基本数论 - 整数，分数，小数

'求解满足 $p^{2}-q^{2}=250$ 的整数对 $(p, q)$ 的个数。'

'[4]根据(1/y)+(1/z)=(1/3)和(1/z)≤(1/y)推出(1/3)≤(2/y)，所以y≤6。结合y≥6推出y=6。\n这样，(1/z)=(1/3)-(1/6)=(1/6)。解方程得到z=6。'

'85倍数相关的证明问题'

'1到n的所有自然数，平方数和立方数之和可表示为：(1) 1+2+3+...+n = \\frac{1}{2} n(n+1) (2) 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} = \\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) (3) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3} = \\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2}'

'最高位的数字'

'展示实数的性质。'

'练习n为自然数时，证明以下不等式成立。'

'数学的"起源"是什么？什么应该被看作是数学的"起源"？'

'从上面看，k的最小值是'

'求给定二次方程的判别式D，并判断其解的类型。'

None

''

'求第8项为37，第24项为117的等差数列从第10项到第20项的总和。'

'求通项公式。'

'(2) \ \\frac{1}{1-\\frac{1}{1-\\frac{1}{1+a}}} \'

'a = 1 或（a ≠ 1 且 b = 4a² − 4a）'

'考虑由自然数组成的数列 {an}。'

'练习题20 格点数\n（1）对于整数 k 大于等于0时，满足 \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} \\leqq k \ 的整数对 \\( (x, y) \\) 的数量记为 \ a_{k} \。用 k 表示 \ a_{k} \。\n（2）对于整数 n 大于等于0时，满足 \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} + z \\leqq n \ 的整数三元组 \\( (x, y, z) \\) 的数量记为 \ b_{n} \。用 n 表示 \ b_{n} \。\n[横滨国立大学]'

'17（1）乘以10，积29（2）乘以0，积2（3）乘以-4，积4'

'将给定的分数序列求和，并将其分解为部分分数以简化计算。'

''

'请问第n群的第一个奇数是多少？'

'当a>0, b>0时，请比较(𝑎+𝑏)/2，√(𝑎𝑏)，2𝑎𝑏/(𝑎+𝑏)，√((𝑎²+𝑏²)/2)的大小。'

'169（1）\ \\frac{110}{3} \ （2）\ \\frac{37}{12} \ （3）\ \\frac{9}{8} \ （4）\ \\frac{14 \\sqrt{14}}{3} \'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

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''

'数学 II'

'45 \ \\frac{1}{\\tan \\frac{\\pi}{24}}-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}-\\sqrt{6} \ 是一个整数。求它的值。'

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'第几项首次变为负数？'

'数列 {a_{n}} 的首项 {a_{1}} 到第 n 项 {a_{n}} 的和记作 {S_{n}}。若 {S_{n}+a_{n}=4 n+2}，则 {a_{1}=} 甲 {，a_{2}=} 乙。将 {a_{n+1}} 表示为 {a_{n}} 的表达式是 {a_{n+1}=丙 {a_{n}+} 丁}。因此，这个数列的通项公式是 {a_{n}=戊}。'

'求等差数列的第100项的和S，其中首项为1，公差为-2。'

'高斯符号和数列的总和，递推式'

'数列{an}满足a1=1，并且对于所有自然数m，有a2m=a2m-1+1，a2m+1=2a2m。'

'考虑以下数列。'

'求等差数列2、17/6、11/3、9/2、⋯⋯、12的和S。'

'在一个圆上画 n 条弦，任意两条弦在圆内相交，没有三条弦共点。将这些弦分割的部分数量记为 D_{n}。这时，D_{3}=口的，D_{4}=1，D_{n}=ウ。另外，在 D_{n} 个部分中，多边形的数量记为 d_{n}。当 n≥4 时，d_{n}=エ。'

'利用数学归纳法证明任意自然数m，a_{3m}是5的倍数。'

'(2) \ n=87 \'

'证明数列 {an} (其中 {an}>0) 当关系式(∑an)^2 = a1^3 + a2^3 + ... + an^3 成立时，an = n。'

'一道数学B练习60'

'数学问题'

'练习81（1）|x| ≥ 1，所以|t| ≥ 1。 OA线段的斜率是1/t，OA线段的中点坐标是（t/2，1/2），所以OA线段的垂直平分线方程是y-1/2=-t(x-t/2)，即y=-tx+(t^2+1)/2（|t| ≥ 1）。（2）y=-tx+(t^2+1)/2得到t^2-2xt-2y+1=0。记f(t)=t^2-2xt-2y+1，要求的条件是{关于使f(t)=0的判别式D满足（1）的实数t}，因此D/4=x^2+2y-1 ≥ 0，即y ≥ -x^2/2+1/2。（1）满足条件的实数t都在-1<t<1内，即满足{D ≥ 0 f(-1) > 0 f(1) > 0 -1 <x <1}，也就是{y ≥ -x^2/2+1/2 y < x+1 y < -x+1 -1 <x <1}。考虑从满足1条件的所有实数解中排除|t|<1的情况。'

'P ≥ 2√(a * 1/a) + 2√(b * 1/b) + 2√(c * 1/c) + 2√(abc * 1/abc) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 所以 (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) ≥ 8'

'求出根据以下条件确定的数列 {a_n} 的通项公式。'

'初始項為96，公比為-1/2，因此前7項的總和為96{1-(-1/2)^7}/(1-(-1/2))=96/(3/2)(1+1/128)=64*129/128=129/2'

'哪个数列是等比数列？'

'当同时掷几个骰子时，出现的数相乘为偶数的概率至少达到0.994以上，需要同时投掷几个骰子？其中，log_{10} 2=0.3010, log_{10} 3=0.4771。'

'23\\ n \\ 1,2,3 | 4,5,6,7,8 | 9,10,11,12,13,14,15 \\ mid 16, \\ cdots \\ cdots \\ n(1) \\ 第 \ n \ \\ 群の最初の数と最後の数を求めよ。\\ n(2) \\ 第 \ n \ \\ 群に含まれるすべての数の和を求めよ。\\ n（3） \\ 2014 \\ は第何群の何番目の数であるか。'

'M ≥ 1 / 4'

'下一个问题，如果用九进制表示4^{10}，记为n的位数'

'(a>0, a=0, a<0)中有一个成立。'

'数学 \ \\Pi \ 63 因此, \\( \\quad P(-1)=-a+b, P(1)=a+b \\) (1), (2) 得到 \ -a+b=5, a+b=7 \ 解方程组得到 \ \\quad a=1, b=6 \ 因此, 所求余数为 \ \\quad x+6 \'

'(2) \\( \\alpha=\eta=\\gamma=1 \\Leftrightarrow \\alpha-1=\eta-1=\\gamma-1=0 \\Leftrightarrow(\\alpha-1)^{2}+(\eta-1)^{2}+(\\gamma-1)^{2}=0 \\)'

'假设整数 a, b 均不是 3 的倍数, 令 f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1。 (1) 求出 f(1) 和 f(2) 除以 3 的余数。'

'(4) \\sqrt[4]{16}=\\sqrt[4]{2^{4}}= 2, \\quad \\sqrt[4]{625}=\\sqrt[4]{5^{4}}= 5 ,'

'综合'

'求2位数中满足以下条件的数的总和：（1）除以5余3的数；（2）奇数或3的倍数。'

'(3) 由于$c_{k+2}=c_{k+1}+c_{k}$，因此假设$n=k$时$c_{n}$是$d$的倍数并不能证明。'

'整数问题和数学归纳法'

'求等比数列一般项，其中第3项为12，第6项为-96。假定公比为实数。'

'(1) 因为 $\\frac{y}{x} > 0, \\frac{x}{y} > 0$，所以根据算术平均大于等于几何平均的性质有 $\\frac{y}{x} + \\frac{x}{y} \\geq 2 \\sqrt{\\frac{y}{x} \\cdot \\frac{x}{y}} = 2$。'

'对于自然数n，当√(2n)+1/2>1时，an是大于1的整数。对于自然数m，当an=m时，m≤√(2n)+1/2<m+1，即m-1/2≤√(2n)<m+1/2。因为m-1/2>0，所以根据上述，(m-1/2)^2≤2n<(m+1/2)^2，得出m(m-1)/2+1/8≤n<m(m+1)/2+1/8。'

'数学B\n287\n从(1)得出a=6\n将此代入(2)得到6(36-d^{2})=162\n因此d^{2}=9\n因此d=±3\n因此，所求的3个数是3,6,9或9,6,3\n即\n3,6,9\n由于未明确三个数字的顺序，因此答案只需一种。\n另一种解法是将组成等差数列的三个数字序列记为a，b，c，根据条件\n2b=a+c\na+b+c=18\nabc=162\n将(1)代入(2)得到3b=18，因此b=6\n此时，根据(1)和(3)得到a+c=12，ac=27\n因此，a，c是方程x^{2}-12x+27=0的两个解。(x-3)(x-9)=0求解得x=3,9\n即\n(a,c)=(3,9),(9,3)\n因此，所求的3个数是3,6,9'

'第一组到第十一组的总数为66，因此，数列{an}的第77项是第12组第(77-66=11)（第11个）的数字。 因此，根据(1)，数列{an}的第77项为12*11^2=1452。'

'有2本红色书，n本蓝色书。将这n+2本书随机放在书架上。将两本红色书之间的蓝色书数量记为X。'

'(1) 2/3 (2) 30 (3) 16/3'

