基本函数 - 二次函数及其图像

"当二次函数 $f(x) = x^2 + ax + b$ 满足 $2f(x) = (x+1) f'(x) + 6$ 时，请求常数 $a, b$ 的值。"

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\n\ y^{\\prime}=0 \ 时, \ \\quad x=1,3 \\n\ y \ 的增减表如右所示。 因此, 图形如图(1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\) \ y^{\\prime}=0 \ 时, \ \\quad x=-1 \ \ y \ 的增减表如右所示。 因此, 始终单调递增。 因此, 图形如图 (2)\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{极小 -2} & \\nearrow & \\text{极大 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'绘制不等式 y > x^{2}-3 x 表示的区域。'

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"求f(x)=6x^2-6x+3a的導函數f'(x)的兩個不同實數解的條件是什麼？"

'对于二次函数的 x，求所有与 y=x^2 图形在两点处正交的二次函数。其中，两个函数图形在某点相交，且互为正交，即这一点是它们的共同点，且切线相互垂直。'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\n因此，x=-1或x=3时，y=3或y=-1\n因此，圆(A)和直线(1)相交于两点(-1,3),(3,-1)。'

'54（1）f（x）=t^2+at+b-1 '

'当点P(x, y)在单位圆周上移动时，求15x^2+10xy-9y^2的最大值以及给出最大值的点P的坐标。'

'在 x=1,4 处最大值为 \\frac{4}{3}；在 x=2,5 处最小值为 -\\frac{16}{3}'

'让我们回顾一下二次函数的最大值和最小值，以及包含三角函数的方程！让我们回顾数学I中的例题72！让我们想想如何求二次函数的最大值和最小值。首先，完成平方并画出图形。为了画出二次函数y=4t^{2}+4t+6的图形，将右侧完成平方使其变为基本形式。'

'对于两个抛物线 y=x^{2} (1) y=-x^{2}+x-a (2)，回答以下问题。'

'让我们回顾一下包含二次函数的最大值，最小值和三角函数的方程！'

"(2) 如果y'=12x-3x^2=-3x(x-4) y'=0，则x=0,4时y的增减表如右。因此，x=4时取得极大值32，x=0时取得极小值0。"

'在函数f(x)=x^{2}+2x-1中，求x值变化如下时的平均变化率。'

'不等式y>x^{2}表示的区域是抛物线y=x^{2}的上方。请参考这一点，绘制以下不等式表示的区域。'

'请绘制下列不等式所表示的区域。(1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'求函数y=x^{2}-x的图形上穿过点C(1,-1)的切线方程。'

'求出给定抛物线和 x 轴围成的区域面积 S。\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'三次函数的图像与 x 轴的交点'

'求抛物线y=x^{2}上的两点(-1,1),(2,4)处的两条切线以及被该抛物线围成的区域的面积。'

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'求在圆上点(-1,0)的切线方程。'

'求解3次函数的最大值和最小值'

'求点P（1，-2）在圆x ^ 2 + y ^ 2 = 5上的切线方程。'

'设 r>0。当抛物线 y=x^{2}-1 和圆 x^{2}+y^{2}=r^{2} 有 4 个共有点时，求 r 的取值范围。'

'在抛物线C：y=x^{2}+1上，点（t，t^{2}+1）处的切线方程是什么？这条直线与C有两个切线，它们的方程是什么？'

'当 x = 3 时，最大值为 648，当 x = 1 时，最小值为 72。'

'在 -1 处有一极大值为 5，在 3 处有一极小值为 -27。在 4 处有一极大值为 32，在 0 处有一极小值为 0。没有极值，没有极值。'

'您要采取哪些措施以取得合格分数？请具体提出建议。'

'当点 \\((x, y)\\) 在坐标平面上移动至 \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) 所确定的集合时，求 \x^{2}+y^{2}\ 的最大值以及使其取到最大值时的 \x, y\ 值。[千叶大]'

'求函数及其逆函数的图形的共同点（3）\\( f(x)=-\\frac{1}{2}x^{2}+2(x \\leqq 0) \\)，设逆函数为\\( f^{-1}(x) \\)，求\\( y=f(x) \\)的图形与\\( y=f^{-1}(x) \\)的图形的交点坐标。'

'将给定的问题翻译成多种语言。'

'请回答以下二次方程代表哪种圆锥曲线。'

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'绘制二次函数的图形和 x'

'找到函数的最大值和最小值。(3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'请分别画出以下函数的图形。'

'求二次函数通过给定的三个点的方程。'

'根据k的值划分情况，求抛物线y=x^{2}-2x+2k-4与x轴的交点数量。'

'求一个满足以下条件的二次函数。\n（1）图像的顶点为 (1,3)，通过点 (0,5)。\n（2）图像的轴为直线 x=-1，通过两点(-2,9),(1,3)。\n(3) 当 x=-3 时取得最小值为 -1，且当 x=1 时 y=31。'

'抛物线y=-x^{2}+3x-1是如何平行移动得到抛物线y=-x^{2}-5x+2的。'

'将指定文本翻译成多种语言。'

'证明函数 $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ 的图形，无论常数 $m$ 的值如何，总是与 $x$ 轴有一个交点。'

'当a为常数时，求函数f(x)=-x^2+2ax(0≤x≤4)的最大值和最小值。'

'求取函数的最大值和最小值。(2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'给定长度为a，b的线段，绘制以正根为长度的线段作为 x^2 - ax - b^2 = 0 的解。'

'抛物线和直线的共享点'

'对于PR f(x)=x^{2}-2 a x-a+6，找出使得-1 ≤ x ≤ 1时始终有f(x) ≥ 0的常数a的范围。'

'确定常数a，b的值，使得二次函数y=ax^{2}+bx-1通过点(1,0)，(-2,-15)。'

'当函数 f(x)=ax^{2}-2ax+a+b 的最大值为3，最小值为-5时，求常数a，b的值。'

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'基本例題86 抛物线和直线的共享点\n抛物线 y=x^{2}-3 x+3 和直线 y=2 x-a 存在。\n(1) 当 a=1 时，请找出两个图形的共享点坐标。\n(2) 确定常数 a 的值，使得两个图形的共享点只有一个。\n(3) 确定常数 a 的值范围，使得两个图形没有共享点。'

'找出滿足以下條件的抛物線方程式。'

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'求出顶点为 (2,-3)，与 x 轴的切线长度为 6 的二次函数。'

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'A公司销售巧克力。销售数量为y个（y为大于等于1的整数），与销售价格p日元（每个的价格）的关系如下所示：\ny = 10 - p\n（1）求A公司销售额最大时的销售价格p和销售数量y。其中，销售额定义为销售价格与销售数量的乘积。\n（2）销售y个巧克力所需的总成本c(y)表示为 c(y) = y^2。此时，求A公司利润（销售额减去总成本）最大化时的销售价格p和销售数量y。\n（3）在（2）中，总成本c(y)发生变化，变为c(y) = y^2 + 20y - 20，请求A公司使利润最大化时的销售价格p和销售数量y。'

'从 (1)~(4) 函数中选择在 x = 2 时取得最大值的两个函数，并找出这两个函数的最大值和最小值。'

'确定二次函数（2）'

