立体几何 - 体积和表面积

'取x轴，P点位于x轴上。P通过垂直于x轴的平面切出正交等腰三角形PQR。取点P的坐标为x，则PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}，因此，将△PQR的面积记为S(x)，则S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2})。根据这个三角形的面积来求体积V。'

'类题3 边长分别为 a、b 和 c 的长方体，以边长为 b 的边为旋转轴旋转 90° 时，所形成的几何体是由长方体所有通过的点组成的立体，记为 V。 （1）用 a、b、c 表示 V 的体积。 （2）当 a+b+c=1 时，求 V 的体积可能的取值范围。 [东京大]'

'将此立体切割为经过点 Q 和点 S 的垂直于底面的平面，并通过经过点 T 和点 R 的底面垂直平面进行切割，然后只给切割出的面涂色。将包含点 A、B、C 的立体分别称为立体 X、Y、Z，如果立体 Y 和立体 Z 的体积比为 4:1，则回答以下各问题。'

'四棱锥O-KLMN的体积是四棱柱ABCD-EFGH体积的多少倍？'

'(3) 点P，Q，R分别沿边AE，BF，CG，使得AP：PE = 2：1，BQ：QF = 1：1，CR：RG = 1：2。 图2是在图1上添加了点P，Q，R后的图形。 当在通过点P，Q，R的平面上切割四角锥OKLMN以将其分成两个立体时，包含点O的立体的体积是四角锥OKLMN的体积的多少倍？'

'(2) 如果同时通过立方体的三个点P、R、T所在的平面和通过立方体的三个点Q、R、T所在的平面进行切割，求由点B组成的立体和由点E组成的立体的体积比，用最简整数比来回答。'

'请回答以下各问题。立体锥的体积可通过（底面积）×（高度）计算得出。\n（1）在组装此展开图时，哪些边接触到边A？请用符号从边I到边K中选择一个作答。\n（2）请回答立体C有多少条边。\n（3）将一条边为6厘米的立方体称为D。\n请以最简整数比的形式回答立体C和立方体D的体积比。'

'通过点P，Q，F的平面切割这体形时，平面与边AE相交于点R。'

'A水池的底面积是B水池底面积的几倍？'

'将所给文本翻译成多种语言。'

'在三维几何 Z 中，如果着色部分的面积与未着色部分的面积比为1:4，则体积 X 和体积 Z 的表面积比率最简整数比是多少？'

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'在求解体积的立体几何问题中，请计算以下几何体的体积。'

'当通过AE、BF、CG、DH的中点切割四棱锥O-KLMN时，切口的面积是菱形ABCD面积的几倍？'

'如图所示，有一个所有面都是平的立体，边AB和边EF平行，边BC和边FG，边CD和边GH，边DA和边HE也分别平行。'

'设p，q为正实数。O为原点，P(p, 0, 0)，Q(0, q, 0)，R(0, 0, 1)在坐标空间中满足∠PRQ=π/6时'

'给定点A(1，-2，-3)，B(2，1，1)，C(-1，-3，2)，D(3，-4，-1)。请确定以线段AB，AC，AD为三条边的平行六面体的其他顶点坐标。'

'有一个半径为2的半球形容器装满了水。当它被轻轻地倾斜角度α时，水面下降了197h(2)，溢出的水量与容器内剩余水量的比例为11:5。请找出h和α的值。请用弧度表示α。'

'求解将以下形状绕x轴旋转一周后形成的立体体积V。 (2) 圆x^{2}+(y-2)^{2}=4的周长和内部'

'请计算围绕直线y=x旋转形成的旋转体的体积。考虑以下条件：联立不等式0 <= x <= t，x² - x <= y <= x，0 <= t <= 2。'

'当球的体积增加1％时，球的半径r和球的表面积S分别增加约多少％？'

'求四面体的体积'

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'请计算介质变量表示的曲线和旋转体的体积。'

'在三维空间中，以点O（0,0,0）、A（1,0,0）、B（1,1,0）为顶点构成的三角形OAB绕x轴旋转一周形成的圆锥体为V。求圆锥体V绕y轴旋转一周形成的立体的体积。'