'数学 II\n即\\[ \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\),\\left(-2,-2\\) \\]\n当 \\( \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\) \\) 时, (2) 推出 \ \\quad a=0 \\n由于这不满足条件 \ a>0 \, 所以不符合。\n当 \\( \\left(p, q\\right)=\\left(-2,-2\\) \\) 时, (2) 推出 \ \\quad a=4 \\n这满足条件 \ a>0 \。\n因此, 所求整数 \ a \ 是 \ \\quad a=4 \\2\。考虑到与 \1\ 同理, 两个方程\n\ x^{2}+a x+b=0 \\n(4), \ y^{2}+b y+a=0 \\n的解都是整数。\n设 (4) 的两个解为 \ p, q \, 根据解与系数的关系\n\ p+q=-a, p q=b \\n由于 \ a>0, b>0 \, 因此 \ \\quad p+q<0, p q>0 \\n因此, \ p, q \ 都是负整数，即小于等于 -1 的整数。\n因此, 设 \\( f(x)=x^{2}+a x+b \\), 那么 \\( y=f(x) \\) 的图像只与 \ x \ 轴的 -1 及以下部分有交点。\n所以 \\( \\quad f(-1)=1-a+b \\geqq 0 \\) 即 \ \\quad a \\leqq b+1 \\n结合 \ a>b \, 得 \ \\quad b<a \\leqq b+1 \\n因此此时, (4) 变为 \\( x^{2}+a x+(a-1)=0 \\), 从而\n\\[ \\left(x+1\\right)\\left(x+a-1\\right)=0 \\]\n即整数解为 \ x=-1,-a+1 \。\n接着, 考虑 (5) 即 \\( y^{2}+b y+(b+1)=0 \\) 有整数解时的 \ b \ 的值。\n设 (5) 的两个解为 \ r, s\\left(r \\leqq s\ \\), 根据解与系数的关系可得\n\ r+s=-b \\]\n\\[ r s=b+1 \\n由 (7), (8) 消去 b 得到 \ r s+r+s=1 \, 因此 \\( \\quad \\left(r+1\\right)\\left(s+1\\right)=2 \\)\n由于 \ r, s \ 为整数, 那么 \ r+1, s+1 \ 也为整数。\n另外, 由 (7), (8) 可得, 同 \ p, q \,\ r, s \ 也是小于等于 -1 的整数，因此\n\ r+1 \\leqq 0, s+1 \\leqq 0 \\n从而, 由 9) 得到\n\\[ \\left(r+1, s+1\\right)=\\left(-2,-1\\) \\]\n即\n\\[ \\left(r, s\\)\\right=\\left(-3,-2\\) \\]\n由此可得, 由 (7) 得 \ \\quad b=5 \\n再由此可得 \ \\quad a=5+1=6 \\n因此, 所求整数组 \ \\left(a, b\ \\是 \\) \\left(a, b\\)=\\left(6,5\\)'

'按顺序（1）1个，2个（2）1个，0个（3）2个，1个（4）1个，1个'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'(1) 当 n ≥ 2 时，从第1组到第 (n-1) 组的数字数量为 ∑_{k=1}^{n-1}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2}(n-1) n+(n-1)=n^{2}-1，因此第 n 组的第一个数字是自然数列的第 {n^{2}-1+1}=n^{2}（项），这也成立于 n=1。因此，第 n 组的第一个数字是 n^{2}，第 n 组的最后一个数字是与包括到第 n 组的自然数列项的数量相匹配 ∑_{k=1}^{n}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2} n(n+1)+n=n^{2}+2 n'

'等差数列的通项公式和和\n通项公式 $a_{n}$ 初项为 $a$，公差为 $d$\n\\[\na_{n}=a+(n-1) d\n\\]\n等差中项\n数列 $a, b, c$ 是等差数列 $\\Leftrightarrow 2 b=a+c$\n等差数列的和 从第一个到第 $n$ 项的和 $S_{n}$\n(1) 初项 $a$，第 $n$ 项（末项） $l$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n(a+l)\n\\]\n(2) 初项 $a$，公差 $d$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n\\{2 a+(n-1) d\\}\n\\]\n自然数的和, 正奇数的和\n\\[\n\egin{array}{l}\n1+2+3+\\cdots \\cdots+n=\\frac{1}{2} n(n+1) \n1+3+5+\\cdots \\cdots+(2 n-1)=n^{2}\n\\end{array}\n\\]'

'数列 a、b、c 构成等差数列，因此 2b=a+c\n数列 b、c、a 构成等比数列，因此 c^2=ab\n因为a、b、c的乘积为125，所以abc=125\n将(2)代入(3)得到 c^3=125\n因为c是实数，所以c=5\n将(1)、(2)代入得到 2b=a+5，ab=25\n消去b后得到 a(a+5)=50\n因此a^2+5a-50=0\n所以a=5，-10\n根据ab=25，得到b=25/a\n例\n\\triangleleft 36-d^2=27\n数\n列\n平均形2b=a+c用于解答\n和为p，乘积为q的两个数字是二次方程式x^2-px+q=0的两个解（数学 II）\n4\n（公比）=(第2项)/(初项）\n4 a_n=2*(-3)^n 是错误的。\n4(-1)^{可效}=-1\n可以将(2)除以(1)得到 r^3=-8\n4 a_n=ar^{n-1}\n等差数列的平均形式\n等比数列的平均形式\n将ab=c^2代入(3)\n第1式\n（第2式）×2代入\n4(a-5)(a+10)=0'

'(3)按顺序为 7, 15, 14, 12'

'数列 {a_n} 是首项 {a_1} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{3}=-\\frac{1}{12}，公比为 -\\frac{1}{8} 的等比数列，因此求数列 {a_n} 的通项。'

'\\( \\frac{1}{9} n(5 n+13) \\pi \\)'

'在数学A中学到了“排列组合”的概念。当将从1到n的数字排成一行时，如果从左边起第k个数字不是k，则称其为完美排列。另外，将n个物品的完美排列数量记为W(n)，称为蒙摩尔数，其中W(1)=0，W(2)=1，W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2)}(n ≥ 3) (详见，图解数学I+A第264页)。在这里，考虑用n的表达式表示W(n)的递推式。为了简化表示，我们考虑了将1重写成如下递推式。'

'假设数列 {a_n} 的第l项和数列 {b_n} 的第m项相等，满足条件 15l-2=7・2^{m-1}。请解决这个问题。'

'数学 II'

'公比：数学术语，指比率和比。'

'请使用自然数n，比较n!和3^n的大小。'

'(2) 当 n 为偶数时，为 0；当 n 为奇数时，为 15'

"在第一轮选举中B党和C党的席位总数为5个，但是在第二轮中，通过合并组建了E党，并且假设在合并前后获得了相同的总票数，其他政党的选票不变，那么席位数将变为6个。因此，政党合并可能会改变席位数，但是关于杜恩特式（D'Hondt）的席位分配有以下已知特性。"

'(2) 解2tí xínghéngshì \ x^{2}-x-m=0 \ de 2 gè zhěngshù jiě wèi \\( \\alpha, \eta(\\alpha \\leqq \eta) \\) , cóng jiě hé xìshù de guānxì kě yǐ dé \n\ \\alpha+\eta=1 \\nBiàn xínghéng \n\\[ \\text { (1), } \\alpha \eta=-m \\]\nDāng \ m \ shì zìránshù de shí, yīnwèi \ \\quad \\alpha \eta<0 \ yīncǐ, \ \\alpha \ hé \ \eta \ shì yì fúhào, \ \\alpha<0, \eta>0 \ de zhuàngshì。\nCóng (1) kě zhǐ \ \\alpha=1-\eta \ \n\ \\alpha<0 \ cóng \ \\quad 1-\eta<0 \\nYīn cǐ \ \\quad \eta>1 \'

'(3) 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1，所以 an = 2^{n+1} - 1 2008 = 4 * 502，因此，根据 (2)，2^{2008} - 1 除以 17 的余数为 0。因此，2^{2008} = 17k + 1（这里 k 是整数）表示。因此 an = 2^{2011} -1 = 2^{2008} * 8 - 1 = (17k + 1) * 8 - 1 = 17 * 8k + 7。因此，an 除以 17 的余数为 7，同时 2012 = 4 * 503，因此 an = 2^{4 * 503} - 1，根据 (2)，则 a_{2012} = 2^{2014} - 1。'

'\\(\\frac{1}{b-a}\\left(\\frac{1}{x+a}-\\frac{1}{x+b}\\right) = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{b-a}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{(x+a)(x+b)}\\)'

'当数列以 a₁=1 开始时，满足条件。当 a₁=2 时，a₂=1，仍然满足条件。接下来考虑 a₁>2 的情况。假设对于所有自然数 n，aₙ>2，由 (2) 知，a₁>a₃>a₅>a₇>⋯。因此，存在一个自然数 m 满足 a₂ᵐ⁺¹≤2。这与假设相矛盾。因此，存在某个自然数 n 满足 1≤aₙ≤2，若存在自然数 n 使 aₙ=1，则满足条件。若存在自然数 n 使 aₙ=2，则 aₙ₊₁=1，仍然满足条件。综上所述，无论数列 {aₙ} 以哪个值开始，都必定包含一个值为 1 的项。'

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'在两位数中，能被55整除余3的数为5·2+3,5·3+3, … , 5·19+3，这是首项为13，末项为98，项数为18的等差数列，因此，其和为1/2·18(13+98)=999'

'计算将20万日元按5%的年利率存入7年后的本利合计。'

'假设政党1,政党2,政党3的得票数分别为30万, 30万, 10万。'

'(2) 20=2^{2} \\cdot 5,10=2 \\cdot 5, 所以, 20^{x}=10^{y+1}, 因此 2^{2 x-y-1}=5^{y+1-x} (1). 假设 y+1-x \\neq 0, 则由 (1) 得 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}=5 \\cdots\\cdots\\cdot(2), 当 x, y 是有理数时, 2 x-y-1, y+1-x 都是有理数, 且 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x} 也是有理数。另外, 由 (2) 得 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}>1, 所以 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}>0, 因此 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}=\\frac{m}{n}(m, n 是正整数), 可表示为 2^{\\frac{m}{n}}=5. 两边乘以 n 得 2^{m}=5^{n}, 左边是2的倍数，右边却不是2的倍数，矛盾。所以 y+1-x=0. 在这种情况下, 由 (1) 可得 2^{2 x-y-1}=1, 因此 2 x-y-1=0 (4), (5). 解方程组得 x=0, y=-1'

'当 (1) 中，求得 $\\frac{x y+y z+z x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的值。'

'等差数列的通项公式是什么？'

'练习题19 高斯符号和数列求和, 递推式'

'提案的相对分配方式（1）.....都不式\n介绍日本的国家选举中关于比例代表选举席位分配的方法。比例代表选举中，根据每个政党的得票数，按照称为“多顿式”的计算方法确定每个政党获得的席位数量。本文将解释“多顿式”的具体方法以及具体示例。 *“多顿式”是由比利时数学家维克托尔·多顿（1841-1902）设计的方法。'

'(1) 23 ÷ 3 (2) 19 ÷ 24 (3) −32 + 20√5 ÷ 3'

