基本函数 - 线性函数及其图像

'练习146册p.278 y=f(x)的图形关于点(2,1)对称时，求移动后与原图关于x轴平移-2，y轴平移-1后的图形方程。'

'增减表：显示变量的增减情况。'

'(3) (1)证明略，等号成立条件是 x=y'

'解决以下问题。'

'当点（x，y）移动79时，求不等式组y≤1/2x+3，y≤-5x+25，x≥0，y≥0代表的区域。求以下表达式的最大值和最小值：\n(1) x²+y²\n(2) x²+y²-2(x+6y)\n[东京理科大]'

'直线 (2) 和直线 (3) 平行的条件是'

'请以图表形式展示递推式 an+1=ran，并解释其特点。'

'練習（1）關於直線 y=2x+3，找到點 P(3,4) 的對稱點坐標。'

"C₁上的点(a, a²)的切线方程是，y' = 2a告诉y - a² = 2a(x - a)即y = 2a x - a²。C₂上的点(b, 4b² + 12b)的切线方程是，y' = 8x + 12告诉y - (4b² + 12b) = (8b + 12)(x - b)即y = (8b + 12)x - 4b²。直线l是(1)和(2)相同时的情况，所以2a = 8b + 12, -a² = -4b²即a = 4b + 6 b² + 4b + 3 = 0解得b = -1, -3直线l的斜率为正，所以8b + 12 > 0因此b = -1 a = 2直线l的方程是y = 4x - 4。"

'求函数 y=-2x+3(-3 ≤ x ≤ 2) 的值域。'

'求解以下直线的方程：'

'导出直线的方程。'

'请用图表表示递推式an+1=an+d，并解释其特点。'

'求解下列直线的方程。'

'直线y = mx（m > 0）将图形T的面积二等分。求m的值。'

'当m=-4时，为3,5；当m=4时，为-5,-3 (2) 当m=-2√5时，为√5,3√5；当m=2√5时，为-√5,-3√5'

'找出关于直线y=2x+3，对称于直线3x+y-1=0的直线方程。'

'求通过点(x_1，y_1)，且斜率为m的直线方程。'

'求通过以下两点的直线方程：(1) (2,-3),(-1,1) (2) (3,4),(3,1) (3) (a, 0),(0, b) 当不同的两点 (x1, y1),(x2, y2) 时通过直线方程为 y-y1=\x0crac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) 当两点的x坐标不同时 x1≠x2 当两点的x坐标相同时 x1=x2 时直线方程为 x=x1'

'设a，b是实数，当a+b=2且a≠b时，比较1，ab和(a²+b²)/2的大小。'

'斜线部分内部由哪种联立不等式表示？在此，不包括边界线。'

'求解定积分。(1) $\\int_{0}^{3}|x-2| dx$ (2) $\\int_{-2}^{3}\\left|x^{2}-2x\\right| dx$'

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'求解以下直线方程：\n（1）斜率为-2，y截距为3。\n（2）通过点（4,2），斜率为3。\n（3）通过点（-3,0），斜率为-5。\n（4）通过点（2,-1），斜率为1/2。\n（5）通过点（-2,7），垂直于x轴。\n（6）通过点（3,2），平行于x轴。'

'等差数列和等比数列的总结'

'当 x ≤ 2 时增加，当 2 ≤ x 时减少。总是增加。当 x ≤ -2/√3 或 2/√3 ≤ x 时减少，当 -2/√3 ≤ x ≤ 2/√3 时增加。'

'如果速度如图3所示变化，5小时内移动的距离是多少？'

'将图5的时间间隔进一步缩短，那么在5小时内移动的距离将位于图的哪个部分？'

'问题2：在把人生想象成从出生开始到死亡结束的一条直线的情况下，您认为自己现在所处的位置是什么？'

'法线向量是什么？'

'使用参数 t 表示通过点 (-3,2) 和 (2,-4) 的直线方程。'

'(1) \ y = x - 2\\sqrt{x} \'

'使用参数t表示通过点(-3,2)和(2,-4)的直线方程。'

