高级代数 - 复数和复平面

''

'如果具有有理数系数的n次方程式具有p+q√r作为解，那么请说明另一个解，并展示其性质。'

'求解习题（1）求一个复数 z，满足z的平方等于3+4i。'

'无法判断高中全体的平均分是否与县级平均分不同'

'将 x^{2025} 除以 x^{2}+1，商为 Q(x)，余数为 a x + b（a，b 是实数），则 x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b。将两边代入 x=i，得 i^{2025} = a i + b。这里 i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i。所以 i = a i + b。由于 a、b 是实数，因此 a=1，b=0。因此，所求余数为 x。'

'请提供与虚数相关术语的页码。'

''

'求解以下表达式的值。'

'当 a < 1 / 4 时，M = -3a + b + 1，当 1 / 4 ≤ a < 1 时，M = 2a√a + b，当 a ≥ 1 时，M = 3a + b - 1'

'整数a，b满足方程(a+bi)^{3}=-16+16i。其中，i是虚数单位。\n(2) 计算i/(a+bi)- (1+5i)/4的结果为什么？'

'求具有极值条件的函数条件和不具有极值条件的函数条件'

'例19 | 2次方程的解的判断（2）'

'有3枚100日元和3枚50日元的硬币，一共6枚，还有一个骰子。同时投掷这6枚硬币和1个骰子，如果掷出的硬币总额为正面朝上的金额与骰子的点数n减去2的绝对值的乘积，将获得奖金。例如，如果6枚硬币全部是正面朝上，且骰子点数为6，则表面朝上的硬币总额为450日元乘以4等于1800日元作为奖金。'

'求湖題33高次方程式的值 \ x=1+\\sqrt{2} i \ 時，求下式的值：\\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'请计算以下表达式：\n\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\alpha-1) + (\eta-1) + (\\gamma-1) = (\\alpha+\eta+\\gamma)-3 = 0-3=-3 \n(\\alpha-1)(\eta-1)+\eta-1)(\\gamma-1)+(\\gamma-1)(\\alpha-1)\\ = (\\alpha \eta+\eta \\gamma+\\gamma \\alpha)-2(\\alpha+\eta+\\gamma)+3 \n=-4-2 \\cdot 0 +3=-1 \n\\end{array}\n\\]\n\n此外，\\( x^{3}-4 x+2=(x-\\alpha)(x-\eta)(x-\\gamma) \\) 成立。两边代入 \ x=1 \ 得到 \\( 1-4+2 = (1-\\alpha)(1-\eta)(1-\\gamma) \\) 因此 \\( (\\alpha-1)(\eta-1)(\\gamma-1)=1 \\)，所以求得的三次方程式为：\ x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 = 0 \'

'请用a+bi形式表示以下计算的结果。\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'关于复数z，求满足z^2=i的所有复数z。'

'定义数列 {a_n} 为 {a_1=3, a_{n+1}=(a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3, ...,)}'

'基础 35: 复数的除法'

'定义数列{a_n}如下。设a_1 = 2。对于任意自然数n，直线通过点(0,1),(a_n,0)和直线y = x的交点的x坐标为a_{n+1}。'

'(1) 求解实数 \ x, y \ 的值，使得等式 \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\) 成立。'

'26 x的值为-1/2和2/3时，求解'

'实例1 不等式的证明'

'数学中，实数x、y、z满足方程组{x+y+z=-1，x^2+y^2+z^2=7，x^3+y^3+z^3=-1}1)。此时，xy+yz+zx=⧁，xyz=1。因此，方程组(1)有⧁组解，其中满足x<y<z的是(x, y, z)=1。'

''

'基础 34: 共轭复数及其和积'

'求解由以下条件确定的数列{an}的通项公式。'

'请确定常数 k 的取值范围，以满足以下条件：（1）函数 f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 有极值点。（2）函数 f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 没有极值点。'

'求每个数及其共轭复数的和积。'

'求两点A(α)、B(β)之间的线段按m:n内分与外分的复数表示。'

'令a为正实数，设w=a\\(\\left(\\cos \\frac{\\pi}{36}+i \\sin \\frac{\\pi}{36}\\right)\\)，定义复数序列\\\left\\{z_{n}\\right\\}\为\\(z_{1}=w, z_{n+1}=z_{n} w^{2 n+1}(n=1,2, \andotsandots)\\)'

''

'当复数z满足z+1/z=√2时，求z^20+1/z^20的值。'

'设3的α不是实数而是复数，β是正实数。'

'复数 α 的 n 次根，即 x^n=α 的解之一，初次取 n 次幂后得到 α 的结果称为 α 的本原 n 次根。在这里，让我们考虑 1 的本原 6 次根。'

'考虑复数数列 \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \。'

