平面几何 - 平面图形的面积和周长

'找出曲线y=|x^{2}-1|和直线y=3围成的区域的面积。'

'求由抛物线 y = -2x^2 + 1 和直线AB围成的区域的面积S。'

'设139的a是满足0≤a≤1的常数。将抛物线y=1/2x^2+1/2表示为C1，抛物线y=1/4x^2表示为C2。对于实数a，将由直线x=a，x=a+1和C1，C2围成的图形表示为D，并将由点(a,0),(a+1,0),(a+1,1)，(a,1)作为顶点的正方形表示为R。\n1.求图形D的面积S。\n2.求正方形R和图形D的公共部分的面积T。\n3.求使T取得最大值的a的值。\n[来源：中央考试]《基本例题204，发展例题216'

'求解扇形的弧长和面积。'

'求以下曲线或直线围成的区域的面积。'

'求解抛物线和 x 轴围成的区域的面积 S。'

'求由曲线y=x^{3}-4x和曲线y=3x^{2}所围成的两个图形的面积之和。'

'求由三角形的三个顶点O(0,0)，A(2,6)，B(4,3)组成的三角形OAB的面积S。'

'求由直线x-y=0（1），2x+y=9（2），x-4y=0（3）形成的三角形的面积。'

'求由曲线和直线围成的图形的面积\S\。'

'平面图形一个长度, 面积（2）菱形的总面积为， 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(cm²)。另外，8个正三角形的总面积是, 3.9 × 8=31.2(cm²)，因此，描边部分的面积为，65.94+31.2= 97.14(cm²)。'

'2019列中涂色部分的总面积为多少平方厘米？'

'(2) 三角形MBP的面积是, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54(cm²) 所以, 三角锥F-MBP的体积是, 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ (cm³)。另外, 三角形MAQ的面积是, 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24(cm²)而三角锥R-MAQ的高度是, ✕'

'底面如右图(1)所示。若菱形ABCD的面积为1，则4个三角形ABD、CDB、DAC、BCA的面积都为1/2。那么，三角形AKN的面积为1/8，三角形CML的面积为1/18，三角形DNM和三角形BLK的面积为1/6，因此，四边形KLMN的面积为35/72。因此，以高度1为ABCD-EFGH的四面柱的体积为1，ABCD-EFGH的体积为1，梯形O-KLMN的体积为35/72×1/3=35/216，因此，梯形O-KLMN的体积为ABCD-EFGH体积的35/216倍。O-KLMN也被切成高度的一半。因此，切口为缩小为四边形KLMN的1/2大小，切口的面积为四边形KLMN面积的1/4倍，因此，切口的面积为35/72×1/4=35/288，所以切口的面积为35/288。'

'(4) 只需计算绘制的图形的下侧（填充的梯形部分）的面积。(3) 计算出的值进行计算，60秒内移动的距离为，20 × 60 ÷ 2 = 600 米，从60秒后至120秒后移动的距离为，20 × (120-60) = 1200 米，从120秒后到停止的150秒内移动的距离为，20 × (150-120) ÷ 2 = 300 米，所以所求距离为，600 + 1200 + 300 = 2100 米。'

'三角形ABC的角B和三角形ACD的角C是直角，带有•标记的两个角相等。点E是边BC和边AD延长后相交的点。边AB长2厘米，边BC长1厘米。(1) 三角形ACD的面积是多少平方厘米。'

'请回答以下4个问题。但请注意，图不一定准确。\n（1）如图1所示，直角三角形ABC的边AC是一个正方形，而BC是另一个以BC为边的正方形，连接两点D和E。这种情况下，三角形CDE的面积是多少平方厘米？'

'在 1950 年，从表2可以看出，2020 年渋谷教育学院幕张中学的面积比香川县小，但增加了。另外，千叶县、东京都、神奈川县、爱知县等地的面积增长尤为显著。请在答题纸上解释这些地区面积增加的原因。但请注意，不包括县级边界变化或无人岛的发现。'

