基本函数 - 有理函数和不等式

'练习绘制不等式表示的区域。'

'求 x>0 时，x+\\frac{9}{x} 的最小值。'

'改变声源的位置，测量在A和B处听到声音的时间差，发现在那时有最大值。'

'请绘制函数 (1) $y=\\frac{1}{2x}$，(2) $y=\\frac{3}{x}-1$，(3) $y=\\frac{-2}{x-1}$ 的图形。'

'从最大值和最小值确定函数的系数(2)'

'基本1：分数函数的图像、渐近线和值域'

'关于直线 y=x，以曲线 y=2/(x+1) 为轴对称的曲线为 C1；关于直线 y=-1，以曲线 y=2/(x+1) 为轴对称的曲线为 C2。请找出曲线 C2 的渐近线与曲线 C1 的交点坐标。'

'通过研究方程式 $f(x)=g(x)$ 的实数解的存在\n函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的值的变化，并利用中值定理。\n(1) 如果 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，并且 $F(a) F(b)<0[F(a)$ 和 $F(b)$ 异号]，那么方程 $F(x)=0$ 在开区间$(a, b)$ 中至少有一个实数解。\n(2) 在(1)中，特别地，如果 $F(x)$ 单调递增[$F^{\\prime}(x)>0$] 或单调递减[$F^{\\prime}(x)<0$]，那么实数解只有一个。'

'请描述函数 y=(1-log x)/x^2 的图形概述。需要注意，在 x趋向于无穷大时，log x/x^2 的极限为0。'

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'基础3：分数函数的图象与直线的交点，分数不等式'

'函数y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5}的图形如何平行移动了函数y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1}的图形。'

'函数y = (ax + b) / (x + 2)(b ≠ 2a)的图形经过点（1，1），并且该函数的反函数与原函数相同。请求出常数a，b的值。'

'设 z 为非零复数。 当不等式 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 成立时，绘制复平面上 z 点存在的范围。'

'(3) r 是 (p 或 q) 的必要条件'

'理解函数的值域，并攻克例题64！'

'请解释包含平方根的表达式的计算。'

'当 x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5} 时，取得最小值为 \\frac{9}{5}。'

'请解释命题的逆命题、逆否命题和逆否命题。'

'求 x>0 时，x+\\frac{16}{x} 的最小值。'

'当a、b、x、y为正数且a+b=1时，证明√(ax+by) ≥ a√(x)+b√(y)成立。并且，什么情况下等式成立？'

'解释集合与必要条件和充分条件的关系。'

'证明命题为真。'

'请解释集合及其相关术语（子集，相等，交集，并集，补集）。'

'(4) 请选择以下0-7中的一个，假设y=|3x-6|和y=2x+1在同一坐标平面上，并且这些图形的交点是最合适的。'

'函数表达式可以改写为y=k/(x-2)+1的形式，由于图形通过点（1，2），因此有2=-k+1，得到k=-1'

'求下列定积分的值。\ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'如果函数 f(x) 和 g(x) 在定义域中的 x 值 α 是连续的，则证明以下函数在 x=α 处也是连续的：1. k f(x) + l g(x)（其中 k、l 为常数）2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x)（其中 g(α) ≠ 0）'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'三个无理函数的图像、定义域和值域'

'考虑g(1/2) = α，g(1/3) = β，并证明α + β = π/4。'

'当函数$f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$满足以下条件(A), (B)时，求常数$a, b, c$的值。\n(A) 曲线$y=f(x)$与直线$y=x+1$相交于两点，并且这两个交点的$x$坐标的绝对值相等。\n(B) 曲线$y=f(x)$与$x$轴和$y$轴的交点都在直线$y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$上。\n[慶應大]'

'请计算以下定积分的值。\\[(1)\\]\y = \\frac{1}{\\sqrt{x}}到x = \\frac{1}{y^2}\\\\frac{1}{2} \\le y \\le 1\\text{, }x > 0\\]\\求得的定积分是\\[S = \\int_{\\frac{1}{2}}^{1}\\frac{d y}{y^2} = \\left[-\\frac{1}{y}\\right]_{\\frac{1}{2}}^{1}\'

'绘制函数y = \\frac{9x - 10}{6x - 4}的图形，并求渐近线。'

