基本函数 - 多项式函数

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'请查找以下函数的增减性，并找出极值。(1) $y=\x0crac{1}{3} x^{3}-9 x$ (2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$'

'求出从点（0,4）到曲线y=x^3+2引出的切线的方程。'

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'当曲线C：y=x^{3}+3 x^{2}+x有3条切线通过点A(1, a)时，求常数a的取值范围。'

'(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) 因此\n \\[ \egin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n 因此，当 P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5 时\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ 即 } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n 解得，c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} 从而 \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n 当 c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2} 时，(1) 是，1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ，与 1 ≤ X ≤ 3 矛盾。 c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2} 时，(1) 是，1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ，满足 1 ≤ X ≤ 3。 因此 \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}'

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"例74\n（1）根据条件f(x) = ∫(2x^2 -3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C\n由f(0) = 2得，C = 2\n因此f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2\n（2）曲线y = f(x)上的点(x, f(x))处的切线斜率为f'(x)\n所以f'(x) = x^2 - 1\n因此f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C\n(C是积分常数)\n曲线y = f(x)通过点(1,0)因此f(1) = 0\n所以(1/3) - 1 + C = 0\n因此C = 2/3\n因此f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)"

"求解方程 f(x)=0 的实数解分别为 x=-1 和 x>2，因此正解有1个，负解有1个。倾72，见本册p.293。将方程式 f(x)=-2x^3+6x 变形为-2x^3+6x=a，f'(x)=-6x^2+6=-6(x+1)(x-1)。f'(x)=0 得 x=±1，f(x)增减图如下表所示，因此 y=f(x) 的图形如右图所示。方程 f(x)=a 的实数解个数为，当 a<-4或a>4 时为1个，a=-4或a=4时为2个，-4<a<4时为0个。点(-1,0)是图形和x轴的切点。当直线 y=a 通过函数的极大和极小点时，a的值为实数解的边界。例"

'练习 175→本册p .324\n(1)当曲线y=f(x)与直线y=mx+n在x=a, b(a<b)的两点处相切时,成立以下恒等式。'

'练习，其中a，b是常数，0<a<1。函数f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b（-2 ≤ x ≤ 1）的最大值为153，最小值为-5。请找出使得最大值为1，最小值为-5的a，b的值。'

'数学 II'

'请绘制以下函数的图形。'

'求解方程$x+2 \\underset{2^{\x0crac{1}{2}} x^{-\x0crac{1}{2}}}{\\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5$'

'设72a为实数。有斜率为m的两条直线，分别在曲线y=x^{3}-3 a x^{2}的点A和点B处相切。'

'−8 − 6√2 ≤ x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y ≤ 3'

'数学 II'

'制作f(x)=x^{4}-6 x^{2}-8 x-3的增减表，并求实数解的个数。'

'展開式的一般項是'

'曲线y=f(x)和抛物线y=h(x)的共享点x坐标是通过解方程式x^4-2x^2+4x=-x^2+4x即x^4-x^2=0得到的x=0, ±1。'

'请找出函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 的极值。'

'求函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 的最大值和最小值。'

'当实数α，β和γ满足α+β+γ=3时，记p=αβ+βγ+γα，q=αβγ。证明：(1) 当p=q+2时，α，β和γ中至少有一个等于1。(2) 当p=3时，证明α，β和γ均为1。'

'求解以下定积分。(1) $\\int_{0}^{2}\\left|x^{2}-4 x+3\\right| d x$(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}\\left(x^{2}+x-1\\right) d x$'

'练习 74 \ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\ \\( \egin{aligned} &=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| &=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right| &=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right| \\end{aligned} \\) \ \\sin \\theta = t \ 令 \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ 由此得 \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \ \\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) 则有 \\( f^{\\prime}(t) = -9 t^{2} + \\frac{5}{2} = -9\\left(t + \\sqrt{\\frac{5}{18}}\\right)\\left(t - \\sqrt{\\frac{5}{18}}\\right) = -9\\left(t + \\frac{\\sqrt{10}}{6}\\right)\\left(t - \\frac{\\sqrt{10}}{6}\\right) \\) \\[ f^{\\prime}(t) = 0 \\] 解此方程得 \ t == \\pm \\frac{\\sqrt{10}}{6} \ \ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ 时 \\( f(t) \\) 的增减表如下所示。'

