高级函数 - 三角函数及其应用

'练习 8 III（2）'

'\ 将 \\sin \\theta=x \ 代入, 得到 \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \, 方程式为 \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ 即为 \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ 所需条件是, 二次方程 \\( (*) \\) 在 \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ 范围内至少有一个实数解. 令 \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), 令 \\( f(x)=0 \\) 的判别式为 \ D \. 1] 两个解都在 \ -1<x<1 \ 范围内的条件是，函数 \\( y=f(x) \\) 的图像与 \ x \ 轴的 \ -1<x<1 \ 部分相交（包括切线的情况）, 下面的（i）〜(iv) 同时成立. (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ 轴 \ <1 \'

'三角方程式的解的存在条件'

'求y = \\sin k \\theta的周期。'

'检查39 ⇒ 本册 p .187 (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'求出以下函数的最大值和最小值。 请注意，θ的取值范围为0≤θ≤π。 (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'用cosθ表示y = 4sin²θ - 4cosθ + 1。'

'(2) \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 $从1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta$得$\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta$ \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\left(\\sin ^{2} \\theta\\right)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'练习 f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x, g(x)=a x(x-2)（其中，a>1）。'

'(1) 求解方程 $\\sin 3 x=-\\sin x$ 的所有 $x$ 的值。'

'求解 f(x)=x^{3}-3 x+1 的实数解个数。'

'(2) 对于正整数$n$，如果$\\sin \\theta=\\frac{1}{n}$，则$\\cos \\theta= \\pm \\sqrt{1-\\sin^2 \\theta} = \\pm \\sqrt{1-\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}} = \\pm \\frac{\\sqrt{n^2-1}}{n}$ （1）由此得到$\\cos \\theta$是有理数，因此$\\sqrt{n^{2}-1}$也是有理数。因此，存在互质正整数$p, q(p \\geqq 0, q>0)$，使得\n\ \\sqrt{n^{2}-1}=\\frac{p}{q} \\]\n两边平方得到$\\quad n^{2}-1=\\frac{p^{2}}{q^{2}}$,$n^{2}-1$是整数,所以$\\frac{p^{2}}{q^{2}}$也是整数。其中,$p, q$互质,$q$为正整数,因此\n\\[----y=q \\]\n所以 $n^{2}-1=p^{2}$,因此\n\\[ n^{2}-p^{2}=1 \\n得到 $(n+p)(n-p)=1$，其中$n+p$为正整数，$n-p$为整数，因此$n+p=1, n-p=1$，解得 $\\quad n=1, p=0$。因此，如果对于正整数$n$有$\\sin \\theta=\\frac{1}{n}$，则$n=1$。'

'练习例 10 三角函数和切比雪夫多项式'

'106 4 sin^4 α'

'假设函数f满足对实数x，y，f（（x+y）/2）≤（1/2）{ f（x）+f（y）}。 证明对n个实数x1，x2，...，xn的函数f满足f（（x1+x2+...+xn）/n）≤（1/n）{ f（x1）+f（x2）+...+f（xn）}。'

'使用弧度法，将以下角度转换为弧度。'

'求函数y=tan kθ的周期。'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ 推导出 cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 因此 cos θ = ±1/√5'

'根据以下条件计算三角函数。 （1）π<θ<2π，故sin θ<0，因此，sin^2 θ+cos^2 θ=1，所以 sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 也，tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) 根据 sin3x = -sinx，有 3sinx - 4sin^3x = -sinx，即 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0，因此 sinx = 0, ±1。由 0 ≤ x ≤ 2π 可得 x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π。'

'第2题：\\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\mathrm{什么}\'

'使用弧度法将以下弧度转换为度。'

'弧度和三角函数\n求半径为 r、中心角为 θ 弧度的扇形弧长和面积。\n弧长：rθ\n面积：12r^{2}θ'

'证明奇函数和偶函数的定积分:'

'例47 | 三角函数图形（1）\\n绘制以下函数的图形。\\n（1）y=sin(θ-π/2)\\n（2）y=sinθ+1\\n（3）y=tan(θ+π/2)'

'例题 98 | 三角方程式和不等式（4）'

"设y = ax² + bx + c(a ≠ 0)，则y' = 2ax + b，从而，直线的方程为 y - (aα² + bα + c) = (2aα + b)(x - α)，即y = (2aα + b)x - aα² + c。同样，另一条直线的方程为y = (2aβ + b)x - aβ² + c。交点P的x坐标是下面方程的解：(2aα + b)x - aα² + c = (2aβ + b)x - aβ² + c。由于a ≠ 0，α ≠ β，所以x = a(β² - α²) / 2a(β - α) = (α + β) / 2。"

'使用加法定理，求解以下值。'

'请在坐标平面上定义一般角θ的三角函数sinθ、cosθ、tanθ。'

'演练例3 10 三角函数和Chebyshev多项式（续）'

'例55 | 三角函数的和角公式'

'解三角函数方程、不等式和求三角函数最大最小值的问题。'

'例54 | 三角函数的值（加法定理）'

'我想到了用坐标来表达平面图形的想法。'

'在0≤θ<2π的情况下，求y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ的最大值和最小值。'

'什么是匀速圆周运动？'

'练习示例 10 三角函数和切比雪夫多项式（续）求解cos5θ的五次多项式'

'例题 97 | 三角方程式（使用和与积的公式）'

