分析 - 极限和连续性

'(1) 求 \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\)。\n(2) 令 x-a=h，则 x=a+h，当 x \\longrightarrow a 时，h \\longrightarrow 0。求以下式：\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'求解以下极限。'

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'求解以下极限。注意，(3)中的a为常数。'

'求解以下极限值，其中（a）是一个常数。'

'请解释等式和不等式的证明方法。'

'求导和其计算：解释求导的定义。'

'(20) 根据极限条件确定数列系数等\n根据极限条件确定数列系数。\n例：为了使数列{an}收敛，必须预先确定某个系数a。请计算这个系数a。'

'求出下列极限值。'

'与著名函数及其相关的极限'

'求下列极限值。'

'求解以下极限。'

'练习曲线y=√(4-x)记为C。对于t(2≤t≤3)，将曲线C上的点(t,√(4-t))、原点和点(t,0)构成的三角形面积记为S(t)。将区间[2,3]等分为n份，以从小到大的顺序将端点和分点表示为t₀=2、t₁、t₂、⋯、tₙ₋₁、tₙ=3时，求极限值limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ))。'

'让我们学习定积分和极限的和，以及不等式。'

'求下列极限： (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'定义序列{In}，其中关系为I0 = ∫₀¹ e^(-x) dx，In = (1/n!) ∫₀¹ x^n e^(-x) dx (n=1,2,3,......)。回答以下问题：\n (1) 求I0和I1。\n (2) 当n≥2时，用n的表达式表示In-In-1。\n (3) 求极限lim(n→∞) In。\n (4) 定义Sn=∑(k=0,n) 1/k!。求lim(n→∞) Sn。'

'当数列{an}(n=1,2,3,⋯⋯)满足lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6时，lim_{n→∞}nan= \\ square。'

'求函数的极限：在以下条件下求函数f(x)：\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

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'求解以下极限。\n（1）\\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n（2）\\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n（2）东京电机大'

'求下列极限值。'

'考虑数列{an（x）}，其中an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x（0≤x≤π）。'

'求解数列极限（2）...有理式等'

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'函数 \ y=x e^{-x} \ 关联的极限是 \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \。'

'求解与面积相关的极限。'

'求序列 {an} 的极限值。'

'数列{ an(x)}是由an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π)定义的。'

'\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\) 的极限是多少？'

'请解释函数的连续性和可微性。'

'求下列极限值。'

'求数列{an}的极限值'

'当存在微分系数时，\\( f(x) \\)在\ x=a \可微'

'研究序列 1/2、2/3、3/4、4/5、...'

'求解以下数列的极限：\n\n对于数列 { n^k }，当 k 为正整数时、k 为正有理数时以及 k 为正无理数时，分别求出其极限。'

'求第n项表示的数列极限。'

'求出由以下式表示的數列的極限第n項。'

'求下列极限值。'

'求解以下极限值。'

'求极限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \。'

'求第n項由以下表示的數列極限。'

'请解决求极限的问题：\\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\)'

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'求第 n 項數列的極限，該數列由以下表達式表示。'

'求解以下极限。'

'对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数。设n为正整数，令an=∑(k=1到n) [√(2n^2-k^2)]/(n^2)。求lim(n趋向于无穷大) an。'

'求下列极限值。'

'请确定以下数列的极限。'

'求解以下极限值。'

'(2) 令 $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$，则 $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$。由于 $S_n$ 表示矩形的面积和，所以 $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$。另一种解法是 $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$。'

'(2) 数列{an}的第n项an是一个n位正整数。求极限lim(n→∞)(log10an)/n。[Hiroshima City University]'

'请确认给定数列 {n^k} (k>0) 的收敛性。'

'从函数的一侧极限'

'红色图表可以在哪些方面完全巩固数学能力？'

'求62的極限。'

'64\n\\[\n\\text {（1）} \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"导数和导函数\n导数\nD 平均变化率 ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD 导数 (变化率)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'將給定的文本翻譯成多種語言。'

'(4) 利用 $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$。'

'请解释函数连续性的定义。'

'通过重复，得到$a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$。因此，$\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$。'

'求定积分表示的函数的极限'

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'当数列 {a_n}, {b_n} 收敛时，有以下结论:'

'求下列极限值。其中，a是一个常数。'