'求曲线y = x ^ {3} - 3x ^ {2}的切线斜率为9时的切点的x坐标。'

'求f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-5的实数解的数量。'

'练习：在曲线C：y=x^{3}-mx上，原点O和不同于O的两点P，Q位于上。如果Q点上C的切线平行于直线OP，则：(1) 如果P的x坐标为a，则用a表示Q的x坐标。(2) 求使角POQ为直角的m值范围。[Shimane University] => p. 300 Exercises 69'

'假设a是一个常数，且a>1。对于1 ≤ x ≤ a中的函数y=2x^3-9x^2+12x，请计算以下值。(1) 最小值 (2) 最大值'

'当0<a<2时，右图中，x=a时取最大值f(a)=-a^{3}+3a^{2}。当2 ≤ a时，右图中，x=2时取最大值f(2)=4。当0<a<2时，x=a时取最大值-a^{3}+3a^{2}；2 ≤ a时，x=2时取最大值4。'

'(3) \\( (x+2 y-4)\\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\\right)<0 \\)'

'当曲线 $y=x^{3}-2 x+1$ 和 $y=x^{2}+2 a x+1$ 相切时，求常数 $a$ 的值。另外，求出在接点处的公共切线方程。'

'求函数f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2的极大值与极小值之差为32时，求常数a的值。'

'找出方程式$x^{3}+5 x^{2}+3 x+k=0$存在1个正解和2个不同的负解的常数$k$的范围。'

'实践8号问题 2个三次函数图形之间的面积'

'积和公式'

'基本示例 190 中的最大值和最小值选择 a，b 是常数，a>0。对函数 f(x)=a x^{3}-9 a x^{2}+b，（1）在区间 -1 ≤ x ≤ 3 中找到最大值和最小值，用 a，b 表示。（2）确定 a, b 的值，使得（1）的最大值为10，最小值为-44。'

'关于TR曲线 y=x^{2}-3 x+2，求以下切线的方程：\n(1) 曲线上点(3,2)处的切线\n(2) 斜率为-1的切线'

'将直线2x+y+2=0表示为l，将抛物线y=x^2上的点表示为P。求P和l之间距离最小时的P坐标。并求出此时的Pl距离。'

'包含189个字符的三次函数的最大值和最小值'

'103(x, y)=(8,16),(16,8)'

'求给定函数的最大值和最小值。'

'求直线 x - √3 y = 0 与 π/4 所成角的斜率。'

'请绘制以下不等式表示的区域：(1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'37功能的增减·图的应用标准183 3次方程的实数解个数(2) f(x)=常数'

'请举例通过点(0,1)的曲线。'

'确定常数a的值范围，使得函数f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5具有极大值和极小值。'

'已知189是一个常数，且a>0。找出函数f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1)的最大值。'

'標準 64: 高次方程式的系数決定 (1) - 實數解的條件'

'证明不等式'

'数学归纳法证明的核心是第[2]部分。'

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'求下列定积分。(1) $\\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x$'

'如果 x+y+z=1/x+1/y+1/z=1，则证明 x、y、z 中至少有一个是1。'

'设 a 为常数，且 a>0。对于函数 f(x)=x^{3}-3 a^{2} x(0 ≤ x ≤ 1)：\n(1) 求最小值。\n(2) 求最大值。'

'基本3：等差数列的通项公式'

'三次函数 f(x)=a x^{3}+b x+3 在 x=-1 时取极小值 1。求出常数 a, b 的值。并求出极大值。'

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'证明当(2) a+b+c=0时，等式(a+b)(b+c)(c+a)+abc=0成立。'

'通过极值的条件来确定三次函数的系数变化'

'求由曲线y=x^3-4x和y=3x^2围成的两个图形的面积之和。'

'假定a是常数，其中a>0。求函数f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1)的最大值。'