'求给定函数的值域。如果有的话，请给出最大值和最小值。'

'已知函数y=ax+b(x≤2)的值域为3≤y≤4。'

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'请说明如何使用示例列表。'

'通常情况下，以下内容成立。将变量 x 转换为 y=ax+b（a、b 为常数），平均值：ȳ=ax̄+b，方差：s_y^2=a^2s_x^2，标准偏差：s_y=|a|s_x'

'请查找在给定域内函数F(a)和G(a)的定义。'

'当定义域的一端移动时，函数的最大值和最小值是什么？'

'求出以下函数的值域。同时，找出最大值和最小值。'

'在x + 3y = k的情况下，x^2 + y^2的最小值为4。请找出常数k的值。'

'请提供“一次函数”的页面。'

'CHART（チャート）是什么？'

'求解以下函数的值域。同时求解函数的最大值和最小值。'

'求在 x+y=4 情况下，xy 的最大值。'

'当一次函数 y=ax+b 的定义域为 -3 ≤ x ≤ 1 时，值域为 -1 ≤ y ≤ 3。其中，a>0。'

'求函数 y=x-3（1 ≤ x < 5）的值域。'

'当 x=0 时，最小值为 -1，最大值不存在。'

'图形和x轴的交点以及方程的实数解'

'给出一次函数和二次函数的一般形式：其中a，b，c为常数。'

'当 x=2 时，最小值为 -1，不存在最大值。'

'请绘制以下函数的图形，并确定其值域。'

'当 x ≥ 0、y ≥ 0、3x + 2y = 1 时，求 3x^2 + 4y^2 的最大值和最小值。'

'64（1）值域为 -5 ≤ y ≤ 4，当 x=-1 时最大值为 4，当 x=2 时最小值为 -5'

'求解以下函数的值域。并求函数的最大值和最小值。'

'确定常数 a 和 b 的值，使一次函数 y=ax+b（-2 ≤ x ≤ 1）的值域为 -1 ≤ y ≤ 5。 要求a<0。'

'求解以下函数的值域。同时求函数的最大值和最小值。(1) y=-3 x+1 (-1 ≤ x ≤ 2)(2) y=\\frac{1}{2} x+2 (-2<x ≤ 4)(3) y=-2 x^{2} (-1<x<1)'

'64（2）值域为 1<y≤4，当 x=4 时最大值为 4，没有最小值'

'在2x + y = 3的情况下，求x^2 + y^2的最小值。'

'在试图找到最大值和最小值的表达式x+y=k中，我们假设x+y=k并解决了例题106。其思路如下：对于包含在区域D中的所有(x，y)值，计算x+y的值，寻找x+y的最大值和最小值是不可能的。因此...'

'基本示例73\n2条直线的交点和联立一次方程的解\n求出联立方程组ax+3y-1=0,3x-2y+c=0具有以下条件的条件。\n（1）具有唯一一组解\n（2）无解\n（3）有无穷多解'

'(2) 如果 f(x) 是关于 x 的一次函数且 \\int_{0}^{1} f(x) d x = 1，则\\int_{0}^{1}\\{f(x)\\}^{2} d x > 1。'

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'（1）$y = - \\frac{1}{2a} x - \\frac{1}{16 a^{2}}$\\n（2）$a = \\frac{1}{2}$时的最小值为$\\frac{1}{12}$'

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'请在 xy 平面上绘制以下不等式表示的区域。'

'在数学上，找到通过两个切线的切点 P, Q 的直线 PQ 的方程问题。'

"(1) y'= -2x+4= -2(x-2) 当 y'=0 时，x=2 时 y 的增减表如右所示。因此，在x<=2时增加，在2<=x时减少。"

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'在处理示例问题时，应该按照哪些步骤进行？'

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'在二维 xy 平面上，给定联立不等式 x ≥ 0，y ≥ 0，x+2y ≤ 30，5x+2y ≤ 66，定义区域 D。当点 (x, y) 在区域 D 内移动时，求 kx+y 的最大值。其中，k 是满足 1 ≤ k ≤ 3 的实数。'