'求解以下数列的极限：(1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}'

'将渐近线表示为直线y=ax+b，则当x趋于正无穷或负无穷时，f(x)/x的极限为a，且f(x)-ax的极限为b。'

'求下列極限。'

'数列 {an},{bn} 收敛， lim(n→∞)an=α， lim(n→∞)bn=β。请证明以下性质：\n1. 常数倍 lim(n→∞)k an=kα\n2. 和 - 差 lim(n→∞)(an+bn)=α+β，lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'证明如下方程。\\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'证明当 r>1 时，数列 {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } 的极限 lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞。'

'数学III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\n因此，当 \ n \\longrightarrow \\infty \ 时，\\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) 收敛到非零值的情况是，\ k-2=0 \ 即 \ k=2 \ 时，且 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'数学 III'

'例题 329 | 从一侧的极限和极限的存在'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\ h \\longrightarrow+0 \ と \ h \\longrightarrow-0 \ のときの極限値が一致し， \\( f^{\\prime}(0)=1 \\) となるから, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で微分可能である。\nしたがって, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で連続である。'

'请使用洛必达法则求下列极限值。'

'当数列 {a_{n}}，{b_{n}} 收敛时，有以下结果成立。'

'求下列极限。'

'由于 $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$，所以直线 $y=0$ 是渐近线。'

'例题 19 | 递推式与极限 (3) 307'

'第n项a_{n}是a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1}，因此，\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n\\rightarrow\\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0，因此，这个无穷级数发散。'

'考虑数列 {an}，其中第n项an为n位正整数。求极限lim(n→∞)(log10 an)/n。'

'求lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n 和 lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n。'

'求下列极限。'

'求解序列{r^n}的极限。'

'证明如果曲线的转折点少于等于1个，则该曲线不具有复合线。'

'求下列极限。(a) lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'综合练习'

'证明当数列 {an} 中的项号 n 趋近无穷大时，若 a_n 无限接近于某一常数 α，则 lim{n -> ∞} a_n=α，又或者 n 趋近无穷大时 a_n 趋近于α，并记作极限值为 α。证明这一命题。'

'求解序列 {r^n / n^k}, {n^k / r^n} 的极限。'

'如果函数f(x)在定义域内的所有x的值上都连续，应该如何表示？'

'当 x > 1 时，不等式 0 < log x < x 成立。利用这个不等式，求极限 lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\。其中，log x 是以 e = 2.71828... 为底的对数。'

'求解以下极限值。'

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'求解以下极限。'

'请检查以下函数在 x = 0 处是连续还是可微的。'

'求解 (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}'

'练习问题22，沃利斯公式和斯特林公式的证明'

'(1) 计算$\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$'

'对于实数 x，记 [x] 为满足 m ≤ x < m+1 的整数 m。求极限 lim n→∞ [10^(2n)π] / 10^(2n)。'

'求解以下数列的极限。(A) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (B) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (C) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'请解释一侧极限的概念。'

'求解下列极限。'

'求出以下極限值。'

'求下列极限值。 其中，α是常数。'

'求给定极限。'

'（1）找出满足等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \ 的常数 \ a, b \ 的值。\n(2) 使用 \\( f^{\\prime}(a) \\) 表示 \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\)。'

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'求解以下极限值。'

'求下列极限值。'

'求下列极限值。'

'求下列极限值。'

'練習求解以下極限值。'

'求解下列極限值。'

'证明数列之和的不等式和极限（1）对于大于等于2的自然数n，证明以下不等式。'

'求一般项和第n项的和Sn的数组{an}'

'求下列极限。'

'(4)右侧极限为0，左侧极限为1；极限不存在'

'对于实数x，将[x]表示为满足m≤x<m+1的整数m。求当n趋于无穷大时，lim n→∞ [10^2nπ]/10^2n的值。'

'(3) (A) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ 因此 \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ 所以 \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'当函数 \\( f(x) \\) 满足 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) 时，求解 \\( f(x) \\)。'

'求出以下极限值。其中，a是常数。'

'求解\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\)。'

'求下列極限值。$\\ lim _ {n \\ 可能無限大} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left（e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac { 3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right）$'

'\ n \\rightarrow \\infty \时求\ S_{n} \的极限。'