'问题8：文章开头描述的，昼间昏暗的板条房和“在强烈的光彩下闪耀”的玫瑰的对比，以及辻堂场景中“黑暗的夜晚”与被月光照亮的“沙地”的对比，展现出令人印象深刻的美感，选择E项最佳。'

'(6) 星的亮度不仅取决于颜色的差异，即使是温度较低且呈红色的恒星，如果尺寸很大，也会看起来很亮。'

'假设实数 x, y 满足 2x^{2}+3y^{2}=1，求 x^{2}-y^{2}+xy 的最大值和最小值。'

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'请绘制以下函数的图形，并找出其值域。'

'实数解的数量'

'曲线 xy = 4 上的动点 P，如果向 y轴 引垂线 PQ，则 Q 点沿着正方向每秒 2 的速度沿 y轴移动。求当 P 点通过点 (2,2) 时的速度和加速度。'

'请计算由极坐标方程表示的曲线的面积。'

'偶函数、奇函数的定积分'

'证明函数f(x)=\\left\\{\egin{\overlineray}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{\overlineray}\\right.的连续性。'

'求 f(x)=x^{2}+x+2 和 g(x)=x-1 的复合函数 f(g(x))。'

'当g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1(n为大于或等于2的自然数)能被(x-1)^2整除时，用n表示a和b。'

'一个表面积以4πcm^2/s的恒定比例增长的球体。在半径变成10厘米时，求以下内容。'

'如何绘制折叠图'

'练习101次函数的图形。(1) y=x^{2}-3|x|+2 (2) y=|2 x^{2}-4 x-6| (3) y=|x+1|(x-2)'

'画出以下函数的图像。(1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=|x^{2}-4|'

'平移和对称变换'

'求 x∈[-1,3], 函数 y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) 的最大值和最小值。'

'将表示为十进制的正整数转换为四进制，得到3位数abc；将其转换为六进制，得到3位数pqr。假设a + b + c = p + q + r。请写出这个数的十进制表示。'

'4次函数的最大值和最小值'

'求函数y=x^4-8x^2+1的最大值和最小值。'

'当a等于1时，f(x)在x=1处达到最小值。因此，f(1)=-3a+7≥0，所以a≤7/3。因此，1<a和1<a≤7/3的交集为1<a≤7/3。'

'理解函数值域，并攻克64的例题！'

'请绘制以下函数的图形，并确定其值域。'

'请解释为什么在Lecture [1]和[3]中导出了相同的关系式。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'让我们使用图形解决这两个二次不等式。在这里，我们要解决的是关于m的二次不等式，而不是关于x的二次不等式，因此图形应该是m轴而不是x轴。'

'当59(a, b)=(9,8),(12,6)时，最大值为72'

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'令 $0 \\leq t \\leq 1$。求定积分 $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$ 的最大值和最小值分别对应的 $t$ 值、最大值和最小值。'

'曲线和切线的共有点\n(1)\n曲线C：y=x^{3}-x上有一个x坐标为1的点A。求在点A处与曲线C相交的另一个点的x坐标。'

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'当方程 $f(x)=a$ 有三个不同的实数解时，曲线 $y=f(x)$ 和直线 $y=a$ 有三个不同的共享点。'

'求解函数f(x)=x^3-3mx^2+6mx具有极值的常数m的取值范围。'

'求解以下函数的极值，并绘制其图形。(1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3'

'求出使函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5$ 具有极值的常数 $a$ 的范围。'

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'当 x > 1 时，求 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) 的最小值。'

'研究函数 f(x)=|x|(x^2-5x+3) 的增减性，并画出 y=f(x) 的图形概述。'

'(1) 绘制联立不等式 {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y} 所表示的区域。(2) 假设 r > 0。当满足 x 和 y 的条件 (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2 时，求连立不等式成立的 r 的最大值。'

'考虑通过点P的直线lt: y = 2tx + t^2。求出点P的轨迹方程。另外，当t取所有实数值变化时，请绘制直线lt通过的所有点(x, y)。'

'求(空白)内变化时的平均变化率。(一) f(x)=-3 x^{2}+2 x [-2 到 b] (二) f(x)=x^{3}-x [ a 到 a+h ]'

'从点 (0, k) 到曲线 C: y=-x^3+3x^2 引出的切线数量是多少？'

