{k}的复数}\n并定义集合R为\nR={z | z是用集合Q₁和集合Q₂的元素乘积表示的复数}。当b₁和b₂互质时，集合R中的元素数量n(R)为方块。当b₁和b₂不互质时，将它们的最大公约数表示为d，则集合R中的元素数量n(R)为圆。'

'11 (3) 0'

'当 $k=-\x0crac{1}{2}$ 时'

'使用递推公式计算无限级数的总和'

'\\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) 的证明。'

'依次是 10（1）2（2）;'

'(2) 让l和k是互质的正整数。证明：对于复数z的l次方、2l次方、3l次方、……、kl次方，它们都是不同的。'

''

'数学'

'在这里，第n个素数Pn满足Pn>n，对于所有满足1 ≤ k ≤ n的自然数k，可以使用素数p1，p2，......，pn表示k = p1^m1(k)×p2^m2(k)×......×pn^mn(k) [其中，m1(k)，m2(k)，......，mn(k)是大于等于0且小于等于n的整数]。因此，1/k = 1/(p1^m1(k)×p2^m2(k)×......×pn^mn(k))'

'从C赢得比赛的概率条件推导出来, 得到$\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$. 因为$p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$, 所以消去分母并整理得到$5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$. 解这个不等式得到 $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$. 注意到 $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$, 并且由 $6<\\sqrt{41}<7$ 推出 $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$. 因此, $0<p<1$ 意味着 $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$. 接着, 寻找自然数$n$满足条件 $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1). 解得到$n$满足不等式 $54<-10+\\sqrt{4100}<55$. 由于$n$是递增的, 满足条件(1)的最小$n$是 $55$. 所以, 所求的$N$的最小值是 $55$.'

'在整式中，可以利用因式分解的方法来求解最大公约数和最小公倍数，与整数的情况类似。'

'當撥動弦時，當弦長度減半時，音高會升高一個八度。 在這裡，介於 C 和上一個 C 之間的兩個音的弦長比被分為 12 等份，稱為 12平均律音階。 這是一個常用的音階。'

'求29的51次方除以900的余数。'

'当正实数x，y满足9x^2 + 16y^2 = 144时，xy的最大值为√。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'求多项式x，使得x^2+1为被除式时余数为3x+2，x^2+x+1为被除式时余数为2x+3，并且x的次数是48中最小的。'

'找出所有能被 3 整除的正整数 n，满足 n^{n}+1。'

'确定常数a，b的值，使得f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1能够被(x-1)^{2}整除，其中n是一个自然数。'

'91 (1) 4 个'

'剩余定理和因式分解定理'

'169（3）2'

''

'\ p \ 是素数，整数 \ r \ 满足 \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \。证明 \ p_r \ 可被 \ p \ 整除。'

'如果a，b是质数，并且二次方程3 x^{2}-12 a x+a b=0有两个整数解，则求a，b的值及其整数解。'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ 的整数条件是，乘积\a c\ 必须是一个完全平方数。这样的自然数\\(a, c(a>c>1)\\)中，最小的是\ a=2^{3}, c=2 \，取\b=3\得到\d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\。'

'如果将 P(x) 除以 (x-1)^{2} 时余数为常数，求将 P(x) 除以 (x-1)^{2}(x+1) 时的余数。'

'1042'

'在复平面上的一个正方形中，如果有一组相邻的两个顶点为点1和点3+3i，则求另外两个顶点所代表的复数。'

''

'119 (1) 3'

''

'将给定的文本翻译成多种语言。'

None

'证明对于所有自然数 n，都有 2 的 n 次方大于 n。'

'复数解z的实数条件和纯虚数条件\n将z=a+bi（a，b是实数）\n• z是实数 ⇔ z=̄z\n因为̄z=z成立，所以a-bi=a+bi，即-b=b，所以b=0，因此z=a，z是实数。\n在复数平面上考虑，点z和点̄z是关于实轴对称的两点，这两点只有在实轴上重合，因此z是实数。\n• z是纯虚数 ⇔ ̄z=-z且z≠0\n因为̄z=-z且z≠0成立，所以a-bi=-a-bi，即a=-a，所以a=0，因此z=bi，由于z≠0，所以b≠0，所以z是纯虚数。\n在复数平面上考虑，点̄z和点-z是关于虚轴对称的两点，这两点只有在虚轴上重合，除了原点O，其余点都是纯虚数，所以z是纯虚数。'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101（2）4'