'请找出函数的最大值和最小值。如果需要，在（2）中可以使用 \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \。'

'求出以下极限值。'

'求下列極限值。'

'因此，$\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$，$\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$对两边求差得到$a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$，消去$a_{n+1}$。因此$\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

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'求解以下极限值。'

'求解下列极限值。(2) 中假定 \ p>0 \。\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'求极限。'

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'求定数a的值，使得等式$\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$成立。'

'求下列极限值。'

'求解下列極限值(1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'请解决以下问题：'

'(1) 数列 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) 满足 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\) 时，\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ 是 } \'

'(1) 计算 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$'

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'请说明微分可能与连续性的关系。'

'检查函数在 x=0 处是否连续且可微。(2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'确定常数a，b的值，使得等式成立。\\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'确定常数a，b的值，使得下面的等式成立。'

'请解释极限中的收敛和发散，并描述数列的基本性质。'

'求解以下极限。'

'当三次函数 f(x) 满足 lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 时，求 f(x)。'

'函数的极限'

'三角函数的极限\n当角的单位是弧度时 \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'(1) 右侧极限和左侧极限都存在；极限存在'

'求第 n 項代表的數列的極限。'

'对于函数 f(x)，解释 x 趋近于 a+0 和 x 趋近于 a-0 的含义，以及在这两种情况下函数极限存在与否的区别。'

'当数列{a_n},{b_n}收敛时,当n趋向无穷时a_n=α, b_n=β的极限分别为α, β。'

"使用洛必達(L'Hopital)法則，求下列極限值。"

'求解以下极限。(4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'求解以下极限值。'

'数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) 是由 \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) 定义的。(1) 求此数列的极限值 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\)。(2) 将 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) 记作 \\( A(x) \\)，画出函数 \\( y=A(x) \\) 的图像。'

'在闭区间上连续的函数，满足中值定理。也就是说，对于闭区间 [a, b] 上的连续函数 f(x)，对于任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的值 k，存在某个 c，使得 f(c) = k 成立。当这个条件不满足时，以函数 f(x) = sin(1/x) 在区间 (0, 1] 上连续为例，解释存在某个 k，使得 f(c) = k 的 c 不存在的情况。'

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'假设未来每年，东京都外的三分之一的人搬到都内，而都内的三分之一的人搬到都外。设第n年都外人口为an，都内人口为bn，则求lim n→∞ an/bn。假设都内和都外的总人口总和不随年份而变。'

'将S定义为以下极限值，求S的值。'

'102 a=4, b=-1, 極限值 -\\frac{15}{8}'

'根据给定条件，寻找点Q的坐标和速度轨迹。 当点P以每秒π的速度沿x轴从原点（0,0）向（π,0）移动时，求点Q在t秒后的速度v（t）。'

'求下列极限。'

'第4章 極限 題目'

'函数的连续性'

'证明无限数列{an}(n=1,2,⋯⋯)。极限 n趋于∞时，1/n^k=0。'

'针对下列序列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \，研究极限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'求下列極限值。'

'数学 分母を払って (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) ゆえに 2 c^{2}=x+1 よって c^{2}=\\frac{x+1}{2} x>1, c>1 であるから c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)} =\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'求第 n 項表示的數列極限。'

'为了使极限\\(\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\)有限值，确定常数\a, \\quad b\的值，并求得该极限值。'

'求解以下极限。'

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'求第n项表示的数列的极限。'

'综 合 演 习'

'求\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\)。'

'(204 次求極限值。1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} (2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}〔(1) 山口大, （2）芝浦工大〕'

'给定数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) 可表示为 \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\)。\n(1) 求此数列的极限值 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\)。\n(2) 将 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) 记为 \\( A(x) \\)，绘制函数 \\( y=A(x) \\) 的图形。\n〔名城大〕'

'求确定数a的值，使等式\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\)成立。'

'请调查序列1/2, 2/3, 3/4, 4/5的极限。'

'求下列极限。'

'求以下极限值。'

'求解以下极限值。(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'数列的极限'

'求出极限值 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n}。'

'关于极限的以下命题看起来很难判断，实际上全是假的。什么情况下不成立，找出反例试试看。'

'(1) 当 \ x \\rightarrow \\infty \ 时, \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ 分母・分子を \ 2^{x} \ で割る。'

