高级函数 - 微积分和积分基础

'大一阶段的"微积分"课程的目的是什么？'

'中点是2点的平均，重心是3点的平均。S是线段AB的1:2外分点。'

'练习82\n找到满足以下条件的函数p(x)和q(x)。\n- p(x)的导数为3\n- p(0) = 3\n- q(x)的导数为4x + k\n- q(0) = 2\n另外，找到满足q(x) = f(x)g(x)为二次函数，且p(x) = f(x) + g(x)为一次函数的函数f(x)和g(x)。并找到相应的k值。'

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'[2]给定条件为 $2-x<x<2+x$ 即当 $x>1$ 时'

'对于满足f(0)=1、g(0)=2的两个多项式f(x)和g(x)，令p(x)=f(x)+g(x)，q(x)=f(x)g(x)。'

'请调查函数的极值。根据以下定义确定最大值或最小值：1. 如果 f(x) 在 x=a 附近时 f(a) 达到最大值。2.如果 f(x) 在 x=a 附近时 f(a) 达到最小值。'

'求解以下表达式的值。'

"(2) 从 y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 推导得出 y' = 3 x^{2} - 4 x - 1 当 x = 1 时 y' = -2 因此，切线ℓ的方程为 y = -2(x - 1) 根据 x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1) 可以得出 x(x - 1)^{2}=0，因此 x=0,1"

'求函数$f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t$在$0 \\leqq x \\leqq 2$范围内的最大值和最小值。'

'用x表示定积分\\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\)。'

'求函数h(x)=2x^2-x+3的一次导数。'

'定积分和体积\n一个立体，体积为V，介于两个平行平面\\\alpha, \eta\之间。垂直于\\\alpha, \eta\的直线取为\x\轴，与\\\alpha, \eta\的交点坐标分别为\a, b\。另外，取\a \\leqq x \\leqq b\，在与\x\轴垂直且交点坐标为\x\的平面上切割这个立体得到的截面积为\\(S(x)\\)，则体积\V\可以表示为下面的定积分。\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{其中}a < b \\]'

'有一个球形橡皮气球，半径r每秒以0.1cm的速度扩张。假设从半径为1cm开始膨胀，求半径达到3cm时气球体积V关于时间t的变化率。'

'根据极值条件确定函数'

'练习 85 |II| \ \\Rightarrow \ 本册 \ p .340 \'

'求球面积的变化率。(1)设球t分钟后的半径为r cm。根据条件，r=t+10，所以S=4πr^2=4π(t+10)^2。因此，dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'

'(2) $f(x)=2 x+\\int_{0}^{1}(x+t) f(t) d t$'

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'通过增减函数或使用图形，可以找到最大值和最小值，或者确定方程式的实数解个数。'

'找到满足等式 $\\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1$ 的函数 $f(x)$ 和常数 $a$ 的值。'

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'设a，b为常数。证明以下不等式：\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'

'请用提供的变量对以下函数进行微分。'

'示例：当满足四个不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10 时，求 x + y 的最大值，最小值，以及对应的 x, y 值。'

'发展学习 发展 187 4次函数的极值和图表'

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'用给定的变量对以下函数进行微分。'

'让我们更深入地理解期望值、方差和标准偏差。'

'微分法'

'根据定义求函数 f(x)=x^{2}-6 x+7 在 x=a 处的导数。另外，找出使导数为2的 a 的值。'

'求解以下不定积分。'

'找出满足等式 \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\) 的函数 \\( f(x) \\) 和常数 \ a \ 的值。'

'求以下函数的导数。 (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'

'求出满足以下条件的二次函数 f(x)。'

'求解以下不定积分。其中，（3）中的α是一个常数。'

'切线方程：求切线方程。曲线y=f(x)上点A(a, f(a))处的切线方程是什么？'

'根据定义，求以下函数的导数。 (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'

'求以下函数的导数并求出在 x=2 处的导数。'

'通过最大值和最小值的条件确定三次函数的系数'

'根据“STEP into整理”问题类型，清楚地总结了如何区分使用定理和公式。可用于公式的确认和整理。'

