平面几何 - 相似性和全等性

'在三角形ABC中，满足条件43AB=6、AC=4、cosB=3/4，回答以下问题：(1) 求BC的长度。(2) 当角C为锐角时，求三角形ABC的面积。(3) 对于问题(2)中的三角形ABC，分别求其外接圆和内切圆的半径。'

'(3) 三角形ABC是尖角三角形的条件是，角A，角B，角C都是尖角。这里，当t是实数时，t^{2}-(t-2)=t^{2}-t+2=\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0，因此，总是成立t^{2}>t-2。因此，角A，角B都是尖角的条件是，对于三个点A，B，C的y坐标，t-2<t^{2}-t-1<t^{2}，以及42点A，B的y坐标差为t^{2}-(t-2) =\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0，因此t^{2} \\neq t-2也是可以的。'

'请绘制以下不等式表示的区域。'

'证明内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，h=r/R。又，∠A=2α，∠B=2β，∠C=2γ。'

'求内分点和外分点\n找到将线段AB按照m：n比例内分和外分的点的坐标。\n内分点为$\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\n外分点为$\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

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'四边形ABCD内切于一个圆，∠ABC=∠DAB，因此∠ADC=∠BCD。CD的弧度相等，所以AD的弧度等于BC的弧度。对于等长的弧，圆周角相等，所以∠ACD=∠BAC。设∠ACD=∠BAC=θ(0<θ<α)，那么∠ACB=π-(α+θ)，∠CAD=α-θ。在三角形ABC中，根据正弦定理得到AB/sin{π-(α+θ)}=2*1，BC/sinθ=2*1。因此AB=2sin(α+θ)，BC=2sinθ。另外，在三角形ACD中，根据正弦定理'

'练习（1）2点A（0，-2），B（0，6）和点P为顶点的三角形PAB满足AP：BP = 1：3的条件移动时，求点P的轨迹。'

'理解两点之间的内分点和外分点的坐标。'

'将图形A缩小为1/4，得到相似图形，将其放入图形A的(1)~(3)中，即可得到图形B。接着，将图形B缩小为1/4，得到相似图形，再次放入图形A的(1)~(3)中，就得到了自相似形。将这种自相似形应用于帕斯卡三角形的模式。'

'求直线 y=5x(1) 和 y=\\frac{2}{3}x(2) 之间的锐角。'

'将以下角度转换为弧度制和度数制。'

'TR 132\n2 直线 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) 和 \ y=\\frac{3}{7}x \ (2) 的夹角是多少。\n其中，两条直线的夹角为锐角。\n分别将2 条直线 (1) 和 (2) 与 \ x \ 轴正向的夹角记为 \ \\alpha, \eta \'

'求2点A(-1,-2)和B(-3,2)的等距离点P的轨迹。'

'向前迈进'

'使用加法定理求解sin 75°和tan 15°的值。由于75°不是三角尺度上的角度，无法直接通过三角函数定义求解。可以用30°、45°、60°等的sin值来表示75°，然后利用加法定理求解75°的三角函数数值。'

'这两条直线分别是平行还是垂直的？'

'(1) 抛物线 P₁ 和 P₂ 的公共点 x 坐标是方程 x² - 2tx + 2t = -x² + 2x，即 x² - (t+1)x + t = 0 的实数解。求解得到 (x-1)(x-t) = 0，则 x=1, t。当 0<t<1 时，S 是图中红色部分的面积，即'

'2条直线的垂直条件\n对于2条直线 y=m_{1} x+n_{1} 和 y=m_{2} x+n_{2}，这两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。'

'动径表示的角度确定了动径的位置，但反过来，确定动径的位置，表示的角度却有无数种可能，不是唯一确定的。这是因为，动径绕一周后会回到原来的位置。\\n\\n将动径OP与初始线OX形成的角之一表示为$\\alpha$，则动径OP表示的角度为$\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$是整数 $) \\) \\( \\cdots,-300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$轮动径是一致的'

'分数点和外分点m，n为正数。在线段AB上的点P满足AP：PB=m：n时，点P被称为将线段AB分成m：n，点P被称为线段AB的内分点。此外，线段AB延长线上的点Q满足AQ：QB=m：n（m≠n）时，点Q称为将线段AB分成m：n，点Q称为线段AB的外分点。通常有以下关系：\n内分\n外分当m>n时'

'求点P，其到点O(0,0)和点A(3,6)的距离比为1:2的轨迹。'

'求出以下点的坐标。'

'我的家比A先生的家更近。'

'请从Y点的A至F层中选择一个与图2中X点的e层相同的层，然后给出符号。'

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'已知图中(4)所示的三角形阴影部分的面积为K。假设四边形ABCD的面积为1，则长方形BCQP的面积也为1，因此长方形RPQS的面积也为1，三角形RPQ的面积为1/2。另外，三角形RBU与三角形QSU相似，相似比为RB：QS = 2:1，所以RU：UQ=2:1。此外，三角形PBT与三角形QST是全等的，因此得知PT=TQ。因此，K是三角形RPQ面积的1/2+1倍，即1/6倍，所以K=1/2 * 1/6 = 1/12。因此，四边形ABCD的面积为K的1÷1/12=12倍。'

'4 平面图形-边长比和面积比（1）如右图所示，将圆心标记为O，并连接O与圆周上的点E、F、G、H。另外，三角形ABD是等边三角形，所以带标记的角为60度，•标记的角为60 ÷ 2 = 30 度。因此，对于以○和 的直角三角形，全部都是等边三角形减半的形式。因此，注意三角形ODH，HD：OD = 1：2，注意三角形AOD，OD：AD = 1：2，因此如果将HD长度设为1，则OD的长度为1 × 2/1 = 2，AD的长度为2 × 2/1 = 4。因此，AH：HD = (4-1)：1 = 3：1。'

'回答以下问题。'

'关于测量长度和精度的问题 (1) 副尺将39毫米平均分成20份，并标有最细的刻度线，因此每个刻度间隔为39 ÷ 20=1.95 (毫米)。'

'三角形PAB与三角形PAD，三角形PBC与三角形PDC分别合同。正方形ABCD的面积为3×3=9（cm^2），三角形PAB与三角形PAD的面积为3×4÷2=6（cm^2），三角形PBC与三角形PDC的面积为3×5÷2=7.5（cm^2），因此，四面体P-ABCD的表面积为9+(6+7.5)×2=36（cm^2）。'

'在图10中，XY间距是65-30=35（刻度）通过接目镜测量，通过目镜测量其为50个刻度。目镜的1个刻度为10微米，50个刻度则为10 x 50 = 500 微米。因此，通过接目镜测量的每个刻度所对应的长度为500 ÷ 35 = 14.28...，即14.3微米。'

'关于第4行下划线处，下列句子A〜C中有一句描述了Rausudake、Iwakisan和Choukaisan中的哪一个。请选择正确的句子和山的组合，从以下选项中选择一个并用号码回答。'

'对这块土地进行调查后，发现AC的长度为15米，BC的长度为18米，角B的大小恰好是角C大小的2倍。这种情况下，T离B有多远？'

'通过点P、Q和F的平面切割这个立体时，平面与边AE相交于点R。'

'接着，画一条直线垂直于连接中心 O 和点 B 的直线，并经过点 B，两条直线相交于点 C。此时，CA 的长度和 CB 的长度必定相等，由此以点 C 为中心，通过两点 A、B 绘制圆。该圆的弧即为波安星人所走过的路径。'

'(2)(1)是同样的思路，因此，OI：ID=3：1，因此，如果将三角形HID的面积设为1，则三角形HOI的面积为1×3/1=3。因此，四边形EFGH的面积为3×8=24。此外，三角形HOD的面积为1+3=4，所以三角形AOH的面积为4×3/1=12，三角形AOD的面积为4+12=16。因此，四边形ABCD的面积为16×4=64，所以四边形EFGH和四边形ABCD的面积比为24:64=3:8。'

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'三角形AFC和三角形AEC的面积相等。另外，如果两个三角形加上三角形ADC，则三角形CDF和三角形AED的面积也相等。因此，三角形AED的面积为3 × 1 ÷ 2 = 1.5 (cm^2)，所以三角形CDF的面积也为1.5 cm^2，而以CD为一边的正方形的面积是三角形CDF面积的2倍，即1.5 × 2 = 3 (cm^2)。'

'关于两个显微镜，当目镜镜头的放大倍数从10倍增加到40倍时的可见性，从以下选项中选择一个，并给出符号。'

'三角形ABC的B角和三角形ACD的C角是直角，标有点的两个角相等。点E是边BC和边AD的延长线的交点。边AB长度为2厘米，边BC长度为1厘米。(2)CE的长度是多少厘米？'

'(1)随着距离值的增加，照度值变小。换句话说，灯泡和照度计之间的距离越远，照度就会下降。'

'在图（2）中，马克先生从以X为中心移动到圆周上，而哈利先生则从以Y为中心移动。由于图（2）中，三角形OFX和三角形YOX都是将正三角形对半分的三角形，所以如果设XF=1，那么OX=1×2=2，XY=2×2=4。因此，马克先生和哈利先生移动的圆周半径比例为XF:YF=1:(4-1)=1:3。接下来，马克先生移动的部分的圆心角为120度，总共有6个这样的部分。同时，哈利先生移动的部分的圆心角为60度，总共有3个这样的部分。因此，马克先生和哈利先生移动距离的比值为{1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3，所以可以得出马克先生的速度是哈利先生速度的4/3=1 1/3倍。'

'在另一种解题方法中，如图4所示，三角形DBG和三角形DCG是全等的，记角BDG为θ，角CDG为φ，则θ+φ=90度，因此2θ+2φ的总和为180度。因此，角ADB的大小为2θ。另外，在BD上取一点H使得AD=AH，根据三角形ATH和三角形ATD是全等的，则角AHT的大小也为2θ。由三角形ABH的外角关系可知，角HAB的大小也为θ，如图5表所示。在图5中，AC的长度为15米，且DB与DC的长度相等，所以粗线部分的长度为15米。进一步，由于AD与BH、DT与HT的长度分别相等，因此BT的长度为粗线部分长度的一半，即15 ÷ 2 = 7.5米。此外值得注意的是，BT的长度不受BC的长度影响。'