'计算两条曲线之间的面积。'

'请计算以下平行四边形的面积：AB = 2，CD = 2，BC = 5，∠B = 120°'

'想在半径为4m的圆形池塘周围建造同宽度的花坛。要求花坛的面积介于9π平方米和33π平方米之间，应该如何确定花坛的宽度？'

'求解给定条件下三角形的面积，并将其应用于立体几何。'

''

''

'求四边形ABCD的面积。边长分别为AB=5，BC=6，CD=5，DA=3，角度为∠ADC=120°。'

'在三角形ABC中，求以下内容。其中，设三角形ABC的面积为S。 （1）当A=120度，c=8，S=14√3时，求a和b。 （2）当b=3，c=2，0<A<90度，S=√5时，求sinA和a。 （3）当a=13，b=14，c=15时，设从顶点A到对边BC的高为h，则求S和h。'

'海伦公式（进阶部分）'

'实践 5：比较三角形的面积、周长等'

'例题 135: 多边形的面积\n要求复杂多边形的面积，可以将其分割为简单的三角形或四边形，分别求出它们的面积并求和。'

'三角形ABC的面积为S。'

''

'求PR曲线，线段和x轴围成的区域的面积。'

'求解面积(3) \ -x^{2} + 2x - 2 \。'

'设A（1,0）。当点P在抛物线y=x^2的-1 ≤ x ≤ 1部分移动时，求线段AP通过并形成的图形的面积。'

'当m在第一个问题中确定的范围内变化时，用m表示由C和ℓ围成的图形的面积S。'

'求两个函数y=-x^{2}+x+2，y=|x|-1的图形围成的区域的面积。'

'通过数学，从右图求得的面积 S 为 S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)'

''

'以S1、S2、S3的方式绘制图形，所求面积S如下：S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2'

'求解以下图形的面积：(1) a=10，B=30°，C=105°的△ABC'

'求三角形ABC的面积S。 （1）a=3，c=2√2，B=45度 （2）a=6，b=5，c=4'

'练习找出如下四边形ABCD的面积S（O是AC和BD的交点）。'

'求出如下矩形ABCD的面积S（O是线段AC和BD的交点）。'

'由于 r>0，x>0，所以 x=(\\sqrt{2}-1) r，四边形 AMON 的面积为 2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}，因此，所求正八角形的面积为 8(\\sqrt{2}-1) r^{2}。'

'求以下图形的面积：(3) 四边形ABCD，内切于一个圆，AB=6，BC=CD=3，∠B=120°'

'求解四边形ABCD的面积。'

'求六边形 ABCDEF 的面积。'

'如何使周长为20厘米的长方形的面积在9平方厘米以上，21平方厘米以下？'

'三角形的面积'

'当三角形ABC的面积为20√3时，请计算三角形ABC的最长边长。'

'求解以下图形的面积。'

'给定三边长度，计算三角形ABC的面积S的步骤如下：\n(1) 使用余弦定理求得cos A。\n(2) 由sin ^ 2 A + cos ^ 2 A = 1得到sin A。\n(3) 将面积公式S = 1/2bc sin A代入。\n将这个面积S表示为三边长度a，b，c的结果是海伦公式。\n海伦公式三角形ABC的面积S是\n当2s = a + b + c时为\nS = √(s(s- a)(s - b)(s - c))'

'如何计算四边形ABCD的面积？'

'湖题139介质变量表示和面积（1）\n曲线\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{\overlineray}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. 与$x$轴围成的区域的面积$S$求出。'

'(1) 在平面上，半径为 r（r≤1）的圆心绕边长为4的正方形边一周时，求这个圆经过的部分面积 S(r)。'

'给定题目中的文字进行多种语言翻译。'

'因此，由 t=\\frac{1}{2}，曲线的大致形状如右图所示。因此，所求面积为'

''

'求下列曲线、直线和 x 轴围成的图形的面积 S。'

'在xy平面内的区域x^{2}+y^{2} ≤ 2，|x| ≤ 1中，找到曲线C：y=x^{3}+x^{2}-x的上部分面积S。'