'求二次函数y=x^2-4x+3的图象C以及点A(0,-1)，求下列内容：（1）将图象C沿x轴方向平移，使其经过点A'

'确定常数a的值，使抛物线y=x^{2}-a x+a+1与x轴相切。同时，找出切点的坐标。'

'使用计算机图形软件绘制二次函数 y=ax^{2}+bx+c 的图表。在该软件中，输入屏幕上的 A、B、C 分别代表系数 a、b、c 的值，然后显示相应数值的图表。'

'当二次函数的图满足以下条件时，请求这个二次函数。'

'将抛物线y=x^{2}-3x-1平移，使其通过点(1,-1),(2,0)，求得抛物线的顶点。'

'包含绝对值的二次函数图像'

'确定常数c的值，使得函数的最大值为7。并求出此时的最小值。'

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'这是一个求解二次函数最大和最小值的问题。请计算下列二次函数的顶点，并根据该值确定最大值或最小值。'

'二次函数和图形\n\n二次函数的图形\n$\\ Delta y = a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$的图形: 顶点$(p, q)$，轴是直线$x=p$的抛物线\n$a>0$则为下凹，$a<0$则为上凹\n\n$D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$的图形: 完成平方\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\n顶点$\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$, 轴是直线$x=-\\frac{b}{2 a}$的抛物线\n$a>0$则为下凹，$a<0$则为上凹'

'求下列二次函数与x轴相交的线段长度。'

'求解2次方程式$x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$存在的区间(3)\n设不同的两个实数解为$\\alpha, \eta$，满足$0<\\alpha<1<\eta<2$，请确定常数$a$的取值范围。'

'求满足以下条件的二次函数。(1) 图的顶点为 (1,3)，通过点(-1,4)。(2) 图的轴为直线 x=4，通过点 (2,1) 和 (5,-2)。(3) 在 x=3 处取得最大值10，在 x=-1 处y=-6。'

'講解將拋物線 y=-2x^2+3 沿著 x 軸方向移動 -2，y 軸方向移動 1 的方法，並求出移動後得到的拋物線方程式。'

'将抛物线 y=2 x^{2}+a x+b 向 x 轴方向移动2个单位，向 y 轴方向移动-3个单位后，抛物线与 y=2 x^{2} 重合。求常数a, b的值。'

'将给定的问题翻译成多种语言。'

'60（1）当x=±2时，最大值为8，当x=0时，最小值为-4\n（2）当x=2时，最小值为3，最大值不存在\n（3）当x=2时，最小值为-2，最大值不存在\n（4）当x=0时，最大值为1，最小值不存在'

'当64 (1) \ a<2 \时，\ x=4 \时，最大值为 \ -24 a+53 \；当\ a=2 \时，\ x=0,4 \时，最大值为5；当\ a>2 \时，\ x=0 \时，最大值为5；(2) 当\ a<0 \时，\ x=0 \时，最小值为5；当 \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \ 时，\ x=a \时，最小值为 \ -3 a^{2}+5 \；当 \ a>4 \ 时，\ x=4 \时，最小值为 \ -24 a+53 \'

'求将抛物线y=x^2-4x向x轴方向平行移动2，向y轴方向平行移动-1后得到的抛物线方程。'

'二次函数有基础形式、一般形式和分解形式三种形式。请分别说明它们的特点和应用场景。'

'求解方程 $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$，使得方程的两个不同实数根均落在区间$-3<x<3$内的常数$a$的取值范围。'

'求两个二次函数的图像与 x 轴的共同点的个数。'

'请计算函数的最大值和最小值：(4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'找到函数的最大值和最小值。(1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'请绘制以下2次函数的图形。并求出顶点和轴线。'

'二次函数的最大值和最小值'

'第4章 二次函数：解决132个二次函数'

'当抛物线y=x^{2}-(k+2)x+2k与x轴相交的线段长度为3时，请求常数k的值。'

'第4章 二次函数：112次函数的图表'

'使用完成平方法绘制二次函数 y=ax^2+bx+c 的图形。'

'当抛物线y=x^{2}+a x-2的顶点位于直线y=2 x-1上时，求常数a的值。'

'将球从地面向上方打出，经过 t 秒后的高度为 y 米，那么 y 将会成为 t 的二次函数。如果在 6 秒后球的高度达到最高点 176.4 米，那么 y 将如何用 t 的表达式来表示？'

'考虑抛物线y=x^2+ax-2的顶点位于直线y=2x-1上时，求常数a的值。'

'求x^{2}+2(y-2)^{2}=18時，2x^{2}+3y^{2}的最大值和最小值。並求出此時的x，y的值。'

'求下列二次函数的最大值和最小值。'

'请计算以下二次函数的图像与x轴的共有点数量。'

'针对 a 是常数的情况，求解 f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 在 0 ≤ x ≤ 2 范围内的最大值和最小值。'

'判断以下示例是否是函数： "对于x的平方根y，x = 16，因此y = 4和y = -4，所以y不是x的函数"'

'假设二次函数 $y=-2x^{2}+ax+b$ 经过点 $(3,-8)$。当该图与$x$轴相切时，求常数$a$的值。'

'将抛物线y=-2x^{2}+4x-4关于x轴对称移动，并在x轴方向上移动8个单位，在y轴方向上移动4个单位，求得的抛物线方程。'

'求解满足给定条件的二次函数'

'如果存在，请找出以下二次函数的最大值和最小值。'

'求出抛物线和直线的交点坐标。'

'二次函数的最大值和最小值'

'当 x^{2}+y^{2}=4 时，求 2 y+x^{2} 的最大值和最小值。并找出此时的 x, y 值。'

'对于二次函数 $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$ 的图像，请回答以下问题：(1) 当与 x 轴无共享点时，求常数 $k$ 的取值范围。'

'绘制以下方程的图形：(1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'求二次函数，其二次项系数为-1，图形经过点(1,1)，顶点位于直线y=x上。'

'对于以下函数，求最大值，最小值。'

'求二次函数 y = x^2 - 6x + 6 的图像与 x 轴的交点坐标。'

'请绘制以下二次函数的图形。'

'2次函数y = mx^2 + 3x + m的图形始终在x轴上方'

'请说明以下函数图象与 x 轴的位置关系。'

'找到符合以下条件的二次函数。'

'关于二次函数y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3的图形，请回答以下问题。'

'二次函数的最大值和最小值......轴的位置是关键。再次回顾例题83的答案，可以看到针对不同情况有不同的分析，关键是顶点在定义域的位置。例如，对于下凹的二次函数图像，可以分为以下情况：1. 顶点在定义域内。2. 顶点在定义域外。而对于上凹的图像，则如下。确实如此。大小关系会被颠倒。对于上凹和下凹的情况，顶点在定义域内或外，以及顶点在定义域中间位置的左右，都会导致不同的情况。在例题83中，虽然同时考虑最大值和最小值，但如果分开考虑最大值和最小值会得出什么结论呢？'

'请绘制以下两个二次函数的图形，并找出它们的顶点和轴。'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) 由于轴是直线 x=4，所以所求的二次函数可表示为 y=a(x-4)^{2}+q。由于这个图形经过两点 (2,1),(5,-2)，所以有 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q。整理这些方程式，得到 4a + q = 1 和 a + q = -2。解这两个联立方程式，求得二次函数。'