'求直线ℓ: 2x+3y=4平行且通过点(1,2)的直线方程。求直线ℓ垂直且通过点(2,3)的直线方程。'

'一家工厂生产两种产品，X 和 Y。每生产1公斤，X 需要1公斤原料 A 和 3公斤原料 B，Y 需要2公斤原料 A 和1公斤原料 B。可用原料的上限分别是，原料 A 10 公斤，原料 B 15 公斤。如果每1公斤的利润分别为 X 5万日元， Y 4万日元，为了最大化利润，需要生产多少公斤的 X 和 Y。'

'求通过不同两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的直线方程。'

'当 t = 1 时，最大值为 2/3，当 t = 1/2 时，最小值为 1/4'

'(2)从$x-y=\\sqrt{2}$得到$y=x-\\sqrt{2}$，将这个代入$x^{2}+y^{2}=1$得到\\[ x^{2}+(x-\\sqrt{2})^{2}=1 \\]整理得$2x^{2}-2\\sqrt{2}x+1=0$。将这个二次方程的判别式记为$D$，则\\[ \\frac{D}{4}=(-\\sqrt{2})^{2}-2 \\cdot 1=0 \\] 由$D=0$，有1个交点(切)。'

"(1) 设 y'=6x-4=2(3x-2)y'=0，则 x=2/3 时 y 的增减表如右图所示。因此，y 在 x=2/3 处取得极小值-1/3。"

'使用图形解决不等式 2|x+1|-|x-1|>x+2。'

'求a，b的值，使得函数y = ax + b (-2 ≤ x < 1)的值域为1 < y ≤ 7。'

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'求定数a和b的值，使函数y=ax+b(2≤x≤5)的值域为-1≤y≤5。'

'余补集合指的是补集合包含全集合中而原集合中不含的成员。'

'当函数y = -x + 1（a ≤ x ≤ b）的最大值为2，最小值为-2时，请求常数a，b的值。'

'一次函数y=ax+b的图形向右上移动是当a为正数时还是负数时？'

'求该函数的值域。如果有的话，求最大值和最小值。'

'求定数a，b的值，使得函数y=ax+b（1≤x≤2）的值域为3≤y≤5。'

'请描述函数y = b的图形特征。'

'当函数 y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) 的最大值为 2，最小值为 -2 时，求常数 a、b 的值。其中，a < b。'

'根据值域条件确定一次函数的系数'

'练习绘制以下函数的图形。'

'带绝对值的一次函数图形（2）'

'请描述一次函数的一般形式及其图形形状。'

'当命题 p → q 为真时，会满足什么条件？'

'假设变量x的数据由n个实数x_1, x_2, ..., x_n组成。 将x_1, x_2, ..., x_n的平均值记为x̄，标准差记为s_x。 当通过表达式y=4x-2定义新变量y和其数据y_1, y_2, ..., y_n时，用x̄和s_x表示y_1, y_2, ..., y_n的平均值𝑦̄和标准差s_y。'

'求定数a和b的值，使得函数y = ax + b（2 ≤ x ≤ 5）的值域为-1 ≤ y ≤ 5。'

'包含绝对值的函数是指将绝对值符号内的表达式为0的情况作为分界点，考虑去掉绝对值符号的情形。在这种情况下的分界点上，我们学习到数学I例题67中关于函数图形会出现转折的性质。在这里，我们将讨论包含绝对值和字符常数时，函数图形以及函数的最大值和最小值会如何变化。'

'带绝对值的一次函数图(1)'

'当a=1时，图形是在x≤1和x≥2处成为斜率为0的直线。'

'对于变量x的数据，其平均值为x̄，标准偏差为s_x。当通过u=ax+b（其中a、b为常数）得到新变量u的数据时，设u的数据的标准偏差为s_u，则有s_u=|a|s_x。'

'让θ（0°<θ<180°）为所求。(1) 由于直线的斜率为-1，求解θ。(2) 由于直线的斜率为√3，求解θ。(3) 由于直线的斜率为-1/√3，求解θ。'

