矢量分析（曲线和曲面的几何） - 向量基础

'练习（1）要求求点P（-2,3）绕原点旋转5/6π的点Q的坐标。'

'（1）令A（-3），B（7），C（2）。求AB，BC，CA线段的长度。'

'发展学习发展186两曲线相切的条件'

'请绘制以下角的半径，并标出它们分别位于第几象限。'

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'求2点之间的距离。'

"我已经学习了平面向量和空间向量的性质，除了D.470的'回顾'之外，让我们总结一下其他内容并进行比较。"

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'空间中取4个点 A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2)。以点 A 和点 B 为过的直线为 ℓ，以点 C 和点 D 为过的直线为 m。'

'(3) 通过定点A(向量a)，且垂直于非零向量n的直线'

'垂直（向量）是什么？'

'(1) 通过固定点A(向量a)，且不为零的向量d平行于直线p=a+td，其中d为直线的方向向量'

'求本26个交点的位置向量'

'找到交点位置向量的各种方法'

'求解向量的终点存在范围。 (4)'

'向量的相等，大小'

'请说明三条向量的基本运算法则。'

'求通过点（1,2,-3）且平行于向量d=(3,-1,2)的直线方程。'

'(1) 平面上有4个不同的点A、B、C、D和直线AB上的点O。设OA=a，OB=b。当OC=3a-2b，OD=-3a+4b时，则AB//CD。请证明这一点。'

"在边长为1的立方体ABCD-A'B'C'D'中，将边AB，CC'，D'D'按照a:(1-a)内分点分别为P、Q、R，且取向量AB=x，AD=y，AA'=z。其中，0<a<1。(1)用向量x，y和z表示向量PQ和PR。(2)求解|向量PQ|:|向量PR|。(3)求解向量PQ与向量PR的夹角。"

'在平行四边形ABCD中，若2倍的向量BP等于向量BC，且2倍的向量AQ加上向量AB等于向量AC，则四边形ABPQ是什么形状。'

'在边长为2的等边三角形ABC中，边AB，BC和CA的中点分别为L、M、N。求以下由6个点A、B、C、L、M、N表示的向量中的所有内容。'

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'向量运算'

'在平面上，定义线性无关的向量 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ ，对于任意点 \ \\mathrm{P} \ ，有 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad(s, t \ 是实数 \\( ) \\cdots \\cdots \\cdot(A) \\) 的形式且唯一。\\n在这种情况下，实数组 \\( (s, t) \\) 被称为斜交坐标，并用 (A) 定义的点 \ \\mathrm{P} \ 表示为 \\( \\mathrm{P}(s, t) \\)。特别地，当 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}},|\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}|=|\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}|=1 \ 时，斜交坐标将变为延长 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \ 作为 \ x \ 轴，延长 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ 作为 \ y \ 轴的坐标 \ x y \。【基本例題 38(1) 】\ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+2 t=3 \\cdots \\cdots \ 即 \\( \\mathrm{P}(s, t), s+2 t=3 \\) 满足的点 \ \\mathrm{P} \ 在直角坐标平面上位于直线 \ x+2 y=3 \ 上。该直线与坐标轴的交点为 \\( \\mathrm{C}(3,0) \\), \\( \\mathrm{D}\\left(0, \\frac{3}{2}\\right) \\)。相应地，在斜交坐标平面上，考虑具有相同坐标的点 C, D \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\frac{1}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\frac{2}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \因此，点 \ \\mathrm{P} \ 的条件式(*)为 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{s}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{OD}},\\frac{s}{3}+\\frac{2}{3} t=1 \，点 \ \\mathrm{P} \ 的存在范围是直线 CD。'

'当\ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \时，求\ \\vec{x}-\\vec{y} \关于\ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \的表达式。'

'在空间中，求与x轴正交，与z轴正向成45度角，并且y分量为正的单位向量t。'

'当点P在平面上运动，其坐标(x,y)在时刻t的函数时，请回答以下问题：\n1. 推导速度的向量方程。\n2. 推导加速度的向量方程。'

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'求直线的交点位置向量。'

'共线条件\n当两点A，B不同时\n当点P在线段AB上\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \存在实数k'

'给定三个点A（6，π/3），B（4，2π/3），C（2，-3π/4），求以下内容。'

'设点A的极坐标为（r₁，θ₁），点B的极坐标为（r₂，θ₂）。求点A和点B之间的距离AB。'

'请解释向量的平行条件。'

'(2) D、E、F分别是在线段OA、OB、OC上的点，OD=1/2·OA，OE=2/3·OB，OF=1/3·OC。设包含三点D、E、F的平面与直线OQ的交点为R，则向量OR可表示为与向量a、b、c。'

'四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点分别为K,L,M,N,对角线AC,BD的中点分别为S,T。(1)如果顶点A,B,C,D的位置向量分别为a,b,c,d，则用a,b,c,d表示线段KM的中点位置向量。(2)通过使用a,b,c,d来表示线段LN,ST的中点位置向量，证明三条线段KM,LN,ST相交于一点。'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'共线，共点的条件\n（1）共线条件\n当两个不同的点 A，B 时，点 P 在直线 AB 上的充分必要条件是存在实数 k 使得向量 AP = k 向量 AB。'

'向量方程式'

'在立方体OAPB-CRSQ中，令𝑝=⃗OP，𝑞=⃗OQ，𝑟=⃗OR。请使用𝑝，𝑞，𝑟表示⃗OA。'

'在平行六面体ABCD-EFGH中，对角线AG的中点为P，记AB向量为a，AD向量为b，AE向量为c。请用a，b，c表示AC向量，AG向量，BH向量，CP向量。'

'求本26个交点的位置向量'

'已知\ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \，矩形\ \\mathrm{ABCD} \。若\ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \，求以向量\ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ 平行的单位向量的\ \\vec{b}, \\vec{d} \。'

'请说明基本概念。具体来说，请详细描述位置矢量、线段的分点和三角形的重心。'