'详细解释了需要更多思考能力的「放大」题目的解题方法。'

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'将给定的函数 S(t) 定义为 S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x。找出 t 在 0 ≤ t ≤ 1 范围内的最大值和最小值，以及对应的 t 值。'

'求下列定积分。'

'積分法'

'发展学习发展185二次函数图的切线'

'以 r 为底、h 为高的圆锥体积为 V。将 V 视为 h 的函数，求在 h=3 时的导数。'

'用给定的变量对以下函数进行微分。'

'在解决基本示例和标准示例问题后，应该如何进一步加深理解？'

"设多项式f(x)的等式f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1)成立。回答以下问题。"

'求导函数及其计算基本 173 对除 x 以外的变量微分'

'发展学习 发展188 3次函数具有极值的条件'

'找到满足等式 f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t 的函数 f(x)。'

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'请计算两条曲线之间的面积。'

'求下列定积分。'

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"设 F(x) 为函数 f(x) 的原函数，则满足以下条件 [1]，[2]。请计算 f'(x) 和 f(x)。其中 x > 0。[1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"

'定义域和增减解析'

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'请求以下不定积分。'

"函数 f(x) 在 x>-2 上具有连续的二阶导数 f''(x)。而且在 x>0 时，满足 f(x)>0 且 f'(x)>0，对于任意正数 t，曲线 y=f(x) 在点 (t, f(t)) 处的切线与 x 轴的交点 P 的 x 坐标等于 -∫0^t f(x) dx。"

'请从面积确定函数的系数。'

'求下列不定积分。'

'请说明函数 f(x) 在 x=a 处可微的定义。'

"设函数 f(x)=x^(1/3) (x>0)。分别使用以下两种方法求导函数 f'(x)。"

"当函数 f(x) 满足 f(0)=0, f'(x)=x cos x 时，请回答以下问题：(1) 求 f(x)。(2) 求 f(x) 在 0 <= x <= π 的最大值。"

'在-2≤x≤2的范围内，找到函数f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt的最大值和最小值，以及对应的x值。'

'求下列不定积分。\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'

'证明对于所有实数x，f(x)>0是背离法'

'求通项公式。'

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'要处理两个变量 a，b 的不等式，可以考虑以下方法。'

'求函数y=x/√(4+3x^2)的导数。[宫崎大]'

'在体积为√2/3的直圆锥中，求直圆锥的侧面积的最小值。并找出使其最小的直圆锥底面圆的半径和高度。'

'求下列不定积分。'

'求下列不定积分。'

'描述点P沿直线运动的坐标x在时间t的函数x = f(t)。然后回答以下问题。'

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'请计算在坐标空间中旋转体的体积（1）。'

'对于在某个区间内可微的函数y=f(x)，当x的值增加时，切线的斜率随之增加时，函数曲线y=f(x)在该区间被定义为下凸，当切线的斜率减小时，函数曲线y=f(x)在该区间被定义为上凸，但实际的定义如下：当函数f(x)满足在某个区间内包含任意不同的实数x_{1}、x_{2}以及s+t=1，s ≥ 0，t ≥ 0的任意实数s、t时有f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2})成立时，f(x)被定义为下凸，当f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2})成立时，f(x)被定义为上凸。在定义域内为下凸的函数被称为凸函数，而在上凸的函数则被称为凹函数。'

'请计算水的排放量和积分。'

'请对以下函数进行微分。 (1) y = (x ^ 2 + 1) ^ 3'

'请解释根据定义计算导数的方法。'

'请解释积・商的微分法则。'

'使用部分积分法求解以下定积分。'

'求下列不定积分。'

'(1) \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x'

'求曲线的切线和旋转体的体积。'

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'请对以下函数进行微分。'

'求下列不定积分。'

"当 f(x)=(x-1)^2 Q(x)（其中 Q(x) 为多项式）时，证明 f'(x) 在 x=1 处可被整除。"

"请说明导数的定义和特性。另外，请给出函数 f(x) 的导数 f'(x) 的定义式。"

