高级代数 - 矩阵和矩阵运算

'根据以下条件找出数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的通项公式'

'「线性代数」的主要内容是什么？'

'数列{a_{n}}定义为a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n。为使数列{a_{n}-f(n)}成为公比为2的等比数列，确定二次式f(n)，并表示a_{n}为n。'

'32'

'練習 40: 解决递推公式(1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} 和 (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}。根据初始条件 a_{1} + b_{1} = 4 和 a_{1} - b_{1} = 2，求解 a_{n} 和 b_{n}。'

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'当等号成立时，4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'例题37相邻3项间的递推式（1）\n根据以下条件确定的数列\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \，求一般项。\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'对于正比数列，其公比为正数，前3项的和为21，接下来6项的和为1512，请求此数列的首项和前5项的和。'

'例题51 | 不等式证明'

'假设数列 {an} 的首项到第n项的和为 Sn = 3n(n+5)，求出通项 an。'

'当 m=6 时，x=-2；当 m=10 时，x=-8,0；当 m=-6 时，x=4；当 m=-10 时，x=2,10'

'求数列(1)的通项公式。'

'定义数列{a_n}如下。'

'求出首项到第5项的总和为20，首项到第20项的总和为140的等差数列的首项a和公差d。'

'求一般项受限于给定条件的数列 {an}。'

'若数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n 满足 3 S_n = a_n + 2n - 1，则回答以下问题：'

'求前三项的和为6，求第二项到第四项的和为-12的等比数列的首项和公比。'

'求解两个向量的分量。 对于两个向量 \\( \\vec{a}=(2,1) \\) 和 \\( \\vec{b}=(4,-3) \\)，找到满足条件 \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ 和 \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \ 的向量 \ \\vec{x} \ 和 \ \\vec{y} \ 的分量。'

'在正四面体PABC中，设点A到平面PBC的垂线足为H，设PA=a，PB=b，PC=c。'

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'在一个有 5 人参加的派对中，每个人准备一个礼物，然后进行抽签共同分享，特定的两个人 A 和 B 只收到自己准备的礼物，其他三个人分别收到除自己准备的以外的礼物的方式有多少种?'

'定义数列$a_{n}$如下。$a_1=1, n a_{n+1}-(n+2) a_{n}+1=0 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$。另外，定义数列$b_{n}$为$b_{n}=2 a_{n}-1 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$。此外，定义数列$c_{n}$为$c_{n}=\x0crac{b_{n}}{n(n+1)} (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$。(1) 用$b_{n}$和$n$表示$b_{n+1}$。(2) 求$c_{n}$的通项。(3) 求$a_{n}$的通项。[立教大]'

'求由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。'

'已知数列{a_n},{b_n}如下定义，回答以下问题。a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n，(1), b_{n+1}=a_n+3b_n。 (1)求数列{a_n+b_n},{a_n-b_n}的通项。(2)求数列{a_n},{b_n}的通项。'

'假设产品P和Q每1kg的利润分别为a万元，3万元。现在考虑每日的利润。这里假设a为正数。(i) 当a=1时，使利润最大化的x, y为(x, y)=(井, 仏)。(ii) 当a为什么值时，只生产产品Q而不生产产品P时可以使利润最大化，此时利润的最大值是厼万元。(iii) 使利润最大化的x, y为(x, y)=(テト, ナニ)的充分必要条件是ム。'

'第1章数列-327'

'(1) \ \\ alpha \\neq \\ beta \ [Reference of Important Example 41]求一般项数列 \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \，数列 \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \。'

'推导三个联立递推式: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$（参考重要例题43），得到形如 $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$ 的方程组，或者导出只涉及$a_{n}$或$b_{n}$的递推式（相邻3项之间的递推关系）。'

'数列 {an} 的第一项到第n项的和 Sn 为 Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...)。(1) 求 an。(2) 证明 ∑(k=1)^(n) k ak 是3的倍数。'

'让我们考虑下面的[问题]。请找出由每个条件确定的数列\\\left\\{a_{n}\\right\\}\的通项。'

'解方程組'

'将抛物线 y = 2x^{2} + ax + b 向 x 轴方向平行移动 2，向 y 轴方向平行移动 -3，则与抛物线 y = 2x^{2} 重合。求常数 a，b 的值。'

'太郎先生是一名参加男子短距离100米赛跑的选手，他决定关注问题(1)，并考虑到最优的步幅和节奏。'

'设\ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \，则得到方程组：\ 2 s+u=1 \ (1)，\ -s+3 t=3 \ (2)，\ s+2 t+u=2 \。求解 s, t, u 的值，并表示\ \\vec{p} \。'

'逆行列'

'给定矩阵 A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right]，请计算其逆矩阵。'