'请将所提供的问题翻译成多种语言。'

'将由下式表示的 z 到 w 的转换称为一次分式变换（或莫比乌斯变换）。'

'在我们的日常生活中，交流电被广泛使用。在交流电路的计算中，有时需要使用复数和微分方程，让我们来看一部分内容。请注意，以下内容包括大学范围，因此大致了解即可。'

'使用极坐标形式解方程式 z^6=1。'

'给定数列{a_{n}}，其中a_{1}=3，a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1}。'

'在复数平面上，有4个点A(2+4i)，B(z)，C(z的共轭)，D(2z)。当四边形ABCD是平行四边形时，请求复数z的值。'

'在复数平面上，对于三个点A（1+i），B（3+4i），C，如果三角形ABC是正三角形，则求表示点C的复数z。'

'设 z 为虚数。证明当 z+1/z 为实数时，|z|=1。并找出所有使得 z+1/z 为正整数的 z。'

'当两个二次方程 $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ 和 $x^{2}-2 m x-m=0$ 有唯一共同解时，$m$ 的值是 $\\qquad$，共同解是 $x=$ $\\square$。'

'有12张彩票，其中包含 n 张中奖彩票 (0 ≤ n ≤ 12)。如果从这些彩票中抽取 ^3161 张，中奖彩票得 3 分，未中奖彩票得 -1 分。求 n 的取值范围，使得得分期望值大于等于1。'

'确定常数c的值，使函数f(x)=-x^{2}+4x+c在(-4≤x≤4)范围内的最小值为-50。'

'对于复数 \\\alpha=a+bi\ 及其共轭复数 \\\overline{\\alpha}=a-bi\，具有以下性质。'

''

'数列{an}由a1=2,an+1=3an-n²+2n定义。通过考虑使数列{an}-g(n)成为公比3的等比数列的二次函数g(n)，给出an的n表达式。'

'找到方程 x^3-6x+c=0 有两个不同的正解和一个负解的 c 值的范围。'

'设i为虚数单位，x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i。记y为x的共轭复数，求以下值。'

'已知公比为正数的等比数列的首项到第 n 项的和为 Sn。当 S2n=2，S4n=164 时，求解Sn的值。'

'数列 {an} 被定义为 a1=2 和递推公式 an+1=2-an/(2an-1)。'

'设 i 为虚数单位，令 x=√3+√7i。 设 y 为 x 的共轭复数，则求以下值。'

''

'由于两个解的比例为3:2，请找出这两个解。'

'求至少有一个复数解的实数a的范围'

'存在恰好有两个的复数z=x+yi（x，y为实数），使其平方等于i。求这个z。'

''

'关于对数尺（1）、（2），关注相对的刻度a和c以及b和d，可以看到a/c=b/d成立，所以相对刻度的比例是固定的。另外，对数尺（3），关注cf=de这个关系式总是成立。'

'从点\\((a, b)\\)到曲线\y=x^{3}-x\上可以画出3条不同的切线的条件，找出满足此条件的点\\((a, b)\\)的范围，并加以图示。[关西大]'

'基本示例31：递推式a_{n+1}=2 a_{n}-n, 似乎不适用于上述三个情况。即使将a_{n+1}，a_{n}记为α，考虑特征方程α=2α-n，仍然得到α=n，无法像基本示例30那样继续进行。因此，让我们仔细看看左边的答案。'

'求出由以下条件确定的数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的通项公式。'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'请找出 x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) 的解。'

'将抛物线y=1/2 x^2平行移动，经过点（1,5），并且顶点位于直线y=-x+2上的曲线方程是什么？'

'当点z沿着以原点O为中心，半径为2的圆运动时，点w = \\frac{2z-i}{z+i} 将绘制什么样的图形？'

'请说明如何在复平面上处理复数加法 α + β 对应的位置矢量。'

'要求以点i为中心，找到将点2+2i旋转到下一个角度的复数。'

'我想总结一下复数运算表示的是什么样的图形移动。'

'复数平面'

''

'解决方程式 z^6=1。'

'对于点A(-1+i)和点B(3+4i)，(2) 线段AB的中点M'

'例题 90 | 三角形的形状（3）'

'求复数α=3+4i和β=1+2i的和与差，然后在复数平面上绘制它们所代表的点。'

'当复数z满足|z-1|≤|z-4|≤2|z-1|时，在复数平面上绘制点z的移动范围。'

'(*)有共轭虚数解$z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma为虚数)$时，根据解和系数的关系，得到$\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a, \\quad \\gamma \\overline{\\gamma}=b$，即$a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$。此时，$D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$，而$\\gamma-\\overline{\\gamma}$是纯虚数，因此$D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$恒成立。结合$|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$可得$|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$，即$\\left.\\left\\lvert\\,(\\gamma \\text {的实部})\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$。因此，(*)的虚数解z的取值范围是$\\left.\\left\\lvert\\,(z \\text {的实部})\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$。'

