平面几何 - 基本形状的属性（点，线，角，三角形，四边形，圆）

'求值 k，表示通过原点 (0,0) 的圆。'

'理解1点之间的距离的说明。分别求出原点O和点P(a)之间的距离，点A(a)和点B(b)之间的距离的公式。'

'(1) 方程 $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ 代表什么图形。\n(2) 方程 $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ 表示圆, 确定常数 $p$ 的取值范围。'

'（1）找出直线x+y=1与圆x^{2}+y^{2}=4相交所得弦的中点坐标以及弦的长度。'

'一. 经过 x 轴和 y 轴两点 A(-4,2)，且 (2) 经过点 (3,4)，与 x 轴相切，其圆心位于直线 y=x-1 上。'

'请绘制满足不等式$x^{2}+y^{2}>1$和$|x| + |y| > 1$的区域，并说明它们之间的关系。'

'例29 | 三角形的形状4点A(4,0), B(0,2), C(3,3), D，回答以下问题。'

'在内分点、外分点、重心的坐标中找到第 30 个例子'

'练习 (63=>本册p.137) (2) 点P的坐标为(x, y)，则从AP^2+BP^2=18得到{(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18整理得到x^2+y^2-4y=0，即x^2+(y-2)^2=2^2。因此，满足条件的点位于圆(1)上。反过来，圆(1)上的任意点都满足条件。因此，所求的轨迹是以点(0,2)为圆心、半径为2的圆。'

'连接A（-3），B（6）的线段AB，找出以下点的坐标。'

'将直线BC放在x轴上，将点P放在原点，这样三角形ABC的顶点坐标可以表示为：\nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\n其中，b ≠ 0，c > 0。请验证等式2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²)。'

'什么是直径？'

'求解同时接触x轴和y轴的圆的方程。'

'在抛物线y=x^2上移动的点P和两点A(3,-1)、B(0,2)，求下面点Q、R的轨迹。'

'点(3,4)在直线3x-2y-1=0上，所以所求直线通过点(-7,-11)和(-1,6)。'

'练习（2）抛物线y=x^2和直线y=m(x+2)在不同的两点A，B上相交。当m变化时，求线段AB的中点轨迹。'

'求圆的标准方程式。'

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'当第3章（28 t）取所有实数值时，对于三个点A（t，t^{2}），B（t，t-2），C（t+√3，t^{2}-t-1），回答以下问题：\n（1）证明对于每个实数t，A和B是不同的点。\n（2）找出使三角形ABC成直角三角形的所有t。\n（3）找出使三角形ABC成锐角三角形的t的范围。'

'线段BC的垂直二等分线方程为y-0=-2(x-5)，即y=-2x+10。通过(4)和(5)联立求解可得x=4，y=2。因此，外接圆的中心为点(4, 2)，半径为sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5。因此，所求方程为(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25。'

'圆心为(-2, 3)，半径为3的圆'

'当22个圆的交点，通过圆和直线交点的圆，直线的方程表示为f(x，y)时，当方程f(x，y)=0表示一个曲线（包括直线）时，称此曲线为曲线f(x，y)=0，并称此方程为曲线的方程。'

'找出圆周上点P（4,6）的切线方程。'

'找到不形成三角形的常数k的值。'

'(1)到(3)的结果表明，△PQR的重心G的坐标从$\\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right)$到$\\left(-1, \\frac{5}{3}\\right)$。'

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'已知从点(2,1)向直线kx + y + 1 = 0垂直投影线段长度为√3，求常数k的值。'

'通过直线2x-y-1=0和x+5y-17=0的交点，求与直线4x+3y-6=0平行且垂直的直线方程。'

'在点(-1, 3)和点(3, -1)相交'

'求解以下两点之间的距离。'

'(2) (1) 如图, △AOB 是 ∠AOB = 90° 的直角三角形, 因此通过三点 A, B, O 的圆是以线段 AB 为直径的圆。'

'练习示例 17 通过领域的面积'

'求半径为4、中心角为150°的扇形的弧长和面积。'

'问题(1) 在坐标平面上，当三点A(a, 2)，B(5, 1)，C(-4, 2a)共线时，求常数a的值。'

'（1）与x轴和y轴相切，在点A(-4,2)经过。(2) 经过点(3,4)，与x轴相切，在直线y=x-1上有中心。'

'求点P的坐标。 求线段A（6，-3）和B（1，7）连接的直线上点P（x，y）的坐标。'

'圆 (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5 的外部。包括边界。'

'三角形ABC的重心G的坐标是( x_1+x_2+x_3}{3}, \\frac{y_1+y_2+y_3}{3})'

'数学 II 河 36 冊 p.119\n(1) 半径 r 是以 (-5,4) 和原点之间的距离，因此 r^2=(-5)^2+4^2=41\n因此，所求圆的方程式为 (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) 中心为直径的中点，因此其坐标为 (-3+3)/2, (6+(-2))/2 即 (0,2)\n半径 r 等于中心 (0,2) 和点 A(-3,6) 之间的距离，因此 r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\n因此，所求圆的方程式为 x^2+(y-2)^2=25\n另解 (2) 在圆周上，取不同于 A, B 的点 P(x, y) 则，AP ⊥ BP 所以，当 x ≠ -3, x ≠ 3 时，(y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1 \n因此 (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 即 x^2+(y-2)^2=25 \n该方程式在 x=-3, x=3 时成立，即，点 (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) 均满足，因此为所求圆的方程式。'

'关于普通角，判断下面命题是否正确，并给出理由。\n"不存在大于360度的角度"'

'将半径设为OP。'

'(5) 平行于 y 轴的直线是垂直于 x 轴的。 通过的点的 x 坐标为 5，因此 x=5'

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'重要示例58抛物线和圆的交点\n假设r是正常数。关于抛物线y=x^{2}和圆x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}，回答以下问题。\n(1) 当r=2时，请找出抛物线和圆的所有交点坐标。\n(2) 当r取所有正实数值变化时，调查抛物线和圆的交点数量如何变化。'

'当直线(a-2)x+ay+2=0和x+(a-2)y+1=0平行时，求a的值，并求a的值以使两直线重合或垂直。'

'理解在平面上两点之间的距离公式。找到点O（0；0），A（x_{1}，y_{1}），B（x_{2}，y_{2}）之间的距离公式。'

'求解两圆 \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \：\n(1) 求过两个圆的两个交点的直线方程。\n(2) 求过两个圆的两个交点和点 (1,3) 的圆的圆心和半径。'

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'（1）找到以 (-5,4) 为中心，通过原点的圆的方程。\n（2）找到以点A(-3,6)和点B(3,-2)为直径两端的圆的方程。'

'给定圆, 分别称为 C_1, C_2. (1) 设圆 C_1 上的切点坐标为 (x_1, y_1) 则 x_1^2 + y_1^2 = 9'

'49号重要问题 抛物线上的点和直线的距离\n给定两点A(0,1), B(2,5)和抛物线y=x^{2}+4x+7。在抛物线上移动的点P。\n\n求三角形PAB的面积S的最小值。'

'连接点A(1,-2)和B(-2,1)的线段与抛物线y=x^{2}+ax+b相交于除A、B之外的唯一点时，画出点(a, b)在ab平面上的存在范围。'

'计算平面上两点之间的距离。'

'直线AB的方程是x/a+y/b=1。点P(a, b)和直线AB的距离为d，求d的最大值。'

'格子点的数量'

'假设所求的圆方程为 (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0)。 圆(2) 内切于圆C的条件为 0<r<5 且√((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r，因此 r=5-√4=3。因此，所求方程为 (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'求点 Q 的坐标：\n\n设点 Q 的坐标为 (x, y)。\n(1) 令 OP=r，OP 与 x 轴正向的夹角为 α，则 r cosα=-2，r sinα=3。\n因此，x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π。'

'点的坐标\n设点A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)。\n求两点间的距离。\nAB=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²\n特别地，原点O到A的距离为OA=√(x₁²+y₁²)'

'例题 55 点切线条件和圆形直线方程'

'以点B为原点，边 BC 为 x 轴，那么各顶点的坐标可以表示为 A(0, a)，B(0, 0)，C(b, 0)，D(b, a)。证明 PA² + PC² = PB² + PD²。'

'在平面上，有n个圆，任意两个圆相交，且任意三个以上的圆不会在同一点相交。这些圆将平面分成了多少个部分？'

'点和曲线的通行范围'

'类题 在坐标平面上取一点P（1/2，1/4）。当抛物线y=x^2上的两点Q（α，α^2）、R（β，β^2）动态移动，使得三点P、Q、R构成底边为QR的等腰三角形时，求三角形PQR的重心G(X, Y)的轨迹。[东京大]'

'当抛物线和圆有4个共同点时，从图中可以看出，抛物线的顶点位于连接点(0, -37/4)和点(0, -3)的线段上（不包括端点）。'

'与坐标轴和直线相切的两个圆'

'直线BC相对于x轴，BC边的垂直平分线相对于y轴，使边BC的中点L成为原点O，每个顶点的坐标可以表示为A(a, b)，B(-c, 0)，C(c, 0)。此时，L(0,0)，M((a+c)/2, b/2)，N((a-c)/2, b/2)，因此，三条中位线AL、BM、CN内部分比为2:1的交点坐标分别为((a/3), (b/3))，((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1))，((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1))，即全部为((a/3), (b/3))，因此，三条中位线AL、BM、CN相交于此点。'

'練習 1：求正三角形內切圓半徑及其面積和'