'求下列极限值。'

'(2) \ \\quad( \ 与式 \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'微分系数'

'(2) 右侧极限为 \ \\infty \, 左侧极限为 \ -\\infty \; 极限不存在'

'求出3个极限值。 其中，$a$ 是一个常数。\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'求以下数列的极限。(A) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}，(B) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}，\\cdots \\cdots'

'练习求以下数列的极限。'

'求解下列極限。請注意，a、b為常數。(1) 小樽商大，(2) 東京電機大'

'(2) 计算 \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \。'

'求解 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$。'

'考虑数列{a_n}，求极限\\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'将给定的极限值S计算出来。'

'(1) 关于满足条件的数列{an}，求lim(n→∞)an和lim(n→∞)nan。30(a)：lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'求解以下极限值。'

'证明函数 f(x) 在 x=π/2 处不可微。'

'请解决以下问题：'

'求等式 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\)。'

'求解以下极限值。(一) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin ^{n} \\theta-\\cos ^{n} \\theta}{\\sin ^{n} \\theta+\\cos ^{n} \\theta} \\quad\\left(0<\\theta<\\frac{\\pi}{4}\\right)$ (二) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n-1}-3^{n+1}}{r^{n}+3^{n-1}}$ ( $r$ 是正常数 ) (2) 当 $0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi$ 时, 设 $a_{n}=\\left(4 \\sin ^{2} \\theta+2 \\cos \\theta-3\\right)^{n}$, 求使数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 收敛的 $\\theta$ 的值的范围。'

'求解以下极限。'

'求解以下极限。'

'求极限。'

'（1）连续但不可微分\n（2）连续且可微分'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { 其中 } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { 因此 } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { 所以 } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'分别研究 x → 1-0、x → 1+0、x → 1 时的极限。'

'例16 | 函数的极限（2）'

'求极限。 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'例题（41）：极限和导数'

'关于数列 \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \ 的极限，以下情况成立。'

'| r | <1,当 r 接近无穷大时 lim_{n -> ∞} r^{2 n}=0, lim_{n -> ∞} r^{2 n+1}=0\n因此 lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n})=0\n当 r = 1 时， r^{2 n}=r^{2 n+1}=1\n因此 lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = 1 / (2 +1) = 1/3\n当 r =-1 时， r^{2 n}=(-1)^{2 n}=((-1)^{2})^{n}=1^{n}=1，r^{2 n+1}=r^{2 n}・r=1・(-1)=-1\n因此 lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = -1 / (2 + 1) = -1/3\n|r| >1, <left| (1/r)<right| <1, 故 lim_{n -> ∞} ((1/r)^{2 n}) = 0\n因此 lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = lim_{n -> ∞} r / (2 ((1/r)^{2 n}) + 1) = r / (2 ・ 0 + 1) = r\n第 2 章 <square>\nPR <left>{(-1)^{n}<right> 是振荡的，但，<left>{(-1)^{2 n}<right> 收敛。'

'[2]的例子$\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'求极限。不使用上述公式(1)。 (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'如何求函数的极限'

'求下列极限。[(1) 京都产大, (2) 东京电机大] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'求解以下极限。'

'利用定义\ e \ 来计算极限\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\)，求解以下极限：\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'求下列极限。(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'请从给定的表中查找三角函数极限的页面号。'

'求解以下极限。(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[大阪工业大学]'

'\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ 所以 \\[ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]'

'回答以下问题。'

'(1) 因为底数为 \\\sqrt{2}>1\，所以\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n(2) 因为底数为 \0<\\frac{2}{3}<1\，所以\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'当 r>-1 时，求极限lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1))。'

'求下列极限：\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'例15 | 函数的极限（1）'

'连续函数的最大和最小值\n在区间 [a, b] 上，连续函数 f(x) 的最大值和最小值是\n[1] 在 a ≤ x ≤ b 处的 f(x) 的极大值和极小值\n[2] 比较区间两端的值 f(a)、f(b) 来求得。\n注意：要求出在区间 (a, b) 上 f(x) 的最大值和最小值，需要比较函数的极值以及当 x 趋近于 a+0 和 x 趋近于 b-0 时的极限值。对于区间 (a, ∞)，还需要将 f(x) 的极限值与 x 趋近于 ∞ 时的值进行比较。\n需要注意的是，在开区间中，最大值和最小值有时可能不存在。'