'请证明以下三角恒等式：\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'考虑使用无穷个三角函数来表示周期函数。'

'(1) 对于任意角θ，求满足-2≤xcosθ+ysinθ≤y+1的点(x, y)组成的区域在xy平面上的图示，并求其面积。 （2） 对于任意角α，β，求满足-1≤x²cosα+ysinβ≤1的点(x, y)组成的区域在xy平面上的图示，并求其面积。 [一桥大]'

'考察三角函数在同一等式中的最大和最小值，并解决与图形的应用问题。'

'三角函数和切比雪夫多项式'

'(3) 从 $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ 可得 $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$，因此 $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$。$\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2\\left(\\cos ^{2} \\theta\\right)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$。$\\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta=1$ 可得 $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$，解得 $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$。由于 $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$，所以 $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$（1），代入可得 $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$。'

None

'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'演练例10 三角函数和切比雪夫多项式（续）'

'例50 => 书页180\n(1) 是关于 θ 轴对称移动的 y=cosθ 的图形。图形如右图所示。另外，周期为2π。'

'由条件可知，tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'

'2直线与x轴正向的夹角分别为α、β，则所求锐角θ为tanα=√3/2，tanβ=-3√3时，tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3，0<θ<π/2，故θ=π/3'

'124\n—数学 II\n(2)左边 = \\ frac { \\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}= \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{ \\ cos ^{2} \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta} 此外, \\ frac { \\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+ \\ frac { \\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\n所以，基本周期为 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\n所以，基本周期为 \\pi'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'在给定的文本中将其翻译成多种语言。'

'问题145范围内具有极值的条件'

'根据方程式 \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] 可得 \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) 因此得 \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ 在 \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ 的范围内, 由 \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ 得到 \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ 由 \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ 得到 \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] 因此, 解为 \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'解下列方程和不等式。'

'将包含三角函数的不等式称为三角不等式，解三角不等式即寻找满足不等式的角度范围（解）。'

'图形是函数y=tanθ的y轴方向缩小了一半。右图为缩小后的图形。周期为π，渐近线为直线θ=π/2+nπ（n为整数）。'

'三角函数的相互关系'

'使用加法定理和2倍角公式，证明下列等式（3倍角公式）。'

'在0≤θ<2π的范围内，求满足以下等式的θ的值。'

'当 \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\ 时，解下列方程和不等式。'

'请解释三角函数 sin、cos 和 tan 的定义。'

'根据-sin(θ)的定义，证明以下三角函数的相互关系。'

'考虑函数 y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π)。'

'如何记住加法定理、倍角和半角公式'

'掌握三角函数成立的等式，征服例题123！'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [第 4 象限 \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [第 3 象限]'

'示例5：实践三角函数的最大值和最小值'

'当α是第二象限的角且sinα=3/5，β是第三象限的角且cosβ=-4/5时，求sin(α-β)，cos(α-β)的值。'

'证明等式\\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\。'

'掌握加法原理，征服130个例题！'

'\2\\sin x=t\将其代入，因此，\0 \\leq x<2 \\pi\，因此\-1 \\leq t \\leq 1\。此外，由(1)得出\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\，注意t的变化范围。将二次函数转化为标准形式。因此，\y\在\t=1\时取得最大值2，在\t=-\\frac{1}{4}\时取得最小值\-\\frac{9}{8}\。'

'在0≤θ<2π的情况下，解下列方程式和不等式。(1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'三角函数成立的等式，n为整数。'

'求解以下函数的极大值和极小值。'

'三角函数的最大值和最小值（使用 t=sinθ+cosθ）'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，解下列方程和不等式。'

'求解函数的最大值和最小值以及相应的θ值。(1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'三角函数图表（3）...放大缩小和平行移动'

'求函数 y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2) 的最大值、最小值及对应的θ值。'

'包含三角函数的方程和不等式（使用替换）'

'请说明从三角比扩展到三角函数的内容，并给出一般角θ的三角函数sinθ，cosθ，tanθ的定义。'

'利用正切的加法定理求解两条直线的夹角'

'这幅图显示了 (1) y=a sin bθ (2) y=a cos bθ 的图像。请分别求出常数a和b的值。请注意，a>0，b>0。'

'三角函数之间的关系'

'双倍角和半角的公式以及三角函数值'

'求函数y = 3sinθ-2sin³θ（0 ≤ θ ≤ 7/6π）的最大值和最小值，以及对应的θ值。'

'求解满足以下等式的theta的值。'

'在0 ≤ θ < 2π的情况下，请找到满足下列等式的θ值。'

'包含三角函数的方程和不等式（使用复合）'

'通过将图形y = cos^2 θ的直线y = 1映射到y轴方向上倍增，得到的图形是通过将y = cos^2 θ的图形平行移动到y轴向下1单位，然后相对于θ轴上下倍增2倍，再平行移动y轴向下1单位得到的，因此其方程为y = a(cos^2 θ - b) + 1。请找出与图形匹配的选项。'

'根据三个加法定理将β=α代入：(1) 使用公式计算以下内容：(a) sin 2α (b) 给出cos 2α的另一种表达式：cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) 将以下所有值替换为θ/2并进行计算：(a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'求函数 y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) 的最大值，最小值以及对应的θ值。并绘制其图像。'

'三角函数的最大值和最小值（使用复合）'

'包含三角函数的方程式（使用 sin^2θ + cos^2θ = 1）'

'弧度法到目前为止学习到的三角比 \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \ 等角 \ \\theta \ 的大小是用度数单位来表示的，例如 \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \。这被称为以直角的 \ \\frac{1}{90} \ 为单位的 1 度度数法。'

'在三角函数中，正弦和余弦有乘积和差公式，也有和差乘积公式。'

'包含三角函数的联立不等式'

'推导出将 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 除以 cos² θ 的表达式，并找出在 0 ≤ θ ≤ π/3 范围内的最大值和最小值。'

'对于函数f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1（0 ≤ x ≤ π）'

'当 x > 1 时, 由于 4(x²-1) > 0, 1/(x²-1) > 0, 我们可以根据平均值大于等于几何平均值得到以下不等式。4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8。因此 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, 当且仅当 4(x²-1)=1/(x²-1) 时等号成立。在此情况下 (x²-1)²=1/4。由于 x > 1, 所以 x²-1=1/2, 即 x²=3/2, 因此 x=√(3/2)=√6/2。因此, 4x² + 1/((x+1)(x-1)) 的最小值为 8，在这种情况下 x 的值为 2√(3/2) = √(6)/2。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，解下列不等式。'

'基本例题 124 0 ≤ θ < 2π时，求解以下方程：2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'证明以下方程。'

'使用加法定理，并计算下列值。'

'当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 取得极大值为0，并且曲线 $y=f(x)$ 的大致形状如右图所示。'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'三角函数图和平移缩放'

'解决下列三角方程式。'

'证明下列等式。'

'周围的三角函数'

'求下列函数的最大值和最小值以及相应的θ值。'

'求解以下数值。'

'包含三角函数的联立不等式'

'在以下0〜π范围内，哪个图形与！ν的图形不匹配？ 找不到解答组合：（0）y = sin（2θ + π/2）（1）y = sin（2θ - π/2）（2）y = cos {2（θ + π）}（3）y = cos {2（θ - π）}'

'三角函数表达式的变形'

'三角函数的最大值和最小值（转换为二次函数）'

'弧度制的基础，扇形弧长和面积'

'求函数 y=3sinθ+4cosθ 的最大值和最小值。'

'三角函数图(1)......放大缩小'

'当 0 ≤ θ ≤ π 且 sinθ+cosθ=√3/2 时, 求以下表达式的值。'

'包含三角函数的不等式（使用sin^2θ + cos^2θ = 1）'

'证明双角公式。'

'计算曲线 y=|x^2-1| 和直线 y=3 所围成的区域的面积。'

'证明 \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \。'

'人们说觉得学习很有趣很重要，为什么这样的想法会影响记忆力？'

'请解释什么是物理变化和化学变化。'

'求sin(45度)的值。'

'（1）在上面的例题中，求P点的加速度大小。'

'求曲线\\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\)的极坐标方程。另外，画出曲线的大致形状。假设原点\ \\mathrm{O} \为极点，以\ x \轴的正半轴为始线。'

'请描述 y=√(ax) 的图形特征（其中a ≠ 0）。'

'在绘制函数图形的轮廓时需要注意的事项'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'设a>0，f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a})。当函数y=f(x)和其逆函数y=f^{-1}(x)共享两个不同点时，请确定a的取值范围。'

'在替换积分法中的关键点'

'求曲线C1：3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24，按逆时针围绕原点旋转π/6弧度后得到曲线C2的方程。'

'求函数值的变化，最大和最小值，函数图形\n(3) 令 f(x)=sin(π cos x)。\n(1) 求 f(π + x) - f(π - x) 的值。\n(2) 求 f(π / 2 + x) + f(π / 2 - x) 的值。\n(3) 在 0 ≤ x ≤ 2π 的范围内绘制 y=f(x) 的图形（无需检查凹凸）。\n[类 东京理科大]'

'考虑函数值的变化，最大值和最小值，曲线C：{x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4)。'

'为什么在计算定积分 $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ 和 $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ 时，通过取 $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ 和 $x=a \\sin \\theta$，就可以成功计算呢？'

'求y = x + 1 + 1 / (x - 1)函数的渐近线。'

'求解曲线 x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) 和x轴之间所围成的部分绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积V。'

'使用欧拉公式将三角函数表示为指数函数，并推导出以下等式。'

'求下列不定积分。'

'用直角坐标方程表示下列极坐标方程所代表的曲线。'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'基本2：分数函数的平移和确定'

'点P在平面上运动, 在时刻t时的坐标为x=4cos(t), y=sin(2t), 当t=π/3时, 求点P的速度和加速度大小。'

'当函数$y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$的图像通过点$(-2, \x0crac{9}{5})$，且有两条直线$x=-\x0crac{1}{3}$，$y=\x0crac{2}{3}$作为渐近线时，求常数$a, b, c$的值。'

'證明在橢圓A x^{2}+B y^{2}=1(A>0, B>0)的周邊以速度1運動的點P(x, y)，以下事實成立。'

'当坐标平面上移动的点P在时刻t的坐标由以下表达式给出时, 求点P的速度和加速度的大小。'

'当平面上的动点P在时间t处的坐标(x, y)表示为{x=sin t y=12 cos 2 t}时,求点P的速度的最大值。'

'当\ 0<a<b<2\\pi \时，证明不等式\ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \成立。'

'当点P沿数轴运动时，其坐标x作为时间t的函数表示为x=2cos(πt+π/6)，求解t=2/3时的速度v和加速度α。'

'在以原点为中心的坐标平面上，曲线C：$\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上，取点P(1, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)'

'当函数 f(x) 连续且 f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3 时，证明方程 f(x)=x^{2} 在区间 0<x<2 内至少有两个实数解。'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'令0°≤θ≤180°。解方程式。'

'tan 角 C'

'令0° ≤ θ ≤ 180°。解下列方程式。'

''

'求出以下角的正弦，余弦和正切值。'

'利用三角比表中的数据，求解以下 θ 值。'

''

'在三角形ABC中，如果sinA：sinB：sinC = 5：16：19，则求这个三角形中最大的角的大小。'

''

'求出以下图形所代表的二次函数。'

'请用0度到90度之间的角的三角函数表达以下三角函数。'

'通过余弦定理求解a。'

''

'在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则求cosA：cosB：cosC的比值。(东北学院大)'

'计算各三角函数，并展示结果。'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'在0°≤θ≤180°的情况下，找出满足以下不等式的θ范围。'

'在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC = 5：7：8，则cosC = __。'

'从图（1）到P（-1，1）'

'从2sinθ = sqrt(2)到sinθ = 1 / sqrt(2)。在半径为1的半圆周上，y坐标为1 / sqrt(2)的点是图中的2个点P, Q。所要求的θ是∠AOP和∠AOQ。'

'扩展三角比：找出角度在0°至360°范围内时的三角比。'

'(4) 解方程式。给定 0 ≤ θ ≤ 180°。解方程：√2 sinθ = tanθ'

'在三角形ABC中，如果sin A:sin B:sin C = 3:5:7，求cos A:cos B:cos C的比值。'

'阐述三角比的定义和相互关系。(1) 三角比的定义 (2) 三角比的相互关系 (3) 特殊角的三角比'

'为了提供更多练习机会以及深入学习的需要，可以在扩展示例和练习页面上使用。'

'变量转换'

'在考察函数图形和几何图形运动的示例中，通过使用哪种数字内容，可以将视觉图像与数学方程式联系起来，帮助学习？'

'三角函数总结'

'正弦定理还是余弦定理？'

'回顾正弦定理和余弦定理！'

'按顺序为 \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'请解释必要条件和充分条件之间的关系。'

'三角形的应用'

'补充0°，90°，180°的三角比\n\n当θ=0°时，三角比的定义式中，取r=1，坐标为(1,0)的点P₀，则\nsin 0°=0，\ncos 0°=1，\ntan 0°=0\n\n当θ=90°时，三角比的定义式中，取r=1，坐标为(0,1)的点P₁，则\nsin 90°=1，\ncos 90°=0\n\n当θ=180°时，三角比的定义式中，取r=1，坐标为(-1,0)的点P₂，则\nsin 180°=0，\ncos 180°=-1，\ntan 180°=0'

'利用三角函数表格求解角度'

'求以下数值。\n(1) \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \ 的值\n(2) 满足 \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \eta=0.7314 \, \ \\tan \\gamma=8.1443 \ 的锐角 \ \\alpha, \eta, \\gamma \\n(3) 右图中 \ x \ 的值和角度 \ \\theta \ 的大致大小。其中， \ x \ 应四舍五入至第二位小数。'

'求三角形AED中的sinθ。'

'θ是0°到180°之间三角比的相互关系'

'求解数学问题'

'根据正弦的比例关系求余弦'

'所求解是，因为函数 y=|x^2-6x-7| 的图象要么与函数 y=2x+2 相交，要么完全位于其上方，因此'

'请使用德摩根定律，具体示例集合A，B，C。'

'第6章 三角比-117'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'在三角形ABC中，如果sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC成立，求最大的内角大小。'

'三角函数的对称式的值'

'15°的三角函数'

'（1）使用三角函数表，求解128°的正弦、余弦和正切值。\n(2) sin27°=a。用a表示117°的余弦。'

'满足三角恒等式的θ（三角方程式）'

'证明三角形ABC的角A，角B，角C的大小分别为A，B，C时，以下等式成立。'

'正弦定理还是余弦定理？'

'当θ是锐角时三角函数的互相关系'

'以下两个方程也成立。\ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] 以余弦定理总结为：\\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] 根据余弦定理证明以下三个等式在三角形ABC中成立。\\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'证明在三角形ABC的内角A，B，C中，成立以下等式：'

'让我们回顾正弦定理和余弦定理！'

'求解钝角三角函数值'

'解这个方程：sin aθ=sin bθ，sin aθ=cos bθ'

'请说明如何利用本书来查找解决方案。'

'由于 $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3}, \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi, \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$ ，所以 $\\ frac {1} {2} < \\ sin 1 < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1,0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$。 因此，$\\ sin 1,\\ sin 2,\\ sin 3,\\ sin 4$ 中最小的正值是$\\ sin 3$，最大值是$\\ sin 2$。'

'求下列值。'

''

'让我们考虑游乐园里旋转茶杯的运动轨迹与三角函数之间的关系。当盘1顺时针旋转1圈时，半径为一半的盘2逆时针旋转2圈，点C在盘2周围会绘制出怎样的轨迹呢。'

'在0 ≤ θ < 2π的情况下，解决以下方程和不等式。(1) cos 2θ=√3 cosθ+2 (2) sin 2θ<sinθ'

'如何画三次函数的图表-制作增减表'

'三角函数的最大值和最小值（1）'

''

'证明等式1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2)。'

'三角函数值（1）'

'使用加法定理，求以下值。'

'第4章 三角函数 195'

'例题 128 使用加法定理'

'求1372次同次方程𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃（0≤𝜃≤𝜋/2）的最大值和最小值。'

'对给定的文本进行多种语言翻译。'

'求解曲线y=x^3-2x+1与直线y=x+k有3个不同的交点的K值范围。'

''

'当两个角α,β的和α+β或差α-β的三角函数用α,β的三角函数表示如下。这被称为三角函数的加法定理。'

'当0 ≤ θ < 2π时，解以下方程或不等式。2）sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'要使函数 $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ 的最大值为 $3+\\sqrt{7}$，最小值为 $3-\\sqrt{7}$，确定 $a,b$ 的值。'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'三角函数的周期'

'基本示例118（3）的图形，为什么不沿θ轴方向缩小y=sinθ图形的大小？'

'请计算以下三角函数的值。'

'关于函数 \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \，'

''

'以下是(1)和(2)函数的图形。请计算从A到H的值。(1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'证明以下等式。'

'请绘制以下函数的图形，并求出它们的周期。'

'第7章 积分法\n将抛物线y=\\frac{1}{2}x^{2}记为C，并在C上取点P(a,\\frac{1}{2}a^{2})。其中a>0。设P为\nC上的一点，\n若将P称为C的切线为l，与x轴相交于Q点，则过点Q并且垂直于l的直线称为m，回答以下问题：\n(1) 求直线l，m的方程。\n(2) 将与直线m和y轴相交的点记为A，在三角形APQ中，面积记为S。此外，将由y轴、线段AP和曲线C围成的图形的面积记为T。求S-T的最小值及相应的a值。'

'三角函数图 (1)'

'在 sin1、sin2、sin3、sin4中，负值为A。正值的最小值为B，最大值为C。'

'三角函数的互相关系'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\pi'

''

'设a>1为190°练习。 对于1≤x≤a的函数y=2x^{3}-9x^{2}+12x，(1)求最小值。(2)求最大值。'

''

'在 $x y$ 平面上，曲线 $y=f(x)$ 始终通过两个固定点，无论 $a$ 取何值。请问这两个固定点的坐标是多少？求$f(x)$不取极值的 $a$ 值范围。'

'请解释三角函数的周期。'

'对于120度三角形ABC的内角A、B、C，回答以下问题。'

'求解195度的正弦、余弦和正切值。'

'按照以下条件确定的数列 {an} 的通项公式，并使用（）中的替换求解。'

'请计算以下三角函数的值。'

'证明题139：积到和，和到积的公式'

'求函数 y=2sinθ+2cos²θ-1（-π/2 ≤ θ ≤ π/2）的最大值和最小值，以及产生最大值和最小值的θ的值。'

''

'求函数的最大值和最小值。求得时的θ值。'

'使用半角公式，求解以下值。(1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'让我们考虑三角方程式和不等式（二次）的解法。像基本例124那样，解决包含多个三角函数的三角方程式和不等式的方法。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，解以下方程和不等式。 (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ （複號同順）'

'三角函数的图形（2）'

'将给定值用三角函数表示为 0 到 $\\ frac {\\ pi} {4}$ 的角度。(1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\ frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'设f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x。(1)在xy平面上，曲线y=f(x)始终通过两个定点，求这两个定点的坐标。(2)求出 f(x) 不取极值的 a 值范围。'

'请证明以下三角函数的公式。'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi \\)'

'加法定理'

'将以下表达式改写为 $r \\sin(\\theta+\\alpha)$ 的形式。其中，$r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$。\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"OB'=r，设OB'与x轴正向的夹角为α"

'证明当 t = tan（θ/2）（t ≠ ±1）时，下面的等式成立。'

'三角函数等式的证明'

'将角度转换为弧度。'

'请详细描述处理重要案例问题时需要注意的要点。'

'从以下每组答案中，选择一个适合（1）中的选项。但是，选项の顺序不重要。'

'让我们来绘制你的成长曲线。'

'将下列三角函数表示为小于45°的角的三角函数。'

'在图（a）中，求\ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \的值。'

'在0°至180°范围内，找出满足以下不等式的θ值范围。'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\n半径 1 的半圆周上, 当 \ y \ 坐标为 \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ 时, 点 P, Q 如右图所示。所求的 \ \\theta \ 是\\n\ \\angle AOP \\text { and } \\angle AOQ\\\n因此\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'设θ为锐角。当sinθ=12/13时，求cosθ和tanθ的值。'

'利用右图，求解sin 15°，cos 15°，tan 15°。'

'设0°<θ<180°。当4cosθ+2sinθ=√2时，求tanθ的值。'

'取0°≤θ≤180°。当sinθ，cosθ，tanθ中的一个取特定值时，求另外两个值。'

'三角函数的相互关系（1）'

'让θ处于0°至180°之间。二次方程式x^2-(cosθ)x+cosθ=0具有两个不同的实数解，这两个解都包含在-1<x<2的范围内，求θ的取值范围。'

'设θ为锐角。当tanθ=√7时，求(sinθ+cosθ)²的值。'

'请绘制以下函数的图形。'

'计算sin 140度+cos 130度+tan 120度的值。'

'三角比是一种用来测量无法直接测量的距离和高度等远处物体的方法，其历史可追溯到公元前。在这里，我们将讨论使用三角比来计算山高的方法。'

'求解当 0° ≤ θ ≤ 180° 时，满足以下不等式的θ值范围。 (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'当 0° < θ < 90° 时，y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'求解 cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70° 的值。'

'\\因此\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'求出以下函数的最大值和最小值，以及相应的θ值。'

''

'根据余弦定理'

'请参考三角函数表，回答以下问题。当θ = 37°时，求sin θ、cos θ、tan θ的值。'

'利用右图，求sin 22.5度，cos 22.5度以及tan 22.5度的值。'

'当0° ≤ θ ≤ 180°时，请找出满足以下等式的θ值：(6) √3 tanθ + 1 = 0'

'在0° ≤ θ ≤ 180°的范围内，求y=sin^2θ+cosθ-1的最大值和最小值。并确定对应的θ值。'

'在命题“如果 p 则 q”成立的情况下，设满足条件 p 的集合为 P，满足条件 q 的集合为 Q。当命题“如果 q 则 p”为真时，对其逆否命题，∎ 成立。空白处应选择以下哪个选项。'

'请计算以下三角比。'

'三角函数的对称式值'

''

'钝角三角函数值及表达式变换'

'在 PR 0° ≤ θ ≤ 180° 的情况下，请求满足以下等式的 θ 值。 (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'基本三角函数关系108 钝角θ为锐角。(1) 当sinθ=2/√13时，求cosθ和tanθ的值。 (2) 当tanθ=√5/2时，求sinθ和cosθ的值。'

'特殊角的三角函数'

'三角比的应用问题'

'将以下三角比表示为角度在0°至90°之间的三角比，并使用三角比表求解。(1) sin 111°(2) cos 155°(3) tan 173°'

'问题5（2）找到三角形ABC中第二大的内角的正切值。'

'三角比的相互关系 (0° <= θ <= 180°)'

'創建示例57函數'

'三角函数的等式和值'

'当 θ 为 75° 时，求 tan θ 的值。'

'在三角形ABC中，如果sin A：sin B：sin C = 5：16：19，求这个三角形中最大的角的大小。'

'问题10'

'请计算以下角度的正弦，余弦和正切。(1) 135度 (2) 150度 (3) 1'

'在三角形ABC中，如果∠A=α，∠B=β，∠C=90度，证明下列不等式成立：(1)sinα+sinβ>1 (2)cosα+cosβ>1'

'三角方程式的解法'

'请证明三角恒等式：$\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$ 的相互关系。'

'请选择与sin 44°相等的两个选项。(1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'

'当0° ≤ θ ≤ 180°时，请找出满足以下等式的θ： 2sinθ = √2'

''

'证明不等式sin 29度 < tan 29度 < cos 29度。'

'令0° ≤ θ ≤ 180°。如果sinθ+cosθ = 1/√5，求下列表达式的值。(1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'请使用公式将钝角三角比转换为锐角三角比。'

'求解以下角度的正弦、余弦和正切。\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'这种参数表示代表什么曲线。'

''

'从想成为的自己开始逆向推导。'

'求解x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0的曲线。'

'第4章 公式和曲线\n17 抛物线\n18 椭圆\n19 双曲线\n20 二次曲线的平行移动\n21 二次曲线和直线\n22 曲线的参数方程\n23 极坐标和极坐标方程'

'完成基本示例和标准示例后，应该解决哪些问题？'

''

'数学在社会中有什么作用？ 数学的“作用方式”也随着时代的发展而改变。数年前，数学应用通常与“先进科学技术”一起提到。先进科学技术在社会中的重要性不言而喻，但它并不常见于我们日常生活中。然而，近年的情况有所不同。这是因为数学正逐渐进入我们的生活场景。'

'(1) 因为 cos(-x) = cos x, (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x，所以 cos x 是偶函数，x^2 sin x 是奇函数。因此，∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'请用直角坐标方程描述极坐标方程所代表的曲线。'

'(50)(2) 当n为奇数时，$\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$，当n为偶数时，$\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'在 (1) 中，若函数的值域为 1 ≤ y < 3/2，则求定义域。'

'对于正数a，考虑抛物线y=x^{2}上的点A(a, a^{2})，在点A处以A为中心旋转-30度的直线为直线l。直线l与抛物线y=x^{2}的交点中不是A的点为B。另外，将点(a, 0)记为C，原点记为O。求直线l的方程。另外，记OC、CA和抛物线y=x^{2}所围成的区域的面积为S(a)，记AB、CA和抛物线y=x^{2}所围成的区域的面积为T(a)，求c=lim_{a→∞} T(a)/S(a)。'

'对于满足(3) 0 ≤ θ < 2π的实数θ，令z = cosθ + i sinθ。证明等式|1 - z| = 2 sin (θ/2)成立。'

'展示满足条件的函数的凹凸性。'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'重要例题\n13|ux + vy|的最大和最小值\n当实数x，y，u，v满足等式x^2 + y^2 = 1，(u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1时，请求ux + vy的最大值和最小值。'

''

'在下列x值下找出函数的拐点。'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'设曲线由媒介变量表示为 \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\), 记为 \ C \。'