'在这些矩阵中，哪些是相同类型的？又哪些是相等的？'

'请解释逆矩阵的定义。'

'关于矩阵 A、B、C、D，请回答问题（1）至（3）。'

'这是一个求逆矩阵的问题。'

'一般来说，在矩阵乘法中，不成立交换律 (AB ≠ BA)。因此，无法像多项式一样自由变形。可以无条件使用的是结合律 (AB)C = A(BC)和分配律 (A+B)C = AC + BC，C(A+B) = CA + CB，通过这些法则来变换。对于可交换的矩阵A、B (即AB = BA)，可以像普通表达式一样进行计算。'

'利用递推式计算无限级数的和'

'给定矩阵是否存在逆矩阵。如果存在，请求出它。'

'逆矩阵\n逆矩阵的存在条件和元素'

'考虑由条件(i)(ii)确定的数列 {a_{n}}。'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ 所以 $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ 参考 等号が成立するのは, $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$ のときである。'

'当 A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right) 时，选择两个不同的矩阵进行乘法运算，并计算结果。'

'当矩阵A和B满足AB=BA时，称A和B可交换。'

'计算以下内容。'

'检查矩阵是否存在逆矩阵。如果存在，请求出。'

'请列出逆矩阵的三个基本性质。'

'请证明对于矩阵A、B，有Δ(AB)=Δ(A)Δ(B)。'

'练习'

'当 x=y=3√3 时，最大值为9/4；x=81，y=1/3 时，最小值为-4'

'練習：'

'令28n为正整数。找到满足以下不等式的三维点P(x, y, z)，其中x，y，z均为整数点（格点），记为f(n)。求极限lim_{n -> ∞} f(n)/n^3。给定的不等式为：{ x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }。'

'根据给定的矩阵，计算矩阵X。'

'关于三角形ABC的向量AB，向量BC，向量CA，分别记其内积为向量AB·向量BC=x，向量BC·向量CA=y，320向量CA·向量AB=z。请用x，y，z表示三角形ABC的面积。'

'问题 1 本册 p .609\n(1) A: 2 行 2 列的矩阵\nB: 2 行 3 列的矩阵\nC: 3 行 2 列的矩阵\nD: 3 行 3 列的矩阵\n(2) 第 3 行向量是 (1,-3), 第 2 列向量是 \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12}=5, \\quad a_{32}=-3, \\quad a_{33}=2'

'在向量 \ \\vec{x}, \\vec{y} \ 中, 当 \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\) 时, 求 \ \\vec{x} \ 和 \ \\vec{y} \。'

'将直线x=-3作为渐近线，并且通过点(-2,3)和(1,6)的双曲线函数表示为y=(ax+b)/(cx+d)的形式。'

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'数学 C\n(2) $\\vec{x}+2 \\vec{y}=\\vec{a}$\n(1), $\\vec{x}-3 \\vec{y}=\\vec{b}$\n(2) 为\n(1) $\\times 3+$ (2) $\\times 2$ 得到 $5 \\vec{x}=3 \\vec{a}+2 \\vec{b}$\n因此\n$\\vec{x}=\\frac{1}{5}(3 \\vec{a}+2 \\vec{b})=\\frac{1}{5}\\{3(1,1)+2(1,3)\\}=\\left(1, \\frac{9}{5}\\right)$\n另外, 由 (1)-(2) 得到 $5 \\vec{y}=\\vec{a}-\\vec{b}$\n因此\n$\\vec{y}=\\frac{1}{5}(\\vec{a}-\\vec{b})=\\frac{1}{5}\\{(1,1)-(1,3)\\}=\\left(0,-\\frac{2}{5}\\right)$\n通过解方程\n$x, y$ 的联立方程\n \\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx+2 y=a \\\nx-3 y=b\n\\end{\overlineray}\\right. \n'

'用a和b表示x和y，满足2x+5y=a，3x-2y=b。'

'问题 5：请解决以下矩阵方程。'

'\ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ 和 \ \\vec{a}+\\vec{b} \ 互相垂直，当 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{a}-\\vec{b} \ 互相垂直时，求 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{b} \ 之间的角度 \ \\theta \。'

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'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\text { 于是 } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) 因此 \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\varangle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'使用递推方程，解决组合问题。'

'对于以下情况，请回答A或B中是否存在必胜策略。'

'解决以下联立方程组。'

做以下计算。 (1) 3 ec{a}+2 ec{a} (2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \) (3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \) (4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \) (5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)

若 \(ec{a}=(2,3,1)、ec{b}=(2,5,0)、ec{c}=(3,1,1)\)，请用适当的实数 $s, t, u$ 表示 \(ec{p}=(5,10,-1)\) 为 s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} 的形式。