''

'当抛物线y=-x(x-2)和x轴围成的图形被直线y=ax等分时，请求常数a的值。其中，0<a<2。'

''

'计算面积时的注意事项'

''

'求抛物线 $y=-x^{2}+x$ 和点$(0,0)$处的切线，点$(2,-2)$处的切线围成的图形的面积。p. 412 EX 155'

'求曲线$x=y^{2}$与y轴及直线$y=2$围成的图形的面积。'

'通过参数方程 \ t \，求由 \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) 表示的曲线及其被y轴围成的图形的面积 \ S \。'

'解决以下问题。\\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 ≤ t ≤ 0) \\) 描绘出的曲线以及由 \ y \ 轴围成的图形的面积 \ S \。'

'因此，将\ \\triangleABC \的面积表示为\ S \，则\nS = S_{1} + S_{2} - S_{3} = 6\\sqrt{3} + (\\sqrt{6} + \\sqrt{2}) - \\frac{3(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}\n\n在直角坐标系中表示3点 \ A, B, C \，\nA(3, 3\\sqrt{3}), B(-2, 2\\sqrt{3}), C(-\\sqrt{2}, -\\sqrt{2})\n\n\\overrightarrow{AB} = (-5, -\\sqrt{3}), \\quad \\overrightarrow{AC} = (-\\sqrt{2} - 3, -\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3})\nS = \\frac{1}{2}| -5(-\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2} - 3) | = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}'

'求面積 S，其範圍由以下曲線或直線界定。其中，(2) 中的 a 為滿足 0 < a < 1 的常數。'

'从公式(3)得到的方程2x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 4，可以得出y ^ 2-2xy + 2x ^ 2-4 = 0。因此，y = x ±√（4-x ^ 2）(-2≤x≤2)。根据图形，面积为S =∫_（-2）^ 2 {x +√（4-x ^ 2）} = 2∫_（-2）^ 2√（4-x ^ 2）dx = 2 *π * 2 ^ 2 = 4π'

'在坐标平面上，使用参数 t，表示为 x=cos2t，y=t*sin t(0≤t≤2π)的曲线围成的区域的面积。'

'在给定示例中使用的面积公式，使用极坐标方程 $r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi)$ 表示的曲线 $C$ 与 x 轴围成的区域的面积。'

'求解以下图形的面积：(2) 被曲线 y² = (x + 3)x² 围成的图形'

'求由曲线和直线围成的区域的面积 S。'

'求台形ABCD的最大面积S。AD // BC，AB=AD=CD=a，BC＞a。'

''

'请计算由点P = (1, 1)、点Q = (4, 5)和点R = (7, 2)组成的三角形的面积。'

'求曲线与直线围成的区域的面积 S。'

'古希腊人使用几何学方法计算面积和体积。'

'求三角形OAB的面积。'

'请计算一条边为10厘米，另一条边为15厘米的等腰三角形的面积。'

'百元硬币能完全容纳在瓷砖上的概率 为 3 厘米的正方形瓷砖铺满的大地板上，投掷一个百元硬币（直径为 2.2 厘米）时，我们来考虑硬币完全容纳在一块瓷砖上的概率。'

'当平面上的点P、Q、R不在同一直线上时，以它们为3个顶点的三角形面积用△PQR表示。另外，当P、Q、R在同一直线上时，规定△PQR=0。设A、B、C为平面上的3个点，且△ABC=1。求平面上的点X满足2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3时，X的可行动范围的面积。[University of Tokyo]'

'求内切于半径为106的四边形的面积（2）\n在内切于半径为106的圆的四边形ABCD中，若AB=5，BC=4，CD=4，DA=2，则求四边形ABCD的面积S。'

'台形 DFGE 的面积是 479'

''

在以下每种情况下，求三角形 $riangle \mathrm{OAB}$ 的面积 $S$。 (2) 当 3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \) 为顶点时，设 \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} , \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} 。