'复合函数 f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2}。因此，所求图形为将 y = \\frac{-2/3}{x} 图形沿 x 轴方向移动 2/3，y 轴方向移动 3/2 所得到的结果，图形见右图。渐近线为两条直线 x=2/3，y=3/2。'

'练习12：证明以下不等式。'

'例36 近似式和近似值\n（1）当|x|足够小的时候，构造f(x)=\\frac{1}{1+x}的一阶近似式和二阶近似式。\n（2）使用cos(a+h)的一阶近似式，求cos 61度的近似值。其中，取\\sqrt{3}=1.732，\\pi=3.142，并计算到小数第3位。'

'给定分数函数 f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}。其中，b \\neq 2 a。对于所有满足 0 \\leqq x \\leqq 1 的 x，要求 0 \\leqq f(x) \\leqq 1，并且 f(f(x))=x。请确定常数 a, b 的取值。'

'定积分和不等式'

'数学 II'

'1分数函数的图形、渐近线和值域'

'用近似值计算以下函数。\n(1) 依次计算 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2\n(2) 0.485'

'y = \\ frac{2 x + 9}{x + 2} = \\ frac{5}{x + 2} + 2 \\ n y = - \\ frac{x}{5} + k \\ n , Function (1) and line (2) share the same number of points as the number of real solutions given by the equation. \\ n \\ n \\ frac{2 x + 9}{x + 2} = - \\ frac{x}{5} + k \\ therefore 5(2 x + 9) = -x(x + 2) + 5 k(x + 2) \\ Simplifying we get \\ n x ^ {2} + (12-5 k) x + 5(9-2 k) = 0 Discriminant D is defined as \\ n D = (12-5 k) ^ {2} - 4 \\ cdot 1 \\ cdot 5(9-2 k) = 25 k ^ {2} -80 k-36 = (5 k + 2) (5 k -18) \\ n Setting D = 0 we get k = - \\ frac{2}{5}, \\ frac{18}{5} In this case, the graph of Function (1) and the line (2) are tangents. Therefore, the number of desired real solutions to be found is: for k < - \\ frac{2}{5}, \\ frac{18}{5} <k there are 2 solutions; for k = - \\ frac{2}{5}, \\ frac{18}{5} there is 1 solution: - \\ frac{2}{5} <k < \\ frac{18}{5} there are no solutions.'

'练习简化以下表达式。'

'从点 (a, 0) 到函数 y=(x+3)/(√(x+1)) 的图形上存在切线时，求常数 a 的取值范围。'

'(1) 函数 y = \\frac{3 x+17}{x+4} 的图形是函数 y = \\frac{x+8}{x+3} 的图形经过平行移动得到的。(2) 当函数 y = \\frac{a x+b}{x+c} 的图形以直线 x = 3 和 y = 1 为渐近线，并且经过点（2，2）时，求常数 a, b, c 的值。'

'对于实数 x, [x] 表示满足 n ≤ x < n+1 的整数 n, 设定常数 a, b 的值，使函数 f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) 在 x=1 和 x=2 处连续。'

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'求出y = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4}的渐近线方程。'

'请绘制以下函数的图形，并找出其渐近线。'

'请绘制以下函数的图形，并求其渐近线。(a) y=(3x+5)/(x+1) (b) y=(-2x+5)/(x-3) (c) y=(x-2)/(2x+1) （2）在定义域为 2 ≤ x ≤ 4 的情况下，求解(a)和(b)函数的值域。'

'研究以下函数的连续性，并确定定义域。'

'接下来，根据y=f(x)的图形与直线y=k的交点数量来研究方程的实数解数量。'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 (1), (2) 得出 \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 将两边乘以 x-2 得到 4x-3=(5x-6)(x-2) 整理得到 x^2-4x+3=0 所以 (x-1)(x-3)=0 因此 x=1,3 代入(2)得出 x=1 时 y=-1, x=3 时 y=9 因此, 共享点的坐标为 (1, -1), (3, 9)'

'求解以下不定积分。'

'求函数f(x)=1/6x³+1/2x+1/3的逆函数f^{-1}(x)。找出y=f(x)和y=f^{-1}(x)的图形的交点坐标。'

'求解渐近线的方程式。 (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9}'

'当函数为 y=(2x+c)/(ax+b) 时，过点(-2, 9/5)，且直线x=-1/3，y=2/3为渐近线，请求常数a，b，c的值。'