'(2)如图3所示，延长BA，PQ交于点M，MF与AE交点为R。在图3中，三角形MAQ和三角形MBP是相似的，AQ的长度为8-4=4(cm)，BP的长度为8-2=6(cm)，因此相似比为AQ:BP=4:6=2:3。因此，MA的长度为6*2/3-2=12(cm)。此外，三角形MRA和三角形FRE也是相似的，相似比为MA:FE=12:9=4:3，因此AR:RE=4:3。'

'因为三角形ADC与三角形CDB相似，所以CD=cm，可以表示为1:=:3。另外，当P:Q=R:S时，Q×R=P×S，因此，×=1×3=3。因此，CD作为一边的正方形面积也可以计算为3cm^2。'

'为了使两个向量平行，确定p的值，其中m=(1，p)，n=(p+3，4)。'

'证明：在三角形ABC中，边BC，CA，AB被点P, Q, R内分为m：n（m>0, n>0），如果24R，则三角形ABC和三角形PQR的重心重合。'

'描述线段AB和CD平行的条件以及垂直的条件，对于不同的4个点A（α），B（β），C（γ），D（δ）。'

'对于平面上三角形OAB的存在范围，若OP = sOA + tOB，则点P的存在范围为：(1) 线段AB当且仅当s + t = 1时成立；特别地，线段AB当且仅当s + t = 1，且s ≥ 0，t ≥ 0时成立。(2) 三角形OAB的周长和内部当且仅当0 ≤ s + t ≤ 1，且s ≥ 0，t ≥ 0时成立。(3) 平行四边形OACB的周长和内部当且仅当0 ≤ s ≤ 1，且0 ≤ t ≤ 1时成立。'

'在 xy 平面上，点 \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) 到某点 \ \\mathrm{P} \ 的距离乘积为恒定值 \ 2 a^2 \，记点 \ \\mathrm{P} \ 的轨迹为 \ C \。其中 \ a>0 \。\n(1) 求出 \ C \ 的直角坐标方程。\n(2) 以原点为极点，以正 x 轴为始线的极坐标 \\( (r, \\theta) \\) 中，求出 \ C \ 的极坐标方程。\n(3) 证明从 C 中除去原点的部分包含平面上的第一象限和第三象限的范围。'

'请将直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)。'

'练习 3 点 A, B, C 在以点 O 为中心、半径为1的圆周上，(3) 3213OA+12OB+5OC=0 成立。设角AOB为α，角AOC为β，求证：(1) OB ⊥ OC。(2) 求出 cosα 和 cosβ。'

'在边长为a的正三角形ABC中，以顶点A为起点，向边BC下垂线，其足为P₁。从P₁向边AB下垂线，其足为Q₁；从Q₁向边CA下垂线，其足为R₁；从R₁向边BC下垂线，其足为P₂。重复这样的操作，点P₁、P₂、...、Pn、...将位于边BC上。求点Pn的极限位置。角度基本为26°。'

'（4）垂心（ \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ 为锐角三角形的情况） \ \\cdots \\cdots 3 \ 条垂线的交点 \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\n直线 \ \\mathrm{AH} \ 与边 \ \\mathrm{BC} \ 的交点，直线 \ \\mathrm{CH} \ 与边 \ \\mathrm{AB} \ 的交点分别为 \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \\n则有 \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ 得\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\n同样地有 \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\n因此, 根据 (*) 得 \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\n所以, 由 \\left( ** \\) 可得 \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'极坐标下，求解以下圆和直线的极坐标方程。 请注意，a>0。'

'设s≠0。对于不同的3点O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t)，其中点P, Q在同一象限，并且OP // OQ，设直线OP与x轴正向的夹角为α。求tanα的值。'

'第107题：三角函数的应用问题\n为了测量一栋建筑物的高度，从距离该建筑物10米的地点高1.5米的位置测量建筑物顶端P的仰角为65度。\n利用三角函数表回答以下问题：\n（1）求出这座建筑物的高度。结果四舍五入至最接近的1米。\n（2）从这座建筑物距离15米的地方，以相同方式测量得到P点的仰角大小。'

'在三角形ABC中，∠C=90°，AB:AC=5:4。 在边BC的C端延长线上，CD=376。 将边AB的中点标记为E，从点B向直线AD引下垂线标记为BF。解决以下问题：(1)证明EF=EC。(2)求三角形ABC:三角形CEF的面积比。'

'证明非正三角形ABC的外心为O，重心为G，垂心为H时，G位于线段OH上且OG:GH=1:2。'

'使用正弦定理和余弦定理：求解三角形的边长和角度。'

'基本例131 三角形的面积'

'圆周角：对于一条弧，圆周角大小是恒定的，是弧的中心角的一半。'

'附近的公园里有一个圆形的游泳池。一天，我想测量这个游泳池的面积，我和朋友带着卷尺和粉笔出发了。我们在游泳池边缘的三个地方用粉笔标记了A、B、C。当测量AB、BC、CA的水平距离时，分别为9米、6米、12米。1. 求角ABC的正弦、余弦、正切值。2. 求这个游泳池的面积。'

'设θ是尖角。当sinθ，cosθ，tanθ中的1个取特定值时，请找出其余2个三角比的值。'

'在三角形ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°。设∠A的角平分线与BC的交点为D，求线段AD的长度。'

'数学 I'

'证明如下:连接EP, FQ, EF, EF的垂直平分线，设二圆心为O，连接OE、OF、AD、BC的延长交于P，连接OF、ED的延长交于Q，由例1的推论可知，EF平分∠BOF、∠EOQ，∠EOF=∠EOQ。又有三角形EOF≌三角形POQ（共边、共度），所以EP2+FQ2=EO2+OF2=EF2。'

'证明三角形ABC的角度A，B，C分别用A，B，C表示时，等式cos((A+B)/2)=sin(C/2)成立。'

'切瓦定理\n定理9三角形ABC的3个顶点A、B、C和三角形的边上的一个延长点O连接的直线与边BC、CA、AB或其延长线相交时，交点分别为P、Q、R\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'在三角形ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8。因此，cosC是（填空）。此外，如果边BC的长度为1，则三角形ABC的面积是（填空）。'

'365'

'三角形的边和角的大小关系\n定理\n14\n1. 在一个三角形中\n 1. 对于一个三角形，对面大边的角比对面小边的角大。\n 2. 对于一个三角形，对面大角的边比对面小角的边长。\n也就是说 \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"当半径为5和8的圆O和O'外切于点A时，若连接这两个圆的共切线交点分别为B和C，则由BA延长线和圆O'的交点为D。证明：(1)AB垂直于AC。(2)证明点C、O'、D共线。(3)求解AB:AC:BC。"

'在三角形ABC中，设外接圆的半径为R。若 A=30°，B=105°，a=5，则求R和c的值。'

'在坐标平面上，7条直线x=k(k=0,1,2,⋯6)和5条直线y=l(l=0,1,2,3,4)相交形成的长方形（包括正方形）的数量。以及面积为4的长方形数量。'

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'基本例题70 三角形的重心和面积比'

'余弦定理'

'例题 124 三角形的最大角 在三角形 ABC 中，如果满足以下条件，请求出这个三角形中最大角的大小。 (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

'使用正弦定理，找出下列三角形的其他边长：A为45°，对边a长度为2。'

'(1) 在\ \\triangle \\mathrm{ABC} \中，求以下值。3106\n(A) 当\ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \ 时，求\ a \。\n(1) 当\ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \ 时，求\ b, c \。\n(B) 在\ \\triangle \\mathrm{ABC} \中，若\ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \，求\ C \是锐角、直角还是钝角。'

'有一张边长为 10 厘米的正三角形纸 ABC。取边 AB 上的点 D 和边 AC 上的点 E，使线段 DE 与边 BC 平行。当折叠纸张时，将纸折叠在线段 DE 上，将三角形 ADE 中与四边形 BCED 重叠的部分记为 S。当线段 DE 的长度为 x 厘米时，S 最大，并且此时 S = y 平方厘米。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'(2) 在三角形ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，角A及其外角的角平分线分别与直线BC相交于D、E点。求线段DE的长度。'

'在尖角PR XOY的内部，2点A，B如右图所示。 在4 80上，分别取点P，Q，使AP + PQ + QB最小，则应该将P，Q放在哪个位置。'

'在右图中的三角形ABC中，G是三角形ABC的重心，线段GD与边BC平行。求三角形DBC和三角形ABC的面积比。'

'三角形的内角平分线长'

'在三角形ABC中，根据余弦定理\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { 因此 } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { 所以 } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { 因此 }\n\\end{array}\n\\]\n'

'根据给定的条件，整理出三角形的其他三个要素时，根据条件使用定理的方法如下：1. 1 边和其两个相邻角 （a、B、C 的条件求出 b，c，A） A = 180° - (B + C)；正弦定理：a / sinA = b / sinB = c / sinC；2. 2 边和其间夹角 （b、c、A 的条件求出 a，B，C） 余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosA 求出 a；余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) 求出 B；C = 180° - (A+B)；3. 3 边 （a、b、c 的条件求出 A、B、C） 余弦定理 cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)求出 A；余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca)求出 B；C = 180° - (A + B)。'

'在三角形ABC中，当sinA：sinB：sinC=5:16:19时，求此三角形中最大的角的大小。'

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'证明69个锐角三角形ABC（AB>AC）的A的角平分线AD，中位线AM，垂线AH的以下内容。'

'有一个内切于圆的四边形ABCD。若AB=8，BC=3，BD=7，AD=5，则求A与边CD的长度。另外，求四边形ABCD的面积S。'

'在三角形ABC中，若C为45度，b为根号3，c为根号2，则求解A，B，a。'

'(3) 由于 $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$，所以 $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$，因此 $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$。另外，$\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$，所以 $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$，所以 $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$。因此，$\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$。'

'四边形ABCD外切于圆O。边AB、BC、CD、DA分别与圆O相切于点P、Q、R、S，将线段AP、BQ、CR、DS的长度分别记为a、b、c、d。当直线AC、PQ、RS中的任意两条不平行时\n（1）假设AC、PQ的交点为X，证明AX: XC = a: c。\n（2）假设AC、RS的交点为Y，证明AY: YC = AX: XC。'

'请描述三角形A的性质：a^2 = 64，b^2 + c^2 = 61'

'等腰三角形的两个底角相等。此外，等腰三角形的顶角的角平分线垂直二等分底边。请利用这个信息来解决以下问题：\n在等腰三角形 ABC 中，若顶角 A = 100 度，则底角 B 的角度是多少？'

'在三角形ABC的内部的一个点O与三个顶点连线，与边BC，CA，AB相交于点D、E、F，以及FE延长线与BC延长线的交点为G。'

'381。三角形的周长比较'

'在三角形ABC中，每条边都以图中所示的点P、Q、R与圆相切。求线段AQ和BC的长度。'

'基本例题133 三角形内角的角平分线的长度（2）'

'切瓦定理的逆定理'

'在三角形ABC中，如果点P将边BC内分为m：n，点Q将边CA内分为l：m，点R将边AB内分为n：l，则直线AP，BQ和CR相交于一点。请使用逆向切瓦定理证明这一点。'

'证明在三角形ABC中，等式成立：\\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'在三角形ABC中，角B的角平分线与边AC相交于点D，求线段BD的长度。'

'求角问题的关键'

'基础例题 68 利用外心和垂心\n设锐角三角形ABC的垂心为H，外心为O，从O向边BC引下垂线OM。又在三角形ABC的外接圆上取点K，使线段CK为圆的直径。证明以下内容：\n1. BK=2OM\n2. 四边形AKBH是平行四边形\n3. AH=2OM'

'内切四边形'

'使用切瓦定理的逆证明三角形的三条中线会相交于一点。'

'证明基本图形90反方向的定理'

"数学A\n是指，当4个点A'，P，Q，B'共线时。 因此，将点A关于半射线OX对称得到点A'，将点B关于半射线OY对称得到点B'，则直线A'B'与半射线OX的交点为P，直线A'B'与半射线OY的交点为Q。"

'在三角形ABC中，若AB=8，BC=3，CA=6，则角A的外角的两等分线与线BC相交于点D。求线段CD的长度。'

'在锐角三角形ABC中，从顶点B和C分别向对边引出垂线BD和CE。若BC=a，则求角A的表达式。请利用以下性质：如果线段PQ的PRQ=90°，则点R位于以线段PQ为直径的圆周上。'

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'证明在锐角三角形ABC中，垂心为H，外心为O，边BC的中点为M，线段AH的中点为N。利用线段MN的长度等于三角形ABC外接圆的半径，以及AH=2OM来证明。'

'在图中，如果AR:RB=3:4，BP=PC，求AQ:QC。'

'给定长度为a的线段AB和长度为b和c的两条线段，绘制长度为\ \\frac{a c}{b} \的线段。'

'何时应用正弦定理和余弦定理？正弦定理和余弦定理都可用于求解边长和角度大小，有时可能不清楚应该使用哪一个。有没有判断方法？'

'求线段BF的长度。'

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'在PR水平地面上的点H处，有一根垂直于地面的杆。从地点A和B观察杆的顶端3127端时，仰角分别为30度和60度。另外，通过地面测量得知，AB之间的距离为20米，∠AHB=60度。求杆的高度。假设不考虑眼睛的高度。'

'第4章 几何与测量 EX 在内切于圆的四边形ABCD中，DA = 2AB，∠BAD = 120°，对角线BD，AC的交点为E，则E将线段BD分成3:4。\n（1）BD = ？AB，AE = 1？AB。\n（2）CE = ？？AB，BC = I？？AB。\n（3）AB:BC:CD:DA = 1：？：力：2。\n（4）若圆的半径为1，则AB = ？，四边形ABCD的面积S = ？。'

'在内接于圆的四边形ABCD中，AB=2，BC=1，CD=3，并且cos∠BCD=-1/6。这时，AD的长度为。'

'给定线段AB，绘制以下点。(1)将线段AB三等分成2:3的点E (2)将线段AB分成3:1的外分点F'

'在三角形ABC中，AB=3，BC=4，CA=6，设角A的外角的二等分线与线段BC相交于点D。求线段BD的长度。'

'求三角形ABC和平行四边形ABCD的面积。'

'基本列題122三角形的解法(1)對於每種情況，找出三角形ABC的剩餘邊長和角度。(1) a=√3，B=45°，C=15°(2) b=2，c=√3+1，A=30°'

'正弦定理'

'花子和太郎决定一起解决以下的问题，并尝试使用图形绘画软件来思考。'

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'证明三角形ABC中∠A，∠B，∠C的度数分别为A，B，C时，等式(1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1成立。'

'(4) 求外接圆半径最小的三角形。'

'表示道路和铁路坡度的词汇中有一个叫做坡度。使用三角比表回答以下问题。(1) 道路坡度常用百分比（％）表示。百分比表示水平方向前进100米时，高度提高了多少米。某条道路上有一个标志显示为23%。这条道路的坡度大约是多少度。(2) 铁路坡度常用千分比（‰）表示。千分比表示水平方向前进1000米时，高度提高了多少米。某条铁路线上有一个标志显示为18‰。这条铁路线的坡度大约是多少度。'

'三角形的边和角大小关系'

'\ \\triangle ABC \ 中，\ \\angle C=90^\\circ \，\ AB:AC=5:4 \。在边 \ BC \ 的点 \ C \ 的延长线上找到点 \ D \，使得 \ CA=CD \。将边 \ AB \ 的中点记作 \ E \，并设点 \ B \ 到直线 \ AD \ 的垂线为 \ BF \。请回答以下问题：［宮崎大］\n（1）证明 \ EF=EC \。\n（2）求出三角形 \ ABC \ 与三角形 \ CEF \ 的面积比。'

'(5) BC = 9, BD: DC = 4: 5，得到BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4。所以BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2)根据余弦定理'

'在三角形ABC中，说明角A的变化范围对a²，b²，c²的关系。'

'请解释以下术语的含义：相等角，对顶角，锐角，钝角，内角，外角，全等，相似，垂直平分线，角的平分线，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，弦，弧，中心角，周角，圆的切线，对边，对角，平行四边形。'

'证明三角形ABC与三角形AEF相似。'

'在△ABC中，已知BC=5，CA=3，AB=7。设∠A及其外角的角平分线分别与线段BC相交于点D、E，则求线段DE的长度。'

'请使用外心、内心、垂心、重心的性质和定义来回答以下三角形问题。'

'解法（直到第11步都相同）\n （1）得到 \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ 同样地\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n 因此 \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} 所以 \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'基本示例802次方程式的应用\n如右图所示，三角形ABC中，BC=20cm，AB=AC，∠A=90°。在边AB，AC上分别取点D，E使得AD=AE，从D，E到边BC画垂线，交于点F，G。求长方形DFGE的面积为20cm²时，求边FG的长度。'

'Menelaus 定理的逆定理'

'给定一个内切于圆的四边形ABCD。已知AB=8，BC=3，BD=7，AD=5，求CD的长度。另外，求解四边形ABCD的面积S。'

'基本例题 1142 直线的夹角\n（1）求直线y=-1/√3x与x轴正向所成的角α，直线y=1/√3x与x轴正向所成的角β。并求两直线所成的锐角。其中，设0°<α<180°，0°<β<180°。\n(2)求两直线y=-√3x, y=x+1所成的锐角θ。'

'在直角等腰三角形ABC中，AC = BC，AB = 6，构建两个竖直长度相等的长方形，如右图所示。构建两个长方形的面积和最大时的最大值是多少？\n根据给定条件，AC = BC = 6 / √2 = 3√2。\n\n如图所示，取点D，E，F，G，并将长方形的竖直长度记为x，则\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\n另外，由0 < CE < AC可知\n0 < 2x < 3√2，即0 < x < 3√2 / 2\n\n记两个长方形的面积和为y，则\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\n(1)中，y在x = √2时取得最大值6。'

'在三角形ABC和直线DF中使用梅涅劳斯定理'

'三角形的相似条件：当满足以下任一条件时，两个三角形是相似的。[1] 三边比例相等。[2] 两边比例相等，且它们之间的夹角相等。[3] 两角分别相等。'

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'证明：在△ABC中，设边BC的中点为M，∠AMB和∠AMC的角平分线分别与边AB、AC交于点D、E。则有DE // BC。'

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'关于对角线和为10厘米的菱形：\n（1）求最大面积。\n（2）求最小周长。'

'定理2：在三角形ABC中，AB≠AC，∠A的外角的角平分線与边BC的延长线的交点将把边BC分成AB：AC的比例。'

'已知 ΔABC 中 AB 的中点为 D, 线段 CD 的中点为 E, 并且 AE 与 BC 的交点为 F, 求 AE:EF 的比值。'

'解决以下关于三角形的问题。'

'熟练运用 Venn 图，并攻克例题 49！'

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'四边形ABCD内切圆，AB=4，BC=2，DA=DC。'

'378基本例题\n在三角形ABC中，AB=10，BC=5，CA=6，求线段DE的长度，其中∠A及其外角的平分线分别与边BC或其延长线相交于点D、E。'

'掌握正弦定理，攻克例题126！'

'通过余弦定理求解cosA，并利用结果计算三角形的面积和高度。'

'一条倾斜角为8°的下坡道,向前走80米,在水平方向上走了多少米？同时，垂直方向下降了多少米？'

'当两边和它们之间的角已知时，可以使用余弦定理。'

'给定一边长为1的正三角形ABC。在不包括外接圆顶点A的弧BC上取点P，使得PA=a，PB=b，PC=c（b>c）。计算a²+b²+c²的值。由于∠APB=∠APC=α度，所以在三角形ABP中应用余弦定理。'

'从离海面1公里远的A、B两地点看到同一山顶C，从A位置看向东方，仰角为30度；从B位置看向东北方，仰角为45度。请计算这座山的高度CD。假设点D位于C的正下方，且三点A、B、D在同一水平面上。另外，假设sqrt(6)=2.45。'

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'在角度90°<A<180°时，在右图中，线段BD是△ABC的外接圆的直径。此时 \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ 即 \ \\angle BDC = 180° - A \，因此 \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \，所以 \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'直线 `ℓ` 和平面 `α` 的位置关系有以下 3 种情况。'

'根据边长和角度的等式确定三角形的形状'

'点 H 是角 DFE 的角平分线，也是角 FDE 的角平分线的交点，因此是三角形 DEF 的内心。'

'请解释三角形的角平分线和边的性质。'

'如果在三角形ABC中，a²cosA sinB=b²cosB sinA成立，则三角形ABC是什么形状？'

'在三角形ABC中，如果a²cosA sinB = b²cosB sinA成立，则三角形ABC是什么形状？'

'设尖角三角形ABC的外心为O。角BAO的平分线与三角形ABC的外接圆相交于点D，则证明AB∥OD。'

'在点D到边AB上作垂线，设交点为H，则AH=BH=\\frac{1}{2}，因此，根据(2)，\\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}，观察三角形DAH。\n参考，从顶点A到边BC上作垂线，交点为E，则BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}，因此，\\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}。等腰三角形的顶角的角平分线垂直平分底边。'

'有两个相切于点 P 的圆。如右图所示，经过点 P 的两条直线，分别与外部圆的交点为 A、B，与内部圆的交点为 C、D。请证明 AB 与 CD 平行。'

'在右图中，L，M，N是△ABC的边与内切圆的切点，∠C=90°，AL=3，BM=10。（1）设内切圆的半径为r，表示AC，BC的长度分别为r。（2）求r的值。'

'在三角形ABC中，当b=2√6，c=3√2+√6，A=60°时，请求另外一条边的长度和另外一个角的度数。'

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'在梯形ABCD中，满足AD // BC，AB=5，BC=7，CD=6，DA=3。过点D作AB的平行线与边BC的交点为E，∠DEC=θ。求以下值。'

'第7章 三角形的应用\n135\n在三角形ABC中，AB=7，BC=4√2，∠ABC=45°，并在外接圆O的中心O处。\n(1) CA= $的正方形，并且外接圆O的半径是。\n（2）在外接圆O上不包含点A的弧BC上，取点D使CD=√10。这时，∠ADC=°，设AD=x，则x=√。'

'在三角形ABC中，将边AB划分为3:2的比例点为D，将边AC划分为4:3的比例点为E，BE与CD的交点为点P，连接点A和交点BC的线段交点为点F，求BF:FC的比值。'

'L, M, N分别是三角形ABC的边和内切圆的切点，∠C=90°，AL=3，BM=10。 (1) 设内切圆的半径为r，求AC, BC的长度分别用r表示。 (2) 求r的值。'

'从A，B两地观察到水道对岸的C，D两地，如右图所示。假设A，B，C，D四点具有相同的高度。\n(1) 求BD和BC的长度（米）。\n(2) 求CD的长度（米）。\n\n答案可以保留在根号的形式。\n& 〜GUIDE 使用正弦定理和余弦定理找到适用的三角形。\n(1) 在三角形ABD中，已知1条边和2个角度，可以使用正弦定理。\n(2) 在三角形BDC中，已知2条边和它们之间的角度，可以使用余弦定理。'

'扩展示例123'

'证明在三角形ABC中，如果∠B > ∠C，则b > c。'

'第3章 图形的性质\n此外，∆AFE和∆ABC中\n∠A是公共的，∠AFE=∠ABC\n因此，两组角相等，所以∆AFE ∝ ∆ABC\nAF：AB=1:2\n∆AFE：∆ABC=1²:2²=1:4\n因此，∆AFE=1/4∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2)由(1)得出，四边形AFGE的面积记为T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\n因此，由(1)，(2)得出∆ABC/T=12S/4S=3\n因此是3倍'

'在右侧图中，请计算角θ的正弦，余弦和正切值。'

'利用右边的直角三角形 ABC，求解 15° 的正弦、余弦和正切值。'

'在右图中，点 I 是三角形 ABC 的内心。请计算以下内容：(1) α (2) CI:ID'

'(1) 给定α=90°，AB=2，BC=3，找出△ABC三个角的大小。\n(2) 给定α=70°，β=γ，找出△ABC三条边的大小。'

'在给定的图形中，求解α。其中，(1)中BC = DC，(3)中的点O是圆的中心。'

'用尖角三角函数表示'

'定理1：三角形ABC的角A的角分线与边BC的交点将边BC分成AB：AC。'

'四边形ABCD内切于圆O，满足AB=2，BC=3，CD=1，∠ABC=60°。求：\n(1) 线段AC的长度\n(2) 边AD的长度\n(3) 圆O的半径R'

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"在数学上，证明如下图所示：直线AB分别在圆O和O'上的点A和B接触。 如果半径分别为r和r'（r小于r'），以及两个圆的中心距离为d，则证明AB长度等于sqrt(d^2 - (r'-r)^2)。"

'三角形的面积可以用底边乘以高度的一半来计算。让我们用三角函数来表示这个公式。'

'有一条长为125米的笔直坡道。爬完这条坡道后，高度增加了21.7米。这条坡道的倾斜角约为多少度？另外，这条坡道的水平距离是多少米？请使用三角函数来思考。'

'三角形的内切圆半径和面积'

'请回答以下问题。 当a=√3+1，A=75°，C=60°时，或当a=√3-1，A=15°，C=120°时，请找出三角形的其他要素。'

'(2) 当三角形ABC的外心和内心重合时, 记该点为O。由于O是外心, 所以OB=OC。因此∠OBC=∠OCB。另外, 点O同时也是三角形ABC的内心\n\n[\n开始方程组\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\n结束方程组\n\\]\n\n同理，\n内心\n可得\n\\angle A=\\angle C\n\n因此，\\\angle A=\\angle B=\\angle C\\n因此, 三角形ABC为正三角形。'

'从高20米的建筑物顶部边缘向下看，与水平面的夹角为32°。求该点与建筑物的距离。另外，求该点与建筑物顶部边缘的距离。四舍五入到小数第二位。'

'利用周角定理，推导出每个三角形的内角，使用余弦定理和正弦定理。'

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'在∆ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，∠A及其外角的角平分线交BC于点D、E，则求线段DE的长度。'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'在三角形ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°。在边AC上，找到满足∠ABD=∠CBD的点D。\n(1) 求∠BDC的度数。\n(2) 求边BC的长度。\n(3) 求cos 36°的值。'

'在三角形ABC中，點D、E分别是边BC、AC的中点。另外，设AD与BE的交点为F，线段AF的中点为G，CG与BE的交点为H。(1)若BE=6，求线段FE、FH的长度。(2)求三角形EHC:三角形ABC的面积比。'

' 内心……三角形内角的角平分线的交点\n角的平分线\n点P在∠ABC上 P在2条直线的角平分线上 ⇔ BA, BC上到P的距离相等-换句话说 ∠ABC的平分线就是 从BA, BC到等距离的点的集合。'

"在外切于点A的两个圆O、O'。如图所示，圆O'上点B处的切线与圆O相交于两点C、D，则AB等分∠CAD的外角的证明。"

'在右边的图中，假设斜边的长度均为1。求剩余边长，并填写上。然后验证正弦，余弦，以及正切值对于 30 度，45 度，60 度。'

'求三角形的另一条边长和已知两条边及一角'

'在△ABC中，外接圆的半径为R。求以下值：(1) 当a=10、A=30°、B=45°时，求C、b、R。(2) 当b=3、B=60°、C=75°时，求A、a、R。(3) 当c=2、R=√2时，求C。'

'在△ABC中，外接圆的半径为R。求下列值。'

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'在三角形ABC中，将边BC分成3:2的比例点称为D，将边AB分成4:1的比例点称为E。将线段AD和CE的交点称为P，将直线BP与边CA的交点称为F。'

'周角定理\n一个弧对应的周角大小是固定的，等于与该弧对应的中心角的一半。也就是说，在右图中，$\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ 特别地，当 $\\mathrm{AB}$ 是直径时，$\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\n周角定理的逆定理\n对于4点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$，如果点 $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ 在直线 $\\mathrm{AB}$ 的同侧\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\n那么4点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ 在同一个圆周上。'

'第 6 章 三 角 比- 115 TR 121'

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"有三个相似的直角三角形ABC和A'B'C'。由于对应边的长度比相等，所以关于比例有以下3个等式。让我们考虑这3个比例。(1) BC/AB = B'C'/A'B'。(2) AC/AB = A'C'/A'B'。(3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'第3章 几何图形的属性——195\n(2) 点E是边AC的中点，因此三角形ABC=2三角形EBC\n又，BF:FE=2:1，所以BE:FE=3:1\n\n\三角形EBC=3三角形EFC\\]\n另外,FH:HE=2:1,所以FE:HE=3:1,因此三角形EFC=3 三角形EHC\n因此\n\\[\egin{aligned}\n三角形ABC & =2 三角形EBC=2 \\cdot 3 三角形EFC \\\\\n& =6 三角形EFC=6 \\cdot 3 三角形EHC \\\\\n& =18 三角形EHC\n\\end{aligned}\\n所以 三角形EHC: 三角形ABC=1:18\n—因为它们有相同的高度\n\ 三角形ABC: 三角形EBC=AC:EC \\n\ 三角形EBC: 三角形EFC=BE:FE \\n\ 三角形EFC: 三角形EHC=FE:HE \'

'在右图中，假设∠A = α，∠B = β。 求α，β的正弦，余弦和正切值。'

'（1）如图所示，对于正五边形和点A、B、H，当∠AOB = 360° / 5 = 72°，r = 10，θ = 1/2 × 72° = 36°时，根据上一题的结果，边长为\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756，四舍五入得AB = 11.8。垂线长度为OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090，四舍五入得OH = 8.1。'

'在三角形ABC中，求以下内容。其中，三角形ABC的面积记为S。 76 (1) 当A=120°, c=8, S=14√3时，求a, b (2) 当b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5时，求sinA, a (3) 当a=13, b=14, c=15时，设从顶点A到对边BC的垂线长度为h，求S, h'

'证明三条不同的直线 x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 在一个点相交时，三个点 (1,1), (4,5), (a,b) 在同一条直线上。'

'求点P，其到点A(0,0)和点B(5,0)的距离比为2:3的轨迹。'

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'当三角形ABC为等腰三角形时，求a的值。'

'(1) 由于两条直线的斜率相等，所以这两条直线是平行的。\n(2) 从 y=2x+4，y=-\\frac{1}{2}x+3 可得到两条直线的斜率为 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1，因此，两条直线是垂直的。'

'弧度是指（）。'

'求满足以下条件的点P的轨迹：(1) 到点A(-4,0)和B(4,0)的距离平方和为36的点P (2) 到点A(0,0)和B(9,0)的距离比为PA:PB=2:1的点P (3) 以点A(3,0)，B(-1,0)为端点，且使三角形PAB的PA:PB=3:1变化的点P'

'当点P位于直线x+y=5上时，求折线AP+PB的最小长度的点P的坐标。'

"2直线(a)x+(b)y+c=0 ...(1)和(a')x+(b')y+c'=0 ...(2)的交点坐标可以通过联立方程(1)、(2)的解得到"

'当点P满足AP:BP = 2:3的条件，并且线段AB连接了A（0，0）和B（5，0）时，求点P的轨迹。'

'对于图形 A_{n+1}，请注意最右侧的列。将瓷砖水平放置在右下角会导致三种配置方式，如图3所示，剩余部分与 A_{n} 相匹配，或者如图4所示，会导致两种配置方式，剩余部分与 B_{n} 相匹配。'

'求2条直线的夹角（1）求直线y=3x+1和y=1/2x+2的夹角θ（0<θ<π/2）。（2）求直线y=2x-1与π/4的角度的直线的斜率。'

'角α是（2）0 <α <π/2，表示角α的半径与表示6α的半径相等。求角α的大小。'

'已知3个点A（6,1）、B（2,3）、C（a,b）组成的三角形ABC是正三角形时，求a和b的值。'

'证明当三角形ABC上的边BC, CA, AB上分别取点D, E, F, 使得BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37时, 三角形DEF的重心和三角形ABC的重心是相等的。'

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'关于对称点的直线'

'证明在三角形ABC中，将边BC三等分得到点P、Q，使得BP=PQ=QC。证明成立以下关系式：$$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'在三角形ABC中，已知AB=15，BC=18，AC=12，求顶角A的角平分线与边BC的交点D。求线段BD和AD的长度。'

'请说明正弦定理和余弦定理，并解答一个示例问题。'

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'通过正弦定理和余弦定理'

'请解释当两条直线平行时的同位角关系。'

'已知 c=√6，求三角形的各角度。使用余弦定理得出的结果是 A=75°，C=60°。'

'从顶点 O 向三角形 DEG 垂线下降，得到 I 是三角形 DEG 的外接圆心。由于 GI 是三角形 DEG 外接圆的半径，根据正弦定理可知 GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \，因此，OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \，请进行以下计算。'

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'练习 在与某个塔相同高度的点A处，测得从塔顶的仰角为30度。另外，点A到点B（AB=114m）的距离为114米，并且角KAB为75度，角KBA为60度。这时，AK的距离为x米，塔的高度为y米。'

'在内切于圆上的四边形ABCD中，AD // BC，AB=3，BC=5，∠ABC=60度，求以下各项：\n(1) AC的长度\n(2) CD的长度\n(3) AD的长度\n(4) 四边形ABCD的面积'

'根据正弦定理，\ \\frac{a}{\\sin A}=2 R \，因此\ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \，所以\ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'在三角形ABC中，当a=√2，b=2，A=30°时，求c、B、C。与基本例题154类似，已知三角形的边和角，但给出了2边和1对角时，有时三角形无法唯一确定。首先，用余弦定理建立关于c的方程式。在此过程中，c会有两个值，因此分别求解B、C。有关使用正弦定理的另一种解法，请参考右页的讨论。'

'在△ABC中，将边BC的中点记为M。'

'正弦定理\n\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ 外接圆半径为 \ R \ ，则\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'在长为6的线段AB上，取两点C和D，使得AC=BD。并且限定0<AC<3。求由线段AC，CD，DB为直径的三个圆的面积之和S的最小值及此时线段AC的长度。'

'从海面某处到站在悬崖上高30米的灯塔顶端的仰角为60度，从同一位置到灯塔底端的仰角为30度时，求悬崖的高度。'

'三角形ABC的面积为12√6，其边长比为AB:BC:CA=5:6:7。那么，sin∠ABC的值为多少，记为，三角形ABC的内切圆半径为多少，记为。'

'如图所示，从相距100米的A、B两点观测到隔河相对岸的P、Q两点，得到以下数值：∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°。在此情况下，请回答以下问题。'

'顶点 B, E, G 都位于球面 S 上，且 BG 是球 S 的直径，因此三角形 EBG 是直角三角形，其中∠BEG = 90°。从 EG = 1 开始进行以下计算。'

'在三角形ABC中, 如果∠A = 60°, AB = 7, AC = 5, 则∠A的平分线与边BC相交于点D。求AD的长度。'

'从海面某处到悬崖顶部高度为 30 米的灯塔的顶端仰角为 60 度时，从同一处到灯塔底端的仰角为 30 度时，求悬崖高度。'

'请列举三角形全等的三个条件。'

'求成立三角形的条件。'

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'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} 或者 c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'一个高度为1.5米的人站在平地上，为了知道一棵树的高度，从树前的A点测量树顶的仰角为30°，在离树10米的地方B点测量仰角为45°。请计算树的高度。'

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'太阳和月球之间的距离比率'

'在三角形ABC中，当a=1+√3、b=2、C=60°时，求：\n(1) 边AB的长度\n(2) ∠B的大小\n(3) △ABC的面积\n(4) 外接圆的半径\n(5) 内切圆的半径'

'古希腊时期, 三角比的研究随着天文学的发展而推进。古希腊天文学家亚里士多德用以下关系式来寻求太阳和月亮之间的大致距离比率。'

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'考虑一个综合三角形ABC，最大边为BC，最小边为AB，AB=c，BC=a，CA=b（a≥b≥c）。记三角形ABC的面积为S。'

'将给定的问题翻译成多种语言。'

'正弦定理和余弦定理'

'当m>0，n>0时，点P位于线段AB上，AP: PB=m: n成立时，点P被称为线段AB的m内分点 [详见数学A]。取AB=k，表示其余边长为k。利用内切圆四边形的对角线所成的三角形的相似性。'

'在三角形ABC中，用S表示面积。求以下内容。其中题目（2）中的三角形不是钝角三角形。'

'分别将三角形AID，BEF和CGH的面积记为T1，T2和T3。 在这种情况下，以下哪个选项适合于S?'

'在三角形ABC中，外接圆的半径为R。当A=30°，B=105°，a=5时，请求出R和c的值。'

'请证明三角形ABC中的等式成立'

'在内切圆上的四边形ABCD中，DA=2AB, ∠BAD=120°，（1）BD= AB的根号3倍，AE= AB倍，（3）AB:BC:CD:DA=1:根号3:2，（4）圆的半径为1，AB= 根号3，ABCD的面积S为S=3。'

'如右图所示，在三角形ABC外部，画正方形ADEB、BFGC和CHIA，将边AB、BC和CA视为各自的一边，然后连接点E和F，G和H，I和D形成的图形。'

'求出这条铁路线的坡度。铁路线的坡度为18%，水平方向前进1000米时，海拔高度增加18米。请使用三角函数求出坡度角θ。'

'两条直线的夹角'

'124基础三角形的最大角'

'请解释正弦定理和余弦定理的区别。'

'\ 2 \\sin \\theta = \\sqrt{2} \可得 \ \\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \，在半径为1的半圆周上，当 \ y \ 坐标为 \ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \ 时，得到点 \ \\mathrm{P} \ 和 \ \\mathrm{Q} \。所以所求的 \ \\theta \ 是 \ \\angle \\mathrm{AOP} \ 和 \ \\angle \\mathrm{AOQ} \。'

'图形和测量\n157\nEX 394\n（1）利用右图，求解 \ \\sin 18^{\\circ} \ 的值。 （2）利用右图，求解 \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \, \\ \\tan 22.5^{\\circ} \\) 的值。\n提示：要求特殊角的三角比值，可以构建一个含有该角的直角三角形。'

'218 基本例题 136 三角形与外接圆・内切圆的半径\n在△ABC中，若AB=6，BC=7，CA=5，则求外接圆的半径R，内切圆的半径r。'

'在三角形ABD中，根据正弦定理，BD/sin120° = 2 × 1，因此BD = 2 sin120° = √3。另一方面，BD = √7 × AB，因此√7AB = √3，所以AB = √3/√7 = √21/7。因此S = 三角形ABD + 三角形CBD = 1/2 × k × 2k sin120° + 1/2 × 3k × 2k sin(180°-120°) = √3/2 × k² + 3√3/2 ×k² = 2√3 k² = 2√3 AB² = 2√3 (√3/√7)² = 7√3/7，外接圆的半径R = 1，角BCD = 180°-角BAD = 180°-120° = 60°，内切四边形的对角之和等于180°。'

'三角函数的基础'

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'数学 I'

'证明当将三角形ABC的角A、角B、角C表示为A、B、C时，等式cos(A+B)/2 = sin(C/2)成立。'

'在应用正弦定理和余弦定理中应该选择哪一个？'

'在三角形ABC中，外接圆的半径为R。若A=30°，B=105°，a=5，则求R和c的值。'

'给定三角形ABC中的AB=6，BC=4，CA=5，角B的角平分线与边AC相交于点D。求线段BD的长度。'

'在三角形ABC中，AB = 3，AC = 2，∠BAC = 60°。设角A的角平分线与BC的交点为D，求线段AD的长度。'

'126平面測量問題（1）（1）（0）100米遠的兩個地點A，B從河的兩岸的地點P，Q測量得到了像圖中這樣的值。 （1）求A，P之間的距離。 （2）求P，Q之間的距離。基本107,120,121 距離和方向（線段和角度）可以視為三角形的邊和角度 圖中的哪個三角形值得關注，考慮何時應用正弦定理或余弦定理。'

'在三角形ABC中，若sin A：sin B：sin C=3：5：7，则求cos A：cos B：cos C的比值。'

'基本例题133 三角形内角的两等分线长度（2）'

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'基本例题 106 直角三角形和三角比\n在如图的三角形ABC中，求以下内容：\n(1) sinθ，cosθ，tanθ的值\n(2) 线段AD，CD的长度'

'(2) 在三角形ABC中，根据余弦定理'

'从相隔50米远的A、B两点测量到了隔着河流的对岸P、Q两点，得到了如图中所示的值。请计算出P和Q之间的距离。'

'在三角形ABC中，如果成立7/sin A=5/sin B=3/sin C，则求(1)三角形ABC中最大角的大小。'

'三角形内角的角平分线长度'

'顶角A为36度，BC=1的等腰三角形ABC已知。设这个三角形的底角C的角分线与边AB的交点为D。\n(1) 求线段DB和AC的长度。\n(2) 求线段DB和AC的长度。利用(1)的结果，求cos 36度的值。\n[题目来自神户学院大学]\n基本 106'

'示例题140 三角形的最小面积\n一条边长为2的正三角形ABC，点D在边AB上，点E在边CA上，使得AD=CE。将四边形DBCE的面积记为S。\n(1) 求DE边长的最小值及此时AD边长。\n(2) 求S的最小值及此时AD边长。\n依据 66, 121, 131'

'在边 BC 上取点 E，使得 AB // DE，则四边形 ABEF 是平行四边形。'

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'使用正弦定理求解三角形ABC的最大角。 给定条件如下：sin A：sin B：sin C = 5：16：19。'

'表达道路或铁路坡度的词汇中有一个词叫做“坡度”。使用“三角比表”来回答以下问题。'

'(1) 在三角形ABC中，若∠A的平分线与边BC相交于点D，则证明BD:DC=AB:AC。'

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'在以下每种情况下，找出 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ 的剩余边长和角度：(1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'

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'在点AB内部将△ABC的边AB分成1：2，点D，在点AC内部将边AC分成2：1，点E，在边BC内部以t:(1-t)分割，点F。其中，t是一个满足0<t<1的实数。'

'在四面体ABCD中，将边AB、CB、CD、AD分别内分为t:(1-t) [0<t<1]的比例，得到点P、Q、R、S。'

'在TR坐标平面上，当长度为6的线段AB的两端A，B分别沿着y轴，x轴移动时，求分割线段AB比例为3:1的点P的轨迹。'

'请解释以下曲线。\n(1) 将椭圆 $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ 平行移动到 $x$ 轴方向2个单位，$y$ 轴方向-3个单位的椭圆；中心为点(2,-3)；焦点为两点(2+√5,-3),(2-√5,-3)\n(2) 将双曲线 $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{25}=1$ 平行移动到 $x$ 轴方向-2个单位，$y$ 轴方向-3个单位的双曲线；顶点为两点(0,-3),(-4,-3)；焦点为两点(√29-2,-3),(-√29-2,-3)；渐近线为两直线$5x+2y+16=0$，$5x-2y+4=0$\n(3) 将抛物线$y^{2}=4x$平行移动到$x$轴方向-2个单位，$y$轴方向1个单位的抛物线；顶点为点(-2,1)，焦点为点(-1,1)；准线为直线$x=-3$'

'极坐标和极坐标方程'

'(4) 在坐标平面上，曲线由极坐标方程 $r=2 \\cos \\theta$ 表示为 $C$， $C$ 上的极坐标为 $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right),(2,0)$ 的点分别为 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$。又设通过 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$ 的直线为 $\\ell$，以 $A$ 为中心，以线段 $\\mathrm{AB}$ 为半径的圆为 $D$。\n(1) 求直线 $\\ell$ 的极坐标方程。\n(2) 求圆 $D$ 的极坐标方程。'

'证明平行六面体ABCD-EFGH中，对角线AG和BH的中点重合。'

'点到直线距离的比值为常数的点的轨迹'

'在三角形OAB中，边AB在2:1处内分点为D，关于直线OA对称于点D的点为E。从点B向直线OA垂降的垂线与直线OA的交点为F。设向量OA为a，向量OB为b，且|a|=4，a⋅b=6。'

'以边BC的中点为中心，通过点A的圆。'

'(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ 应平行于平面 QTV。'

'数学C 练习 108 点 Q 在线段 OP 的直径上，所以 ∠OQP=π/2 PQ=1 所以 △OPQ=1/2 OQ・PQ=1/2 OQ 因此，只需要考虑线段 OQ 的最大长度。然而，点 Q 在有y轴为长轴的椭圆上，线段OQ的长度随着s单调递减，且 0 ≤ a ≤ s 所以，当 a=0 即点 P 在y轴上时，线段OQ 的长度最大。'

'尝试使用复数平面证明以下图形的性质。\n对于四边形ABCD\n（1）AB·CD+AD·BC≥AC·BD成立。\n（2）当四边形ABCD内切于圆时，等号成立于（1）。'

'关于两个平面α：x-2y+z = 7，β：x+y-2z = 14'

'利用复数平面证明以下定理：(1) 三角形ABC的边AB、AC的中点分别为D、E时，BC // DE，BC=2DE（中点连线定理）。(2) 在三角形ABC中，边BC的中点为M时，等式AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)成立（中线定理）。'

'空间中有四个不在同一平面上的点O、A、B、C。让s、t为满足0<s<1,0<t<1的实数。在OA线段上1:1的比例内分点为A0，在OB线段上1:2的比例内分点为B0，在AC线段上s:(1-s)的比例内分点为P，在BC线段上t:(1-t)的比例内分点为Q。进一步假设A0、B0、P、Q四点在同一平面上。(1) 用s表示t。(2) |OA|=1,|OB|=|OC|=2,∠AOB=120°,∠BOC=90°,∠COA=60°,∠POQ=90°时，求s的值。'

'例题 36 折线的最小长度（空间）\n在坐标空间中，点 A(1,0,2)，B(0,1,1)。\n(1) 当点 P 在 xy 平面上移动时，求 AP+PB 的最小值。\n(2) 当点 Q 在 x 轴上移动时，求 AQ+QB 的最小值。'

'在平行四边形ABCD中，点AB被分为3:2的比例为E，点BC被分为1:2的比例为F，CD的中点为M。将线段CE和线段FM的交点命名为P，直线AP和对角线BD的交点命名为Q。如果向量AB表示为a，向量AD表示为b，请用a和b表示向量(1)AP和(2)AQ。'

'例23 三角形的重心，外心和垂心的位置关系\n设∆ABC的重心为G，外心为E，证明以下内容：\n[山梨大]\n1. 向量GA+向量GB+向量GC=向量0\n2. 向量EA+向量EB+向量EC=向量EH，取点H使H为∆ABC的垂心。\n3. 三点E、G、H共线且EG:GH=1:2'

'当通过三角形ABC的重心G的直线与边AB，AC相交时，它们的交点分别为25D，E。其中，点D与点A、B不同，点E与点A、C不同。证明，当这种情况发生时，有DB/AD + EC/AE = 1。'

'例如 106 节 圆和椭圆的伸缩'

'求点R的坐标，它与点O(0,0,0)，F(0,2,0)，G(-1,1,2)，H(0,1,3)等距离。'

'求直线与起始线形成的角为α的极坐标方程。'

'132例：利用参数表示求椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的最小面积'

'证明当三角形ABC为等腰三角形且AB=BC时的条件。'

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'(3) 线段AP通过并形成的图形是右图中黑色部分，包括边界线。这里，G，H是从点A到圆K引出的两条切线与圆的交点。cos∠AEH=EH/AE=a/2a=1/2，0<∠AEH<π，因此∠AEH=π/3。另外，∠AEH=∠AEG，所以∠GEH=2/3π，因此，线段AP通过并形成的图形的面积S为S=2△AEH+(圆K的面积)-(扇形EGH的面积)=2*(1/2)*a*sqrt(3)a+πa^2-(1/2)a^2*(2/3)π=sqrt(3)a^2+(2/3)πa^2。'

'这两条切线都经过点 P(x_{0}, y_{0})'

'点P(x1, y1)处的切线方程为（x1 > a）：(x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1，另外有 x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1。当 x=a 时，y1 ≠ 0，所以 y = b^2(x1 - a)/(a y1)。当 x=-a 时，y1 ≠ 0，所以 y = -b^2(x1 + a)/(a y1)。因此，Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1))，R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1))。因此，以线段QR为直径的圆C1的中心是(0, -b^2/y1)，半径为 r，则 r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2)，所以圆C1的方程是 x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2)。'

'由 $\\mathrm{FP}: \\mathrm{PH}=e: 1$，$\\mathrm{FP}^{2}=e^{2} \\mathrm{PH}^{2}$，所以'

'在三角形ABC中，将边AB分成2：1的比例在点L处内分，将边AC的中点记为M。又设线段CL与BM的交点为P，直线AP与边BC的交点为N。用向量AP和AN以向量AB和AC表示。进一步求解AP：AN。'

'求点Q的极坐标。'

'如果四边形ABDC是平行四边形，从向量AB = CD中找到a，b，c的值。'

'求两条直线所成锐角。'

'(1) 在三角形ABC中，若AB=8，BC=7，CA=5，则内心为I，求向量AI的分解。'

'以O为中心，半径为5的圆周上点Q运动，而以Q为中心，半径为1的圆周上点P也在运动。在时刻t，设与x轴正向的角分别为t和15t。设OP与x轴正向的角为ω，请求dω/dt。'

'在边长为2的正四面体ABCD中，求AB向量与AC向量的点积。'

'求由顶点为A（20,24）、B（-4，-3）、C（10，4）的三角形ABC，使边BC被点P内分为2:5，且面积被平分的直线方程。'

'内分点・外分点\n将线段AB按照m:n分割的点的坐标\n内分点⋯⋯( (nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n) )\n外分点⋯⋯( (-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n) )'

'在坐标平面上, 抛物线 C₁: y=-p(x-1)²+q 和抛物线 C₂: y=2x² 在点 (t, 2t²) 处接触同一直线。其中 p, q 为正实数, t 在 0 < t < 1 范围内。'

'求点P与点A(3,3)、B(-4,4)和C(-1,5)等距离的坐标。'

'对给定的文本进行多种语言翻译。'

'从点A（3，-4）、B（8，6）等距离的y轴上的点P的坐标。'

'给出的一个问题是什么意思?'

'(2) 在三角形ABC中，称边BC在1:3的比例点为D。证明等式3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2}成立。'

'对于平面上原点 O 之外的点 P(x, y)，令点 Q 满足以下条件：(A) Q 在以 O 为起点的射线 OP 上。(B) 线段 OP 的长度与线段 OQ 的长度的乘积为1。(1) 用 x, y 表示 Q 的坐标。(2) 当 P 在圆 (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2 上除原点外移动时，求 Q 的轨迹。(3) 当 P 在圆 (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4 上移动时，求 Q 的轨迹。'

'从点A（3,3）、B（-4,4）和C（-1,5）到与等距离的点P的坐标。'

'在以平面上点 O 为中心，半径为 1 的圆周上，存在三个不同的点 A、B、C。证明三角形 ABC 的内切圆半径 r 不超过 1/2。'

'在数学的xy平面上，以原点O为起点的半直线上有两点P，Q，满足OP · OQ = 4。当点P沿着除原点之外的曲线(x-2)²+(y-3)²=13，(x, y)≠(0,0)移动时，请求点Q的轨迹。'

'求出到点A（-4,0）和点B（2,0）距离比为2:1的点的轨迹。'

'请绘制以下角的半径。并指出它们位于第几象限。'

'角α是0<α<π/2，表示α的半径与表示6α的半径相同。求α的大小。'

'(5) 寻找在固定角度α处看到定点A、B的轨迹。'

'在三角形ABC中，将边BC，CA，AB的长度分别记为a，b，c。如果三角形ABC内切于半径为1的圆，并且∠A = π/3，则求a+b+c的最大值。'

'切开圆柱体形成的图形中出现的正弦曲线'

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'将给定文本翻译成多种语言。'

'证明在三角形ABC中，角A，角B的大小分别为α，β，并且它们对应的边长分别为a，b。当0<α<β<π时，不等式b^2/a^2 < (1-cosβ)/(1-cosα) < β^2/α^2成立。'

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'考虑数学III\n此外，考虑𝑡值为解时的圆锥曲线。证明其为双曲线或椭圆，并求焦点坐标。'

'请根据图表式编辑方针解决以下问题：\n2. 求直角三角形斜边的长度。（使用勾股定理）\n问题：求直角三角形的斜边，当直角边长分别为3厘米和4厘米时。'

'将给定的问题翻译成多种语言。'

'将点 P(X, Y)绕原点 O 旋转角度θ 得到点Q(x, y)，用 x, y, θ 分别表示 X, Y。'

'关于极坐标，求下列圆和直线的极坐标方程。请注意，a>0。'

'设四点A、B、C、D的极坐标分别为(r₁, θ+π/6)、(r₂, θ)、(r₃, θ)、(r₄, θ+π/3)。△ABC是AB=AC的等腰三角形，△DBC是DB=DC的等腰三角形。'

'对于边长为2，$\\cos A=\\frac{7}{9}$ 的 $\\triangle ABC$，设边 $AB$ 的长度为 $x(0<x<1)$，$\\triangle ABC$ 的面积为 $S$。[类爱知教育大]。(1)用 $x$ 的表达式表示 $S$。(2)求 $S$ 的最大值。并求得此时 $\\triangle ABC$ 的三边长度。'

'请说明不同的四点A（α）、B（β）、C（γ）、D（δ）的情况，其中AB和CD垂直。'

'在AD // BC的等腰梯形ABCD中，AB=2厘米，BC=4厘米，∠B=60°。如果∠B增加1°，梯形ABCD的面积S会增加多少？假定π=3.14。'

'在极坐标中，通过点A（3，π）且垂直于始线的直线g。请找出从极点O和直线g的距离比等于给定值的点P的极坐标方程。'

'通过极点O，求与初始线和α夹角的直线的极坐标方程。'

'四边形内切于圆的条件'

'在复平面上，设三个点O(0)、A(α)、B(β)组成三角形OAB，若∠AOB=π/6，且OA/OB=1/√3，则满足 α^(2)-1 α β+β^(2)=0。'

'已知三角形ABC的顶点为A(-1), B(1), C(√3i)组成等边三角形，且三角形PQR的顶点为P(α), Q(β), R(γ)组成等边三角形。证明方程α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0成立。'

'确定a的值，使直线AB和AC垂直。'

'当如右图所示,当OP1=1,并且P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2，…继续无限推进时，点P1、P2、P3,...将无限接近什么点。'

'在三角形OAB中，将边AB内分为2:1的点记为D，关于直线OA对称于点D的点记为E，从点B向直线OA作垂线交OA于点F。设向量OA=a，向量OB=b，且|a|=4，a∙b=6。(1)用向量a表示向量OF。(2)用向量a，b表示向量OE。'

'在平面上，OA=8，OB=7，AB=9构成三角形OAB和点P，并表示为OP=sOA+tOB（s，t为实数）。'

'证明点A，B和C满足AB ⊥ AC。'

'对于平面上的点存在范围ΔOAB，若\ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \，则点P的存在范围是'

'当线段AB的长度为8，端点A在x轴上，端点B在y轴上移动时，求线段AB被3：5内分点P的轨迹。'

'(2) 在正六边形ABCDEF中，用向量FB表示向量AB和向量AC。'

'在平面上有一个边长为1的正五边形，其顶点依次为A、B、C、D、E。回答以下问题：\n(1) 证明边BC与线段AD平行。\n(2) 将线段AC与线段BD的交点记为F。四边形AFDE是什么形状，给出名称和理由。\n(3) 求线段AF与线段CF的长度比。\n(4) 若向量AB=a，向量BC=b，则用向量a和b表示向量CD。'

'求点 A 的极坐标为 (3, π/4)、点 B 的极坐标为 (4, 3π/4) 时，点 A、B 之间的距离。'

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'在边长为 a 的正三角形 ABC 中, 点 A 垂直于边 BC 到点 P1, 点 P1 垂直于边 AB 到点 Q1, 点 Q1 垂直于边 CA 到点 R1, 点 R1 垂直于边 BC 到点 P2。重复这样的操作, 得到点 P1, P2, ..., Pn 沿边 BC 形成的点序列。求 Pn 逐渐靠近的点。'

''

'在三角形ABC内部有点P。若AP与边BC的交点为Q，则BQ：QC=1:2，且24AP：PQ=3:4。证明4PA+2PB+PC=0成立。'

'假设周长为36的三角形ABC内切圆半径为3。当点Q满足6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0时，请计算三角形QBC的面积。'

'在三角形OAB中, 将边AB内分为2:1的点记为D, 关于直线OA对称于点D的点记为E, 将点B到直线OA的垂线与直线OA的交点记为F。记→OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6。(1) 用向量a表示→OF。(2) 用向量a, b表示→OE。'

'给定四边形ＡＢＣＤ，其中ＡＤ／／ＢＣ，ＢＣ=2ＡＤ。证明 (1) 点Ｐ，Ｑ在直线ＡＢ上。(2) 证明点Ｐ，Ｑ，Ｄ共线。'

'线段AC的内分点为Q按比例1:2，线段BC的内分点为P按比例m:n（m>0，n>0），线段AP与线段BQ的交点为R。过点R的直线分别与边AB、AC交于点D、E。并且，向量b=→AB，向量c=→AC。\n（1）用m、n、向量b、向量c表示向量AR。\n（2）令k=AB/AD+AC/AE。展示k是一个与点D在线段AB上的位置无关的常数，找出使k恒定的m和n的关系，并求出此时的k。'

'证明三角形OAB的内心P(z)满足等式z=|β|α+|α|β/|α|+|β|+|β-α|。'

'通过极O，并找出与初始线成α角的直线的极坐标方程。'

'当点 z 在以下图形上移动时，用 w=(-√3+i) z+1+i 表示的点 w 绘制了怎样的图形？(1) 以点 -1+√3i 为圆心、半径为1/2的圆 (2) 连接2点2,1+√3i的垂直平分线'

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'在四边形ABCD中，AD // BC且BC = 2AD。当点P和Q满足以下条件时，回答以下问题。'

'证明以O（0）、A（α）、B（β）为顶点的三角形OAB的内心为P（z）。此时，z满足等式z =（|β|α + |α|β）/（|α| + |β| + |β-α|）。'

'在三角形OAB中，将边OA分成2:1的比例得到点C，并将线段BC分成1:2的比例得到点D，令直线OD与边AB相交于点E。用向量OA和向量OB表示以下向量。'

'在平行四边形ABCD中，点E将边AB分成3:2，点F将边BC分成1:2，将边CD的中点记为M。将线段CE和线段FM的交点记为P，并将直线AP与对角线BD的交点记为Q。如果向量AB=a，AD=b，则向量AP和AQ如何用a和b表示？'

'(4) 点 E 和点 F 相等时，由于点 E 是三角形 ABC 的重心，所以直线 AE 经过边 BC 的中点。另外，根据 (2)，AE 垂直于 BC。因此，直线 AE 是边 BC 的垂直平分线。因此，三角形 ABC 是AB = AC的等腰三角形。因此 AB: AC = 1:1'

'(3) 由于 $\\ sqrt {3} \\ cos \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {3} {2}, \\ sqrt {3} \\ sin \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}$, 点A的坐标为$\\ left (\\ frac {3} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} \\ right)$, 因此, OA线的斜率为$\\ frac {1} {\\ sqrt {3}}$, 所以所求直线的斜率为 $- \\ sqrt {3}$。 因此, 方程式是\n$[y- \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} = - \\ sqrt {3} \\ left (x- \\ frac {3} {2} \\ right)]$\n即$\\ sqrt {3} x +y = 2 \\ sqrt {3}$\n通过替换$x = r \\ cos \\ theta,y = r \\ sin \\ theta$\n\n$[\\ sqrt {3} r \\ cos \\ theta + r \\ sin \\ theta = 2 \\ sqrt {3}]$'

'\ \\triangle OAB \中，边线\ OA \内分点为\ C \，比为2:3，边线\ OB \内分点为\ D \，比为4:5。设线段\AD\与\BC\的交点为\P\，直线\OP\与边线\AB\的交点为\Q\。若\\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\，\\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\，求\\\overrightarrow{OP}\和\\\overrightarrow{OQ}\分别用\\\vec{a}\和\\\vec{b}\表示。[類 近畿大]'

'设 \ a>0 \。考虑由极方程 \\( r=a(1+\\cos \\theta)(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) 表示的曲线 \ K \（心脏型，卡迈尔3149 D），回答以下问题。'

'当通过三角形ABC的重心G的直线与边AB、AC相交时，它们的交点分别为25D、E。其中点D与A、B两点不同，点E与A、C两点不同。证明当这种情况发生时，有DB/AD + EC/AE = 1。'

'关于平面PQR和边OD，请提供以下信息。 当q=1/4时，平面PQR是？当q=1/5时，平面PQR是？当q=1/6时，平面PQR是？'

'（1）证明：在四面体OABC中，对于满足0<t<1的t，将边OB、OC、AB、AC分别内分为43t：(1-t)的比例，得到点K、L、M、N。证明四边形KLNM是平行四边形。'

'内积的分量表示'

'求解(1)对y的渐近线，得到y = ±(b/a)√(x² - a²)，因此y = ±(b/a)x√(1 - a²/x²)。当x趋于无穷大时，y趋于±(b/a)x。当x为负且绝对值趋于无穷大时也是如此。因此，直线y = (b/a)x，y = -(b/a)x是双曲线(1)的渐近线(曲线逼近一定直线时的直线)。这些渐近线也是由(x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0表示的双直线。'

'求出表达 AB ∥ CD 的条件。'

'平面与空间的相似点和不同点2'

'找出使四边形PQSR成为平行四边形的条件。'

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'在平面上考虑边长为1的等边三角形ABC。对于点P，向量v(P)定义为v(P)=→PA−3→PB+2→PC。'

'以下 4-7 题是关于椭圆的基本知识。'

'假设三角形ABC的面积为S'

'假设在复数平面上，A(0)，B(β)，C(γ)，求复数表示的点E，G。'

'关于点A(1,2), B(2,3), C(-1,2)，求通过点A且垂直于BC的直线方程。求线段x-2y+3=0和6x-2y-5=0所成锐角α。'

"随着 k 从 1 到 2 的变化，线段 A'B' 平行地移动从右图的线段 AB 到 CD。"

'在如右图所示的梯形ABCD中，AD=a，BC=b。在AB上取E为m的内分点，连接E与CD的交点为F，则有EF=(na+mb)/(m+n)。'

'将给定的圆 x^2+y^2=4 缩小或放大后，会得到什么曲线？\n（1）沿着 x 轴缩小到原来的一半\n（2）沿着 y 轴放大到原来的三倍'

'设三角形ABC的重心为O。通过点O并且不通过顶点A的直线l与边AB、AC分别在点P、Q相交。将三角形ABC的面积记为S，三角形APQ的面积记为T。求直线l的方程，使得T/S达到最小值，并求出T/S的最小值。'

'(1) 以线段AB的内分点为中心，半径为1的圆\n(2) 以边BC的外分点为D，以线段AD为直径的圆'

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'在直角三角形AB0C0内部，AB0B1C1D1，B1C2D2等无限个正方形被构建。第n个正方形Bn-1BnCnDn的边长为an，面积为Sn，对于每个大于1的自然数k，满足ak=ralpha(k-1)。其中a0=1。'

'证明在梯形ABCD中，AD // BC且AD：BC = 1：2。'

'边长为 1 的等边三角形 OAB 上有点 P 和 Q。求三角形 OPQ 的面积恰好是三角形 OAB 面积的一半时，求PQ的长度范围。'

'求点Q的坐标，分割线段AB为m:n。'

'在正六边形 $\\mathrm{ABCDEF}$ 中，用 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 表示 $\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}$。'

'问题62\n(1) 求线段BC被内分成5:4的点D，以及线段AD被内分成2:1的点E分别是哪些点。\n(2) 求V_{1}: V_{2}的比值。'

'(1) BA=BC的直角等腰三角形\n(2) 正三角形\n(3) ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2的直角三角形'

'在复数平面中，将代表点的z1，z2，z3，z4，z5分别表示为A，B，C，D，E。对于以下（0）～（5），正确的是（E）。 （0）△ABC是等边三角形。 （1）△BCD是等边三角形。 （2）△OCE是直角三角形。 （3）△BCE是直角三角形。 （4）四边形ABDC是平行四边形。 （5）四边形AOEC是平行四边形。'

'利用复数平面证明以下定理：(1) 三角形ABC中AB, AC的中点分别为D, E时, BC // DE, BC = 2DE(中点连接定理)。(2) 在三角形ABC中, 以BC的中点为M时, 方程式AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)成立(中线定理)。'

'证明在等腰三角形ABC中，取底边BC上点D，画出三角形ABC的外接圆弦ADE。这时，AB的平方等于AD乘以AE。'

'238'

'通过相似法绘制类似64'

'(2) 在三角形$ABC$中, 点$D$在边$BC$的延长线上, 点$E$和$F$分别在边$AC$和$AB$上, 满足以下条件: $\\frac{BD}{DC}=\\frac{AB}{AC} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{CE}{EA}=\\frac{BC}{BA} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{AF}{FB}=\\frac{AC}{BC} \\cdots \\cdots$'

'第51题|三角形的边与角大小\n在三角形ABC中，边BC的中点为M，角A的角平分线与边BC的交点为D。\n证明以下情况(1),(2)：\n(1) AB > BD\n(2) 当AB > AC时，∠BAM < ∠CAM'

"练习44：在本册第340页AB和PQ的交点为R，PQ和CD的交点为R'。由于AD//BC，所以PR:RQ=AP:BQ，PR':R'Q=PD:QC，AP:PD=BQ:QC=m:n。AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC，PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC。因此，AP:BQ=PD:QC。"

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'勾股定理及其逆定理：在三角形ABC中，如果BC=a，CA=b，AB=c，则当∠C=90°时，有a²+b²=c²。'

'重要例题102 三角形的形状'

'在三角形ABC中，根据余弦定理，cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}。 由(1)得，AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90，因为AD> 0，所以AD = 3 \\sqrt{10}。设∠ADB = θ。在三角形ABD中，根据余弦定理，AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cos θ。又，BD：CD = 2:3，所以CD = \\frac{3}{2}BD。在三角形ADC中，根据余弦定理，AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ。因此，6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2。'

'请说明并证明三角形的相似条件。'

'\ \\triangle ABC \中，若在边\ AB \、\ AC \上或其延长线上分别存在点\ P \、\ Q \，则有以下性质： \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'

'在△ABC中，由于OA=OC，角OCA=角OAC=40°，因此α=180°-2×40°=100°。另外，由于OA=OB，OB=OC，角OAB=角OBA=β，角OBC=角OCB=25°。因此，在△ABC中，2×40°+2×25°+2β=180°，故2β=50°，β=25°。另解：首先求得β，然后根据周角定理得出α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°。'

'假设外接圆的半径为 R，根据正弦定理，得出 6/sin C = 2R，则 R = 8/√7 = 8√7/7。假设内切圆的半径为 r，则 △ABC = r/2(6+4+5)，△ABC = 15√7/4，因此 r = √7/2。'

'练习问题：将三角形ABC的边AB分成1:2的比例，记分点为M，将边BC分成3:2的比例，记分点为N。将线段AN和CM的交点记为O，并将线段BO和边AC的交点记为P。如果三角形AOP的面积为1，求三角形ABC的面积。'

'在图中，求长度 $a, b$ 或角度 $x, y$ 的问题：\\n$i. (1)$ 中 $DE // BC$,\\n$ii. (2)$ 中 $AD // BC, AD=BC$, 且$AE$是$\\angle A$的平分线,\\n$iii. (3)$ 中 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$AD=EC$。'