'由于$0 \\leqq x \\leqq \\pi$，因此$-\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{9}{4}\\pi$，以及$\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{3}{4}\\pi$。这意味着$\\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right)=0, \\pi, 2\\pi$或$\\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{2}$。解这些方程可得$5 x-\\frac{\\pi}{2}=0, 2\\pi, 4\\pi$或$x+\\frac{\\pi}{2}=\\pi$。因此$x=\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{\\pi}{2}, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{5}{2}\\pi, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{9}{2}\\pi$或$x=\\frac{\\pi}{2}$。综上可得$x=\\frac{\\pi}{10}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{9}{10}\\pi$。'

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'当 k+1 时，(1) 也成立。'

'给定等差数列{a_{n}}，其中首项为a，公差为d，则每一项可以表示为：\na，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。请计算该数列的第n项a_{n}。'

'请使用自然数 n，比较 n² 和 4^(n-2) 的大小。'

'求f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x-9的实数解的个数。'

'点R的坐标是从(-2+6)/2, (5-3)/2)到(2,1)'

'求整数x，y，z满足约束x≥0，y≥0，z≥0和(x/3)+(y/2)+z≤n的组合(x，y，z)的数量b_n。'

'5√10 / 18的计算结果是5√10 / 18'

'944 \\sqrt{2}-4'

'(3) (a, b)=(-1,-1),(1,-1),(-1,1), (1,1)'

'求100至200之间自然数中满足以下条件数的总和。（1）能被7整除余2的数（2）是4或6的倍数'

'请解释以下有关帕斯卡三角形的性质：\n1. 每一行的两端数字。\n2. 除了两端以外的每个数字的性质。\n3. 数字的排列。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'假设实数p，q满足|p|≤1，|q|≤1，|p-q|≤1。将0、p、q中的最大值定义为M，最小值定义为m。证明以下不等式成立。'

'两个粒子在时刻0位于三角形ABC的顶点A。这两个粒子独立运动，每隔1秒等概率地移动到相邻的顶点。设n为自然数，令这两个粒子在时刻0的n秒后处于同一点的概率为pn。'

'(1) 5 (2) 4 (3) 7/3'

'从给定的递推式中，对于任意自然数 n，存在自然数 a_{n}，且a_{n}<a_{n+1}。 因此，当 n \\geqq 2时，a_{1}，... a_{n-1} 不是 a_{n}的倍数，但 a_{n}是 a_{n}的倍数。接下来，当 n\\geqq 2时，通过关于 m 的数学归纳法证明对于任意自然数 m，a_{n+m}-a_{m}是 a_{n}的倍数。'

'请推导出以下复数的实部和虚部。'

'当a、b、c均为小于1的正数时，证明三个不等式a(1-b)>1/4，b(1-c)>1/4，c(1-a)>1/4不可能同时成立。'

'综合练习369 由 2^{4n}-1 ≡ (-1)^n-1 (mod 17) 得到 当 n 为偶数时 2^{4n}-1 ≡ 0 (mod 17) 当 n 为奇数时 2^{4n}-1 ≡ -2 ≡ 15 (mod 17) 因此，所求余数是 当 n 为偶数时为 0，当 n 为奇数时为 15 (3) 2008=4 × 502 因此，由 (2) 可知 2^{2008}-1 ≡ 0 (mod 17) 即 2^{2008} ≡ 1 (mod 17) 所以 2^{2011} ≡ 2^3 · 1 ≡ 8 (mod 17) 2^{2012} ≡ 2 · 8 ≡ 16 (mod 17) 2^{2013} ≡ 2 · 16 ≡ 32 ≡ 15 (mod 17) 2^{2014} ≡ 2 · 15 ≡ 30 ≡ 13 (mod 17) 因此 a_{2010} ≡ 2^{2011}-1 ≡ 7 (mod 17) a_{2011} ≡ 2^{2012}-1 ≡ 15 (mod 17) a_{2012} ≡ 2^{2013}-1 ≡ 14 (mod 17) a_{2013} ≡ 2^{2014}-1 ≡ 12 (mod 17)'

'由于 \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} \\geqq 0\\)，所以当 \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2}=0\\) 时，\1 \\cdot a_{1}+2 a_{2}+\\cdots \\cdots+n a_{n}\ 取得最大值，即 \\(a_{k}=k(k=1,2, \\cdots \\cdots, n)\\)。因此，所需的数列是 \1,2,3, \\cdots \\cdots, n\。'

'将各政党的得票数除以1、2、3...的商，结果如下表所示。'

'从第一个数到第几个数求和最大？并求出此时的和。'

'练习（1）证明不等式|x+y+z| ≤ |x|+|y|+|z|。'

'请使用常用对数表计算以下问题，直至小数点后两位：(1) 2.37 × 3.79 (2) 7.67 ÷ 2.86'

'102最大值16，点P的坐标是（5 / sqrt(26)，1 / sqrt(26)）或（-5 / sqrt(26)，-1 / sqrt(26)）'

'62\n(1) (ア) 3\n(イ) \ -\\frac{5}{2} \\n(2) \ \\frac{13}{4} \'

'求解公差数列的首项a和公差d，使得从第一项到第五项的总和为125，从第一项到第十项的总和为500。'

'将自然数排列成右图所示。'

'证明余数定理。'

'证明当|x|<1且|y|<1时，|左|\\frac{x+y}{1+xy}|右|<1'

'设a和d为整数。记数列{an}为首项a，公差d的等差数列。将数列{an}的前n项和记为Sn。'

'由於首項為2，公差為17/6-2=5/6，末項為12是第n項，則2+(n-1)・5/6=12，因此n=13，求等差數列的和為S=1/2・13(2+12)=91'

'考虑由以下条件确定的数列 {Fn}。'

'因为1和3是解'

'对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数。定义数列{a_{k}}为a_{k}=2^[\\sqrt{k}] (k=1,2,3,......)。对于正整数n，求b_{n}=\\sum_{k=1}^{n^{2}} a_{k}。'

'证明3个不等式（2）'

'第394页'

'证明对于所有自然数 n，2^{n+1}+3^{2n-1} 是7的倍数。'

'例 59 | 指数・指数根的大小比较'

'求下列和。'

''

''

'当 k = 0 时，x = -1, 0, 4；当 k = 12 时，x = -2, 2, 3'

'(2)由于$\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{0}=1,\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{-1}=r$，根据(1)，猜测$a_{n}=n-1+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{k-2}$成立。接下来，我们将通过数学归纳法来证明这一结论。'

'点（x，y）在ΔOAB内的条件表示为x>0，y>0，x+y<1。设2x+y=X（2），x+2y=Y（3），则3x=2X-Y，2×（3）-（2）得到3y=-X+2Y，即x=(2X-Y)/3，y=(-X+2Y)/3。将这些代入（1）得到x>0，则2X-Y>0；y>0，则-X+2Y>0；x+y<1，则（X+Y）/3<1，即X+Y<3。因此，Y<2X，Y>1/2X，X+Y<3。因此，点（X，Y）或点（2x+y，x+2y）的移动范围是当变量变为x，y时，系统不等式y<2x，y>1/2x，x+y<3表示的区域。因此，所求范围是右图中斜线部分，但不包括边界线。'

'求和等比数列（1）从等比数列的第一个数字到第n个数字的总和Sn。'

'若数列 {a_{n}+b_{n}} 的首项 {a_{1}+b_{1}=2}，公比为2的等比数列，则求其通项。'

'170 \ \\frac{9}{2} \'

'174的九分之四'

'−11 ≤ P ≤ 401 / 9'

'180的最大值是 $9^{2 \times 0}$'

'把数列 {an} 按比值为非零首项为1的等比数列。另外，数列 {bn} 满足 b1=a3, b2=a4, b3=a2 的等差数列。'

'求下列和数列的总和：\n(1) 等差数列2,8,14，...，98的总和\n(2) 首项为100，公差为-8的等差数列从第1项到第30项的总和\n(3) 第8项为37，第24项为117的等差数列从第10项到第20项的总和'

'因此, 所求的最大值和最小值如下:'

'用于证明不等式的性质'

'针对公差为-3的等差数列{an}，请回答以下问题：1. 求通项an。2. 第几项首次为负数。3. 从第一项开始到第几项和达到最大值，以及此时的和。'

''

'求第5項的數列(1)。'

'求由下列公式表示的数列的前五项。'

'求1到100之间既不是3的倍数也不是5的倍数的整数的总和。'

'36 (1) x=2, y=-1 (2) x=4/5, y=-7/5'

'求1到100之间既不是3的倍数也不是5的倍数的所有整数的总和。'

'证明等式（2）...带条件的等式'

'训练26\n\ n \ 是一个自然数。请使用数学归纳法证明以下等式：\n\\[\n1 \\cdot 4+2 \\cdot 5+3 \\cdot 6+\\cdots \\cdots+n(n+3)=\\frac{1}{3} n(n+1)(n+5)\n\\]'

'根据数学知识，算数平均大于等于几何平均可以得到 $\\frac{ab}{4}+\\frac{9}{ab}+\\frac{13}{4} \\ge 2 \\sqrt{\\frac{ab}{4} \\cdot \\frac{9}{ab}}+\\frac{13}{4}=2 \\cdot \\frac{3}{2}+\\frac{13}{4}=\\frac{25}{4}$，因此 $\\left(\\frac{a}{4}+\\frac{1}{b}\\right)\\left(\\frac{9}{a}+b\\right) \\ge \\frac{25}{4}$。等号成立的条件是 $ab>0$ 且 $\\frac{ab}{4}=\\frac{9}{ab}$，也就是 $ab=6$。'

'(1), (2)将分数式化简。(3)至(5)计算表达式。'

'令14^4 n为大于等于2的整数。利用二项式定理，证明以下内容。'

'在数学之门选举中议席的分配'

'已知首项为1、公差为4的等差数列{an}，以及首项为-9、公差为6的等差数列{bn}。求这两个数列的公共项并按从小到大排列得到数列{cn}的通项。'

'在例1中，政党B的得票数为7000，政党C的得票数为6000，在例2中，政党E的得票数为13000的情况下会发生什么？'

'去年考试中，进入前64000名的学生的最低分数大约是多少？请选择以下选项中的一个。'

'让我们列举一些代表性的分数计算例子。\n(1) 约分\n......通过将分子和分母除以它们的公因数来约分，不能再约分的分数称为既约分数。\n例：\n\\(\\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+8x+15}=\\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+5)}=\\frac{x+4}{x+5}\\)\n\\\frac{12}{15}=\\frac{3 \\cdot 4}{3 \\cdot 5}=\\frac{4}{5}\'

