立体几何 - 三维形状的性质（多面体，圆柱，圆锥，球体）

'求外切于（2）的圆C，且接触x轴的圆心的轨迹。'

'不等式表示的区域'

'考虑内切于半径为2的球体的圆柱，其高度为2x。(1) 用x表示圆柱底面的半径a。(2) 用x表示圆柱的体积V。(3) 求V的最大值。[北海道工大]'

'2019年Shibuya Education Academy Makuhari Middle School第1次（26）观察者站在悬崖的正面指示的方向。观察者在悬崖A方向为东南，在悬崖B方向为西南，在悬崖C方向为北。'

'为什么不用尺子测量金属棒的延伸？请用大约20个字解释。'

'根据第（1）段，全区域的地层是从南向北倾斜的，因此东西向几乎是地层水平重叠的。因此，在朝向南的悬崖C上，每个地层看起来几乎都是垂直的。'

'为什么使用架高地板来防止潮气和泛水？'

'证明由极坐标方程 \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ 和复数方程 \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ 给出的图形是相同的，并绘制出这个图形的概貌。'

'3球面方程'

''

'有两个球面 $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5,S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$。设球面 $S_{1}, S_{2}$ 的交集为圆 $C$，求：\n(1) 圆 $C$ 的中心 $P$ 的坐标和半径 $r$\n(2) 包含圆 $C$ 的平面 $α$ 的方程'

'以原点为中心，半径为1的圆C上的点(\ \\cos \\theta, \\sin \\theta \)为P。 在点P处接触圆C，并且与y轴相切的圆为S，其中心Q的坐标为(u, v)。(1) 使用\ \\cos \\theta \和\ \\sin \\theta \ 分别表示u和v。(2) 将圆S的面积表示为\\( D(\\theta) \\)，求 \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\)。'

'在以点 O 为原点的坐标空间中，设 A(5,4,-2)。'

'考虑由坐标空间内的8个点O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1)所形成的立方体。将边OA按照3:1内分点命名为P，将边CE按照1:2内分点命名为Q，将边BF按照1:3内分点命名为R。过点P, Q, R三点的平面称为α。'

'求球面方程通过点（1,1,1），（-1,1，-1），（-1，-1，0），（2,1,0）的解决方程。并找出中心坐标和半径。'

'在四面体ABCD中，AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD²，∠ADB=90°。设三角形ABC的重心为G。'

'在空间中的矩形ABCD中，点A的坐标为(5,0,0)，点D的坐标为(-5,0,0)，边AB的长度为5。此外，点B的y坐标和z坐标都为正，从点B垂直投影到xy平面的长度为3。请给出点B和点C的坐标。'

'计算极坐标方程 $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ 表示的曲线上的点与极点 $\\mathrm{O}$ 相连的线段通过的区域面积。 基本182，数学 $\\mathrm{C}$ p. 303 参考资料'

'求过点（0,0,0）、（6,0,0）、（0,4,0）、（0,0，-8）的球面方程。并求其圆心坐标和半径。'

'请计算通过正二十面体各边中点的平面切割后形成的多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'第3章 图形性质 EX ⊕ 91 右边的图 [1] 是一个通过正六面体各边中点的平面切割出8个顶点的多面体。记这个多面体为 X。图 [2] 是关于多面体 X 的通过各边中点的平面切割出顶点的多面体。记这个多面体为 Y。 （1）求多面体 X 的面数，边数，顶点数分别为多少。（2）求多面体 Y 的面数，边数，顶点数分别为多少。'

'求内切于半径为1的球体的正四面体的边长。'

'求一个内切于半径为1的球体的正四面体的边长。'

'给定四面体上折线的最小值示例问题141\n已知四面体ABCD，AB=BC=CA=8，AD=7。当cos∠CAD=11/14时，求以下内容：\n（1）边CD的长度\n（2）∠ACD的大小\n（3）对于点E点在边AC上，求BE+ED的最小值'

'右图[1]显示的是一个截取了正六面体各边中点所在平面的八个顶点的多面体。将该多面体命名为X。右图[2]显示的是将多面体[1]截取后得到的多面体，称为Y。'

'在图中右侧的立方体中，AD=AE=1，EF=√3。（1）求垂直于边BF的边。'

'有一个底面半径为2，高度为\ \\sqrt{5} \的直圆锥。将该直圆锥的顶点记为\ \\mathrm{O} \，底面直径的两端记为\ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \，线段\ \\mathrm{OB} \的中点记为\ \\mathrm{P} \。求直圆锥侧面上从A到P的最短距离。'