'对给定曲线C：y = 1/x（x > 0）上的点P（t，1/t）的切线为lt。另外，α，β是满足0 < α < β的常数，并且两条切线lα，lβ和曲线C所围成的图形为D。 (1)求D的面积。 (2)当 α < t < β 时，找到使得D中位于切线lt上方部分面积S(t)最小的t。'

'请查看以下功能在 [ ] 中指定的点是否是连续且可微的。'

'在\ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \的范围内，将函数\\( f(x) \\)定义为\\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\)。这里，\ a \是一个满足\ 0<a<2 \的常数。'

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'\ a < b \时，区间\ [a, b] \上，若\\( f(x) \\neq g(x) \\)且对于任意\ x \，都有\\( f(x) \\geqq g(x) \\)，则\\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'绘制分数函数的图形和渐近线，以及基本示例73（1）函数y = 3x / (x-2)的图形。另外，求出渐近线。（2）在定义域为4 ≤ x ≤ 8时，求出值域。'

'求矩形平面上由图形y=1/x, y=ax, y=bx围成的面积S。其中, x>0, a>b>0。'

'确定分数函数'

'研究函数 y=(x²-x+2)/(x+1) 的增减、图像的凹凸性、渐近线，并绘制出图像的大致形状。'

'当实数a、b、c、d满足ad-bc≠0时，对于函数f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}，回答以下问题。'

'研究函数y=(x+1)^{3}/x^{2}的增减、凹凸性、渐近线，并绘制出曲线的概貌。'

'从渐近线条件中，所求函数可表示为 $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$。由图通过两点 $(-2,3)$和$(1,6)$可得方程组 $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$。求解得 $k=-4, q=7$。将其代入得 $y=\\frac{-4}{x+3}+7$，即 $y=\\frac{7x+17}{x+3}$。函数 $y=\\frac{k}{x-p}+q$ 的渐近线为两条直线 $x=p, y=q$。'

'双曲线 x^2-y^2/4=1，除了点(-1,0)'

'不平行于两轴的渐近线(y = ax + b)'

'证明当A 46^{\\ominus} x \\neq 0时，函数f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}，且x=0时f(x)=0，是一个在x=0处连续但不可微的函数。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

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'函数（1）的定义域为x≠-p/2，值域为y≠1/2，因此，（1）的反函数的定义域为x≠1/2，因此，函数（1）和其反函数相匹配才能得到-p/2=1/2，因此，p=-1，在这种情况下，（1）的逆函数为y=(x+4)/(2x-1)，与函数（1）匹配。因此，所求常数p的值为p=-1。'

'请绘制以下函数的图形。'

'请绘制以下函数的图形，并求出其定义域和值域。'

'检查函数的增减、图形的凹凸、渐近线，并画出图形轮廓。'

'已知直线与曲线之间的面积'

'求定数a的值,使得函数y=(a x-a+3)/(x+2)的逆函数与原函数一致(a不等于1)'

'确定常数p，q的值，使得函数f(x)=(px+q)/(x^2+3x)在x=-1/3处取得极值-9。'

'给定参数方程表示的是什么样的曲线。'

'请检查以下函数 f(x) 是否连续或不连续。其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数。'

'解释逆函数 g(y) 与原始函数 f(x) 之间的关系。'

'求椭圆 $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$ 上点（x₁，y₁）的切线方程。'

'分数函数的图像、渐近线和值域'

'函数(1)的定义域是x ≠ -2，值域是y ≠ a，所以函数(1)的逆函数的定义域是x ≠ a，因此，为了使函数(1)和它的逆函数相匹配\na=-2\n此时，函数(1)的逆函数是y = \\frac{-2x+5}{x+2}，与函数(1)相匹配。因此，所求常数a的值是a=-2'

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'求给定函数的定义域。'

'绘制函数 y=(9x-10)/(6x-4) 的图表，并找出渐近线。'

'证明在$x=0$处连续但不可微的函数为$f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ ($x \\neq 0$时),$f(x)=0$ ($x=0$时)。'

'求下列函数的定义域。'

'确定常数a，b的值，使函数f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1}在x=\\sqrt{3}处取极大值\\frac{1}{2}。'

'试题4功能方程'

基本 64 | 函数的值域，函数的最大值和最小值（基本）

请解释以下双曲线的性质。x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)