高级函数 - 指数和对数函数

'数学 II\n261\n因此\n\\[\n\egin{aligned}\n& x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-m x-n \\n= & x^{4}-2(a+b) x^{3}+\\left\\{(a+b)^{2}+2 a b\\} x^{2}-2 a b(a+b) x+a^{2} b^{2}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\n比较两侧的系数\n\\[\n\egin{array}{l}\n2=-2(a+b) \\cdots \\cdots \\\\\n-m=-2 a b(a+b)\n\\end{array}\n\\]\n\\[-3=(a+b)^{2}+2 a b\\]\n(3), \ -n=a^{2} b^{2} \ \ \\qquad \\n根据 (1) \ a+b=-1 \\n由此和 (2) 得到 \ a b=-2 \\n\n将这些代入 (3), (4) 得到 \ m=4, \\quad n=-4 \\n\ a, b \ 满足二次方程 \ t^{2}+t-2=0 \ 的解 \ t=-2,1 \ 所以\n\a \\neq b\\n\n因此，所求直线的方程为 \ \\quad y=4 x-4 \\n(2) 由于 \ a<b \ 所以 \ \\quad a=-2, b=1 \\n在区间 \ -2 \\leqq x \\leqq 1 \ 上\n\x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2} \\geqq 4 x-4\\n\n因此\n\\[\egin{aligned}\nS= & \\int_{-2}^{1}\\left\\{\\left(x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}\\right)-(4 x-4)\\right\\} d x \\\\\n= & {\\left[\\frac{x^{5}}{5}+\\frac{x^{4}}{2}-x^{3}-2 x^{2}+4 x\\right]_{-2}^{1} } \\\\\n= & \\left(\\frac{1}{5}+\\frac{1}{2}-1-2+4\\right) \\\\\n& -\\left(-\\frac{32}{5}+8+8-8-8\\right)=\\frac{81}{10}\n\\end{aligned}\\]\n接触于 \ x=a, b \。 \\( \\Leftrightarrow f(x)-(m x+n)=0 \\) 在 \ x=a, b \ 处有重根。\n\n留待\n\\( \\int_{\\alpha}^{\eta}(x-\\alpha)^{2}(x-\eta)^{2} d x=\\frac{1}{30}(\eta-\\alpha)^{5} \\) 的证明 \ \\quad \ (本册 \ p .324 \ ) \\( \\unlhd f(x)=x^{2}(x-1)(x+3) \\) 由此，当 \\( f(x)=0 \\) 时，得到 \ x=-3,0,1 \ 所以，\\( y=f(x) \\) 的图像在 \\( f(x)=0 \\) 时，得到 \ x=-3,0,1 \ 所以，\\( y=f(x) \\) 的图像在 \ x \ 轴和 \ x=-3,1 \ 交点，在 \ x=0 \ 处接触。参考\n\\[\egin{aligned}\nS & =\\int_{-2}^{1}(x+2)^{2}(x-1)^{2} d x \\\\\n& =\\frac{1}{30}\\{1-(-2)\\}^{5}=\\frac{81}{10}\n\\end{aligned}\\]\n\\[\egin{aligned}\n(x-\\alpha)^{2}(x-\eta)^{2} & =(x-\\alpha)^{2}(x-\\alpha+\\alpha-\eta)^{2} \\\\\n& =(x-\\alpha)^{2}\\left\\{(x-\\alpha)^{2}+2(x-\\alpha)(\\alpha-\eta)+(\\alpha-\eta)^{2}\\right\\} \\\\\n& =(x-\\alpha)^{4}+2(\\alpha-\eta)(x-\\alpha)^{3}+(\\alpha-\eta)^{2}(x-\\alpha)^{2}\n\\end{aligned}\\]\n\\[\\text { 因此 } \egin{aligned}\n\\int_{\\alpha}^{\eta}(x-\\alpha)^{2}(x-\eta)^{2} d x & =\\left[\\frac{(x-\\alpha)^{5}}{5}+2(\\alpha-\eta) \\cdot \\frac{(x-\\alpha)^{4}}{4}+(\\alpha-\eta)^{2} \\cdot \\frac{(x-\\alpha)^{3}}{3}\\right]_{\\alpha}^{\eta} \\\\\n& =\\frac{(\eta-\\alpha)^{5}}{5}+\\frac{1}{2}(\\alpha-\eta)(\eta-\\alpha)^{4}+\\frac{1}{3}(\\alpha-\eta)^{2}(\eta-\\alpha)^{3} \\\\\n& =\\left(\\frac{1}{5}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}\\right)(\eta-\\alpha)^{5}=\\frac{1}{30}(\eta-\\alpha)^{5}\n\\end{aligned}\\]\n第 7 章\n习题\n廭\n习题\n(176 \\Rightarrow) 本册 \ p .325 \\n(1) \ x^{2}=\\frac{y}{\\sqrt{2}} \\n以 (1) 为例。\n代入 (1) 到 \ x^{2}+y^{2}=1 \ 得到\n\ \\frac{y}{\\sqrt{2}}+y^{2}=1 \ 所以 \ \\sqrt{2} y^{2}+y-\\sqrt{2}=0 \\n\n对左边进行因式分解得到\n\\( (y+\\sqrt{2})(\\sqrt{2} y-1)=0 \\)\n由 \ y=\\sqrt{2} x^{2} \\geqq 0 \ 得到 \ \\quad y=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\n从联立方程式中消去 \ x \。 如果想要消去 \ y \，则可得\n\\[x^{2}+\\left(\\sqrt{2} x^{2}\\right)^{2}=1\\]\n\n因此得到 \ 2 x^{4}+x^{2}-1=0 \\n\\( \\left(x^{2}+1\\right)\\left(2 x^{2}-1\\right)=0 \\)\n\ x^{2}+1>0 \ 所以 \ \\quad x^{2}=\\frac{1}{2} \\n因此 \ x= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} \'

