分析 - 单变量微积分

'重要示例 79 | 区域中的最大值和最小值（3）\n当实数 x, y 满足三个不等式 y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0 时，求 x²+(y-3)² 的最大值和最小值。\n[东京经大]\n例题 76'

'区分求积法'

'计算以下定积分。'

'练习求下列定积分。\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'同样，考虑最小值。找出这个最小值。'

'求下列定积分。'

'求放物線与x轴之间的面积。(1)基本'

'求下面定积分的值。'

'通过极限来计算导数'

'求下列定积分的值。 (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'TRAINING 197 (1)求下列定积分。(1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'求定积分 \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\)。'

'求解下列定积分。'

'求解定积分 \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\)。'

'寻找曲线y=x^2和直线y=mx所围成的两个部分的面积之和在0<m<1的范围内的最小值。'

'求下列定积分。'

'请计算曲线 y=f(x) 与 x 轴之间的面积 S。'

'使用定积分的性质来求解以下定积分的结果。'

'求解以下定积分。'

'掌握定积分的性质，攻克例题198！'

'定积分与微分法'

'當不清楚基本例題時，應該採取什麼方法？'

None

'求 ∫ 1/x dx 的不定积分。'

'求解下列定积分。(4)中，a，b是常数。(1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'求下列定积分。(1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \（a>0）'

None

'该术语包含了对概念的解释，定理和公式的证明等内容，即使是教科书中没有涉及的内容，也可以轻松理解。'

'请定义必要条件和充分条件，并使用以下示例加以说明。'

'求以下曲线，直线和 x 轴围成的区域的面积。\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'求下列定积分。\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'证明以下二次方程式的解α，β。ax^2 + bx + c = 0\n1. 具有两个不同实数解的条件。\n2. 对于所有实数 t，当不等式 at^2 + 2bt + c > 0 成立时，仅有正解存在。'

'计算以下定积分。'

'求由曲线和直线围成的区域的面积。'

'求以下定积分。'

"导数 函数f(x)的导函数f'(x)的定义是f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'使用公式计算以下定积分。'

'(3)计算$\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$。'

"由此，對於所有實數x，y'>0，因此給定的函數始終是遞增的"

'证明以下条件。设变量 x 的值为 x1、x2、……、xn。即对于某个值 t，将每个值与 t 的偏差 t-xk（k=1,2、……、n）的平方和记为 y。即 y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+……+(t-xn)^2。证明当 t=𝑥¯（x 的平均值）时，y 取得最小值。'

'请解释什么是必要十分条件。'

'请解释示例3到8和示例9到12之间的共同点和差异。'

'方程和曲线'

'解释函数图的凹凸性和拐点。'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { 由于 } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { 因此 } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'(ア) x y^{三}-2 y=0'

'陈述罗尔定理并证明'

'哈密顿凯莱定理'

'围绕y轴旋转体的体积（3） 令a≤b。对于y=f(x)的图像的a≤x≤b部分和x轴，以及由x=a、x=b围成的图形，围绕y轴旋转一周形成的立体的体积V为V=2π∫a到b xf(x)dx。证明对于a<c<d<b，且f(x)为图中右侧所示，在区间[a, c]、[d, b]单调递减，在区间[c, d]单调递增的函数y=f(x)。另外，当f(x)=x^3，a=0，b=2时，求V的值V_0。'

'什么是均值定理？'

'練習 求出下列定積分。'

''

'研究可微函数f(x)的增减，并找到其极值。'

'利用第二次导数，求以下函数的极值。'

'设函数y=f(x)是连续的。\n(1)将a作为实数常数。对于所有实数x，如果不等式|f(x)-f(a)|≤⅔|x-a|成立，则利用中值定理证明曲线y=f(x)一定与直线y=x相交。\n(2)进一步，对于所有实数x1，x2，如果|f(x1)-f(x2)|≤⅔|x1-x2|成立，则证明(1)交点只有一个。'

'学习求解图形的面积、体积、曲线长度以及解决简单微分方程的问题。'

'求解下列定积分。\\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'求解下列定积分。\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'求解下列定积分。'

''

'求曲线y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6及曲线上点(3,-6)处的切线围成的图形面积S。'

'(2)计算以下定积分：\n(一) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'首先，让我们复习使用微分法来确定实数解的数量的方法。'

'求下列定积分。'

'练习 求下列定积分。'

'请定义函数 f(x) 在 x=a 处的导数。'

'求解定积分 \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \。'

'求解下列定积分。'

'\n计算面积、体积、曲线长度\n曲线 \\( x=g(y) \\) 与 \ y \ 轴之间的面积\n曲线 \\( x=g(y) \\) 与 \ y \ 轴和两条直线 \ y=c,y=d \（其中 \ c < d \）围成的区域的面积为 \\( S=\\int_{c}^{d}|g(y)| dy \\)\n\n由 \\( x=f(t)，y=g(t) \\) 描述的曲线的面积为 \\( S=\\int_{a}^{b} y dx=\\int_{\\alpha}^{\eta} g(t) f^{\\prime}(t) dt \\)\n\n其中，始终 \\( y \\geqq 0，\\quad a=f(\\alpha)，\\quad b=f(\eta) \\) 立体的体积为 \\( S(x) \\) 的立体体积，当 \ a < b \ 时为 \\( V=\\int_{a}^{b} S(x) dx \\)'

'求解以下定积分。'

'请计算两条曲线之间的面积。'

'设曲线C1、C2和直线x=π/2围成的区域的面积为T，则要满足T=2S的条件可以用a和b表示。'