'求解由下列条件确定的数列的通项公式：\ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \'

'等式和不等式的证明基本概念 1. 等式 A=B 的证明 1. 通过转换 A 或 B 中的一个来得到另一个。转换复杂的表达式是原则。 2. 转换 A、B 分别得到相同的表达式。 3. 将 A-B 转换为 0，并证明它。A=B ⇔ A-B=0'

'设a、b为实数。3次函数f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x在x=α处取得极大值，在x=β处取得极小值。这里，α<β。'

'设 x 和 y 是实数，则当 x^{2}+y^{2}<1 时，证明 x^{2}+y^{2}<2 x+3。'

'求解以下不定积分。'

'当三次函数 y=ax^3+bx^2+cx+d 的图像如右图所示时，请确定 a、b、c、d 的符号。'

'求通过点 (1,0) 切线到曲线 y=x^{3} 的方程。'

'当a小于0时，g(a)=2a^3-3a^2+3\n当0≤a<1时，g(a)=3\n当1≤a<（6+√6）/6时，g(a)=2a^3-9a^2+12a-2\n当（6+√6）/6≤a时，g(a)=2a^3-3a^2+3'

'定积分的最小值'

'因此, 函数(1)的图形如右图所示, 图形与x轴的交点为3个。因此, 方程x^{3}-3 x^{2}+1=0的实数解为3个。'

'通过点（6,3）'

'请计算被曲线 $y=x^{3}-4 x$ 和 $y=3 x^{2}$ 围成的图形的面积。'

'计算以下曲线、直线和 x 轴围成的区域的面积。'

'求给定函数的最大值和最小值。'

'证明不等式'

'求函数P=x^{2}+3y^{2}+4x-6y+2的最小值。'

'回答与关于函数 y=|x^2-2mx|-m 的图形相关的以下问题。其中，m是实数。'

'求给定函数的最大值和最小值。'

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'当定义函数f(x)(0 ≤ x < 1)时，请绘制以下函数的图形。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))'

'根据定义域不同而变化的函数'

'(2) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \'

'关于函数 f(x)=x^2-2x-3，请回答以下问题。'

'求函数f(x) = |x^2 - 1| - x在 -1 ≤ x ≤ 2的最大值和最小值。'

'求函数y = (x ^ 2 - 2x - 1) ^ 2 - 6(x ^ 2 - 2x - 1) + 5在-1 ≤ x ≤ 2时的最大值和最小值。'

'根据a的不同范围，判断函数f(x)是否具有最大值。'

'在函数 y=f(x) 中，若定义域为 a ≤ x ≤ b，该函数的写法是怎样的？'

'请画出以下函数的图形。(1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=\\left|x^{2}-4\\right|'

'请绘制函数 y=|x^{2}-x-2|-2x 的图形。'

'绘制以下函数的图像，并求其值域。'

'数学I'

'计算f(1-a)。'

'利用命题的逆否命题进行证明'

'如何折叠绘制图形'

'请考虑充分条件和必要条件。'

'求函数y=x^{4}-8x^{2}+1的最大值和最小值。'

'当\ 1<a \时，\\( f(x) \\)在\ x=1 \处达到最小值。因此，\\( \\quad f(1)=-3 a+7 \\geqq 0 \\)，从而得到\ a \\leqq \\frac{7}{3} \'

'求函数y =（x²-6x）²+12（x²-6x）+30在1 ≤ x ≤ 5范围内的最大值和最小值。'

'请说明函数y = f(x)的定义域和值域。'

'请从以下（1）〜（4）中选择在 x=2 处取得最大值的两个函数，并找出这两个函数的最大值和最小值。'

'将极坐标方程转换为直角坐标方程：\n从极坐标方程 $r=\\frac{3}{1+2 \\cos \\theta}$ 得到 $r+2r \\cos \\theta=3$\n因为 $r \\cos \\theta=x$，所以$r+2x=3$\n因此$r=3-2x$，从而$r^{2}=(3-2x)^{2}$\n因为$r^{2}=x^{2}+y^{2}$，所以$x^{2}+y^{2}=(3-2x)^{2}$\n整理得到$3x^{2}-12x-y^{2}+9=0$\n因此$3(x-2)^{2}-y^{2}=3$'