'请检查以下函数在 x=0 处是否连续且可微分：\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'请计算以下数列的极限。17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'使用二项式定理证明：\n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'在极限的表达式转换中，关键点是什么？'

'使用均值定理，求解以下极限。'

'数列的极限定义'

'解决有关序列极限（利用不等式）的问题。'

'第2章 极限 69 别解'

'研究以下情況的極限。'

'使用洛必达法则，求下列极限。'

'求第 n 项所表示数列的极限。\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'数列的极限'

"均值定理的证明\n\n平均值定理在几何上的意义是, 对于图中连续且可微的函数的图形, 取函数上的两点A、B, 在曲线的某一点上可以画出与线段AB平行的切线。这个结论可以直观地从图中看出来, 但严格来说是利用下面要表明的「罗尔定理」来证明的。\n(1) 罗尔定理\n如果函数f(x)在区间[a, b]内连续, 在开区间(a, b)内可微, 且f(a)=f(b), 那么存在一个实数c满足a<c<b使得f'(c)=0。\n\n证明[1] 如果f(a)=f(b)=0的情况下\n(甲) 如果在区间[a, b]上恒有f(x)=0, 那么始终有f'(x)=0, 定理成立。\n(1) 如果存在使f(x)>0的x值, 那么f(x)在区间[a, b]内连续, 因此在该区间的某点x=c处取得最大值。由于f(c)>0且f(a)=f(b)=0, 所以c既不是a也不是b。因此 a<c<b。\nf(c)是最大值, 当|Δx|足够小时, f(c+Δx)≤f(c), 所以Δy=f(c+Δx)-f(c)≤0, 因此当Δx>0时, Δy/Δx≤0, 所以当Δx趋近于+0时, Δy/Δx≤0，当Δx<0时, Δy/Δx≥0，所以当Δx趋近于+0时, Δy/Δx=0，f(x)在区间内都有f'(c)=0。\n(乙) 如果存在使f(x)<0的x值, 那么当f(x)取得最小值时的x值c, 与(1)的推理类似, a<c<b, 并且f'(c)=0。\n[2] 一般情况下, 如果f(a)=f(b), 则取g(x)=f(x)-f(a), 由f(a)=f(b)，可得g(a)=g(b)=0, 类似[1]，存在实数c满足g'(c)=0, a<c<b。由于f'(c)=g'(c)=0, 因此罗尔定理成立。"

'例题15 | 剪刀原理（2）（2）数列{a_{n}}的第n项a_{n}为n位正整数。求极限lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n。'

'第6章 积分法的应用'

'确定常数a，b的值，使等式成立。'

'示例17 数列{r^n / n^k},{n^k / r^n}在r > 1的情況下, 证明lim_{n→∞} (r^n / n^2)=∞。'

'求下列极限。'

'请解释一下函数从一侧的极限是什么意思，并用符号表示当 x 无限接近 a 时，f(x) 的右侧极限在 x > a 的范围内。'

'证明 (1), (2) 成立。'

'（1）当数列{an}(n=1,2,3,⋯⋯)满足lim_{n→∞}(2n-1)an=1时，求lim_{n→∞}an和13lim_{n→∞}nan。\n（2）当lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5时，求常数a, b的值。'

'求微分法的应用'

'求极限。不使用上述公式(1)。'

'求解下列极限：\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'设 f(x)=-log x。对于实数a，求曲线y=f(x)通过点(a, 0)的切线数量。可以使用 lim_{x→+0} x log x=0。'

'例题35 | 三角函数极限的问题'

'这是一个求函数极限的问题。请找出函数 f(x) 当 x 接近 a 时的极限值。特别是，请考虑右侧极限 \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) 和左侧极限 \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x)。'

'求下列极限。'

''

'求\ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \。'

'要研究与y轴平行的渐近线（x=a）的极限。'

'求下列极限：\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'解决关于多项式和分式的极限问题。'

'求极限值。\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) 求\\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\)。\n(2) 求\ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\'

'求下列极限。'

'关于实数'

'关于数列极限，总结我们学过的解法要点。数列极限的计算方法'

'求极限。'

'求下列极限值。'

"如果 f(x) 是在 x=a 处可微的函数，则可以用 a、f(a)、f'(a) 等值来表示以下值：\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'求解以下极限。 (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'对于所有实数 x 的值，可微函数 f(x) 满足以下两个条件。'

'示例31 | 一侧极限和极限的存在\n检查以下极限。[x]表示不超过x的最大整数。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x^{2}-x}{|x|} \\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 2}([2 x]-[x]) \\)\n\n由于函数的符号和定义根据x接近的方向而异，因此需要检查一侧极限并利用以下条件。\n\\[\n\egin{array}{lll}\n\\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x)=\\alpha & \\text { 如果 } & \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\alpha \\\\\n\\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) \\neq \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x) & \\text { 如果 } & \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\text {不存在}\n\\end{array}\n\\]\n(1) \ |x| \是\nCHART〉绝对值情况下进行区分\n(2) [ ]是高斯符号，表达式如下。\n\\[\n\egin{array}{lll}\n\\ n \\leqq x< n+1 \\text { (n是整数) 时 } \\\\ [x]=n\n}'

'求这个极限'

'求出以下数列的极限'

'(1) 求解以下极限: (a) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (b) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (c) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) 当 $x>1$ 时, 不等式 $0<\\log x<x$ 成立。利用这个不等式, 求解极限 $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$。这里 $\\log x$ 是以 $e=2.71828 ....$ 为底的对数。'

'求下列極限。'

'对于正项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$，若 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$，则若 $k<1$ 则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ 收敛，若 $k>1$ 则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ 发散。'

'求出以下极限。'

'解决关于无理式极限的问题。'

'使用洛必达法则，求下列极限。'

'存在极限的条件'

'求下列极限值。'

'求下列极限：'

'求由下列表示式給出的數列的極限。'

'求下列数列的极限'

'求解以下极限。'

''

'求下列极限。'

'(2) 计算 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'半径为1的圆C的内部有一个与中心不同的定点A。将半径OA延伸至与C相交的点定义为P0，并以P0为起点将C的周长分成n等分点，依次为P0，P1，P2，...，Pn=P0，逆时针方向。设A与Pk的距离为APk，则求极限n趋于无穷大时1/n * Σ(k=1到n)(APk^2)^2。其中，OA=a。[群马大]'

'求 r 的 k 次幂除以 n 的 k 次幂的极限。'

'求以下极限的值。'

'数列{an}(n=1,2,3,⋯⋯)是无穷数列。当收敛值α收敛(不收敛)发散至正无穷\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \或者负无穷\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \时，它振荡。当数列的极限是\ \\infty \或者\ -\\infty \时，这不称为极限值。'

'(3) 求解 \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\)。'

'当 r 是实数时，求极限 lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n))。'

'求解序列 { r^n } 的极限。'

''

'(1) 证明 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$。 (2) 求 $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$。'

'求解以下极限。'

'求出以下极限值。(3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'求第n项表达式的极限。'

'考虑数列 {an}，{bn}，下列说法正确吗？请证明正确的说法，如果有错误，请举出反例。其中，α，β为常数。'

'设a_{n} = ∫_{n}^{n+1} 1/x dx，则lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = 。'

"设a为常数，函数f(x)在x=a处可微。则可以用a，f'(a)等表示以下极限。"

'(3) 当 \ x \\longrightarrow \\infty \ 时，\ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \，因此 \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'求PR的下一个极限。'

'求解下列极限值。\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'求下列极限：\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'求 x 接近 0 时的三角函数 sin(x)/x 的极限值。'

'当r>-1时，求极限lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}。(2)当r是实数时，求极限lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}。提示(2)当r=-1时，r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1。(1)当|r|<1时lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0，因此lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0。r=1时，r^{n}=r^{n+1}=1，因此lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}。r>1时，\\left|\\frac{1}{r}\\right|<1，所以lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0，因此lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'求解由下式表示的數列的極限：'

'关于数列{r ^ n}的极限'

'求解基本示例 35 (3) 的极限。'

'第2章\n極限\nEX 数列 \ \\{a_{n}\\} \ 使得 \\( a_{n} >0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, 求 \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'求下列极限。\ \\lim _{x \\rightarrow -0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'请使用无限降方法进行证明。'