'(1) 对于抛物线y = x ^ 2 + ax + a-4，证明无论常数a的值如何，它始终具有与x轴不同的两个交点。'

'求二次函数，当 x=3 时取最大值 1，当 x=5 时 y=-1。'

'确定常数的值范围，使抛物线y=x^{2}-8ax-8a+24与x轴的正部分在不同的两点相交。'

'求出以下二次函数的最大值和最小值。'

'为了研究二次函数的图形和 x 轴的位置关系，需要理解以下内容。二次函数的图形与 x 轴的交点的 y 坐标始终为 0，因此交点的 x 坐标是使 y = 0 的 x 值。换句话说，解决以下问题是关键。\n1. 求解二次函数 y=ax^2+bx+c 的图形与 x 轴的交点的 x 坐标。\n2. 如果只有一个交点，那么这个点被称为什么？它是什么？'

'求下列二次函数的图像与x轴的交点数量。'

'将球从地面垂直向上抛出，t秒后高度为y米，那么y是t的二次函数。如果在抛出后6秒钟时，球的高度达到最高点176.4米，则y如何用t的表达式表示？'

'将二次函数 y=ax^{2}+bx+c 转化为最大最小形式y=a(x-p)^{2}+q（完全平方）。当a>0时，最小值在x=p处，为q。当a<0时，最大值在x=p处，为q。'

'让我们来画一个抛物线！'

'请绘制以下函数的图形。'

'找出曲线为抛物线的二次函数：（1）顶点为点(2,-3)，通过点(3,-1)的抛物线 （2）轴线为直线x=4，通过点(2,1)和(5,-2)的抛物线'

'画出二次函数 y=ax^2+bx+c 的图形(2)'

'请计算以下二次函数的最大值: f(x) = -2x^2 + 4x'

'当 x=-4 时最大值为 21，x=0 时最小值为 -3'

'重新表达以下条件（甲）、（乙）、（丙），这三个条件都等同于条件（戊）。'

'设a，b为常数，二次函数y=x^{2}+ax+b的图形为F。在以下(1)~(6)中选择两个对F描述正确的选项。'

'将抛物线（2）沿 x 轴向 -3、y 轴向 -6 平行移动，然后关于原点进行对称移动，回到抛物线①。在这样移动时，顶点（2，-3）经平行移动后成为点（2-3，-3-6）即点（-1，-9），再关于原点对称移动，则变成点（1，9）。因此，（1）的方程是 y=(x-1)^{2}+9 即 y=x^{2}-2x+10，因此 a=-2，b=10。'

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'将抛物线y=-2x^2+4x-4关于x轴对称移动，然后在x轴方向上移动8个单位，在y轴方向上移动4个单位得到的抛物线方程是什么？'

'请绘制以下二次函数的图形，并找出顶点和轴。(1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'找到符合以下条件的二次函数。'

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'求出通过以下3个点的二次函数。'

'找到通过以下3个点的二次函数：\n(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)\n(2) (-1,0),(3,0),(1,8)'

'将抛物线y=x^{2}+2 x-1的顶点记为P。回答以下问题：(1)求关于x轴对称于点P的点Q的坐标。(2)求此抛物线及关于x轴对称的抛物线的方程。'

'（1）y=2（x-2）^2-3[y=2x^2-8x+5]（2）y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'求解二次函数的步骤'

'当点 P 在抛物线 y=x² 上移动时，从点 P 分别向直线 y=x-1, y=5x-7 下垂线 PQ, PR。求 PQ・PR 的最小值。并求得此时点 P 的坐标。'

'过点 A(-1,0) ，并且斜率为 a 的直线为 ℓ 。抛物线 y = 1/2 x^2 与直线 ℓ 在不同的两点 P、Q 相交。'

'求接过点C(1,-1)且切线为函数y=x^{2}-x图像的方程。'

'假设99a为常数。对于抛物线y=x^{2}+ax+3-a，当a取所有实数值时，求顶点的轨迹。'

'通过y=-x²+1的切线在点(0,0)和点(2,-2)处围成的图形的面积。请计算。'

'已知抛物线 y=x^{2} 和圆 x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0)。求抛物线和圆的交点为4个的r的范围。'

'计算基本列表169平均变化率'

'当正实数 x 和 y 满足 9x^2 + 16y^2 = 144 时，求 xy 的最大值。'

'求曲线 y=x^{2}-5 x+4 的斜率为-1的切线方程。'

'[问题B] 让m为负常数。如右图，考虑由抛物线y=x^{2}-2和两条直线y=mx, y=2x+1围成的三个区域，并将其中满足y≤mx且y≥2x+1的区域的面积记为S_{1}，满足y≥mx且y≤2x+1的区域的面积记为S_{2}。要求找到使S_{1}=S_{2}成立的常数m的值。回答以下(4)~(6)的问题。其中，图中的(1)，(3)，b，c与问题A的(1)，(2)中的定义相同。\n(4) 将不等式组y≥x^{2}-2, y≤mx, y≤2x+1的区域的面积记为S_{3}。将抛物线y=x^{2}-2与直线y=mx的交点的x坐标记为α, β(α<β)，则S_{1}和S_{3}的面积之和表示为定积分，即S_{1}+S_{3}=。'

'求y=-x^{2}+2x+3的最大值及對應的x值。'

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'寻找最大和最小面积'

'填写增减表的第三行后，画出图形。当填写第一行的 x 值对应的 y 值后，根据其内容画出图形。在这种情况下，画出二次函数的图形时，建议先找到顶点，使得 y 是极大值或者极小值。此外，也要找出与 y 轴相交的坐标（将 x=0 代入 y 的表达式）。'

'找到通过点（2，-4）并且与曲线y=x^{2}-2 x相切的直线方程。'

'设a>0，考虑抛物线E：y=x^{2}上的点(a, a^{2})处的切线为m。计算E，m，y轴围成的区域的面积，并用a表示。'

'从点(3,4)到曲线y=-x^{2}+4x-3引出的切线方程是什么？'

'求下列情况的最小值：\n31. (1) x=4 时最小值为8\n(2) x=2 时最小值为3'

'(1) 当x=-\\frac{1}{2}时，取得极小值-\\frac{3}{16} \\ n当x=0时，取得极大值0 \\ n当x=2时，取得极小值-8 \\ n(2) 当x=1时，取得极小值0'

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'通过查看基本示例 214 的内容，让我们更详细地了解。请注意，在实际答案中，应按照示例的解答方式计算，而不要使用以下内容作为公式。'

'曲线y=-2x^{2}+4x+6与x轴的交点的x坐标是通过解方程-2x^{2}+4x+6=0得到的，即x^{2}-2x-3=0得到(x+1)(x-3)=0，因此-1≤x≤3且y≥0，所以要求的面积S是'

'有二次函数 f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2}，g(x)=x^2+ax+3。'

"当二次函数$f(x)$满足$f'(0)=1, f'(1)=2$时，求$f'(2)$的值。"

'求通过圆x^2 + y^2 = 8的切线，且垂直于直线7x + y = 0的线的方程。'