'求用极坐标表示的极坐标和半径圆心。'

'对于三次函数 $f(x)=x^{3}+bx+c$，找出所有满足 $g(f(x))=f(g(x))$ 的一次函数 $g(x)$。'

'在函数 \ f \ 将集合 \ A \ 映射到集合 \ B \ 的情况下，称集合 \ A \ 为定义域。'

'使用数学归纳法证明这个等式对所有自然数n成立。'

'从曲线xy=4上的动点P到y轴画垂线PQ，使Q沿y轴每秒移动2个单位，以使P移动。'

'函数的反函数，f^{-1}(x) = f(x)'

'(1) 总结\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\n因此，当 a=-\\frac{3}{5} 时，S(a)取得最小值 \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10}。'

'求曲线上点P处的切线和法线方程。'

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'\\n(1)\\\ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \'

'求解下列定积分。\\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]'

'计算由以下曲线围成的区域的面积。'

'函数(ウ) y=√(1+x^2) 的图形经过两点 A(0,1) 和 B(1,√2)。直线AB的方程为 y=(√2-1)x+1 在0≤x≤1的范围内, 1≤√(1+x^2)≤(√2-1)x+1 总是成立, 等式通常不成立'

'函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，f(x)的最大值大于g(x)的最大值，f(x)的最小值小于g(x)的最小值。证明方程f(x)=g(x)在区间a≤x≤b上有实数解。'

'求解曲线y^2=4px上的切线和法线。'

'合成函数与值域'

'函数及其反函数的图表上的共同点'

'练习：求函数 f(x)=2x^3+ax^2+(a-4)x+2 的极大值和极小值之和为6时，常数a的值。'

'请绘制以下函数的图形。'

"利用 a、f(a) 和 f'(a) 代入 A = B × Q + R 这个等式，可以表示 x ÷ (x-a)^{2} 的余数。"

'求函数y = x^3 - 3x + 1的极大值和极小值。'

'请确定常数a，b的值，以满足以下条件。'

'微分法'

'完成表格显示函数y=-x^3+9x的增减情况，并找出极值及其点'

'曲线 C: y=x^{3}+3 x^{2}+x 和点 A(1, a) 给定。如果通过 A 且能够作出 3 条切线与 C 相切, 求常数 a 的取值范围。'

'求函数 f(x)=x^{3}-a x^{2}+b 的极大值为5，极小值为1时的常数 a 和 b 的值。'

'令 a 为实数，曲线 C 为 y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2。'

'多项式除法'

'关于抛物线 y = 2x^2 + a 和圆 x^2 + (y - 2) ^2 = 1，求出以下内容：(1) 当这条抛物线和圆相切时，常数 a 的值 (2) 具有不同 4 个交点的常数 a 值的范围'

'当区间为$-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$时，求$F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x$的最大值和最小值。'

'函数 y=f(x) 在 x=α 处取得极大值，在 x=β 处取得极小值。连接 (α, f(α)) 和 (β, f(β)) 的线段的中点 M 在曲线 y=f(x) 上。'

'求该函数的最大值和最小值。并找出此时的x值。'

'给定的问题是求解条件的问题，并要求绘制满足条件的点的区域。'

'练习求解下列定积分。'

'当曲线 y=x^{3}+a x 和 y=b x^{2}+c 都通过点 (-1,0)，并且在该点有共同的切线时，找出常数 a、b、c 的值。另外，找出在该切点上的共同切线的方程。'

'证明略，当 x=y=z 时；a=3'

'绘制三次函数图形的注意事项'

'展示 g(x)=0 和 h(x)=0 有两个不同实数解但没有共同解的条件。这里 g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b，h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1，当 f(f(x))-x=0 时，g(x) h(x)=0 有四个不同实数解。'

'当函数$f(x)=4x^3-3(2a+1)x^2+6ax$具有极大值和极小值时，求常数$a$应满足的条件。'

'考虑基本例题120。研究多项式$f(x, y)$的符号变化，并确定各区域的符号如何变化。'