'设f(x)和g(x)是区间[a，b]上的连续函数。如果f(a)>g(a)，且f(b)<g(b)，那么证明方程f(x)=g(x)在区间a<x<b上至少有一个实数解。'

'（1）求解 f(x) 和区间的平均值定理条件满足的 c 的值: (a) f(x)=\\log x [1, e] (b) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208函数f(x)在区间a≤x≤b（a < b）上连续时，\nint_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c)，存在a < c < b\n证明存在该c值。（积分中值定理）)'

'当函数y的x作为参数t, θ进行媒介变量表示时，如下式所示，将导数dy/dx表示为t, θ的函数。其中，(2)中的a为正常数。(1) {x=t^3+2，y=t^2-1}，(2) {x=a(θ- sin θ)，y=a(1- cos θ)}'

'求f(x)满足方程(1)的函数。'

'函数的最大值和最小值'

'第8章应用积分法'

'(1) 点 P 在数直线上运动，将其速度 v 视为时刻 t 的函数 v=f(t)。同时，将 P 在时刻 a 的坐标记为 k。\n[1] 在时刻 b，点 P 的坐标 x 为 x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] 从时刻 a 到时刻 b，点 P 的位置变化量 s 为 s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] 从时刻 a 到时刻 b，点 P 的路程 l 为 l=∫[a,b]|f(t)| dt'

'求曲线y=f(x)与x轴之间被直线x=a和x=b围成的部分的面积。'

'練習（1）對於連續函數 f(x)，證明等式 \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\)。'

'最大值和最小值定理'

'用a和b表示曲线\ C_{1}, C_{2} \和y轴围成的区域面积S。'

'计算曲线y=f(x)与x轴之间的体积'

'按照将定积分用于将曲线C的形状绘制为“y作为x的函数”的方法。'

'求解以下定积分。'

"随着时间推移，量f（t）（例如膨胀体积等）的变化率也会随时间变化。在时刻t，该量的变化率为f'(t)，与速度为1时相同。"

'练习：求下列定积分。'

'证明当函数 $f(x)$ 在区间 $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$ 上连续时恒成立 $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c), a<c<b$, 其中 $c$ 在区间 $(a, b)$ 内。（积分中值定理）'

'利用均值定理证明不等式。例如，考虑函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 在区间 [0,1] 上均值定理的应用。'

'\n定积分和和的极限（分段求积法）\\( f(x) \\)在区间 \ [a, b] \ 上连续, 将该区间等分为 \ n \ 部分, 两端点和分割点为 \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \, 记 \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \\n'

'求下列定积分。(2)中，a是常数。'

'切线和法线基础信息'

'求解以下曲线的长度。'

''

'如果\\( f(x) \\)在\ x=a \处可微分，则它也是连续的。请证明这一点。但请解释为什么逆命题（连续函数一定可微分）不成立。'

'在坐标空间中，有原点O和点A(1，-2，3)，B(2，0，4)，C(3，-1，5)。求向量OA+x*AB+y*AC的最小长度及相应的实数x和y的值。'

'定积分的分部积分法'

'求下列定积分： (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'求解定积分\\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\)。'

'求解下列定积分。'

'通过实数的连续性等为微积分的严格化做出了贡献。'

'求以下定积分：\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'求解以下定积分。'

'利用数学归纳法证明y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax)。'

'球面的方程是当中心坐标为 (0, b, 0)，半径为 r (r > 0) 时'

'平均值定理的证明'

'请解决一个计算积分的问题。'

'为了使曲线y=(x^2+ax+3)e^x具有拐点，确定常数a的值范围。同时，拐点的数量是多少。'

'设f(x)，g(x)是区间[a, b]上连续的函数。若f(a)>g(a)且f(b)<g(b)，则证明方程f(x)=g(x)在区间a<x<b上至少有一个实数解。'

"曲线长度\n曲线 \\( x=f(t), y=g(t)(\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) 的长度是\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^{2}+\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^{2}} dt=\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} dt\\n\\]"

'三角函数的极限\n以点O为中心，以长度为2r的线段AB为直径的圆上运动的点P。设△ABP的面积为S1，扇形OPB的面积为S2，则回答以下问题。\n(1) 当∠PAB=θ（0<θ<π/2）时，求S1和S2。\n(2) 当P无限接近于B时，求S1/S2的极限值。'

'求以下定积分。'

'求解以下函数和区间的平均值定理条件下的 c 的值：(1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

''

'设a, b为常数, m, n为大于等于零的整数, \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\)。'

'由于17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \ 所以\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'求下列定积分的值。 （1）\\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx （2）\\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx （3）\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx （4）\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'求以下定积分。'

''

'计算以下定积分：\n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'面积的最大和最小'

'计算以下定积分：\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

'计算\\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\)'

'请解释必要条件和充分条件之间的区别。'

'请求定义如下的函数 f(x) 的实数解数量。f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6，当 f(x) 连续时，f(x)-x=0 在 0 ≤ x ≤ 1 至少有几个实数解。'

'请计算曲线和X轴之间的面积。'

"在平均值定理(1)中，由于c介于a和b之间，所以，b-a=h, 将c-a除以b-a得到θ，则b=a+h, c=a+θh。因此，(3) 平均值定理也可以表达为如下形式。平均值定理(2)：如果函数f(x)在区间[a, a+h]上连续，在区间(a, a+h)上可微分，则存在一个满足0<θ<1的实数θ，使得f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)。"

''

'求解下列定积分。(3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'如何利用截面积求体积。当用垂直于x轴的平面切割时，截面积由关于x的函数S(x)表示，求解体积V。在a到b范围内考虑。'

'求曲线C与x轴和y轴围成的图形的面积。'