'确定常数a，b的值，以满足以下条件：（1）对于一次函数f(x)=ax+b，f(0)=-1且f(2)=0。（2）通过直线y=ax+b的图像的两点(-1,2),(3,6)。（3）当函数y=ax+b的定义域为-3≤x≤1时，值域为1≤y≤3。其中a>0。'

'得分 X 是根据飞行距离 D 计算出来的。'

'Q10 中 y= \\ frac{9}{5} x+32 \\ qquad 華氏最高溫度的平均值為 y 絨, 攝氏最高溫度的平均值為的, 因此, (1) 表示 y= \\ frac{9}{5} x+32 \\ bar{x}=20 時, [ y= \\ frac{9}{5} \\ cdot 20+32= \\ text{ A } 68\\left( ^{ °} \\ text{ F} \\ right) ]'

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'图形与不等式的关系\n一般来说，当 \\( f(x)>g(x) \\) 时，意味着函数 \\( y=f(x) \\) 的图形在函数 \\( y=g(x) \\) 的图形上方。例如，对于不等式 \ x+2>|2 x+1| \，只需找到使函数 \ y=x+2 \ 的图形位于函数 \ y=|2 x+1| \ 的上方的 \ x \ 值的范围即可。在右图中，红色部分表示的就是该范围，因此不等式的解为 \ -1<x<1 \。在需要复杂分析的情况下，这种方法可能会很有效。'

'求解由两直线确定的锐角 θ。'

'在坐标平面上，点P从原点O出发，沿x轴以每秒1的速度向点(6,0)移动，点Q与点P同时从点(0,-6)出发，以每秒1的速度向原点O移动。点P，点Q之间的最短距离是何时？并找出最小距离。'

'求所给定定义域为 \-2 \\leqq x \\leqq 2\，值域为 \-2 \\leqq y \\leqq 4\ 的一次函数。'

'尝试绘制函数 y=x-[x](-2≤x≤3) 的图表。'

'拟合直线'

'确定常数a，b的值，使函数y=ax+b（2 ≤ x ≤ 5）的值域为-1 ≤ y ≤ 5。要求a < 0。'

'针对函数f(x)=-2x+1，求下列值。'

'下表总结了一家制造销售熟食的公司中，每个饭团A的单价和销售量之间的关系。'

'這本書的主要部分是什麼？'

'点 z 满足方程 |z+2|=2|z-1| 的整体表示什么形状？'

'求直线（1）和椭圆（2）的两个交点。'

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'(1) (ア) f(x)=k x ( k 是常数 )'

'从“想成为的自己”开始逆向推导，这句话是什么意思？'

'求 \ x \ 的范围。'

'求解以下两平面之间的夹角θ。其中，0° ≤ θ ≤ 90°。'

'求解下列各項：\n(1) 已知 y1 = 2p (x+x1)，求 y = -y1/(2p)(x-x1) + y1\n(2) 已知 y = 2/√3 x -1/√3，y = -√3/2 x + 2√3'

'逆映射\n对于映射 f: A -> B，如果 f(A) = B 并且对于 b 属于 B 存在且只存在一个 a 属于 A 使得 f(a) = b，那么可以定义从 B 到 A 的映射 f^{-1}(b) = a。换句话说，对于例子 f(a) = b <-> a = f^{-1}(b)。f^{-1} 被称为 f 的逆映射。当定义域和值域都是数（实数的子集）时，称为函数。换言之，映射是函数的一般化。'

'例题9 | 合成函数和函数的确定'

'求解切线和法线的方程。'

'(2) y = (6-x)/(x-2) = -1 + 4/(x-2) (1) y = (1/2)x + 1 函数(1)的图形位于直线(2)的上方，或者函数(1)的图形与直线(2)有共享点的x值范围为，从图中可得x ≤ -1 - √17, 2 < x ≤ -1 + √17'

'第 92 题 一般量的变化率右图是一个倒置的无底四面体容器。在高为 4 厘米处，水平断面为边长 3 厘米的正方形。当每秒向容器中以每秒 9 立方厘米的速度轻轻地加水时，水深为 2 厘米时的瞬间上升速度是多少厘米每秒。[自治医大]'