'请绘制以下角的辐射。并指出它们分别位于第几象限。'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\n因此，BC=CA，BC^2 + CA^2 = AB^2，所以△ABC是一个∠C=90∘的直角二等边三角形。'

'求直线方程'

'练习 实数 t 满足 0<t<1, 考虑平面上的 4 个点 O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0)。另外, 确定线段 AB 上的点 D 使得∠ACO=∠BCD。求三角形 ACD 的最大面积。[东京大]'

'请绘制点 (x, y) 在以原点为中心、半径为1的圆内部移动时，点 (x+y, x y) 的移动范围。'

'关于圆 $C: x^{2}+y^{2}=25$ ，回答以下问题：\n1. 求以点 $(12,5)$ 为中心，与圆 $C$ 外切的圆的方程。\n2. 求以点 $(1,-\\sqrt{3})$ 为中心，与圆 $C$ 内切的圆的方程。'

'求半径为4，中心角为150°的扇形弧长和面积。'

'设a，b是正实数。抛物线C1：y = x^2 - a和抛物线C2：y = -b(x - 2)^2均在点P（x0，y0）处接触直线ℓ。将S1定义为直线x = 0、抛物线C1和切线ℓ围成的区域的面积，将S2定义为直线x = 2、抛物线C2和切线ℓ围成的区域的面积，回答以下问题。\n(1) 表示a，x0，y0。\n(2) 用b表示面积比S1：S2。'

'点和直线的距离'

'请用直线作为边界，将满足 y=x+1 的点 (x, y) 的集合表示在图中。同时，表示满足 y>x+1 和 y<x+1 的点的区域。'

'从点A(-1,2)和B(3,4)中寻找到与x轴上的点P等距离的坐标。'

'求解通过点（2,1）并与 x 轴和 y 轴相切的圆的方程。'

'基本示例 70 A(-2,1), B(6,-3), C(1,7), 求出以下点的坐标。'

'请分析以下问题。'

'通过半径r的值来研究圆（（x-1）^2+(y-1）^2=r^2）与直线y=2x-3的交点数量如何变化。'

'《标准例题 103》'

'给定三个顶点A（5，-2），B（1，5），C（-1，2），找出三角形ABC的边长和形状。'

'请绘制以下不等式所代表的区域。'

'从点A（3,1）到圆x^2+y^2=2的切线方程和切点坐标。'

'将抛物线y=9-x^{2}和x轴的交点记为A、B。将这个抛物线和x轴围成的图形内接于以线段AB为底的梯形时，求这样一个梯形的最大面积。'

'求在 y = -x^2 + 8x 和 y = x 界定的区域内（包括边界）的点的数量。'

'从固定点C（a，b）到距离为固定值r（>0）的点的集合是以C为中心的半径r的圆。以C为中心的圆简称为圆C，任意点（x，y）在圆上满足的等式称为该圆的方程。让我们尝试求出这个圆的方程。点P（x，y）在圆C上的条件是CP = r，用坐标表示为√（（x-a）^2 + （y-b）^2）= r，两边平方得（x-a）^2 + （y-b）^2 = r^2。由于（2）的两边都是正的，所以（1）⇔（2）⇔（3），因此（3）是所求圆的方程。以中心（a，b）和半径r为特征的（3）的形式是圆方程的基本形式。以中心（a，b）为中心、半径r的圆的方程是（x-a）^2 + （y-b）^2 = r^2。以原点为中心、半径r的圆的方程是x^2 + y^2 = r^2。请注意，在1中取a=b=0得到2。当r=1时，称之为单位圆。此外，可以将1视为在x轴方向平移a，在y轴方向平移b得到2。'

'设圆C为（x-1）^2 + (y+2)^2 = 9。'

'点D位于第四象限，圆D与x轴，y轴相切，因此点D的坐标可表示为(d, -d)，此时半径为d。因为点D在直线l的下方，所以3d - 4d - 12<0。点D与直线l的距离为|3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5。圆D与直线l相切，因此点D与直线l的距离为(d + 12) / 5 = d。因此d = 3。'

'求取以 2 点 A(0,3)、B(8,9) 为直径的圆上点 A 处的切线方程。'

'有点A(-1,3)和点B(5,11)。'

'当两个圆相切时，找出a的值。'

'求与圆 x^2 + y^2 = 9 相切且与直线 4x + 3y - 5 = 0 平行的直线方程。'

'关于点A(0,1)和B(4,-1)：（1）求通过点A和B，在直线y=x-1上有中心的圆C1的方程。（2）关于直线AB，求解(1)中找到的圆C1的对称圆C2的方程。（3）设P和Q是分别在圆C1和C2上的点，求线段PQ的最大长度。[Gunma University]'

'有一个平行四边形ABCD，其中A(-2,3)，B(5,4)，C(3,-1)是顶点。请找出顶点D的坐标和对角线交点P的坐标。'

'求以下圆的方程：\n(1) 以点 (1,1) 为中心，与直线 2x-y-11=0 相切的圆'

'已知点A（6，0），点B（3，3），当点P在圆x^2+y^2=9上移动时，求三角形ABP的重心G的轨迹。'

"设C和C'是两个交点为A、B，以线段AB的中点为M。因此，线段OM的长度等于原点O与直线ℓ的距离。"

'使用点 B 的坐标 (p, q)，当直线 ℓ 的斜率为2时，求直线 AB 垂直于直线 ℓ 的条件。'

'从点 P（1，）到曲线 C 上恰好可以画出2条切线时，回答以下问题。 （i）找出2条切线的方程式。 （ii）将找出的切线和曲线 C 的切点命名为 Q，R。假设 Q 的 x 坐标小于 R 的 x 坐标。求线段 PQ、线段 PR 和曲线 C 围成的图形面积 S。'

'请检查下面圆与直线的位置关系，如果有交点，请找出其坐标。'

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'假设在坐标平面上，有4个圆分别与x轴、y轴以及直线3x + 4y - 12 = 0相切。请按半径大小顺序排列这些圆，说明每个圆的圆心与直线之间的关系。'

'求x - sqrt{3} y = 0和\\frac{\\pi}{4}成的角度的斜率。'

'关于点A(-2,-3)，求点P(3,7)的对称点Q的坐标。'

'求出圆上点P的切线方程。'

'2条直线\ 3 x+2 y-4=0 \ \\(1), \ x+y+2=0 \ \\(2)的交点为A。\\(1) 通过点A和B(3,-2)的直线方程是什么?\\(2) 通过点A, 并且与直线\ x-2 y+3=0 \平行的直线方程是什么?'

'给定A（-2，-3），B（3，7），C（5，2）时，找到以下点的坐标。'

'求解圆上点 (a, b) 的切线方程。'

'设直线3x+2y-4=0为(1)，x+y+2=0为(2)，A为两直线的交点。(1)和A点通过点B(3，-2)的直线方程是什么？'

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'由给定的3个点构成的三角形ABC是什么形状？'

'求解以下圆的方程：\n1. 以点 (2, -3) 为圆心，半径为1的圆\n2. 以点 (3, 4) 为圆心，穿过原点的圆\n3. 以点 (3, 1) 和 (-5, 7) 为直径端点的圆\n4. 以点 (5, 2) 为圆心，与 y 轴相切的圆'

'求由通过两个圆\\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\)的两个交点并且切线为\ y=x \的圆的圆心和半径。'

'点 A 位于第一象限，圆 A 与 x 轴、y 轴相切，因此点 A 的坐标可表示为 (a, a)，此时半径为 a。由于点 A 位于直线 l 的下方，因此有 3a + 4a - 12 < 0。点 A 与直线 l 的距离为 |3a + 4a - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7a + 12) / 5。圆 A 与直线 l 相切，因此点 A 与直线 l 的距离为 a，所以有 (-7a + 12) / 5 = a，从而得到 a = 1。'

'掌握内分点和外分点的坐标公式，攻克例题74！'

'圆和直线'

'对于常数 k 的哪些值，圆C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 都会通过点A(x, y)，B(x, y)。其中，点为 。线段AB将成为圆C的直径当且仅当 k= 的时候。'

'请说明第三象限是什么。'

'请显示不等式表示的区域边界。'

'求解直线与圆的位置关系以及它们的交点坐标。'

'求解以下圆的方程式。'

"通过两个交点 C 和 C' 的直线 l 的方程为 \\square x+\\square y=15。另外，以两个交点和原点 O 为顶点的三角形的面积 S 是 S=\\square。"

'这些方程表示什么图形？'

'这两条直线是平行的还是垂直的？'

'掌握点和直线之间的距离公式，攻克例题83！'

'绘制角 θ 的半径，并回答此角位于哪个象限'

'当三角形ABC是直角三角形，顶点为A（1,1），B（2,4），C（a，0）时，请求常数a的值。'

'求边长为EX的圆x^2-2x+y^2-4y+4=0上离点A(-1,1)最近的点P的坐标。并求解点A,P之间的距离。'

'平面上的点'

'(2) \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \ 的直角等腰三角形'

'关于到点A(0,1)和B(4,-1)的问题'

'第4章 图形和方程式'

'计算平面上两点之间的距离问题。'

'求解以下点的坐标。'

'已知圆TR：x^{2}+y^{2}=1，记作C_{0}，将C_{0}沿着x轴正方向平移2a得到圆C_{1}，其中a为0<a<1。另外，将C_{0}和C_{1}的两个交点中在第一象限的称为A，另一个称为B，将C_{0}上与两点A和B不同的点记为P(s, t)。当P在C_{0}上除了两点A和B之外的部分移动时，求三角形PAB的重心G的轨迹。'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ 等腰三角形'

