分析 - 数列和级数

'请给出数列 p_n。'

'当数列的第 k 项 a_k 可以表示为 a_k=f(k+1)-f(k) 时，使用下面的等式(*)来求和 \\sum_{k=1}^{n} a_k，并解释其原理。'

'通过推导(2)和(4)项，根据数列{pn}的差分数列通项为(-1/2)^(n+1)，求解通项pn，或者只推导(1)和(3)项，解决相邻两项之间的递推关系(3)。'

'练习：找出由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。 (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'请说明解决连立递归方程的方法。'

'求解等差数列 {a_{n}} 的首项 a，公差 d 和项数 n 时，求该数列的和 S_{n}。'

'因此, 数列 {a_{n}+20} 是一个首项为2, 公比为5/4的等比数列。'

'求一般数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足以下条件的通项公式。'

'利用总和的公式来寻找数列的通项公式'

'示例编号 实践2 递归式'

'给定数列从第一项到第n项的和Sn， 求通项的公式。'

'求一般项的方法'

'如何从递推式中求得通项公式'

'例题编号 实践1 等差数列, 等比数列'

'请解释数列和通项公式，并根据例子求通项公式。'

'求前n項的和。'

'求由以下条件确定的数列 {an} 的极限值。a1=0, a2=1, an+2=1/4(a{n+1}+3an)'

'找出由以下条件确定的数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的极限。'

'求解与面积相关的无穷级数。'

'求解以下无限级数的和。\n(1) 当数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的首项为2，公比为2时，求 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ （类 爱知工大）\n（2） 当 \ \\pi \ 为圆周率时，求 \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\n其中，可以使用 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\)。\n[类 慶應大] \ \\rightarrow 33,35 \'

'求解根据以下条件所确定的数列的极限：'

'求和序列 $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$。'

'信用創造的原理'

'请讨论以下无穷级数。'

'使用上面的例子结果，证明无限级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ 是发散的。'

'对于收敛级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$，其中 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$，那么级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ 也会收敛且 $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$（这里 $k, l$ 是常数）'

'请解决关于无限级数求和的问题。'

'请确认当k>0时，数列{1/n^k}的收敛性。'

'练习证明以下无限级数是发散的。'

'图形数量与组合。'

'求和以下数列。'

'请说明等差数列的条件。'

'使用数学归纳法证明在（2）（1）中推测的通项公式是正确的。'

'求和数列：\\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)'

'求从第一个项目到第n个项目的总和。'

'求出下列数列的通项公式：$c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

''

'求下列和。'

'证明级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ 收敛，其中 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$。那么级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ 也收敛，并求出其和。这里 $k, l$ 是常数。'

'请说明无限等比级数的收敛条件。'

'请解释和证明无穷等比数列的收敛和发散。从初项a和公比r产生的无穷等比数列{ar^n-1}形成的无穷级数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \ 的收敛条件及其总和，并说明其发散条件。'

'求解级数\\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\)的总和。'

'研究无限等比级数的收敛和发散，如果收敛，求其和。'

'关于无穷级数$x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$，\n（1）求出使得这个无穷级数收敛的$x$值的范围。\n(2) 当$x$在(1)的范围内时，设这个无穷级数的和为$f(x)$。绘制函数$y=f(x)$的图形，研究其连续性。'

'请证明无限级数Σ(1 / n)发散。'

'综合练习'

'研究无限等比数列{r^n}的极限。'

'例题126 定积分与和的极限（2）'

'例11 | 无限级数的收敛与发散'

'请研究以下无穷级数的收敛与发散，如果收敛，请计算其总和。'

'请检查以下数列的收敛性和发散性：(a) { -n^{3} + 1 } (b) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (c) { \\frac{3}{n+2} } (d) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'无穷级数的收敛和发散以及项的极限'

'请证明以下积分不等式。'

'练习14 |二| → 本册 p。343\n（1）假设数列{xn}收敛，其极限值为α\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\n因此，当n→∞时，xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\n平方整理得到α² - α - a = 0\n由于α > 0，所以α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'求∑从n=0到无穷大的级数(1/2)^n cos(nπ/6)的和。'

'证明长本22等式'

'利用中值定理求解无穷级数和与定积分'

'请说明无穷等比数列的极限，并说明在什么条件下收敛。'

'根据数列 $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\ldots)$ 所定义的序列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ ，令 $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$ 。求 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$。'

'無限級數'

'证明具有递推式和极限 (4) 线性方程组 P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) 的点列 Pn(x_{n}, y_{n}) 在平面上。证明点列 P1, P2, ... 无限接近某一定点。〔类 信州大〕'

'证明两个收敛级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ 分别收敛于 $S, T$。对于常数 $k, l$，证明级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ 也收敛且 $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$。'

'求解定积分 \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \。首先，将区间 \ [0, 1] \ 分成 \ n \ 等份，每个带有蓝色阴影的矩形的面积为 \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots \\cdots, n-1) \\)，那么它们的总和为\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'根据以下条件确定的数列\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 的极限值。'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'根据下列条件确定的数列 {an} 的极限值。'

'无限等比数列 { r^n } 的极限'

'检查以下无穷级数的收敛性和发散性，如果收敛，请求其总和。'

'研究无穷级数\ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \的收敛和发散，并在收敛的情况下求出其和。但是，可以使用\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\)。'

None

'证明级数 1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots+\\frac{1}{n}+\\cdots 是收敛的。'

'求这个无限级数的总和：1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'练习研究这个无穷级数的收敛和发散，如果收敛则求其和。'

'一个有标记的立方体放置在水平平面上。从立方体底部的4条边中以相等的概率选择一条边，并围绕这条边将立方体倒向一侧的操作重复进行n次。记立方体标记面朝上的概率为aₙ，朝下的概率为bₙ。假设初始时标记面朝上。(1) 求a₂。(2) 用aₙ表示aₙ₊₁。(3) 求 limₙ→∞ aₙ。'

'利用（）(2)的结果，求无穷级数的和 Σ_(n=1)^∞ n/2^n。其中，可以利用 lim (n→∞)(n/2^n)=0。'

'关于无限级数$x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$，求（1）使此无限级数收敛的$x$值的范围。(2) 当$x$在（1）的范围内时，设这个无限级数的和为$f(x)$。绘制函数$y=f(x)$的图形，并研究其连续性。'

'求数列 $\\{a_{n} \\}$ 的极限值，根据以下条件确定。'

'求无限级数\\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)的和。'

'第3章 微分法—— 105 当 n ≥ 2 时 b_{n} =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n =3 n(n-1) 这也适用于 n=1 时。 因此 b_{n}=3 n(n-1) \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) 3章 EX'

'求出以下无限级数的总和。\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'证明级数∑(1/n)发散。'

'请查找以下数列的极限。'

'求解以下无限级数的和。'

'证明以下无限级数发散。(1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'求实数x的取值范围，使得无穷级数收敛。'

'研究下面无限级数的收敛和发散，如果收敛，求其总和。'

'请检查以下数列的极限。'

'证明以下无穷级数发散。'

'求解由下列条件确定的数列的极限。'

'找出由以下条件确定的数列 {an} 的极限。'

'求下列无限级数之和。'

'求曲线的长度 \ L \。'

'找出使得下列数列收敛的实数x的范围。并求出该时的极限值。'

'無限等比級數'

'求∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6)的和。'

'使用部分和公式来找到无限等比级数 a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots 的收敛条件和和值。'

'(1) 无限级数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ 收敛 \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

''

'求解由以下条件确定的数列的极限: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 。\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

''