'在抛物线 C: y = x^2 上的点 P(a, a^2) 处，其中 a > 0，求接线 l1。如果与点 P 不同的 C 上的点 Q 处的接线 l2 与 l1 垂直，则求 l2 的方程。'

"第二行是利用 y' 的图填写的"

'设a为常数，并在区间a≤x≤a+1上考虑函数f(x)=-2x^{2}+6x+1。回答以下问题。'

'当练习二次函数的图满足以下条件时，请找出该二次函数：'

'求二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的最大值和最小值。'

'求最小值。'

'求解抛物线y=x^{2}+3x+a和直线y=x+4相切时的常数a的值。'

'找出通过点（1,0）、（3,0）、（4,2）的二次函数。'

'求解满足以下条件的二次函数：通过点 (1,8)，(-2,2)，(-3,4)。'

'(2) 将抛物线 $y=x^{2}-3 x+4$ 平移，以通过点 (2,4)，并且顶点位于直线 $y=2 x+1$ 上。'

'确定常数m的值范围，使二次函数y=-x^{2}+(m-10)x-m-14的图形满足以下条件：(1)与x轴的正部分和负部分相交。(2)仅与x轴的负部分有共有点。'

'解决二次函数的最大值和最小值问题的方法并描述其特点。'

'2次函数y=x^{2}-2x+2k-4的图像与x轴的交点个数将随常数k的不同而变化。'

'如果二次函数图满足以下条件，请找出该二次函数：通过点（-1,16），（4，-14），（5，-8）。'

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'求2次函数y = ax^2 + bx + c的表达式。该函数通过三个点(-1, 22)、(5, 22)、(1, -2)。'

'对于以下二次函数，如果存在最大值或最小值，请求出它们。(1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'设a为常数，f(x) = x^2 - 2ax + a + 2。求满足对于所有0 ≤ x ≤ 3的x值，始终成立f(x) > 0的a值范围。'

'求函数y=ax^2+4x+2的图形与x轴具有2个不同的交点时a的范围。并求出仅与x轴有1个共享点的a的值。'

'请查询二次函数y=-x^{2}的图像和直线y=-2x+k的交点数量。其中k为常数。'

''

'使用计算机软件绘制图形显示二次函数y=ax^{2}+bx+c的图形。在该软件中，要在图形屏幕上的A，AB和C位置输入系数a、b、c的值，然后相应的图形就会显示出来。现在，输入了A、B和C位置的值后，显示出了右图所示的图形。 （1）作为输入到A、B和C位置的值的组合，请从右侧表格的11到8中选择一个合适的组合。（2）为了显示已显示的图形所经过的原点的对称移动曲线，应该在A、B和C位置输入哪些值。 请从（1）表的（1）到（8）中选择一个适当的组合。'

'请解释如何有效利用图表和分析来解决示例问题。'

'当二次函数 y=3x^2-(3a-6)x+b 在 x=1 处取得最小值 -2 时，求常数 a, b 的值。'

'找到把抛物线 $y=-2 x^{2}+4 x-4$ 沿着 $x$ 轴向左移动 3 个单位，沿着 $y$轴向上移动 1 个单位后得到的抛物线方程。'

'在满足以下条件时，找出该二次函数。'

'将二次函数y=ax^{2}+bx+c的图像转换为形式为a(x-p)^{2}+q的形式（称为完全平方成立）。'

'确定常数 m 的取值范围，使二次函数 y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 的图像满足以下条件：(1) 与 x 轴的正半轴和负半轴相交。(2) 仅与 x 轴的负半轴有一个共享点。'

'通常情况下，如果两个抛物线有两个共同点，则请找出通过它们的直线方程。'

'使用函数图软件，可以通过a的值来观察图形的变化。'

'第3章 二次函数\n8 函数与图像\n问题\n绘制下列函数的图像。\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'求二次函数 y=-3x^{2}-4x+2 的图像与 x 轴相交得到的线段长度。'

'确定常数m的取值范围，使二次函数y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m的图表满足以下条件。'

'请找出通过点(1,1)，(3,5)和(4,4)的二次函数。'

'所需解是，在融合 (1) 和 (2) 的范围内 \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) 所以\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ 的解是 \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ 的解是 \ \\quad-1<x<7 \'

'数学II\n（1）确定常数a的值，使函数y=x^{2}+ax+a的图形切线为y=x+1。并找出切点的坐标。\n（2）设k为常数。研究函数y=x^{2}-2kx的图形与直线y=2x-k^{2}的交点个数。'

''

'二次函数 y=x^{2}-2 x+2 k-4 的图与 x 轴的交点数量会随着常数 k 的变化而如何变化？'

'过点 (-1,0) 和 (3,8)，并且切线为 y=2x+6 的二次函数 y=ax^2+bx+c 的值为何？'

'这两个抛物线是否有相交点？如果有，请找出它们的坐标。'

'二次方程式解的存在范围'

'让我们考虑抛物线与 x 轴的交点位置。请绘制满足以下条件的抛物线图形。\n\n条件:\n1. 图形与 x 轴的正部分在两个不同的点相交。\n2. 轴的位置为正。\n3. f(0) > 0。\n\n请解释满足这些条件的图形具有什么特点。'

'练习：下面的二次函数图形中，将方括号中的二次函数图形分别平行移动了多少？并画出每个图形，找出它们的轴和顶点。'

'二次函数 y=2x^{2}+6x+7 的图形是如何平行移动的，二次函数 y=2x^{2}-4x+1 的图形。'

'根据a的值，函数f(x)的图形会发生变化，但在哪些a值下f(x)不会具有最大值？'

'当抛物线y=x^{2}-(k+2)x+2k与x轴相交形成的线段长度为4时，求常数k的值。'

'对于[5]，[6]，[7]，y在x=2处取得最小值。'

'数学 I\n这个抛物线和直线有交点吗？如果有，请找出这些交点的坐标。\n（1） \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n（2） \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n（3） \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'求A、B的坐标得出如下。'

'二次函数y=x^{2}+ax-a+3的图形与x轴有交点，但与直线y=4x-5没有交点。其中，a是一个常数。\n（1）求a的取值范围。\n（2）将二次函数y=x^{2}+ax-a+3的最小值设为m，求m的取值范围。[北海道情報大]'

'求二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的值，在经过点 (-1,0) 和 (3,8) 且在直线 y=2 x+6 上触及的情况下。'

'这两个二次函数的图形是否与 x 轴有交点？有的话，请求出交点的坐标。'

'练习：找出以下函数的最大值和最小值。'

'求函数y=x^{2}-2ax+a^{2}-3的图像与x轴的交点的x坐标。'

'求出以下二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。'

'当二次函数 y=x^{2}+ax+b 在 0 ≦ x ≦ 3 的范围内取最大值为1，在 0 ≦ x ≦ 6 的范围内取最大值为9 时，求常数 a, b 的值。'

'判断如右图所示的二次函数图象的以下值的正负：'

'求2次函数y = ax^2 + bx - 1通过点（1,0）的条件和通过点（-2，-15）的条件。'

'请查找函数 y = x^2 - 4 和 y = a(x + 1)^2 的图形的交点数量。'