'求给定曲线上指定点的切线方程。'

'请证明以下方程：\n\\[\\alpha \ar{z}-\ar{\\alpha} z =(a+b i)(x-y i)-(a-b i)(x+y i) =2(b x-a y) i\\]\n特别地，\\(\ar{\\alpha} z=(a x+b y)+(a y-b x) i\\) 不是实数，请确认，因此，\ a y-b x \\neq 0 \ 所以，证明 \ \\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z \ 是虚数。'

'考虑以坐标空间内的两点A(0,3,0)和B(0,-3,0)为直径的球面S。设点P(x, y, z)在球面S上运动时，求3x + 4y + 5z的最大值。并求此时P的坐标。'

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'求解不等式组2y-x^2≥0，5x-4y+7≥0，x+y-4≤0所表示的区域的面积S。'

'请绘制以下不等式表示的区域。'

'找到使得对于所有实数 x 都有 f(x) <= 1 的常数 a, b 的条件，并绘制满足该条件的点 (a, b) 的范围。'

'找到直线y = ax + b，当它与连接2点A（-3,2）和B（2，-3）的线段有共享点时的实数a，b条件，并将其表示为a b平面上的区域。'

'求函数y=-2x+1（-1 ≤ x ≤ 2）的值域。'

"给定函数 f(x), g(x), 以及导数 f'(x), g'(x), 满足 f(x)+g(x)=-2 x+5, f'(x)-g'(x)=-4 x+4, f(0)=5.请确定 f(x) 和 g(x)。"

'推导出斜率 m 和截距 n 的直线 y = mx + n 的方程。'

'当a=〇时直线(a-1)x-4y+2=0和直线x+(a-5)y+3=0垂直相交，当80a=〇时平行。'

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'(1)代入 $y = x + 2$ 到 (3)得到 $x^2 + x - 6 = 0$ 所以 $(x - 2)(x + 3) = 0$ 因此 $x = 2, -3$ 从(3)得到 $x = 2$ 时 $y = 4$, $x = -3$ 时 $y = -1$ 所以, 所求的两点坐标是 $(2, 4), (-3, -1)$'

'示例（13）直线方程式'

'直线方程，2条直线的关系'

'假设函数y=f(x)是连续的, a是实数常数。对于所有实数x, 如果不等式|f(x)-f(a)|≤2/3|x-a|成立, 则使用中值定理证明曲线y=f(x)一定与直线y=x相交。'

'求根据以下条件确定的数列 {an} 的极限。'

'由以下表达的点P(x, y)绘制出何种曲线?'

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'在“总结”页面上，将在各个地方学到的内容整合在一页上，以便清晰易懂。'

'请提供以点α为中心、半径r的圆的方程。'

'找到直线y = 8x-2 和函数y = √ (16x-1) 的图形的交点坐标。'

'请找出满足条件的一次函数 g(x)。'

'(1) 当 x=-3 时，最大值为 3/2，当 x=1 时，最小值为 -1/2'

'1次独立和1次从属'

'求解第9题中的$x$。'

'练习 (1) $\\ vec {a} = (- 1,2), \\ vec {b} = (2,4)$。当改变实数 $t$ 的值时, 求 $\\ vec {c} = \\ vec {a} + t \\ vec {b}$ 的二范数的最小值，并找到此时的 $t$ 值。'

'关于函数f（x）=1-2x，g（x）=1/（1-x），h（x）=x（1-x），求以下复合函数。'

'当切线方程为 x=1 时，切点为 (1,0); 当切线方程为 y=\\frac{5}{2} x+\\frac{3}{2} 时，切点为 \\left(-\\frac{5}{3},-\\frac{8}{3}\\right)。请求解。'

'代表函数的图形'

'(1)证明 f(0)=1。'

'当实数 x, y 满足两个不等式 y ≤ 2 x + 1, 9 x² + 4 y² ≤ 72 时，求 3 x + 2 y 的最大值和最小值。'

'图的绘制方法'

'您如何利用每一章中所列出的示例？'