'求解以下不定积分。'

'求下列不定积分。'

'根据导数的定义，对以下函数进行微分。(附加题)'

'求解以下不定积分。'

'当 x, y 是实数时，求 x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 的最小值，并求出此时的 x, y 的值。'

'包含相同物品的循环排列和置换排列'

'确定常数a的值，使抛物线y=x^{2}-ax+a+1与x轴相切。同时，求出切点的坐标。'

'必要条件和充分条件回顾'

'抛物线y=3x^2-6x+5经过怎样的平移可以与抛物线y=3x^2+9x重合?'

'在图形移动时的函数的最大值和最小值'

'当定义域为整个域时，函数的最大值和最小值是多少？'

'二元函数的最大值和最小值'

'当 x=0 时最大值为 0 , x=2 时最小值为 8(a+1)'

'将a设为常数，求函数f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x的最小值m(a)。'

'[3] 通过三个点(1,3),(2,5),(3,9)的图形\n假设所求二次函数为y=ax^{2}+bx+c\n由点(1,3)可得 3=a*1^{2}+b*1+c\n由点(2,5)可得 5=a*2^{2}+b*2+c\n由点(3,9)可得 9=a*3^{2}+b*3+c\n解这个联立方程组，就能求得a, b, c的值，确定二次函数。'

'请解释命题及其逆否和逆否命题之间的关系，并找出以下命题S的逆否/逆否/逆否： 命题S:“如果x是偶数，则x可以被2整除”'

'求下列函数的极值。'

"(2)令y'= -4x - 8= -4(x + 2), y'= 0, 则x= -2时y的增减表如右。 因此, y 在x= -2处取得极大值-4。"

'对于函数 $f(x)=x^{3}+\x0crac{3}{2} x^{2}-6 x$，回答以下问题。'

'求函数值的变化'

'设 f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1。证明曲线 y = f(x) 是关于曲线上的点 A(2,3) 对称的。'

'求解数值a，使得曲线y=x^{3}+x^{2}和直线y=a^{2}(x+1)所围成的两个部分的面积相等。要求a的值满足0<a<1。'

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"(2) y'=3 x^2+2 x-1=(x+1)(3x-1) y'=0，所以 x=-1，1/3 时 y 的增减表如下。因此，y 在 x=-1 处达到极大值，在 x=1/3 处达到极小值。"

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'找到通过点（4，-1），（6，3），（-3，0）的圆的方程式。'

'一个边长为1厘米的立方体，每秒边长增加1毫米。求10秒后立方体的表面积和体积的变化率（cm²/s，cm³/s）。'

'曲线y = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2与x轴的交点的x坐标是，方程2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0的解。 P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2，因此P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0，因此P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1) P(x) = 0解为x = 1,2,-1/2，因此，曲线如右图所示，所求面积S为S = ∫（-1/2到1）（2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2）dx + ∫（1到2）（-（2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2））dx = [x ^ 4/2-5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x]（-1/2至1）-[x ^ 4/2-5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x]（1至2）=2（1/2-5/3 + 1/2 + 2）-（2 ^ 4/2-5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2）-（1/2（-1/2）^ 4-5/3（-1/2）^ 3 + 1/2（-1/2）^ 2 + 2 *（-1/2））= 8/3-2/3-（- 61/96）= 253/96'

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'数学II'

'求该函数的极值。并画出其图形。(1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'

'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { （1） } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'

'给定两个二次函数 f(x), g(x), 满足 f(0)-g(0)=1, 对x求导后的积分 {0}^{x}{f(t)+g(t)} d t=5 x^{2}+11 x+13, {0}^{x} 对t求导的 {f(t)-g(t)} d t=x^{2}+x, 求解 f(x) 和 g(x)。'

'求函数f(x)=∫(t^2-2t-3)dt在-3≤x≤3范围内可能的取值范围。'

'求曲线y=x^{3}-4x的斜率为-1的切线。'

'对于一端移动的区间例题190，假设a>0。对于0≤x≤a的函数y=-x³+3x²，求：\n(1) 求最大值。\n(2) 求最小值。'

'在函数中，当x从1变化到1+h时，使平均变化率为4。'

'補充例题178：计算导数（2）\n使用第278页的公式，求以下函数的导数。\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\n第278页“STEP UP”'

'利用P. 278的公式，对以下函数进行微分。'

'求函数f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt在区间[-3, 3]内可能的取值范围。'

'求以下函数的导数，并计算 x=0,1 处的导数。(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'

'给定数列 {an}，其中 a1=2，an+1=3an-n^2+2n。通过考虑使数列 {an}-g(n) 成为公比为3的等比数列的二次函数 g(n)，找出 an 的关于 n 的表达式。'

'确定常数a，b，c的值，使得函数f(x)=ax^2+bx+c满足以下三个条件。'

'请找到满足条件的函数 f(n)：b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'

'297基本示例189从最大值和最小值确定系数'

None

'关于求解共同问题的问题'

'当 x ≥ 0，y ≥ 0 时，求函数 f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 的最小值。同时求出此时的 x，y 值。'

'求解以下不定积分：\\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'

'计算以下定积分：\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\n令 x = a - t，则 -d x = dt。x 和 t 对应如下：\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n 因此，\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} dt = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\frac{a}{2} - b \\]'

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'求具有定积分表示的函数的极值（1）\n 当a，b在实数范围内变化时，求定积分$\\int_{-\\pi}^{\\pi} (x-a \\sin x - b \\cos x)^{2} dx$的最小值。并求出此时的a，b的值。\n[信州大]'

'練習 101 ⇒ 本冊 p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'

'求以下函数的极值。'

'在本节中学到的内容》 除了多项式表示的函数之外，一般函数虽然可以求导，但积分通常不那么容易。在本章中，我们将根据第 3 章的求导法则等，学习更多函数的积分法。在积分法中，即使是有理函数的不定积分有时也会超出高中的范围，不能总是说任何函数都可以积分，但可以积分的函数范围要比数学II广得多。'

'求解以下不定积分。'

'求以下函数的导数。'

'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { 因此 } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'

'求下列不定积分。'

'求解以下不定积分。'

'(2) 计算\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ 令} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{从而 } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}。'

'施瓦茨不等式'

"(x是与t无关的变量)∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"

'第4章 微分法的应用\n19 速度和加速度, 近似式\n研究/麦克劳林展开·欧拉公式\n练习问题'

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'求下列不定积分。'

'假设点 P 沿数轴移动，其在时刻 t 的速度为 12-6t。请计算点 P 在 t=0 到 t=5 期间移动的距离。'

'練習對以下函數進行微分。'

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'计算第40列定积分'

"函数的增加和减少\n在数学II中，我们通过曲线y=f(x)的切线来直观地思考。在数学II中，我们可以利用平均值定理进行理论证明。\n假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可微。\n1. 如果在开区间(a, b)上始终有f'（x）> 0，则f(x)在闭区间[a, b]上单调递增。\n2. 如果在开区间(a, b)上始终有f'（x）< 0，则f(x)在闭区间[a, b]上单调递减。\n3. 如果在开区间(a, b)上始终有f'（x）= 0，则f(x)在闭区间[a, b]上为常数。"

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'请说明如何求介质变量表示的函数的导数。'

'求解以下不定积分。'

'<第六章>积分法的应用'

'求解以下不定积分'

"给定时刻 t 的坐标函数为坐标点 P(x, y)，在点 P 引 PQ、PR 到 x 轴、y 轴的垂线，时刻 t 时，Q 的速度为 dx/dt=f'(t)，R 的速度为 dy/dt=g'(t)。 以这些作为分量的向量 v，在时刻 t 被称为点 P 的速度或速度向量。v 的大小 |v| 被称为速度。"

"由于三次函数f(x)在x=1和x=2处取极值，所以f'(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0)。又如g(x)=3x/(2√(x^2+1))+1，则g'(x)=3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1))。y=f(x)和y=g(x)在点(0,1)有共同的切线的条件是f'(0)=g'(0)。"

'求满足以下条件的函数f(x)的定积分：\n\n1. f(x)是奇函数y，始终满足f(-x)=-f(x)。\n2. 定积分范围是[-a, a]。'

'( )'

'计算以下广义积分。\\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'

'练习38 ↠ 本册第341页 h(x)=f(x)-g(x)。考虑区间 [a, b] 上连续的函数 f(x), g(x)。例如，假设 f(x) 在 x=x 处最大，在 x=x^2 处最小， g(x) 在 x=x^3 处最大，在 x=x^4 处最小。'

'求下列定积分的值 \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'

'数学 II\n\n[问题1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx。\n(1) 当 m - n ≠ 0 即 m ≠ n 时\n\n通过转换 sin(mx)cos(nx) 来解决问题：\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx 进行计算。\n\n当 m+n 为偶数时，I 是多少？\n当 m+n 为奇数时，I 是多少？\n\n(2) 当 m - n = 0 即 m = n 时\n\n此时，I 是多少？'

'求解以下不定积分。'

'求下列不定积分。'

'考虑变量转换 x, y，给出以下方程：\\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'

'由 \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\) 可知\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'

'请检查曲线y=\\frac{4x}{x^{2}+1}的凹凸性，并找出拐点。'

'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'

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'当660<t<3时, 联立不等式{0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y}表示的区域围绕x轴旋转得到的立体体积为V(t). 记 dV(t)/dt=π/4 时的t值和对应的V(t)值。'

'求解以下积分。'

'泰勒定理'

'使用公式（5）计算以下积分。'

'数学 I'

'练习65册第394页'

'求下列定积分。'

'计算被正态分布曲线围成的区域面积（高斯积分）'

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'求下列不定积分。这里，a是一个常数。'

'求以下不定积分。其中，(4)中的 x 与 t 无关。'

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'在区间 c ≤ y ≤ d 时，始终有 f(y) ≥ 0。'

'求定数a的值范围，使得函数f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5具有极值。'

'求解以下函数的极值，并画出其大意图。(1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'

'找出哪些二次函数 $f(x)$ 满足 $\\int_{0}^{1} f(x) dx=\\frac{1}{2}\\{f(\\alpha)+f(\eta)\\}$，并确定常数 $\\alpha, \eta(\\alpha<\eta)$ 的值。'

'施瓦茨不等式'

'求出以下不定积分。'

'请解释函数的增减和极大值/极小值。'

'设a为正常数。证明抛物线y=x^{2}+a上任意点P处的切线与抛物线y=x^{2}围成的图形的面积是恒定的，与点P的位置无关，并求出这个恒定值。'

''

'求出以下函数的极值，并绘制其图形。'

'从数学 \ \\Pi \开始，(2) \\( \\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \\)得到\\[ \\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\]，对(2)两边关于 \ x \ 微分得到 \\( f(x)=3 x^{2}-2 \\)。另外，在(2)中取 \ x=a \，则左边变为0，即\ 0=a^{3}-2 a+1 \，所以 \\( (a-1)\\left(a^{2}+a-1\\right)=0 \\)，因此 \ a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \，因此 \\( f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \\) 。\\[ \egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array} \\]\ \\leftarrow \ 利用因式定理。'

''

'找到满足下列等式的函数 f(x) 和常数 a 的值：(1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'

'找出满足以下等式的函数 f(x)。'

'求下列方程的最大值和最小值。同时求出对应的 x 值。'

'请用常数 k 和 l 解释不定积分的性质。'

'套本 16 未定係数的确定 (2) [数值代入法]'

'请说明如何求极值。'

'求函数y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5在x=1处的导数。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'不定积分2x^n是∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (其中 n 为0或正整数)'

'求曲线y = x^2和y = 2x之间的面积。'

'因此，當直線（2）通過點（10，50）時，直線（2）的y截距l/3的值將達到最大。此時，l也將達到最大。因此，利潤x+3y在（x，y）=（10，50）時達到最大。'

'求f(x)和g(x)，满足给定的函数f(x)和g(x)'

'求解下列定积分。'

''

'请找出以下函数的极值，并绘制出其图形。'

"找出满足条件的三次函数f(x)，使得f'(1)=f'(-1)=1，f(1)=0，f(-1)=2。"

''

'设a为非零常数，A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx，B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx。求出A和B的值。'

'证明不等式和极限（使用夹逼原理）'

'不定积分的换元积分法和分部积分法'

'求通过点 (1,0) 的曲线 y=f(x) 上具有斜率为 x√x 的切线的点 (x, y) 处的可微函数 f(x)。'

'关于由下列方程定义的x的函数y，用x和y分别表示dy/dx和d^2y/dx^2。'

'设a，b为实数。求积分∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx在改变a，b的值时的最小值，以及此时的a，b的值。'

'请计算以下函数的导数。'

'请解释以下近似式：'

'(2) 令Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx（其中 n 是一个自然数）。当 n >= 3 时，用 n, Iₙ-2 表示 Iₙ。并求解 I₃, I₄。'

'(3) 使用积和公式解答 $\\int \\sin 3x \\sin 2x dx = -\\frac{1}{2} \\int (\\cos 5x - \\cos x) dx$。'

'求出以下函数的极值。'

'求第二次导数和第三次导数。'

'求f(ax+b)的不定积分。'

'求不定积分的基本函数'

'请微分以下函数。'

'请计算导数。'

''

'求解以下函数的不定积分。'

''

"设函数f(x)的反函数为g(x)。当f(1)=2，f'(1)=2，f''(1)=3时，求g''(2)的值。"

'请检查函数的增减。(2) $$ y=\\frac{x^{3}}{x-2} $$'

'求函数y=x^{3}sqrt{1+x^{2}}的微分。'

'请分别对以下函数进行微分。'

"根据数学（4）（1）中的 f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy 得到 f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"

'求曲线 y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1 的拐点。'

'定义函数的导数。'

'利用上面的例子计算下面的定积分：\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'

'使用部分积分法求下列定积分。\\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (n为大于等于0的整数)'

'求定积分 \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \。'

'求不定积分。'

'对于偶函数 $f(x)$，计算 $\\int_{-a}^{a} f(x) dx$。其中，偶函数指满足条件 $f(-x) = f(x)$ 的函数。'

'对于奇函数 $f(x)$，求解 \\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\]。其中，奇函数是满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数。'

'请解释二阶近似式。'

'根据导数的定义，对以下函数进行微分。(1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'

'切线和法线的方程式\n曲线 \\( y=f(x) \\) 上的点 \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) 处的\n[1] 切线方程式是 \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] 当 \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\) 时\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'

'使用数学归纳法证明数列$a_{n}$满足$0<a_{n}<2 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$。'

'求以下函数的导数。'

'求解`∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`。'

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'平均值定理'

'求以下函数的导数。'

'求下列函数的导数。'

'求f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt（０≤ x ≤ 2π）的最大值及其对应的x值。'

'请比较函数 \ x^{p} \ 和 \\( x^{q}(0<p<q) \\) 的增长速度。'

'利用定积分和递推式来求解以下定积分。'

'求下列不定积分。'

'当曲线的方程式为F(x, y)=0或者以参数表示为x=f(t), y=g(t)时，过曲线上点(x1, y1)的切线方程为y-y1=m(x-x1)，其中m是斜率，可通过取导数dy/dx在(x=x1, y=y1)处得到。'

'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'

"若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)上可微，则存在实数c使得[f(b)-f(a)]/[b-a]=f'(c)，其中a < c < b。"

'求解下列定积分。(2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'

'求下列不定积分。'

'请使用微分法公式来解释如何求积分。'

'平面上点的运动'

'求以下不定积分。'

'请分别对以下函数求导。在此题中，(6)中的a为常数。'

'求解不定积分 \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \。'

'证明连续函数f(x)满足对所有实数x, f(π-x)=f(x)时,积分 0 到 π (x-π/2) f(x)dx=0。'