'求函数 y=x^{2}-4 x+3 的图 C 和点 A(0,-1) 关于下列 (1)，(2) 表示的二次函数。'

'第3章 二次函数\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ 即 $a<\\frac{9}{2}$ 时\n由图 [1], $x=a$ 时取得最大值。\n最大值为 $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ 即 $a=\\frac{9}{2}$ 时\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\n由图 [2], $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$ 时取得最大值。\n最大值为 $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ 即 $\\frac{9}{2}<a$ 时\n由图 [3], $x=a+1$ 时取得最大值。最大值为\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

''

'求解以下二次函数的最大值和最小值'

'当二次函数y = x^2 + a x + b在0 ≤ x ≤ 3范围内取得最大值1，在0 ≤ x ≤ 6范围内取得最大值9时，请求常数a，b的值。'

'在a ≤ x ≤ a+2的情况下，二次函数f(x)=-x^{2}+2x的最大值和最小值是a的函数，分别用F(a)和G(a)表示。绘制函数F(a)和G(a)的图形。'

'在满足条件x^2+2y^2=1的情况下，求2x+3y^2的最大值和最小值。'

'二次函数的图形是抛物线，由a、b、c的值决定是向下凸还是向上凸，张开程度，轴线和顶点的位置等。在这里，让我们考虑改变a、b、c的值时图形会如何变化。'

'找出通过给定三个点的二次函数。'

'求解满足条件的二次函数：（1）顶点为（1,3），穿过（0,5）。'

'求过 (-1,7), (0,-2), (1,-5) 三点的二次函数。'

''

'利用二次函数图形和与 x 轴的位置关系，求解下列方程的实数解。'

'第3章 2 次函数'

'当 $5< \\alpha$ 时，从图 [6] 可得，$x=a$ 时取得最小值。最小值为 $f(a)=a^{2}-9 a$'

'求满足条件的二次函数。(2)轴为直线x=4，经过两点(2,1),(5,-2)。'

'基本示例84文字数的抛物线与x轴的共享点 k是常数。通过对k的值进行分类，找出抛物线y=x^{2}-2 x+2 k-4和x轴的共享点数。'

'求解以点 (2,-3) 为顶点，从 x 轴截取长度为 6 的线段的二次函数。'

'完成平方时需要注意的事项'

'确定常数a的值，使抛物线y=x^{2}-ax+a+1与x轴相切。同时，求出相切点的坐标。'

'当-4 <= x <= 0时，从图（1）中可以看出，x=-1时取得最大值f(-1)=3，x=-4时取得最小值f(-4)=-15。'

'求以下二次函数的最大值和最小值：\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'请求满足以下条件的二次函数：(2) 图的轴为直线 x=-1，并且通过两点(-2,9),(1,3)。'

'找出下列二次函数的最大值和最小值。(1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'证明二次函数y=x^{2}-2ax+a^{2}-3的图形与x轴的交点到一定无关于常数a的长度。'

'描述下列二次函数的图形。'

'求解满足条件的二次函数。 在 x=-3 时取得最小值 -1，且 x=1 时 y=31。'

'求二次函数 y=-x^{2}+3x+3 的图形与 x 轴相交的线段的长度。'

'求第3章2次函数（2）所述抛物线的顶点位于直线 y=-x+2 上，因此顶点的坐标表示为 (p,-p+2)。因此，所求方程为 y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2。由于抛物线经过点 (1,5)，因此 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2 即 p^{2}-4 p-5=0。因此 (p+1)(p-5)=0，故 p=-1,5。当 p=-1 时，(1) 变为 y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3（亦可为 y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2}）。当 p=5 时，(1) 变为 y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3（亦可为 y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2}）。'

'设 x、y 为实数。求 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 的最小值及其对应的 x、y 值。'

'求通过以下3点的二次函数。'

'抛物线y = 3x ^ 2-6x + 5如何平行移动才能与抛物线y = 3x ^ 2 + 9x重合？'

'求下列二次函数的图像与x轴的交点个数。'

'沿 x 轴移动 2 个单位，沿 y 轴移动 -1 个单位，使得抛物线 y=-2 x^{2}+3 与之重合，求与之重合的抛物线方程。'

'绘制以下两个二次函数的图形，并求其轴和顶点。(1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'求得满足以下条件的二次函数。(3) 当 x=3 时取最大值 10，并且 x=-1 时 y=-6。'

'在使用二次函数决定问题的表达式中，使用哪种形式，基本形式、一般形式还是分解形式，选择不当，计算会变得繁琐且容易出错。考虑在什么情况下应该使用哪种形式。'

'抛物线y=-x^2+3x-1如何平行移动以得到抛物线y=-x^2-5x+2。'

'找到两个抛物线 y = x^2 - x + 1 和 y = -x^2 - x + 3 的两个共同点的坐标。'

''

'基本示例832功能图和x轴的共享点'

'确定二次函数的最大和最小值'

'将 y=2x^{2}-4x+5 的图形 G 沿着 y 轴方向平移 k，得到图形 H。当图形 H 与 x 轴在不同的两点相交时，且在 2≦ x≦6 的范围内，可以使得图形与 x 轴在不同的两点相交时，k 的可取值范围为 ≦ k< 。'

'将抛物线 y = -x^2 + x - 2 沿 x 轴方向平移 -3，沿 y 轴方向平移 1 后，求新抛物线的方程。'

'将抛物线y=x^2-3x-1平行移动，使其穿过点（1，-1）（2，0）时，求该抛物线的顶点。'

'求得通过给定3点的二次函数。'

'把抛物线y=2x^2-4x+1平行移动了两个单位'

'找出符合以下条件的二次函数。（1）顶点为 (1,3)，通过点（-1,4）。'

'求下列二次函数图形与x轴所切线段的长度。(1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

'关于a，系数a的符号和绝对值取决于抛物线是向下凹还是向上凹，以及抛物线的张开程度。'

''

'假设PR为常数。对于函数f(x)=3 x^{2}-6 a x+5（0 ≤ x ≤ 4），请找出：\n(1) 最大值。\n(2) 最小值。\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\n这个函数的图像是一个下凹的抛物线，轴线是直线x=a。'

'当 x 和 y 满足 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0 时，求 x^{2}+2y 的最大值和最小值。'

'在以下条件下找到函数f(x)的最大值和最小值。\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\n请根据图表和各条件找到最佳的x值。'

'令a为常数。求函数f(x) = x^2 - 2x + 2在a ≤ x ≤ a + 2范围内的最小值。'

'请研究在下列条件下函数 f(x) 的解的数量和特性。'

'求函数 f(x)=-x^2+2ax+a+b 的最大值和最小值。'

'(1) 在A中输入1，在B和C中分别输入值之后，显示出如图1所示的图表。此时，b和c的值组合中最合适的是下面0-7中的哪一个？'

'表示的图形'

'求出给定点到下列二次曲线上的切线方程。'

'二次曲线与直线的交点坐标'

'求椭圆 $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$ 上点 $(-1, \\frac{1}{5})$ 处的切线方程。'

'求曲线上点P的切线和法线方程。'

'32条曲线和区域'

'(2) 由 $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$ 可得, $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$'

'求解以下二次曲线方程。假设 p≠0，a>0，b>0。(1) 平行移动抛物线 y^{2}=4 p x，其准线为直线 x=-1，焦点为点 (3,4)。(2) 平行移动双曲线 x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1，具有直线 y=x+1 和 y=-x+1 作为渐近线，且通过点 (3,3)。'

'找到抛物线 C₁ 与 x 轴的交点的 x 坐标。'

'通过两条曲线的交点的方程式'

'当函数 \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\) 时，求曲线 \\( y=f(x) \\) 与 x 轴围成的面积 \ S \。其中，\ a \ 是正常数。'

'设f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1，求y = f(x)的图形与x轴之间的面积S。其中，a为正常数。'

'求放物线 y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2) 的顶点。'

'求放物线y = x ^ {2} + px + p（p≠2）的顶点轨迹。'

'考虑 y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8，当 x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2 时，y^{\\prime}=0。也就是说，由 x^{2}+x-1=0 可得 x=(-1-\\sqrt{5})/2 时 y=(11-5 \\sqrt{5})/2。证明 x=(-1+\\sqrt{5})/2 时，y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8。'

'抛物线 y = -x^2 + x + 2 上点 P 与直线 y = -2x + 6 上的点之间的距离取得最小值当 P 的坐标为α。'

'以抛物线 $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ 的顶点为 $P$。当 $t$ 取非负值变化时，求顶点 $P$ 的轨迹。'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"

'当抛物线和圆有四个不同的共有点时，二次方程式 (1) 在 1<y<3 范围内有两个不同的实数解。因此，要求同时满足 [1] 到 [3] 条件的 a 的值范围。其中，f(y)=2y^{2}-7y-a+6。\n[1] 记方程 (1) 的判别式为 D，要求 D>0，即8a+1>0，得出 a>-−1/8。\n[2] 关于轴，满足 1<\\frac{7}{4}<3 这个条件始终成立。\n[3] 由 f(3)=3-a>0 推出 a<3，由 f(1)=1-a>0 推出 a<1，求解范围为 -\\frac{1}{8}<\\alpha<1。'

'当 x = \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2} 时，最大值为 \\frac{11+5 \\sqrt{5}}{2}，当 x = 2 时，最小值为 -7。'

'设a、b为实数。绘制曲线y = ax^2 + bx + 1与x轴正部分无交点的区域。'

''

'74年抛物线y=3 x ^{2}+\\frac{2}{3}'

'设m为常数。抛物线y=f(x)通过原点，且点(x, f(x))处的切线斜率为2x + m。设抛物线y=f(x)和抛物线y=-x^{2}+4x+5围成的图形的面积为S。求S的最小值。'

'在任何情况下x = 0都是极小值。'

'求曲线C与x轴的交点的x坐标。另外，求曲线C与曲线y=-x^{2}+2x的交点的x坐标。'

'求抛物线y=2x^{2}-3x在x<0和2<x的部分'

''

'设x²+(y-4)²≥4，y≥-2/3x²表示的区域为D。包含在D中，y截距为0到2之间的直线中，求斜率最大的那条。'

''

'110（2）抛物线y=3x^2-6x+2'

'101 (2) \ y=-x \\pm \\sqrt{2} \'

'请绘制以下不等式的区域。'

'当实数x，y满足x²+y²=2时，求2x+y的最大值和最小值。并求出相应的x，y的值。'

'请验证以下函数的对称性：f(x) = x^2 + 3x + 2'

'（2）m是一个常数。求抛物线y^2=-8x和直线x+my=2的交点个数。'

'抛物线C上的点(x_1, y_1)(x_1 ≠ 0, y_1 ≠ 0)处C的法线斜率为-1/(2/y_1)=-y_1/2。将y_1/2=m代入y_1²=4x_1。因此x_1=m²。所以所求的法线方程为y=mx-m³-2m。'

'设抛物线 $y^{2}=4 x$ 为曲线C。\n(1) 求曲线 $C$ 的斜率 $m$ 的法线方程。\n（2）从点 $(a, 0)$ 上的x轴到曲线 $C$ 可以画多少条法线。其中，$a \neq 0$。'

'(3)在x=-2处有极小值-1/3，在x=0处有极大值1'

'(3) 定义域为，1-4 x^{2} \\geqq 0 至 \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}'

'(1) x=-a ± √(a²+1)'

'练习下列二次曲线和直线是否有交点。如果有，请确定是交点还是切点，并求出该点的坐标。'

'对于f(x)=2 sqrt{x}和区间[1,4]，求满足平均值定理条件的c的值。'

'请找出以下二次曲线的切线方程：(a) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, 点 \\( (2,3) \\)'

'当实数 x, y 满足两个不等式 x^2 + 9y^2 ≤ 9, y ≥ x 时，求 x + 3y 的最大值和最小值。'

'求解抛物线的顶点绘制曲线。'

'函数 f(x)、g(x) 在区间 [a, b] 上连续, f(x) 的最大值比 g(x) 的最大值大, f(x) 的最小值比 g(x) 的最小值小。证明在方程 f(x)=g(x) 在 a ≤ x ≤ b 的范围内有解。'

'利用前一页基本概念中的公式，找出下列二次曲线上给定点的切线方程。'

''

'求出函数y = √(2x + 4) (a ≤ x ≤ b) 的值域为1 ≤ y ≤ 3时的常数a, b的值。'

'在 x=4，y=0 时，最大值为18'

None

'求两条曲线y=-x^{2}, y=\\frac{1}{x}的切线方程。'

'通过参数 t，求解曲线 x=2t+t^2, y=t+2t^2(-2 ≤ t ≤ 0) 和 y 轴所围成的图形的面积 S。'

'求点 A(1,4) 到双曲线4 x^{2}-y^{2}=4的切线方程。并求出切点的坐标。'

''

"应用微分法的第4章\n117\n2x^2+x+1=2(x+\\frac{1}{4})^2+\\frac{7}{8}>0，因此，当y'=0时，x=1\ny的增减表如下。\n\n问题：找出y取得极大值1的点。"

'在 x=0 处取得最大值为 1，在 x=4 处取得最小值为 17/9'

''

'二次曲线的切线\n曲线上的点 \\( \\left(\oldsymbol{x}_{1}, \oldsymbol{y}_{1}\\right) \\) 处的切线方程 \ p \\neq 0, a>0, \\quad b>0 \\n1 抛物线\n\\[ \egin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \egin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 椭圆 \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 双曲线 \ \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ （复号同顺）'

'请解释抛物线的定义和性质。'

'请查询下列二次曲线和直线的交点数量。'

'當點 (x₁, y₁) 在拋物線 y²=4px 的曲線上時，求其切線方程。'

'二次曲线和离心率 e\n椭圆、双曲线和抛物线一样, 可以根据定点 F 和定直线 ℓ 到点 P 的距离之比为常数的点的轨迹来定义。也就是说, 点 P 到 ℓ 引的垂线为 PH 时, PF:PH=e:1 (e 是正常数) 满足的点 P 的轨迹是以 F 为焦点的一个二次曲线, ℓ 为准线, e 为二次曲线的离心率。在这种情况下, 二次曲线根据 e 的值被分类为以下几种。\n当 0<e<1 时 椭圆 当 e=1 时 抛物线 当 e>1 时 双曲线'