'当复数平面上的点 z 沿着从单位圆到点 -1 之间除去的圆周移动时，用 w = \\frac{2 z+1}{z+1} 表示的点 w 会画出什么样的图形？'

'在这一节中，我们学习了复数的加减乘除运算。接下来，让我们将复数表示为平面上的点，并思考复数的几何意义。具体来说，我们会考虑复数的和、差、绝对值以及共轭复数的几何解释，还会学习极坐标形式来处理复数的乘法和除法，并思考复数平面上的各种图形。'

'根据(1)的结果，存在复数z满足(2)的条件是α≤-2，-1≤α。因此，|α|≤2推出α=-2，-1≤α≤2。'

'在这里，所有的字母都是复数。从表示的式中称为z的z到w的变换称为一次分式变换。'

'请用极坐标形式表示给定的复数。其中幅角 𝜃 满足 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋。'

'对于与复数z不同的复数z，当复数w通过w= z/z+1确定时，复数z沿虚轴移动时，求w绘制的图形。当复数z沿着复数平面上的圆|z-1|=1移动时，求w绘制的图形。'

'当3点O(0),A(3+4i),B(1+2i)不在同一直线上时，将加法结果记为C(α+β)，四边形OACB会是什么样的？'

'在复数平面上，如果点 P(z) 和点 Q(w) 关于经过原点 O 和点 A(α)(α ≠ 0)的直线对称，则用 α、z 表示 w。'

'(2) 对于不是实数的复数 $z$，证明 $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ 是纯虚数。'

'设k为大于2的自然数，记z=cos(2π/k)+isin(2π/k)。其中i为虚数单位。(1) 设m,n为整数。证明m-n是k的倍数的充要条件是z^m=z^n。'

'证明对于任意复数z，z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z是实数。'

''

'用极坐标形式表示复数 z 的共轭复数'

'对于函数 f(x)=(𝑥+1)/(𝑥^{2}+2 𝑥+𝑎)，找出满足以下条件的常数 𝑎 的值范围：'

'设 \ z \ 为非零复数。85 (1) 当将 \ z \ 表示为绝对值为 \ r \、幅角为 \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) 时，求解 \ r \ 和 \ \\theta \ 使得 \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ 为实数。'

'复数的乘法和旋转（2）'

'题12是关于求解方程f(x)=0的实数解（近似值）的计算方法“牛顿法”的有效性讨论，其中f(x)为凸函数。'

'(2) 在复平面上的点 \\alpha, \eta，展示以下点。(a) \\alpha+\eta (b) \\alpha-\eta (c) 2\\alpha+\eta (d) -(2\\alpha+\eta)'

'请用极坐标形式表示复数 z=a+bi。'

'复数的乘法和旋转（2）\n（1）对于两点z=3+i，w=2-i，求点z绕点w为中心旋转π/6的复数表示。'

'给定实数a, c，β为复数。当a ≠ 0且|β|² >ac时，方程式az¯z+β¯z+βz¯+c=0表示以点-β/a为圆心、半径为√(|β|²-ac)/|α|的圆，若a=0，β≠0，则方程式β¯z+βz¯+c=0表示直线。详细信息请参考解答页p.109。 练习中，k为实数，α=-1+i。在满足等式w¯α-¯wα+k i=0的同时点w在复平面上移动。当点w的轨迹与以点1+i为中心、半径为1的圆有交点时，求k的最大值。'

'(1) 假设复数 z 可以用正实数 r 和实数 θ 表示为 z=r(cosθ+isinθ) 的形式。请证明必要条件和充分条件，以便数列 {xn},{yn} 同时收敛于0。'

'假设方程（1）有一个绝对值为1的复数解z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta，那么可以从方程（2）得到'

'在复数平面上，以复数 $\\alpha=a+bi$ 表示的点为 $A(\\alpha)$。现在，在这个平面上，设点 $A$ 关于原点 $O$ 的位置向量为 $\\vec{p}$。于是，复数 $\\alpha$ 与位置向量 $\\vec{p}$ 是相对应的。对于两个复数 $\\alpha, \eta$，设 $A(\\alpha), B(\eta)$，$\\overrightarrow{OA}=\\vec{p}$，$\\overrightarrow{OB}=\\vec{q}$，那么复数 $\\alpha, \eta$ 的相等性可以看作是位置向量 $\\vec{p}, \\vec{q}$ 的相等性'

'对于点A(-1+i)和点B(3+4i)，找到表示以下点的复数：(1) 将线段AB划分为2:1的内分点P'