'设z为复数。找到复平面上形成锐角三角形的点z的范围，并绘制图形。'

'(1)请解释关于空间向量基本概念的以下向量运算。\n\n- 相等\n- 加法\n- 减法\n- 逆向量\n- 零向量\n- 标量乘法'

'请解释向量差和表示方式。'

'基本事項\n3. 三角形的重心位置矢量\n設三點 A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) 為頂點，以 G 表示三角形 ABC 的重心位置矢量，則\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(2) 通过不同点A(𝐚)和B(𝐛)的直线'

'练习 1 所有由边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点以及对角线 AD、BE 的交点 O 表示的向量中，求以下所有情况。'

'对于三角形OAB而言，使向量OP = sOA + tOB。当实数s、t同时满足以下条件时，求点P的存在范围。'

'请问这两个向量满足什么关系？'

"在三角形ABC中，A（a），B（b），C（c）为顶点，将边BC分成2:3的点为D，将边BC分成1:2的点为E，ABC的重心为G，AED的重心为G'。用向量a，b，c表示以下向量。\n(1) 点D，E，G'的位置向量\n(2) GG'"

'当|𝑎|=3时，请求与𝑎平行的单位向量。'

'请解释矢量分解。'

'向量的终点的存在范围'

'求原点 O 和点 P(2,3,1) 之间的距离。'

'69（2）在x轴方向上为-2，在y轴方向上为-3'

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'(1) 沿着 x 轴移动 4，沿着 y 轴移动 -7\n(2) 沿着 x 轴移动 -5/2，沿着 y 轴移动 -35/4'

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"在复平面上绘制点P(z)，A(α)，P'(−z)，B(z+α)，C(z−α)，其中z=3+2i，α=1−i。"

'关于点A(1,2,3)，B(-3,2,-1)，C(-4,2,1)，求以下内容。'

'媒介参数曲线'

'長方形ABCD中AB=3，AD=4。AB向量為b，AC向量為c。(1) 以AD中點E為基準，用b和c表示DE向量。(2) 用c表示同方向單位向量d。'

'写出向量的分量表示'

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'空间中点和向量的关系\n对于两点 \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) ，\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'極座標 ↔ 直角座標'

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'(1) 通过点A(3,1)，求与向量n=(3,-7)垂直的直线方程。'

'整理这里的 STEP'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'关于向量 $\\ vec a , \\ vec b$，绘制以下向量。'

'在正六边形ABCDEF中，设AB→=a，AF→=b。请用a、b表示以下向量。(1)CE→ (2)EA→ (3)AD→'

'关于点A（3,1）、B（-2,2）、C（1，-5）, 通过点C且垂直于直线AB的直线方程，使用向量求解。'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'让我们关注前一页的示例结果。'

'示例题'

'请解释关于向量在空间中的分量表示。'

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'在四面体 OABC 中，设 OA=a，OB=b，OC=c。AB 的中点为 M，BC 在 3:1 处内分点为 N，设三角形 OAB 的重心为 G，求向量 MN 和 GN 用向量 a，b，c 表示。'

'考虑通过一点并具有给定斜率（方向）的直线。让通过点A（\\\vec{a}\）且平行于非零向量\\\vec{d}\的直线为g，那么直线g上任意点P（\\\vec{p}\）（不包括点A）满足以下条件。'

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'数学问题：求三角形OAB的重心G的位置矢量。由于点G是三角形的重心，因此点G的位置矢量可按如下方式计算。'

'关于点 \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) ，求以下内容：\n(1) 点 \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ 之间的距离\n(2) 点 \ \\mathrm{P} \ 将线段 \ \\mathrm{BC} \ 分成 \ 1: 3 \ 的坐标\n(3) 点 \ \\mathrm{Q} \ 将线段 \ \\mathrm{AB} \ 分成 \ 2: 3 \ 的坐标\n(4) 线段 CA 的中点R的坐标\n(5) \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ 的重心 G的坐标'

'对于点A（0,3,7），B（3，-3，1），C（-6，2，-1），求以下内容：\n（1）点A，B之间的距离\n（2）将线段AB分成2：1的点的坐标\n（3）将线段AB分成3：2的外分点坐标\n（4）线段BC的中点坐标\n（5）三角形ABC的重心坐标'

'逆向量'

'与向量 \ \\vec{n} \ 垂直的直线\n最后，考虑使用点积来表示直线。\n通过点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\)，且不为零向量 \ \\overrightarrow{0} \，垂直于向量 \ \\vec{n} \ 的直线为 \ g \，直线 \ g \ 上任意点为 \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\)，则有 \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ 或者 \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) 是通过点 \ \\mathrm{A} \，且垂直于向量 \ \\vec{n} \ 的直线 \ g \ 的向量方程。同时，将 \ \\vec{n} \ 称为直线 \ g \ 的法线向量。\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ 仅当 P 等于 A 时成立。\n直线 \ g \ 的法线向量垂直于 \ g \。\n接下来，让我们解一个向量方程的问题。'

'请找出内分点和外分点的位置向量。'

'以四边形ABCD为底面的四棱锥OABCD满足\ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \，对于四个不同于零的实数p, q, r, s，用\ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \定义四点\ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \。证明，如果\ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \在同一平面上，则\ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \成立。'

'练习'

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'已知点P(5,-3,7)和点Q(7,1,2)，求向量PQ的分量和大小。'

'请绘制极坐标如下点的位置。'

'当点P以满足s + t ≤ 1，s ≥ 0，t ≥ 0条件移动时，描述点P的存在范围。'

'找出点P（𝑝向量）沿直线AB通过不同的两点A（𝑎向量），B（𝑏向量）的充分必要条件。'