''

'证明当自然数 n, k 满足 2 ≤ k ≤ n-2 时，组合数C(n, k) > n。'

'使用埃拉托斯特尼筛法，证明1000以下存在超过750个非素数整数。'

''

'求 n 的最大值是，50!计算时末尾的零的数量，即将 50!进行素数分解时出现的素数5的数量。1 到 50 的自然数中，是5的倍数的数量是，以 50 除以 5 的商为10（是 5^2 的倍数的数量是，以 50 除以 5^2 的商为2，因此，不存在 5^n（n ≥qq 3）的倍数。因此，素数5的数量是 10+2=12（个）。因此，求得的 n 的最大值是12。'

'证明对于任意自然数n，f(n)=5^{3n}+5^{2n}+5^n+1。当n不是4的倍数时，f(n)是13的倍数。'

'请描述欧几里德算法的步骤，并提供一个具体示例。'

'如果 a 和 b 互质，并且 a k 是 b 的倍数，则 k 也是 b 的倍数。'

'对于素数p，当n = p^14时，找到使n≥1900的最小p。'

'证明对于任意自然数 n，n^5-n 是 15 的倍数。'

'关于连续整数的乘积。'

'Exercise 6 III-> Book p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'定理 2 以上的自然数可以被分解为素因数。'

'例题 75 | 利用质因数分解'

'设p是质数。找出所有自然数对(n, k)，满足k ≤ n且组合数(n, k) = p。'

'找出使40-a-8和b-c-8都是素数的素数组(a, b, c)。'

'大于125的5的倍数有150, 155, 160, 165, 130等。 将165的阶乘进行素因数分解时，素因数5的数量是多少？'

'在1到100之间，有多少个自然数能被2、3和5整除？有多少个自然数能被2、3或5整除？有多少个数能被2整除但不能被3或5整除？'

'(2) 证明其中有非质数的 a、b、c。'

'请解决高斯符号和二次不等式问题。'

'找出使 n 和 n^{2}+2 都是質數的自然數 n 的值。'

'费马小定理的逆定理是指如果互质的整数 a 不满足 a^{p-1} ≡ 1 (mod p)，那么 p 不是素数（而是合数）的情况。请举例说明以下合数：9, 35。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'求以下数字的约数。(1) 36 (2) 14 (3) 12345 是3的倍数还是9的倍数？ (4) 91 和 144 互质吗？'

'求求大于423且小于9999的奇数a，使得a的平方减去a能被10000整除。'

'请证明合数一定有质数作为其约数。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'在（3）（2）中，如果去掉A，B，C之间的区别，那么相同的东西每种可以组合成3!种，即1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280（种）'

'素数p满足条件：m²-n²=p。证明存在一对自然数(m, n)满足这个条件。'

'证明 p 是大于 3 的质数。'

'请检查91和144是否互质。'

'求36的因数。'

'假设 p 是大于 3 的素数，且 p + 4 也是素数。'

'假定a、b、c都不是5的倍數。'

'请证明第n个卡塔兰数（卡塔兰数Cn）的公式。并求解n=4时的卡塔兰数。'

'证明以下命题为真: 如果整数 n 不是3的倍数，则 n² 也不是3的倍数。'

'挑戰參與。 解決方案也包含=。'

'例49 | 通过余数对整数进行分类\n证明以下内容：\n(1) 对于整数n，n^{4}+5 n^{2}是3的倍数。\n(2) 把整数的平方数除以5时，不能余3。'

'在500以下的自然数中，找出以下集合的元素个数。'

'求给定数字25（1）36的所有因数。'