'关于多项式f(x)，恒等式f(f(x))={f(x)}^{2}成立。求所有满足此条件的f(x)，其中f(x)始终不为零。'

'(3) 令首项为 $a$，公比为 $r(r>0)$，根据条件有\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\n(2) 由此可得 $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\n将 (1) 代入得到 $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\n因此\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\n进行因式分解可得 $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\n因此 $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\n由于 $r>0$，所以 $r^{3}=8$，即 $r=2$\n将 $r=2$ 代入 (1) 可得 $7 a=21$，所以 $a=3$\n因此，首项为 3，前 5 项的和为 $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$'

'记录对数函数y=log_a x的图像特征。'

'在点 (2, -2) 处的切线方程是 y - (-2) = -3(x - 2)，即 y = -3x + 4。2 直线 (1) 和 (2) 的交点的 x 坐标为 x = -3x + 4，因此所求面积记为 S，则 S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3。'

'当 x = -√a 时，函数取得极大值为 2a√a + b，当 x = √a 时，函数取得极小值为 -2a√a + b。'

''

''

'2条曲线的交点的x坐标是 x^3-3x^2+2x=ax(x-2) 的解。 x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2) 因此 x(x-1)(x-2)=ax(x-2)。因此 x(x-2)(x-1-a)=0。因此 x= 0,2, a+1。由于a>1，因此两条曲线的大致形状如右图所示，两个区域的面积 S1, S2 相等的条件是 S1=S2，换句话说 S1-S2=0，因此'

'求函数 y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1) 的最小值。'

'解方程式 \ \\log_{a} x = b \。其中 \ a \ 和 \ b \ 为常数，\ x \ 为变量。'

'考虑 x 的 4 次函数 f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x，其中 a、b 为实数。'

'求函数y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6在2 ≤ x ≤ 16范围内的最大值和最小值，以及相应的x值。'

'例题 152 多种函数的最大值和最小值（使用微分 2）（1）函数 f(x)=2^{3x}-3*2^{x} 的最小值及其对应的 x 值是多少？（2）函数 f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) 的最大值及其对应的 x 值是多少？'

'复利计算\n假设年利率为r，采用每年复利计算，求解以下内容：\n（1）使n年后的本利和为S日元时的本金T日元\n（2）每年年初存入P日元，经过n年后的本利合计为Sn日元'

'求函数f(x)的最小值。'

'例31 | 利用对数的积和幂的递推式'

'请绘制以下函数的图形。另外，请说明该函数与 \ y=\\log _{4} x \ 的位置关系。'

"数学 II -247 练习80 ⇒ 本册p.302 f'(x)=3x^2+2ax 因此，在点P(t, f(t))处的切线ℓ_t的方程是y-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(x-t) 当ℓ_t通过原点时-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(-t) 2t^3+at^2-b=0 整理得到2t^3+at^2-b=0 在三次函数的图表中，由于接点不同，接线也不同，因此方程(1)只需要有一个实数解。 现在，令g(t)=2t^3+at^2-b。 寻找使曲线y=g(t)和t轴有且仅有一个共享点的a，b的条件。 g'(t)=6t^2+2at=6t(t+a/3) 当g'(t)=0时，t=0,-a/3 [1] 当a=0时g'(t)=6t^2 ≥ 0 因此，g(t)=2t^3-b是单调递增的，因此无论b的值如何，曲线y=g(t)都和t轴有且仅有一个共享点。 [2] 当a≠0时 令0,-a/3中较小的为α，较大的为β，那么g(t)的增减表如下。 曲线y=g(t)和t轴有且仅有一个共享点的条件是，极大值和极小值都为正或都为负。 即g(0)g(-a/3) > 0 因为g(0)=-b，g(-a/3)=a^3/27 - b 所以-b(a^3/27 - b) > 0 即b(a^3/27 - b) < 0 因此b < 0且b < a^3/27或b > 0且b > a^3/27 因此所需条件是 当a=0时，b是所有实数 当a≠0时，b < 0且b < a^3/27或b > 0且b > a^3/27 因此，存在点(a, b)的区域如图所示，如右侧图中的斜线部分。 但是，请注意边界线仅包括原点，不包括其他点。"

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 时 x=-s, s [1] s>0 时 f(x) 的增减表如右所示。 (i) 0<s<2 时 0≤ x ≤ 2 在, |x|...|s|....|s|... f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = 递增 極大 & 递减 極小 & 递增 f(x) 是 x=s 时最小值 因此 g(s)=f(s)=s^3 / 3 - s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) s ≥ 2 时 0 ≤ x ≤ 2 在, f(x) 是 x=2 时最小值 因此 g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] s=0 时 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 因此 0 ≤ x ≤ 2 在, f(x) 是 x=0 时最小值 因此 g(0)=f(0)=0"

'使用不等式表示以下每组数字的大小。'

'解方程(1), 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'解决以下方程式和不等式。'

'底数转换公式'