'给定的文本的中文翻译是什么？'

'求解以下定积分。'

'三次函数图形的对称性'

'练习：绘制函数 y=| -x^3 + 9x | 的图形。'

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'当平面上的点P(x, y)沿单位圆周移动时，求15x^2 + 10xy - 9y^2的最大值以及取得最大值的点P的坐标。'

'令a为正常数。求函数f(x)在区间0 ≤ x ≤ 2上的最小值m(a)。其中：f(x)=-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{3}{2}ax^{2}-2a^{2}x+a^{3}'

'绘制三次函数图形时需要注意的事项'

'练习绘制以下函数的图形。'

'求解当 x = 1 和 x = 3 时取得极值的函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，以及满足这些条件的所有 f(x)。并且给出极大值和极小值。'

'当曲线 y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a 相切时，求常数 a 的值。并求出在该切点处的切线方程。'

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'求这个函数的最大值和最小值。并找出对应的 x 值。(219 (1) y=-x^{3}+12x+15 (-3 ≤ x ≤ 5))'

'三次函数和极值'

'方程 f(t)=b 的实数解的个数是，y=f(t) 的图像与直线 y=b 的交点个数：当 b<2a 且 b>e^{a}-e^{-a} 时有 1 个交点；当 b=2a 或 b=e^{a}-e^{-a} 时有 2 个交点；当 2a<b<e^{a}-e^{-a} 时有 3 个交点'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'使用函数 f(x)=x^{2}+1 和 g(x)=2x-1 来求解复合函数 (g ∘ f)(x)。'

'用极坐标方程表示圆(1)。'

'请绘制以下函数的图形，并求出值域：\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1'

'确定常数a、b的值，使得函数y = √(4-x)在a ≤ x ≤ b范围内取值在1≤y≤2之间。'

'请画出由方程 $y^{2}=x^{2}(8-x^{2})$ 所确定的函数 $y$ 关于 $x$ 的图形的概貌。'

'当函数f(x)在定义域的所有x值上连续时，称其为连续函数。能用整式、分式、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数等表示的函数都是连续函数。\n请证明函数f(x)=√x在定义域上是连续的。'

"证明满足条件f（a）=g（a），f'（a）=g'（a），f''（a）=g''（a）的二次函数g（x）是g（x）=f（a）+f'（a）（x-a）+（f''（a）/2）（x-a）^2（1）。"

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'1) 当t=2时的最小值为-\\frac{512 \\sqrt{2}}{15}'

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'请研究函数y = x sqrt(x + 1)，其中x > -1。'

'对于实数 x，[x] 表示满足 n ≤ x < n+1 的整数 n，函数 f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) 在 x = 1 和 x = 2 处连续，则确定常数 a，b 的值。'

'(1) 用a来表示I。(2) 求出I的最小值及对应的a的值。'

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'当实数x，y满足2x^2 + 3y^2 = 1时，求x^2 - y^2 + xy的最大值和最小值。'

'(6) 当 x=-4/5 时，取得极大值 12√[3]{10}/25，当 x=0 时，取得极小值 0'

'(2) x=1 所得最大值1'

'在椭圆 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上寻找点 $P$ 和定点 $A(a, 0)$ 之间的最小距离。这里，$a$ 是一个实数常数。'

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'当平面上的点 (x, y) 满足 (x^2 + y^2)^2 - (3x^2 - y^2)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0 时移动时，求 x^2 + y^2 的最大值以及给出这个最大值的 x, y 值。'

'求解第一章函数 - 练习中问题4的x的范围。'

'求y = x^2和y = x之间的面积。'

'请绘制由方程 y^2=x^2(x+1) 所确定的 x 的函数 y 的图形的大意（不需要考虑凹凸）。'

'求解第1章函数 - 练习11中的点。'

'求给定的不定积分。'

'问题 66\n（1）求方程 (x-3)² + y² + (z-2)² = 13 的解。\n（2）求方程 (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27 的解。\n（3）求方程 (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9 的解。'

'(2) 点B是通过以点A为原点O为中心旋转π/4或-π/4，并使原点的距离增加为√2倍得到的点。'