'有两个无限延伸的直圆柱，它们的切口是半径为a的圆形。 现在，假设这两个直圆柱相交的中心轴成。 求相交部分的体积。'

'设r为正实数。在xyz空间中，考虑满足以下联立不等式的点的集合：x^{2}+y^{2} \\le r^{2}, y^{2}+z^{2} \\ge r^{2}, z^{2}+x^{2} \\le r^{2}。通过平面x = t(0 \\le t \\le r)切割这个立体，求其体积。'

'请计算坐标空间中旋转体的体积(2)。'

'求解由联立不等式表示的立体的体积。'

'重新学习'

'在正四面体和正六面体的每个面上涂颜色。每个面只涂一种颜色。而且，被旋转后能匹配的涂色方式被视为相同。当有12种颜色时，将正四面体涂成所有面的颜色都不同的方式有多少种？A [ ]。另外，当有8种颜色时，将正六面体涂成所有面的颜色都不同的方式有多少种？B [ ]。'

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'有多少种不同的方法可以将立体体积分成不同的部分。假设旋转后相同的着色方式视为相同。(1) 用5种不同颜色为正方锥的每个面着色的方法 (2) 用5种不同颜色为正三角柱的每个面着色的方法'

'基本示例 138 正四面体的高度和体积\n假设有一边长为 a 的正四面体 ABCD。\n1）用 a 的表达式表示该正四面体的高度。\n2）用 a 的表达式表示该正四面体的体积。'

'有一个边长为6厘米的立方体。请计算在这个立方体中，以每个表面的对角线交点为顶点的正八面体的体积。'

'从 \ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \ 推出 \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \。在半径为1的半圆周上，使得横坐标为 \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ 的点是图中的点 \ \\mathrm{P} \。要求的 \ \\theta \ 是 \ \\angle \\mathrm{AOP} \。'

'如图所示，高度为4，底面半径为√2的圆锥与球O相切于侧面，并且在底面中心M处也相切。求球O的体积V和表面积S。'

'102立方体和四面体的体积比'

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'在右图所示的四面体ABCD中, AD=2, BD=4, CD=6, 三角形ADB=ADC=BDC=90度, 求下列值。'

'在四面体 ABCD 中，AD=2，BD=4，CD=6，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，求以下值：\n(1) 四面体 ABCD 的体积 V\n(2) △ABC 的面积 S\n(3) 顶点 D 到平面 ABC 下垂线的长度 d'

'一块薄金属板，其横向长度是纵向长度的两倍。从该金属板的四个角剪下边长为1厘米的正方形，制作一个没有盖子的长方体箱。要使箱子的容积在4立方厘米至24立方厘米之间，纵向长度应在什么范围内？'

'求四面体OABC的以下内容。'

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'求半径为6的球内切的最大体积的直圆柱。 求出直圆柱的高度。'

'计算等底四面体的体积'

'当正二十面体W的每个顶点都位于球S表面上时，回答以下问题。正二十面体是所有面都是等边正三角形，每个顶点被5个正三角形共享。'

'给定一个边长为 1 的立方体ABCD-EFGH，平面包含A、C、F三点并且与直线BH相交于点P，从点P垂直向平面ABCD投影到交点Q。'

'求底面积为S，高度为h时柱体和圆锥体的体积。同时，求半径为r的球体的体积和表面积。'

'在底边长度为3的正三角形ABC上构造四面体PABC，其中PA=PB=PC=2。从顶点P到底面ABC作垂线PH。'

'在四面体ABCD中，AB=3，BC=√13，CA=4，DA=DB=DC=3，从顶点D到三角形ABC作垂线DH。请计算线段DH的长度和四面体ABCD的体积。'

'ABC 是边长为 3 的等边三角形，PABC 是具有 PA=PB=PC=2 的四面体，从顶点 P 垂直落在底面 ABC 上的 PH。'

'计算四面体的高度和体积\n在边长为 a 的四面体 ABCD 中，从顶点 A 垂直向三角形 BCD 引垂线 AH。\n(1) 用 a 表示 AH 的长度 h。\n(2) 用 a 表示四面体 ABCD 的体积 V。\n(3) 用 a 表示从点 H 垂直向三角形 ABC 引的垂线的长度。'

'以 I 为球的圆心。 四个四面体 IABC，IACD，IABD，IBCD 是全等的，因此'

'求解正四面体的体积'

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'有一个立方体 A。将 A 的垂直缩短 1 厘米，横向缩短 2 厘米，高度增加 4 厘米，制作长方体 B。另外，将 A 的垂直增加 1 厘米，横向增加 2 厘米，高度缩短 2 厘米，制作长方体 C。当 A 的体积大于 B 的体积，但不大于 C 的体积时，求 A 的一边长度的范围。'

'请计算正二十面体W的体积。'

'正四面体的高度和体积'

'在四面体ABCD中，AB = AC = 3，∠BAC = 90°，AD = 2，BD = CD = √7，并且BC的中点为M。此时，BC = 正方形，DM = 三角形，∠DAM = 矩形度，四面体ABCD的体积为梯形。'

'求三角形的面积，并将其应用于立体几何'

'求四面体 ABCD 的体积。'

'在边长为3的正四面体ABCD中，从顶点A到底面BCD上垂线AH。在边AB上有AE=1的点E，求：\n(1) sin∠ABH\n(2) 四面体EBCD的体积'

'求解四面体 OABC 的体积。并求点 O 到平面 ABC 的距离。'

'当球体积增加1%时，半径增加多少百分比？'

'(2) 设容器 $Q$ 的体积为 $V_{1}$。对于边长为 $b$ 的正四面体 $ABCD$...'

'在 0 ≤ x ≤ π 范围内，通过曲线 y=sin x, y=sin 2x 围成的图形绕 x 轴旋转1次形成的立体体积V是多少？'

'(2) 在空间中，当半径为1的球体的中心沿着边长为4的正方形的边运动一周时，求该球体所经过的部分的体积 V。'

'在坐标空间中，通过不等式|x|≤1，|y|≤1确定的正方形S的4个顶点分别为A（-1,1,0），B（1,1,0），C（1，-1,0），D（-1，-1，0）。将正方形S围绕线段BD旋转得到立体V1，围绕线段AC旋转得到立体V2。'

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'给定的实例20: 正方体对角线周围的旋转体的体积'

'考虑以原点为中心的底面为半径的圆为底面的直圆锥，其中包含有以点A（1,1,0），B（1,-1,0），C（-1,-1,0），D（-1,1,0），E（1,0,1），F（-1,0,1）为顶点的三角柱。请计算这种直圆锥的体积的最小值以及此时的底面半径r。'

None

'设S为以坐标空间中心O为球心、半径1的球面。对于在S上移动的点A、B、C、D，令F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)。(1) 令→OA= a, →OB= b, →OC= c, →OD = d，存在不同于a, b, c, d的常数k，使得F=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d)，求常数k的值。(2) 求S上动点A、B、C、D时，F的最大值M。(3) 当点C的坐标为(−1/4, √15/4, 0)，点D的坐标为(1, 0, 0)时，找到所有使F=M的S上点A、B的组合。'

'当点P（x，0）和Q（x，sinx）连接成的线段作为1条边在x轴垂直的平面上构成一个正三角形。当P沿着x轴从原点O到点（π，0）移动时，请求这个正三角形所形成立体的体积。'

'找出使圆锥的体积最小化的圆锥半径 r。'

'四面体ABCD和点P满足方程AP+3BP+2CP+6DP=0。'

'習題 3 三角錐體積的最大值\n在四面體OABC中，若|OA|=a、|OB|=b、|OC|=c，∠AOB=90°，∠AOC=α，∠BOC=β。其中，0°<α<90°，0°<β<90°，且α+β>90°。\n(1) 利用a、b、c、α、β表示內積OA⋅OC、OB⋅OC。\n(2) 從點C向包含△OAB的平面下垂線CH。\nOH=kOA+lOB（其中k、l是實數），求k、l的表達。\n(3) 利用a、b、c、α、β表示四面體OABC的體積V。\n(4) 當a、b、c為常數，且α、β滿足α+β=120°時，求V的最大值。'

'20. 求立方体对角线周围旋转体的体积'

None

'求以 y 轴为中心旋转一次后得到的旋转体的体积 V，该旋转体围绕椭圆 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \\geqq 0)$ 和 y 轴的部分。其中，$a>0,b>0$。'

'(3) 求点A的$x$坐标的绝对值。 点B和点P位于$yz$平面上。 求四面体POAB的高度，并计算其体积。'

''

'求直线 y=x 周围的旋转体积\n将抛物线 y=x^{2}-x 和直线 y=x 的交点（不包括原点 O）标记为 A。求由直线 OA 为轴旋转而成的体积。'

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'求旋转体的体积：将曲线y = √x绕x轴旋转，求在x = 0到x = 1范围内的旋转体体积。'

'求曲线y=-2 x^{2}-1与x轴以及两条直线x=-1，x=2所围成的区域绕x轴旋转一周后形成的立体体积。'

'已知直角边长分别为x，y，z的长方体ABCDEFGH位于空间中。如果长方体的对角线AG的长度为3，表面积S为16，则'

'连接点P(x, 0)和Q(x, 4-x^2)的线段作为一个边构成一个垂直于x轴的平面上的正三角形。当P沿着x轴从原点O到点(2,0)移动时，求得所绘制立体的体积。'

'已知AB=x，AD=y，AE=z，直方体ABCD-EFGH存在于空间中。若对角线AG的长度为3，表面积S为16'

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'底面半径为 5 厘米，高度为 10 厘米的直圆锥形容器倒置。以每秒 2 厘米³ 的速度缓慢注入水。在水深达到 4 厘米时，求以下值：\n(1) 水面上升的速度\n(2) 水面积的增加百分比'

'将S1沿x轴旋转一周得到的旋转体积'

'求解以下旋转体的体积 V。'

'线段PQ上的点A是, O为原点, s为实数'

'在三维空间中，有三个点O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(0,√3,1)。它们都在平面z=0上，以O为中心、半径为1的圆为W。当点P沿线段OA移动，点Q在圆W的周围或内部移动时，使得⃗OR=⃗OP+⃗OQ成立，得到的所有点R构成的立体为VA。同样地，当点P沿线段OB移动，点Q在圆W的周围或内部移动时，使得⃗OR=⃗OP+⃗OQ成立，得到的所有点R构成的立体为VB。另外，将VA和VB的重叠部分记作V。(1) 用θ表示平面z=cosθ(0≤θ≤π/2)所切割出的立体V的切口面积。(2) 求立体V的体积。'

'求由曲线$x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta\\left(-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}\\right)$和$x$轴围成的部分绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体体积$V$。'

'求立体\ V \的体积。'

'有两个无限延伸的圆柱体，在两侧，切口成半径为a的圆形。 现在假设这些圆柱体相交形成的中心轴成角π/4。 求交叉部分（共同部分）的体积。【来源: 日本女子大】'

'将空间中的直线旋转以产生的立体体积'

''

'找出由抛物线 y=x^{2}-2 x 和直线 y=-x+2 围成的区域，围绕 x 轴旋转一次形成的立体体积 V。'

'考虑由点A(1,1,0)、B(1,-1,0)、C(-1,-1,0)、D(-1,1,0)、E(1,0,1)和F(-1,0,1)确定的三角柱，以原点为中心的平面上的圆为底面的直圆锥。求此类直圆锥的体积的最小值，以及此时底面的半径r。'

'最大和最小的应用问题（2）... 主题是空间图形'

'当点P(x,0)和Q(x, sin x)连接成一个边长为1的正三角形时，将它们所在的直线垂直于x轴的平面作为基底。当点P沿着x轴从原点O到点(π, 0)时，求这个正三角形围成的立体的体积。'

'球的体积 V 增加 1%，球的半径 r 和球的表面积 S 分别增加了大约多少％？'

'求y=x周围旋转一周后形成的旋转体积V。'

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'挑战问题'

'基本示例171 溢出的水量'

'曲线C：y=x^3 上有两点O(0,0)，A(1,1)。求由曲线C 和线段OA 围成的部分绕直线OA 旋转一周形成的旋转体积V。'

'正四面体的体积'

'有一个底面半径为a且高度也为a的圆柱。通过包含底面直径AB且与底面成30度角的平面，把这个圆柱分成两个立体。求体积较小的立体的体积V。'

'在EX坐标空间中，同时满足不等式$x^{2}+y^{2} \\leqq 1$和$0 \\leqq z \\leqq 3$的圆柱体存在。如果以y轴为轴（与2133平面和$\\frac{\\pi}{4}$角），并通过点$(1,0,1)$切割该圆柱体为两个立体体积，求包含点$(1,0,0)$的体积$V$。'

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'体积的计算方法'

'如果将边长为5厘米的立方体的每条边都减小0.02厘米，则立方体的表面积和体积将分别减少多少？请计算并精确到小数点后两位。'

'在以点O（0，0，0）为原点的空间中，有三个点A（1，2，0），B（0，2，3），C（1，0，3）。求四面体OABC的体积。'

'394是例題62的向量等式和四面体體積比'

'在三维空间中考虑点P(u, u, 0)和Q(u, 0, √(1-u^2))。当u从0到1变化时，线段PQ形成的曲面记为S。'

'四面体 OABC 的体积为 V,'

'求函数f(x)=xe^x+e/2确定的曲线y=f(x)、y轴和直线y=f(1)所围成的图形绕y轴旋转一周形成的立体体积V。'

'求解数学问题：曲线y=cosx(0 ≤ x ≤ π/2)与x轴和y轴围成的部分，绕x轴旋转一周所得立体的体积为V1；底面半径为1，高为π/2的圆锥的体积为V2，则V = V1 - V2。'

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'解决关于空间图形的最大最小问题。'

'求围绕x轴旋转时形成的旋转体的体积V，该旋转体被两条曲线围绕。曲线由y = f(x) 和 y = g(x)（a <= x <= b，其中 f(x) >= g(x) >= 0）给出。'

'求由y轴旋转形成的体积。'

'求用参数θ表示的曲线x=f(θ), y=g(θ)与x轴及两直线x=a, x=b (a < b)围成的图形绕x轴旋转时的旋转体体积V。'

'求 y=cosx(0 ≤ x ≤ π), y=-1 曲线与 y 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周所得到的立体体积 V。'

'在以原点 O 为中心的空间中，有三个点 A(1,2,0)，B(0,2,3)，C(1,0,3)。求四面体 OABC 的体积。'

'请计算将（2）（1）中考虑的图形围绕y轴旋转一圈所得到的旋转体的体积。'

'求解围绕y轴旋转的立体体积。 使用函数g(y)进行解释。'

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'将给定的问题翻译成多种语言。'

'求由曲线x=tanθ，y=cos2θ(-π/2<θ<π/2)和x轴围成的部分，绕x轴旋转一周形成的立体体积V。'

'请说明如何求解直圆锥的高度。'

'想为正四面体的每个面涂上颜色。 但是，将正四面体旋转以使涂色相匹配被视为相同的情况。\n（1）使用四种不同的颜色涂色的方法有多少种。\n（2）在使用不同的三种颜色进行涂色的情况下，使用全部三种颜色进行涂色的方法有多少种。 同时，如果可以使用三种颜色中没有使用的颜色，那么涂色方法有多少种。'

'例题 73 | 多面体的体积\n一个边长为 3 的正方形 6 个和正三角形 8 个面构成的多面体，如图所示内切于一个立方体。求这个多面体的体积。[摂南大]指南 关注内切于立方体。通过连接立方体每条边中点的平面，可以将立方体的所有顶点切割，得到多面体。'

'一块金属薄板的长度是宽度的两倍。从这个板的四个角落按照图示的方式切除边长为 5 厘米的正方形并折叠，制作出一个没有盖子的长方体容器。当容积为 1.5 升时，原来板的长度和宽度分别是多少厘米？'

'144'

'有一个边长为3的正四面体PABC。请计算从内部取走4个边长为1的正四面体后剩下的体积。'