'求函数的二阶导数。(1) y=x^3−3x^2+2x−1'

'求解以下不定积分。'

'使用替换积分法解决以下积分。'

'对于自然数 n，记S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx，T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1)。'

'求曲线y=f(x)和y=g(x)之间，被直线x=a和x=b围成的部分的面积。'

'(1) 使用半角公式解决 $\\int \\cos^{2} 2x dx=\\int \\frac{1+\\cos 4x}{2} dx$。'

'请检查以下函数的增减：'

'假设每年有东京都外居住的人口的三分之一迁入东京都，住在东京都的人口的三分之一迁出东京都。设第n年的东京都外人口为an，东京都内人口为bn，求lim(n→∞)an/bn。假设东京都内和外的总人口之和在任何年份都是固定的。'

'(2) 计算定积分 \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\)。'

'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ 使用三倍角公式来求解。'

'当函数y(x)具有二阶导数y^{\\prime \\prime}(x)，且满足x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1时，求y^{\\prime \\prime}(0)。'

'(4) $\\int_{1}^{e} \\frac{\\log x}{x} d x$'

'根据导数的定义，对以下函数进行微分。'

'请对函数y=x^3√(1+x^2)进行微分。'

'练习：找出由以下曲线或直线围成的区域绕 y 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V。'

'逆函数等于原函数的条件是$f^{-1}(x)=f(x)$'

'求下列定积分值。'

'求函数的二阶导数。(1) y=√[3]{x}'

'综合函数 \\( f(x) \\) 对于任意实数 \ x, y \ 满足条件 \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\)，且在 \ x=0 \ 处可微分且 \\( f^{\\prime}(0)=1 \\)。'

'数学 (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx 平方根的解答中的分母被约掉后...'

'求下列函数的极值。'

'求解定积分 \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \。'

'证明以下等式：\ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'

'求函数f（x）=∫₀ˣ（1-t²）eˣᵗ dt的极值。[东京商船大]'

'求定积分 \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\)。'

"设F'(t) = 1/(t²+1) "

'假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且在区间 (a, b) 可微。'

'谁发现了微积分学？'

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'让我们尝试通过垂直于y轴的平面切割来计算体积。在y轴上取点Q，使OQ=y，将截面积记为S(y)，然后计算 V= \\int_{0}^{a} S(y) dy。'

'请按照给定定义计算以下函数的导数。'

'求下列函数的极值。'

'(2) 通过将(1)中得到的结果视为x的函数并进行微分，求得当x不等于1时，求和1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)。'

'求f（ax+b）的不定积分。'

'如何求逆函数？'

'求解以下定积分。'

'(1) 使用（1），求下列定积分。\n(一) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'

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'根据定义求以下函数的导数。'

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'求不定积分：\ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'

'求下列不定积分。'

'求下列不定积分。'

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'求以下函数的导数。这里，a是常数。'

"通过置换积分法求解定积分 ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx。"

"基本例题53导函数和恒等式\n将f(x)视为2次以上的多项式。\n(1)将f(x)除以(x-a)^2的余数表示为a, f(a), f'(a)。\n(2)求f(x)可以被(x-a)^2整除的条件。"

'求解定积分: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \'

'13 \\n(1)\\n\\\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\\\'

'求以下函数的导数。'

'求合成函数 h(x)=f(g(x))的导数。'

'求解以下函数的极值。(1),(3) 日本女子大'

'从想成为的自己出发，逆向规划。'

'凹凸曲线和拐点'

'(1) 求定积分 \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left|\\cos x-\\frac{1}{2}\\right| dx \。'

'求下列不定积分。'

'利用（1）求解下列定积分。'

'求下列定积分。'

'求以下函数的极值。'

''

'求解以下不定积分。'

'找到将积分值 \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) 最小化的实数 \ k \ 的值，以及此时的积分值。'

'使用副变量表示法计算 dy/dx。'

''

'求以下函数的微分。'

"对于常数a，b，c，令f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x}。当对所有实数x，f'(x)=f(x)+x e^{-x}时，求出a，b，c。"