'将每条边除以3，得到如下结果。'

'求等比数列的首项和公比。 其中公比是实数。'

'186 k=-4,0'

'设首项为1，公比为3的等比数列为{b_{k}}。对于每个自然数n，将满足b_{k}≤n的最大的b_{k}记为c_{n}。求Σ_{k=1}^{30} c_{k}。'

'系数a、b是整数的3次方程x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0有两个虚数解和一个负整数解。满足这个条件的整数组(a, b)有对。'

'求等比数列的通项公式和总和。取首项为a，公比为r。'

'39（ア）-3'

'求x>0时的x+ 16/x的最小值。'

'(4) \ x= \\pm 1, \\pm \\sqrt{2} \'

'106606位, 2'

''

'在公差为4的等差数列中，从第一个数开始算起，求和最小的是前几项？此时的和是多少？'

'52 (1) 11/3 (2) 2/3 (3) -1/3'

'按照和，积的顺序为 (1) 4，-3 (2) 3/2，3 (3) -4/3，-5/3'

'\ 68 a<-2,2<a \'

'解下列方程式。'

'(2)(1/2)^{n} <0.001 两边取常用对数得 n log_{10} 2>-3 因此 n>3/ \\log_{10} 2=9.96... 满足这个不等式的最小自然数 n 是 n=10'

'有一个公差为3的等差数列{an}，首项为7，以及一个公差为5的等差数列{bn}，首项为8。这两个数列的共同项按从小到大的顺序排列成数列{cn}。请求出数列{cn}的通项。'

'当a>0，b>0时，证明以下不等式成立。'

'如果每年年初存入20万日元，以每年1％的复利计算，则求10年后年底的本息合计（即每年年初本金和利息的总额）。请使用1.01的10次方等于1.105进行计算。'

'给定年利率 r，每年以复利形式存入 a 日元，n 年内存款，求 n 年后年末的存款总额 S。'

''

'当三个点A(1,1), B(2,4), C(a,0)为三角形ABC的顶点且为直角三角形时，请求常数a的值。'

'求解以下值。(1) \ \\sqrt[4]{16} \ (2) \ -\\sqrt[3]{64} \'

'斐波那契数列'

'求多项式 $x^{1010} + x^{101} + x^{10} + x$ 除以 $x^3-x$ 的余数。'

'证明不等式成立。'

'当满足不等式4x+y≤9，x+2y≥4，2x-3y≥-6时，求x^2+y^2的最大值和最小值。'

'找到使以下条件成立的两个数。'

'数列{a_n}由第一项$a_1=1$和递推式$a_{n+1} = \\frac{3(n+1)}{n}a_{n}$定义。'

'当 n 是大于或等于 5 的整数时，证明不等式 2^{n}>4 n+1。'

'(1) \ \\frac{a+2}{a-\\frac{2}{a+1}} \'

'第 21 項, 和 -903'

'请判断以下数列是等差数列还是等比数列。\n1. 数列 4, 7, 10, 13\n2. 数列 3, 6, 12, 24'

'让我们回顾一下自然数的求和和等差数列的求和！'

'求数列 $\\ left \\ {a_ {n} \\ right \\}$ 的通项公式,其中 $a_ {1} = 1, a_ {n + 1} = 2a_ {n} + 3 ^ {n}$。'

'骑自行车上学的A同学一天以每小时12公里的速度去学校，回来时一边推着自行车一边与朋友一起以每小时6公里的速度步行回家。那么，这一天A同学的平均移动速度将是多少千米每小时？'

'求出首项为2，末项为38，和为200的等差数列的项数n和公差d。'

'当公差为d的等差数列{an}满足∑(n=1)^(18)an=135, ∑(n=19)^(36)an=783时，a1= d= 的。'

'数列{an}的初项到第n项的和Sn是Sn=-n^2+24n(n=1,2,3,...)给出时，求使an<0的自然数n的范围，并计算∑_(k=1)^40|ak|。'

'求等比数列{an}的首项a和公比r的通项公式。'

'使用常用对数值。'

'求等差数列首项为3，公差为4的前5项的和。'

'\\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)'

'(4) \ \\\\sqrt[3]{54} \\\\times 2 \\\\sqrt[3]{2} \\\\times \\\\sqrt[3]{16} \'

'求出以下数列的第 n 项。\n1. 首项为 3，公差为 2 的等差数列\n2. 首项为 2，公比为 3 的等比数列'

'求初始值为-10，末值为200，和为2945的等差数列的项数n和公差d。'

'48（ア）3（イ）2（ウ）11（I）25'

'求等差数列的和，首项为25，末项为-10，项数为16。'

'若初項为 -0.2，末项为 0.6 的公差数列在初项和末项之间有n个项，则总和为405。'

'使用数学归纳法证明如下等式'

'(2) $\\frac{1}{x+\\frac{1}{x-\\frac{1}{x}}}$'

'(1) 求首项为7，公比为1/2的等比数列的通项公式a_{n}。 (2) 求以下等比数列的公比。同时，求通项公式a_{n}。 (a) 3，-3，3，-3，... (b) -16/27，4/9，-1/3，1/4，...'

'\ 65 a=-3, \\quad b=10 \, 解 \ x=-2,2 \\pm i \'

'使用帕斯卡三角形，按照以下4个规则给出的奇数和偶数的模式。'

'第几项首次成为负数。'

'通过创建差值 (A-B) 来证明大小比较 (A>B)，并使用以下方法:'

'请找出等差数列中的 x 和 y 值。'

'标准 47: 给定和积的两个数的确定'

'织女星（织女一星）是0等星的恒星等级'

'请确定2020年中的第2个数字在第几行从左边数起的位置。'

'61（1）\\\\（x=-1， \\frac{1 \\pm \\sqrt{3} i}{2} \\）'

'求1到200的整数中，（1）4的倍数的和（2）不是4的倍数的数的和。'

'求等比数列的首项和公比。公比为实数。(1)第3项为18，第5项为162。(2)第2项为4，第5项为-32'

'在与示例1相同的选举中，政党B和政党C合并成立了新的政党E，合并前后得票总数相同。另外，假设其他政党的得票数保持不变，则政党A的得票数为10000，政党D的得票数为4000，政党E的得票数为15300。（表中的小数部分已被舍去）'

'理解等比数列求和公式，并攻克例题13！'

'求出以下值。'

'求第 4 个左起的数字在第 10 行.'

'令TR \ \\log _{10} 2=0.3010 \，求满足以下条件的自然数 \ n \ 的值。'

'求第一个数列(1)的第一项。'

'求等比数列的首项和公比。公比为实数。(1) 第3项为-18，第6项为486 (2) 第6项为4，第10项为16'

'利用二阶差分数列，求下列数列 {a_{n}} 的通项公式。(1) 20,18,14,8,0, ...'

'复杂分数的计算'

'求等差数列的和S，其首项为25，末项为-10，共16项。'

'对自然数数列进行分组，使第n组包含2n个数字。 1,2|3,4,5,6| 7,8,9,10,11,12 | 13,14, …… (1)求第n组的第一个数字。 (2)求第n组中所有数字的总和。'

'求解数列 {an}: 5,11,23,41,65,95, …… 的通项公式。'

'对于不同的两个实数a，b，如果a，2，b成等比数列，且1/2，1/b，1/a成等差数列，则a=，b=。'

'1338'

'基础示例3确定第4个等差数列的解法（1）...等差数列{an}，其中第5个项为3，第10个项为18'

'请解释什么是等差数列，并找出首项为5、公差为2的等差数列的第10项。'

'(4) 点 (x, y) 在坐标平面上的两个坐标都是整数时，该点称为格点。 在本问题中，“区域内”指该区域的内部和边界线。'

'设a为正常数。确定a的取值范围，使得2x^{2}+y^{2}-1=0, x^{2}+y^2-4x-4y+8-a=0有公共点。'

'求下列等比数列的和。'

'找出以下数列的规律，并用n的表达式表示遵循该规律的一般项。'

'通过a1=3，an+1=an/(2an+4)定义的数列{an}，找到通项公式。'

'求出公差为3的等差数列的第10项。'

'使用基本58：使用模拟长除法计算商和余数。'

'求1到100的整数的和，分别是6的倍数和不是6的倍数的和'

'有很多同质质量的玻璃板。当叠放10张玻璃板通过光线时，光线的强度变为最初的2/5倍。要将通过的光线强度降至最初的1/8以下，需要叠放多少玻璃板？已知log10 2 = 0.3010，log10 5 = 0.6990。'

'求第5项的公比为2的等比数列的第5项。'

'(2) 求第100项。'

'使用二阶差分数列，求解数列{an}的通项公式。(2) 10,10,9,7,4, ...'

''

'基本 5: 形成等差数列的3个数字'

'63 (1) 3'

'分数等式'

'183-5<a<27 可以写成'

''

'等式证明（3）...条件为比例式'

'求等差数列的通项公式和总和。'

'证明当|a|<1, |b|<1时，不等式|1+ab|>|a+b|成立。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'在以下句子X和Y中有关下划线部分f的描述，选择其中正确的选项。'

'（2）请用整数填写适当的值。'

'当黑色正方形的边长为9厘米时，在白色正方形内部摆放整数，需要摆放哪些整数范围？请列出所有可能的整数。'

'问题2中下划线部分b的句子X和Y，选择下列正确的正误组合。'

'要完全反应11.2mL的氢气，至少需要5.6mL的氧气。包含5.6mL氧气的空气体积可以从表1中空气占比得出，即5.6÷0.21=26.66，取整得出26.7mL。'

'A先生离开学校的时间是0到60分钟后，到达K站是12到72分钟后，到达M站是14到74分钟后。此外，火车从K站出发的时间是8的倍数，火车从M站出发的时间是5的倍数，可以用下图1表示。然而，从图1无法得知等待时间的差异，所以将M站的图向右移动2分钟，使到达车站的时间相同，得到如下图2所示。从图2可以看出，在粗线部分到达车站时等待时间相同。在这种情况下，如果A先生在M站确定出发学校的时间，则可以得出从45-14=31分钟后到50-14=36分钟后（A为45-2=43分钟后）。如果在K站确定出发的时间，则从43-12=31分钟后到图表中看到的时间段内。'

'将144张写有数字1, 2, 3, ..., 143, 144的卡片堆成一摞放在旁边有一个盒子的山上。'

'就第二份资料“气压变化图”回答以下问题。(1)选择合适的词语或符号填入[]内，并用○标出。\n台风周围，离其中心越近，气压就越低。因此，从我校观测数据制作的图表可知，是 [（I）[ （低） 确定的。另外，从资料2的图表中可以确定，每个观测点台风中心距离最近的时间。比较东京和銚子的图表后会发现，最先接近台风中心的是 东京的图表 [（III）[ （低） ， 銚子的图表则是 [（V）[ （高） 。'

'对于定义（5）'

'(5) 千叶区的地层以每千年2米的速度堆积，因此，从77.3万年前形成的火山灰层到距离上层1.6米的层堆积所需的时间是1000×1.6/2=800（年）。因此，77.3万-800=77.22（万年），地磁场变为当前方向是在77.2万年前。'

'当比较A和B的各列中相同索引位置的数字时，差异最大的是第几个数字？请列出所有可能的情况。'

'(6) 从幕张车站到幕张本郷车站的火车，在最初的60秒内前进600米，接下来的17.5秒内前进20 × 17.5 = 350米。因此，两列火车相遇的位置是从幕张车站开始，即600 + 350 = 950米的位置。'

'1428年发生的事件，1392年和1489年分别有何事件?'