'对于由复平面上的三点A(α)，B(β)，C(γ)为顶点的三角形ABC，满足等式903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα时，ABC是什么样的三角形？'

'请说明当复数z或z1，z2，z3，z4位于单位圆上时的条件。'

'给定文本翻译成多种语言。'

'请说明复数乘积的几何意义。'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'在复数平面上练习，假设复数a，b，c分别表示为点A，B，C，这三个点不共线。设 α、β、γ为复数常数，当复数z满足方程 αz+β z̅+γ=0 时，分别用a，b，c以及它们的共轭复数a̅、b̅、c̅表示 β/α 与 γ/α。'

'在复数平面上，用复数表示三角形的顶点O，A，B分别为0，α，β。'

'在复平面上，找出复数α=3+4i所代表的点，并找出将该点缩小2倍的复数所代表的点。'

'在这一章中学到的内容》 在数学I中，我们学习了复数的加法，减法，乘法，除法。 在这一章中，我们将学习复数是如何作为复平面上的点表示以及复数的和，差，绝对值，共轭复数的几何意义。此外，为了考虑复数的乘法和除法，我们将学习复数在复平面上的几何表示即极坐标形式，并将学习在复数平面上学习各种图形。'

'复数的乘法和旋转（2）\n（1）对于两点z=3+i，w=2-i，找到以点w为中心，将点z沿顺时针旋转π/6的复数表示。\n（2）当以1+i为中心，点3-2i绕角度θ（0 ≤ θ < 2π）旋转后得到的复数是(4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2时，求θ的值。'

''

'当复数z的幅角不确定时，它是什么情况？'

'因此 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$, 所以 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'计算以下表达式。'

'将给定的复数z转换为极坐标形式。其中，辐角θ为0≤θ<2π。'

'对于以复平面上的3个点A(α)、B(β)、C(γ)为顶点的三角形ABC，当满足以下等式时，三角形ABC将是什么样的三角形？\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

''

'n是大于等于2的自然数，i是虚数单位。'

'求复数 \ \\frac{c+d i}{a+b i} \ 的商。'

'复数'

'证明当有理数系数的 n 次方程有解 p+q√r 时，另一个解是 p-q√r。'

'请计算复数的四则运算，并计算负数的平方根。'

'第2章 复数和方程式 参考资料 求解复数系数的二次方程'

'当k是实数常数，i=√-1是虚数单位。 当方程(1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0有纯虚数解时，求k的值。'

'练习\n将实数常数 k, 虚数单位 i=√(-1)。 x 的二次方程 (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0 具有纯虚数解时, 求 k 的值。'

'设将方程x^2+x+1=0的解分别为ω和α，根据解与系数的关系，可得ω+α=-1...(1)，ω*α=1。'

'在给定条件下，求BC²的最大值和最小值。条件：当\ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \时，\ \\cos \\theta < 0 \'

'当x = (1 - √3i)/2时，找出 x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 的值。'

'有一个无限等比级数，它的第一项和公比都是实数，和为3；还有一个无限等比级数，它的每一项是第一个级数对应项的三次幂，和为6。求第一个级数的公比。'

'使用极坐标形式求解方程z^6=1。'

'在复数平面中，设三角形的顶点O，A，B分别表示为复数0，α，β'

None

'在复数平面上，表示为6的点为A，表示为7+7i的点为B。另外，对于正实数t，取表示为\\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7}\\)的点P。'

'1的n次根\n1的n次根（即方程z^n=1的解）是以下的n个复数。\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'考虑复数z的函数f(z)=z+1/z。 当1/3<=|z|<=2且0<=arg z<=π/4时, 求f(z)的实部的最大值和最小值。'

'对于复数z = cos(2/7π) + i sin(2/7π)，计算(4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6的值。(1) 计算1/(1-z) + 1/(1-z^6)的值。另外，令t=(z^2+1)/z，则(2) 证明t是实数。(3) 证明t是三次方程t^3+⏋⎹t^2-1␍t-ウ␍的根。'

'针对复数平面上的3个点A（α），B（β），C（γ）\n(1) 当 α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i 时，求∠ABC的大小。\n(2) 当 α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a是实数) 时，a=⬜时，A，B，C 三点共线，a=1⬜时，AB⊥AC。'

''

'练习计算以下表达式。'

'在复数平面上，使用莫比乌斯定理，展示用极坐标形式表示复数 z 的计算。'

'请用极坐标形式表示以下复数。假定幅角θ满足0 ≤ θ < 2π。(1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'练习'

'设α是绝对值为1的复数。那么，(α+z)/(1+αz)为实数的条件是，z是什么样的复数。'

'假设两个复数为 \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \，其中偏角为 \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \。(1) 请用极坐标表示 \ \\alpha+1 \。这里假设偏角 \ \\theta \ 满足 \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \。(2) 当 \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ 的实部等于 0 时，证明 \ \eta=-\\alpha \。'