'练习（1）直线x-4=y-3=\\frac{z+2}{4} 与平面2x+2y+z-2=0相交，其所成的较小角为θ，求cosθ的值。'

'求满足以下条件的点P的轨迹：\n124 (1) 点F(4,2)到直线x=1的距离比为1:根号2的点P\n(2) 点F(0,-2)到直线y=3的距离比为根号6:1的点P'

'求第1章中函数-实践中练习1的定义域和值域。'

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'45 (1) \\ (4 \\cdot y=2 \\cdot 2(x+2) \\) 即 \\ (y=x+2 \\) (2) \\ (\\frac{1 \\cdot x}{3}+\\frac{2 \\cdot y}{6}=1\\) 即 \\ (x+y-3=0 \\) (3) \\ ( 2 \\cdot \\sqrt{2} \\cdot x-(-\\sqrt{3}) \\cdot y=1 \\) 即 \\ (2 \\sqrt{2} x+\\sqrt{3} y-1=0 \\)'

'求出第1章函数 - EXERCISES中问题2的a、b、c的值。'

'解出 y=-2 x+3 关于 x 得到 x=-\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}，通过互换 x 和 y，所求的反函数是 y=-\\frac{1}{2} x+\\frac{3}{2}'

'定义了定义域和值域都是数字（实数的子集）的映射为函数。换句话说，映射是函数的一般化。'

'68 (1) \\( y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\frac{\\sqrt{2}}{2},(2, \\sqrt{2}) \\)'

'在CHART & THINKING中，主要表示了什么？'

'从值域确定系数'

'请列举包含在数研出版教材系列中的基本功能。'

'给定函数值'

'当x=\\frac{5}{4}, y=-\\frac{1}{4}时，最大值为\\frac{9}{8}；当x=0，y=1时，最小值为-2'

'定义[a]为不超过实数a的最大整数。绘制以下函数的图形。(1) y=-[x] (-3 ≤ x ≤ 2) (2) y=[2 x-1] (0 ≤ x ≤ 2)'

'当变量x，y满足条件x+2y=1时，求以下内容：(1) x^2+y^2的最小值(2) 当x≥0，y≥0时，x^2+y^2的最大值'

'用[a]表示不超过实数a的最大整数。绘制以下函数的图形。(1) y=2[x] (-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=[2 x] (-2 ≤ x ≤ 1)'

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'函数y=f(x)的图形是什么？'

'当轴 x=a 在 x<0 的范围内，也就是 a<0 时，在右侧图表中，x=0 处达到最小值。最小值为 f(0)=-4a'

'\\[\egin{array}{c}f(x)=2 x \\\\ f(x) \\text{的图像中} \\\\ 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\\\\n\\text{因此 } \\\\\nf(f(x))=2 f(x)=2 \\cdot 2 x\\end{array}\\]\n因此\n·是(1)的图像。\n—，线性方程 \ y=\\frac{1}{2} \ 下方部分增加两倍，线性方程 \ y=\\frac{1}{2} \ 上方部分（或线性方程上的部分）增加两倍然后减去1。'

'求x介于0到3且y介于0到3时P的最大值和最小值。'

'请找出带有绝对值符号的函数图形与直线的交点。'

'练习35→本册第92页\nf(x)=1/2 x-|x-|x-1||。方程式f(x)=a有三个不同的解的条件是，y=f(x)的图形与直线y=a有三个不同的交点。设g(x)=|x-|x-1||。\n[1] x>=1时，g(x)=|x-(x-1)|=1，因此f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-1。\n[2] x<1时，g(x)=|x+(x-1)|=|2x-1|\n(i) x<1/2时，g(x)=-2x+1，因此f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(-2x+1)=5/2 x-1。\n(ii) 1/2 <= x < 1时，g(x)=2x-1，因此f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(2x-1)=-3/2 x+1。\n因此，y=f(x)的图形如右图所示。图形和直线y=a有三个不同的交点，则a的取值范围如图所示-1/2<a<1/4。'

'当 x = 1，y = 0 时，最大值为 2；当 x = -1，y = 0 时，最小值为 -2'

'当a=1时，(0,1)，当a=5时，(-2,-1)'