'气象局公布的气温等平均值是从西历年份的个位数为"1"的年份开始连续30年的数字求平均得出的。从2021年5月19日开始，以前的1981年至2010年的数据被1991年至2020年的30年数据所取代。'

'河流的上游和下游分别有点A和点B，两者之间航行的船只P和Q进行了一次往返。船只P从上游的A出发，到达B后立即返回A。船只Q从下游的B出发，到达A后立即返回B。\n船只P和Q同时从A和B出发，在点C相遇，然后在点D相遇。C和A之间的距离与C和B之间的距离比为3：2，C和D相距120米。\n在静水中，船只P和Q的速度均恒定，船只Q的速度是船只P速度的1.5倍。船只P往返于A和B之间需要48分钟。此外，假设河流的流速是恒定的。\n请回答以下问题：\n（1）船只Q往返于A和B之间需要多少时间？'

'当边长为14厘米的黑色正方形时，白色正方形的数量为（14+1）x4=60，所以，用两个整数的乘积表示60，可得60=1x60,2x30,3x20,4x15,5x12,6x10。'

'请在括号中填入正确的内容。点（2）的纵轴数值代表第（甲）代个体数量，点（3）的纵轴数值代表第（乙）代个体数量。'

'(1) 由于塑料管的内部截面积为0.25 cm^2，所以在20°C时，氮气的体积为0.25×14.0=3.5 (cm^3)，氧气的体积为0.25×30.0=7.5 (cm^3)。'

'求解情况的数量\n（1）首先是A先生的第20个数字。如图1所示, 当千位为1时，百位有4种可能，十位有3种可能，个位有2种可能，因此四位数中，从左边数起第24个数是1976。从这里开始逆推，从大到小绘制树状图，如图2所示，从小到大的第20个数是1947。另外，A先生的卡片号码是2938。'

'(7) (1)〜(3) 要堆积 1 米同厚度的地层，千叶需要 1000 ÷ 2 = 500 年，意大利则需要 5000 年，所以地层堆积速度千叶方面更快，为 1/500 ÷ 1/5000 = 10 倍。'

''

'在黑色的正方形周围排列边长为 1 厘米的白色正方形。下图显示了从左到右分别为边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米等等的黑色正方形周围排列的白色正方形。在白色正方形的格子中，数字 A 出现 A 次，以及从某个整数开始以连续超过 2 个不同整数排列。例如，正如图 1 左侧所示，当黑色正方形的边长为 2 厘米时，使用 3 个 3、4 个 4、5 个 5 可以准确排列。但是，就像图 1 右侧那样，无法准确排列 4 个 4、5 个 5、6 个 6。此外，就像图 2 那样，当黑色正方形的边长为 8 厘米时，可以准确排列从 1 到 8 和从 11 到 13 的整数。'

'2020年度涉谷教育学院幕张中学校数学第一次考试\n1（3）继续进行操作，最后留在山上的卡片是什么？'

'有一次有12盏灯亮着。可能的时间有多少种？'

'根据第3行下划线c中所述，屋岛之战的古战场位于现今的香川县境内。香川县出身的内阁总理大臣有大平正芳。关于大平正芳在1970年代担任外交大臣和内阁总理大臣时的事件，给出了下面的文句A〜D，请从以下选项中选择一个正确的组合，并用编号回答。'

'5 下划线部分d的句子X和Y, 请选择下列正确的正误组合作为答案。'

'火山灰层可以作为比较不同地层的线索。在以下解释原因的方括号中，选择合适的选项，用○标记。'

'(3) 关于单位的定义\n"质量"的单位标准是在19世纪末开始使用"千克原器"。原因是，因为"1000cm^3水"的质量受水的条件影响而不同。而"千克原器"是固体金属，所以其质量不会受条件的影响。请考虑会改变"1000cm^3水"质量的"水的条件"，并写下一个条件。'

''

'将11.2毫升气体3与空气反应。请至少给出保证气体3不残留所需的空气体积，结果精确到小数点后一位。'

'如果继续以相同比例向图3后面注入液体，求容器A和B分别装满所需的时间，并回答哪个容器会先装满。'

'2020年清华至教育学园幕张中第二次(2)\n（2）船P和船Q在地点D相遇, 过了多少分钟自出发后?'

'(2)电灯泡距离为100厘米时的照度为120勒克斯，距离为50厘米时的照度为500勒克斯，所以，120除以500等于0.24，因此，距离为100厘米时的照度约为距离为50厘米时的照度的四分之一。'

'原敬组织了立宪政友会作为总裁，并在1918年组建了第一个真正的政党内阁，这是大正7年。'

'问题5'

'在日本，电视广播始于1953年，稍后在1950年代末期开始了高度经济增长时期。那时家庭电器开始普及到全国各家庭，黑白电视机、电动洗衣机和电冰箱被称为“三宝”。空调和汽车连同彩色电视一起被称为“3C”，在高度经济增长的后期得到普及。普通选举法和治安维持法于1925年大正时代末期颁布，同年开始广播电台。'

'在天皇時代的下劃線部分B中，關於以下文句X和Y的正確性選擇'

'有33种蜡烛A，B，C。点燃3支蜡烛后，它们将以固定比例燃烧。点燃蜡烛A后10分钟，然后再过5分钟点燃B，最后在点燃C，结果蜡烛C首先燃尽，然后蜡烛A和B同时燃尽。下图显示了点燃蜡烛A后到所有蜡烛燃尽的时间以及最长和最短蜡烛长度差的关系。此外，已经烧完的蜡烛长度被认为是0厘米。回答以下问题。'

'关于文本中划线部分b的句子X和Y，选择下列组合中的一个，在下面的选项中用编号回答哪一个是正确的。'

'关于下划线部分c的以下句子X和Y，选择正确的正误组合，然后从以下选项中选择一个编号作答。X横滨市是日本首批指定政令市之一，同时也与名古屋市、大阪市、京都市和神户市同时成为政令指定都市。Y由于历史原因，横滨市的地方产业包括丝绸手帕、围巾等染色工业。\n\egin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 2 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 错 \\\\\n3 & \ \\mathrm{X} \ & 错 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 4 & \ \\mathrm{X} \ & 错 & \ \\mathrm{Y} \ & 错 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}'

'求得5 + 3的结果。'

'因为其原本是绿色，所以紫甘蓝水溶液的颜色变化被认为是红色。由于这种颜色变化，可以确定A溶液的pH值低于2.5。与B溶液5毫升相同体积的酸性溶液刚好中和是，7-(10.5-7)=3.5，因此为pH 3.5。如果假设A溶液的pH为2.5，则与pH 3.5的酸性溶液相比，3.5-2.5=1，因此酸度是10倍多，可以得知B溶液与刚好中和A溶液的比例为B的1/10。如果A溶液的pH低于2.5，则中和所需A溶液的体积会更少。'

'读取这个标度上的标记, P’是4毫米, Q是26毫米。因此, 可以得出P’Q之间的长度为26 - 4 = 22毫米。'

'2021年涩谷教育学园幕张中的数学问题（1）'

'关于下划线部分c的以下句子X和Y，下表中选择一个正确的正误组合并用编号回答。'

'3 速度与风力下'

''

'真一从家里一直走一条路到达朋友家玩。一开始他跑着去，但是累了，于是从家和朋友家正中间的地点开始步行。因此，到朋友家比直接跑步到达晚了20分钟。回家时，妈妈开车来接。真一步行去朋友家，妈妈开车去家里，两人同时出发。当真一在回家的路上遇到妈妈时，就坐上了车，两人计划回家。但是真一离开朋友家的时间比计划晚了10分钟。按计划出发的妈妈一直开车直到遇到真一，然后载着真一平安回家，但花费的时间比计划多了。真一步行速度为x，跑步速度为2x，车的速度为5x。'

'请填入适当的值。'

'像这样，将A的十位数设为9，B的十位数也设为9。这样，剩下的卡片差就是2-1=8-7=1，所以使差最大的是(6491, 4392)和(6497, 4398)这两组（差都是2099）。接下来考虑A变成6491或6497的情况。从（1）和（2）可知，千位数为1和4的整数各有24个。而千位数为6百位数为1的整数有6个。现在，按照千位数为6，百位数为4的整数的顺序排列，会得到{6417, 6419, 6471, 6479, 6491, 6497}，所以6491是第59个，6497是第60个。'

'请称量12粒种子的重量，并求出从12粒种子中流失的水的重量。'

'如果火车A以每分钟慢0.2公里的速度运行，它比计划的时间晚18分钟到达K站。'

'“米每秒”是一个表示每秒移动距离的单位，因此是速度的单位。'

"问题 1 个空格中应填入 '低' 或 '高'。请从以下选项中选择适当的符号组合以代表填入 '高' 的空格，并用编号回答。"

'问题1每题3分×4题，问题2至问题5每题4分×4题，问题6是6分，问题7是4分，问题8是10分，问题9是每题3分×2题'

'问题 7 下划线部分 f 相关，尾张国位于今天爱知县西部。爱知县的县厅所在地是名古屋市，但右图 5 描绘了名古屋发生的米骚动情景。观看图 5，对以下关于米骚动的文段 A～D 进行表述，从下列选项中选择一个正确的组合。'