"在右图中，直线AB分别切线O和O'。 如果O和O'的半径分别为5和4，并且O和O'之间的距离为6，则求线段AB的长度。"

'正四面体和正六面体的每个面都用颜料涂色。每个面只涂一种颜色。另外，将其旋转323度使得涂色方式相同则视为相同。当有12种颜色时，使正四面体的每个面颜色都不同的涂色方式共有7种。'

'右图表现了一个直方体，立体是由在包含边 DH，BF 的平面上切割的。'

'每个面的相邻面颜色不同，要为立方体的每个面涂上颜色。 但是，如果旋转立方体可以得到相同的涂色方式，则认为是相同的方式。（1）有多少种涂色方法可以使用6种不同的颜色？ （2）有多少种涂色方法可以使用5种不同的颜色？'

'请分别求出通过正十二面体的每条边的中点的平面，切片所有顶点后形成的多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'利用对角线和为180°的条件来证明四边形内切于圆的条件。'

None

"在右图中，直线AB分别在圆O，O'上接触点A，B。如果将圆O，O'的半径分别记为r和r'（r < r'），两个圆心之间的距离为d，则证明AB=√(d^2 - (r' - r)^2)。"

'请确定以下凸多面体的面数f，边数e和顶点数v。\n(1) 由12个正五边形和20个正六边形组成的凸多面体\n（2）如右图所示，在每条正四面体边上三等分的点形成的平面分割出的凸多面体的所有顶点'

'从手电筒等照明灯发出的光是锥形扩散的，但是当以正确的角度照射时，照射部分的边缘呈抛物线状。这是由于将圆锥截割成与母线平行时，切口上出现抛物线的现象。'

'空间点的位置\n就像在平面上用两个实数对表示点的位置一样，在空间中也可以通过坐标来描述点的位置，使用三个实数组成的组可以表示空间中的点的位置。在图中定义空间点 C，并在 O 上定义三条互相垂直的数轴。将它们分别称为 x 轴，y 轴和 z 轴，统称为坐标轴。点 O 被称为原点。\n由 x 轴和 y 轴确定的平面称为 xy 平面，由 y 轴和 z 轴确定的平面称为 yz 平面，由 z 轴和 x 轴确定的平面称为 zx 平面。\n在坐标平面中，有两个轴，x 轴（水平方向）和 y 轴（垂直方向），而在坐标空间中，增加了 z 轴（高度），这三个轴统称为坐标平面。'

'请回答（A〜C）适合下表的内容。'

'通过连接正十二面体的每条边的中点的平面，切割所有顶点以形成一个具有21个面的多面体，分别找出该多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'对于一个8个顶点、6个面的凸多面体，求它的边数。'

'请计算通过每条正八面体的边三等分点并切取所有顶点后形成的凸多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'请选择以下数学术语中与正多面体相对应的一个。'

'证明当所有边长均相等的正四棱锥A-BCDE中，将边AD的中点记为M时，边AD垂直于平面MEC。'

'在图中正五角柱 ABCDE-FGHIJ 中，回答以下问题。'

'在多面体问题中，利用欧拉多面体定理来揭示顶点、边和面之间的关系。'

'正弦定理是三角形三个内角的正弦(sin)与三边长度的关系定理。证明该定理需利用初中学习的圆周角定理。'

'对于与半径为1的球内切的圆锥，使其侧面积最大化，求其高度、底面半径和侧面积。'

'假设将一张卷成筒状的纸做斜切。纸展开后，你认为切口会是什么样子？在这里，底面半径为1，切口与底面的夹角为π/4（=45度）。'

'在正四棱锥 O-ABCD 中，底面边长为 2a，高为 a。求出以下内容：\n(1) 从顶点 A 到边 OB 上的垂线 AE 的长度\n(2) 对于 (1) 中的点 E，求出角 AEC 的大小和三角形 AEC 的面积'

'为了更容易计算面积而分割'

'当边长为1的正20面体W的所有顶点都位于球S的表面上时，回答以下问题。正20面体W的每个面都是相等的正三角形，并且每个顶点被5个正三角形共享。'

'数学 I'

'根据余弦定理'

'考虑底面为三角形ABC且AB=2,AC=3,BC=t(1<t<5)的直三角柱T。直三角柱指所有棱均垂直于底面的三角柱。进一步地，假设球S位于T的内部并与T的所有面相切。'