'求范围和最大值最小值'

'请绘制函数 y=|x+1|+|x-3| 的图形。'

求下列函数的值域。同时求出函数的最大值和最小值。 (1) y=-3x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2) (2) y=\frac{1}{2}x+2 \quad (-2<x \leqq 4) (3) y=-2x^{2} \quad (-1<x<1)

在 $x \geq 0, y \geq 0, x + y = 2$ 的情况下，求 $x^2 + y^2$ 的最大值和最小值。

发展 78 | 包含绝对值的一次函数的图

条件式がある場合の最大・最小(1) $x \geqq 1, y \geqq -1, 2 x + y = 5$ であるとき, $x y$ の最大値と最小値を求めよ。

对于一次函数 \( f(x)=a x+b \), 如果 \( f(1)=2 \) 且 \( f(3)=8 \), 求常数 $a, b$ 的值。

標準 65 | 值域等條件下決定一次函數的係數

当你买一件100日元的物品时，购买的数量决定了总费用。同样，当汽车以每小时60公里的速度行驶时，行驶时间决定了行驶的总距离。让我们来学习这种“某个数量决定另一个数量”的关系。函数定义：例如，当你购买x件100日元的物品，总费用y日元，那么x和y的关系可以用y=100x来表示。像这样，有两个变量x和y，当你确定一个x值时，对应的y值也唯一确定，那么我们说y是x的函数。函数就像一个工厂，把输入的数量x加工成输出的结果y，这里加工过程是“将x乘以100”。

求函数 y=x−3 \quad(1 \leqq x<5) 的值域。

当 $2x + y = 3$ 时，求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。

(2) 当一次函数 $y=a x+b$ 的定义域是 $-3 \leqq x \leqq 1$ 时，其值域为 $-1 \leqq y \leqq 3$。其中， $a > 0$。

函数 \( y=f(x) \) 的定义域是 $1 \leqq x \leqq 5$ 时，如下所示。 \[ y=f(x) \quad(1 \leqq x \leqq 5) \] 那么，函数的值域是什么范围？

确定常数 $a, b$ 的值，使一次函数 $y=ax+b$ 的值域为 $-1 \leqq y \leqq 5$。 其中 $a<0$。

有一个周长为20厘米的长方形。如果该长方形的长度为x厘米，面积为y平方厘米，则y是x的函数。回答以下问题。（1）用x表示y的表达式，并说明该函数的定义域。（2）当该函数为f(x)时，求出f(3), f(1/2), f(a+1)。

求直线 x+2y=11 被椭圆 (x-2)^2 + 4(y-4)^2 = 4 截去的线段的中点坐标和线段的长度。

当将坐标平面视为复数平面时，平面上的点对应于复数。而且，复数之间的各种计算可以在平面上进行图示。因此，在涉及平面图形的问题中，某些问题可以通过使用复数的性质或计算来更简单、直观地解决。这里总结了在处理平面图形问题时使用复数的基本事项。 线段的内分点和外分点 设α = x1 + y1i，β = x2 + y2i，z = x + yi，如果点P(z)将线段AB内分为m:n，则 (x - x1) : (x2 - x) = (y - y1) : (y2 - y) = m:n 因此，x = (nx1 + mx2) / (m + n)，y = (ny1 + my2) / (m + n) 于是， z = x + yi = (nx1 + mx2) / (m + n) + (ny1 + my2) / (m + n)i = (n(x1 + y1i) + m(x2 + y2i)) / (m + n) = (nα + mβ) / (m + n) 同样，对于外分点也是如此。因此，以下内容成立：如果点C(γ)将线段AB内分为m:n，点D(δ)将其外分为m:n，则 内分点 γ = (nα + mβ) / (m + n) 外分点 δ = (-nα + mβ) / (m - n) 特别地，线段AB的中点对应的复数为(α + β) / 2。

假设直线 $y=2x+k$ 与双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 在两个不同的点 $P$ 和 $Q$ 处相交。 （1）求常数 $k$ 的可能取值范围。 (2) 在（1）的范围内移动 $k$ 时，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹。