分析 - 基本微分方程

'求下列定积分。'

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'证明定积分的性质(A)、(B)、(C)'

'(2) \ 2 a x-a^{2}=2 b x-b^{2} \ 并且 \\( 2(a-b) x=a^{2}-b^{2} \\) 因此, \ \\ell_{1} \ 和 \ \\ell_{2} \ 的交点的 \ x \ 坐标是\n\n\ x=\\frac{a+b}{2} \\n\n因此, \ \\ell_{1}, \\ell_{2} \ 和抛物线 C 围成的区域的面积 \\( S(a) \\) 是, 从右图中可得到\n\n\\[\n\egin{aligned}\nS(a)= & \\int_{b}^{\\frac{a+b}{2}}\\left\\{x^{2}-\\left(2 b x-b^{2}\\right)\\right\\} d x \\\\\n& +\\int_{\\frac{a+b}{2}}^{a}\\left\\{x^{2}-\\left(2 a x-a^{2}\\right)\\right\\} d x \\\\\n= & \\int_{b}^{\\frac{a+b}{2}}(x-b)^{2} d x+\\int_{\\frac{a+b}{2}}^{a}(x-a)^{2} d x \\\\\n= & {\\left[\\frac{(x-b)^{3}}{3}\\right]_{b}^{\\frac{a+b}{2}}+\\left[\\frac{(x-a)^{3}}{3}\\right]_{\\frac{a+b}{2}}^{a} } \\\\\n= & \\frac{1}{3}\\left(\\frac{a-b}{2}\\right)^{3}-\\frac{1}{3}\\left(\\frac{b-a}{2}\\right)^{3} \\\\\n= & \\frac{1}{12}(a-b)^{3}=\\frac{1}{12}\\left(a+\\frac{1}{4 a}\\right)^{3}\n\\end{aligned} \\]'

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'两个抛物线的交点的x坐标是方程x^{2}+x+2=x^{2}-7x+10的解。'

'证明关于条件和集合的命题。'

'证明微分方程可以化为以下形式，并求解。将y = uv代入，得到du/dx * v + u * dv/dx - uv/x = x'

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'证明以下定理：对于所有自然数 n，若 f(x) 和 g(x) 的第 n 次导函数 f^{(n)}(x) 和 g^{(n)}(x) 存在，则积 f(x) g(x) 的第 n 次导函数可表示为利普尼兹定理。'

'使用积分平均值定理证明不等式'

"二阶导数和极值：当$f'(a)=0$时，如果$f''(a)$存在，则可以用来判断极值。"

'使用数学归纳法证明等式(1)对于所有自然数n成立。'

'给定函数 y=f(x) 的 x=a 处的导数如下定义。'

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'21不定积分的替代积分法和部分积分法'

'证明（按加法平均）≥（按乘法平均）的图形'

'定积分和体积'

'证明数学 Iₙ的定积分(1)存在问题。'

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'求曲线 \\left\\{\egin{\overlineray}{l} x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t \\end{\overlineray} (0 \\leq t \\leq \\pi)\\right. 与 $x$ 轴以及直线 $x=\\pi$ 所围成的面积 $S$。'

'请使用部分积分法计算以下积分。'

"当可微函数f（x）（x>0）满足等式f（x）=x logx+∫1^e tf'（t）dt时，请求f（x）。"

'假设$\\frac{dy}{dx}=-2$，从(*)可以得到$-\\frac{8x+y}{x-3y}=-2$，因此$6x+7y=0$。将$x=\\frac{e^{t}+3e^{-t}}{2}$和$y=e^{t}-2e^{-t}$代入(6)进行整理，则得到$2e^{t}-e^{-t}=0$。因此$e^{-t}(2e^{2t}-1)=0$，由于$e^{-t}>0$，所以$e^{2t}=\\frac{1}{2}$，即$2t=-\\log 2$，因此$t=-\\frac{1}{2}\\log 2$。'

'(1) 在重要例题220中，设Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx（其中n为大于等于0的整数），证明Iₙ=Jₙ当n大于等于0。'

'求解以下定积分。'

'中值定理'

'找到满足以下等式的函数 f(x)：(3) f(x)=1/2 x+∫[0, x](t-x) sin t d t'

'请解释定积分和和的极限。'

'求解以下不定积分。'

'积分法的应用'

'求解定积分：\\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x\'

"解决以下微分方程，并找到极大值。当f'(x)=0时，得到 x / sqrt(4-x²)=1。因此，sqrt(4-x²)=x。两边平方得到 4-x²=x²。因此 x²=2，因此 x=±sqrt(2)。由于 x>0，所以 x=sqrt(2)。接下来，f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0，因此 x=sqrt(2)时具有极大值。因此，极大值为 f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1)。"

请用图证明全集 $U$ 的子集 $A, B$ 满足以下等式： \( \overline{(ar{A} \cap B)}=A \cup ar{B} \)