'求出从给定点到下列二次曲线画出的切线方程。'

'考虑图形的意义来解决方程式'

'求曲線上給定點的切線方程式。'

'这个方程代表什么图形？'

'请考虑以下方程：\n2. 方程：y^2 + x - 4y + 8 = 0'

'绘制以下两个二次函数的图象，并求出它们的轴和顶点。'

'找出二次函数 y=x^{2}+a x+a 的图象与直线 y=x+1 相切的常数 a 的值。求出相切点的坐标。'

'抛物线y=4x^{2}+ax+b通过点(1,1)并且接触x轴。找出满足这个条件的所有a和b的组合。'

''

'求出下列二次函数的最大值和最小值。'

'这两个二次函数的图形是否有相交点？如果有，请找出这些点的坐标。'

'确定常数值c，使得函数y=-x^2+6x+c(1≤x≤4)的最小值为1。同时求出此时的最大值。'

'数学 I 87练习66册第143页f(x)=x^2-ax+a+8。当0≤x≤5时，f(x)的最小值大于或等于0即可。将f(x)转化为'

'给定上述，当a<-\\frac{2}{3}时，m(a)=2 a^{2}+3 a+2；当-\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3}时，m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1；当\\frac{2}{3}<a时，m(a)=2 a^{2}-3 a+2'

'求出满足以下条件的二次函数：（1）顶点位于 x 轴上，通过点 (0,4),(-4,36)。 （2）将抛物线 y=2x^{2} 平行移动，使得其通过点 (2,3)，且顶点位于直线 y=6x-5 上。'

'当二次方程式$x^{2}-ax+2a=0$有两个不同的实数解，并且其中一个解位于$-1<x<1$的范围内时，求常数$a$的取值范围。'

'请从第3章的二次函数练习题中找出二次函数图像的最大值和最小值。'

'重要例題93系数是三角比方程式(2) \ x \ 的二次方程式 \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) 具有两个不同的实数解，这些解均包含在区间 \ -1<x<2 \ 中，请确定 \ \\theta \ 的值的范围。[秋田大] <例題75'

'求出具有以下对称性移动曲线的二次函数的方程：(1) x轴 (2) y轴 (3) 原点。'

'从图表中可以看出，当 x=1 时，y=3(x-1)^{2}+2 的最小值为 2，没有最大值。'

''

'求解抛物线y=2(x-p)^{2}-p+3。'

'给定函数是二次函数，因此 a ≠ 0。'

'以AC为直径的圆的半径为x，则有以下内容。'

'回答问题45。'

'例46 抛物线与x轴的切线长度为k的常数。假设抛物线y=x^{2}-kx-18与x轴的切线长度为l。'

'求解二次函数 y=a(x-p)^2+1。'

'（1）y=2x^2+3的图。\\n（2）y=2(x-1)^2的图。\\n（3）y=2(x+1)^2-4的图。'

'通过关于直线y=1的对称移动，将抛物线C_{1}上的点P(x, y)移动到点P^{\\prime}(x^{\\prime}, y^{\\prime})，有x^{\\prime}=x, \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1。因此有x=x^{\\prime}, y=2-y^{\\prime}，将此代入y=ax^{2}+bx+4中得到2-y^{\\prime}=ax^{\\prime 2}+bx^{\\prime}+4，即抛物线C_{2}的方程为2-y=ax^{2}+bx+4。类似地，求得抛物线C_{3}的方程为2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4。由C_{2}，C_{3}分别通过点(-2,-10)和点(3,-2)得到a，b的联立方程组，求解可得到a，b的值。'

'找出抛物线和直线的交点坐标。'

'当轴x = a在范围0≤x≤2内时，也就是0≤a≤2时，从右侧图表可知，x = a时达到最小值。最小值为\n \\[ f(a) = -a^{2} - 4a\\]'

'当实数x，y满足2x^{2}+y^{2}=8时，求x^{2}+y^{2}-6x的最大值和最小值，以及对应的x，y的值。'

'这两个二次函数的图形是如何平移函数 y=2x^{2} 的。'

'求解符合以下条件的二次函数。'

'当实数x，y满足x^2 + (y-1)^2 = 5时，求2x-y的最大值和最小值，以及此时x，y的值。'

'找x的顶点坐标。'

'练习下列抛物线和直线是否有交点。如果有，请找出它们的坐标。'

'求解以下联立方程组的交点。'

'确定常数 c 的值，使得满足以下条件： (1) 函数 y=x^{2}-10 x+c(3 ≤ x ≤ 8) 的最大值为10。 (2) 函数 y=-x^{2}+4 x+c(-1 ≤ x ≤ 1) 的最小值为-10。 首先，完成平方并转换为标准形式。尽管不能画出精确的图形，但应该以轴的位置和区间的端点关系来描述。'

'将抛物线y=x^{2}-4 x向x轴方向平移2，y轴方向平移-1，求得新抛物线的方程。'

'求解满足以下条件的二次函数。'

'示例：1。求出下列二次函数的顶点坐标和轴：y = 2x^2 - 4x + 1 2。求出下列二次函数的最大值和最小值：y = -3x^2 + 6x - 2'

'将抛物线 y=-2 x^{2}+4 x-4 沿着 x 轴平移 -3，沿着 y 轴平移 1 后得到的抛物线的方程是什么？'

关于二次函数 $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$ 的图像，回答以下问题。 (2) 当该图像与 $x$ 轴相切时，求常数 $k$ 的值以及此时切点的坐标。

该图经过 3 点 (1,3),(2,5),(3,9)。求解的二次函数为 $y = a x^{2} + b x + c$。

基本 76 | 从最大和最小条件确定二次函数

放物线 $y = x^{2} + 2x - 1 \cdots \cdots$ (1) 的顶点为 $\mathrm{P}$。请回答以下问题。 (1) 求点 $\mathrm{P}$ 关于 $x$ 轴对称的点 $\mathrm{Q}$ 的坐标。 (2) 求这条放物线关于 $x$ 轴对称的放物线方程。

绘制二次函数 oldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c 的图像 (2)

关于二次函数 \( y=x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-3 \) 的图形，回答以下问题。 （2）求当该函数与 x 轴相切时，常数 $k$ 的值和切点的坐标。

求通过点 (1,3)、(2,5)、(3,9) 的二次函数。

我们学习了二次函数 $y=a x^{2}$ 的图形。这里，我们将学习与 $y=a x^{2}$ 相关的 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图形。为了做到这一点，理解形如 \( y=a(x-p)^{2}+q \) 的二次函数图形是很重要的，所以让我们详细看看吧。

求满足以下条件的二次函数。（1）通过平移抛物线 $y=-x^{2}-2x$，使其通过点（-1，-2，2，1）。（2）在 $x$ 轴方向上平移2单位，在 $y$ 轴方向上平移-3单位，使其经过点 (1,2), (2,-2), (3,-4)。