'用极坐标形式表示复数，并计算乘法和除法。'

'(A) 用极坐标形式表示α和β：α=cos(θ1)+isin(θ1)，β=cos(θ2)+isin(θ2)，满足0<θ1<π<θ2<2π。'

'当复数z满足arg z = π/4, |(z+i)/(1+2i)| = 1时，求z的值。'

'关于复数平面上圆的方程问题。对于表示圆的方程式 |z- α|=r，平方后得到 |z- α|^{2}=r^{2}，展开后得到 z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0。这个方程包含实数，因此需要考虑图形表示。\n接下来，考虑实数 a, c，复数 β，方程式 a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0 代表什么样的图形。\n情况1：当 α ≠ 0，|β|^{2}>a c，a ≠ 0 时，该方程代表以点 -β/a 为中心、半径 |β|^{2}-a c|a 的圆。\n情况2：当 a = 0，\ar{β} z+ β \ar{z}+c=0 时，该方程代表直线方程 A x + B y + c = 0（解释复数 β = p + qi）。直线 B 垂直于连接两点（0, β）的直线（请参阅第261行）。'

'当三个不同点A(α), B(β), C(γ)满足以下条件时，求三角形ABC的三个角的大小。'

'假设存在三个不同的复数α，β，γ，使等式α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3)成立。'

''

'求复平面上A（-1+i）和B（√3-1+2i）两点之间的线段AB为边的等边三角形ABC的第三个顶点C对应的复数z。'

'请找到以点A（α）、点B（β）、点C（γ）为顶点的三角形ABC的重心复数。'

'求复平面上A（-1+i）和B（√3-1+2i）两点连线AB为边的正三角形ABC的顶点C所对应的复数z。'

''

''

'证明方程zⁿ=α的所有解都可以表达为α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀。'

'假设在三个不同的复数α，β，γ之间，等式α³-3α²β+3αβ²-β³=8(β³-3β²γ+3βγ²-γ³)成立。'

'请用极坐标形式表示下列复数。其中，幅角 θ 满足 0 ≤ θ < 2π。'

'关于点 A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i)，请找出以下复数所代表的点：\n(1) 将线段 AB 分割为 3:2 的点 P\n(2) 将线段 AC 分割为 2:1 的外分点 Q\n(3) 线段 AC 的中点 M\n(4) 平行四边形 ABCD 的顶点 D\n(5) 三角形 ABC 的重心 G'

'在复数平面上有三个点 O(0), A(-1+3i) 和 B。 当△OAB是一个直角等腰三角形时，求代表点B的复数 z。'

'练习\n(32个角θ在0和π/2之间的复数α=cosθ+i sinθ)。设z0=0，z1=1，对于k=2、3、4，...(zk-zk-1)=α(zk-1-zk-2)定义序列{zk}。在复数平面上，设zk(k=0、1、2,...)表示的点为Pk。\n（1）用α表示zk。\n(2)记A(1/1-α)，证明点Pk(k=0、1、2,...)位于圆周上以A为中心的一个圆上。'

'绝对值'

'计算以下表达式。'

'对于非零复数d，方程dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1)成立的点z在复平面上画出什么图形？'

'练习'

'令a为正实数，w=a(cos(π/36) + i sin(π/36))。定义复数序列{z_n}，z_1 = w，z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...)。(1)求z_n的幅角。'

'当复数 z 满足 z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i 时，利用共轭复数的性质，求解 z。'

'设α，β为复数。(1)当|α|=|β|=1且α-β+1=0时，求αβ和α/β+β/α的值。(2)当|α|=|β|=|α-β|=1时，求|2β-α|的值。'

'计算下列等式。'

'在复数平面上，将复数α = a + bi对应到坐标平面上的点(a, b)。这个平面被称为复数平面或复平面。那么，复数α = 3 + 4i对应于复数平面上的哪个点？'

'当复数 z 满足 3z + 2\x08ar{z} = 10 - 3i 时，请利用共轭复数的性质找出 z。'

'考虑由以下递推式定义的复数序列z1 = 1，z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1（n=1,2，...）。 这里，i是虚数单位。 （1）计算z_2, z_3。 （2） 将上述递推式表示为z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α)，求复数α。 （3） 求通项z_n。 （4） 找出所有使z_n = -(1 - √3 i)/2成立的自然数n。'

'求下列复数的乘积αβ和商α/β。'

'在复数平面上，连接两点A（α），B（β）的线段AB在m：n的比例内分点为C（γ），在m：n的比例外分点为D（δ）'

'给定 2 的绝对值为 1/2，偏角为 π/3 的复数乘以 z。'