'对数函数\n对数函数 \ y=\\log _{a} x \ 的性质和图像 \ a>0, a \\neq 1 \。\n(1) 定义域是所有正数，值域是所有实数\n(2) 点 \\( (1,0),(a, 1) \\) 在曲线上, \ y \ 轴是渐近线\n(3) 当 \ a>1 \ 时，随着 \ x \ 的增加，\ y \ 也增加\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\n当 \ 0<a<1 \ 时， \ x \ 的增加导致 \ y \ 的减少\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'简化下列表达式。'

'简化以下方程：\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'求函数y =9^ x-2 \\ cdot 3 ^ {x +1} +81(-3≤x≤3)的最大值和最小值。'

'请阐述常用对数的定义。'

'简化以下表达式。'

'简化以下表达式。'

'指数函数\n指数函数 \ y=a^{x} \ 的性质及其图像\n\ a>0, a \\neq 1 \。\n(1)定义域为实数全体，值域为正数全体\n(2)过点 \\( (0,1),(1, a) \\)，横轴为其渐近线\n(3) \ a>1 \ 时， \ x \ 增加则 \ y \ 也增加\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\n\ 0<a<1 \ 时， \ x \ 增加则 \ y \ 减少\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'解下列方程和不等式。'

'简化以下表达式。'

'求解符合等式 f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t 的函数 f(x)。将右边展开可得 f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a，将 \\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 中的 a, b 看作常数，因此 a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}，由此得到 a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t 可得 2 a-6 b-3=0，又由 b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1，所以 a+b+1=0（1），联立求解可得 a=-\\frac{3}{8}，b=-\\frac{5}{8}，进而得到 f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x 能看作一个常数。'

'请描述指数函数 y=a^{x} 的定义域和值域。'

'对数函数'

'求下列值。'

'求下列函数的最大值和最小值。'

'研究 y=a^x 的基本图形与 y=3^x 和 y=3^{-x} 的关系。'

'简化以下表达式。'

'对数及其性质\n对数的定义\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { 为定值。 } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'求下列不定积分。'

'考虑曲线C1：y=a e^{x}，C2：y=e^{-x}。 当常数a在范围1≤a≤4内变化时，将C1、C2和y轴围成的部分定义为D1，将C1、C2和直线x=log 1/2围成的部分定义为D2。 (1) 当D1的面积为1时，求a的值。(2) 求D1的面积和D2的面积之和的最小值以及此时的a值。'

'证明不等式（1）…使用微分（基本）'

"对于函数 f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x（其中 A、B 是常数），回答以下问题：(1) 求 f'(x)。(2) 用 f(x) 和 f'(x) 表示 f''(x)。(3) 求 ∫ f(x) dx。"

'求解下列不定积分。'

'著名函数及其相关极限\n函数 \ y=\\frac{\\log x}{x} \ 的极限是 \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \。'

'求解以下不定积分。(3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'证明当a > 0, b > 0时，不等式b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b)成立。'

'设\\( f(x)=-e^{x} \\)。对于实数\ b \，求通过点\\( (0, b) \\)且曲线\\( y=f(x) \\)的切线数量。可以使用\ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \。'

'求解以下定积分。$$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'对于实数a，b，c，F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1，f(x) = x^2 + cx + 1。同时，将复数平面上的单位圆周上的点1，-1剔除得到T。'

'对于常数k，求解0<x<2π范围内方程log(sin x+2)-k=0的实数解的数量。'

'如何绘制反思图形 使用微分法绘制图形的问题中的函数表达式有以下3种模式:'

'求逆函数和面积。'

'令n为任意正整数，设两个函数f(x), g(x)都是可微分n次的函数。[很大] (1) 求积f(x)g(x)的第4阶导数d^4/dx^4{f(x)g(x)}。 (2) 推测积f(x)g(x)的第n阶导数d^n/dx^n{f(x)g(x)}中f^(n-r)(x)g^(r)(x)的系数，并利用数学归纳法证明推测是正确的。这里r是不超过n的非负整数，f^(0)(x)=f(x)，g^(0)(x)=g(x)。 (3) 求函数h(x)=x^3e^x的第n阶导数h^(n)(x)。其中n≥4。'

'设a>0，b>0，并且f(x) = log ((x + a) / (b - x))，证明曲线y = f(x)关于其拐点对称。'

'求解以下不定积分。'

'求每个函数的逆函数。画出它们的图像。'

''

'函数值的变化，最大最小值，函数图'

'令 n 为整数。证明如下等式成立：其中，\ \\cos ^{0} x = 1 \，（4）\\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\)。\n （1）\\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\) \n （2）\\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\)（n \\geqq 1）\n （3）\ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \（n \\geqq 1）'

'如何以各种方法求解尴尬问题 \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ ？在重要的示例 141 (1) 中，我们假设 \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ 进行了求解，但除此之外还有其他许多方法。首先，让我们看看使用上一页指南中提到的方法，即令 \ x=\\tan \\theta \ 进行替换。'

''

'给定常数\ a \不为0，并且\ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \。求\ A, B \的值。'

'已知常数a，b，且ab≠1。求函数y=(bx+1)/(x+a)的反函数与原函数相等的条件。'

'基本 11: 逆函数与原函数相等的条件'

'设n为大于等于2的自然数。请证明以下不等式。'

'求不定积分 \\\int e^{2x+e^x} dx\。'