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'给定点 P 在时间 t 时沿直线运动，位置 x 由 x=-2t^3+3t^2+8(t≥0) 给出。求出 P 离开原点 O 最远的正方向时的速度和加速度。'

'画出以下函数的图形。并求其定义域和值域。'

'请检查函数f(x)，看它在x=0时是连续还是不连续。其中，[x]表示不超过实数x的最大整数。'

'给定集合A和B，当确定A的元素时，与之对应的B的元素也会确定为一个。这种对应关系称为从A到B的映射。映射常用f、g等符号表示。记作f：A→B，表示从A到B的映射f。对于A到B的映射f，A的元素a对应的B的元素称为a在f下的像，用f(a)表示。例如，取A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3, 4}。若f(a)=f(b)=1，f(c)=3，f(d)=2，则f是从A到B的映射。'

'利用旋转运动求面积'

'求出椭圆和双曲线上给定点的切线方程。'

'利用旋转移动求面积'

'绘制由以下方程确定的函数y的图形轮廓（也要检查凹凸）。'

'(24-2) 时间为 t 时，P 的加速度 α 为 α = dv/dt = 6t，求 t = 2 时的 P 的加速度。'

'请解决有关函数方程式的问题。'

'请问有几个函数图形的交点？'

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'求函数y=x^4-6x^2+10的最小值。'

'\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\n因此，\\( y=f(f(x)) \\)的图形如图 (2) 所示。'

'对于满足0 ≤ x ≤ 4的所有实数x1, x2，使得f（x1）<g（x2）成立的条件是，对于0 ≤ x ≤ 4，f（x）的最大值<g（x）的最小值。因此，-a^2 + 8 < -3a - 10。整理得到a^2 - 3a - 18 > 0。因此，（a + 3）（a - 6） > 0。因此，a < -3，6 < a。'

'绘制以下函数的图形：(1) y=x^{2}-4|x-1| (2) y=\\left|\\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\\right|'

'(2)的圖如右圖所示。求解(1)和(2)的交點x坐標：[1] x<-1時，從(1)和y=-2x+1消去y得-x^{2}+2x+8=-2x+1，即x^{2}-4x-7=0，因此x=2±sqrt{11}，滿足x<-1的值為x=2-sqrt{11}；[2] x≥2時，從(1)和y=2x-1消去y得-x^{2}+2x+8=2x-1，即x^{2}=9，所以分界點為等式=0的x值，即x+1=0和x-2=0，所以x=-1和x=2。請不要忘記確認這個分支的條件。[3]也是相同的。'

'对于满足0 ≤ x ≤ 4的某些实数x1，x2, 当且仅当f(x)的最小值 < g(x)的最大值在0 ≤ x ≤ 4时成立时，f(x1)<g(x2)才成立。因此，-a^2 - 1 < -3a - 1。'

（2）画出函数 \( y=M(a) \) 的图像。

求100次双曲线的方程。 (1) rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{9}=1 (2) rac{x^{2}}{8}-rac{y^{2}}{18}=-1

对于曲线 $C$ 上的点 \( (x, y) \)，用变量 $t$ 表示为 \( \left\{egin{array}{ll}x=t \\ y=t^{2}\end{array} \cdots \cdots \cdots(A)\right. \) 时，调查与 $t$ 值对应的 $x, y$ 值，并根据这些值在坐标平面上绘制点并用平滑的线连接，得到的曲线是什么形状？

x, y 的方程式和极方程式

满足以下方程的所有点 $z$ 表示什么图形。 (1) $|2 z-1+2 i|=6$ (2) $|z+3 i|=|z+1|$

当点 EX 点 \( \mathrm{P}(x, y) \) 在椭圆 rac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 上移动时，求 $3 x^{2}-16 x y-12 y^{2}$ 的最大值和最小值。[类 福岛县立医大]

点 \( \mathrm{P}(x, y) \) 在椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上移动时，求 $3x^2-16xy-12y^2$ 的最大值和最小值。

请用极坐标方程表示下面的曲线。(ア) 2x^2 + y^2 = 3 (イ) y = x (ウ) x^2 + (y - 1)^2 = 1