'求以原点为中心，将点z = 4 - 2i逆时针旋转π/3，并且距离原点为原来的1/2倍的复数w2。'

'找到复数z满足|z|=5和|z+5|=2√5时，求以下值。31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'在本章中，我们学习了复数被表示为复平面上的点，以及复数的加法，减法，绝对值，共轭复数的几何意义。此外，为了在复数平面上考虑复数的乘法和除法，我们学习了极坐标形式，以及在复数平面上学习了各种几何图形。'

'当复数z满足|z-3-4i|=2时，请求|z|的最大值及其时的z的值。'

'证明对于自然数 \ n \, 成立不等式 \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \ 。'

'证明复平面上不通过原点的两条不同直线 l 和 m 关于原点的对称点分别为 α 和 β。'

'假设复平面上的点 z 在单位圆上。请证明 z 可以表示为 z = e^(iθ)。'

''

'证明对于不是实数的复数z，z^3 - (z的共轭)^3是纯虚数。'

''

'证明对于绝对值小于1的复数α，β，不等式|（α-β）/（1-αβ）|<1成立。'

'在复数平面上，将点表示为 -1+2i, 3+i。如果将线段AB作为一条边，求正方形ABCD的顶点C，D的复数表示。'

'证明4次方程ax^4+bx^2+c=0有复数解α时，α的共轭复数也是该方程的解。'

'令i为虚数单位，k为实数。设α=-1+i，点z在复平面上沿单位圆以原点为中心移动。'

''

''

'请用极坐标形式表示以下复数。假设幅角 θ 满足 0 ≤ θ < 2π。1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π)。'

'練習問題: 在复平面上，假设复数a、b、c分别表示点A、B、C，且这些点不在同一直线上。将复数α、β、γ视为常数，当复数z满足方程式αz+βz+γ=0时，分别给出β/α、γ/α用复数a、b、c及其共轭复数a、b、c表达的形式。 (1) 线段AB (2) 穿过点C且垂直于线段AB的直线'

''

'基本问题 106 三角形的形状 (1) 在复数平面上，以三个点A（α）、B（β）、C（γ）作为顶点的三角形ABC，如果等式β-α=(1+√3i)(γ-α)成立，则求三角形ABC的三个内角大小。'

'令 α 为绝对值为1的复数。则当z为何种复数时，(α+z)/(1+αz)为实数？'

'在以O为原点的复数平面上，分别表示复数α、β的点为A、B。其中α≠0，β≠0。请选择使得△OAB一定为直角等腰三角形的α、β关系式的两个选项。'

''

'计算复数 z = 1 + i 的三次方，并以极坐标形式表示。'

'对于与-1不同的复数z，使用w=z/(z+1)来定义复数w。当点z沿着以原点为中心、半径为1的圆上移动时，求点w形成的图形。'

'考虑由条件(i)(ii)确定的数列 {an}。'

'例题 89 旋转图形的应用'

'对于点A(-2-2i), B(5-3i), C(2+6i)，找出以下复数表示的点。'

'考虑平面上的 4 个点 A(α), B(β), C(γ), D(δ)，它们形成四边形 ABCD。假设四边形 ABCD 是所有内角都小于 180° 的四边形（凸四边形）。另外，假设四边形 ABCD 的顶点按逆时针顺序排列为 A、B、C、D。在四边形 ABCD 的外部，分别构建以边 AB、BC、CD、DA 为斜边的直角等腰三角形 APB、BQC、CRD、DSA。 (1) 求代表点 P 的复数。 (2) 四边形 PQRS 是平行四边形的充分必要条件是，四边形 ABCD 应该是什么样的四边形？ (3) 如果四边形 PQRS 是平行四边形，则证明四边形 PQRS 是正方形。'

'设为α=2+i，β=4+5 i。找出以α为中心，旋转π/4的新点γ，该点起始于β。'

'请用位置矢量解释复数α，β的加法α+β，并使用平行四边形进行图示。'

'重要例题 77 | 利用 n 次根'

'平面矢量\n设w = (1 + α)z + 1 + α的共轭。当直线OW，OZ垂直时，回答以下问题。\n(1)求|z-α|的值。\n(2)求解复数z，使△OAZ成直角三角形。\n[类型：山形大]'

'求解满足给定递推关系式的复数数列{zn}的通项公式。'

'证明当复数 z=x+yi(x, y 是实数) 中，x≥0 时，不等式 |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 成立。并说明什么情况下等号成立。'

'使用极坐标形式z=r(cosθ+isinθ)'

'请说明复数和平面向量之间的对应关系，并证明它们是一对一的对应关系。'

'求复数，表示点A(-1+i)，B(3+4i)。'

''

'假设a、b是实数，并且三次方程x^{3}+ax^{2}+bx+1=0有虚数解α。证明：α的共轭复数α的共轭复数也是该方程的解。此外，用α、α的共轭复数表达第三个解β和系数a、b。'

'求解复数的递推式\n\ z_{1}=3 \，以及递推式\\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\)所确定的由复数构成的数列\ \\left\\{z_{n}\\right\\} \，回答以下问题：\n(1) 求解\ z_{n} \。\n(2) 求解\ z_{21} \。'

'令𝛼 = -2 + 2𝑖，𝛽 = -3 - 3√3 𝑖。其中，偏角在 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 范围内。(1) 分别用极坐标形式表示 𝛼𝛽 和 𝛼 / 𝛽。(2) 求解 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ 和 |𝛼³ / 𝛽|。'

'包含原点O的3点共线的条件是(1)○○○) α=3+(2 x-1) i，β=x+2-i。当点A(α)、B(β)和原点O共线时，请求实数x的值。'

'请使用极坐标形式表示复数1+i和sqrt(3)+i，并求出它们分别对应的cos(5/12π)和sin(5/12π)的值。'

'用复数来理解图形的方法'

'第3章 复数平面 417\n备用解决方案 2 A(3 i), B(-3), P(z) 设 |z-3 i|=2|z+3| 所以AP=2BP 因此AP:BP=2:1 线段AB被内分为2:1的点C(α), 外分为点D(β) 所以点P的全体是, 以点C, D为直径的圆。 α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i 所以, 点z的全体是以-2+i,-6-3 i为直径的圆 |z-3 i| 表示点A, P之间的距离, |z+3| 表示点B, P之间的距离。3章'

'将点 z 绕原点旋转 θ 角的结果是点 (cos θ+i sin θ) z'

'复数\ \\alpha \满足\ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \'

'检查下列无限级数的收敛和发散，并在收敛时求和。'

'复数与矢量在几何中的关系'

'给定实数 x、y、z 满足 x+y+z=√5+2, xy+yz+zx=2√5+1, xyz=2，求以下式的值：(1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'要使方程 f(x)=0 具有两个不同的负解，必须满足 y=f(x) 的图像与 x 轴的负值部分在两个不同点相交。因此，同时成立以下情况。'

'卡塔兰数的例子3……将多边形分割成三角形的方法'

'求解以下方程：'

高级 40 解开 $\sqrt{A^{2}}$ 高级 41 分母有理化 (2) 高级 42 整数部分和小数部分的问题 高级 43 移除双重根号 高级 44 通过分类解含绝对值的不等式 高级 45 含有两个绝对值符号的不等式 高级 46 联立不等式具有解的条件

计算以下表达式。 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

请解释一下复数的极形式表示。

训练 实践 3 复数平面上有6个点 \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \)。当六边形 $\mathrm{ABCDEF}$ 如图为正六边形时 egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( \mathrm{D}\left(z_{4} ight) \) 是。 ア $\square$ 力的解答群 (可以反复选择同一个): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

求由以下极方程式表示的圆的中心的极坐标和半径。 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

计算以下表达式。 (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

第 3 章 複素数平面 13 複素数平面 14 複素数的极坐标形式 15 德·莫阿夫尔定理 16 複素数与图形

训练 74 α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π), β=3(cos π/4 + i sin π/4) 时, 求 α β 和 α/β。

若复数 $z$ 满足 $z+\frac{1}{z}=\sqrt{2}$，求 $z^{15}+\frac{1}{z^{15}}$ 的值。

当复数 z 满足 z+rac{1}{z}=\sqrt{2} 时，求 z^{15}+rac{1}{z^{15}} 的值。

点 \( (-1+i) z \) 是点 $z$ 被如何移动后的点。假设旋转角度 $heta$ 的范围是 $0 \leqq heta<2 \pi$。

复数的实数倍 对于实数 $k$ 和复数 $\alpha = a + b i$，如下图所示，当 $\mathrm{\alpha} \neq 0$ 时，点 $k \alpha$ 位于通过两点 $0, \alpha$ 的直线 $\ell$ 上。 反过来，这条直线 $\ell$ 上的点表示为 $\alpha$ 的实数倍的复数。 考虑以下情况: 1. $\alpha = 1 + i$, $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$ 对于每一种情况，计算 $k \alpha$，并描述其在复平面上从 $0$ 点到其位置的位置。

将 2 点 lpha 绕原点旋转 rac{\pi}{3} 获得的点为 eta，若 eta=2+2i，求点 lpha 所表示的复数。

对于复平面上的三个不同点 O(0), A(α), B(β)，α 和 β 满足以下等式。{ }^{4}92△OAB 是什么类型的三角形？ (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