'重要例题 63 | 共垂直线的长度\n在坐标空间中，经过点 A(1,3,0) 并且平行于向量 a=(-1,1,-1) 的直线为 l，经过点 B(-1,3,2) 并且平行于向量 b=(-1,2,0) 的直线为 m。P 是直线 l 上的点，Q 是直线 m 上的点。求向量 PQ 的长度 |PQ| 的最小值，以及此时点 P、Q 的坐标。'

'向量平行条件（当且仅当 \ \\vec{b}=k \\vec{a} \ 其中 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \）成立的充要条件是存在实数 \ k \'

'对于△OAB，→OP=→OA+t→OB。当实数s，t满足以下关系时，找到点P的存在范围。(1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1，s≥0，t≥0'

'给定线段 AB 和点 P，如果 AP + 3BP + 4AB = 0，则点 P 位于什么位置？'

'練習 38：\n(1) (ア) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) 因此\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'以对角线RT的中点G为中心，以向量OP=p，向量OR=r，向量OS=s为半径。'

'请解释矢量运算规则，并利用这些规则证明性质。'

'求点P的位置向量p，它将连接点A（a）和点B（b）的线段AB内分为m：n。'

'在这种情况下，以O为原点，则 $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ 所以 $H(3,2,-2)$'

'请解释并说明向量的平行条件。'

'求三角形ABC的重心G的位置向量g，其中A(a)，B(b)，C(c)是顶点。'

'当 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, 且 \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \ 时，任意向量 \ \\vec{p} \ 都可以唯一地表示为 \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, 其中 \ s, t \ 为实数。'

'检查问题'

'第15页 | 等式和点的位置向量（2）'

'位置矢量与共线条件\n对于点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \\)，线段 \ \\mathrm{AB} \ 在比例为 \ m: n \ 的情况下分割的点的位置矢量。\n内分点 \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \，外分点 \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\n共线条件\n当点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 不同时，存在实数 \ k \ 使得点 \ \\mathrm{P} \ 在直线 \ \\mathrm{AB} \ 上\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \'

'根据题目信息，求解各个向量的表达式和关系。'

'请解释如何使用不平行的两个向量a和b来分解任意向量p。'

'请为以下曲线寻找参数方程式。'

'将线段AB表示为向量→AB。此外，向量也可以用一个字母和箭头表示，也可以表示为→a，→b。当表示向量→AB，→a的大小时，应该如何表示？'

'已知点的坐标和向量的分量 \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)时'

'关于连接点A(向量a)和点B(向量b)的线段AB，用向量a和向量b表示以下各点的位置向量。'

'如何表示向量OA + 向量AC？'

'将点C的坐标表示为 \\((x, y, z)\\)。利用四边形 \ \\mathrm{ABCD} \ 为平行四边形的条件，求出C的坐标。'

'在给定条件下，找出点P的移动范围。'

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'求过定点A(𝑎→)的直线方程, 该直线平行于向量𝑑(𝑑≠𝑎→)。'

'在三角形OAB中，找到满足以下条件的点P的存在范围。'

'给定线段AB和点P。当满足以下等式时，点P处于什么位置。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'在XY平面上，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(𝛼)，点C的坐标为(𝛽)从而不失一般性。因此，OA=(1,0)，OB=(cos 𝛼, sin 𝛼)，OC=(cos 𝛽, sin 𝛽)。'

'设 p 为正常数，向量 a=(1,1) 和 b=(1,-p)。现在，当向量 a 和 b 之间的角为 60° 时，求 p 的值。'

'求每个向量的分量，其中21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\、\\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\、\\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\、\\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'

'求直线方程'

'例题37 | 与两个向量垂直的单位向量'

'在尖角三角形ABC中，A(→a)，B(→b)，C(→c)，BC=a，CA=b，AB=c。若将A角的内心表示为IA(→iA)，求向量→iA的表达式。'

'(1) 求点 P(0,1,4) 和点 Q(-4,5,0) 之间的距离。'

'向量方程'

'[3]通过点A（a向量）并求出与向量n（n不等于零向量）垂直的直线的向量方程。'

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'在三角形ABC中，顶点分别为A(a)，B(b)和C(c)，点P将边AB分为2:1，点Q在边BC上作外分点，分比为3:2，点R在边CA上作外分点，分比为1:3，设三角形PQR的重心为G。请用向量a，b，c表示以下内容：(1) 点P，Q，R的位矢 (2) 向量PQ (3) 点G的位矢'

'点 Q 外分线段 OP 为 4:1，因此'

'证明对于实数的4个点P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z)，不等式|向量AP|+|向量AQ|+|向量AR|≥3/√2成立。'

'验证点P的坐标(x，y)，并取点Q。'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'求向量\\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\)，\\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\)，\\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\，\\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\(O是原点)。若\\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\，\\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\，请在坐标平面上绘制\\\vec{a}\和\\\vec{b}\。'

'(1)将 \ \\overrightarrow{G U} \ 用 \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \ 表示。'

'在给定文本中对多种语言进行翻译。'

'圆的矢量方程'

'求解以下直线方程：'

'在平面上考虑边长为1的正三角形ABC。对于点P，向量v(P)定义为v(P)=→PA−3→PB+2→PC。证明：(1) v(P)是与P无关的常矢量。(2) 当|→PA+→PB+→PC|=|v(P)|时，点P绘制出什么形状。'

'使用向量分量进行向量的求和、差、标量乘法和两点之间的向量运算。'

'将圆C1，C2的中心分别设为O1，O2。请问从中心O1到中心O2的向量O1O2是什么？'

'对于直线上的任意点P，使得向量OP = p。这种情况下，直线的向量方程是什么？'

'对上述表达式进行翻译。'

'当四个点O，A，B，C不在同一平面上时，若$\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$，$\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$，$\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$，则任意向量$\\vec{p}$可以唯一地表示为$\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$，其中$s$，$t$，$u$是实数。'

'求点P(3，-1)围绕点A(-1，2)为中心旋转-π/3后的点Q的坐标。'

'请给出计算点A(r1, θ1)和点B(r2, θ2)之间距离AB的公式。'