'证明在平面上存在满足P₁(1,1)，xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ，yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ(n=1,2，...)的点列Pₙ(xₙ，yₙ)，且点列P₁，P₂，...无限接近某一固定点。'

'证明 x>0 时，不等式 \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10}'

'不定积分的替换积分法和分部积分法'

''

''

'求 x 轴上点 (a, 0) 到函数 y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}} 的图像上有切线的情况下，常数 a 的值范围。'

'求函数 f(x)=3 cos 2x+7 cos x 的积分 \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\)。'

'通过将以下直线和抛物线在x轴方向移动-3，y轴方向移动1获得的直线和抛物线方程。'

'当销售y块巧克力时的总费用c(y)表示为c(y)=y^{2}。求A公司利润（销售额减去总费用）最大化时的销售价格p和相应的销售量y。'

''

'变量转换'

'拓展159 使用变量转换'

'在例题30中，首先将每个项的分母有理化，然后进行计算，但在例题31（1）中，我们进行计算而不对分母进行有理化处理。让我们考虑一下这样做的原因。'

None

'通过点（1,2）且倾斜为a的直线与抛物线y=x^2围成的区域面积为S(a)。当a在0≤a≤6范围内变化时，求使S(a)最小的a值。'

'画出以下函数的图形，并描述它们与函数 y=3^x 的位置关系。'

'解下列方程：'

'绘制以下函数的图形，并描述函数 y=log_{2} x 与之间的位置关系。'

'简化以下表达式。'

'对数函数的最大值和最小值 (1): 请求以下对数函数的最大值和最小值。'

''

'关于对数计算'

'求函数y = log_2(x/2)log_2(x/8)(1/2 ≤ x ≤ 8)的最大值，最小值以及取得最大最小值时的x值。'

'已知 f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0)在区间 -1 ≤ x ≤ 1的最大值为5，最小值为-7，求出常数a，b的值。'

'请从资料1中计算1.95的常用对数。'

'解决以下方程式。'

'证明当随机变量X服从正态分布N(m, σ^2)时\n\\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\]的值只与k有关，而与m, σ的值无关。'

'请描述以下对数函数的图形及特性。'

'给定函数y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1，其中 x 的定义域为1550 1/3 ≤ x ≤ 3。请找出函数y的最大值和最小值，以及此时的x值。'

'请描述对数函数的特性。'

'为函数y = x ^ 2（x > 0）的图形，使用对数刻度表示横轴和纵轴。'

'底转换公式：转换下面对数的基数。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'回答有关对数的基本知识的问题。根据以下方程式, 计算对数。'

'请绘制以下函数的图形，并描述与函数 y=log_{2} x 的位置关系。'

'求解对数方程的存在条件：请确定下列对数方程的解的存在条件。'

'(3)方程式f(x)=0的不同实数解的个数n等于曲线y=f(x)和x轴的交点数。(1)当a≤0时,n=1(2)当a>0时,极小值-4√2a3/2+16取决于a的值，可能为正、0或负，因此n=1,2,3。因此，整理(1)、 (2)，若n=1，则a<0, a=0, a>0均可能；若n=2，则仅限a>0；若n=3，则仅限a>0。'

'青色试卷收录了大量问题的原因是什么？'

'通过如何利用数字内容来进一步加深学到的知识？'

'练习题答案 67（2）\\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'

'求不定积分。(3)、(4)中，(a≠0，b≠0)。(1)∫e^{-x}cosxdx (2)∫sin(logx)dx (3)∫e^{ax}sinbxdx (4)∫e^{ax}cosbxdx'

'一一 将给定的文本翻译成多种语言。'

'求不定积分\ \\int e^{x} \\cos x dx \。'

'设y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x)'

'考虑函数 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2。(1) 设f(x)的二阶导数为f^{\\prime \\prime}(x)，证明等式 \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x)。(2) 求定积分 \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x。'

'研究函数 f(x)=x-1-log x 的增减性，并证明当 x>0 时不等式 log x ≤ x-1。'

"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'使用上述[4][6]作为公式，尝试求解以下定积分。'

'求下列不确定积分。(1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'165）量和积分曲线y=e^x在0 ≤ x ≤ 2的部分绕y轴旋转一周形成的容器，单位时间内以a（正定数）的速度注入水。设水深为h时的水体积为V，水面积为S。(1)求∫(log y)^{2} dy。(2)用S表示V。(3)求S为π时水面扩展的速度。[Shibaura Institute of Technology]指导（3）水面扩展的速度为dS/dt，但以t表示S似乎很困难。因此，利用(2)提示，利用dV/dt=dV/dS*dS/dt来求解。'

''

'求下列不定积分。'

'(1) 求函数 $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$ 的导函数。 (2) 在 $x y$ 平面上，点 $P$ 处于由方程 $x^{2}-y^{2}=1$ 表示的曲线 $C$ 上，并且是第一象限的点。连接原点 $O$ 和点 $P$ 的线段 $OP$， $x$ 轴以及曲线 $C$ 围成的图形的面积为 $\\frac{s}{2}$ 时，用 $s$ 表示点 $P$ 的坐标。'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { とおくと } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'如何求逆函数？'

'证明当x>0时，不等式成立。'

'使用(1)等式，其中(1)是V=2π∫₀ᴨx{cosx-(-1)}dx。'

'(2) \\\\ 令\ e^{x}+1=t \，则\ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'使用换元积分法公式 (2)，求下列积分。'

