高级代数 - 指数和对数函数

'解数学方程式:'

'数学 II'

'(3) (2)从$M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\n因此，$d_{n}=2^{M_{n}}$得到 d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\n因此$\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$（常数）\n因此，数列$\\left\\{d_{n}\\right\\}$是一个首项为$d_{1}=a$，公比为$r^{\\frac{1}{4}}$的等比数列。'

'约翰·内皮尔（1550年至1617年）留下了什么成就？'

'(1) 假设 $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$, 则 $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { 也 } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { 在这里 } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { 因此 } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { 所以 } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'常用对数表: 以10为基数的对数表。'

'求下列和。 给定 n≧2：\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'已知一个等比数列的前8项和为54，前16项和为63，求这个等比数列的第17项到第24项的和。'

'65（1）1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'练习问题：设 log_{2} x=t，其中 1≤x≤8 对应于 0≤t≤3。另外有 log_{1/2} x=-log_{2} x=-t。定义 y=t^{2}-2 t+3 为 t 的函数。求在 0≤t≤3 范围内 y 的最大值和最小值。'

'第7章 指数函数和对数函数-147'

'设\ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \，求\ \\log_{15} 8 \的表达式。'

'指数函数和对数函数'

''

'指数函数'

'求对数值。'

'证明如果 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1，那么 x、y、z 中至少有一个必须是 1。'

'确认对数方程和幂次的条件'

'求下列值。'

'求通项公式$a_{n+1}=3a_n+2n-1$'

'将存款年利率1%，以1年一次复利方式存入100万日元，总利息合计首次超过110万日元需要多少年？使用常用对数表。'

'请在这里介绍两个使用无限等比级数的例子。'

'为了使数列$\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$收敛，请确定实数$x$的取值范围。并求出数列在此时的极限值。'

'（1）从方程y=A \\sin x + B \\cos x -1中消去A，B以获得微分方程③ 213。'

'以一定速度将球垂直向上发射，设从发射开始到x秒后球离地面的高度为h米。 当h的值由h=-5x²+40x给出时，球从地面35米到65米的高度之间时，x的值在什么范围内？'

''

'对于数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \，假设数列 \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ 的从初项 \ p a_{1} \ 到第 \ n \ 项 \ p^{n} a_{n} \ 的和等于 \ q^{n} \。其中，\ p \\neq 0 \。\n(1) 求 \ a_{n} \。\n(2) 求 \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \。'

"(3) 设 y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1，则 y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 对所有实数都成立 y' > 0，所以 y 是增加的。因此，方程 x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 的实数解是 1 个。"

'(2) 设 \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \，求 \ \\log _{12} 7 \ 用 \a, b\ 表示。'

'证明以下方程:'

'解决以下方程和不等式，请注意a是一个不等于1的正常数。'

'解决以下不等式。'

'当 1 < a < b < a^{2} 时，按顺序排列: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1。'

'回答以下关于对数函数性质的问题。'

'考虑如下对数尺的刻度。'

'对于复数z，将函数e^z定义为用11的x替换z的表达式'

"练习 67 |II| 本册 p .558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) 極方程式 r=θ(θ≧0) から x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ ここで dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ よって, θ についての x, y の増減表は次のようになる。 θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ 極大 ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ 極大 ↘ ただし \\cos α−α sin α=0 確認用条件 \\sin β+β\\cos β=0"

'因此，求点Q的坐标。'

'使用中值定理\n（1）证明方程 \\( 3^{x}=2(x+1) \\) 在 \ 1<x<2 \ 范围内至少有一个实数解。\n(2) 设 \\( f(x), g(x) \\) 是区间 \ [a, b] \ 上连续的函数。若 \\( f(a)>g(a) \\) 且 \\( f(b)<g(b) \\)，则证明方程 \\( f(x)=g(x) \\) 在 \ a<x<b \ 范围内至少有一个实数解。'

'请将给定文本翻译成多种语言。'

'第2章问题100<a<b中，存在常数a，b。记x_n=（(a^n/b+b^n/a)^(1/n)）(n=1,2,3,...)，求（1）证明不等式b^n<a(x_n)^n<2b^n。（2）求极限lim n->∞ x_n。'

'给定方程120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(a b=8, \\quad a=3,x=0\\right)\\)'

'用不等号表示每组数的大小。'

'简化以下表达式。'

'31 对数函数'

''

'指数和对数混合式的值等'

'日常生活中使用的常用对数'

'极限数列(5)……使用夹逼原理和二项式定理'

'设fn(x) = (log x)^n (n是大于等于3的整数)。这里，log x 是自然对数。当曲线y = fn(x)具有拐点(x_0, 8)时，求n和x_0的值，并绘制曲线的概貌（包括凹凸性）。[职能开发大]'

'证明方程式3^x=2(x+1)在1<x<2范围内至少有一个实数解。'

'练习 n 为大于或等于 2 的自然数。'

'(2)发散'

'令 n 是自然数。函数 f(x)=x^{2} e^{x} 的第 n 阶导数 f^{(n)}(x) 可以表示为 f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}，其中 a_{n} 是某个常数。请求出 a_{n}。'

'求解常数a、b的值，使得y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x)和y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x成立。'

'将 n 个球投入 2n 个箱子中。假定每个球都会被装入其中一个箱子，且被装入任何一个箱子的概率相等。设任何箱子内最多只能有 1 个球的概率为 p_{n}。求极限值 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \。'

''

None

'计算自然数 n 的 3^n 的位数，并求其极限。'

'\ 0<a<b \有常数\ a, b \。记\\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\)，证明(1)不等式\\( b^{n}<a\\left(x_{n}\\right)^{n}<2 b^{n} \\)。(2)求\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \。'

'给定数学问题309的日文段落进行翻译'

'(ウ) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21（1）\ b_n = -（-3）^{n-1} \\n(2)\ a_n=\\frac{3（-3）^{n-1}+1}{（-3）^{n-1}+1},\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\n'

''

'(3) \\log 2'

'(1) 让a为非零常数。当x≥0时，求f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1)。'

'研究下列无限等比级数的收敛和发散性质，如果收敛，求出其和。'

''

'91 \\sqrt{3} \\pi'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'关于数字e'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime}=e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime}=3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=9 e^{3 x} \\\\\n\\text { Therefore } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime}=9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'证明方程3^x=2(x+1)在1<x<2范围内至少有一个实数解。'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'创建 PR 容器。这个容器以每单位时间 a 的比例缓慢倾注水。假设自开始倾注水后经过时间 t，水面高度为 h，水面半径为 r，水面面积为 S，水的体积为 V。(1) 表示 V。(2) 利用 a，h 分别表示 h、r、S 关于时间 t 的变化率 dh/dt，dr/dt，dS/dt。'