'请绘制极坐标中以下点的图形，并计算直角坐标。'

'(1) 找到点A(2,1)相对于原点O以π/4的角度旋转后的点B的坐标。\n(2) 找到点A(2,1)相对于点P以π/4的角度旋转后的坐标是(1−√2,−2+2√2)。找到点P的坐标。'

'点 P 沿着以原点 O 为中心，半径为 r 的圆周运动，从定点 P0 出发，OP 每秒以角速度 ω 匀速旋转。'

'关于向量基础（向量定义，性质和基本运算）的理解。'

'在平面上有三个定点A、B、C和动点P，以及矢量AB=(3,1)，矢量BC=(1,2)，当矢量AP可表示为实数t的矢量AP=(2t, 3t)时'

'重要题目 40 | 向量大小比较'

'求解以下2点之间的距离。'

'\ 在 \\triangle OAB \ 中，找到满足以下方程的点 \ P \ 的存在范围。\\n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB},3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB},0\\leqq 2s+5t\\leqq 1,s\\geqq 0,t\\geqq 0 \'

'求解以下向量的大小。'

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'空间位置矢量的概念'

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'有关位置矢量的解法和在同一平面上的条件'

'第一章 平面上的向量——在三角形OAB中，找出满足以下方程的点P的存在范围。\n1）OP = sOA + tOB，s + t = 1/3，s ≥ 0，t ≥ 0\n2）OP = sOA + tOB，3s + 2t = 4，s ≥ 0，t ≥ 0'

'在PR空间中有4个点O(0,0,0)，A(3,-2,-1)，B(1,1,1)，C(-1,4,2)。求向量p，它与向量OA和BC都垂直，并且大小为3√3。'

'请找出该直线的一个法线向量。'

'由于4|a|=3，求得的向量为'

'寻找满足以下条件的点P的存在范围。'

'满足向量方程的点的存在范围和交叉座标'

'给定四个点A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b)。'

'证明四面体ABCD中成立以下等式：(1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'将向量应用于平面图形'

'例21 | 空间矢量的表示\n在平行六面体ABCD-EFGH中，对角线AG的中点为P，设→AB=𝑎，→AD=𝑏，→AE=𝑐。用𝑎，𝑏，𝑐表示→AC，→AG，→BH，→CP。'

'求给定点的坐标。'

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'请解释向量的平行条件。'

'使用以下方程式展示向量的性质：'

'在三角形ABC中，頂點 A(a)、B(b)和C(c)，點AB被內分為2:1的點是P，點BC被外分為3:2的點是Q，點CA被外分為1:3的點是R，以及三角形PQR的重心為G。請用向量a、b和c表示以下向量：(1) 點P、Q和R的位置向量 (2) PQ的向量 (3) 點G的位置向量'

'考虑以点O为中心的圆。圆周上有3点A、B、C，使得OA向量+OB向量+OC向量=0。证明三角形ABC是等边三角形。'

'向量的分解 平行四边形ABCD中，边BC被内分为2：1的点为E，对角线AC，BD的交点为F，线段AE，BD的交点为G，则向量AB=b，向量AD=d。(1)分别用b，d表示向量AE，向量AF，向量GC。(2)若向量AE=e，向量AF=f，则用e，f表示向量BD。'

'空间向量的一次独立和一次依赖'

'当三个向量a、b、c不在同一直线上时，求通过这三点的平面方程。'

'在\ \\triangle \\mathrm{OAB} \中，找到满足以下方程的点 \ \\mathrm{P} \ 的范围。'

'关于向量a，b，c，请绘制以下向量：\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'

'设\\( \\vec{a}=(1,-1,2), \\vec{b}=(1,1,-1) \\)，求\ \\vec{a}+t \\vec{b} \（\ t \为实数）的最小模及此时的\ t \值。'

'向量的应用 在同一平面上具有实数条件s，t，u。点P (p) 在由三点A(a)、B(b)、C(c) 确定的平面上的充分必要条件是⇔CP⃗=sCA⃗+tCB⃗⇔p⃗=s a⃗+t b⃗+u c⃗ ，s+t+u=1'

'例题38关于向量夹角的问题\n(1) 空间中有定点A(0,4,2)，B(2√3, 2,2)和动点P(0,0,p)。求∠APB的最大值θ(0° ≤ θ ≤ 180°)及相应的p值。\n(2) 若向量a=(3,-4,12)，b=(-3,0,4)，c=a+tb。当向量c与向量a，c与b之间的夹角相等时，求实数t的值。'

'重要示例61：直线的方程式\n求解以下直线的方程式：\n(1) 通过点A(1,3,-2)，并且与向量d=(3,2,-4)平行\n(2) 通过两点A(0,1,1)，B(-1,3,1)\n(3) 通过点A(-3,5,2)，并且与向量d=(0,0,1)平行'

'直线上任意点P(x，y)，t为参数。'

'求过点A(\ \\vec{a} \)且与非零向量\ \\vec{d} \平行的直线\ \\ell \的方程。'

'平面上的任意向量 \ \\vec{p} \ 可以用平面上的两个向量 \\( \\vec{a}, \\vec{b} (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b}) \\)来表示, 其中:'

'请执行以下向量运算：1. 求向量A = (3, 4) 和向量B = (1, 2)的和。2. 求向量A = (3, 4) 和向量B = (1, 2)的差。'

'平面上的任意点 P(向量p)，s，t，u 为实数。(1) 由不共线的三点 A(向量a)，B(向量b)，C(向量c) 确定的平面的向量方程为 ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c，s+t+u=1 或 ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'当两个向量a和b的方向相同且大小相等时，这两个向量是相等的。'

'当矢量 $\\vec{a} = (3, 4, 5)$, $\\vec{b} = (7, 1, 0)$时，找到使 $\\vec{a} + t \\vec{b}$ 和 $\\vec{b} + t \\vec{a}$ 之间夹角为 $120^{\\circ}$ 的实数 $t$ 的值。'

'求两点表示的复数。 (1) 连接点 A(-3+6i) 和 B(5-8i) 的线段 AB 的中点 (2) 连接点 A(2-3i) 和 B(-7+3i) 的线段 AB 在2:1比例内部分点 P，外部分点 Q'

'请说明矢量的加法和减法。'

'求出由两个平面组成的角度θ。其中0° ≤ θ ≤ 90°。(1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'尖角三角形OAB的边OA在k:(1-k)处内分点为P，边OB在l:(1-l)处内分点为Q。又，AQ和BP的交点为R。OA向量为a，OB向量为b。 1) 用向量a，b表示OP向量和OQ向量。 2) 用向量a，b表示OR向量。'

'关于连接A（a），B（b）的线段AB，用a，b表示以下点的位置矢量。'

'位置矢量和内分点・外分点\n设位置矢量为 \ \\vec{p} \，表示点为 \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\)。\n在空间中，就像平面上一样，以下内容也成立：\n\n问题 1: 对于点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\)，请推导以下公式。\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. 求线段 \ \\mathrm{AB} \ 在 \ m: n \ 中分点的位置矢量。\n3. 求线段 \ \\mathrm{AB} \ 的中点的位置矢量。\n4. 求 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ 的重心G的位置矢量。'

'请解释向量分解。'

'问题71\n(1) 求点 (-3, -1, 7)。\n(2) 求点 (18/11, 26/11, 12/11)。'

'求出在三角形OAB中满足以下方程的点P的存在范围：\n（1） $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n（2） $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'求两点A（r1，θ1）和B（r2，θ2）之间的距离。'

'位置矢量，矢量和图形：解释位置矢量和矢量如何构成图形。'

'练习(1)对于两个非零向量\ \\vec{a} \和\ \\vec{b} \，当\ \\vec{a}+2 \\vec{b} \与\ \\vec{a}-2 \\vec{b} \垂直时，以及当满足\ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \时，求\ \\vec{a} \和\ \\vec{b} \之间的夹角\ \\theta \。'

'假设不等于零的两个向量 \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ 是垂直的。设 \ \\vec{a}+\\vec{b} \ 和 \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ 的夹角为 \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ 。(1) 令 \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \ ，用 \ x, y \ 表示 \ \\sin ^{2} \\theta \。(2) 求解 \ \\theta \ 的最大值。'

"矢量是具有大小和方向的量。该章讨论了基于平面上的定向线段来考虑矢量，用两个数字（分量）来表示矢量以及进行'点积'运算，学习将矢量应用于图形。然后，理解矢量中最重要的'线性独立'概念，为未来的数学、物理学、经济学等学习做好准备。"

'请绘制以下极坐标表示的点的位置：\\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\)，\\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\)，\\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\)。'

'以 \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ 为原点, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (其中 \s, t\ 是实数)。'

'请回答以下问题。'

'在三角形OAB中，以OA作为中点的点为C，以OB为比例1:3外分的点为D。如果OA向量为a，35OB向量为b，则求下列直线的向量方程。'

'\ABCD-EFGH\是平行六面体，在\\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\时，用\\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\分别表示\\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\。'

'求直线的参数方程，以参数 t 表示。'

'求直线的参数方程，通过点B(-4,3)，并且与向量d=(5,6)平行。'

'圆的矢量方程式：圆心 C(c)，半径 r 的圆的矢量方程式 |p-c|=r'

''

'计算以下两点之间的距离。'

'求点P(5,-3,7)和点Q(7,1,2)对应的向量PQ的分量和长度。'

'在本例题48空间的向量分解 (成分)中，当\\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\)时，将向量\\( \\vec{d}=(7,6,8) \\)表示为 \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \为实数)的形式。'

None

'绘制矢量的和、差和数量乘积。'

'学习向量等式和点的位置（1）。'

'例14 | 等式向量和点的位置（1）'

'将AB分为2:3的比例，其中点为N。将线段LM与ON的交点记为P。记向量a为OA，向量b为OB，则用向量a、b表示ON和OP。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'选择位置向量的起点的方式'

'在以EXO为原点的坐标平面上，考虑半径为r，中心位置矢量为→OA的圆C，将圆周上的点P的位置矢量记为→OP。另外，在圆C的外部考虑点B，其位置矢量为→OB。进一步，将点B和点P的中点记为Q，其位置矢量为→OQ，当点P沿圆周移动时，得到点Q描绘的图形为D。\n(1) 求圆C的向量方程式。'

'找出满足向量方程的点的存在范围。请使用空间几何图形示例回答。'

'求直线的法线向量。'

'学习关于向量等式和点位置的知识（2）。'

'穿过点 (-1,2,3)，且垂直于直线 \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3 的平面方程。'

'证明点P在直线AB上，其中AB由不同的两点A(a)和B(b)确定。'

'给定点A（2,1,0），B（1,0,1），C（0,1,2），D（1,3,7）。 设平面通过点A，B，C，点D关于这个平面的对称点为E，求点E的坐标。'

'(1)关于点A(1，-2，3)，求点P(-3, 4, 1)的对称点的坐标。'

'共线条件：当两点A，B不同时，点P在直线AB上。'

'通过点A并且垂直于向量n的直线方程是什么？(2) A(1,3), n=(-1,2)'

'求解以下直线的参数方程，参数为 t。'

'已知两点A(a向量)和B(b向量)，求线段AB被分成m：n的点的位置向量。'

''

'在坐标空间中的图形，矢量方程：解释坐标空间中图形的表示和使用矢量方程。'

'点P位于直线AB上'

'求媒介变量表示为直线方程。同时，用消去变量 t 的表达式表示。'

'描述空间向量的组件，内积：描述空间内向量的各组件以及它们之间的内积计算。'

'问题46\n(1) 寻找点的坐标(0, 1/4, 0)。\n(2) 寻找点的坐标(0, -21, 17/2)。'

'设a = (0,1,2), b = (2,4,6)。对于实数t, 其中-1≤t≤1, 求使得x=a+tb的大小达到最大和最小值时的x。'

'已知$|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$，求实数$k$的取值范围使得对任意实数$t$，$|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$成立。'

'在空间中，有一个以点A(5,0,1)，点B(4,2,0)，点C(0,1,5)为顶点的三角形ABC。 (1) 求线段AB，BC，CA的长度。 (2) 求三角形ABC的面积S。'

'假設沒有三個不共線的點A（a向量），B（b向量）和C（c向量）決定平面α。當點P（p向量）位於平面α上時，下面的向量方程成立。請證明這一點。'

'\\\triangle OAB\的边长\\\mathrm{OA}\内分点为\3:1\为点C，边\\\mathrm{OB}\内分点为\4:1\为点D，线段\\\mathrm{AD}\和\\\mathrm{BC}\的交点为P，线段\\\mathrm{OP}\和\\\mathrm{AB}\的交点为Q。\\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\，\\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\。(1)用\\\vec{a}\和\\\vec{b}\表示\\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\。求\BP：CP\。(2)用\\\vec{a}\和\\\vec{b}\表示\\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\。求\\\mathrm{OP}: \\mathrm{PQ}\。'

'用 sin αθ 表示的极坐标方程代表什么曲线？另外，请说明根据 a 的值花瓣数量的变化。'

'在线段AB中，从点A指向点B的方向确定了有向线段AB。在线段AB中，称A为起点，B为终点。线段AB的长度称为有向线段AB的大小或长度。忽略位置差异，只关注方向和大小的量称为向量。请写出由有向线段AB表示的向量。'

'请使用坐标解决问题。'

'(1)求两点A(1,-1,3)和B(-1,0,1)之间的距离。'

点 P(\vec{p}) 位于由三点 A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) 所定义的平面上的条件 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■关于三角形重心的位置向量三角形ABC的重心G的位置向量,成次成立。以A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})为顶点的三角形ABC的重心向量为 $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

关于向量系数的等同性: 当 ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0} 时, s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

设 lpha=x-2 i, eta=3-6 i 。当两点 \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) 和原点 $\mathrm{O}$ 在同一直线上时，求实数 $x$ 的值。

请解决平面上的向量问题。

给定顶点分别为 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) 的三角形 $riangle \mathrm{ABC}$，求 ngle \mathrm{BAC} 的大小 $heta$。

向量的平行 两个非零向量 ec{a}, \ec{b} 当且仅当它们的方向相同或相反时称为平行，并写作 $\vec{a}/\vec{b}$。根据向量的实数倍定义，以下命题成立。 接下来，请证明样本向量 ecа= хороший ), \вейвек тот же и равен \( 2 \vec {b}。

在以下情况下，求向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 。 (1) 当 $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ 时 (2) 当 $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ 且 $\vec{a}-3 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a}+ \vec{b}$ 垂直时

在空间中，有点 \( \mathrm{A}(ec{a}) \) 和点 \( \mathrm{B}(ec{b})\)。求按 m:n 外分线段 AB 的点的位置向量。

向量的分量表示如果 \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \)，请用分量表示以下向量。 (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

满足向量方程: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 的点 $\mathrm{P}$ 的存在范围

设 \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \)，实数 $t$ ，则 \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \)。求当 $|\vec{p}|$ 最小时的 $t$ 的值，以及此时的 $|\vec{p}|$。

对于右图所示的向量，请列出以下向量编号的所有组合。 (1) 大小相等的向量 (2) 方向相同的向量 (3) 相等的向量 (4) 互为反向的向量

理解向量加法的几何意义，并解决示例题2！

有固定点 O, A 和移动点 P 。设 \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} ， 当 |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 时，点 P 在一个圆的周上。求该圆的圆心和半径。假设 ec{a} eq \overrightarrow{0} 。

右图的四边形 $A B C D$ 是菱形，点 $O$ 是对角线 $A C$ 和 $\mathrm{BD}$ 的交点。已知 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) 请画出 $\vec{a}-\vec{b} , \vec{a}-\vec{c}$ 向量。(2) $\vec{b}+\vec{c}$ 是什么样的向量。

向量的分解 ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b} 的情况下，任意的向量 ec{p} 可以通过实数 $s, t$ 仅有一种方式表示为 ec{p}=s ec{a}+t ec{b} 。

在座標空間中，求兩點間的距離。如果點A的座標是(a1, a2, a3)，點B的座標是(b1, b2, b3)，那麼AB之間的距離是多少？

让我们从几何意义上考虑向量的加法。 根据右侧的向量 $\vec{a}, \vec{b}$，请绘制出 $\vec{a}+\vec{b}$。

确定 $x$ 的值，使得以下两个向量 ec{a}, ec{b} 平行。 (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

在三角形ABC的内部有一点P，使得2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}成立。 (1) 点P位于什么位置？ （2）求面积比 riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}。

例题 35 向量的最小大小（空间） \(ec{a}=(2,-4,-3), ec{b}=(1,-1,1) \)。求 ec{a}+t ec{b} (t\ 是实数） 的最小大小以及此时的 $t$ 的值。 [千叶工大]

向量的实数倍\ 实数 $k$ 和向量 \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \) 下, 向量 $\vec{a}$ 的 $k$ 倍向量 $k \vec{a}$ 定义如下。 1. 如果 $k > 0$，则大小 $k$ 倍，方向与 $\vec{a}$ 相同。特别地，$1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. 如果 $k < 0$，则大小 \( |k| \ ) 倍，方向与 $\vec{a}$ 相反。特别地， \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. 如果 $k=0$，则为 $\overrightarrow{0}$，即 $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ 接下来给出例子来验证这一点。例如：向量 \( \vec{a} = (3, -2) \) 乘以实数 $k = 2, -3, 0$。

不同解的求法（到11步是一样的） 点D为起点时， $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ 因为(1) \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & =\frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ 请确认。

设 z=4+2i, lpha=1+3i ，在复平面上绘制点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \)。

点A的坐标是 (2,-4), 点B的坐标是 (-2,2), 点C的坐标是 (0,-4)。关于向量ec{a}, ec{b}, ec{c}，请回答以下问题： (1) 将ec{a}, ec{b}, ec{c}分别表示为分量。 (2) 求|ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}|的大小。

证明以下等式成立。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

位置向量，图形的应用 部分点的位置向量（空间）

求过点 \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) 并且垂直于向量 \( ec{n}=(1,-2,3) \) 的平面的方程。

请解决关于空间向量的问题。

解释直线的向量方程。

在以下各种情况下，求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 之间的角度 $\theta$。 (1) 当 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ 时 (2) 当 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$，并且 $\vec{a}-\vec{b}$ 与 $6 \vec{a}+7 \vec{b}$ 垂直时

在平面上，假设有 △ABC 和点 P、Q。当以下等式成立时，请回答点 P、Q 分别处于什么位置。 (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

求3点A、B、C的重心坐标。若点A的坐标为(a1, a2, a3)，点B的坐标为(b1, b2, b3)，点C的坐标为(c1, c2, c3)，则重心坐标是什么？

2 点 \( \mathrm{A}(a_{1}, a_{2}) \), \( \mathrm{B}(b_{1}, b_{2}) \) について\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2} ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}} \]

在以 3 个点 \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \) 为顶点的三角形 $riangle \mathrm{ABC}$ 中，边 $\mathrm{AB}$ 的中点为 $\mathrm{P}$，边 $\mathrm{BC}$ 被点 $\mathrm{Q}$ 按 1:2 比例外分，边 $\mathrm{CA}$ 被点 $\mathrm{R}$ 按 2:1 比例外分，并且 $riangle \mathrm{AQR}$ 的重心为 G。用 ec{a}, ec{b}, ec{c} 表示以下向量： (1) 点 G 的位置向量 (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

如果点P在平面KLM上，求向量OP的大小|€{ec{\mathrm{OP}}}|。

求通过点 \( \mathrm{A}(4,2,2) \) 并垂直于向量 \( ec{n}=(2,-3,1) ) 的平面的方程。

对于△OAB，设$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$。当实数s, t满足s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0时，求点P的存在范围。

当 \(ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1)\) 时，表示以下向量的分量。 (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

对于三角形 OAB，设 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$。当实数 $s, t$ 满足如下式子时，求点 P 的存在范围。(1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

第1章 平面上的向量- 23 EX 3 点 \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) 存在。 (1) 求 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos \theta$。 (2) 求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积。 (3) 求向量 $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的大小最小的实数 t 值及其最小值。

对于右图中表示的向量，请列出以下所有项目的向量编号。 （1）大小相等的向量 （2）方向相同的向量 （3）相等的向量 （4）互为反向的向量

对于 \( ec{a}=(1,2,3), ec{b}=(2,0,-1) \)，确定 ec{c}=ec{a}+t ec{b} 的最小值 |ec{c}| 及其对应的 $t$ 值。

假设在平面上, 有 $riangle \mathrm{ABC}$ 和点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$。当以下等式成立时, 回答点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 的位置。 (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

给定向量 \vec{a} 和 \vec{b}。|\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5}, \vec{a} \cdot \vec{b} = -10 时，请回答以下问题。（1）对于任意实数 t，求 |\vec{a} + t\vec{b}| 的最小值，并求出此时 t 的值。（2）对于在（1）中求出的 t 值，证明 \vec{a} + t\vec{b} 与 \vec{b} 垂直。

在空间中，起点为 A，终点为 B 的有向线段 AB 所表示的向量用 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 表示，其大小用 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ 表示。空间中的向量通常也用小写字母如 ec{a}, ec{b} 表示。空间中的向量和平面中的向量定义完全相同。请回答以下关于向量基本性质的问题。 1. 如果 ec{a} 和 ec{b} 的方向相同且大小相等，应如何表示？ 2. 向量 ec{a} 的反向向量如何表示？ 3. 大小为0的向量和大小为1的向量分别叫什么？ 4. 请举例说明向量的加法、减法和实数倍。

当 z=3+2 i, lpha=1-i 时，请在复平面上表示点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \)。

(1) 求使 \( \vec{a}=(x+2,1) \) 和 \( \vec{b}=(1,-6) \) 垂直的 $x$ 值。 (2) 求與 \( \vec{c}=(2,1) \) 垂直且模長為 $2 \sqrt{5}$ 的向量 $\vec{d}$。

用向量求满足以下条件的直线方程。 （1）过点A(-2,3)，且平行于向量 \(ec{d}=(2,1)\) (2) 过两点A(-1,2) 和 B(3,1)

对于以下向量 \vec{a}, \vec{b}，请画出 \vec{a}-\vec{b}。

（1）在△OAB中，当\overrightarrow{OA}=ec{a}, \overrightarrow{OB}=ec{b}时，用ec{a}, ec{b}表示△OAB的面积S。 （2）利用（1），当$|\overrightarrow{OA}|=3,|\overrightarrow{OB}|=4, \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=-6$时，求△OAB的面积S。

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

求线段AB按比例m:n内分的点P的坐标。已知点A的坐标为(a1, a2, a3)，点B的坐标为(b1, b2, b3)，求点P的坐标。

线段 AB 的中点坐标 $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$

(1) $3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$

当点 O、P、C 依次直线排列时，它们在直线 OC 与球面 S 的交点中，从点 O 开始的较近点即为点 P。因此，OC=√(0^2+1^2+2^2)=√5。点 O、P、C 依次直线排列时，点 P 的 y 坐标是多少？

基本例题 二维向量的加法 请根据右图的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$，作图示以下的向量。 (1) $\vec{a}+\vec{b}$ (2) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ (3) $\vec{a}+\vec{d}$

点匹配条件 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 匹配 $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ (位置向量匹配) \& 50 参照。

在空间中, 有点 \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \)。求在线段 AB 上按 m 比 n 分割的点的位置向量。

证明以下等式成立。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

求线段AB的中点坐标。如果点A的坐标是(a1, a2, a3)，点B的坐标是(b1, b2, b3)，中点的坐标是？

向量的分量 向量的分解和分量

求与向量 \( \vec{a}=(1,2) \) 夹角为 $45^{\circ}$ 且大小为 $\sqrt{10}$ 的向量 $\vec{b}$。

求出 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ 的夹角。

求经过三点 \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) 的平面的方程。

在右侧图形的正六边形ABCDEF中，设对角线AD和BE的交点为O，并且设 \overrightarrow{\mathrm{OA}} = ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = ec{b}。在这种情况下，用ec{a}和ec{b}表示以下向量： (1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

以下参数方程曲线绘制什么图形？ (1) $x=t+1, \quad y=3t-2$ (2) $x=\sqrt{t}-1, \quad y=t-3\sqrt{t}$ (3) $x=2\cos\theta, \quad y=2\sin\theta$

对于右侧的向量 ec{a}, ec{b} ，请绘制以下向量。 (1) 2 ec{a} (2) rac{1}{3} ec{b} (3) 2 ec{a}+rac{1}{3} ec{b}

理解空间向量夹角，攻略例题46！

3略, $3 t=-2$ 的时候 \(\vec{p}=(-5,0)\)，t=1 的时候 \(\vec{p}=(4,3)\)

位置向量, 图形的应用 直线与平面的交点位置向量

请解释向量的差。

第2章 空间的向量 37 有 \( \vec{a} = (1,2,3) \) 和 \( \vec{b} = (2,0,-1) \)，对于实数 $t$，我们令 $\vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$。求 $|\vec{c}|$ 的最小值以及此时的 $t$ 值。 [福冈工大] \[ egin{aligned} \vec{c} & = \vec{a} + t \vec{b} = (1,2,3) + t(2,0,-1) \\ & = (2t + 1, 2, -t + 3) \end{aligned} \]

根据右边的向量 ec{a}, ec{b} ，绘制以下向量图。 (1) 3 ec{a} (2) -\frac{3}{2} ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

假设 |ec{a}|=1, |ec{b}|=2 。回答以下问题。 (2) 当 |ec{a}+ec{b}|=1 时，求 ec{a} \cdot ec{b} 和 |2 ec{a}-3 ec{b}| 的值。

求垂直于 \( \vec{c}=(2,1) \)、大小为 $2 \sqrt{5}$ 的向量 \( \vec{d}=(x, y) \)。

3点在同一直线上的条件 [共线条件]：当2点 \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \) 不同时，点 \( \mathrm{C}(ec{c}) \) 对应的条件为： 3点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 在同一直线上 $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{C}$ 在直线 $\mathrm{AB}$ 上 $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} / / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 或者 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 存在实数 $k$ ...... (1) \Longleftrightarrow ec{c}=s ec{a}+t ec{b}, s+t=1 存在实数 $s, t$ ...... $$ 记录为: \[ \mathbb{B}(\)为归零} $1 - k = s, k = t$ 则 (2) 得证。

求两点 \(A(a_1, a_2, a_3)\) 和 \(B(b_1, b_2, b_3)\) 之间的距离。

45 \vec{d}=2 \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}

第 1 章 平面上的向量- 5 TR \( ec{a}=(2,3), ec{b}=(-2,2), ec{c}=(5,5) \) 当 ec{c}=x ec{a}+y ec{b} 满足实数 $x, y$ 的值求 11。

(1) 从点P(-3,5,1)向xy平面、yz平面、zx平面分别作垂线PA、PB、PC。求三个点A、B、C的坐标。 (2) 以点P(-3,5,1)分别关于xy平面、yz平面、zx平面对称的点分别为D、E、F。求三个点D、E、F的坐标。 (3) 求原点O与点P(-3,5,1)的距离。

向量的分量 向量的大小 $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

证明以下等式成立： (1) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{RS}}-\overrightarrow{\mathrm{SH}}-\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{KN}}$

在以3个点 A(ec{a}), B(ec{b}), C(ec{c}) 为顶点的三角形 $riangle ABC$ 中，将边 $AB$ 内分为 2:1 的点记为 P，将边 $BC$ 外分为 2:5 的点记为 Q。用向量 ec{a}, ec{b}, ec{c} 表示以下向量： (1) 点 P, Q 的位置向量 (2) $\overrightarrow{PQ}$ (3) $riangle CPQ$ 的重心 G 的位置向量

在右图的正六边形 $\mathrm{ABCDEF}$ 中，将对角线 $\mathrm{AD}$ 和 $\mathrm{BE}$ 的交点记作 $\mathrm{O}$，并记 \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} 。这时，使用 ec{a}, ec{b} 表示以下向量：(1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

等向量 方向相同且大小相等的两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是相等的，表示为 $\vec{a}=\vec{b}$。 当 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，可以通过平移将线段 $\mathrm{AB}$ 重叠到线段 $\mathrm{CD}$ 上。 换句话说，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ 的条件是，线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 同时满足以下两点：[1] 方向相同 $\longleftrightarrow$ 箭头方向相同，[2] 大小相等 $\longleftrightarrow A B=C D$。

数学 C 图中的四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是菱形，点 $\mathrm{O}$ 是对角线 $\mathrm{AC}$ 和 $\mathrm{BD}$ 的交点 3。 若 \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=ec{c} ， 则 (1) 请绘图表示 ec{a}-ec{b} , ec{a}-ec{c} 。 (2) ec{b}+ec{c} 是什么样的向量？

向量的分量 向量的分量计算和两点间的距离