'当无穷级数收敛时，将其和记为 f(x)。绘制函数 y=f(x) 的图表，并研究其连续性。'

'将1+x^{2}=u代入，得2xdx=du，因此∫x cos（1+x^{2}）dx=1/2∫cosudu=1/2sinu+C=1/2sin（1+x^{2}）+C'

'请将以下函数求导。'

'为什么古希腊没有发现微积分学？'

'利用第二阶导数寻找以下函数的极值。'

'证明当 y=cos x 时，y的第n次导数为cos(x+nπ/2)。'

'如果要求分数函数的不定积分，当分子的次数比分母高时，应该怎么进行解法？当分母为多个因子相乘的形式时，应该如何处理？'

'求以下函数的导数。'

'请对以下函数进行微分。(1) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}'

'使用导数的公式计算以下函数的导数。'

'请解决以下问题：计算区间0到2上的t^3绝对值的定积分。'

'求下列函数的导数。'

'求下列不定积分：\n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \'

'数列 {an},{bn} 收敛，且 lim{n→∞} an=α, lim{n→∞} bn=β。说明以下性质: 1) 常数倍 lim{n→∞} k an=k α，其中 k 是常数 2) 和 lim{n→∞}(an+bn)=α+β; 差 lim{n→∞}(an-bn)=α-β 3) lim{n→∞}(k an+l bn)=k α+l β，其中 k, l 是常数 4) 积 lim{n→∞} αn bn=α β 5) 商 lim{n→∞} an/bn=α/β，其中 β ≠ 0。'

'求不定积分。'

'求以下函数的导数。\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}'

'请计算积分示例题 134（利用等式）'

'为以下函数创建一阶近似式。'

'请说明函数具有极值的条件。'

'请分别对给定函数进行 x 的微分。'

'求以下函数的导数。'

'求定积分。'

'偶函数·奇函数的定积分f（x）是'

'请对以下函数进行微分。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

None

'求函数 f(x) 和区间的平均值定理条件下的 c 值。'

'求下列函数的导数。'

'求下列定积分。'

'求下列不定积分。'

'检查下列曲线的凹凸性，并找出拐点。'

'请按照以下顺序列举应用积分法的第6章练习题： 28 面积 29 体积 曲线长度 30 速度和距离 31 高级微分方程 32 利用高斯积分求解被正态分布曲线包围的部分的面积。'

'设a为实数。为了使函数 f(x)=ax+cosx+12sin2x 不具有极值，确定a的取值范围。'

'使用二阶导数，找出函数 y=x^{3}-3 x+1 的极值。'

'求第3次導數。'

'您可以如何利用解说视频？'

'求解以下不定积分。'

'确定常数a、b、c的值，当f(x)=a+\\frac{b}{2x-1}的反函数是g(x)=c+\\frac{2}{x-1}。'

'(1)利用（1）计算下列定积分。 （イ）\ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \'

'求解以下函数的极值。'

'计算以下不定积分。\ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2x}{3+\\cos^2 x} dx \'

'当 \ x^{2}-y^{2}=a^{2} \ 时，用 \ x \ 和 \ y \ 表示 \ \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \。其中， \ a \ 是常数。'

'求下列不定积分。'

'解决棘手问题时有哪些有用的思维模式？这对学习有什么帮助？'

命题「住在东京 $\Longrightarrow$ 住在日本」为真，那么在这种情况下，「住在东京」和「住在日本」的关系可以如何用充分条件和必要条件来表达？

拓展 85 | 有条件的最大值和最小值(1)

在 $x \geqq 0, y \geqq 0, 3x + 2y = 1$ 时，求 $3x^2 + 4y^2$ 的最大值和最小值。

将抛物线 $y=3 x^{2}+6 x+2$ 沿 $x$ 轴方向平移 2 个单位，沿 $y$ 轴方向平移 -1 个单位后，求平移后的抛物线的方程，且方程形式为 $y=a x^{2}+b x+c$。

标准例题: 需要使用多个知识等稍微应用能力的问题。