'平面上的点P的位置用两个实数(a, b)表示。这个组(a, b)被称为点P的坐标，其中a是x坐标，b是y坐标。点P的坐标为(a, b)。本节将学习关于平面上的点。坐标平面上的点由坐标轴分为4个部分。这些部分被称为象限，并且顺时针分别为第1象限，第2象限，第3象限，第4象限。注意，坐标轴不包含在任何象限中。在图中，(+, +)表示每个象限中的x坐标和y坐标的符号。'

'在这种情况下，圆（1）的中心（0,0）与直线（2）的距离等于圆的半径√k，因此'

'请查找从点P（1，）到曲线C：y=x^3-x可以绘制多少条切线。'

'79 (1) 平行'

'给定圆的圆心和半径，找到圆的方程。'

'求圆心为 (a, b), 半径为 r 的圆的方程。'

'求通过交点的直径为99的圆'

'证明尖角三角形ABC的tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。'

'当点Q沿着圆x^2 + y^2 = 1移动时，求点A(2,0)和点Q之间线段的中点P的轨迹。'

'请检查以下圆与直线的位置关系，并在有共同点的情况下找出其坐标。'

'由於圓C3的中心是原點O，所以圓C和圓C3之間的距離為PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\n設圓C3的半徑為r3，由於圓C3內切於圓C，所以r3 < 3且√5 = 3 - r3\n因此r3 = 3 - √5\n因此，圓C3的方程式為x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'请绘制以下不等式表示的区域。'

'存在一个以点A（-2,3）、点B（5,4）、点C（3，-1）为顶点的平行四边形ABCD。请求顶点D的坐标以及对角线交点P的坐标。'

'求圆心为 (2, 1)，半径为2的圆与直线y=-2x+3的交点，并计算线段的中点坐标以及长度。'

'求点A(7,1)到圆x^2+y^2=25的切线方程。'

'求出过点 (0,2),(-1,1) 且中心在直线 y=2x-8 上的圆的方程。'

'当抛物线（1）和圆（2）有4个共同点时，求r的取值范围。'

'求过两个圆x^2+y^2=2,(x-1)^2+(y+1)^2=1两个交点的圆与直线y=x相切时，该圆的圆心和半径。'

'图6中的游标卡尺能读取的长度是多少毫米间隔？'

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'(3)点(2)和(3)点的纵轴数值是多少？'

'2021年渋谷教育学园幕张中第一次(4)\n如图5-1所示, 底面是菱形, 侧面全为长方形的四棱柱$ABCD-EFGH$。 点$K, L, M, N$ 分别位于边$AB, BC, CD, DA$上, 且$AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$。\n另外, 点O位于菱形$EFGH$的对角线$EG$上, 且$EO: OG = 1: 5$。\n将四边形$KLMN$的各顶点与点O相连, 构成四棱锥O-KLMN。请回答以下各问题。其中，四棱锥的体积可通过(底面积)×(高÷3)来计算。'

'请解释明亮红星和暗红星之间的区别。'

'有一个直角三角形ABC，如图2所示，以AD、BD、CD作为边的正方形。此时，以CD为边的正方形的面积是多少平方厘米？'

'图中A细胞的大小（PQ之间的长度）是多少微米？请利用第5题中求得的值，用整数回答。'

'半岛'

'(3) 如右图所示，悬崖B距海平面高48米，在离A向北70米的位置，悬崖C距海平面高53米，在离A向南70米的位置，写出各自的位置即可。'

'(2) 点O画的线与粗线相同。首先，半径为6厘米的弧形的中心角为(2)和(3)。将其与8和9之间的部分(等同于60度弧的长度)相加，得到180×3+90+60×2 = 750度。此外，3和4之间是半径为12+6=18厘米、中心角为30度的弧形。因此，点O画线的长度为6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92厘米。'

'如图5-1所示，角A为直角，AB=3cm，AC=6cm的直角三角形，角D为直角，DE，DF=6cm的直角等腰三角形。关于这些直角三角形组合成的图形，请回答以下问题。其中，取圆周率为3.14。另外，圆锥的体积可通过底面积 * 高 / 3来计算。'

'火山灰层X的海拔高度，在悬崖A处为51+2=53米，在悬崖B处为48-4=44米。将它们分别用圆圈标记在图中，如右图所示。'

'(4) A和B到声源的距离之差为350米时，集合点位于距离之差保持恒定的直线上，表示为(I)。两点到声源的距离差恒定的点构成的曲线称为双曲线。'

'无法放入A3纸'

'彗星是太阳系的天体，它像行星一样围绕太阳公转。彗星在离太阳系相当远的地方接近太阳时会突然变亮，远离时会突然变暗并消失不见。此外，如图6所示，彗星会展示出与其他天体不同的形状，拖着长长的尾巴。彗星的尾巴延伸到了太阳的反方向。（5）当发现一颗新的彗星时，在当天傍晚，太阳一落山后立即就能看到。请用一条直线描述彗星尾巴的看起来。'

'(3)声音源A在1秒内到达的位置，并且B在2秒内到达的位置。因此，以A为中心的半径为350×1=350米的圆和以B为中心的半径为350×2=700米的圆相交，这两个圆的两个交点就是声源的位置。'

'从图4中可以获得以下正确信息并选择一个选项。'

'求三角形的每条边的长度。'

'垂直于两轴的平面方程'

'直角三角形，其角C为90度'

'设点A的极坐标为(r₁, θ₁)，点B的极坐标为(r₂, θ₂)。求三角形OAB的面积S。'

'在平行四边形ABCD中，边AB的中点为M，边BC被内分为1:2的点为E，边CD被内分为3:1的点为F。若→AB=b，→AD=d'

'给定边长为1的六边形ABCDEF。当点P分别沿边AB移动时，点Q沿边CD移动时，求线段PQ的2:1内分点R可能经过的区域面积。'

'虽然可以直接将z=x+yi代入（3）（2）等式中进行计算，但会变得非常复杂（请参阅答案后的第一个讨论）。因此，我们首先考虑了在x轴上具有焦点的椭圆，并将其旋转以求得C的方程。 （1）K：\\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 焦点坐标为，\\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}，所以为(\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0) 长轴长度为2\\cdot2，短轴长度为2\\cdot1，因此求得的面积为\\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi。'

'在第一象限上的曲线C上的任意点处的切线总是与x轴、y轴的正部分相交，并将交点分别记为Q，R，则切点P将线段QR内分为2:1。'

'关于极坐标，求解以下圆和直线的方程：(1) 以点 A(3, π/3) 为圆心，半径为2的圆。(2) 过点 A(2, π/4)，且与 OA（O为极点）垂直的直线。'

'(2) 128\n(2) \ \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ 的等腰梯形 \ \\mathrm{ABCD} \ 中，\ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \。当 \ \\angle \\mathrm{B} \ 增加 \ 1^{\\circ} \ 时，梯形 \ \\mathrm{ABCD} \ 的面积 \ S \ 大约增加多少？假设 \ \\pi=3.14 \。'

'求解两点之间的距离。'

'求三角形的垂心位置向量。'

'在坐标空间中，设点A(1,0,2)，B(0,1,1)。当点P沿着x轴移动时，求AP+PB的最小值。'

'在坐标平面上，圆C通过点(0,0)，其中心位于直线x+y=0上，并且与双曲线xy=1相切。求圆C的方程。这里，圆与双曲线在某点相切是指在该点，圆的切线与双曲线的切线重合。'

'对于椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=4$，从椭圆外部点 $P(a, b)$ 到椭圆上引出的两条切线相交于直角的点 $P$ 的轨迹是什么？[类 东京大学]\n基础 155'

'用参数表示的曲线'

'找出满足方程 $|z-\\alpha|=r(r>0)$ 的所有点 $P(z)$ 所代表的图形。'

'曲线 \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1 上的第一象限上的点 \\mathrm{P} 处的切线分别与 x 轴, y 轴相交的点为 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}。设原点为 \\mathrm{O}，求 \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB} 的最小值。'

'求直线和曲线的交点处弦的中点坐标和长度。'

'基本概念 1 极坐标下的圆与直线 (1) 以极点O为中心，半径为a的圆 r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) 以 (a, 0) 为中心，半径为a的圆 r=2a cos θ (3) 以 (r₀, θ₀) 为中心，半径为a的圆 r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) 过极点O且与起始线α成角的直线 θ=α (5) 经过点A(a, α)，且垂直于OA的直线'

'将给定的方程式 $2 x^{2}-8 x+y^{2}-6 y+11=0$ 表示为二次曲线 $C_{1}$。另外，$a, b, c$ $(c>0)$ 是常数，方程 $(x-a)^{2}-\\frac{(y-b)^{2}}{c^{2}}=1$ 表示双曲线 $C_{2}$。当 $C_{1}$ 的两个焦点和 $C_{2}$ 的两个焦点成为正方形的 4 个顶点时，求解 $a, b, c$ 的值。'

'以(1)題所給的4個頂點A(2,4), B(-3,2), C(-1,-7), D(4,-5)，形成一個四邊形\n(2)\n(2) 以3個點A(0,2), B(-1,-1), C(3,0)為頂點，再連接另一個點D以形成一個平行四邊形。求第4個頂點D的坐標。'

'(4) 对于平面 PQR 和边 OD，下面的情况是这样的。 当 q = 1/4 时，平面 PQR 是 。 当 q = 1/5 时，平面 PQR 是 又。 当 q = 1/6 时， 平面 PQR 是 ネ。 请选择符合二 〜 ネ的选项，从 0 到 5 中选择一个。'

'求与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $x=-3$ 都相切的圆的圆心 P 的轨迹。'

'对于椭圆 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\)，焦点坐标为 \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\)。焦点位于x轴上，长轴长度为2a，短轴长度为2b。'

'证明椭圆上任意一点到两焦点的距离之差是常数。'

'请说明三个不同点A(α)、B(β)、C(γ)共线的条件。'

'假设长度为2的线段的两端点A、B分别沿x轴和y轴移动。若$\\mathrm{BP}=1$，求点P的轨迹。'

'通过点A（3，-4），找到与直线l：2x-3y+6=0平行的直线g。求直线g的方程。'

'在正六边形ABCDEF中，设中心为O，边CD在内部按2:1分割为点P，边EF的中点为Q。若向量AB为a，向量AF为b，则用向量a和向量b表示向量BC，向量EF，向量CE，向量AC，向量BD，向量QP。'

''

'当点P（z）沿着以-i为中心，半径1的圆形（不包括原点）上移动时，点Q（w）由3）114 w=1/z表示，会绘制出什么样的图形？'

"主题：复数方程表示的二次曲线以及旋转移动的研究 数学 数学C章介绍了复数平面中的几何图形，在第4章中学习了二次曲线的性质。在这里，我们将讨论由复数z的方程表示的图形为二次曲线的情况。首先，让我们通过以下问题来确认二次曲线的基本概念。 CHECK 3-A 点F(√5, 0), F'(-√5, 0)到距离和为6的点P的轨迹方程。"

'求圆的向量方程。'

''

'假设ABC是一个正三角形，顶点为A(-1)，B(1)和C(√3 i)。证明当P(α)，Q(β)，R(γ)是一个正三角形的顶点时，等式α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα成立。'

'使用向量证明在圆上点（x0，y0）处的切线方程。'

'以O(0), A(1), B(ι)为顶点构成的△OAB，∠O为直角的顶点等腰直角三角形。利用这一事实，证明由3点P(α), Q(β), R(γ)构成的△PQR，∠P为直角的顶点等腰直角三角形时，等式2α² + β² + γ² - 2αβ - 2αγ = 0成立。'

'(2) 点z和2点(√3+3i)/2,-(√3+3i)/2之间的距离和为4是常数，因此，图形C是以2点(√3+3i)/2,-(√3+3i)/2为焦点的椭圆。设这个椭圆的中心到焦点的距离为c，则该椭圆在xy平面上焦点的坐标为(c, 0),(-c, 0)，以及与椭圆上的点和2个焦点的距离和为4相同。'

'在第一象限内的xy平面上，考虑一条直线 l: y=mx(m>0) 和x轴都与半径为a的圆C相切。另外，直线l与x轴以及圆C分别在1点处与半径为b的圆相切，其中b>a。(1) 用m表示t。(2) 用t表示 b/a。(3) 求极限值 lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1)。'

'(1) 将三角形 ABC 的三条边长表示为 AB=8, BC=7, CA=9。记向量 AB=b，向量 AC=c，将三角形 ABC 的内心记为 P，则向量 AP 可用 b 和 c 表示。'

'中点连结定理:在三角形ABC中，连接AB、AC两边的中点分别为M、N，则MN // BC，MN=1/2 BC'

'有一个内切于圆的四边形ABCD。当AB=4，BC=5，CD=7，DA=10时，请计算四边形ABCD的面积S。'

'三角形的外心'

'确定三角形的三边长分别为3、5和x时，x的取值范围使得三角形为锐角三角形。'

'给定边长为6的正四面体OABC。将边OA的中点记为L，将边OB划分为2：1的点记为M，将边OC划分为1:2的点记为N。求三角形LMN的面积。'

'在三角形ABC中，若B=30°，b=√2，c=2，则求A、C和a的值。'

''

'通过点 A、P、Q 的圆的圆心是两个弦的垂直平分线的交点。'

'（2）锐角'

'利用切线的切割定理，说明从点P到圆的两条切线的性质。'

'关于正八边形，求下列数值。\n(1) 通过连接4个顶点而形成的四边形个数\n(2) 通过连接3个顶点而形成的三角形中，与正八边形共享边的三角形个数'

'在直线 x=1 上， y 坐标为 √3 的点为 T，在直线 OT 和半径为 1 的半圆上的交点是图中的点 P。所求的θ为∠AOP。'

'在长为240厘米，宽为396厘米的长方形地板上，要铺满一个边长为a厘米的正方形瓷砖，求出a的最大值。同时，求出可以铺设的瓷砖数量。'

'解释并证明三角形的外心、内心和重心以及它们各自的特性。'

'请判断图示右侧的四点A、B、C、D是否位于同一圆周上。'

'外接圆半径为 \ \\frac{85}{8} \, 内切圆半径为2'

'在内切于圆的四边形ABCD中，AB = 8，BC = 10，CD = DA = 3。求四边形ABCD的面积S。'

'79・ 在三角形ABC中，AB=2，BC=4，CA=2√3。从顶点A向边BC下垂线为AD，以线段AD为直径的圆与边AB、AC相交于点E、F。其中，E、F是与A不同的点。[东京慈惠会医科大]\n(1) 证明点E、B、C、F共圆。\n(2) 求三角形EBF的面积。'

'如图所示，为边长为2的等边三角形的所有顶点和每条边的中点编号为1到6。将骰子第一次投掷的结果与该编号相对应。将三次掷骰子的结果编号的点连接起来以绘制图形。求得所得图形的面积期望值。'

'定理 25 弦切线定理 II'

'\ \\triangle ABC \ 是一个直角三角形，其中 \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ 并且请注意直径为 \ AD \ 的圆。'

'设四边形ABCD的对角线长度分别为p和q，对角线间夹角为θ，求四边形ABCD的面积S。'

'请说明圆内外的点和角度大小。'

'在三角形ABC中，O为外心。求图中角α，β。'

'平行四边形的条件：当满足以下任一条件时，该四边形为平行四边形。[1] 有两对对边分别平行。[2] 有两对对边分别相等。[3] 有两对对角线分别相等。[4] 有一对对边是平行的，并且长度相等。[5] 对角线在各自的中点相交。'

'在内切于圆的四边形ABCD中，AB = BC = 1，BD = √7，DA = 2，求：\n1. 点A的位置\n2. 边CD的长度\n3. 四边形ABCD的面积S'

'求三角形ABC的外心O。'

'给定内切于PR圆的四边形ABCD。当AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10时，请确定四边形ABCD的面积S。'

'在一个长40厘米的矩形中，求对角线的最小长度。同时，确定此时的矩形是什么样子的。设矩形的竖直边长为 x 厘米，则水平边长为(20-x)厘米，且 0<x<20。设矩形的对角线长为 l 厘米，则 l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1)中，l^2 在 x=10 时取到最小值200。因为l>0，所以l^2 取到最小值时 l 也最小。因此，对角线长度 l 的最小值为 sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm) 此时，水平边长也为 10 厘米，所以对角线最小时是正方形。'

''

'在平面上选取点O，并沿着右图所示的方式，确定两条互相垂直的直线。这两条直线分别称为x轴和y轴。点O称为原点。此时，如果点A位于坐标(3, 2)，请提供其x坐标和y坐标。'

'如图所示，给正三角形的每个顶点和每条边的中点标上数字 1 到 6，使其与掷骰子的结果相对应。掷骰子 3 次，连接数字代表的点，得到一个图形。求得到的图形的面积的期望值。'

'平面上有10条直线, 没有3条直线相交于同一点。其中有2条直线平行。请计算这10条直线所形成的交点数量和三角形数量。'

'例 4: 抛物天线\n抛物线在英语中被称为parabola。用于卫星广播接收的抛物天线的表面，是以其轴为中心旋转一周而形成的面。'

"半径为5和8的圆O和O'在点A处外切，这两个圆的公共外切线与圆O和O'接触在点B和C。另外，将BA延长与圆O'相交于点D。\n(2) 证明三点C、O'、D共线。\n(3) 求出AB:AC:BC。"

'请计算由3条相互平行的直线和5条与其相交的平行线所形成的平行四边形的数量。'

'2 点之间的距离\n(1) 平面坐标上 2 点 A(x1, y1), B(x2, y2) 之间的距离为\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\n特别地，原点 O 和点 A(x1, y1) 的距离是 OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) 空间坐标上 2 点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) 之间的距离为\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\n特别地，原点 O 和点 A(x1, y1, z1) 的距离是 OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

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''

'从A和P之间的距离'

'证明三角形ABC和三角形DEF的重心重合。'

'最小值为10\\sqrt{2}cm，正方形'

'对给定的线段AB，绘制以下点。'

'数学 I\n因此, (△ABC) 的面积是\n\nEX 1 边长为 (10 cm) 的正三角形纸。设立正三角形的顶点为(A, B, C)，并且在边(BC)上取点P，使得BP=2 cm。在顶点A与点P重叠的情况下，将这张正三角形纸对折，记折痕与边AB、AC的交点分别为(D, E)。此时，(AD=)为A(cm)，(AE=)为B(cm)，△ADE的面积为C(cm^{2})。\n[From Kyoto Makie University]'

'在三角形ABC中，BC = 17，CA=10，AB=9。求sinA的值，三角形ABC的面积，外接圆的半径，内切圆的半径。'

'基础例题85抛物线与x轴的切线长度\n(1) 求二次函数y=-x^{2}+3x+3的图形与x轴的切线长度。\n(2) 证明二次函数y=x^{2}-2ax+a^{2}-3的图形与x轴的切线长度与常数a的值无关。'

'已知AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6，请求三角形的边长。'

'(2) 在三角形ABC中，如果BC=5，CA=3，AB=7。设∠A及其外角角平分线与线段BC相交的点分别为D、E，则求线段DE的长度。'

'在平面上，有10条直线，这10条直线中没有任意3条直线在同一点相交。当其中有2条直线是平行的时候，请计算这10条直线所能形成的交点个数和三角形的个数。'

'绘制以下点：\n（1）点P与边AB，BC，CA上等距离\n（2）点Q与点A，B，C上等距离'

'如图右所示，圆O和弦AB。请绘制以下圆。但是，请注意点P和Q不同于A和B，并且不在弦AB的垂直二等分线上。'

'已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为3/2，内切圆半径为1/2，求：'

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'请用日语写下以下数学术语及其对应的定义。'

'一条边的长度不小于1米，不大于3米'

'求将抛物线y=-2x^2+3x-5分别关于以下直线或点进行对称移动得到的抛物线方程。'

'求出由以下两条直线形成的角度θ。假设0° ≤ θ ≤ 90°。(1) AB 和 FG (2) AE 和 BG (3) AF 和 CD'

'在边长为1的正三角形ABC中，将BC按1:2内分点为D，将CA按1:2内分点为E，将AB按1:2内分点为F，并且将BE和CF的交点设为P，CF和AD的交点设为Q，AD和BE的交点设为R。求三角形PQR的面积。'

'在三角形ABC中，如果AB = 6，BC = 7，CA = 5，求外接圆半径R和内切圆半径r。'

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'在半径为1的半圆周上，横坐标为1/2的点是点P。要求的θ是∠AOP。'

'求点P（3，4）关于直线y = 2x + 1的对称点Q的坐标。'

'设ABC三角形的三边长分别为a，b，c。若(a+b)：(b+c)：(c+a)=4：5：6且面积为15√3，则求外接圆半径R和内切圆半径r。'

'三角形的内心'

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'关于原点的对称移动，则顶点为点 \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\)，是一个向下凸的抛物线，即\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { 也可以 }\\right) \\]'

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'求解以下两点之间的距离。'

'有一个边长为10厘米的正三角形纸张。将这个正三角形的顶点标记为A、B和C，点P位于边BC上且BP=2厘米。当将这个正三角形纸张折叠，使顶点A与点P重合时，将边AB、AC与折痕的交点分别标记为D、E。此时AD= cm，AE= 亿 cm，三角形ADE的面积为 cm²。'

'不是等边三角形的三角形ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H。证明G点位于OH线段上，并且OG：GH=1：2。根据以下步骤证明：(1)将边BC的中点记为L，将线段GH、AG的中点分别记为M、N，证明四边形OLMN是平行四边形。可以利用AH=2OL这一条件。(2)证明点G位于线段OH上。(3)证明OG：GH=1：2。'

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'抛物线与x轴的交点位置关系'

'三角形形状确定摘要'

"在相交的两个圆 P 和 Q 中有两个圆 O 和 O'。如右图所示, 点 A 在超过线段 QP 的 P 后的延长线上, 与圆 O 相切且与圆 O' 相交的直线, 其接点为 C, 交点为 B, D。若 AB=a, BC=b, CD=c，则用 a，b 表示 c。"

'使用切瓦斯定理的逆定理证明以下内容：\n1. 三角形的三条中线相交于一点。\n2. 三角形的三角角的平分线相交于一点。'

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'四边形ABCD内切于圆O，AB=3，BC=CD=√3，∠ABC的余弦=√3/6。求：(1) 线段AC的长度 (2) 边AD的长度 (3) 圆O的半径R'

'求下列图形的面积。\n1. 平行四边形ABCD满足AB=2，BC=3，∠ABC=60度\n2. 内切于半径为10的圆的正八边形'

''

'在三角形ABC中，当a=13、b=7、c=15时，找到A。'

'直角三角形的两边长和为16时，面积最大的是什么形状？求出最大值。'

'圆和直线的位置关系有以下3种情况。 其中，r 是圆的半径，d 是圆心和直线之间的距离。[1] 相交于2点（共享2个点）0 ≤ d < r [2] 切线（共享1个点）0 ≤ d < r [3] 分离（没有共享点）0 ≤ d < r 当仅有1个共享点的时候，圆和直线相切，这条直线称为切线，共享点称为切点。首先，让我们来研究关于圆的切线的性质。'

'判断三角形的成立条件'

'在三角形ABC中，AB=6，BC=a，CA=4，BC和CA的中点分别为M和N。 (1) 当AM=√10时，求a的值。 (2) 当a为(1)的值时，求线段BN的长度。'

'(2) 最大边是CA，因此AB+BC=18，CA<AB+BC，所以三角形ABC存在。'

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'训练112 (1)\n假设平坦广场上的点O为原点，将东方向设为x轴的正向，北方向设为y轴的正向来考虑坐标平面。\n点A位于点O向东方向前进28单位的位置。此外，点P位于连接点O、A的线的南侧。\n点P距离O的距离为25，与A的距离为17。\n(1) 求点A的坐标。\n(2) 求点P的坐标。'

'实践 3: 三角形的内心、外心、重心'

''

'求解直角三角形的三角函数数值'

'证明一个圆周上有四个点'

'两个图形的交点之一是点(-1,0)'

'证明顶点为A的锐角三角形ABC的顶点A到边BC的垂线AD，在D到边AB和AC分别引垂线DE, DF。这时，B、C、F、E这4点在同一圆周上。'

'在直角三角形ABC 中，AB>AC,∠A=90°。从顶点A向边BC下垂线AD。'

'在内切于圆的五边形ABCDE中，若AB = 7，BC = 3，CD = 5，DE = 6，∠BCD = 120°且∠A = 82°，求：\n(1) 线段BD的长度\n(2) 线段AD的长度\n(3) 边AE的长度\n(4) 四边形ABDE的面积'

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'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

''

'第7章 三角形的应用'

'已知 △ABC 中，AB = 7√3 且 ∠ACB = 60°。則 △ABC 的外接圆 O 的半径是多少？在外接圆 O 上移动包含点 C 的弧 AB 上的点 P。'

'(1) 求三角形ABC的三个角度，其中∠A=90°，AB=2，BC=3。\n(2) 求三角形ABC的三边长度，其中∠A=70°，∠B=∠C。'

'(1) ∠C<∠B<∠A\n(2) CA=AB<BC'

'在右图中，点 I 是三角形 ABC 的内心。求以下各项：(1) 𝛼 (2) AI:ID'

'以平坦广场上的点O作为原点，以向东为x轴正方向，向北为y轴正方向的坐标平面。'

'二次函数y = ax^2 + 2ax + a + 6（a≠0）的图形与x轴相交于两点P、Q，且线段PQ的长度为2√6，求常数a的值。'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

None

"当您像问题中的图形那样考虑时，不知道应该在哪里应用以前学到的图形特性。首先，点A是圆O和O'的切点，那么让我们画出通过点A的两个圆的公切线。然后，当关注图中的一部分时，就会看到可以使用的特性。"

'利用上一个问题的结果，求内切于半径为 10 的圆的下一个正多边形的边长。此外，从圆心 O 到正多边形的一条边上的垂线的长度。可以使用三角比表。将结果四舍五入到小数点后第二位。'

'在给定的图中，求x的值。其中PT是圆的切线，T是切点。'

'训练实践4（3）在 △ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c，外接圆的半径为3，面积为S。这时，S=ABc。的解答组是(0)1/2 (1)1/3 (2)1/6 (3)1/8 (4)1/12'

''

'(1) 在△ABC中，如果a=1，b=√3，A=30°，请找出剩余边长和角度大小。'

'例1 正方形ABCD的边长为8，各边AB，BC，CD上分别取点P，Q，R，使AP=x，BQ=2x，CR=x+4(0<x<4)。由于三角形PBQ，QCR的面积分别为A，B，当用x表示时，三角形PQR的面积在x=时取到最小值。'

'求正方形ABCD的面积,其中77^{3} AB =5, BC=6, CD=5, DA=3, ∠ADC=120^{\\circ}。'

'在角XOY的内部，有一点A，使得∠XOA=30°，且OA=3。在线段OX和OY上分别取点P和Q，则求AP+PQ+QA的最小值。'

'在 2 米 40 厘米乘以 3 米 72 厘米的长方形地板上，想要无缝铺设边长为 a 厘米的正方形瓷砖。求出 a 的最大值。同时求出可以铺设的瓷砖数量。'

'解释三角形的边和角问题，并证明以下定理：\n1. 三角形的两边之和大于第三边的长度。\n2. 三角形的两边之差小于第三边的长度。'

'两条直线的夹角'

"证明在相交的两个圆 O 和 O' 上，经过共同弦 AB 上的点 P 的圆 O 和弦 CD，圆 O' 和弦 EF 时，四点 C, D, E, F 在同一圆周上。其中，四点 C, D, E, F 不共线。"

'在△ABC中，外接圆的半径为R。求以下值：(1) 当a=10，A=30°，B=45°时，C、b、R (2) 当b=3，B=60°，C=75°时，A、a、R (3) 当c=2，R=√2时，C'

'74度角等腰三角形，最大值為32'

'（1）下列四边形中与圆相切的是哪一个。\n（2）锐角三角形ABC中，点D位于边BC上（且与B、C不同），从点D向边AB、AC分别引垂线DE、DF。请证明四边形AEDF内接于一个圆。'

'在像围棋一样的城镇中，从A点到B点的最短路径。问：\n（1）有多少种可能的路径？\n（2）这些路径中，经过C点的有多少种？\n（3）这些路径中，不经过C点的有多少种？'

'利用四边形内接于圆的条件进行说明\n（1）右边的四边形 ABCD 中内接于圆的是哪一个？\n（2）存在内切于圆的四边形 ABCD，与边AD平行的直线分别于边AB, DC于点E, F相交。证明四边形BCFE也内接于圆。'

''

'求解将给定例题中的抛物线(1)沿着(1)轴(2)关于原点对称移动后的方程。'

'■外心…三角形边的垂直平分线的交点\n中学\n线段的垂直平分线\n点P位于线段AB的垂直平分线 ⇔ PA=PB\n在同一直线上\n换句话说\n“线段AB的垂直平分线是点A、B到等距离点的集合”'

'（1）连接正五边形的3个顶点可以形成多少个三角形？其中有几个三角形与正五边形共享2条边？（2）连接正五边形的2个顶点可以形成多少条线段？'

'点 P位于半径为√5的半圆上，因此OP=√5\n在直角三角形OPQ中，OQ² + 2² = (√5)²，因此OQ² = 1，所以OQ = 1\n因此，点P的坐标为(-1,2)\n\n因此sin θ = 2/√5，cos θ = -1/√5，tan θ = 2/-1 = -2'

'直角三角形的两边长度之和为16时，面积最大的形状是什么？并求出最大值。'

'三角形形状确定的总结'

'在边长为4的正四面体ABCD中，以边CD的中点M为中心，角AMB为θ'

'内角 XOY=30°，点A满足OA=3。在OX、OY上分别取点P、Q，求AP+PQ+QA的最小值。'

"在右图中，两个圆O和O'外切，A，B分别是两个圆O、O'的公共切线与圆O，O'的切点。如果圆O，O'的半径分别为6和4，求线段AB的长度。"

'在三角形128 (3)中, 当á=√6+√2, b=2, C=45°时, 求剩余边长和角的大小。'

'一个内切于半径为TR的四边形ABCD，其边长为AB=√7, BC=2√7, CD=√3, 和141DA=2√3。求：(1) cosB的值 (2) 对角线AC的长度 (3) 四边形ABCD的面积S'

'东西各有4条道路，南北各有4条道路。有多少种最短路径可以到达以下目的：（1）从A点到B点的路径。（2）从A点出发，经过C和D点到达B点的路径。（3）从A点到B点的最短路径中，至少经过C或D中的一个点。'

'抛物线和圆在不同的两点上相切。求以这两个切点为端点的圆所夹的较短的弧与抛物线围成的图形的面积S。'

'(1) 点A到直线BC的距离\n(2) 三角形ABC的面积'

'已知曲线y=9-x^2与x轴的交点为A, B，且线段AB与该曲线围成的部分内接于台形ABCD。求该台形的最大面积。同时，求解此时点C的坐标。'

'求解以下扇形的弧长和面积。'

'基本例题 69 三角形的重心坐标'

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'过点A（3,1），并且切 5 和 x^2+y^2=5 相切的两条切线的切点是P、Q。求直线PQ的方程。'

'求由三个顶点O(0,0), A(x1, y1), B(x2, y2)确定的三角形的面积。'

'(3)求过点(4,2)，且与x轴、y轴相切的圆方程。'

'求两点A（a），B（b）之间的距离。'

'求点P（4，2√3）绕原点旋转π/6后点Q的坐标。'

'求解以下坐标：(5, 1)，(9, 5)，(3, 9)'

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''

'设a为满足a>1的常数。在坐标平面上有点M(2，-1)。对于与M不同的点P(s，t)，取点Q使得三个点M，P，Q依次共线，并且线段MQ的长度是线段MP长度的a倍。'

'求圆心 C 和直线 ℓ 之间的距离为 d 的半径为 r 的圆。根据 d 和 r 的大小关系，找出圆和直线的位置关系。'

'在真实的t值上变化时，直线l:tx-y=t和m:x+ty=2t+1的交点P(x, y)将成为什么样的图形？求其方程并作图。'

'当直线(3)与区域D有一个共享点时，斜率m最大，这发生在直线接触圆C的时候。请计算此时的最大斜率m。'

'求下列圆的方程式。'

'点与直线的距离'

'求三个点A（1,5）、B（0,2）、C（-1,3）的等距离点的坐标。'

'斜线部分表示什么不等式？注意，不包括边界。'

'在坐标平面上有两个点A(-1,2)和B(4,2)。实数t满足0<t<1，将线段OA按照比例t:(1-t)分割得到点P，将线段OB按照比例(1-t):t分割得到点Q。求得线段PQ的最小长度以及对应的t值。'

'当点 Q 在圆 x^{2}+y^{2}=9 上移动时，求点 A(1,2) 和 Q 连接的线段AQ被内分为2:1的点P的轨迹。'

'求过圆 x^2+y^2=8 的切线，并且垂直于直线 7x+y=0 的直线方程。'

'当直线倾斜为-1且与区域D有交点时，圆心为（3,2）且圆线与直线的距离不超过半径1。请计算此时的最大n值。'

'过点 A(3,1)、并且切圆x^{2}+y^{2}=5 的两条切线的切点分别为 P、Q。求直线 PQ 的方程。'

'关于圆 \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) 和圆 \ x^{2}+y^{2}=4 \ ，（1）两个圆共有多少条公切线？（2）求出两个圆共有的所有切线的方程。'

'求定数k的范围，使得圆x ^ 2 + y ^ 2-4x-6y + 9 = 0（1）和直线y = kx + 2有共享点。'

'圆和直线是否有公共点？如果有，请找出该点的坐标。'

'给定半径和表示角的半径与圆的交点为P。'

'将给定的角度42140°还原为单位圆上的标准位置角度。'

'定点 (5,0),(0,3), 原点距离为2的动点组成的三角形的重心在曲线x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0上。'

'請求以下座標：(\x0crac{3}{14}, 0)和(0,-\x0crac{3}{4})。'

'求三角形由A（1,1），B（2,4）和C（a, 0）三点组成，当△ABC为直角三角形时，求a的值。'

'图形和方程式\n对于三个点A(0,0)，B(2,5)，C(6,0)，求当P点使PA²+PB²+PC²最小时，P点的坐标。'

'求圆上点A（4,6）的切线方程。'

'在坐标平面上，求通过点(-2，-2)并与抛物线y=1/4 x^{2}相切的两条切线的方程。'

'当3条直线2x-y-1=0，3x+2y-2=0，y=1/2x+k在点A相交时，k=多少，点A的坐标是（多少，多少）？'

'求三点A（-2，-2），B（2，6），C（5，-3）在坐标平面上的情况\n（1）求AB线段的垂直平分线方程。\n（2）求△ABC的外心坐标。'

'通过点（7，1）且切线x^2+y^2=25的方程和接点坐标。'

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'在直线y = -4x + 5上有一个圆心, 求圆的方程, 该圆与x轴和y轴都相切。'

'求通过点（4，-1），（6，3），（-3，0）的圆的方程。'

'研究以顶点A（2a，a+√3a）、B（3a，a）、C（4a，a+√3a）的三角形ABC的形状。其中，a>0。'

'求线段AB在点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间以m:n比例内分点的坐标。'

'求出给定点在给定圆上的切线方程。'

'求由顶点A(4,5), B(6,7), C(7,3)形成的平行四边形的另外一个顶点D的坐标。'

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'直线上有3点A(3), B(-3), C(5)。将线段AB二等分成2: 1的比例得点D，将线段AC外部按比例3: 1分割得点E，求线段DE按比例3: 4内分的点坐标。'

'设n≥2。平面上有n个圆，这些圆中任意两个圆都互不相交，并且任意3个以上的圆不会在同一点相交。这些圆相交会形成多少交点？'

'求抛物线 y=x^{2} (1) 与直线 y=x+3 (2) 的交点 A, B，求线段 AB 的长度。'

'相反地，直线 x+y=2 上的点 P(x, y) 满足 AP^2-BP^2=4。因此，所求轨迹是直线 x+y=2。'

'求弧长和面积。\n(1) 半径为10，角度为π/5\n(2) 半径为3，角度为15°'

'求解以顶点A（5，-1），B（3，3），C（-1，-3）为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标。'

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'求满足以下条件的点P的轨迹:\n(1) 到点O(0,0)和A(3,2)的距离相等的点P\n(2) 使得与点O(0,0)和A(6,0)形成的角度OPA为90°的点P\n(3) 使得与点A(3,2)和B(1,0)满足AP^2 - BP^2 = 4的点P'

'平面上有 n 个圆，这些圆中的任意两个圆都互相相交，并且三个以上的圆不会在同一点相交。这些圆将平面分割成多少部分。'

'求解以下两点之间的距离。(1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'由此可得，点C的坐标为 $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$，因此 $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$。另外，点A到直线(3)的距离为 $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$。因此，所求三角形的面积为 $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$。'

'在xy平面上，在整个实数范围内，考虑直线l：x+t(y-3)=0，m：tx-(y+3)=0。当t取遍所有实数时，直线l和m的交点将绘制出什么样的图形？[近似岐阜]'

'关于以点A(1,1)，B(2,4)，C(a,0)为顶点的三角形ABC'

'在坐标平面上绘制以下方程所代表的直线。'

'求满足以下条件的切线方程式。'

'第3章 图形与方程式'

'已知三个顶点为A(4,5), B(6,7), C(7,3)的平行四边形，求剩余顶点D的坐标。'

'请确定以点A(2a, a+√3a), B(3a, a), C(4a, a+√3a)为顶点的三角形的形状。其中a>0。'

'以点 A(1，-1)，B(4，1)，C(-1，2) 为顶点的三角形ABC是什么样的三角形？'

'求直线 $\\ell: x+y+1=0$ 关于点 $P(3,2)$ 的对称点 $Q$ 的坐标。'

'问题84'

'求PR圆的方程式。 (1) 通过点 (0,2),(-1,1)，中心在直线y=2x-8上。'

'求解一般形式圆方程 x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 表示圆的条件。同时求圆心和半径。'

'求下列圆的方程式'

'求解以下点的坐标。 （1）分割线段3：1的内分点 （2）分割线段3：1的外分点 （3）分割线段1：3的外分点 （4）中点'

'当点A(a,-2)，B(3,2)，C(-1,4)共线时，求常数a的值。'

'请计算在圆周上点的切线。'

'对于 PR 3 点 A(7,6), B(-3,1), C(8,1), 设BC边的中点为P, 以CA边比例3:2外分点为Q, 以AB边比例3:2内分点为R。求三角形PQR的重心坐标。'

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'求 k 的最大值，条件为 x^{2}+y^{2} ≤ 1 时，有 3 x+y ≥ k。'

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'求出4条直线。'

'找到满足以下条件的点P的轨迹：'

'求出连接刻度 4 和刻度 9 的点的线段的中点的刻度。'

'(1) 在坐标平面上，求与直线 y=-2x 平行且距原点距离为√5的所有直线方程。[东京电机大学] (2) 求平行直线2x-3y=1与2x-3y=-6之间的距离。'

'请绘制以下不等式表示的区域。'

'求直线y = ax + b与连接两点A（-1,5）和B（2，-1）的线段共有点的条件，并绘制ab平面。'

'找到将平面分为6部分的所有a值。'

'求两个圆x ^ 2 + y ^ 2 = 10和x ^ 2 + y ^ 2 - 2x + 6y + 2 = 0的两个交点的坐标。'

'1. 求(0,0)为中心，半径为√2的圆的方程。'

'求圆的方程，其圆心为(1,1)，并且与直线4x+3y-12=0相切。'

'在坐标平面上，设A点为(-3,2)，B点为(4,0)。请分别求出距离x轴和y轴等距离的点的坐标。'

'求点A（x1，y1）和点B（x2，y2）的外分点坐标。外分比为m:n。'

'求通过点（2,3），并在y轴上相切，并且中心在直线y=x+2上的圆的方程。'

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''

'请确定直线和圆在图形和方程式中共有的点的数量。'

'求解以下圆的方程：'

'关于点 A 的圆极线的说明问题。给定圆 x^2+y^2=r^2 外的点 A(p, q)，求与该圆相切的两条切线的切点 P, Q 拟过的直线 β 的方程。利用方程式 p x+q y=r^2，证明关于点 A 的圆极线会通过另一点 B，即，证明关于点 B 的极线会通过点 A。'

'假设半径为1的圆内切一个正五边形，其面积为S'

'在边长为a的正四面体OABC中，在边AB，BC，OC上分别取点P，Q，R。从顶点O出发，依次经过P，Q，R三点，到达顶点A的最短路径长度是多少？'

'在四边形ABCD中，AB=4，BC=5，CD=t，DA=3-t（0<t<3）。 另外，假定四边形ABCD有外接圆。'

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'对于边长为 6 的正四面体ABCD，设点E为边BC上满足2BE=EC的点，点M为边CD的中点。'

'考虑边长为a, a+2, a+4的三角形。'

'在三角形ABC中，AB = 8，AC = 5，∠A = 120°。设∠A的角平分线与边BC的交点为D，求线段AD的长度。'

'一个半径为 2、母线长度为 6 的圆锥，其底面与球O相切，且在底面中心相切。求该球的半径、体积和表面积。'

'(2) BD=3, AD=3 \\sqrt{7}'

'从（ア）到（エ）中选择最合适的词语填入空白。'

'六边形ABCDEF的面积为S'

'练习1 边长为1的等边三角形ABC的边AB, BC, CA上分别取不同于顶点的点D, E, F, 且AD=x, BE=2x, CF=3x。 (1) △DEF的面积S用x表示。 (2) 求(1)中S最小化的x值和最小值。'

'在△ABC中，a=2，b=√2，c=1。求：\n(1) cosB，sinB\n(2) △ABC的面积S\n(3) △ABC的内切圆半径r\n(4) △ABC的外接圆半径R\n根据第265页，基本事项3和基本162。'

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'188\n数学 I\n（1）如图所示，将三角形T的顶点A，B，C定为AB=5，BC=6，CA=7。'

'在b=4，c=4√3和B=30°的情况下，求a，A，C和R。'

'在直角三角形中，有一组相加为20的两条直角边，求斜边最短的直角三角形，并求出其斜边的长度。'

'在△ABC中，外接圆的半径为R。求以下数值：(1) 当A=60°，C=45°，a=3时，求c和R'

'练习（1）在右图中，求线段 DE, AE 的长度。\n（2）利用右图，求下列值。sin 15°，cos 15°，tan 15°'

'请解释周角定理。'

'正三角形ABC的边长为1，分别在边AB、BC、CA上取与顶点不同的点D、E、F，AD=x，BE=2x，CF=3x。(1) 求三角形DEF的面积S与x的关系。(2) 求S的最小值对应的x值和最小值。'

'请根据以下文本说明图表是什么。'

'已知三角形ABC的角A的角平分線和邊BC的交點為D。分別求以下情況下線段156BD和AD的長度。'

'求内切于半径a的圆的正八边形的面积S。'

''

'在△ABC中，外接圆半径为R。求以下内容：(2) 当a=√2，B=50°，R=1时，求A和C的值'

'如何表示平面上点P(a, b)的坐标？'

'为了验证是否可以用圆形来绘制四个以上的集合，请尝试用圆形表示四个集合 A、B、C、D。首先，绘制集合 A、B、C 的欧拉图，并尝试将集合 D 的欧拉图添加到其中进行观察。\n\n接下来，为了验证是否可以用圆形绘制四个集合，请在平面上绘制四个不同的圆，并数出每个交点。在这种情况下，四个圆需要遵循以下规则：\n- 任意两个圆相交于两点\n- 任意三个圆不会相交于同一点\n\n计算由四个圆相交而产生的平面区域的数量，并验证该数量是否与由四个集合及其余集合共同部分组成的数量相匹配。'

'请解释勾股定理。'

'坐标平面上有一条直线和两个抛物线，直线L：y=ax+b，C_{1}：y=-2x^{2}，C_{2}：y=x^{2}-12x+33。当L与C_{1}和L与C_{2}分别有两个公共点时，成立a^{2}-a<b<a^{2}，其中a>0。'

'在三角形ABC中，找出以下内容。'

'求解下图形的面积。(2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \\sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ 平行四边形 \ \\mathrm{ABCD} \'

'三角形的解法（1）'

'请计算从给定坐标点到三角函数的值。(1) P(-1,1) (2) P(-√3, 1)'

'在三角形ABC中，当b=2，c=√5+1，A=60度时，要确定C是锐角，直角还是钝角。'

'关于三角形的条件p，q，r如下定义：\n p：三个内角都不相同\n q：不是直角三角形\n r：没有45度内角\n从选择中选择正确的填空选项：\n（1）命题“r蕴含(p或q)”的逆否命题是“a _______蕴含非r”。\n[选择] 0（力且q）\n (1）（非p且非q）\n (2）（尽量是q）\n（2）命题“(p或q)蕴含r”的反例是什么三角形？\n[选择] 直角二等边三角形\n (1) 内角为30度，45度，105度的三角形\n (2) 等边三角形\n (3) 3，4，5边长的三角形\n (4) 顶角为45度的等腰三角形\n（3）r是(p或q)的充分必要条件的因果关系。\n[选择] \n (0) 必要条件且充分条件\n (1) 只是必要条件，不是充分条件\n (2) 只是充分条件，不是必要条件\n (3) 不是必要条件也不是充分条件'

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'抛物线天线'

'在銳角三角形ABC中，從頂點B，C分別向對邊作垂線BD，CE。若BC=a，角A的大小為A，則線段DE的長度用a、A表示。另外，對於線段PQ，如果角PRQ=90度，則可以使用點R在以線段PQ為直徑的圓周上這一性質。'

'给定内切于圆的四边形ABCD。如果AB=4，BC=5，CD=7，DA=10，则求四边形ABCD的面积S。'

'在内切于圆的四边形ABCD中，AB = BC = 1，BD = √7，DA = 2，求：(1) A是多少？ (2) 边CD的长度是多少？ (3) 四边形ABCD的面积S'

'三角形的最小面积'

'三角形的最大角'

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'内切四边形的面积（1）'

'确定三角形的三边长为3、5和x时，x的取值范围使得三角形成为锐角三角形。'

'折叠了一张边长为10厘米的正三角形纸张ABC。'

''

'在三角形ABC中，若B=30°，b=√2，c=2，求A、C和a的值。'

'已知AB=6, BC=4, CA=5的三角形ABC，求角B的角分线与边AC的交点D，求线段BD的长度。'

''

'在直线 x=1 上，将 y 坐标为 sqrt{3} 的点命名为 T，则直线 OT 与半径为 1 的半圆的交点为图中的点 P。要求的角θ为∠AOP。'

''

'在△ABC中，b=3，c=√2，A=45°，求边a的长度。'

'在右图中, 求线段AB,BC和CA的长度。'

'请说明关于下面三角形的定理和公式。'

''

'(1)\\[ \egin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\\\ & =180^{\\circ}-(30^{\\circ}+105^{\\circ}) \\\\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\] \\text{因此,} \\triangle ABC \\text{的面积为} \\[ \egin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]'

'在内切圆中，四边形ABCD中，AB=2，BC=1，CD=3，cos ∠BCD=-1/6。这时，AD= ，ABCD的面积是多少。'

'一个长40厘米的长方形中，对角线的最小长度是多少？此时长方形是什么样的？设长方形的垂直长度为x厘米，则水平长度为(20-x)厘米。又 x>0 且 20-x>0 所以 0<x<20。设长方形的对角线长度为l厘米，则 l^2 = x^2+(20-x)^2 = 2x^2-40x+400 = 2(x-10)^2+200。当x=10时，l^2取最小值200。由于l>0，所以当l^2最小时l也最小。因此，对角线的最小值为 sqrt(200)=10 sqrt(2) 厘米。此时，水平长度为 20-x=10 厘米，因此，对角线长度最小时是正方形。'

'请说明笛卡尔平面上的象限，并举例说明第二象限。'

'三角形和外接圆、内切圆的半径'

'203基本三角形沉角三角形的条件'

'在四边形ABCD中，若AB=8，BC=5，CD=DA=3，A=60度，则对角线BD的长度是多少？'

'右图显示对30名学生进行的理科考试成绩箱线图。当将该箱线图转换为柱状图时，可从以下 0 到 2 选取对应的图。'

'在一个周长为40厘米的长方形中，求对角线的最小长度。同时，求出此时的长方形是什么样的。'

'有一个边长为6的正四面体OABC。以边OA的中点为L，以边OB按2：1分点为M，以边OC按1:2分点为N。求三角形LMN的面积。'

'一个内切于圆的四边形ABCD。如果AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10，则求四边形ABCD的面积S。'

'当∆ABC的三边长如下时，判断角A是锐角、直角还是钝角。'

'在半径为1的半圆周上，x坐标为1/2的点是P点。要求的θ是∠AOP。'

'在三角形ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°。若角A的角平分线与BC相交于D，则求线段AD的长度。'

'已知四边形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为p和q，它们所夹角为θ，求四边形ABCD的面积S。'

'不是平行四边形的四边形ABCD中，AD=BC。将AB, CD的中点分别记为P, Q，对角线AC, BD的中点分别记为M, N。(1) 用→AD, →BC表示→PQ, →MN。(2) 证明PQ⊥MN。'

'直线的极坐标方程(1)'

'求经过点 A(-3,0) 且在直线 x=3 上的圆的圆心为 P(x, y)，求点 P 的轨迹。'

'圆的极坐标方程(2)'

'求解点R的坐标'

'(1) 椭圆 $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$ (2) 圆 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$ (3) 双曲线 $\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\\frac{(y+1)^{2}}{9}=1$'

'考虑椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=4$ 和直线 $y=t(x+2)$ 的交点 $P(x, y)$，并以点 $（-2 , 0 ）$ 为例，表达出不包括该点的椭圆，使用参数 $t$。'

"椭圆\n在这一节中，我们将学习距离两个固定点的总和保持不变的点的轨迹。\n椭圆的方程\n在平面上，距离两个固定点F和F'的总和保持不变的点的轨迹。两个固定点F(c, 0)、F'(-c, 0)[c>0]被称为椭圆的焦点。让我们通过轨迹的思考方法来找出距离这两点的总和为2a的椭圆C的方程。"

'轨迹的极坐标方程'

'设k为常数。求椭圆x^{2}+4y^{2}=20和直线y=(1/2)x+k的交点数量。'

'阿基米德螺旋是什么？'

'求点P的轨迹，该点是距离TR点（F（0,1））和直线l：y=-1的距离之比为给定值的点。 107 (1) 1: 1 (2) 1: 2 (3) 2: 1 设P(x, y)，从P到直线l的垂线为PH，则PH=|y-(-1)|=|y+1|'

'在三角形的内心处\n（1）在三角形ABC中，AB = 6，BC = 3，CA = 4，内心为I。请用向量表示AI，其中AI = AB，AC。'

'让我们考虑下列曲线和它们的轨迹。(1) 在坐标平面上以原点为中心、半径为7的圆记为C1，以点F(4,0)为中心、半径为1的圆记为C2。内切于圆C1、外切于圆C2的圆心记为P，那么，P是什么关系？解答选项：(0) OP*FP为定值 (1) |OP-FP|为定值 (2) OP+FP为定值 (3) OP^2+FP^2为定值。因此，点P位于焦点为O、F、且长轴长度确定的椭圆上。'

'将半径为2的圆(x^2+y^2=25)按照y轴为基准，在x轴方向缩小3/5倍后会变成什么曲线？'

'以 (-2i) 点为中心的半径为2的圆为(1) (2)以 (-1/2i) 点为中心的半径为3/2的圆'

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'求椭圆x^2+4y^2=4上一点P与直线x+2y=3上一点Q之间的最短距离。'

'从以点1为中心、半径为1的圆中除去点2的部分。'

'第4章形式和曲线-整理为y^{2} = -12x，所以点P位于抛物线y^{2} = -12x上。反过来，抛物线上的所有点P(x, y)都满足条件。因此，所求轨迹是抛物线y^{2} = -12x。'

'阿波羅尼烏斯圓是什麼？'

'(1) 连接点0和点1的线段的垂直平分线 (2) 以点3为中心、半径为2的圆'

'求椭圆$x^{2} + 4y^{2} = 4$上的点P和直线$x + 2y = 3$上的点Q之间的最小距离。'

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'设TR为常数。求椭圆x ^ {2} + 4y ^ {2} = 20和直线y = \\ frac {1} {2} x + k的交点个数。'

'证明通过抛物线 \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) 的焦点 \ \\mathrm{F} \ 的直线，与该抛物线相交于点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \，点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 的 \ y \ 坐标乘积保持不变。'

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'求点F（1,0）到点P的距离与直线ℓ：x=-2到点P的距离之比为1:2。'

'求抛物线 $y^{2}=3 x$ 的焦点和准线。并画出它的大致形状。'

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'求通过点A（4,0）并与直线x=-4相切的圆心P(x, y)的轨迹。'

'给定三个不同的点A(α)，B(β)，C(γ)，并且当存在以下关系时，在以这三个点为顶点的△ABC中求出 86 个角的大小。'

'TRAINING 41\n从点 P(1,3)到直线ℓ: 2x-3y+4=0 画垂线, 交点为H。\n(1) 使用向量求点H的坐标。\n(2) 求点P到直线ℓ的距离。'

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'求三角形OAB。'

'在边长为1的正五边形ABCDE中，假设向量AB=b，向量AE=e。'

'【示例30（2）】\n（因为不是形式为$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$，所以根据条件式消去$s, t$。）\n$\\mathrm{O}(0,0)$，$\\mathrm{A}(1,0)$，$\\mathrm{B}(0,1)$，在直角坐标平面上考虑\n$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+(s+t) \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=(s, s+t)$\n设$\\mathrm{P}(x,y)$，则$x=s, y=s+t$...\n此外，$0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$\n由(1)，(2)，得$x \\leqq y \\leqq x+1, 0 \\leqq x \\leqq 1$\n由(3)所表达的区域是右侧的[图5]中的红色部分，因此点$\\mathrm{P}$的存在范围是[图6]中平行四边形OCDB的周围及内部。\n使用坐标解48页上的示例16\n$\\mathrm{O}(0,0)$,$\\mathrm{A}(1,0)$，$\\mathrm{B}(0,1)$，在直角坐标平面上考虑，$\\mathrm{OC}:\\mathrm{CA}=3:1$，$\\mathrm{OD}:\\mathrm{DB}=4:1$，所以$\\mathrm{C}\\left(\\frac{3}{4}, 0\\right)$, $\\mathrm{D}\\left(0, \\frac{4}{5}\\right)$\n\n直线AD的方程为$x+\\frac{5}{4}y=1$\n直线BC的方程为$\\frac{4}{3}x+y=1$\n解(1),(2)得$\\mathrm{P}\\left(\\frac{3}{8}, \\frac{1}{2}\\right)$，所以$\\mathrm{BP}:\\mathrm{CP}=\\frac{3}{8}:\\left(\\frac{3}{4}-\\frac{3}{8}\\right)=1:1$\n因此$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}}{2}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4}\\vec{a}+\\frac{1}{2}\\vec{b}=\\frac{3}{8}\\vec{a}+\\frac{1}{2}\\vec{b}$\n\n此外，类似地，求直线$\\mathrm{OP}$，$\\mathrm{AB}$的方程→解点$\\mathrm{Q}$的坐标，通过检查$\\mathrm{BQ}:\\mathrm{QA}$，可以用$\\vec{a}, \\vec{b}$表示$\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$。\n\n这样，可以用中学水平的计算方法求解线段的比值是非常有趣的。另外，在上述计算中，为了避免出现分数的C, D点坐标，可以将$\\mathrm{A}(4,0)$，$\\mathrm{B}(0,5)$继续进行。'