'对于方程r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}，（1）证明当a= ±1时为抛物线，|a|<1时为椭圆。（2）证明该方程所表示的曲线与y轴在y= ±1处交点与a的值无关。(3)当|a|<1时，将位于椭圆第一象限的部分和x轴、y轴围起来的图形记为D。围绕x轴旋转图形D形成的立体的体积。'

'(2) (1)的延续，因此，设\\overrightarrow{AB}和\\overrightarrow{AC}之间的夹角为θ，则\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}。由于\\sin \\theta>0，所以\\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'在 0<θ<π/2 的情况下，若 dL/dθ=0，则cosθ=1/√3。设满足该条件的θ为α，得到tanα=√(1/cos²α-1)=√2。从 (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2 可得tanθ₁<tanα<tanθ₂。即θ₁<α<θ₂。故在θ₁<θ<θ₂时，L 的增减表如右所示。因此，当θ=α 时，L 取得最大值。由 sinα=√(1-cos²α)=√6/3 可知，所求的最大值为2sinα-√2/(3cosα)=√6/3。在这种情况下，cosθ=1/√3。'

"94题 响应微小变化的变化\n(1) ΔABC的面积S将增加多少。\n(2) 边CA的长度y将增加多少。\n利用以下公式。\n微小变化的公式 Δy≒y'Δx\n解：当角B增加1度时\n从S≒√3sin(x)开始。"

'关于实轴对称移动，求以原点为中心旋转 -π/2 的点的坐标。'

'计算定积分(2)\n求定积分 ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx。其中，m和n是自然数。'

''

'逆三角函数'

'练习函数f(x)=x sin 1/x(x>0)的性质134'

'证明反函数为y=g(x)时，g(1/2)+g(1/3)=π/4。'

'从下表中，验证函数$y=f(x)$的增减性，并找出极值。'

'求解给定的不定积分。'

'求解曲线y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d具有复切线的条件。'

None

'(4)求sin（π/5）sin（2π/5）sin（3π/5）sin（4π/5）的值。'

'使用递推方程计算无限级数的总和'

'将解数学问题比作什么？'

'这一章所学内容建立在以前所学的基础之上。通过这些知识，我们将继续研究几何分析中的图形。在本章中，我们将使用几何分析的方法，学习处理过的图形之外的形状，主要包括椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线的性质。此外，我们还将简要介绍用方程式描述曲线的方法，包括参数表示和极坐标以及极坐标方程式。'

'(1) 曲线C上点Q的坐标用参数方程给出，参数为介于−π/2和0之间的t，坐标为(√2/cos t, √2 tan t)。点Q处的切线l的方程是[√2/cos t x-√2 tan t y=2]，即[x-sin t y=√2 cos t]'

'求该函数的最大值，最小值以及对应的 x 的值。'

'随着曲线上的点无限远，曲线接近一条固定直线时，将该直线称为曲线的渐近线。'

'当 $x$ 取得无穷大时，$y$会接近什么值？'

'当 S=4 时，\2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ 解得 \k=\\sqrt{3}\，因此 \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\，且 \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\，所以 \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\，从而 \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\。在 \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\ 范围内，由曲线 \y=\\sin x\，\y=\\sqrt{3} \\cos x\ 和直线 \x=\\theta\ 围成的图形的面积为 \T\，则 \T<4\ 的条件为 \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3}\\pi\。'

'将给定无理函数转换为平方根函数形式。'

'例35 | 平面上点的运动'

'请解释函数f(x)为什么不连续：f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'三角函数的导数如下所示。请注意角度单位为弧度。'

'找到通过原点的曲线y = x cos x的所有切线。'

'第n項a_{n}為a_{n} = \\cos n \\pi k 為自然數n=2k-1時 \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1 n=2k時 \\cos n \\pi=\\cos 2k \\pi=1 所以序列\\{a_{n}\\}振蕩。因此，序列\\{a_{n}\\}的第n項為a_{n}=(-1)^{n}，由於其不收斂於0，因此該無限級數發散。'

'在x y平面上，以原点为极点，x轴正半轴为起线的极坐标中，曲线由极坐标方程r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π)表示为C。求C与x轴围成的图形绕x轴旋转一周后得到的立体的体积。'

'练习 下列极坐标方程代表什么样的曲线。 请用直角坐标方程回答。'

'解复合三角函数。42sin（x-π/6）-1=0（0≤x≤π）时，解得x=π/3, π'

'给定连立不等式表示的区域是曲线 y=sin x 和直线 y=t-x 的共有点的 x 坐标为 α，使 sin α=t-α 且 0<α<t。这时 V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x+1/3 π sin^2 α·(t-α)。从 (1) 推导出 V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x + 1/3 π sin^3 α。'

'设33θ为实数，n为整数。当z=sinθ+i*cosθ时，用复数zn的实部和虚部表示为cos(nθ)和sin(nθ)。'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9，所以 (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'由 cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ 推导出 r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1，并用 x = r cos θ, y = r sin θ 表示'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) f′(t)=0 令 sin(t−π/4)=0 则 t−π/4>−π/4 所以 t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'

'当函数 y 使用参数 θ 表示为 x=1-cosθ, y=θ-sinθ 时'

'当0 ≤ θ ≤ π时，cos(θ/2) ≥ 0。当0 ≤ θ ≤ π/2时，cos(θ) ≥ 0。当π/2 ≤ θ ≤ π时，cos(θ) ≤ 0。同时，cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2))。'

'三角函数'

'求解以下值。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，求解以下方程。并找出其一般解。 (1) sin θ = √3/2'