''

'由于直三角柱的高度为4，设球的半径为r，则0 < r ≤ 2'

'正四面体和球体'

'如图所示，在△ABC外部取三点D、E、F，使△ABD、△BCE和△CAF分别成为正三角形。设△ABC的面积为S，三边长为BC=a，CA=b，AB=c。解答以下问题：(1) 设∠BAC=θ，用b、c和S表示sinθ，用a、b和c表示cosθ。(2) 用a、b、c和S表示DC²。其中，可以利用一般来说cos(60°+θ)=\\frac{cosθ-√3 sinθ}{2}。(3) 设三个正三角形的面积平均为T，用S和T表示DC²。'

'求半径为1的球内切正四面体的一条边长。'

'有一个底面半径为2，高度为√5的直圆锥。将这个直圆锥的顶点标记为O，底面直径的两端点标记为A，B。设线段OB的中点为P，则在侧面上从A到P的最短距离是多少？'

'求四面体上折线的最小值示例141\n存在四面体ABCD，AB=BC=CA=8，AD=7。当cos∠CAD=11/14时,求以下内容。\n(1) 边CD的长度\n(2) ∠ACD的大小\n(3) 边AC上的点E，使BE+ED的最小值\n基本121,137'

'例题 127 测量问题（空间）\n如右图所示，电线杆垂直立在包括3点A、B、C的平面上，从两个地点A、B看电线杆顶端D，仰角分别为60°、45°。已知AB间距离为6m，∠ACB=30°，求电线杆高度CD。假设视线高度忽略不计。'

'正四面体和球\n假设有边长为a的正四面体ABCD。\n（1）请用a表示外切于该正四面体的球的半径R。\n（2）请用a表示内切于该正四面体的球的半径r。'

'求半径为1的球内切正四面体的边长。'

'有一个底面半径为2，高度为√5的直圆锥。 设此圆锥的顶点为O，底面直径的两端为A，B，线段OB的中点为P，求从A到P的侧面上最短距离。'

'空间中的点基本是指空间点的坐标和与原点O的距离。'

'求点(a，b，c)为球心，半径为r的球面方程。'

'求解以下球面方程式。'

'请以中心坐标和半径的顺序翻译'

'求实数a，并且当点P移动到整个球面S时，'

'如图所示，平面z=t(0<t<2/3)与圆盘D的周围，线段CQ的交点分别为S、T、U。'

'球面的方程'

'练习：平面 $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ 和两个球面 $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$。求出以下内容。 (1) 包括平面 $\\alpha$ 和球面 $S_{1}$ 的交集，并通过原点的球面方程 (2) 包含球面 $S_{1}, S_{2}$ 的交点圆 $C$ 的平面方程，以及圆 $C$ 的圆心 $P$ 的坐标和半径 $r$'

'由三个点A（4,7,2），B（2,3，-2），C（6,5，-6）形成的三角形ABC是什么形状。'

'从球心 C(a, b, c) 垂直投影到 xy 平面的垂线穿过圆的中心 (5/6, 5/6, 0)，因此点 C 和圆心的 x 和 y 坐标分别为 a=5/6，b=5/6。此外，球面 S 的半径为 OC = √(〖(5/6)〗^2+〖(5/6)〗^2+c^2) = √(c^2 + 25/18)，因此，球面 S 的方程为 (x-5/6)^2 + (y-5/6)^2 + (z-c)^2 = c^2 + 25/18。点 (t+2, t+2, t) 在球面 S 上时，(t+2-5/6)^2 + (t+2-5/6)^2 + (t-c)^2 = c^2 + 25/18，即 9t^2 - 2(3c-7)t + 4 = 0。直线 l 与球面 S 有交点的充要条件是 t 的二次方程 (1) 有实数解，因此，令其判别式 D≥0，其中 D 和 (3c-1)(3c-13) 成立。从 D≥0 推导出 (3c-1)(3c-13)≥0，解得 c≤1/3 或 c≥13/3。因此，a、b、c 应满足条件 a=b=5/6 且 (c≤1/3 或 c≥13/3)。'

'假设a>0。求通过点 O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) 的球面方程为54的以下内容。'

'在这里我们已经得到了另一个解法。\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=(x-1, y, z)$$\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=(x, y-2, z)+2(x, y, z-3)=(3x, 3y-2,3z-6)$$\n\n所以, $$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{\\mathrm{CP}}})=0$$ 得到 $$ (x-1) \\times 3x + y \\times (3y-2) + z \\times (3z-6)=0$$\n\n因此 $$ \\quad x^{2}-x+y^{2}-\\frac{2}{3} y+z^{2}-2z=0 $$ 因此 $$ \\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{9}+1 $$ 即 $$ \\quad\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{49}{36} $$\n\n因此, 点P的集合是以点 $$ \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, 1\\right) \\) 为中心, 半径为 $$ \\frac{7}{6} $$ 的球面。'

'解释抛物线的性质，并推导出抛物线上点P的性质。'

'(1) 设球面 $S_{1}$ 的中心为 $\\mathrm{O}_{1}(1,2,-3)$，半径为 $r_{1}=\\sqrt{5}$。平面 $\\alpha$ 和球面 $S_{1}$ 的中心 $\\mathrm{O}_{1}$ 的距离为 $\\frac{|1-2 \\cdot 2+2 \\cdot(-3)+3|}{\\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=2 \times \\sqrt{5}>2$，因此，平面 $\\alpha$ 和球面 $S_{1}$ 相交。因此，平面 $\\alpha$ 和球面 $S_{1}$ 的公共点满足以下方程：\n\\[4pt]\n\\($k(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0$\\)\n方程 (1) 表示球面。由于通过原点，代入 $x=y=z=0$，得到\n\\[4pt]\n\$3 k+1+4+9-5=0$\\n因此 $k=-3$，将 $k=-3$ 代入(1)，得到\n\\[4pt]\n\\($-3(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0$\\)\n整理后，得到所求方程为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-5 x+2 y=0$'

'给定边长为1的正六边形ABCDEF。点P沿边AB移动，点Q沿边CD移动。求线段PQ上1:2处的点R可以通过的面积范围。'

'(2) 由于球面与各坐标平面相切，并且通过点(5，-1，4)，因此，取半径为r，球心坐标表示为(r，-r，r)。因此，球面的方程式为'

'过点(-1,2,3)且垂直于直线(4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3的平面方程'

'证明四面体ABCD中的重心G_A，G_B，G_C，G_D分别为三角形BCD，ACD，ABD，ABC的质心。证明线段AG_A，BG_B，CG_C，DG_D分别被内分为3:1的点相交。'

'设球面方程为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-4 y+4 z=16$，平面 $\\alpha: 6 x-2 y+3 z=5$ 切割出的圆为 $C$。求该圆的圆心坐标和半径。'

'将空间中的点A（0,0,2）和点B（1,0,1）连接起来的线段AB绕z轴旋转一次得到的曲面记为S。当S上的点P和xy平面上的点Q满足PQ = 2时移动，线段PQ的中点M可能经过的范围记为K。求K的体积。'

'球面方程'

'求矩形视图中的直体OABC-DEFG的坐标，除了点O之外的顶点。'

'在坐标空间中，以xy平面上的原点为中心，半径为1的圆。将该圆作为底面，以点(0,0,2)为顶点的圆锥（包括内部）记为S。另外，考虑点A(1,0,2)。'

'(2) 通过点B，垂直于x轴的平面为α。在平面α上，以点C(1,0,0)为圆心，半径CB=√(3²+4²)=5的圆上的动点为R，则CB=CR，QB=√(QC²+CB²)，QR=√(QC²+CR²)。所以QB=QR，因此，D(1,0,-5)，则AQ+QB=AQ+QD≥AD。由于3点A、Q和D在zx平面上，因此AQ+QD的最小值是Q在直线AD上时。因此，AQ+QB的最小值是AD=√((1-2)²+(0-0)²+(-5-3)²)=√65。'

'在立方体ABCD-EFGH中，证明边FB、BC、CD、DH、HE和EF的中点都在同一个平面上。'

'考虑在曲线 K：y=1/x 上具有三个顶点 A、B、C 的三角形 ABC。证明三角形 ABC 的垂心 H 位于曲线 K 上。'

'求座標空间中所有距离到 x 轴，y 轴和z 轴的距离均小于等于 1 的部分的体积。'

'在坐标平面上有以原点 O 为中心、半径为 5 的圆 C。取 n=2 或 n=3，令半径为 n 的圆 C_{n} 内切于圆 C 并且不滑动的情况下绕圆 C 旋转。在圆 C_{n} 上有点 P_{n}。最初，圆 C_{n} 的中心 O_{n} 为 (5-n, 0)，点 P_{n} 为 (5,0)，圆 C_{n} 的中心沿着圆 C 的内部逆时针旋转 n 圈后返回原位置。设圆 C 和圆 C_{n} 的切点为 S_{n}，线段 OS_{n} 与 x 轴正向的夹角为 t。\n(1) 用 t 和 n 表示点 P_{n} 的坐标。\n(2) 证明点 P_{2} 所描述的曲线与点 P_{3} 所描述的曲线相同。\n〔大阪大〕'

'在坐标空间中，求 x 轴，y 轴，z 轴距离均小于或等于 1 的部分体积。'

'在坐标空间中，求距离x轴和y轴均小于等于1的区域的体积。'

'在平面 z=t(-1≤t≤1) 上，求解到 x 轴和 y 轴距离都小于等于1的区域面积。'

'点A的极坐标为(10,0)，以极O和点A为直径的圆C上的任意点Q。将点Q处的圆C的切线从极O垂直下来到点P，将点P的极坐标表示为(r,θ)，求其轨迹的极坐标方程。其中，0 ≤ θ < π。'

'例题 54 球面方程式 (2)'

'練習（1）從橢圓的中心O引出垂直的兩條半直線，與橢圓交於P、Q點，證明 1/OP^2 + 1/OQ^2 是恆定的。'

"点 O、A'、B'在xy平面上，因此球面S与xy平面的交点形成的图形是经过O、A'、B'的圆。"

'球面方程 - 以点（a，b，c）为中心，半径为 r 的球面 (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'过点 \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) , 并且平行于 \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) 的直线为 \ \\ell \ 。\n(1) 求直线 \ \\ell \ 与平面 \ 2 x-3 y+z=0 \ 的交点的坐标。\n(2) 求直线 \ \\ell \ 通过球面 \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\) 切割出的线段长度。'

"(2) 当 t 取遍所有实数时，在 xyz 空间中点 (t+2, t+2, t) 所确定的直线为 l。穿过 3 点 O(0,0,0)、A'(2,1,0)、B'(1,2,0)，并以中心 C(a, b, c) 为球面 S 的直线 l 有共同点时，求解 a, b, c 需满足的条件。[北海道大]"

'在空间中，固定点 C 到距离为 r 的点的全体被称为 C 的中心以半径 r 的球体。'

''

'在四面体$ABCD$中，设$\triangle BCD$、$\triangle ACD$、$\triangle ABD$、$\triangle ABC$的重心分别为$G_A$、$G_B$、$G_C$、$G_D$。证明线段$AG_A$、$BG_B$、$CG_C$、$DG_D$分别内分比为$3:1$的点重合。'

'有A(4,0,0)，B(0,8,0)，C(0,0,4)，D(0,0,2)四个点。'

'求通过点A（3,1，-1）和点B（-2，-3，2）的直线与xy平面、yz平面和zx平面的交点坐标。'

'(2) 平面 ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0）接触球面，球面以（3，2，1）为中心，半径为√5。请找到常数a的值。'

'给定中心为 (1,-3,2)、通过原点的球面与平面z=k相交形成的圆半径为√5。找出k的值。'

'学习了平面向量，现在学习空间向量的基础知识，以及了解空间坐标中形状（直线、球面等）的方程。'

'求球面中心为(-1,5,3)，半径为4与平面x=1相交得到的圆的中心坐标和半径。'

'求下列球面的方程式。'

'以\\(\\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0)\\)为直径的球面\S\在坐标空间内。当点\\(\\mathrm{P}(x, y, z)\\)在球面\S\上移动时，求\3x+4y+5z\的最大值。并找出此时P的坐标。'

'对于给定的点A（2，-1，3），B（5，2，3），C（2，2，0），请证明：（1）以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形。（2）如果正四面体的三个顶点是A，B，C，求第四个顶点D的坐标。'

'求通过点A(2,4,0)和B(0,-5,6)的直线与以点(0,2,0)为中心、半径为2的球面的交点坐标。'

'已知球心为（1，-2，3a），半径为√13的球面与xy平面相交形成的圆的半径为2。求a的值。并求出这个圆的中心坐标。'

'(1) 寻找球心为(-1,3,2)，半径为5的球面与xy平面、yz平面、zx平面相交所形成的图形方程。'

'在边长为1的正五边形ABCDE中，假设AB向量为b，AE向量为e。'

'在复平面上，分别表示为 -1+2i 和3+i 的点A、B，如果以线段AB为1边，则求正方形ABCD的顶点C、D对应的复数。'

'考虑3点O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2)。假设点P(x,y,z)按照条件|PO|=|PA|=|PB|移动。'

'(2) 中心是 (1,-2,3a)，半径为 sqrt(13) 的球面与 x y 平面相交，形成的圆的半径为 2。请计算 a 的值。还有，请计算此圆的中心坐标。'

''

'关于点A(2，-1，3)，B(5，2，3)，C(2，2，0)：(1) 证明三角形ABC是等边三角形。(2) 如果ABC是正四面体的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。'

'假设a>0。求通过点O(0,0,0),A(0,a,a),B(a,0,a),C(a,a,0)的球面的以下内容：(1) 中心坐标和半径 (2) 相交于zx平面的方程'

'已知球心为(2，-3，4)，半径为r的球面与xy平面相交形成的圆半径为3。求解r的值。'

'接下来，考虑一个正八面体以及接触其所有面的球体，并将其切割成一个包含接点的平面剖面图，如右图[2]所示。假设球的半径为r，则网格部分的直角三角形的面积为'

'请说明如何计算四面体的高度。'

'假设存在如右图所示的立方体，则从A到D的路径是向右3个，向上2个，向上1个的排列，'

'证明四面体ABCD的以下结论：\n1. 边AB的中点为M。\n(A) 边AB垂直于平面CDM。\n(T) 边AB与边CD垂直。\n2. 将边BC，AC，AD，BD的中点分别记为P，Q，R，S，则四边形PQRS是一个正方形。'

'求出通过正二十面体的每条边的中点的平面，将所有顶点切割并形成的多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'请计算一个正六面体所需的最少颜色数。'

'请计算展开图中最短距离。'

'证明: A 为四面体的垂足'

'找到通过正十二面体每条边的中点并切割所有顶点后形成的多面体的面数f，边数e和顶点数v。'

'根据逆弦定理，线段DA是通过三点A、E、F的圆的切线。'

'考虑空间中的四面体ABCD。证明存在一球面，该球面同时经过4个顶点A、B、C、D。'

'要求在立方体的每个面上涂色，使相邻的面的颜色不同。然而，如果旋转立方体可以使涂色方式相同，则视为相同。'

求中心为原点，半径为r的球面的方程。

假设 a 是一个实数。在 x y z 空间内有四个点 A(0, a, 4), B(-2, 0, 3), C(1, 0, 2), D(0, 2, 3)，并在点 P(1, 0, 6) 放置一个光源。 （1）光源在 x y 平面上产生的点 A 的影子的坐标是（アイ， ウ a, 0) 。 （2）光源在 x y 平面上产生的三角形 BCD 的影子也是一个三角形。该三角形的顶点坐标为 力 > ク。

15 (2) \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \), \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \)

球与平面的交集 球面 \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) 与以下平面的交集部分是一个圆。求其中心坐标和半径。 (1) $x y$ 平面 (2) $y z$ 平面 (3) 平面 $y=4$

以原点为中心，半径为 r 的球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

(1) 求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$ 的中心坐标和半径。 (2) 求通过四点 \( (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2) \) 的球面方程。

求出以点 (a, b, c) 为中心, 半径为 r 的球面方程 \(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

球面的方程式 求如下的球面方程式。 (1) 以点 \( (3,-2,1) \) 为中心, 半径为 2 的球面 (2) 以原点为中心, 通过点 \( (2,1,-3) \) 的球面 (3) 以点 \( \mathrm{A}(5,3,-2) \) 和 \( \mathrm{B}(-1,3,2) \) 为直径两端点的球面

球面 \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \) 和以下平面相交的部分是一个圆。求其圆心坐标和半径。 (1) yz 平面 (2) zx 平面 (3) 平面 $z=3$

球面的一般方程

求出下面这样的球面方程。 (1) 以原点为中心，半径为 $2 \sqrt{2}$ 的球面 (2) 以点 A(6,5,-3) 为中心，经过点 B(2,4,-3) 的球面 (3) 以点 A(-1,4,9) 和点 B(7,0,1) 为直径两端的球面

坐标空间中的图形 球面的方程

求出如下球面的方程式。

在坐标空间中的图形：球面与平面的相交

从原点 $\mathrm{O}$ 向由 3 个点 \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,-2) \) 确定的平面 $\mathrm{ABC}$ 引下垂线 $\mathrm{OH}$ 。求点 $\mathrm{H}$ 的坐标及线段 $\mathrm{OH}$ 的长度。