矢量分析（曲线和曲面的几何） - 点积和叉积

'求两个向量 \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\) 的点积和它们之间的角度 \ \\theta \。'

'为了使点 \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 共线，需满足以下条件。'

'以底面为四边形 $\\mathrm{ABCD}$ 的四棱锥 $\\mathrm{OABCD}$ 满足 $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$，对于不为零的四个实数 $p, q, r, s$，通过 $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$，$\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$，$\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$，$\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$ 定义点 $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$。证明如果这四个点共面，则 $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$。'

'在四面体OABC中，点AB的比为1:3的内分点为L，线段OC的比为3:1的内分点为M，线段CL的比为3:2的内分点为N，线段LM、ON的交点为P，如果OA=a，OB=b，OC=c，则用a，b，c表示ON和OP。'

''

'平面上的向量 a, b 不平行。将 a, b 视为位置向量，分别对应点 A, B。对于正实数 x, y，将 x a 和 y b 视为位置向量，对应点 P, Q。当线段 PQ 以比例 2:1 分割线段 AB 时，求 xy 的最小值。位置向量以上都是以原点 O 为基准。'

'通过内积计算直线的向量方程\n- 通过点A(向量a)，且垂直于向量n(不等于零向量)的直线的向量方程为n \n\n矢量方程 n·(p-a)=0'

'外积的定义'

'内积的定义，内积和分量 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \。\n内积的定义\n设 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{b} \ 之间的夹角为 \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) ，则\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\n内积和分量\n若 \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\)，则\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\n此外，设 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{b} \ 之间的夹角为 \ \\theta \，则\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'关于匀速圆周运动的证明问题\n动点P在以原点O为中心、半径r的圆周上运动，从定点P₀出发，OP以角速度ω转动，使得OP每秒转过ω的角度。\n（1）求P的速度大小v。\n（2）证明P的速度向量与加速度向量垂直。'

'已知向量 a 和 b 滿足 |a|=5,|b|=3,|a-2 b|=7。若 a-2 b 和 2 a+b 的夾角為 θ，求 cos θ 的值。'

'求向量 $\\vec{a}=(-2,1,2)$ 和 $\\vec{b}=(-1,1,0)$ 的点积和它们之间的夹角 $\\theta$。'

''

'对于非零向量a和b，使得a+2b和a-2b垂直，并且|a+2b|=2|b|。'

'请说明向量a和向量b垂直的条件。'

'\\triangle \\mathrm{ABC} 内有点 \\mathrm{P}, 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}。(1) 点 \\mathrm{P} 处于何种位置？(2) 求三角形 \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB} 的面积比。'

'在边长为2的正方形ABCD中，求以下内积。'

'证明平行四边形ABCD中等式2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2成立，使用向量。'

'给定 4 点 A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5)。'

'基本例题22 標準例題33'

'在四面体OABC中，将边OA的中点标记为P，将边BC的中点标记为Q，将线段PQ按比例1:2内分点标记为R，将直线OR与平面ABC的交点标记为S。若OA=向量a，OB=向量b，OC=向量c，则用向量a，向量b，向量c来表示OS。'

'第2章 空间的向量-39\n(1) 记P(x, y, z)，则 \\overrightarrow{AP}=(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1)\n因点P在直线AB上，\\overrightarrow{AP}=t\\overrightarrow{AB}，存在实数t\n\\overrightarrow{AB}=(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4)，所以\n\\[\\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=t\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4\\right)\\]\n故 \\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=\\left(\\frac{3}{2} t, \\frac{5}{2} t, -4 t\\right)\n因此 x=\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, y=\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, z=-4 t+1\n因点P在yz平面上，\\overrightarrow{OP}的x分量为0\n即，\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}=0，从而 t=-\\frac{1}{3}\n因此，点P的坐标为\\left(0, -\\frac{7}{3}, \\frac{7}{3}\\right)\n(2) 由(1)得，\\overrightarrow{OH}=(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, \\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, -4 t+1)。AB ⊥ OH，因此 \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{OH}=0\n所以 \\frac{3}{2}\\left(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{5}{2}\\left(\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}\\right)-4(-4 t+1)=0\n解得 t=\\frac{2}{7}\n因此，点H的坐标为 \\left(\\frac{13}{14}, -\\frac{11}{14}, -\\frac{1}{7}\\right)'

'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \中，假设 \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \，且垂心为H。取 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \，则回答以下问题。'

'计算向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的点积以及它们的夹角 $\\theta$。(1) $\\vec{a}=(3,4), \\vec{b}=(7,1)$(2) $\\vec{a}=(1, \\sqrt{3}), \\vec{b}=(-\\sqrt{3},-1)$(3) $\\vec{a}=(\\sqrt{2},-2), \\vec{b}=(-1, \\sqrt{2})$(4) $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(6,3)$'

'在直角三角形ABC中，若向量AB＝a，向量AC＝b，向量BC＝c，求a·b，b·c，c·a的内积。'

'求出使$\\ vec {a} =（x + 2,1）和$ \\ vec {b} =（1，-6）垂直的$x$值。'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'(1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}+\\overrightarrow{\\mathrm{FC}}=\\vec{b}+2 \\vec{a} \\n\n\ \\vec{b}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ 所以 \\( \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}) \\)\n\n因此 \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=2 s \\vec{a}+(3-3 s) \\vec{b} \\)\n\\[\n\egin{array}{l}\n=2 s \\cdot \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}})+(3-3 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \\\\\n=s \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+(3-4 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}}\n\\end{array}\n\\]\n\n点 P 在 \ \\triangle \\mathrm{ACF} \ 内的条件是\n\\[\ns>0,3-4 s>0, s+(3-4 s)<1\n\\]\n\n因此 \ s>0, s<\\frac{3}{4}, s>\\frac{2}{3} \\n所以, 所求的实数 \ s \ 的值范围是 \ \\frac{2}{3}<s<\\frac{3}{4} \\n1两边除以 \ k \，\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\n\ s^{\\prime}+t^{\\prime}=1, \\quad s^{\\prime} \\geqq 0, t^{\\prime} \\geqq 0 \\n形式化为 \ s^{\\prime}+t^{\\prime}=1, \\quad s^{\\prime} \\geqq 0, t^{\\prime} \\geqq 0 \\n\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{C}^{\\prime}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}^{\\prime}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}^{\\prime}} \\n引用内积和三角形面积公式，请参见示例 5。\n\n\ \\triangle \\triangle \\mathrm{ADG} \\triangle \\triangle \\mathrm{AEF} \,\n\ \\mathrm{AD}: \\mathrm{AE}=1: 2 \ 所以\n\ S_{1}: S_{2}=1^{2}: 2^{2} \\n\\( \\varangle \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\vec{b}) \\)\n当考虑 \ \\triangle \\mathrm{ACF} \ 时，将 \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\square \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ 转换为此形式。\n点 \ \\mathrm{P} \ 在 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ 内的条件是\n\\n\egin{\overlineray}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\\\\ns>0, \\quad t>0, s+t<1\n\\end{\overlineray}\n\\n考虑共同区域。'

'练习 5 III → 本册 p .78\n(\egin{array}{l}4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+3 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DP}}=\\overrightarrow{0} \\text { 从 } \\\\4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+3(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})+2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})+(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AD}})=\\overrightarrow{0} \\\\ \\text { 因此 } 10 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \\\\ =3 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+2(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}})+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \\\\ =5 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \\end{array})'

'独立和从属各一次'

'点P沿着边OA移动，因此，可以表示为OP = sOA（0 ≤ s ≤ 1）。另外，点Q沿着边BC移动，因此可以表示为OQ = (1-t)OB + tOC（0 ≤ t ≤ 1）。求得此时PQ的平方的最小值。'

'在以原点为中心的坐标空间中，设A(5,4,-2)。满足$|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$的点P(x, y, z)的集合代表什么形状？并用x、y、z表示其方程。'

'请解决以下矢量问题。 \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \导致\\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'由\ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{PH}} \, 得到\ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PH}}=0 \, 所以\\( 2(2 k-9)+1 \\times(k-6)-1 \\times(-k)=0 \\), 因此\ k=4 \'

'求解向量a与b的夹角θ，使得a-(2/5)b与a+b垂直，且a与a-b垂直。'

'(1) 证明:'

'计算内积的例子（定义）'

'在四面体ABCD中，将边AB的中点记为M，边CD的中点记为N。\n(1) 是否存在满足等式PA + PB = PC + PD的点P？给出证明并回答。'

'在三角形形状问题中的内积等式'

'请解释计算向量内积的方法，并使用具体示例进行计算。'

'例18 寻找三角形的垂心位置向量\n在三角形OAB中，OA=5，OB=6，AB=7，垂心为H。记OA向量为a，OB向量为b，回答以下问题：\n1. 求a·b的数量积。\n2. 用a、b表示OH向量。'

'在四面体OABC中，⃗a=⇀OA，⃗b=⇀OB，⃗c=⇀OC。将线段OA，OB，OC，BC，CA，AB的中点分别记为L，M，N，P，Q，R，⃗p=⇀LP，⃗q=⇀MQ，⃗r=⇀NR。'

'通过点A（a向量）并且垂直于n（非零向量）的直线的向量方程是：n·(p - a) = 0。'

'计算向量的内积，并解释其几何意义。'

'证明第 10 个向量不等式'

'(1) 由于 \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, 所以 \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \, 求实数 \ k \ 的值, 当 \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4), \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\) 时, 求 \ a \ 和 \ b \ 的值。'

'定义向量内积和分量 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \。\n设 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{b} \ 之间的夹角为 \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\)，则\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\n若 \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\)，则\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\]\n并且 \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\'

'P(0,s,0), Q(t+1,t+3,-t)。将 PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2。当 s-t-3=0 且 t+1/2=0 时，即 s=5/2, t=-1/2 时取得最小值 1/2。因此，PQ 在 s=5/2, t=-1/2 时取得最小值1/√2。换句话说，当 P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2) 时，取得最小值1/√2。'

'当空间内的四点O,A,B,C不在同一平面上时，若向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，则任意向量p都可以唯一地表示为p=s*a+t*b+u*c（其中s，t，u为实数）。'

'|𝛼 + t𝛽|大于或等于0，因此，当|𝛼 + t𝛽|^2最小时，|𝛼 + t𝛽|也最小。因此，|𝛼 + t𝛽|在t=-1时取得最小值√26。另一种解决方案是以原点O为基础，𝛼=OA，𝛽=OB。因此，由𝛼 + t𝛽 = OC所确定的点C在经过点A并且在OB上的平行直线上。因此，|𝛼 + t𝛽| = |OC|最小时，需要满足(𝛼 + t𝛽)与𝛽垂直。在这种情况下，得到(𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0，因此要求解(2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0，进而得到3t + 3 = 0，即t = -1。在这种情况下，|𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26，因此，|𝛼 + t𝛽|在t=-1时取得最小值√26。'

'附加参考\n参考：求 \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} 和 \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} 的叉积 \\vec{u}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0,2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. 向量内积的最大值和最小值\n2. 向量与轨迹、区域\n3. 四面体体积的最大值\n4. 向量方程的处理\n5. 空间中的几何图形（球面）\n6. 移动在复数平面上的点的极限\n7. 复数平面上点的存在范围\n8. 复数与整数性质的融合问题\n9. 参数方程与轨迹\n10. 复数平面、方程和曲线的融合问题'

'例11 | 计算内积（元素）'

'第2部分'

'在边长为2的正四面体ABCD中，求AB向量与AC向量的点积。'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+\\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| =\\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | =\\ sqrt{(-2+\\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}=\\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta=\\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}=\\ frac{-5}{\\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=-\\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'设A(r1,θ1)和B(r2,θ2)[r1 > 0, r2 > 0]。使用余弦定理，求解点A和点B之间的距离AB。'

'如何表示大小相等且方向相同的向量 a 和 b 相等？'

'一般来说，空间向量 \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ 满足以下条件：\\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'线段AB和点P。当成立以下等式时，$P$ 位于什么位置。'

'在以点O为原点的坐标空间中，满足以下条件的点P(x, y, z)形成什么图形？并用x，y，z表示其方程：\n(1) 当A(3,-6,2)时，点P满足|→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0。\n(2) 当A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)时，点P满足→AP⋅(→BP+2→CP)=0。'

'题目 31 | 圆的向量方程\n对于平面上的三角形OAB和任意点P，以下向量方程表示圆。这是什么样的圆？\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'

'对于点O（0,0,0），A（2,1，-2），B（3,4,0），求向量OA和向量OB中垂直且大小为√5的向量。'

'请说明以下内容。'

'(1) 对于平面上的两个不同定点 A, B 和任意点 P，向量方程 |3→OA+2→OB-5→OP|=5 表示什么图形？(2) 平面上有点 P 和三角形 ABC。寻找满足条件 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC 的点 P 的集合。'

'证明平面上不同的四点A、B、C、D和不在直线AB上的点O，其中OA=a，OB=b。并且OC=3a-2b，OD=-3a+4b时，AB∥CD。'

'给定四边形ABCD和点O，设OA = a，OB = b，OC = c，OD = d。如果a + c = b + d，并且a · c = b · d，则确定该四边形的形状。'

'当点A在椭圆$\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$上移动时，请找到内积$\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$的最大值，其中A（x，y）B（x，y^{2}-2 y，2 x+y^{3}），O为原点。'

'证明等式 \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \。'

'正交投影向量的使用'

'練習(2) 找出兩個非零向量 \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ ，使得 \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ 和 \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ 垂直的實數 \ t \ 存在唯一時，求 \ \\vec{a} \ 和 \ \\vec{b} \ 的夾角 \ \\theta \。'

'已知向量OA和向量OB。如果点Q满足条件256向量AQ + 3向量BQ + 2向量CQ = 向量0，则求三角形QBC的面积。'

'求向量\\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\)和\\(\\vec{b}=(3,4,0)\\)都垂直且大小为\\\sqrt{5}\的向量\\\vec{p}\。'

'向量的垂直性和点积'

'证明当 \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\) 时， \ \\vec{a} / / \\vec{b} \。'

'通过点A（𝑎）且与𝑑（≠0）平行的直线的向量方程是 𝑝=𝑎+𝑡𝑑 。第 343 页基本事项 1。'

'在△OAB中，vec{a} = \\overrightarrow{OA}，vec{b} = \\overrightarrow{OB}，|\\vec{a}|=3，|\\vec{b}|=5，\\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}。在此情况下，求\\angle AOB的角平分线与以B为圆心半径\\sqrt{10}的圆的交点，以O为起点的位置矢量，用vec{a}，vec{b}表示。'

'给定线段AB和点P。当满足以下等式时，点P位于什么位置？(2)AP-3BP+4BA=0'

'证明当A 与B 是以原点为起点的向量时，以向量OA=a，OB=b 为两边的夹角的平分线的向量方程是，以t 为变量，p=t(a/|a|+b/|b|)。'

'向量的平行和点积'

'使用例题20（2）的第54页解决问题'

'当两个向量 \\( \\vec{a} = (1, t) \\) 和 \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) 之间的夹角为 \ 30^{\\circ} \ 时，求解 t 的值。其中 t > 0。'

'(1)为了使 $\\ vec {a} \\ 矢领 \\ vec {b}$，其条件是 $\\ vec {a} \\ 乘 \\ vec {b} = 0$。这里 $\\ vec {a} \\ 乘 \\ vec {b} = 3 \\ times x + 2 \\ times 6 = 3x + 12$。因此 $3x + 12 = 0$。因此 $x = -4$。(2)为了使 $\\ vec {a} \\ 矢领 \\ vec {b}$，其条件是 $\\ vec {a} \\ 乘 \\ vec {b} = 0$。这里 $\\ vec {a} \\ 乘 \\ vec {b} = 3 \\ times (-1) + x \\ times \\ sqrt {3}$。$= \\ sqrt {3} x - 3$。因此 $\\ sqrt {3} x - 3 = 0$。因此 $x = \\ sqrt {3}$。'

'练习 给定线段AB和点P。当满足以下等式时，点P位于什么位置？ (1) 3向量AP+4向量BP=2向量AB'

'当两个向量a、b满足(1) |a + b| = 4 (2) |a - b| = 3时，计算a·b。'

'在平面上，从(1)中，知道角ACB=角CAD，又知角BFC=角DFA。这意味着向量BC平行于向量AD的形式。'

'练习\ \\vec{a}, \\vec{b} \ 在非零空间向量，\ s, t \ 为非负实数，且 \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ 的情况下，证明以下事实。'

'向量的内积：\\( \\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \\)时'

'通过点A(向量a)，与非零向量n垂直的平面α的向量方程为n·(p-向量a)=0（与第1章相关，参见第387页。）'

'证明下列不等式。'

'设有四边形ABCD和点O，其中OA矢量为a，OB矢量为b，OC矢量为c，OD矢量为d。若a + c = b + d且a·c = b·d，则求此四边形的形状。'

'已知|a|=3，|b|=2，|a-2b|=sqrt{17}，求a+b和a+tb在t为实数时垂直的值。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'求通过点 \\( A(a, \\alpha) \\) 且垂直于OA的直线的极坐标方程。'

'向量的点积'

'已知三维空间中平面ABC由三点A(1,1,0)、B(3,4,5)和C(1,3,6)共同确定，若平面上存在点P(4,5,z)，求z的值。'

在右图的直角三角形 $\mathrm{ABC}$ 中，设 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} ，求内积 ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} 。已知 |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 ，且 ec{a} 和 ec{b} 夹角为 $90^{\circ}$。

训练 19 (3) 设 |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 。回答下列问题。 (1) 当 ec{a} \cdot ec{b}=-1 时，求 |ec{a}-ec{b}| 的值。 (2) 当 |ec{a}+ec{b}|=1 时，求 ec{a} \cdot ec{b} 和 |2 ec{a}-3 ec{b}| 的值。

求次单 ec{a}, ec{b} 两个向量的内积及其夹角 $heta$。 \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

证明以下等式成立。 (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

求内积 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$。

向量内积 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的夹角 $\theta$ ： \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

内积的性质 计算以下向量的内积，并确认内积的性质。ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) 内积为 0 内积的性质 关于向量的内积，下列性质 1 ～ 5 成立。 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) 其中，k 是实数。 证明 ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight)。

(1) 从 $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ 得 $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ 因此 \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) 因此 $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ 因为 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$, 所以 \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) 也就是说 $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$, 因此 $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! 因此 $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ 因为 $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, 所以 $\quad \theta=135^{\circ}$

设 $k$ 为实数常数。在某一平面上有点 $\mathrm{P}$ 和三角形 $\mathrm{ABC}$，满足以下等式。 $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) 当点 $\mathrm{P}$ 在直线 $\mathrm{AB}$ 上时, $k=\square$。 (2) 当点 $\mathrm{P}$ 在三角形 $\mathrm{ABC}$ 内部时, 直实 $<k<\square$。但是，不考虑点 $\mathrm{P}$在三角形 $\mathrm{ABC}$ 的周边上的情况。

求两个向量 ec{a} , ec{b} 的内积所形成的角度 $heta$。\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

如果两个向量 \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) 的夹角是 $45^{\circ}$，求 $x$ 的值。

向量的内积 向量的内积和它们之间的角度（空间）

求向量 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 的内积 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$。取三点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$，设向量 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 之间的夹角为 $heta$。

求解 \( \vec{a}=(s, 3s-1, s-1) 和 \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) 两个向量平行时的 $s, t$ 的值。

设向量 \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \)，其中 $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$。证明以下命题：$\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

当两个向量 \( ec{a}=(2,1,1), ec{b}=(x, 1,-2) \) 之间的夹角为 $60^{\circ}$ 时，求 $x$ 的值。

内积和功的关系

使用内积证明向量是垂直的。

13个点在一条直线上的条件[共线条件][=例题25] 2个点A、B不同时，点C在直线AB上 ⇔ 存在实数k使得 $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$。 当点C在通过不同的2点A,B的直线AB上时, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 或者 $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$。

在边长为1的立方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ 中，求以下内积。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

向量的内积 形状和向量的内积(空间)(1)

TRAINING 实践 1 (4) 设 k 为实数常数。在某个平面上有点 P 和三角形 ABC，并且满足以下等式。 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) 当点 P 在直线 AB 上时, k=\square 。 (2) 当点 P 在三角形 ABC 的内部时, <k<\square 。假设点 P 不在三角形 ABC 的边上。

确定使两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的 $x$ 的值。 (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

在下列各情況下，求三角形 OAB 的面積 S. (1) 當 |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2 時

求向量的内积成分（空间）

(2) 由于 \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \)，因此 \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) 所以 \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) 因此 $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ 由于 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$，从而 $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) 因此 $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$，因此 $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ 被视为 $|\vec{p}|^{2}$。 由于 $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$，因此 $\quad \theta=60^{\circ}$

求下列内积。 (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

因此，设 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ 的夹角为 $heta$，则 \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] 由于 $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$，所以 $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 设非零向量 $\vec{p}$、$\vec{q}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

请计算下面的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的内积：\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$，当两个向量之间的夹角为 $\theta = 60^{\circ}$ ，且 | $\vec{a}$ | = 5， | $\vec{b}$ | = 3 时

(1) 求使 \( \vec{a}=(5,1) \) 和 \( \vec{b}=(2, x) \) 垂直的 $x$ 的值。 (2) 求与 \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \) 垂直的单位向量 $\vec{e}$。

设EX 向量 \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \)，其中 $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$。 证明下列命题成立：ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0

请计算以下两个向量的内积： 向量 \(\vec{a} = (3, 4)\) 和 向量 \(\vec{b} = (1, 2)\)

对于右图中显示的向量，列出以下各向量编号的所有组合。 (1) 大小相等的向量 (2) 方向相同的向量 (3) 相等的向量 (4) 互为相反向量的向量

在以三点 \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \) 为顶点的 $riangle \mathrm{ABC}$ 中，求内积 $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 和角 $\mathrm{ABC}$ 的大小 $heta$。

向量的夹角与垂直条件 求以下向量 ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) 的夹角，并证明这些向量是垂直的。 设两个非零向量 ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight) 的夹角为 $heta$。此时 \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} 其中 $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$