'请展示满足以下条件，并求解cos 36度的值：(1) 当θ=36度时，sin 3θ=sin 2θ'

'证明下列等式。'

'综合练习第2部数学 II第4章三角函数'

'[ ]内的最大和最小值, 以及对应的x值。'

'求解给定函数的最大值和最小值。并找到对应的 θ 值。其中，要求 1620 ≤ θ ≤ π。 (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

''

'证明等式 \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \。'

''

'确定常数a的值，使函数y=2sin3x+cos2x-2sinx+a的最小值的绝对值等于最大值。'

'使用加法定理计算以下值。'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [练习 \\( 156(2) \\) ] 的一般解是'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

''

'令 f(x)=x^{3}-9 x^{2}+15 x+7。'

'如何记忆加法定理、倍角与半角公式？'

'请练习绘制以下函数的图形，并求其周期。'

'证明当正实数 $\\alpha, \eta, \\gamma$ 满足 $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$ 时, $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ 的值是恒定的。'

'sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ的解法'

'1. 正弦加法定理：\\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. 余弦加法定理：\\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. 正切加法定理：\\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) 当 \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \ 时，求 \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \ 的值。'

'求解角度 $\\theta$ 的三角函数。'

'计算以下表达式。'

'使用加法定理来求解以下值。'

'详细译规 164 三角函数的最大、最小值是(5)…计算合成函数2\n在\ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2} \的时候，求出函数 \ y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ 的最大值和最小值。再考虑\ \\theta \ 时的值。\n[类似函数]\n\ \\u89d2 \ 基本 162、163十分重要 \ 165> \\n\n以前页面的关键示例163为例，利用条件 \ \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ 进行推导并没有太大帮助。这里，由于 \ \\sin ^{2} \\theta, \\sin \\theta \\cos \\theta, \\cos ^{2} \\theta \ 以及 \ \\sin \\theta \ 和 \ \\cos \\theta \ 的两次乘积形成了 \ \\sin \\theta \ 和 \ \\cos \\theta \ 的两倍多项式(二次的同倍式)形式，所以，通过半角和倍角的公式，\n\\n\\sin ^{2} \\theta=\\frac{1-\\cos 2 \\theta}{2}, \u3000 \\sin \\theta \\cos \\theta=\\frac{\\sin 2 \\theta}{2}, \u3000 \\cos ^{2} \\theta=\\frac{1+\\cos 2 \\theta}{2}\n\\n\n根据这些关系式，右侧可表示为 \ \\sin 2 \\theta \ 和 \ \\cos 2 \\theta \ 这两者之和。在获得这个和的基础上，可以通过三角函数的合成，以 \\( p \\sin (2 \\theta+\\alpha)+q \\) 的形式进行变换。\n另外由于 \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \ 的二次同倍角式，可表示为 \ 2 \\theta \ 的三角函数表达。\n对于同周期的11次项可合成\nHART\n\ \\sin \ 和 \ \\cos \ 的和的22次项可合成为 \ 2 \\theta \\n\n解答\n\\[\n\egin{array}{l}\ny= \\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \\\\= \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\sin 2 \\theta+\\frac{1}{2}(1+\\cos 2 \\theta) \\\\= \\frac{1}{2}(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta+\\cos 2 \\theta)+\\frac{1}{2} \\\\= \\sin \\left(2 \\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)+\\frac{1}{2} \\\\0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2} \\text { 的时候, } \\\\=\\frac{\\pi}{6} \\leqq 2 \\theta+\\frac{\\pi}{6} \\leqq 2 \\cdot \\frac{\\pi}{2}+\\frac{\\pi}{6}\n\\end{array}\n\\]'

'如何解决方程式sin aθ=sin bθ，sin aθ=cos bθ的问题'

'当θ为以下值时，求sinθ，cosθ，tanθ的值。'

'(3) 当正实数 $\\alpha, \eta, \\gamma$ 满足 $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$ 时，证明 $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ 的值是恒定的。'

'弧度和三角函数 弧度'

'练习求以下值。'

'在0 ≤ θ < 2π的條件下解方程。並找出一般解。'

'当n为自然数，θ为实数时，请回答以下问题。(1)证明cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0。'

'请说明偶函数和奇函数的定积分性质。'

'27 三角函数的合成'

'4周期函数\n对于函数 \\( f(x) \\)，存在非零常数 \ p \，使得等式 \\( f(x+p)=f(x) \\) 对于任何 \ x \ 的值都成立时，称 \\( f(x) \\) 为以 \ p \ 为周期的周期函数。在这种情况下，由于 \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\)，所以 \ 2p, 3p, \\cdots \\cdots \ 也会成为周期，周期函数的周期有无限多个。\n\n问题：计算函数 \\( y = \\cos(5\\theta) \\) 的周期。'

'解下列方程和不等式。'

'求解三角不等式'

'解出下列方程。并找出其一般解。(4) sinθ=-1'

'三角函数的性质，图形'

''

'练习画出以下函数的图形。同时，求出它们的周期。'

'(4) 由方程 $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$, 得 $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$, 且 $\\cos \\theta \\neq 0$, 因此 $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, 整理得 $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$, 所以 $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$, 因为 $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$, 所以总是 $\\cos \\theta-2<0$. 于是 $2 \\cos \\theta+1=0$, 即 $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$, 因为 $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$, 所以 $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'