'常温下固体是以下哪种物质？(1) 氢氧化钠 (2) 铝 (3) 沙拉油 (4) 消毒酒精 (5) 二氧化碳 (6) 氧气'

'2021年 渋谷教育学園幕张中小学校 第二次考试题 (3) (2) 如果以每分钟1公里的速度前进，需要12分钟，所以M站和K站之间的距离是1 * 12 = 12公里。'

'第3届安倍晋三内阁是自由民主党和公明党的联合内阁，从公明党中也选出了部长。安倍晋三于2020年9月16日辞职，总任期为3188天，超过桂太郎的2886天，成为历任首相任期最长的人。此外，自2012年12月26日第二次内阁成立以来，连续任期为2822天，超过佐藤栄作的2798天，也成为历任首相连任时间最长的人。因此，敘述正確。'

'问题1 下划线部分a涉及, 在縄文时代, 有像右图这样葬送逝去的人的习俗。这种埋葬被称为什么？用汉字回答。'

'一些小组在进行实验1和2时分开，发现有几个小组无法让混合液迅速进入圆底烧瓶内。请从以下选项中选择所有适用的原因，并回答对应的符号。'

'2021年涩谷教育学园幕张中第二次(2)'

'2（2）÷C=15，余数15，所以B=C×15+15=15×（C+1），B是15的倍数。同样地，B÷D=17，余数17，B=D×17+17=17×（D+1），所以B是17的倍数。因此，B是15和17的公倍数，15和17的最小公倍数是15×17=255，所以B是255的倍数。另外，C大于等于16，D大于等于18，因此B至少是17×（18+1）=323。那么，999÷255余234，3位数中最大的整数是255×3=765。'

'无法简化的分数是从小到大依次为{1/2021, 2/2021, 3/2021, ...}，从大到小依次为{2020/2021, 2019/2021, 2018/2021, ...}。将它们逐对相加，每对的和都等于1/2021+2020/2021=2/2021+2019/2021=3/2021+2018/2021 = 1。另外，无法简化的分数有2020-88=1932个，因此共有1932÷2=966对。因此，它们的总和是1×966=966。'

'被小鹬A吃掉的73条海砂虫在15日和16日两天内吃了两倍的2.19 x 2 = 4.38克有机物。'

'在下面的句子X和Y中，关于下划线部分a，选择其中正确的选项。'

'(3) 水的密度（单位体积的重量）在 4°C 时最大，在比 4°C 更高或更低的温度下都会小于 4°C 时的密度。换句话说，由于温度的影响，“1000 cm^3 水的质量”会发生变化，因此不适合作为重量的标准。'

''

'在图6中，主尺和副尺的刻度线对齐在副尺的3.5处。按钮直径是多少毫米？请精确到小数点后第2位。'

'如图所示，有一堆包含编号为1、2、3、…、143、144的144张卡片，从上往下叠放成一摞，并且旁边有一个盒子。'

'关于下划线部分j的句子X・Y，下列哪项组合是正确的?'

'1公里=1000米，1小时=60分钟=3600秒，所以72公里/小时=72×1000÷3600=20（米/秒）。'

'从听到A的声音开始，到听到B的声音为止的时间间隔的最大值是多少（保留一位小数）？'

'白色和黑色的石头不会连续出现3个以上，从左到右排列成一行。右图是为了考虑白色石头和黑色石头组合成4块石头的排列方式而绘制的。 （1）使用白色石头和黑色石头共6块石头，可以有多少种排列方式？'

'问题 5 a Byodo-in Phoenix Hall是源须佐建造阿弥陀堂的一座建筑，建于11世纪后半期的1053年。b 公元784年后期，桓武天皇将首都从佛教力量强大的平城京迁至京都的长冈京。'

'请回答关于甲烷、丙烷和丁烷燃烧时释放的热量问题。'

'问题9'

'在下列[]中选择适当的内容，用○标记。'

'计算将冰的温度从-20℃升至0℃所需的热量。'

'第三次世界大战结束后的1945年10月成立的联合国，总部设在美国东部城市纽约，最初有51个创始会员国。到2021年年底，有193个国家加入。为支持联合国的运作，各会员国需要支付分摊费用。这些费用根据各国经济实力等情况，每三年分配一次，由大会决定。日本多年来的缴费比例排名仅次于美国，但近年来已跌至第三位，仅次于美国和中国。'

'这些是等于6倍生么或者N和N或3N的东西。请确定其中一个。'

'通过a和b操作得到的气体或沉淀物与以下哪个相同？请分别回答符号。'

'通过计算副刻度，可以确定PQ之间的长度。请问PQ的长度是多少毫米，保留两位小数。'

'2小野妹子是什么时候被派往隋唐使船学习密教的'

'I事件发生于1936年，II事件发生于1925年，III事件发生于1914年，IV事件发生于1918年。大正时代持续到1926年12月，在这一年之后是昭和时代，因此应该是II-III-I-III。'

'请问尺子上最小刻度线之间的间距是多少毫米？请精确到小数点后第二位。'

'(5) 当温度每上升1摄氏度时，灯油的标准增加0.14％，氮气气体增加0.36％。因此，0.36÷0.14=2.57...，约为2.6倍。'

'2020年第2次考试中，你的得分为203分。这使得你达到了及格分数吗？'

'使用2021年Shibuya Education Academy Makuhari中学（第2次）（26）题目，计算答案保留到第3位小数。'

'问题6. 选择以下关于下划线部分e的句子X和Y的正确选项。'

'根据学校设施大多已经建成超过40年的情况，可以推断这些设施大约是在1978年左右建造的。第二次世界大战结束后的1940年代末发生了第一次婴儿潮，到了1970年代初，这一代人成为了父母，第二次婴儿潮再次发生。预计这时出生的孩子上学时，学校设施如教室和校舍会短缺，因此可以推断许多地方政府进行了新建或改建。'

'将团队安排到淘汰赛表中时，一轮比赛的对阵组合相同，而可以被认为两轮比赛的对阵组合也相同的分配方式是相同的。例如，图2、图3、图4、图5的分配方式被认为是相同的，而图2和图6的分配方式则被认为是不同的。'

'在潮间带的食物链中，考虑候鸟利用有机物。观察到访潮间带的东方鸻（以下简称鸻），并考虑了潮间带流入的有机物被吃掉的数量。求解下列句子中括号内的适当数值，保留到小数点后两位。'

'2020年渋谷教育学园幕张中学第1次（24）（3）关于图2，回答以下括号内适合的数字。'

'(2) 四个座位的组合有6种情况。每种情况下，有4个人坐的方法是4 × 3 × 2 × 1 = 24（种），因此总共有 24 × 6 = 144（种）。'

'从1/2022开始，分母递减1，分子递增1，将2022个分数依次排列。在其中寻找可以约分的分数，例如4/6=2/3。回答以下问题：（1）第一次可以约分的位置是从左数第几个？（2）第三次可以约分的位置是从左数第几个？（3）第25次可以约分的位置是从左数第几个？'

'关于下划线部分b的以下句子X和Y，从以下选项中选择正确的正误组合，并用编号回答。'

'关于声音速度和传播方式的问题'

''

'根据(5)和(4)，D的长度可计算为4 + 0.55 = 4.55毫米。'

'问题1：关于下划线部分a的句子X和Y，从下列选项中选择一个正确的正误组合。'

'問2中下劃線部分b打造的法律, 對於下面的說明X・Y, 請從下面選擇一個正確的選項來配對正確或錯誤。\nX 通過修改公職選舉法, 包括增加6個議席等, 來消除參議院議員選舉中的一票之差。\nY 修改皇室典範, 承認天皇只能一次退位。\n1. X - 正確, Y - 正確\n2. X - 正確, Y - 錯誤\n3. X - 錯誤, Y - 正確\n4. X - 錯誤, Y - 錯誤'

'〔数学〕100分（估计评分）1, 2各8分×6, 3, 4各7分×4个盒子5各8分×3'

'问 56 分问题 6 〜问题 8 每题 4 分（共 3 题）'

'在普雷瑟佩星团中，我们发现存在两种颜色为红色的星星。亮红星和暗红星。亮红星与暗红星相比，有什么不同？请填入括号内，使句子完整。'

'第 9 题, 关于下划线部分h的解释（X）和Y，请从以下选项中选择一个正确的组合。'

'(3) 对于3个座位的位置关系，可以分为5种情况。每种情况下，3个人的坐姿有6种可能性（这是由于排列组合的原因），因此总的组合方式为22x6=132种。'

'船Q到达A后，距离出发36分钟，1/2=18分钟。这时，船P从B出发，已经前进了18-12=6分钟，所以船Q到达A时，两艘船之间的距离是36-1×6=30。因此，两艘船在D相遇时，船Q从A折返后，30÷(4+1)=6分钟后相遇。这是在出发后18+6=24分钟后。'

'3个2分 × 9'

'求A和B中装有相同量水时水面深度的比例。'

'请从<实验2>中计算出每组12粒种子的重量和变成爆米花后失去的水的重量，保留到小数点后一位。'

'有四盏可以点亮红色、蓝色、黄色和绿色的灯，依次排成一排。这四盏灯每按一次开关都会根据某种规则变换颜色。从初始状态开始，按一次按钮后，可以有多少种不同的规则使得四盏灯点亮不同的四种颜色？'

'问题3下划线部分c的作品完成时间关于下面的句子X和Y的正误组合中，请选择一个正确的答案编号。'

'在第4个条件中，混合了11.2mL的氢气和33.6 - 11.2 = 22.4（mL）的氧气，所以有5.6mL的氧气参与了反应，剩下的是22.4 - 5.6 = 16.8（mL）。'

'第九條1）無論是都道府县知事還是地方議會議員，任期都為4年。 2）參議院議員和都道府县知事需要滿30歲以上方可具有被選舉權，而眾議院議員、市鎮村長和地方議會議員需要滿25歲以上方可具有被選舉權。3）根據2015年的公職選舉法修正案，國會議員、首長和地方議會議員的選舉權年齡從滿20歲以上降低到滿18歲以上。4）都道府县知事有權解散都道府县議會，但沒有權利解散市（區）町村議會。'

'对于非零整数c，计算8△c。求可能的8△c中最大的值。'

'第12問（例）规定开展临时会议所需议员人数至少为某一议会总议员人数的四分之一。'

'从下面选一个选项并用数字回答。'

'在第5行下劃線部分的政策，關於以下文句X和Y，從下表中選擇一個正確的選項作為正確和錯誤的組合。'

'A君下午2点至下午3点离开S中学校。(2)比起去M站，去K站可以减少在车站等候火车的时间，A君从下午2点到下午3点离开S中学校的时间总共是多少分钟。'

''

'()中的句子，使用说明文和表中的数值，在（）中填入整数。'

'船P下行AB之间用了12分钟，所以船P的下行速度为每分钟1800除以12等于150米。另外，船P的下行速度与河流速度的比值为3：1，所以河流速度为每分钟150乘以1/3等于50米。将其转换为每小时的速度为50乘以60除以1000等于3公里。'

'2019年，涩谷教育学园幕张中第1次进行了以下实验：将日常生活中使用的A至F水溶液各5毫升装入试管中，并观察其颜色。A为洗手间清洁剂，B为含白木耳（芋粉）的水，C为碳酸水，D为洗衣用漂白剂，E为米醋，F为味醂。水溶液A呈绿色，B至F几乎无色透明，但D至F稍带黄色。另外，已知A的绿色不会因酸性或碱性而改变颜色。接着，将紫甘蓝的水溶液等量加入A至F的水溶液中，并观察到以下颜色变化。第1.（2）问题：在A至F中，哪些是碱性水溶液？请选出所有并写出符号。'

'当黑石总数为1000个时，最多可以围绕第一颗白石转多少圈？'

'(5) "米"的定义是基于光速为每秒299792458米而确定一个米的长度。光速是在1676年通过木星卫星观测首次测量的。'

'您想将可读长度设置为间隔为0.02mm。您需要将副尺的长度更改为49mm。应该将49mm分成多少部分？'

'第1到第3代分别增加到10→99→690。接着，点③后继续进行类似操作，随着世代的增加，个体数量会在增减中循环，最后接近某一固定数值（个体数量图和线L的交点为570）。此外，增减幅度会逐渐变小，因此，( )和（セ）可供选择。'

''

'60除以9得商和余数都是6，商和余数相等。又60除以11得商和余数都是5，商和余数相等。'

'得分100分（估计得分）\n1（1）每个2分×3\n(2)，\n（3）每个7分×2<（3）是完全答题> '

'问题9 下划线部分后面有“国税”的字样。此外，承担1000日元的税款的是旅行者，但是税款“原则上由航空公司或船公司以在机票费用上加价的方式征收” ，因此交纳税款的是航空公司或船公司，这属于由不同人承担税款和交纳税款的间接税。1的所得税是直接税的国税，2的居民税是直接税的地方税，3的酒税是间接税的国税，4的地方消费税是间接税的地方税，所以选择3。'

'请解决以下计算。'

'寻找有可能获得亚军的队伍问题'

'求A进入I的情况下的分配方式数量问题\n考虑4场比赛的1回合，A进入I的情况。在此情况下，还有7种方式来选择另一支进入I的队伍。另外，进入I的两支队伍将从剩下的6支队伍中选择，所以I的组合有6×5÷2×1=15种可能。进入{II, III, IV}的两支队伍将从剩下的4支队伍中选择，所以II的组合有4×3÷2×1=6种可能，但是由于II和IV换位是相同的，所以II和IV的组合为6÷2=3种。因此，不同的分配方式总共为7×15×3=315种。'

''

'根据下划线部分k，选择以下关于1960年至1965年事件的句子X·Y的正误组合，从下面选出一个正确答案的编号。'

'当A同学从S中学回家时，可以选择乘坐海滨铁路的K站或わかば铁路的M站。K站位于S中学南方向，从S中学步行需要12分钟。而M站位于S中学北方向，从S中学步行需要14分钟。K站每隔8分钟发车一次，下午2点后开始，M站每隔5分钟发车一次，下午2点后开始。请回答以下问题。'

'比较在某一时刻亮的灯的数量和一分钟后亮的灯的数量。灯的数量在一分钟后增加得最多的时刻是什么时候。列出所有可能的时间。'

'问题1 每题3分，共4题；问题2 9分；问题3、问题4每题5分，共2题；问题5 11分；问题6、问题7每题3分，共4题。'

'问题8中下划线部分f的句子X和Y的正误组合，从下面选项中选择一个最合适的数字。'

'1的性质'

'白色和黑色的石头，排成一行，不能有三个以上相同颜色的石头连续排列。右图是考虑使用白色和黑色的石头总共4个时可以排列的方式。'

'(5) 从幕张站到幕张本郷站的火车以每60秒600米的速度前进，从幕张本郷站到幕张站的火车根据图7，以60秒为单位的速度为20×40÷2+20×(60-40)= 400 + 400 = 800(m)。 因此，在这种情况下，两列火车之间的距离是2100 - (600+800) = 700(m)。 这700米是它们相向行驶的情况下，两列火车以每秒20米的速度前进，所以 700 ÷(20+20) = 17.5 (秒)后它们相遇。因此，从两列火车启程到它们相遇所用的时间是60+17.5 = 77.5(秒)。'

'将pH值为10.5的B溶液加入5mL后，再加入A溶液。需要多少毫升才能完全中和？将下列中合适的答案用○圈出来。'

'2021年Shibuya Education Academy Makuhari Middle School<第2次>(25)塞满气体的塑料管的内部横截面积为0.25cm^2。气体的体积可以通过下面的公式计算。气体的体积(cm^3) = 气体的长度(cm) × 横截面积0.25(cm^2)表1温度(^C)和气体长度(cm)'

'请解决以下问题，关于数列和规律。'

'在中国的历史书《魏志》中，记载了公元前239年邪马台国的女王卑弥呼派遣使者前往魏国（中国），皇帝授予她“亲魏倭王”的称号和铜镜等物品。'

'通过将A中的水量在中途加倍，求在32.5分钟时的水深以及此时的时间。'

'在室温下，用玻璃棒搅拌并加入少量以下物质到水中。请选择所有不溶于水的物质，并写出其符号。'

'关于豊臣秀吉于1582年开始实施的検地（太阁検地）的描述是否准确。'

'每个容器中的数量是两倍，是A还是B？请同时提供时间。'

'2020年 渋谷学园幕张中学校 数学 第一次考试\n1（1）使用操作P和操作Q操作1到144的卡片。将第42张卡片放入盒子中时，是什么卡片？'

'在下划线部分(1)至(6)中，有一种与其他不同的气体。(1)至(6)中选择一种，并写出该气体的名称。'

'有关速度和距离的问题'

'(3) 比(2)更，AD之间的距离为，4×6=24。另外，AC之间的距离为，36×3/ (3+2)=21.6，因此CD之间的距离为，24-21.6=2.4。这相当于120米，一的距离为，120/2.4=50米，因此AB之间的距离为，50×36=1800米，1800÷1000=1.8公里。'

'作为“组装单位”的另一个例子，还有用时间除以距离得到的[米/秒]。具有米/秒单位的物理量是什么？'

'(1) \\ n=3'

'在基本示例40中，处理了从第0项开始的数列。'

'定义正方形S_n和圆C_n(n=1,2,⋯⋯)。C_n内切于S_n，并且S_{n+1}内切于C_n。若S_1的边长为a，则求周长的总和。'

'证明当0 < a < b时，不等式√(ab) < (b-a)/(log b-log a) < (a+b)/2成立。'

'假设正整数α，β是方程x^2-2px-1=0的两个解，其中|α|>1。'

'给定点A(1,3)、点B(3,-2)、点C(4,1)。'

'当不等式 -4 ≤ x ≤ a 成立时，设 y=√(9-4x)+b 的最大值为6，最小值为4。此时，a=何值，b=何值？'

'请解释第一项是什么，它的定义是什么。'

'求解当函数$y=\\frac{ax+b}{2x+1}$取到(1)中求得的值时，不等式$\\frac{ax+b}{2x+1}>x-2$。'

'从点(2,1)到抛物线y=\\frac{2}{3}x^{2}-1引出的两条切线中，斜率较小的为\\ell。'

'设a，b为正整数。当ab是3的倍数时，证明a或b是3的倍数。'

'高斯符号'

'(1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \'

'倍数判定方法'

'当a=4，b=6时，找到不满足不等式(1)的最大整数x，得到x= ◻。'

'在 0,1,2,3,4 中选择和为 3 的倍数的 3 个数的方式有 [1] {0,1,2}, {0,2,4} 共 2 种 [2] {1,2,3}, {2,3,4} 共 2 种。 [1] 因为百位数不是 0，所以对于每组，3 位数有 2 * 2! = 4 种。'

'解释如何计算得分的期望值，并计算该期望值。'

'数学 I\nD = a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\n因此, D>0 恒成立。\n-3<-\x0crac{a}{2}<3\\text{从而} -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0\\text{因此}\n a^{2}+2 a-8<0\\text{解得} -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0\\text{因此}\n a^{2}-4 a-8<0\na^{2}-4 a-8=0\\text{的解为} a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\\text{因此} 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\n\\text{当} a=-(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\\text{时}\n\n \\text{求} (1), (2), (3) \\text{的共同范围}\n2-\\sqrt{3}<a<2'

''

'使用1、1、1、2、2、2、3、3这8个数字来组成8位整数时，可以组成多少个整数。'

'求解不等式6x + 8(6 - x) > 7的两位自然数的数量。'

'30％的水溶液可溶解至30克'

'找出以下方程组的所有整数解。'

'设 x、y、z 为整数。'

'基本问题 39 决定集合元素'

'A先生和B先生在兼职工作，每周一起工作4天。'

'找出可以乘以34/5，51/10和85/8得到自然数乘积的最小分数。'

'令a为自然数。若a+5是4的倍数，且a+3是6的倍数，则证明a+9是12的倍数。'

'设p、q、r为连续的三个奇数（p<q<r）。证明pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1能被48整除。'

'求解关于 x 的方程 k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 有实数解的 k 的值，其中 k 是一个非负整数。'

'证明当m和n是整数时，m^3 n - m n^3是6的倍数。'

'求解下列值。'

'找出符合以下條件的整數組(a, b, c, d)的數量。'

'当 (2) 满足 x 的值范围时，与 x≥A 的情况相同，(a) 中的 * 所适合的内容是什么，如果将 x 的值范围称为(4)，请从以下选项中选择两个。'

'从最大和最小确定系数（2）'

'从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这7个数字中选择不重复的数字，组成一个5位的偶数，有多少种可能?'

'求解剩余1时除以12，剩余4时除以7的三位数中的最大数。'

'从 7 个数字 0、1、2、3、4、5、6 中选择不同的 3 个数字，组成一个 3 位数。可以组成多少个符合以下条件的整数？（1）是 3 位数（2）是 3 的倍数（3）是 9 的倍数'

'求解方程 $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ 在 $-3 < x < 3$ 范围内具有两个不同实数解的常数 $a$ 的范围。定义函数 $f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1$，$y=f(x)$ 的图形是一个下凹的抛物线，其轴是直线 $x=-\\frac{a}{2}$。方程 $f(x)=0$ 在 $-3 < x < 3$ 范围内具有两个不同实数解的条件是，$y=f(x)$ 的图形与 $x$ 轴在 $-3 < x < 3$ 的部分有两个不同的交点。因此，设 $f(x)=0$ 的判别式为 $D$，满足以下同时成立的条件。 [1] $D > 0$ [2] 轴在 $-3 < x < 3$ 的范围内 [3] $f(-3)>0$ [4] $f(3)>0$'

'对于全集 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x 是整数} 的子集 A, B，已知 A ∩ B = {3,6,8}，A的补集 ∩ B的补集 = {4,5,7}，A ∩ B的补集 = {1,10}。请求出集合 A，B 和 A ∪ B。'

'（1）有多少个自然数，无论用十进制还是用五进制表示，都会成为三位数？\n（2）证明不存在既可以用十进制表示又可以用五进制表示的四位数。\n[类似于东京女子大]'

'从A点到B点距离为5公里，开始时以每小时5公里的速度步行，中途改为每小时10公里的速度跑步。如果想要在42分钟内到达B点，那么至少要以多少公里每小时的速度跑步才行？'

'在例题 27 中，当尝试求解整数部分和小数部分时，得到了一个错误的答案。请问哪里出了问题？'

'当\ x=2 \时的最大值为\ \\sqrt{3} \'

'连续整数的乘积'

'抛三个无法区分大小的骰子，如果它们的点数总和是7的倍数，有多少种可能的情况？'

'松男，竹男和梅男，三名女生：雪美，月美，花美，共6人手拉手形成一个环。这时，有多少种环形成的方式如下：\n1. 松男和雪美牵手。\n2. 男女交替牵手。\n3. 连续3名男生和3名女生牵手。'

'使用0、1、2、3、4这五种数字组成大于等于1的整数，并按从小到大的顺序排列。'

'将两个字符交换位置，得到一个只改变符号的表达式称为替换表达式。'

'求11的倍数餘9，除以5餘2的三位數自然數中的最大數。'

'(1) (A) \ \\frac{7}{9} \ (B) \ \\frac{41}{11} \ (C) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5'

'在R&W使用天平和分銅测量物体X的质量M(\\mathrm{~g})。 天平有两个盘A，B，在支点的两侧安装，两侧的盘子放上等量的物品时保持平衡，设计成。假设准备了3 \\mathrm{~g}和14 \\mathrm{~g}的分銅很多，并且可以放置任意数量的分銅。 (1) 在A盘上放置物体 \\mathrm{X} 和一个14 \\mathrm{~g}的分銅，并在B盘上放置7个3 \\mathrm{~g}的分銅，天平平衡。这时，M+14 \\times \\square =3 \\times \\square 成立，则M=\\square。填入的数值是什么。 (2) 在A盘上放置物体 \\mathrm{X} 和x个14 \\mathrm{~g}的分銅，在B盘上放置y个3 \\mathrm{~g}的分銅，天平平衡。这时，-Ex+\\square y=M成立。 当M=1时，在A盘上放置物体 \\mathrm{X} 和5个14 \\mathrm{~g}的分銅，B盘上放置5个3 \\mathrm{~g}的分銅使得平衡。因此，无论M的取值如何，在A盘上放置物体X和14 \\mathrm{~g}的分銅K个，在B盘上放置3 \\mathrm{~g}的分銅P个可以使得平衡。填入的数值是什么。也选择一个从(0)到(5)中的一个。 (0) M-1 (1) M (2) M+1 (3) M+4 (4) 2 M-1 (5) 5 M (3) 当M=20时，方程(1)的所有整数解均可以表示为整数k， x=\\square k+ C，y= S T k+100。因此，使得14 \\mathrm{~g}的分銅数量最少时，x= D E，y= U V 当中的数值是多少。 (4) 设M=\\square。 将3 \\mathrm{~g}和14 \\mathrm{~g}的分銅换成其他质量的分銅组合，可能导致无论怎样放置分銅，天平都不平衡。在这种情况下，选择两个分銅的质量组合从0到3中选取两个。两种分銅可以放在盘A和盘B中的任何组合，顺序不重要。 (0) 3 \\mathrm{~g}和10 \\mathrm{~g} (1) 3 \\mathrm{~g}和27 \\mathrm{~g} (2) 10 \\mathrm{~g}和14 \\mathrm{~g} (3) 14 \\mathrm{~g}和27 \\mathrm{~g}'

'针对整数a、b、c的以下命题提出逆命题和逆否命题，并讨论它们的真假。如果240 ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}► 是奇数，则至少a、b、c中有一个是奇数」反向:「如果a、b、c中至少有一个是奇数，则a^{2}+b^{2}+c^{2}的 是奇数」反向为假（反例: a=1, b=1, c=0） 对偶:「如果a、b、c都是偶数，则a^{2}+b^{2}+c^{2}是偶数」对偶为真（证明） 如果a、b、c都是偶数，则整数k、l、m可表示为a=2k、b=2l、c=2m，从而a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2k)^{2}+(2l)^{2}+(2m)^{2}=2(2k^{2}+2l^{2}+2m^{2})'

'求出被11除余数为9，被5除余数为2的三位数中最大的数。'

'当103 a > 2时，x < a+1，2a-1 < x'

'乘法原理（对于三个或更多事物，也同样成立。）如果事物A发生的方式有a种，对于每一种情况，事物B发生的方式有b种，那么A发生且B发生的方式有a×b种。'

'[东京女子大] 给定整数集合 D 是可以被 3 整除的整数的集合，表示 C ⊂ D 且 C ⊃ D。'

'28 58 个以上'

'请计算以下平方根。'

'排列・循环排列・重复排列'

'例题 97（1）：求解在 x > 2 的条件下有解的二次方程解的存在范围。'

''

'集合中元素的数量，基本事项 1) 集合中元素的数量 数量定理 设 A, B 为有限集合（元素数量有限的集合）。并且，n(P) 表示有限集合 P 的元素数量。 (1) 并集中元素的数量 1 n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B) 2 若 A ∩ B=∅ 时 n(A ∪ B)=n(A)+n(B) (2) 补集中元素的数量 n(A^)=n(U)-n(A) 其中，U 为全集 在本书中，称上述的 (1)，(2) 为数量定理。关于集合，请参见《数学 I》第 68，69 页。'

'关于6400的正因数：找出所有是5的倍数的数并求它们的和。'

'求13的30次方除以17的余数。'

'解决以下不等式。'

'假设 n 为正整数。证明以下内容：(1) n²+1 为 5 的倍数，当且仅当 n 除以 5 的余数为 2 或 3。'

'\ 139 \\frac{2 \\sqrt{6}}{3} \'

'同时投掷2个骰子，其中较小的数为X，较大的数为Y（如果两者相等，则为该数字）。设常数a为1到6之间的某个整数，则求下列概率。'

'当 x=199，y=-98，z=102 时，求 x^{2}+4xy+3y^{2}+z^{2} 的值。'

'数学A\nPR某所学院的140名学生，针对国语、数学、英语3门科目分别进行了（3）10项调查。调查结果显示，擅长国语的人有86人，擅长数学的人有40人。此外，擅长国语和数学的人有18人，擅长国语和英语的人有15人，擅长国语或英语的人有101人，擅长数学或英语的人有55人。另外，三门科目都不擅长的人有20人。这时，擅长3门科目的人有A人，只擅长1门科目的人有B人。'

''

'组合、包含相同事物的排列'

'(1) 从 1，2，3 中选择 3 个数字，允许重复。找出和为 3 的倍数的所有组合。\n(2) 准备 3 张写着 1 的卡片，3 张写着 2 的卡片，3 张写着 3 的卡片，共计 9 张。从中随机选择 3 张卡片时，求卡片上的数字和为 3 的倍数的概率。'

'计算机由表示开/关两种状态的开关组成。将开表示为1，将闭表示为0，这样二进制就成了结构的基础。位是表示信息量的最小单位。n位可以表示2^n种信息。'

'两个集合中整数的数量'

'(101-5, \\frac{1}{5})'

'进行组合计算'

'回答下列关于实数子集的问题。'

'计算7人的循环排列总数，然后基于此计算女性不相邻的排列方法总数。'

'(3) 53不能整除8的整数」的集合A∩B，利用德摩根定律A∪B = A∩B，求集合的个数。 补集的个数是从总体集合的个数中减去的'

'(1) $2 \\sqrt {6}$ (2) $\\frac{2 \\sqrt {3}+3 \\sqrt {2}-\\sqrt {30}}{12}$'

'当有4枚10日元硬币，6枚100日元硬币和2枚500日元硬币时，一共有多少种可能的付款方式。请注意，如果所有硬币数量都为0，则无法支付。'

'集合 A = {8, 12}, B = {4n | 1 ≤ n ≤ 6, n是整数}，求集合B的元素并排列出来。'

'对于两个整数 a 和 b，如果存在整数 k 使得 a=bk，则称 b 是 a 的约数，a 是 b 的倍数。由于 a=bk，也可以表示为 a=(-b)⋅(-k)，因此如果 b 是 a 的约数，则 -b 也是 a 的约数。'

'设 n 为整数。若 n 的平方是 5 的倍数，则 n 也是 5 的倍数。证明之。'

'(1) $8 x-3 y=1 \\cdots \\cdots$ (1) \\ n $x=2, y=5$是(1)的一个整数解。\\\\ 所以$8 \\cdot 2-3 \\cdot 5=1$ (1)-(2)由此得 \\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \\] 即$8(x-2)=3(y-5)$ 8和3互质，因此$x-2$是3的倍数。 因此，取整数$k$ ，可表示为$x-2=3k$。 将此代入(3)得$y-5=8k$。 因此，(1)的所有整数解为 \\[ x=3k+2，y=8k+5\\quad(k是整数) \\]'