'（1）计算20的阶乘结果后，能被2整除多少次。\n（2）计算25的阶乘，末尾连续有多少个0。'

'设n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$。当$2^{m}-1$为素数时,证明$T(n)=n$,并使用$1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$。'

'当 ab 是质数 p 的倍数时，a 或 b 是 p 的倍数。'

'约数与倍数问题：求自然数N的正约数个数。当自然数N的素因数分解为N=p^a q^b r^c ... ...时，N的正约数个数为'

'证明99 1 1次不定方程的整数解存在的条件'

'(3k + 1)(3k + 2)是连续两个整数的乘积，因此是2的倍数。因此，可以用整数l表示为(3k + 1)(3k + 2) = 2l，以及(p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1)。由于p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4是连续的5个整数，其中一个是5的倍数。如果令p = 5，则p + 4 = 9，则导致p + 4不是素数，因此p > 5，因此p, p + 4是大于5的素数，所以不是5的倍数。因此，p + 1、p + 2、p + 3中的一个是5的倍数。因此，(p + 1)(p + 2)(p + 3)是5的倍数。由2和3可以得出(p + 1)(p + 2)(p + 3)是24的倍数，因此是120的倍数。'

'在小於30的自然數中，有15個2的倍數，7個2的平方倍數，3個2的立方倍數，1個2的四次方倍數。因此，在分解30!時，素數2的個數是'

'練習15 III(→參考書第84頁)'

'找到使得$k^{2}+2$成为质数的所有质数$k$，并证明不存在其他情况。'

'(1) 求最小的正整数n，使得n! / 1024是一个整数。'

'当有两对仅有两个相同的骰子时，使两个介于1和6之间的不同数字的乘积成为一个完全平方数的情况只有一个，即2^2=1×4，所以满足条件的是 {1,2,2} 和 {1,1,4},{2,2,4} 和 {1,4,4}，在这种情况下k=4,16，从中可以得出k=4,10,15,16,40,90,120'

'125以下的自然数中，是5的倍数的有25个，是5^2的倍数的有5个，是5^3的倍数的有1个。因此，125!的素因数分解中，素因数5的数量是'

'证明当两个正整数a和b互质时，a+b和a*b也互质。'

'请找出0、1、2、3、4、5中各位数字和为3的倍数的所有组合。'

'重要例题 82 | 证明为无理数'

'证明如果49是素数，则 $p^{4}+14$ 不是素数。'

'合成数的质因数分解，除了乘积顺序不同外，只有一种可能（即质因数分解的唯一性）。利用上述定理证明这一点。证明：假设合成数a的质因数分解有两种不同表示方式。'

'请说明判断一个整数N是否为质数的方法。 请验证257是否为质数。'

'对于大于2的任意自然数n，记n的所有正约数之和（不包括n本身）为T(n)。求T(120)的值。'

'素数问题\n假设n是一个自然数。证明只有当n=3时，n, n+2, n+4都是素数。'

'重要例题 87 | 有关等式a^2+b^2=c^2的证明问题\n\n当a，b，c是除了1之外没有共同约数的自然数时，证明a，b，c满足a^2+b^2=c^2时，证明以下内容：\n(1) a，b中的一个是偶数，另一个是奇数。\n(2) 如果a是奇数，则b是4的倍数。\n(3) a，b中至少有一个是3的倍数。'

'重要例题83 互质的自然数的数量'

证明以下命题。 (2) 如果 $m n$ 是奇数，那么 $m$, $n$ 都是奇数。

对于以下（1）到（5）的情况，求二次函数 $y = x^2 - 2ax + a$ 在 $1 \leqq x \leqq 2$ 区间的最大值和最小值。假设 a 是一个常数。 (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

1. 设三次方程 $41^{3} x$ 的二次函数 $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ 的最小值为 $m$。 (1) 用 b 表示 $m$。 (2) 当 $b$ 变化时，求 $m$ 的最大值及此时 $b$ 的值。

基本例题 76 设 z=1+i。 (2）求使 z^n 成为纯虚数的最小自然数 n 的值。