（1）在复数平面上绘制出表示以下复数的点。 (ア) $5-2 i$ (イ) $-1+3 i$ (ウ) -2 (I) 1 (J) $-3 i$ (力) $2 i$ （2）回答复数平面上对应以下坐标点的复数。 (ア) \( (-3,1) \) (イ) \( (4,0) \) (ウ) \( (0,-2) \)

设 lpha=2+3i, eta=-6+xi 。设两点 \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) 和原点 $\mathrm{O}$ 共线，求实数 $x$ 的值。

以下复数以极形式表示。角度 θ 的范围是 0 ≤ θ < 2π。 (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

当 lpha = e^{i\pi/6} ， eta = e^{-i\pi/4} 时，求 $m$ 和 $n$。 (1) $m=6, n=12$

在三个不同的复数 lpha, eta, \gamma 之间有等式 \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \) 成立的情况下，回答以下问题。 (1) 计算 rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} 。 (2) 求以点 lpha, eta, \gamma 为顶点的三角形 $riangle \mathrm{ABC}$ 各角 ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} 的大小。

数学 C EX 当复平面上的点 \( \mathrm{P}(z) \) 在以点 $2 i$ 为中心、半径为 1 的圆上运动时，满足 \( w=(1+i)(z-1) \) 27 的点 \( \mathrm{Q}(w) \) 所描绘的图形是什么？

当复数平面上的点 rac{z}{z-2} 位于虚轴上时，点 $z$ 移动时，会画出什么样的图形?

设复数 lpha, eta 满足等式 rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} ，求复平面上以三点 \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(lpha) \), \( \mathrm{B}(eta) \) 为顶点的三角形 $riangle \mathrm{OAB}$ 的三个角的大小。

计算以下表达式。 (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

基 例 題《基本例題 73 α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4) 的时候, 求 α β, α/β。

对于满足 $1 \leqq n \leqq 100$ 的自然数 $n$，令虚数 lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} ，使得 lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 成立的 $n$ 一共有多少个？

设 $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$。求点 $z$ 绕原点旋转 -rac{\pi}{4} 后得到的点的复数形式 $w$。

证明对于复数 $z$ ，如果 $|z|=\sqrt{2}$ ，那么 z+rac{2}{z} 是一个实数。

设复数 lpha, eta, \gamma, \delta 满足 lpha + eta + \gamma + \delta = 0 且 |lpha| = |eta| = |\gamma| = |\delta| = 1 ，求 |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} 的值。

证明如下关于复数 z, lpha 成立的情况。(1) 当 $k$ 为正数时，若 $|z|=k$，则 z+rac{k^{2}}{z} 是实数。(2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z 是实数。

求以点 i 为中心，将点 2+2i 按照以下角度旋转后的点的复数表示: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

对于复数平面上的不同 3 点 O(0), A(α), B(β)，使得 α, β 满足以下等式。ΔOAB 是什么样的三角形？ (1) α²+β²=0 (2) 3α²+β²=0

用几何方法表示复数的积 $z_1 \cdot z_2$，并解释它。作为例子，计算 \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \)，\( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \) 的积。

请解释在复数平面上关于复数共轭的性质。

在复数平面上，当点 z 在以原点 O 为中心，半径为 1 的圆上移动时，以下公式表示的点 w 会画出什么样的图形？ (1) w=rac{z+2}{z-1} （其中 z eq 1） (2) w=rac{z+1}{2z-1}

在复平面上，复数 $z = a + bi$ 所表示的点为 A。 (1) 它的共轭复数 $\overline{z} = a - bi$ 所表示的点为 B。求点 B 的坐标。 (2) 求点 A 和点 B 之间的距离。

在复数平面上有三个点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \)。如果 $\triangle \mathrm{OAB}$ 是一个直角等腰三角形，求表示点 $\mathrm{B}$ 的复数 $z$。

求解34的值 lpha 和 eta 。 lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

（1）在复数平面上绘制表示以下复数的点。 (ア) $4+2 i$ (イ) $-2-3 i$ (ウ) 3 (エ) -4 (才) $4 i$ (力) $-i$ (2) 请回答以下坐标平面上的点对应的复数。 (ア) \( (5,-2) \) (个) \( (-1,0) \) (ウ) \( (0,3) \)

设 z=r(\cos heta+i \sin heta)，用 r 和 heta 表示以下复数的绝对值和辐角。假设 r>0。 (1) 2 z (2) -z (3) ar{z} (4) rac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 ar{z}

使用复数 $\sqrt{3}+i$ 计算以下内容。 (5) 求 \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \)。

已知复数 $\alpha$ 的实部和虚部都为正，并且 |\alpha|=|eta|=1 。如果复数 i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta 在复平面上形成一个正三角形的三个顶点，求 \alpha 和 eta 。 [静冈大学]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )