平面几何 - 几何证明

'由于两边是正的，所以进行平方操作得到(mb+1)² = m²+1，因此m{(b²-1)m+2b}=0，由于m≠0，所以m=2b/(1-b²)，因此，直线QR的方程是y=2b/(1-b²)(x-b)。'

'[1] 当且仅当 b ≠ 1 时，直线 QR 的方程是，以斜率 m 为 y=m(x-b) 形式，即 mx-y-mb=0'

'寻找轨迹的步骤 [1] 将轨迹上任意点的坐标表示为 (x, y) 等，并用关于 x，y 的条件来表示。 [2] 推导轨迹的方程，并求出方程所表示的图形。 [3] 确保图形上任意点满足条件。如果图形上的点有不符合条件的点，则将其排除。'

'[1] 当 ∠A=90° 时应满足的条件是，点A，C的y坐标相等，所以t²=t²-t-1，因此t=-1 [2] 当 ∠B=90° 时应满足的条件是，点B，C的y坐标相等，所以t-2=t²-t-1，即(t-1)²=0，因此t=1 [3] 当 ∠C=90° 时应满足的条件是AB²=BC²+CA²，其中AB²={(t²-(t-2))}²={(t²-t+2)}²，BC²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-(t-2)}²={(t²-2t+1)}²+3，CA²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-t²}²=(t+1)²+3，因此(t²-t+2)²=(t²-2t+1)²+3+(t+1)²+3，展开整理得到t³-t²-t-2=0，即(t-2)(t²+t+1)=0，由 t 为实数得t=2 [1]～[3]所以，所求的t值为t=-1,1,2。'

'(2) 设点P(x, y)，由AP=BP可知AP^2=BP^2，因此\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\n又，AP=CP可知AP^2=CP^2，因此\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\n解得P(3, 2)'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'所求切线通过点A且不垂直于x轴，可表示为y=m(x-6)+8，即mx-y-6m+8=0。'

'179号例题面积相等和函数决定\n求曲线y=x^{3}-6 x^{2}+9 x和直线y=m x围成的两个图形的面积相等的常数m的值。其中0<m<9。'

'通常情况下，曲线$f(x, y)=0$将平面分割成多个部分（块）。当$f(x, y)$是$x, y$的多项式时，在被分割的块内，$f(x, y)$的符号（正负）保持不变。'

'设m为实数。设平面上的抛物线为y=x^{2}，直线为y=mx+1，将它们的交点分别记为A，B，原点为O。'

'请找出距定点A、B的距离平方和为定值k的点P的轨迹。其中k大于0。'

'过点P的直线ℓ与曲线C相异，交于三个不同的点，交点的x坐标为α，β，γ(α<β<γ)。当直线ℓ与曲线C围成的两部分面积相等时，证明直线ℓ通过原点。'

'求满足条件的点P的轨迹，其中点P到固定点A、B的距离平方之差为常数k。这里假设k>0。'

'266 数学问题练习 182 => 本册 p .333\n(1) 直线 AP 的方程式是\n\ny = -3px + 3p\n\n直线和抛物线的交点 x 坐标是, -3px + 3p = -3x^2 + 3 的解。\n整理得到 x^2 - px + p - 1 = 0\n因此 (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\n因此 x = 1, p - 1\n线段 AP 和 C 有一个不同于 A 的点 Q 共享的条件是, Q 的 x 坐标为 p - 1\n\n*因此*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'求53元弦的长度\n直线y=-x+6切割圆x^2+y^2=25的弦长l。'

't是正实数。在xy平面上有两点P(t, t^{2}), Q(-t, t^{2}+1)和抛物线C: y=x^{2}。设由直线PQ和曲线C围成的图形的面积为f(t)，求f(t)的最小值及此时的t值。'

'满足给定条件的点所形成的图形称为满足给定条件的点的轨迹。要证明满足给定条件的点 P 的轨迹为图形 F，需要证明以下两点：1. 任意满足给定条件的点 P 都位于图形 F 上。2. 图形 F 上的任意点 P 都满足给定条件。'

"另外，将点 B(-2,2) 平行移动到点 O(0,0)，三角形 ABC 移动，其中点 A(2,3) 移动到点 A'(4,1)，点 C(1,-1) 移动到点 C'(3,-3)。因此，三角形 ABC = 三角形 A'OC' = 1/2 |4*(-3)-1*3| = 15/2。接下来，三角形 ABC 的外心是边 BC 和边 CA 的垂直平分线的交点。"

"给定中心为O半径为r的圆O。对于不同于O的点P，通过点O为端点的射线OP上的点P'被确定为OP*OP'=r^2，则将点P与点P'对应于圆O称为反转圆，其中心O称为反转中心。此外，当点P沿着图形F移动时，点P'描绘的图形F'称为F的反形。关于圆和直线的反形，有以下性质：（1）通过反转中心O的圆的反形是一条不通过O的直线。（2）不经过反转中心O的直线的反形是通过O的圆。（3）不通过反转中心O的圆的反形是不经过O的圆。（4）通过反转中心O的直线的反形是该直线本身。第71页的例题71是关于圆x^2+y^2=8的反转示例，点P的动画圈子通过反转圆的中心O，所以点Q绘制的图形是不经过O的直线2x+y-4=0。可以通过以下方式证明(1)-(4)成立。"

'在平面上运动的抛物线y=x^2上，点A、B和原点O相连成△AOB，且∠AOB=90°。求△AOB的重心G的轨迹。'

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'给定的三角形面积的最大和最小问题 51 | 给定0 < a < 根号3。有三条直线l：y = 1-x，m：y = 根号3 x + 1，n：y = ax。设l和m的交点为A，m和n的交点为B，n和l的交点为C。求使三角形ABC的面积S最小的a值。并求出此时的S。'

'直线AC垂直于l，因此 (q-1)/(p-7) * 1/2 = -1'

'练习(64=>本册p.138)(1)设a>0, 确定坐标轴使得A(-a, 0), B(a, 0)。设点P的坐标为(x, y)，根据给定条件AP^2+BP^2=k，得{(x+a)^2+y^2}+{(x-a)^2+y^2}=k，4x=1为两圆的公切线，第三章练习 几何 方程'

'(2) 当三角形PAB存在时，点P不在直线AB上。直线AB的方程为y=-x+2，由此和y=x^2消去y求解得x=1,-2，因此，为构成三角形PAB，需满足s≠1, s≠-2。R点坐标为(x, y)，由R是三角形PAB的重心可得x=\\frac{s+3+0}{3}，y=\\frac{t-1+2}{3}，因此s=3x-3，t=3y-1。(1)代入得3y-1=(3x-3)^2，即y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}。由于x≠\\frac{4}{3}， x≠\\frac{1}{3}，因此所求轨迹为抛物线y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}，但需排除点(\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3})和(\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3})。'

'从点P到抛物线y= \x0crac{1}{2} x^2$有两条切线时，将两个切点称为A、B，将线段PA、PB和由此抛物线围成的图形的面积称为S。 求S的最小值，当PA、PB相互垂直时。'

'形状的应用问题'

'重要例题182面积的最大最小（3）\n当曲线y = | x ^ 2-x |和直线y = mx有三个不同的交点时，在该曲线和直线围成的两个部分的面积和S最小时，求得m的值。\n[类似问题 山形大] <例题169'

'过点和曲线的范围\ a, b \为实数。平面上的抛物线为放物线\ C: y=x^{2}+a x+b \具有抛物线\ y=-x^{2} \和两个共享点，一个共享点的\ x \坐标满足\ -1<x<0 \，另一个共享点的\ x \坐标满足\ 0<x<1 \。 (1)在坐标平面上绘制点\\( (a, b) \\)可取的范围。(2)在坐标平面上绘制抛物线\ C \可取的范围。[东京大]'

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'设a为正常数。证明抛物线y=x^{2}+a上任意点P处的切线与抛物线y=x^{2}围成的图形面积是一个常数，不受点P位置的影响，并求出该常数值。'

'关于点 A(-2,-3)，找到与点 P(3,7) 对称的点 Q 的坐标。'

'求点P，使得从点A（-4,0）和点B（2,0）到点P的距离比为2：1的轨迹。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'求垂直平分连接点A（0，6）和B（4，4）的线段的方程。'

'点 P 在直线上 \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \ 上，其坐标记作 \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\)，其中 t>0\n根据 \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\)，\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ 所以 \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \，因此\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\n整理得到 \n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\n解方程得到 t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0，所以 t=2 \\sqrt{2}\n因此，点 P 的坐标为 \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'使用点和直线之间的距离'

'在△ABC中，假设边BC上的点D将其分为比例1:2的两部分。证明：2AB² + AC² = 3AD² + 6BD²。'

'联立不等式（1）至（4）表示的区域 D 是图中的斜线部分。 区域D包括边界线。 设总生产数量为k，即 x+y=k。 不等式（5）表示具有斜率为-1，y轴截距为k的直线。 可以通过找到直线（5）与区域D共有的点来确定k的最大值。 从图中可以看出，当直线（5）通过点（10,4）时，k的值最大。 此时k = 10+4 = 14，因此，总生产数量最大为14台。'

'证明从三角形ABC的三个顶点分别下垂线到对边或其延长线交于一个点。'

'求点A(-1,-2)，B(-3,2)到等距离的点P的轨迹。'

'请证明以下不等式。并且指出等号成立的情况。'

'通过两条直线的交点的直线方程'

'在图E中，由于斜线至两个三角形全等，所以角a和角b的和为90度。因此，角RPQ的大小也是90度，因此三角形PQR是直角二等腰三角形。因此，✕和-的总和为45度，所以图W中角x和角y的和为45✕2=90度。'

'从图2，图3，图4中，关于关东地区的天气情况，请选择所有正确的句子并回答符号。'

'图7显示了伸出右手的 Tetsuo 君和从上面看到的镜子的图像。站在镜子前面，让连接右眼和左眼以及右手尖端 H 的线与镜子平行，考虑看到镜子上手的尖端 H。只用右眼看镜子，确保看到镜中反射出的 H 与实际手的位置重合，并在镜子表面上标记 R。同样，只用左眼看镜子，确保看到镜中反射出的 H 与实际手的位置重合，并在镜子表面上标记 L。 (1) 在答题纸上对图中的 R 和 L 进行绘图，所用线条不能擦除。 (2) 在标记 R 和 L 后，向镜子垂直方向移动一步（箭头方向），保持相同姿势查看镜中反射出的手尖端 H。 当仅用右眼看镜子时，关于 R 的位置，镜中反射的 H 看起来如何？请选择最合适的选项。 同样地，当只用左眼查看镜子时，关于 L 的位置，镜中反射的 H 看起来如何？请选择最合适的选项并回答。'

"(6)卡尺图6的副刻度与(1)类似，最小刻度间距为1.95毫米。在图6中，与图3的P对应的刻度线位于本尺的20mm（在图3中对应P'的位置）略微超出的位置。另外，与图3的Q对应的位置，副尺的刻度为3.5，本尺的刻度为34mm。根据与(4)相似的推理，PP'的长度为34 - 20 - 1.95 × 3.5 × 2 = 0.35毫米。因此，按钮直径为20 + 0.35 = 20.35毫米。"

'在方塊B上畫的線的方向和方塊B旋轉的角度中選擇正確的答案，並給出符號。'

'关于下列问11项k的命题X和Y，以下哪个组合的正误是正确的，请选择一个编号作答。'

'关于金属棒的延展及其测量问题。'

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'我们进行了有关氨生成和性质的实验。回答以下每个问题。'

'根据图表的折线方式，将C的图表绘制到图3中，可以看出形成了粗虚线。从图3可以看出，在点燃前的长度方面，（最长，最短）的组合是（B，A）。而从图表的倾斜程度来看，可以求得每分钟燃烧长度的（最长，最短）组合是（C，A）。因此，①是（乌），②是（奥）。'

'在右图中，当在a处放上蓝色时，无法将蓝色放在1 <wide> (3)的位置。因此，当在b处放上蓝色时，无法将蓝色放在(4)～(6)的位置。类似地，通过思考可以得知，可以在c→d→e→f的位置放上蓝色，最多可以放置6片蓝色。从这种状态开始，可以将b处的蓝色移到(5)的位置，同时也可以将a处的蓝色移到(2)的位置。换句话说，在I列中的4块蓝色中，有2种方法可以将其中2块变为蓝色，即（a和b），（a和(5)， （2）和（5）三种方式。针对I列和正列也同样，所以放置6块蓝色的方法总共有3×3×3=27种。此外，无论哪种情况，剩余部分的图案都有2种可能性，所以总共有27×2=54种方法。'

'关于光的传播问题'

'画出平面图形1，直线上延长长度（1）起点OD至等于DL的点L，画OL的垂直平分线。为此，在OL的左侧选取点M使OM等于LM，在OL的右侧选取点N使ON等于LN，连接M和N。接着，连接P和D，画PD的垂直平分线。为此，在PD的左侧选取点Q使PQ等于DQ，在PD的右侧选取点R使PR等于DR，连接Q和R。然后，连接M和N，Q和R的直线的交点为S。最后，以S为中心画一部分穿过D和P的圆，O为中心的圆周与D以外的交点为E。'

'（1）①考虑图A（蓝色在中间），图B（蓝色在四角），图C（蓝色在边的中间）三种情况。在任何一种情况下，剩余部分不能使得上下左右相同，因此贴图的方法是唯一确定的。在这种情况下，如果黄色部分是红色的，那么另一半是黄色的；如果是红色的，那么另一半是黄色的，因此无论哪种情况都可以有两种图案。接下来，考虑蓝色的位置，图A的情况下有一种可能，图B和图C的情况下每种情况可以旋转90度得到4种可能，因此共有(1+4+4)×2=18种情况。'

'根据下划线部分d，用20到30个字回答木简相对于纸张的优点。'

'求直线 $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ 与平面 $\\alpha: x-4 y+z=0$ 之间的角度。'

'证明三角形OAB的内心P(z)满足给定等式。'

'当点 P(z) 沿着通过点 -1/2 且垂直于实轴的直线移动时，表示为 w=1/z 的点 Q(w) 描绘出什么样的图形？'

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'通过点A（1,1,0），找到垂直于直线$\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$的平面方程。'

'在平行四边形ABCD中，使对角线AC被内分成3：1的点为P，边BC被内分成2：1的点为Q。证明点D、P、Q共线。'

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'请说明满足共线条件、共点条件和共面条件的条件。'

'题：证明在三角形 ABC 中，边 AB 和边 AC 的中点分别为 D 和 E 时，有 BC // DE 且 BC = 2DE（中点线段定理）。'

'在极坐标中，通过点A(3，π)且垂直于始线的直线为g。 求从极点O和直线g到点P的距离的比率恒定的轨迹的极坐标方程。(A) 1:2 (B) 1:1'

'求两直线的锐角。'

'练习证明在由不同三个点O(0), A(α), B(β)作为顶点的三角形OAB中，顶点O的旁心为P(z)，则z满足以下等式。'

'证明共线条件。'

'求解满足方程 $|z-\\alpha|=|z-\eta|$ 的点 $P(z)$ 所表示的图形。'

"透過例題 123 中的幾何方法，可以證明：①。中線延長兩倍並創建平行四邊形的方法可以證明，但是需要一些輔助點和輔助線，因此不容易想到。將線段 AM 上的點 M 延長至點 H，使得 AM=MH，並且由 EM=GM 知四邊形 AGHE 是平行四邊形。因此 AE=GH，又由 AB=AE 得 AB=GH。進一步得知 AC=AG 且 AE // GH，因此∠EAG+∠AGH=π，所以∠AGH=π-∠EAG=∠BAC。因此∠AGH=∠BAC (1)〜(3) 以及由∠AGH=∠BAC 可知三角形 ABC ≡ 三角形 GHA，於是 BC=AH=2AM。並且的點 B'，使得 BC // B'A，可知∠MAE=∠GHA=∠ABC=∠BAB'，進而得∠MAB'=∠MAE+∠EAB'=∠BAB'+∠EAB' = π / 2。因此，AE // GH以及乙方形兩邊和其間的角分別相等。因此 AM ⊥ B'A，BC // B'A 可以得出 AM ⊥ BC 且 BC // B'A。"

'基本示例121 余弦定理的应用'

'请解释反向勾股定理。'

'(2)证明三角形ABC的三个角的大小分别用A、B、C表示时，等式(1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1成立。'

'(2)的结果表明，由于点X在边AC上作外分比，点Y也在边AC上作外分比，因此点X和点Y重合。也就是说，直线AC，PQ，RS相交于一点。\n\n请使用绘图软件确认。无论四边形ABCD的形状如何变化，直线AC，PQ，RS都会相交于一点。但请注意，在软件中移动点P、Q、R、S的位置。'

'将抛物线 y=2x^{2} 向 x 轴方向平移 -2，向 y 轴方向平移 3，得到的抛物线方程是什么？'

'在四面体ABCD中，假设BC=BD。记A点向平面BCD作垂线AO。若O点在∠CBD的平分线BE上，证明AE⊥CD。'

'证明：对于任意点P在三角形ABC及其边和中线上以外的情况下，有以下等式成立：\AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"关于80条半直线OX，将点A对称至点A'，关于半射线OY，将点B对称至B'，将直线A'B'与半直线OX的交点记为P，将直线A'B'与半直线OY的交点记为Q。"

'证明在三角形ABC中，外心O关于边BC，CA，AB的对称点分别为P，Q，R时，O是三角形PQR的垂心。'

'如图所示，分别在相邻的三个面ABCD，BEFC和CFGD上画出等间距的线，并假设可以沿着这些线前进。在以下各种情况下，找出通过最短路径的路线有多少种可能：(1) 从面ABCD上的A到C的情况 (2) 在面ABCD和BEFC上从A到F的情况 (3) 在面ABCD，BEFC和CFGD上从A到F的情况'

'在右边的图中，用红色、蓝色、黄色和白色4种颜料涂抹，让A、B、C、D的边界清晰可见时'

'在点A上相切的两圆。一个圆周上的点B处的切线与另一个圆在两点C、D处相交时，证明AB是∠CAD的外角的二等分线。'

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'请解释周角定理。'

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'第3章 图形的性质'

'在圆周上有三点A、Q、B，在直线AB上有一点P，当点P在直线AB上与点Q在同一侧时，通过反证法证明以下命题：∠APB > ∠AQB ⇒ 点P在圆内。'

'请绘制以三角形ABC的顶点为基础的正方形PQRS。'

'证明在三角形ABC中，顶点A处的内角的平分线与顶点B处的外角的60度平分线与顶点C处的外角的平分线相交于一点。'

'直线AG是角BAC的外角的二等分线。将半射线BA延长至点H，证明以下等式：'

'给定线段AB和点P在线段AB上。现在，在线段AB上作直角三角形ABC，使得AB为斜边，在线段AC上取点Q，在线段BC上取点R，使四边形PQCR成为正方形。请绘制正方形PQCR。'

'如图所示，内切于圆的三角形 ABC 的角 A 的外角 CAD 的角平分线与圆再次相交于点 E，与边 BC 延长线相交于点 F。若 AE = AC，则证明 BE = CF。'

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'在梯形ABCD中，其中PR / / BC，PR≠BC，将边PR，BC以比例m: n内分为P，Q。请证明直线AB，CD和PQ相交于一点。'

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'求长度的问题要点'

'证明如下图所示，对于直角三角形 ABC（其中∠B=90度）上的点D（D与B、C不同），然后取点E，使得∠ADE=90度且∠DAE=∠BAC。证明四点A、D、C、E共圆。'

'证明三角形ABC的角A的角平分线与边BC的交点为D，且边BC在AB:AC的比例下的内分点。通过以下两种方法证明：\n(1)以顶点C为起点，画一条与直线AB平行且与直线AD相交于点E的直线，观察三角形ABD和三角形ECD。\n(2)从点D向直线AB和AC引垂线，观察三角形ABD和ACD的面积。'

'参考（5）中除了1、3选项外的其他选项。首先，3点D、A、P在同一条直线上，因此这三点必不共圆。因此，包含点A、P的那个选项不适用。接着，根据选项可知4点D、A、C、E共圆（右上图）。所以三角形DAE的外接圆一定经过点C，因此不会经过点F。因此，第3项不适用。同样，三角形DCE的外接圆一定经过点A，因此不会经过点F。因此第4项也不适用。同理，通过注视经过4点D、C、P、Q的圆（右下图），可以得知第5项也不适用。'

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'证明当ABC的重心为G时，对于三角形ABC的边，中线以及它们延长线上的任意点P，成立以下等式'

'证明在三角形ABC中，外心O，边BC，CA，AB的对称点分别为P，Q，R时，O是三角形PQR的垂心。'

'证明在直角三角形ABC中，点P位于边BC上，且AB＜AP＜AC。'

'基本例题67 外心与垂心'

'想要对图中的A、B、C、D、E区域进行着色。相邻的区域需要使用不同的颜色，并且必须使用指定数量的颜色。每种着色方式有多少种？(1) 使用5种颜色 (2) 使用4种颜色 (3) 使用3种颜色'

'利用Thales定理证明：如果ABC的外接圆与∠BAC的平分线在点M相交，则MA = MB + MC蕪命題。'

'如右图所示，在三角形ABC的外部，取点D，E，F，使三角形ABD，BCE和CAF分别成为等边三角形。'

'在平行四边形ABCD中，满足AD // BC的条件。将边BC和DA按比例m：n分割，分点分别为P和Q。证明此时线段AC，BD和PQ相交于一点。'

'如右图所示，在直角三角形ABC（其中 ∠A=90°）的外部，作正三角形BAD和正三角形ACE。记线段CD与线段BE的交点为P，证明四点C, E, A, P位于同一圆周上。'

'找到从 P 点到 Q 点的最短路径，满足以下条件的路径总数。'

'使用树形图'

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{'title': 'Chinese', 'type': 'string'}

'使用门拉维定理证明当三角形ABC的边BC，CA，AB或其延长线分别与不通过三角形顶点的直线l相交于点P，Q，R时。'

'让我们考虑几何性质中的重要定理问题。利用以下几何形状的性质，我们将对指定问题进行证明。'

'基本例题 82 圆周角的定理的逆\n在右边的图中，L、M、N 分别是内切于四边形 \ \\mathrm{ABCD} \ 的边 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ 的中点。另外，直线 \ ML \ 与直线 \ DA \ 的交点为 \ \\mathrm{P} \，直线 \ NL \ 与直线 \ CB \ 的交点为 \ \\mathrm{Q} \。证明这时，4 点 \ \\mathrm{M}, \\mathrm{N}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ 在同一圆周上。'

'在三角形ABC中，内心I关于边BC，边CA和边AB的对称点分别为P、Q、R，那么关于三角形PQR，点I是什么类型的点？'

'垂直二等分线：点 P 在线段 AB 的垂直二等分线上。\ \\Leftrightarrow \ 点 P 与点 A、B 等距离。'

'证明从圆外一点P到圆作的两条切线长度相等。'

'证明重心和垂心重合的三角形ABC是等边三角形。'

'如右图所示，三角形ABC。在线段BC上有一个正方形PQRS，边QR，点P在线段AB上，点S在线段AC上。请绘制。'

'证明直线AB是三角形BDF的外接圆的切线。'

'证明线段AB，CD，PQ在一个点相交。提示：证明AB和PQ的交点与CD和PQ的交点相同。'

'右图显示了对30名学生进行科学测试的成绩制作成的箱线图。当将这个箱线图所基于的分数制成直方图时，可以从以下选项中选择。'

'如图右所示，从外接圆上的点P到直线AB，BC，CA分别引垂线PD，PE，PF。证明以下事实。'

'利用圆周角定理证明 A、B、P、Q 点在同一圆周上的条件。'

'角的平分线：点 P 在角 ABC 的平分线上。'

'证明四边形内切于圆的基本例题83'

'練習68\n將銳角三角形ABC的垂心標為H，外心標為O，邊BC的中點標為M，線段AH的中點標為N。根據線段MN的長度等於三角形ABC外接圓的半徑，以及AH=2OM成立的條件來證明。'

'利用特莱姆定理证明，如果三角形ABC的外接圆与∠BAC的角平分线相交于M，则当MA = MB + MC时，有84AB + AC = 2BC。'

'证明在三角形ABC中，重心G的情况下成立以下等式：AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'已知AB=AC，ABC是一个等腰三角形，在底边BC上取两点F、G，连接三角形ABC的外接圆弦AFD、AGE，证明以下事实。 (1) AB² = AF * AD (2) 点D、E、F、G共圆。'

'证明在三角形ABC中，边BC的中点为M时，等式AB²+AC²=2(AM²+BM²)成立（中线定理）。'

'证明在梯形ABCD中，其中AD//BC，AD≠BC，边AD,BC被等比例m:n分点分别是P,Q。那么AB,CD,PQ三条直线将会相交于一点。'

'梅内劳斯定理'

'使用切线定理证明问题'

'如图右侧所示，以O为中心绘制扇形OAB。在线段OA上有正方形PQRS，其中边QR与线段OA重合，顶点P位于线段OB上，顶点S位于弧AB上。'

''

'如何考虑图形的面积问题'

'求解角度问题的关键'

'在圆 O 上，从圆外一点 P 引切线 PA，PB，并画过点 M 的弦 CD。证明点 P，C，O，D 四点共圆。其中，C，D 不在直线 PO 上。'

'已知圆O的周围和内部分别给定点A、M。现在，通过M作弦PQ，使AM成为∠PAQ的平分线。请绘制这样的弦PQ。'

"证明通过点P外切的两个圆O，O'的公共外切线的切点分别为C，D，"

'已确定圆O的周长和圆内的定点A，M。现在，画出通过点M的弦PQ，使AM成为∠PAQ的角平分线。请绘制这样的弦PQ。'

'熟练运用维恩图，攻克示例49！'

'给定长度为1的线段AB和长度为a、b的线段，要求绘制长度为b/3a的线段。'

''

'训练 25'

'请按照右图所示，在锐角三角形ABC内部，作一个矩形PQRS，其中2PQ=QR，边QR在边BC上，顶点P在边AB上，顶点S在边CA上。（只需描述作图方法）'

''

'将给定文本翻译成多种语言。'

'在右图中，△ABC和△CDE都是正三角形，并且顶点B、C、D位于同一直线上。设AD和BE的交点为F，则证明点A、B、C、F共圆。'

''

'想要为右图中的A、B、C、D、E区域着色。当使用不同颜色对相邻区域进行着色时，使用三种颜色进行着色的方式有多少种？'

'题目：比值的长度，表示为线段的乘积\n给定长度为1的线段AB和长度为a，b的线段时：\n(1) 请绘制长度为a/b的线段。\n(2) 请绘制长度为2ab的线段。'

'回顾切线长度和切线定理！'

'证明尖角三角形ABC的顶点B，C到对边的垂线BE，CF，BE和CF的交点为H。将直线AH和边BC的交点记为D，证明AD垂直于BC。'

'四边形ABCD内接于圆, AB=4, BC=2, DA=DC。 对角线AC, BD的交点为E, 线段AD被内部分比为2:3的点为F, 线段FE交DC于G。(2)考虑直线AB经过点G的情况。这时, 三角形AGD的边AG上有点B, 所以BG=。另外, 直线AB和直线DC于点G相交, 4点A, B, C, D在同一个圆周上, 所以DC=。'

'证明在三角形ABC中，角B的角平分线与角C的角平分线相交于点I，从点I分别向边BC、CA、AB引垂线得到IP、IQ、IR，则IR=IP，IP=IQ，因此IR=IQ，即IP=IQ=IR，故点I也在角A的角平分线上。因此，三角形ABC的三个内角的角平分线相交于一个点I。将这个点称为三角形的内心，以内心为圆心与三边相切的圆称为内切圆。'

'请按照右图所示，将扇形OAB内部画一个以O为中心的正方形PQRS，使边QR在线段OA上，顶点P在线段OB上，顶点S在弧AB上。（只回答作图的方法）。'

'平面的上色。'

'请绘制将给定线段AB内分为3：2的点。'

'绘制线段AB的垂直二等分线的图(1)分别以点A和B为中心，绘制半径相等的两个圆，将两个圆的交点标记为C和D。(2)画出直线CD。'

'对于(1)，(2)分别根据指示求线段AD的长度。'

'如右图所示，内切两个半径不同的圆在点A相切。通过内圆在点D相切的直线，与外圆交于点B，C。证明AD平分∠BAC。'

'给定25个区域（平面）的例题：'

'针对TR的子集合A，B，使用图形来验证以下等式成立。'

'有△ABC及其外接圆, 在边BC上取点D使得∠BAD=∠CAD。另外, 在点A处作圆的切线与直线BC的交点为P。证明PA=PD。'

'请按照右图所示，在以O为中心的扇形OAB内部绘制正方形PQRS，使边QR在线段OA上，顶点P在线段OB上，顶点S在弧AB上。（只需提供绘制方法）。'

'想要将右侧图中的A、B、C、D、E区域着色。当用不同颜色对相邻区域进行着色时，用4种颜色以内进行着色，那么有多少种着色方式？'

"证明在相切的两个圆O，O'上，通过公共弦AB上的点P的圆O的弦为CD，圆O'的弦为EF时，四点C、D、E、F在同一圆周上。但是请注意，四点C、D、E、F不共线。"

'证明四面体ABCD中，以下情况成立：（甲）设边AD的中点为M，则AD垂直于平面MBC；（乙）AD垂直于BC。'

'平面α上有直线ℓ。点A不在α上，点B在ℓ上，点O在α上但不在ℓ上。证明以下内容：OB垂直于ℓ，AB垂直于ℓ，OA垂直于OB则OA垂直于α。'

"有两个圆O，O'，它们在两点P、Q处相交。通过点P的直线与圆O，O'相交于点A、B，通过点A、Q的直线与圆O'相交于点C。将点A处圆O的切线命名为AD，则AD // BC。请证明这一点。"

''

'在右图中，找到 x、y、z。 其中，ℓ是圆 O 的切线，点 A 是切点。另外，在 (2) 中 ∠ABD=∠CBD。'

"如右图所示，有两个圆O和O'，在点P和Q相交。以点P为圆O的切线与圆O'的交点记为A，以直线AQ与圆O的交点记为B，以直线BP与圆O'的交点记为C。证明AC=AP。"

"如图所示, 有两个圆O和O'，它们交于两点P和Q。将点P到圆O的切线与圆O'相交于点A，将直线AQ与圆O相交于点B，将直线BP与圆O'相交于点C。证明AC = AP。"

'逆柱面定理'

'在圆周上有三个点A、B、Q，当点P在直线AB上与点Q在同侧时，证明以下结论成立：\n1. 点P在圆周上⇒∠APB=∠AQB\n2. 点P在圆内部⇒∠APB>∠AQB\n3. 点P在圆外部⇒∠APB<∠AQB'

'绘制AOB角的平分线的图示 (1) 画一个以点O为中心的任意半径圆，将半径线OA、OB的交点分别标记为C、D。(2)以点C、D为中心分别画等半径的两圆，将两圆的交点之一标记为E。(3)画出半径线OE。'

'在给定图中，求解 α, β。其中，ℓ 是圆 O 的切线，点 A 是切点。另外，在 (3) 中 PQ // CB。\n(1)\n(2)\n(3)\n关注切线和三角形的 CHART 定律\n(2) ∠CAB 的大小可以通过圆周角定理求得。\n(3) 由 PQ // CB 可知 ∠ABC=∠BAQ\n（1）在直线 ℓ 上取点 D 如图右侧所示\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\n因此 α=∠BAD=70°'

'在绘制平行线 (*) 后，通过绘制到PQ的垂线，可以绘制与l平行的直线。'

'证明角的平分线的性质'

'绘制线段PQ的垂线：(1) 以点P为中心绘制任意半径的圆，并与直线l相交于点A、B。 (2) 以点A、B为圆心分别绘制相同半径的圆，将这两个圆的交点之一定义为Q。 (3) 画出直线PQ。'

'使用切瓦定理的逆定理来证明以下内容：（1）三角形的三条中线相交于一点。（2）三角形的三个角的平分线相交于一点。'

'如右图所示，两个接触到点A的半径不同的圆。从内圆引一条经过点D的线， 见外圆的交点为B，C。证明AD角BAC。'

'设点P(2,3,1)，分别找到点D，E和F，它们是点P关于xy平面，yz平面和zx平面的对称点。求出点D，E和F的坐标。'

'证明对于相等的圆周角，弧长也是相等的性质。'

'请绘制给定线段AB并将其外分为5:1。'

'有两个与点P相切内切的圆。 如右图所示，直线通过点P且与外圆的交点为A，B，与内圆的交点为C，D。 请证明AB和CD是平行的。'

'（1）在右边的正方形ABCD中，哪一个是内切圆？\n（2）锐角三角形ABC的边BC上取点D（与点B、C不同），从点D分别向边AB、AC引垂线DE，DF。证明四边形AEDF内接于圆。'

'证明17：“AB”和“CD”，或者“AB”的延长线和“CD”的延长线的交点是P时，如果PA * PB = PC * PD，则点A、B、C、D四点在同一圆周上”的逆命题。'

'证明$\\angle BAT = \\angle ACB$。'

'在右图中，由于∠CAD=∠EBC，所以四边形ABDE内切于圆。因此，根据周角定理，∠ADE=∠ABE。另外，因为∠BEC=90度，∠ADC=90度，所以四边形CEHD内切于圆。∠HEC+∠HDC=180度。由于对角和为180度，所以四边形CEHD内切于圆。'

'证明对任意三直线l、m、n，如果l // m，m // n，则l // n。'

'在三角形ABC中，如果边AB的中点是D，边AC的中点是E，则DE // BC，且DE = 1/2 BC。连接三角形顶点和对边中点的线段称为三角形的中线。关于三角形的三条中线，有以下性质。定理5：三角形的三条中线相交于一点，该点将每条中线内分为2:1。'

'请绘制将给定线段AB内分为1：4的点。'

'证明锐角三角形ABC的内心I，并且直线BI、CI分别与边AC、AB相交于点E、D。如果DE // BC，则证明AB=AC。'

'426'

'切瓦定理'

'第3章 图形与方程式97 (2) 线段BC以x轴为直线, 过点D作于直线BC垂直的直线作为y轴, 点D成为原点O, 表示为A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0)。 这时 2AB²+3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²}+3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a²+5b²+30c² = 5(a²+b²+6c²) 也 3AD²+2BD² = 3{(-a)²+(-b)²}+2(3c)² = 3(a²+b²+6c²) ...(2) (1), (2) 由此可得 3(2AB²+3AC²)=5(3AD²+2BD²)'

'总结了点定理、公式和重要性质。'

'斜线部分可以用什么不等式来表示？请按照以下步骤说明。'

'在平面上，有三个点A（2，-2），B（5，7），C（6，0）位于xy坐标平面上。证明三角形ABC的每条边的垂直平分线相交于一点（这个交点是三角形ABC的外接圆心，也称为外心）。'

'在平面上有三个点A(2,-2), B(5,7), C(6,0), 证明三角形ABC的每条边的垂直平分线在一个点相交(这个交点是三角形ABC的外接圆心也称为外心)。 提示: 证明线段AC的垂直平分线和线段AB的垂直平分线的交点位于线段BC的垂直平分线上。'

''

'请绘制以下不等式表示的区域。'

'通过从平面上的点（5,0）和（3,6）垂直投影到直线l上且投影长度相等的条件，求直线l的方程。假设直线l通过原点。'

''

'证明：△ABC的边BC的中点为M时，有AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)（中线定理）。'

'证明当在三角形ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，使得BD:DC=CE:EA=AF:FB时，三角形DEF的重心和三角形ABC的重心重合。'

'如何确定切线的方程'

'第3章 图形与方程式\n2条直线(1)，(2)垂直的条件是\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1 解得 a=\\uparrow-3\n另一种解释2 条直线 (1)、(2) 平行的条件是\n\3⋅a-1⋅1=0 因此a=\\frac{1}{3}\\n2 条直线 (1)、(2) 垂直的条件是\n\3⋅1+1⋅a=0 因此a=\\uparrow-3\\n垂直⇔斜率的乘积为-1⇽2 条直线\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 和\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 时\n平行⇔a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\n垂直⇔a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'证明△ABC的重心为G时，满足AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)。'

'第3章 几何图形与方程式\n121\n关于直线2x - y + 3 = 0，设点Q关于其对称点为P。当点Q沿着直线3x + y - 1 = 0移动时，请求点P的轨迹。'

'为了使 y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x, y=x^{2}-a x 所描绘的曲线围成的两个部分的面积相等, 确定正常数 a 的值。'

'求点P(4,2)绕点A（2,5）旋转π/3后的点Q的坐标。'

'通过两条直线交点的直线'

'求由直线x - y + 1 = 0，2x + y - 2 = 0，x + 2y = 0形成的三角形的面积。'

'证明三角形ABC中的等式'

'三角形的边长与三角函数的关系，其中也有以下的表达式。'

'证明三角形ABC的内角A、B、C的大小关系。'

'请标明以下术语的相关页面：①条件 ②推移律（不等式）③接点'

'证明当将三角形ABC的内角∠A，∠B，∠C表示为A，B，C时，等式（1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1成立。'

'问题3 空间几何与测量'

'如右图所示，将正十二边形通过对角线分成12个相同的三角形，取3点O、A、B，则∠AOB=360°÷12=30°，OA=OB=a，根据三角形OAB，余弦定理可得1=(2-√3)a²，因此a²=1/(2-√3)=(2+√3)/((2-√3)(2+√3))=2+√3，所以S=12个三角形OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3)'

'(2)将其沿x轴平行移动1，轴线为直线x=1，顶点为点(1,0)'

''

'用两种方式表示图形量'

'总结三角形的解题方法，三角形的六个要素（3条边 a、b、c 和 3个角 A、B、C)，为了确认一个三角形，至少需要具备以下三个条件中至少一个包含一条边：[1] 一条边和其两个相对的角[2] 两条边和它们之间的角[3] 三条边。根据这些条件，当我们要求解其他三个要素时，我们会解释定理的使用方法。'

'在三角形ABC中，证明如下等式成立：\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'三角形内角的二等分线长度（2）'

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'有一张边长为 10 厘米的正三角形纸。将这个正三角形的顶点标记为 A、B、C，令点 P 在边 BC 上且 BP = 2 厘米。将这个正三角形的纸折叠，使顶点 A 重合于点 P，折痕与边 AB、AC 的交点分别为 D、E。此时 AD = 2 平方厘米，AE = 1 平方厘米，三角形 ADE 的面积为 3 平方厘米。'

'三角形解法(2)'

'过原点，与直线y=x成15度角的直线可以画两条。求出这些直线的方程。'

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'关于原点的对称移动，顶点为 \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\)，成为下凸抛物线\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { 也可以 }\\right)\\]\n\ \\hookleftarrow x \ 和 \ y \ 坐标都交换符号，从上凸变为下凸。'

'将抛物线 y = -2x^2 + 3 沿 x 轴方向移动 -2，y 轴方向移动 1 后，求新抛物线的方程。'

'在直角三角形ABC中，如果BC=18，CA=6，點D在斜邊AB上，從D分別向BC和CA畫垂線DE和DF。求當△ADF和△DBE的面積之和最小時，線段DE的長度和該時的面積。'

'将点 A 的极坐标设为 (3,0)。找到到极点 O 的距离与过点 A 且垂直于始線的直线 l 距离相等的点 P 的极轨迹方程。'

'在边长为1的正四面体ABCD中，将边AB、CD的中点分别记为E、F，将三角形BCD的重心记为G。'

'证明通过焦点的短轴平行于弦AB的椭圆，短轴长度的平方等于长轴长度与弦AB长度120的乘积。HINT：将椭圆方程表示为x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）。'

'在坐标平面上，当长度为9的线段AB的两端A，B分别沿着x轴，y轴移动时，求线段AB的1：2内分点P的轨迹。'

'证明四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA的中点分别为P, Q, R, S, 对角线AC, BD的中点分别为T, U。证明线段PR的中点, 线段QS的中点, 线段TU的中点都相同。'

'确定平面方程式'

'证明四面体OABC中，∆OAB的重心为G1，∆OBC的重心为G2，则G1G2 // AC。'

'摩擦圈的擴展\n與摩擦圈（м。248）相關的曲線包括以下內容。\n- 渦輪\n當半徑為 \ a \ 的圓在沒有摩擦地沿定直線 \（x \軸 \\) 上旋轉時，定點 \ \\mathrm{P} \ 位於距離圓心 \ b \ 的位置上繪製的曲線被稱為渦輪。特別是當 \ a = b \ 時，點 \ \\mathrm{P} \ 位於圓周上，點 \ P \ 繪製的曲線是摩擦圈。\n渦輪的參數方程表示為 \ x = a \\theta - b \\sin \\theta, y = a - b \\cos \\theta \ \ \\qquad \ （＊）。（＊）表示，舉例來說，在上圖中，注意直角三角形 \ APB \，則可以導出 \\( x = a \\theta - b \\cos \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right)，y = a + b \\sin \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\)。\n\n參考外摩擦圈，內摩擦圈 D.253。\n\n當半徑為 \ b \ 的圓 \ C \ 在不與定圓心 \ a \ 外接的情況下旋轉時，圓 \ C \ 上的定點 \ \\mathrm{P} \ 繪製的曲線稱為外摩擦圈。此外，當半徑為 \ b \ 的圓 \ C \ 在不與定圓心 \ a \ 內接的情況下旋轉時，圓 \ C \ 上的定點 \ \\mathrm{P} \ 繪製的曲線稱為內摩擦圈。正如前頁所學，這些曲線的參數方程表示如下。\n- 外摩擦圈\n\\[\n\\left\\{\egin{array}{l}\nx = (a + b) \\cos \\theta - b \\cos \\frac{a + b}{b} \\theta \\\\\ny = (a + b) \\sin \\theta - b \\sin \\frac{a + b}{b} \\theta\n\\end{array}\\right.\n\\]\n\n例如，當 \ a = b, a = 2b \時的外摩擦圈的概形如下。\n \ a = b \時\n \ a = 2b \時\n\n注意: 當 \ a = b \ 時，這個曲線被稱為心臟形。\n- 內摩擦圈\n\\[\n\\left\\{\egin{array}{l}\nx = (a - b) \\cos \\theta + b \\cos \\frac{a - b}{b} \\theta \\\\\ny = (a - b) \\sin \\theta - b \\sin \\frac{a - b}{b} \\theta\n\\end{array}\\right.\n\\]\n\n例如，當 \ a = 3b, a = 4b \ 時的內摩擦圈的概形如下。\n \ a = 3b \時\ a = 4b \時\n\n注意: 當 \ a = 4b \ 時，這個曲線被稱為星輪形。'

'练习67-> 本册第134页(1) 两平面α，β的方程式分别为(1)，(2)。(2)-(1)得到'

'平面上的点的存在范围\n对于三角形OAB，当\ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \时，点P的存在范围为\n（1）直线AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\n特别是线段AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n（2）三角形OAB的周长和内部\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\]\n（3）平行四边形OACB的周长和内部\n\\[ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) 点 F 对线段 OA 对称于点 C，因此三角形 ADF ≡ 三角形 ADC，所以，三角形 ADF = 1/6 三角形 OAB，则 三角形 ADC = 1/6 三角形 OAB。另外，三角形 ADC = 1/3(1-α) 三角形 OAB，所以 1/3(1-α) = 1/6，解得 α = 1/2，这满足 0 < α < 1。'

'求通过给定三点的平面方程。'

'请解决以下向量问题：\ \\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \的面积分别表示为三角形ABC的面积S。'

'求具有渐近线为两条直线 y=√3x, y=-√3x，焦点之间距离为4的双曲线方程。'

'重要例題 57 | 平面的方程式\n求取过点 A(0,1,-1), B(4,-1,-1), C(3,2,1) 的平面方程。'

'请证明以下定理成立：\n定理1：次分数变换将复平面上的圆转换为圆'

'(4) 垂心（若三角形ABC为锐角三角形）……3条垂线的交点H(h)\n直线AH和边BC的交点，直线CH和边AB的交点分别为D、E，则BD=AD/tanB，DC=AD/tanC，因此BD:DC=tanC:tanB，同理AE:EB=tanB:tanA，故由(*)得三角形BCH:三角形CAH:三角形ABH=tanA:tanB:tanC，因此，(**)得h=(tanA)a+(tanB)b+(tanC)c/(tanA+tanB+tanC)'

'考虑正整数42k，并定义在区间2kπ≤x≤(2k+1)π上的两条曲线C₁：y=cos x和C₂：y=(1-x²)/(1+x²)。'

'求点P处的切线方程，渐近线及交点坐标，证明三角形OQR的面积与选择点P的方式无关。'

'请找出从极点 O 到直线的垂线脚 H 的极坐标为 (p, α) 的直线的极坐标方程。'

'根据条件'

'重要例题67平面的交线，其中包括平面的方程2平面α:3x-2y+6z-6=0⋯⋯(1) β:3x+4y-3z+12=0⋯⋯(2)的交线作为空。(1)交线ℓ的方程x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n的形式表示。(2)包含交线ℓ，通过点P(1,-9,2)的平面γ的方程。'

'利用复数平面证明下列定理。对于内切于100圆的四边形ABCD，成立等式AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD（特蕾米定理）。'

'练习（2）通过一个二次曲线的一个焦点F的两条弦PQ和RS互相垂直时，证明1/PF*QF + 1/RF*SF是一个常数。'

'曲线x ^ 2 - y ^ 2 = 2的第四象限部分为C，点（√2，0）为A，原点为O。曲线C上点Q的切线为l，通过原点并垂直于切线l的直线的交点为P。\xa0(1) 当点Q在曲线C上移动时，证明点P的轨迹由以原点为极点的极坐标方程r ^ 2 = 2cos 2θ （r> 0，0 <θ <π / 4）表示。(2) 在（1）中，求使三角形OAP的面积最大化的点P的直角坐标。'

'有一個半球形的凹面鏡。以球的中心为 O，半徑為 r，直徑為 AB。 從點 A 到直徑 AB 和 θ 形成的光線在鏡面上點 P 反射，並交於直徑 AB 的點 Q，使得∠APO=∠OPQ。當點P無限接近點B時，點Q將無限接近於何處。'

'证明在内切于圆的四边形中，面积最大的是正方形。'

"关于圆 O 的反转（将此圆 O 称为反转圆），假设点 P 移动到点 P'。此时，点 P 和点 P' 是关于圆 O 的镜像，又或者说点 P' 是点 P 的镜像。如右图所示，关于圆 O 的反转会使圆 O 内部的点移动到外部，圆 O 外部的点移动到内部。而圆 O 上的点不会移动。需要注意的是，根据以上反转的定义，无法定义中心 O 的移动位置，但有时我们将中心 O 的移动位置看作无穷远点，这是一个虚拟点的概念，在大学数学中会学到。进行反转作图反转关于圆 O 的反转，使点 P 移动到点 P'，可以按照以下步骤进行作图。掌握了这些步骤，就能更容易理解反转的概念。[1] 过点 P 作与 OP 垂直的直线与圆 O 相交于 A。[2] 在点 A 处，圆 O 的切线与直线 OP 的交点为 P'。解释 △OAP' ∼ △OPA 可得 OA:OP=OP':OA，因此 OP ⋅ OP' = OA² = r²（圆的半径的平方）。需要注意的是，即使点 P 在圆外部，也同样可以用相同方法作出点 P'。关于反形的一些性质关于圆 O 的反转，有以下四个性质。(1) 通过反转圆的中心 O 的圆会被映射为不经过 O 的直线。(2) 不经过反转圆的中心 O 的直线会被映射为经过 O 的圆。(3) 不经过反转圆的中心 O 的圆会被映射为不经过 O 的圆。(4) 经过反转圆的中心 O 的直线会被映射为该直线本身。"

'研究以点 A(𝐚)、B(𝐛)、C(𝐜) 为顶点的三角形的五心（重心、内心、垂心、外心、旁心）的位置向量，使用 𝐚、𝐛、𝐜 表示这些五心的表达方式。'

'重要主题 40 | 向量大小比较'

'将给定的方程转化为'

'请说明线段AB与CD垂直的条件。'

'学习用参数表示椭圆，通过消去t用x和y表示。'

'设内切于圆的四边形ABPC满足以下条件(a)、(b)：\n(a) 三角形ABC是正三角形。\n(b) AP与BC的交点将线段BC内分为p：(1-p) [0<p<1]。\n请将向量AP表示为向量AB、向量AC和p。'

'请介绍使用古希腊方法进行面积和体积计算的数学家。'

'重要例题57 | 平面的方程式\\n通过点A（0,1,-1），B（4，-1，-1），C（3,2,1）的平面方程式是什么？'

'证明六边形内切于二次曲线。'

'当点 z 沿着以原点 O 为中心、半径为 1 的圆运动时，由 w=(1-i) z-2 i 表示的点 w 描绘了什么样的图形？'

'求通过以下三点的平面方程：\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'对于| x-π/2 |，被右图中的灰色部分包围，关于直线 x = π/2 对称时，求体积 V。'

'设平面上有四边形ABCD。若对角线AC和BD垂直，则证明以下情况成立：\n(1) 令$\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$, $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$，则$\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$。\n(2) $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$。'

'已知四边形ABCD具有对角线AC和BD，并且点O是四边形ABCD的外接圆心。记向量OA，OB，OC，OD为a，b，c，d。'

'证明穿过抛物线 $y^{2}=4 p x(p>0)$ 的弦 $PQ$ 的两端和原点 $O$ 的线段 $PO$，$QO$ 是垂直的，则弦 $PQ$ 经过一个固定点。'

'如果曲线 $f(x, y)=0$ 满足 $f(x,-y)=f(x, y)$ 则关于 x 轴对称，$f(-x, y)=f(x, y)$ 则关于 y 轴对称。\n设曲线上点 Q 的坐标为 $(x, y)$，推导出 x 和 y 的关系式。'

'第3章 图形和方程式 总结 圆的切线的求法'

'给定长度为4的线段AB。当点A，B上的点P满足等式2AP²-BP²=17时 (2) 移动71，求点P的轨迹。'

'已知点 (1,1) 到直线 ax - 2y - 1 = 0 的垂线长度为√2时，求常数a的值。'

'求2直线x+3y-6=0, x-2y+2=0所成锐角θ。'

'对称轴，点与直线的距离'

'练习（4）127 在直线y = a x+1−a^2/4.（1）上，当a取任意实数时，描述直线（1）可能经过的区域。'

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'在二维平面上，除原点外，取三个不同的点P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3）。另外，取三条直线l1：a1x+b1y=1，l2：a2x+b2y=1，l3：a3x+b3y=1。'

'思考如何利用图形证明加法定理和倍角公式。虽然 α、β 和 θ 的取值范围受限，但可以通过图形来理解加法定理的几何意义，发现很有趣的东西。'

'请绘制点（x+y，x-y）的移动区域图，当实数x，y满足以下条件时：(1)-1≤x≤0，-1≤y≤1'

'关于三角形ABC的顶点A（6,13），B（1,2），C（9,10）：（1）求通过点A且将三角形ABC的面积平分为2等分的直线方程。 （2）通过将边BC内分为1：3的点P，并将三角形ABC的面积平分为2等分的直线方程。'

'在方程组中代入 x=3 得到 y=5，在方程组中代入 y=2 得到 x=-1，因此三角形的顶点坐标为(-1,2),(3,2),(3,5)，所求圆的半径为 r，中心的坐标表示为(3-r,r+2)，满足-1<3-r<3且2<r+2<5，解得0<r<3。直线3x-4y+11=0与圆心距离为圆的半径，因此|3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r，解得|12-7r|=5r，即12-7r=±5r，从中得到r=1，当r=1时，中心坐标为(2,3)，所求圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1'

'两条直线的关系'

'思考如何解决寻找圆的方程问题。'

'取点A(-3,0)，考虑位于0°<θ<120°范围内的θ，满足以下条件(a)，(b)的2个点B、C。'

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'求出下列直线的方程式。'

'证明三角形ABC的三条中线交于一点。'

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'练习（1）2条直线 \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \ 所成锐角 \ \\theta \。'

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'求通过点 A、B 并具有恒定角度 α 的角度 APB 的点的轨迹。'

'请证明从△ABC的三个顶点分别垂直下垂的对边或其延长线在一个点相交（这三条垂线相交的点称为三角形的垂心）。'

None

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'(1) 证明三角形ABC的三条中位线相交于一点。(2) 在三角形ABC中，证明2AB²<(2+AC²)(2+BC²)成立。'

'关于圆周率π，请证明以下不等式成立。但请不要使用π=3.14…… 。[大分大]'

'通过找到以原点为中心顺时针旋转π/4得到的曲线的方程，证明曲线C是双曲线。'

'通过找到原点为中心旋转 π/4 后得到的曲线的方程，证明曲线 C 是双曲线。'

'证明在四边形OABC中，若OA的平方加上BC的平方等于OC的平方加上BA的平方，则OB与AC垂直。'

'证明三角形ABC的边AB、AC的中点分别为D、E时，BC // DE，BC=2DE成立（中点连线定理）。'

'过点 (1,1) 的曲线上的点 P 处的切线分别与 x 轴、y 轴相交于点 Q、R，以原点 O 为中心。假设该曲线位于第一象限，且始终满足 △ORP = 2△OPQ，则求曲线的方程。'

'关于曲线的对称性。'

'证明曲线 \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a}（a > 0）上的点 P（不在坐标轴上）处的切线分别与 x 轴、y 轴相交于点 A、B，则原点 O 到点 A、B 的距离之和 OA + OB 是固定的。'

'证明在四边形OABC中，若OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2，则OB ⊥ AC。'

'求解满足以下条件的点的轨迹：点 F 到原点距离等于到直线 l 的距离。这里，F 是（c，0），l 是 y 轴（x=0）。'

'通过椭圆的焦点画一条与短轴平行的弦 AB。证明短轴的长度的平方等于长轴长度和弦 AB 长度的乘积。'

'证明当单位圆上的不同三个点A（α），B（β），C（γ）及不在圆上的点H（z）满足等式z=α+β+γ时，H是△ABC的垂心。'

'(1) 曲线C使用参数t表示为x=2(t+1/t+1), y=t-1/t。找出曲线C的方程，并画出其大致形状。[茨城大]'

'证明通过二次曲线的一个焦点F的弦的两端P, Q时，1/FP+1/FQ是恒定的，与弦的方向无关。'

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'通过椭圆的焦点画一个与短轴平行的弦AB。证明短轴的长度的平方等于长轴长度与弦AB的长度49的乘积。'

'＜切割公式＞在内切圆的四边形ABCD中，下面的等式成立：\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'一个定圆上有两个动点P，Q，它们沿着圆周以固定点A同时出发，逆时针方向运动。设圆心为O，当OP和OQ的角速度之比为1:k（k > 0，k ≠ 1）且恒定时，求线段PQ的中点M的轨迹的极坐标方程。当P和Q重合时，点M表示点P（Q）。'

'在二维坐标平面上，选取点Pn（xn，yn）（n=0,1,2，……）满足以下条件(A)，(B)。90(A) (x0，y0)=(0,0)，(x1，y1)=(1,0)。(B)对于n≥1，向量PnPn+1的长度是向量Pn-1Pn的一半，并且指向Pn-1Pn逆时针旋转90度的方向。在这种情况下，当n趋向无穷大时，lim{n→∞}xn= A，lim{n→∞}yn= B。[Meiji University]'

'设两个不同点为A(α)和B(β)。 当m>0，n>0，m≠n时，方程n|z-α|=m|z-β|的所有解点P(z)是使线段AB以m：n比例内分或外分的点，并以这些点为直径的圆（阿波罗尼奥斯圆）。请证明这一论点。'

'求出从点$Q$引出的两条切线相互垂直的情况下点$Q$的轨迹。'

'以三个点O(0)，A(1)，B(i)为顶点的三角形OAB，其中角O是直角二等边角。利用这一点，证明由三个点P(α)，Q(β)，R(γ)构成的三角形PQR，其中角P是直角二等边角时，等式2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0成立。'

'练习\n设a为大于1的常数。曲线x^2-y^2=2和直线x=\\sqrt{2} a所围成的图形的面积S可以通过以原点为中心进行\\frac{\\pi}{4}的旋转来求得。'

'在三角形ABC中，设边BC的中点为M，则成立以下等式。'

'考虑直线 $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ 和曲线 $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$，其中$a$和$b$为正常数。'

'平面上有点 A 和不经过 A 的直线 g。在这个平面上，当点 P 移动到使得 P 到 g 的距离等于线段 PA 的长度时，形成的曲线为 K。当平面上的点 Q 可以在曲线 K 上引出两条切线时，这些切线的切点为 G，H。证明以下内容：(1) 如果点 Q 在直线 g 上，则直线 GH 经过点 A。(2) 如果直线 GH 经过点 A，则点 Q 在直线 g 上。〔大分医大〕'

'另外，作为直径的线段PQ上的点R就在圆上，所以∠PRQ = π/2'

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"在長軸長度為 2a 的橢圓中，以中心為O，短軸為BB'。將橢圓上除B、B'之外的點命名為P，將BP、B'P與長軸或其延長的交點分別命名為Q、R，則OQ・OR=a²。請用圓來證明此事。"

'找到通过三点A（0,1，-1）、B（4，-1，-1）和C（3,2,1）的平面方程。'

'找到过原点 O 并且垂直于z轴的平面方程。'

'在平面上，通过极坐标方程 \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \ 给出的曲线 \ C \。'

'证明双曲线 $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ 上点 $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ 处的切线与点 $\\mathrm{P}$ 和两焦点 $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$ 构成的 $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$ 角相等。其中 $x_{1}>0, y_{1}>0$。'

'整体点z是，连接点1和i的线段的垂直平分线。(2) 整体点z是以点1-i为中心，半径2的圆。'

'利用复数平面证明下列定理。对于内切于100元的四边形ABCD，满足等式AB·CD+AD·BC=AC·BD（特雷米定理）。'

'求通过点C（0,3，-2），且垂直于Z轴的平面方程。'

'例题 46 | 共面条件 确定 x 的值，使得以下 4 个点共面： A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [相似 慶應大] 对于不共线的三点 A, B, C，点 P 在平面 ABC 上的条件（共面条件）是指以下条件之一成立： 在原点为 O 的情况下，[1] 存在实数 s, t，使得\\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] 存在实数 s, t, u，使得\\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ 表示为 [1] 或 [2]，归结为方程问题。'

'设原点为 \ \\mathrm{O} \，在 \ x \ 轴上有定点 \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\)。现在在平面上动点 \ \\mathrm{P} \ 满足条件 \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) 。求（1）点 \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) 的轨迹方程。利用 \ x, y \ 表示。（2）求 \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ 的最大值以及此时的 \ \\angle \\mathrm{POA} \。[埼玉工业大学]'

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'证明当单位圆上的三个不同点A(α)，B(β)和C(γ)以及不在圆上的点H(z)满足方程z=α+β+γ时，H是△ABC的垂心。'

'证明三角形的垂心\n给定单位圆上三个不同点A(α), B(β), C(γ)，以及不在该圆上的点H(z)，当等式z = α + β + γ成立时，证明H是三角形ABC的垂心。'

'求将双曲线$x^{2}-2 y^{2}=-4$关于点(-3,1)进行对称移动后得到的曲线方程。'

'在线段AB上（除两端外）取一点O，构造以线段AO, OB为边的正方形AOCD和正方形OBEF，都位于线段AB的同侧。证明利用复数平面证明AF⊥BC。'

'证明双曲线 $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ 上点 $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ 处的切线与渐近线相交于点 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R},$ 原点为 $\\mathrm{O},$ 则 $\\triangle \\mathrm{OQR}$ 的面积与点 $\\mathrm{P}$ 的选择无关。'

'平面的方程式\n(1) 通过点 \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) 并且垂直于非零向量 \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\) 的平面方程是 \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) 一般形式为 \ a x+b y+c z+d=0 \, 其中 \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)'

'(2) 2条直线$y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x$是渐近线，并且有焦点在$(0,4),(0,-4)$的双曲线的方程。'

'对于正数 a，点 A(a, a^{2}) 处抛物线 y=x^{2} 上的切线，将点 A 绕 -30° 旋转得到直线 l。直线 l 与抛物线 y=x^{2} 的交点中不是 A 的那个点称为 B。另外，以点 (a, 0) 为 C，以原点为 O。求直线 l 的方程。另外，以线段 OC、CA 和抛物线 y=x^{2} 围成的区域的面积为 S(a)，以线段 AB 和抛物线 y=x^{2} 围成的区域的面积为 T(a)，求 c=lim_{a→∞} (T(a)/S(a))。'

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'例题 139 使用极坐标'

'如何求解S点的位置向量'

'学习证明点的匹配。'

'已知四边形ABCD具有对角线AC和BD，且圆心O与四边形ABCD外接。记向量OA，OB，OC，OD分别为a，b，c，d。\n（1）若向量a+b+c与a+b+d的大小相等，则AB边和CD边平行，或点O位于边AB上。证明之。\n（2）若△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的重心均与点O等距离，则证明四边形ABCD为矩形。'

'(1) 关于三点A(1,2), B(2,3), C(-1,2)，找到通过点A并垂直于BC的直线方程。\n(2) 找到由两条直线x-2y+3=0和6x-2y-5=0形成的锐角α。'

'考虑以点O为中心的圆。这个圆的周长上有3个点A，B，C，并且OA+OB+OC=0。证明三角形ABC是等边三角形。将圆的半径设为r（r>0），那么|OA|=|OB|=|OC|=r。由OA+OB+OC=0得到OA+OB=-OC。因此|OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}，即|OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2}。所以r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2}，因此OA·OB=-r^{2}/2。这时|AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}。由于|AB|>0，所以|AB|=sqrt{3}r。同样地，|BC|=|CA|=sqrt{3}r。因此AB=BC=CA。因此三角形ABC是等边三角形。'

'请用极坐标方程表示以下直角坐标方程：(1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4'

'使用切瓦定理'

'在正六边形 ABCDEF 中，以边 DE 的中点为 M。设正六边形的对角线交点为 O，则有以下向量关系。'

'点A(x₁, y₁)与直线ax + by + c = 0的距离是|ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)。与直线ax + by + c = 0垂直的向量 𝑛 是 𝑛 = (a, b)。p.343基本事项1。'

'找出證明 AB ⊥ CD 的條件。'

'平面的方程式，直线的方程式'

'求极坐标系和轨迹'

'求原始圆周经过y轴为轴向x轴方向放大5/2倍后的曲线方程。'

'证明四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，R，S，对角线AC，BD的中点分别为T，U，那么线段PR，QS，TU的中点是相等的。'

'8在平面上有△ABC。点O是△ABC的外心，外接圆的半径为R。另外，点H满足∽OA+∽OB+∽OC=∽OH。其中，点H是与点A、B、C不同的点。当∽OA=𝐚，∽OB=𝐛，∽OC=𝐜时：(1) 用𝐚，𝐛，𝐜表示∽AH和∽CH，证明∽AH⊥BC，∽CH⊥AB。(2) 把线段OH的中点记为P，把△ABC的各边AB，BC，CA的中点分别记为L，M，N。此时，用𝐚，𝐛，𝐜表示∽PL，∽PM，∽PN，证明P是△LMN的外心。(3) 把线段AH的中点记为D，证明P是线段DM的中点。(4) 从顶点A向直线BC下垂线，交点为E，证明点E在△LMN的外接圆周上。'

'当通过二次曲线的一个焦点F的两弦PQ和RS相交于直角时，证明1/PF*QF + 1/RF*SF是恒定的。'

'求以y轴为基准，将圆x^2+y^2=4沿x轴方向扩大5/2倍后的曲线方程。'

'(1) 关于点A(-1,4)，点B(-4,-3)，点C(8,3)，求通过点A且垂直于BC的直线方程。(2) 求直线l1: x-√3y+3=0 和直线l2: √3x+3y+1=0 所夹成的锐角α。'

'根据弦定理'

'请证明以下几何性质：\n1) 证明对顶角相等。\n2) 当直线 $\\ell$ 和 $m$ 与直线 $n$ 相交时，如果 $\\ell \\parallel m$，那么同位角和内错角也是相等的。\n3) 关于直线 $\\ell$ 和 $m$，如果有一组同位角或内错角相等，则证明 $\\ell \\parallel m$。'

'例题 47 | 三角形的重心'

'当取在边x上时，每个顶点的坐标可以表示为A(a, b)，B(-c, 0)，C(c, 0)。\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\n因此 \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

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'如右图所示，将正方形沿每条边的中点相连，将其分成5个区域，共14个小区。相邻的区域用不同颜色着色时，以下情况分别有多少种着色方式？注意，被旋转后仍相同的着色方式被视为相同的着色方式。（1）从4种不同颜色中选择2种颜色来着色。（2）从4种不同颜色中选择3种颜色，并使用全部3种颜色来着色。'

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'练习43：本册第339页 关于面积，△ABP=¼△ABC，因此BP:BC=1:3。因此BP:PC=1:2。另外，由条件可得AB:AC=1:2。所以AP是∠BAC的角平分线。因此∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°。'

'如果四边形ABCD的两个顶角∠A和∠C的平分线交于对角线BD上，那么证明两个顶角∠B和∠D的平分线交于对角线AC上。'

'示例 48 五心关系 尖角三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H，重心为 G。 (1) 从 O 到边 AB, BC 分别作垂线，分别交 AB, BC 于 M, N，以 BH 的中点为 L，证明以下内容： (a) 四边形 MLNO 是平行四边形。 (b) AH = 2ON (2) 若 △ABC 不是正三角形，则 G, O, H 三点共线，并且 G 将线段 OH 内分为 1:2，证明之。'

'直线 ℓ 和平面 α 可能处于什么位置关系？'

"证明过右图所示，以点P为外接点的两个圆O和O'的公共外切线的切点分别为C和D。将通过点P的直线与两个圆O和O'除P之外的交点分别记为A和B，则AC ⊥ BD。"

'练习19⇒本册p.282 立方体的一个边界定义为一个单元格, 向右、向后、向上移动一个单元格分别用→、↗、↑表示。 （1）如右图所示，假设存在左上角的路径，则从A到B的路径为→3个，↗2个的排列组合，即5!/(3!2!)=10种。 其中通过图中×的路径为1种，因此所求路径的数量为10-1=9种。 (2) 注意不要重复计算经过点C和点D的情况。 (总数)-(经过点C或点D) 可以用相同方法求解 (1)和(2)。 对经过图2斜线部分到达B的路径进行考虑。可以考虑设定虚拟路径的方法，也可以采用其他解法。'

'证明内切于36\u200b\u200b圆的四边形的用法'

'当处于右图 [3] 的正八面体的展开图中的点 A、B、C 共线时，AC+BC 最小。在这种情况下，∠ACB 等于图 [2] 的 ∠PRQ。因此，在三角形PQR中，根据余弦定理'

'練習：證明以下命題。'

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'弦线定理'

'在三角形ABC中，将∠B的平分线与边AC的交点命名为D，将∠C的平分线与边AB的交点命名为E。'

'求内切于圆的四边形的面积\n寻求内切于圆的四边形的面积时，存在类似于海伦公式的公式。让我们根据最近的考试问题来思考这个公式。\n假设四边形ABCD内切于一个圆。用a、b、c、d来表示边DA、AB、BC、CD的长度，并设∠DAB=θ。另外，设四边形ABCD的面积为T。\n(1) 证明a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ。\n(2) 证明T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]。其中，s=(a+b+c+d)/2。\n[山口大]'

'[2] 当 $AP = PQ$ 时，以 $P$ 点顺时针从 $A$ 点移动，考虑存在与 $AP = PQ$ 的 $Q$ 点，那么选择 $P$ 点的方式有 5 种。'

'98 中线定理'

'在△ABC中，设边BC的中点为M，则有以下等式成立：\n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2})（中线定理）'

'根据弦切定理和BC=BD，得到∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°。另外，∠DBC=180°-(68°+68°)=44°，∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°。因此，θ=180°-(44°+47°)=89°。'

'已知两条平行直线ℓ和m，以及与它们相交的直线n和两点A、B。在线ℓ上取点C，在直线m上取点D，使得CD // n，并且AC ⊥ BD。请作出点C和点D。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'例题49 门拉斯定理和三角形的面积'

'对于一个三角形abc，满足以下条件'

'梅涅劳斯定理'

'(3) 证明三角形DAE与三角形CAB的同一性。'

'(3) 设直线AH与边BC的交点为D，直线CH与边AB的交点为E，则'

'在三角形ABC中，将角A的平分线与边BC相交于点D，将∠ADB和∠ADC的平分线与边AB、AC相交于点E和F。请证明以下事实：（1）三角形BEF: 三角形AEF = BD: AD（2）三角形BEF: 三角形CEF = AB: AC'

'重要示例57 | 辛普森定理'

'在三角形ABC上有三个点D，E和F，使得AD:DB=t:(1-t)，BE:EC=2t:(1-2t)，CF:FA=3t:(1-3t)，而练习面积为1。请注意，0<t<1/3。'

'利用弦线定理证明'

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'证明101中的边和角度等式\n在三角形ABC中，证明以下等式成立：\n\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\n例如62, 63\n根据指示D.172和例55中提到的讨论，为了证明等式P=Q，可以采用以下方法：\n[1] 对P或Q进行变换，推导出另一个。\n[2] 对P和Q分别变换，得出相同的表达式。\n[3] 对P-Q进行变换，展示其等于0。\n哪种方法最佳取决于给定的问题，但在这里我们采用[3]的方法。 因此，为了简化P-Q，我们考虑减少字符，这就需要\n消除角度，将问题转化为仅涉及边的关系\n为此，我们可以使用 \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \ 等公式。'

'下面列出的（1）、（2）、（3）是被稱為希臘三大幾何問題的問題。 （1）三等分角問題：將給定的角度分為三等份（2）立方體倍積問題：構造給定立方體體積的兩倍的立方體（3）圓積問題：構造與給定圓相同面積的正方形。'

'第3章 图形特性检查问题'

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'证明：三角形 ABC 的边 BC 平行于与边 AB、AC 相交于点 D、E。连接 BE、CD 的交点 O，证明直线 OE 经过边 BC 的中点。'

'垂线定理'

'证明当四边形ABCD内切于圆时，对角线BD上存在点E使得∠BAE=∠CAD。'

'练习 (1) 证明 ΔABC 的任意内点 O，∠BOC、∠COA、∠AOB 的角平分线与边BC、CA、AB 的交点分别为P、Q、R 时，AP、BQ、CR 相交于一点。\n(2) 当 ΔABC 的 ∠A 外角的角平分线延长边BC 相交于点D 时，∠B、∠C 的角平分线与边AC、AB 的交点分别为E、F，证明3点D、E、F 共线。'

'证明直线 l 垂直于平面 OAB。'

'根据方向定理, AB²=AD×AE'

'关于直线x = 1，求点（2, 3）关于该直线的对称点（p，q）的坐标和新方程。'

'请说明如何在平行线之间画出6条线段。'

'请从第2章集合和命题练习题中选择4组集合的概念交集图来解释。'

'证明: 如果直线 l 垂直于平面 α 上的相交直线 m 和 n，则直线 l 垂直于平面 α。'

'证明 42 角的角平分线和线段的比例'

'在四边形ABCD中，设AC和BD相交于P。∠APB=∠CPD=90°，且AB//DC。证明△PAB和△PCD的外接圆相互外切。'

'例题 53 | 折现的最短路径\n锐角 ∠XOY 的内部有点 P。 在射线 OX 和 OY 上（O 除外）分别取点 Q 和 R，如何选择 Q 和 R 使得 PQ+QR+RP 最小？'

'请回答以下问题：\n(1) 使用余弦定理来求解BD的长度。\n 已知数值：BC = 4, CD = 3√2, ∠BCD = 45°\n\n(2) 求四边形ABCD的面积。其中，四边形ABCD内切于圆，∠BAD = 135°。'

'三角形的五心和切瓦定理的逆'

'通过平移，这个点将移动到点 (2+2，-4-1) 也就是点 (4，-5)，所以所求抛物线方程为 y=(x-4)^2-5 或者 y=x^2-8x+11。'

'在△ABC中，角B的角平分线与边AC的交点为D，角C的角平分线与边AB的交点为E。若角B<角C，则证明BD>CE。'

'因此，菱形ADFE的对角线AF，DE相互垂直交叉，相互平分。因此，菱形ADFE是一个菱形。'

'证明以下内容。'

'周角，内切正方形的圆'

'在图1中，从点A到点B的最短路径中，既不经过点C也不经过点D的路径有多少种？'

'证明一条与两条平行直线垂直的直线也与另一条直线垂直。'

'例题41 平行移动和对称移动\n将一个抛物线对称移动到原点，然后在x轴方向平行移动-2，在y轴方向平行移动3，则抛物线将移动到y=3x^{2}-6x+5。求原抛物线的方程。'

德摩根定律 对于全体集合 U 的子集 A 和 B \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \quad （德摩根定律）成立。用图证明这一点。

求如下直线的极坐标方程。 （1）经过始线OX上的点A(3/2, 0)，且垂直于始线的直线 （2）经过极点O且与始线的夹角为-π/4的直线。

轨迹和椭圆

在单位圆上的三个不同的点 \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta), \mathrm{C}(\gamma) \)，以及在该圆外的点 \( \mathrm{H}(z) \) 满足等式 z=lpha+eta+\gamma 时，证明 $\mathrm{H}$ 是 $riangle \mathrm{ABC}$ 的垂心。

我们在第55和56页学习了平面上的向量方程。在这里，让我们考虑平面的方程以及空间中的向量方程。 1 平面的方程 如在第78页提到的参考资料中所述，经过不在同一直线上的三个点的平面是唯一确定的。也可通过一个点A和一个不等于向量0的向量n来确定这一平面。通过点A且垂直于向量n的直线有很多。这些无数的直线可以构成平面，接下来导出平面的方程。 通过点A(x1, y1, z1)，且垂直于向量n(a, b, c)的平面上的点是P(x, y, z)。 (1) 当点A与点P不重合时，从n垂直于向量AP可得n·AP=0。因为AP=(x-x1, y-y1, z-z1)，所以n·AP=0可以写为 a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 (* 当点A与点P重合时，从AP=0可得n·AP=0，因此(*)成立。 (*)是通过点A且垂直于向量n的平面的方程，n是该平面的法向量。 (2) 将(1)中的(*)整理一下 a*x+b*y+c*z - a*x1 - b*y1 - c*z1 = 0 记-a*x1 - b*y1 - c*z1 = d a*x+b*y+c*z + d = 0 \longleftarrow -a*x1 - b*y1 - c*z1 是常数。 这称为平面方程的一般形式。

关于外分点位置向量的证明。假设 m > n 的情况。m < n 的情况同理。设点 P(\vec{p}) 将线段 \mathrm{AB} 按 m 外分。 因为 \mathrm{AP}: \mathrm{AB} = m:(m-n)，所以有 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=rac{m}{m-n} \overrightarrow{\mathrm{AB}} 因此 \vec{p}-\vec{a}=rac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a})。外分点的公式可以通过将内分点公式中的 n 变为 -n 得到。

在 xy 平面上，将椭圆 x²/4 + y² = 1 沿 x 轴方向平移 1, 沿 y 轴方向平移 a 得到的椭圆通过原点时, a=。

求直线 x-√3y+3=0 和 √3x+3y+1=0 所夹锐角。

从双曲线上的任意一点 P 向两条渐近线垂直画线段 PQ 和 PR。证明线段长度的乘积 PQ · PR 是一个常数。

在线段 BF 上取一点 P，其 y 坐标为 a。从点 P 引向直线 CE 的垂线，与从点 C 引向直线 EP 的垂线的交点为 H。此时，用 a 表示向量 EP，并用 a 表示点 H 的坐标。

二次曲线的参数表示 (1)

第 4 章 式 和 直线- 99 (2) 通过点 \( (2,1) \) 的切线，不垂直于 $x$ 轴，因此它的方程是 \( \quad y=m(x-2)+1 \)，即 $y=m x-2 m+1$。所以，在(1)中的直线方程中，当 $n=-2 m+1$ 时 \[m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0\] 即 $3 m^{2}-4 m-3=0$。如果这个二次方程的两个解是 lpha, eta ，则 lpha, eta 表示两条切线的斜率。 根据根与系数的关系 \quad lpha eta=rac{-3}{3}=-1 。因此，两条切线互相垂直。 (1) 的结果可以利用。 两条直线垂直当且仅当它们的斜率乘积为 -1。

第 1 章 平面上的向量 (3) 点 C, E, F 分别关于点 B 对 y 轴, 原点, x 轴对称, 所以点 C, E, F 的坐标是 \[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \] 另外, 点 \mathrm{P} 的坐标是 \( (1, a) \) 因此 $\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ \[ egin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \] 接下来, 点 \mathrm{H} 在点 \mathrm{P} 到直线 \mathrm{CE} 所引的垂线上, 则 \mathrm{H}(x, a). 在此条件下\( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \) \[ (x+1, a-\sqrt{3}) \] 因为 $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EP}}$, 所以 $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$ 于是 \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \) $2 x+a^{2}-1$ 因此 $2 x+a^{2}-1=0$ 所以 x=rac{1-a^{2}}{2} 因此, 点 \mathrm{H} 的坐标为 \( \left(rac{1-a^{2}}{2}, a ight) \)

求满足以下条件的双曲线方程： (1) 焦点为 (3√2, 0) 和 (-3√2, 0), 焦点之间的距离差为 6, (2) 焦点为 (0, √26) 和 (0, -√26), 焦点之间的距离差为 6√2

因此，如果点 D 是将边 BC 内分为 5:3 的点，则点 P 位于 AD 线段上的 4:1 内分位置。 (2) 三角形 PBC = (1/5) 三角形 ABC = (2/10) 三角形 ABC \[ egin{array}{l} 三角形 PCA = (4/5) 三角形 ADC = (4/5) × (3/8) 三角形 ABC = (3/10) 三角形 ABC \\ 三角形 PAB = (4/5) 三角形 ABD = (4/5) × (5/8) 三角形 ABC = (5/10) 三角形 ABC したがって 三角形 PBC: 三角形 PCA: 三角形 PAB = 2:3:5 \end{array} \]

一般情况下，用向量证明点 \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) 到直线 $\ell: a x + b y + c = 0$ 的距离 $d$。

在坐标平面上, 当长度为6的线段AB的端点A, B分别在y轴和x轴上移动时, 求外分线段AB为3:1的点P的轨迹。

楕円 $C^{\prime}$ 上の点 \( \left(3, rac{16}{5} ight) \) における接線の方程式は

设线段 AB 通过椭圆的焦点并平行于短轴。证明短轴长度的平方等于长轴长度与弦 AB 长度的乘积。

四面体 OABC 的边 OA, OC 的中点分别为 L, M，线段 ML 和边 AB 内分点为 P, Q，内分比为2:1。边 OB 的外分点为 N，外分比为2:1，直线 BC 和直线 MN 的交点为 R。(1) 当 OA=\vec{a}, OB=\vec{b}, OC=\vec{c} 时，用 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} 表示 OR。(2) 证明四边形 PQRM 是平行四边形。

设线段 $\mathrm{BD}$ 的中点为 $\mathrm{M}$，直线 $\mathrm{AM}$ 和直线 $\mathrm{CD}$ 的交点为 $\mathrm{N}$。利用 $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ 用实数 $r, s$ 表示的两种方式，即 $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r \overrightarrow{\mathrm{AM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DC}}$，来求 $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$。

TRAINING 29 (3) 给定一个非直角三角形 $\mathrm{ABC}$，其外心为 $\mathrm{O}$。令 $\mathrm{H}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ，证明 $\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}$。

在以O为极点的极坐标系中，求下列直线的极坐标方程。 （1）通过始线OX上的点A(2,0)，且垂直于始线的直线。 （2）通过极点O，且与始线成π/3角的直线。 指导：当平面上的曲线用极坐标(r, θ)的方程r=f(θ)或F(r, θ)=0表示时，这个方程就是这条曲线的极坐标方程。 1 将图形上的点P的极坐标设为(r,θ)。 2 将点P满足的图形条件用方程表示。 (1) 关注直角三角形OAP。

当点 $z$ 在以点 $i$ 为中心半径为 2 的圆上移动时， w=rac{z-i}{z+i} 表示的点 $w$ 会描绘什么样的图形？但 $z eq-i$。

116 (1) (ア) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (ウ) r=2 sin θ (2) (ア) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4