二次函数的图形与 x 轴的位置关系 基本 90 二次函数的图形与轴的交点个数

求解二次函数 $y=x^{2}-6x+6$ 的图像与 $x$ 轴的交点坐标。

设 a 和 b 为实数，求当二次函数 y=4x^{2}-8x+5 和 y=-2(x+a)^{2}+b 所表示的抛物线的顶点相同时，常数 a 和 b 的值。

绘制二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图像(1)

求满足以下条件的二次函数： （1）将抛物线 $y=-2 x^{2}$ 平行移动，顶点为点（-3，1）； （2）将抛物线 $y=x^{2}+2 x-3$ 平行移动，通过2点 \( (-1,6),(3,2) \) 。

求满足以下条件的二次函数。 (1) 在 $x=3$ 处取最大值 1，且在 $x=5$ 处 $y=-1$。 (2) 在 $x=-2$ 处取最小值，其图像通过两点 \( (-1,2),(0,11) \)。

标准 73 | 从二次函数的最大值确定系数

基本 72 | 2 次函数的最大值和最小值 (2)

求在 oldsymbol{x}=1 处取最小值，并且图像通过两点 \( (0,3) \)、\( (3,6) \) 的二次函数。

画二次函数 \( oldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \) 的图

二次函数 y=α(x-p)²+q 的最大值和最小值 ① 定义域没有限制的情况下（定义域是全体实数的情况下） 根据 a 的符号有以下两种情况。 当 a>0 时 在 x=p 处取得最小值 q 没有最大值 当 a<0 时 在 x=p 处取得最大值 q 没有最小值

求下列二次函数图像与 $x$ 轴的交点个数。 (1) $y=3 x^{2}+x-2$ (2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$ (3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

求使函数 \( f(x)=x^{2}-10x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) 的最大值为 10 的常数 $c$ 的值。

如果抛物线 $y = x^{2} + a x - 2$ 的顶点在直线 $y = 2 x - 1$ 上，那么求常数 $a$ 的值。

关于二次函数 \( y=(x-3)^{2}+1 \) 1) $1 \leqq x \leqq 4$ 2) $2 \leqq x \leqq 5$ 3) $4 \leqq x \leqq 5$ 4) $2 \leqq x$

求一个在点 (2,1) 有顶点并且通过点 (4,9) 的二次函数。

求以下两个二次函数的图与X轴的交点坐标。 (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

让我们整理一下绘制二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 图的步骤。请按照以下步骤进行： (1) 完成平方。 (2) 将其变为 \( y=a(x-p)^{2}+q \) 的形式。 (3) 读取图的特点。 (4) 如果 $a > 0$ 则图向下凸（向上开），如果 $a < 0$ 则图向上凸（向下开）。 (5) 求出顶点坐标 \( (p,q) \)。 (6) 轴为直线 $x=p$。 (7) 实际画出 $y=x^{2}-6x+10$ 的图。

二次函数的图和 x 轴的位置关系基本 91 二次函数的图和轴有共同点的条件

为以下二次函数求最大值和最小值 (如果存在的话)。(1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

基本 71 | 二次函数的最大值和最小值 (1)

对于函数 $y=x^{2}+2 x-1$，在以下范围内，求最大值和最小值（如果存在）。 (1) $-3 \leqq x \leqq 0$ (2) $-2<x<1$ (3) $0 \leqq x \leqq 2$

如果下列函数有最大值和最小值，请求出它们。 (1) \( y=x^{2}-2x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \) (2) \( y=2x^{2}-4x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \) (3) \( y=-x^{2}-4x+1(0 \leqq x \leqq 2) \) (4) \( y=x^{2}-4x+3(0<x<3) \)

绘制以下的二次函数图形，并找出它们的顶点和对称轴。 (1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \) (2) \( y=-rac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

求以下二次函数的图和 x 轴的交点数。 (1) $y=x^{2}-x-3$ (2) $y=4 x^{2}+12 x+9$ (3) $y=-x^{2}+2 x-3$

求通过以下三个点的二次函数： (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

在定义域 $0 \leqq x \leqq a$ 范围内函数 \( f(x)=(x-2)^{2} \) 的最大值和最小值进行求解，假设 $a$ 是正常数。 (1) $0<a<2$ (2) $2 \leqq a<4$ (3) $a=4$ (4) $4<a$

对于二次函数 \( f(x) = -x^2 + 6x - 7 \)，在 $a \leq x \leq a+1$ 区间内的最大值为 \( M(a) \)。

求定義域在 $1 \leqq x \leqq a$ 范围内的函数 \( f(x)=-(x-3)^{2} \) 的最大值和最小值, 针对如下几种情况。 其中， $a$ 是满足 $a>1$ 的常数。 (1) $1<a<3$ (2) $3 \leqq a<5$ (3) $a=5$ (4) $5<a$

从通过3点的条件中确定二次函数

发展 81 | 二次函数的最大值和最小值及应用题 (2)

基本 75 | 頂点などの条件から 2 次関数の決定

4. 二次函数 $y=6 x^{2}+11 x-10$ 的图像沿 $x$ 轴方向移动 $a$ 个单位，沿 $y$ 轴方向移动 $b$ 个单位，得到图像 $F$。当 $F$ 通过原点（0，0）时，回答下列问题： (1) 用 $a$ 表示 $b$。 （2）当表示 $F$ 的二次函数 \( f(x) \) 在 $x=-2$ 和 $x=3$ 处取相同值时，求 $a$ 的值以及 $-2 \leqq x \leqq 3$ 范围内 \( f(x) \) 的最大值和最小值。

关于二次函数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) 的图形, 回答以下问题。 （1）当它与 $x$ 轴没有交点时, 求常数 $k$ 的值的范围。

求一个二次函数，使得它的图像如下面的抛物线所示。 (1) 顶点在点 (-1,3)，并且通过点 (1,7) 的抛物线 (2) 轴为直线 $x=1$，并且通过两点 (3,-6) 和 (0,-3) 的抛物线

求下一次函数的图形与x轴的交点坐标。 (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

求放物线 $y^{2}=8 x$ 上点 \( (2,4) \) 处的切线方程。

求楕圆 rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{2}=1 上点 \( (\sqrt{2}, 1) \) 处的切线方程。

111 x=p t^{2}, y=2 p t \quad(p eq 0)

用 t 表示抛物线 y=x^2-2tx+2 (A) 的顶点坐标。

109 放物線 $y=x^{2}-5 x+3$

例 1. 方程式 $9 x^{2}+4 y^{2}+54 x-16 y+61=0$ 的表示图形。

二次曲线的极坐标方程(1)

求满足以下条件的抛物线方程: (1) 顶点在原点，焦点在 y 轴上，准线过点 (3,2) (2) 顶点在原点，焦点在 x 轴上，过点 (-2, √6)

二次曲线的极坐标方程(2)

求在椭圆 \( rac{(x+4)^{2}}{25}+rac{(y+3)^{2}}{16}=1 \) 上的点 \( \left(-1, rac{1}{5} ight) \) 处的切线方程。

二次曲线上某点的切线方程

求满足以下条件的抛物线方程。 （1）顶点在原点，焦点在 y 轴上，准线经过点 (3,2) （2）顶点在原点，焦点在 x 轴上，经过点 (-2, √6)

让我们进一步研究方程 $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$ 表示什么样的图形。