'(2) 数列 \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ 定义为 \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\)。利用 \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ 时的 \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\)，证明数列 \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ 收敛，并求出其极限值。其中，可使用 \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \。'

'因此 \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\n因此 \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] 解得 \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\n所以 \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'证明不等式。'

'重要问题115逆函数和定积分\n已知定义在x≥0的函数y=e^{x}+e^{-x}的逆函数为y=g(x)，求解∫_{2}^{4} g(x) dx。'

'练习 102 \\Rightarrow 本册 p .453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ 假设 \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\n因此 \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\n从而得到 \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\n因此 \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'由于(2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2)，得出 x e^(x^2) 是奇函数。'

'將給定的文本翻譯成多種語言。'

'确定实数x的值范围，使得序列{((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n}收敛。求出在此范围内的极限值。'

'该直线通过点(0，Y（a）），因此Y（a）=（a ^ 2 +1）e ^（-a ^ 2/2）'

'求出向量v和α。'

'練習163'

''

'(1) 计算由曲线 $y=x^{2}, y=\\sqrt{x}$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转一周形成的立体体积 $V$。\n(2) 设曲线 $y=\\log 3 x$ 为 $C$。$C$，原点 $O$ 处的切线 $\\ell$，和 $x$ 轴围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周形成的立体体积 $V$。'

'数学 II\n407\n[2] \ p>2 \ 的情况\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\n[1], [2] 从中可得，S的增减图如右所示。\n因此，\ S \ 在 \ p=\\frac{4}{3} \ 时达到最小值，其最小值\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & 局部最小 & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { 时 } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'請對以下函數進行微分。'

'(5)设 \ \\log x=t \，则 \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'求解下列定积分。'

'例如，从面积确定曲线的系数'

'找到满足以下条件的函数。'

'利用平均值定理证明以下命题'

'将给定的文本翻译为多种语言。'

'使用公式（4）计算以下积分。'

'在 x=1/√e 处寻找函数的极值。\n(1) x=1/√e 时得到极小值 -1/(2e)\n(2) 在 x=-4/3 处得到极大值 4√6/9，在 x=0 处得到极小值 0'

'例题163曲线上匀速运动的点\n547\n平面上运动的点P。点P从点(0,1)出发，沿着曲线y=(e^x+e^{-x})/2(x≥0)以每秒1的速度移动。记点P经过t秒后的坐标为(f(t), g(t))。求f(t), g(t)。\n[新渴大]\n将从0秒到t秒的路程l表示为两种方式。\n[1] 由于以每秒1的速度移动，所以l=t\n[2] 由于在曲线y=(e^x+e^{-x})/2(x≥0)上移动，记点P经过t秒后的x坐标为p，则\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"在 x>0 的情况下，若 f'(x)=0，则 x+π/4=kπ，即 x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...)。由 f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)} 可得"

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'求对数函数log_a x的导数和。'

''

'请解决以下积分。'

'找到直线y = px + q与函数y = log x没有共享点的必要必要条件。'

'找出以下函数的逆函数。'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'练习 97 \\Rightarrow 本册 p .447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'被称为高斯积分的\ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \已知等于\ \\sqrt{\\pi} \。'

'170 (2) (ウ) f(x)=-e^{-x}+1'

'通过数学归纳法证明 n 次导数和递推式。'

'練習（1）找到两条曲线y=logx和y=a/x^{2}（a>0）的交点的x坐标，用p表示，求以144p表达a。'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'一一 数学 \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\n別解 \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\) であるから\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) 证明不等式 \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\)。'

'求解以下函数的最大值和最小值。'

'有两个点P, Q沿x轴运动。在时刻t=0时，这两个点位于原点O，时刻t时P的速度v_P(t)，Q的速度v_Q(t)分别为v_P(t)=a t(0 ≤ t)，v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1)，t log t (1 ≤ t)。证明下列两点：(1) Q一定会超过P。(2) 在Q追上P之前，找到P和Q之间距离最大的时刻和此时的距离。'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'令 n 为任意正整数，假设两个函数 f(x)，g(x) 都是 n 次可微函数。'

'对于任意大于等于零的整数m和n，令Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx。'

'(1) $8log2-1$ (2) $\\frac{1}{log2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) 求定义为 x ≥ 0 的函数 f(x) = log(x+√(1+x^2)) 的导数 f'(x)。(2) 求由极方程 r=θ(θ ≥ 0) 定义的曲线，在 0 ≤ θ ≤ π 范围内的长度。"

''

'143（1）x=0时，x=π/2时取得最大值1；x=π时，x=3π/2时取得最小值-1\n（2）x=log_{2} (分数)根号5±1/2 时取得最小值1-10 根号5'

'绘制满足不等式$\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$的点$(x, y)$的存在范围。'

"求a，b，c的值，使得3次函数f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c满足条件6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6。"

'对数函数的最大值和最小值'

'简化以下表达式。'

'对数方程的解的数量'

'指数函数的最大值和最小值'

'求解以下函数的最大值和最小值。 (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) a>0, a \\neq 1。对于函数 y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2，令a^{x}+a^{-x}=t。用 t 表示 y，并求出 y 的最小值。 (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'找出满足条件的f(x)和g(x)函数。'

'求函数 y=log_4(x+2)+log_2(1-x) 的最大值以及此时的 x 值。'

'题2：对数函数'

'已知当 x=1 时，F(x)取得极大值为5，当 x=2 时，F(x)取得极小值为4。求f(t)和α的值。'

'求解以下对数的值。'

''

'(1) 求解 x^{2} + y^{2} 的最小值，当 \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3 时。\n(2) 当正实数 x, y 满足 xy=100 时，求 (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} 的最小值，以及此时 x, y 的值。\n(3) 令 f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (其中 ab=8，a>b>0)。若 f(x) 的最小值为 -1，求 a^{2} 的值。 [早稻田大]'

'简化以下表达式。'

'设a，b为常数。请证明以下不等式。'

'令a>0，a≠1，b>0。二次方程式4x²+4xlogₐb+1=0在0<x<1/2范围内有唯一解的所有(a,b)点在坐标平面上绘制。'

'解出以下方程组。但是，在(3)中，假设0<x<1, 0<y<1。'

None

'反函数及其图表'

"根据g(x)的条件，确定g(x)即f'(x)的符号，并制作f(x)的增减表。"

'定义在整个实数集上的两个可微函数f(x)，g(x)满足以下条件。'

'当n为正整数时，I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx。 (1)求I_{1}。 (2)求2 \\leqq x \\leqq 3时，\\left|\\frac{x-3}{x}\\right|的取值范围。另外，求\\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}。 (3)求I_{n+1}用I_{n}表示。 (4)求\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}。〔関西学院大〕'

'练习 n 是整数。要证明以下等式成立。其中，\ \\cos ^{0} x=1 \，\\( 203(\\log x)^{0}=1 \\)。\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'求曲线y=e^{-x^{2}}上从点(a,0)引出切线的a值范围。'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'求放物线 y = 2 x - x^{2} 与 x 轴围成的区域，绕 y 轴旋转一周所得到的立体体积。'

'求给定函数的逆函数。并绘制其图形。'

"设函数 f(x) 的反函数为 g(x)。 当 f(1)=2, f'(1)=2 时，求 g(2) 和 g'(2) 的值。"

'证明\\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n 为自然数，C为积分常数 ) \\)。'

"当 f(x) 是一个两次可微函数时，用 f'(\\tan x) 和 f''(\\tan x) 表示 \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x)。"

'对函数f(x)=e^(kx)/(x^2+1)（k是常数）做练习，(1)求k的值使得f(x)在x=-2处取极值。(2)求出k可能的取值范围，使得f(x)有极值。'

'请分别求以下函数的导数。其中，（6）中的a为常数。'

'在给定的文本中将数学问题转换为多种语言。'

''

'求定数a的范围，使得曲线y=xe^x能从点(a, 0)处有切线。'

'求不定积分 \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \。'

'练习 n 为自然数。求下列函数的第 n 阶导函数。'

'練習證明下列不等式成立：\n（1） \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n（2） \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n（3） \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n（4） \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'使用自然数n，找到函数y=(1-7x)^{-1}的第n阶导数y^{(n)}。'

'求f(x)中等于3分之1x3 + 2log |x|的部分。'

'综合\n$n$是大于等于2的自然数。函数$y=e^{x}$\n(1),$y=e^{nx}-1$\n(2)关于\n54\n(1)(1)和(2)的图形在第一象限内有且仅有一个交点，请证明。\n(2)以(1)得到的交点坐标为$(a_{n}, b_{n})$。\n求$\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$和$\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$。\n(3)第一象限内(1)和(2)的图形以及由$y$轴围成的区域的面积为$S_{n}$。求$\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$。'

'关于函数 f(x)=a e^{2 x}(a 是常数 )，在曲线 y=f(x) 上的点 (b, f(b)) 处的切线为 y=x，当接触 ③15时。请回答以下问题。'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

''

'关于函数 f(x)=e^(kx)/(x²+1) （其中 k 是常数），请回答以下问题。'

'证明函数 f(x) = ax + xcosx - 2sinx 在 π/2 和 π 之间只有一个极值点。其中 -1 < a < 1。'

'求下列不定积分。'

'设n为自然数。求函数y=\\frac{1}{1-7x}的第n次导函数y^{(n)}。'

'对于函数f(x)=\\sqrt{x^{2}-1}，回答以下问题。假设x>1。 (1) 表示为x的表达式的c，满足 \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x。 (2) 在(1)的情况下，求 \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} 和 \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1]。〔类 信州大〕'

"考虑满足关系式 $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$ 的可微函数 $f(x)$。求 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$，则 $f'(x)= \\square$。又因为 $f(0)=1$，所以 $f(x)= \\square$。"

'(1) 在数轴上，点P按照速度$v=t(t-1)(t-2)$从点1出发，经过$t$秒后。P点3秒后的位置是A，P点移动的距离是B。\n\n(2) 重力加速度为$g$。设有一个火箭，其加速度为$\x0crac{1}{1+t}$在$t$秒时被以初速度$v_{0}$从地面上方垂直向上发射。求出火箭在t秒后的速度和高度。'

'画出函数y=(-x+1) e^{-x+1}的大致图形。并且，其中 lim _{x → ∞} x e^{-x}=0。'

'找到曲线y=a^x的切线为y=x的情况下，确定a的值和切点坐标。其中，a>0，且a不等于1。'

'证明不等式，其中n为自然数。〔东北大〕'

'数学II'

'指数对数函数的导数\n令\a>0, a \\neq 1\。\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'请证明不等式'

''

''

'假设 n 是大于等于 2 的自然数。考虑函数 y=e^x ... (1), y=e^(nx)-1 ... (2)。请回答以下问题：\n(1) 证明 (1) 和 (2) 的图形在第一象限中只有一个交点。\n(2) 假设在 (1) 中得到的交点的坐标为 (a_n, b_n)。求 lim n → ∞ a_n 和 lim n → ∞ n a_n。\n(3) 在第一象限中，以 (1) 和 (2) 的图形以及 y 轴为边界的部分的面积记为 S_n。求 lim n → ∞ n S_n。〔东京工业大学〕'

'求出以下函数的导数。'

'练习（2）对于所有自然数 n，证明(2nlogn)^{n}<e^{2nlogn}成立。'

'当曲线 y = x^2 - 2x 和 y = log x + a 相切时，求常数 a 的值。并求出相切点处的切线方程。'

''

'通过有理化分母，对例(1)进行变形并积分。'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \是一个大于等于0的整数)。如果\\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\)，请证明。其中，\ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \。'

'给出定义在所有实数上的函数y=f(x)，它具有二阶可微性，并且总是满足f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x)，回答以下问题：(1) 当定义函数F(x)为F(x)=e^x f(x)时，证明F(x)满足F’’(x)=-F(x)。(2) 满足F’’(x)=-F(x)的函数F(x)将导致{F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2}成为常数，请推导lim_{x -> ∞} f(x)。〔高知女子大〕'

'证明等式 \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\)。'

'假设边长为a的立方体，每秒各边以b的速度增长，则t秒后立方体的体积为V，并且V=(a+bt)^3。从开始增长到t秒后，立方体体积的变化率是多少？'

'将给定文本翻译成多种语言。'

'因此，在曲线 y=log (x+2) 上的点 (t, log (t+2)) 处的切线方程是 y-log (t+2)=1/(t+2)(x-t) 即 y=1/(t+2) x+log (t+2)-t/(t+2) 2切线 (1)、(2) 相等的条件是 e^s=1/(t+2) ...(3), -(s-1) e^s=log (t+2)-t/(t+2) <= (1)，(2)的斜率和y截距分别相等。从 (3)得到 t+2=1/e^s 因此 t=1/e^s-2 将这些代入 (4)得到 -(s-1) e^s=-s-e^s*(1/e^s-2) 因此 (s+1)-(s+1) e^s=0 因此 (s+1)(1-e^s)=0 因此 s=-1, e^s=1 因此 s=0,-1，将这些代入 (1)得到，所求切线方程为 s=0 时 y=x+1 s=-1 时 y=x/e+2/e'

'求出通过给定点 P 到曲线的切线方程以及此时切点的坐标。'

None

'请比较函数 \\( x^{q}(q>0) \\) 和 \ e^{x} \ 的增长速度。'

''

'求逆函数的导数。'

'求函数f（x）= x e^{-2x}的极值和曲线y=f（x）的拐点坐标。'

'考察函数的增减。'

'在整个实数上定义的两个可微函数$f(x),g(x)$满足以下条件。'

'关于数列a_n，求解如下。'

'练习a>0，b>0，设f(x)=log((x+a)/(b-x))。证明曲线y=f(x)关于其拐点是对称的。'

''

'设F(x)是f(x)的不定积分，则满足以下条件[1]，[2]。求f′(x)，并且计算175f(x)。其中x>0。'

'请比较函数 \ \\log x \ 和 \\( x^{p}(p>0) \\) 的增长程度。'

'根据以下条件计算f(x)'

'当实数a，b满足0 < a < b < 1时，请比较2^a - 2a/(a-1)和2^b - 2b/(b-1)的大小。'

'領域 D 是右圖中所填紅色部分，所以 V1 = π∫1e a²(log x)² dx 得【詳細計算略】π(e-2)a²。另外，由 y= a log x 得 log x = y/a，因此 x = e^(y/a)，故 V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a。將所有計算結合起來，最終得到 π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a，由於 a > 0，所以，2(e-2)a = e²+1，因此 a = (e²+1)/2(e-2)'

'求不定积分。'

'問題 (2) 的答案：'

'计算曲线和直线围成的区域的面积 S。'

'练习-在下面的函数中找到最大值和最小值：(1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ 〔类似于关西大学〕 (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ 〔类似于名古屋市大学〕'

''

'关于曲线 C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t}，\n(1) 曲线 C 的方程为 x^{2}+1 x y- y^{2}=25。\n(2) 用 x，y 表示 \\frac{d y}{d x}。\n(3) 在曲线 C 上对应于 t= 的点处，\\frac{d y}{d x}=-2。'

'证明对于任意实数x，不等式e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2)成立。'

'(1) 求解不定积分 \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \。'

'y = (x^2−1)e^x'

'由 g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2 导出 g(2)=1 (1) 推出 g′(2)=1/f′(1)=1/2'

'请描述双曲线及其形态特征。'

'求所有符合条件 g(f(x))=f(g(x)) 的一次函数 g(x)，对于三次函数 f(x)=x³+bx+c。'

'对于常数 $a>0, b$。考虑关于实数 $t$ 的方程'

'求逆函数。'

'使用平均值定理证明以下内容：\n\\n当 e^{-2}<a<b<1 时,有 \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'考虑定积分和递推式 122'

'已知 e 为常数，并且曲线 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 为 C。以下关于改变 e 值时曲线 C 的描述，正确的有哪些？'

'求解以下不定积分。'

None

'求出以下不定积分。'

'求解以下不定积分。(1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'求给定函数的反函数，并绘制其图形。'

'求下列函数的导数。'

'求以下不定积分。'

'求解以下定积分。'

''

'请检查函数 f(x) 是否连续或不连续。其中，[x]表示不超过实数 x 的最大整数。'

'证明当 PR n 是2以上的整数时，该等式成立。其中, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \。'

'证明当函数y=log x时，y的n次导数为(-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n。'

'問題99\n(1) x=e時,達到極大值e^{1/e}'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'将给定文本翻译成多种语言。'

''

'求曲线y=log(log x)在x=e^{2}处的切线方程。'

'使用泰勒定理，在 x = 0 处展开函数 f(x) = e^x 的三阶泰勒展开。'

'求 f(x)=1/x log(1+x) 的导数。'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'找出曲线y=(3-x)e^{x}和x轴以及直线x=0, x=2所围成的面积S。'

'求解以下不定积分：\n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'求以下函数的导数。'

'求下列不定积分。'

'当实数a、b、c、d满足ad-bc≠0时，对于函数f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}，回答以下问题。 (1) 求f(x)的逆函数f^{-1}(x)。(2) 求满足f^{-1}(x)=f(x)且f(x)≠x的a、b、c、d的关系式。'

''

"在区间 $0<x<2\\pi$ 内，当 $y'=0$ 时，根据 $\\sin x-1=0$ 解得 $x=\\frac{\\pi}{2}$；根据 $2\\sin x+1=0$ 解得 $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$。因此，$y$ 的增减表如下所示。"

'求不定积分 \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \。'

'求函数的导数。'

'(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\) 。 '

'求解函数的逆函数，并验证逆函数存在的条件。 例如，请求解函数 y=\x0crac{a x+b}{c x+d} 的逆函数。 并验证条件 a d-b c \neq 0。'

'求实数x的范围，使得数列{[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n}收敛。并求此时的极限值。'

'证明 f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) 函数的图形在拐点处是对称的。'

'证明n为大于等于2的整数时，下列等式成立。其中，cos^0x=1，tan^0x=1。'

'当连续函数f(x)满足关系式f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t时,求f(x)。'

'（1）求定积分 $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$ 的值。'

''

'求下列不定积分。'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'证明当e<a<b时，不等式a^b>b^a成立。'

'求解定积分 \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \。'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'-\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3}时，\\ cos \\ theta \\ geqq 0，因此'

'求函数 f(x)=x^{1/x}(x>0) 的极值。'

'(6) 关于著名函数和极限'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'求出以下不定积分。'

'对于自然数 n，考虑 S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1)。'

"(1) y' = 3^x * log3 + 1\n因为3^x > 0, log3 > 0，所以y'始终大于0\n因此，在整个实数范围内增加。"

'求下列定积分。'

'证明e^3>3^e。'

'因此 (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} 的 y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} (2) y=x^{x+1}(x>0) 的 y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'

'请对以下函数进行微分。'

'对于正实数a，曲线y=e^{ax} 为C。直线l经过原点并且在曲线C上点P处切线。设由C、l和y轴围成的区域为D。'

'关于著名函数和极限'

'求两个函数的反函数。并画出图形。\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'指数函数 y=a^{x}，对数函数 y=\\log_{a} x 的极限 如图所示，有以下结论。'

'求不定积分。'

'求给定函数的逆函数。'

'在现代消费社会中，为什么更多人选择现成产品而不是定制产品？'

'计算不定积分的反函数(2)(特殊替换积分)'

'点P在平面上移动，其坐标为（x，y），随时间t（t可取任意实数值）变化，x=6e^{t}，y=e^{3t}+3e^{-t}，如下：\n1. 从给定方程中消去t，并导出x和y满足的方程y=f(x)。\n2. 绘制点P的轨迹。\n3. 求时刻t处点P的速度v。\n4. 求时刻t=0到t=3点P所经过的距离。'

'关于函数 f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0)，回答以下问题。'

'设 N 为自然数, 函数 f(x) 定义为 f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x)。(1) m, n 是整数, 求 \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x。(2) 求 \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x。'

'找出使得给定数列收敛的实数 x 的范围。同时找出该时刻的极限值。'

'(1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C 的积分'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'求下列不定积分：\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'求以下不定积分。'

''

'通过三角不等式'

'示例121不定积分的分部积分法(3)(相同形出现)'

'求解以下定积分：\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'

'重要例題 118 函数的最小值和平均值，中位数\n\nn是大于2的自然数，并且a_1，a_2，...，a_n是满足a_1≤a_2≤...≤a_n的实数。将n个数据a_1，a_2，...，a_n的平均值记为m，标准偏差记为s，中位数记为M。\n\n(1) 函数f(x) = (x-a_1)^2 + (x-a_2)^2 + ... + (x-a_n)^2的最小值，以及使得x取得最小值时所需的n，m，s，M。\n\n(2) 假设n为偶数。证明函数g(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + ... + |x-a_n|在x=M时达到最小值。\n\n(3) 假设n为偶数。证明在这种情况下，函数g(x)在取得最小值的x处只有一个的充分必要条件，其中所需的a_1，a_2，...，a_n。\n\n[广岛大]\n\n指导\n虽然出现了各种字符，但是这仍然是一个关于函数的问题，因此要联系到第3章学习的内容来思考。特别是，最大/最小值问题可以利用图表解决。(1) 计算f(x)会得到一个二次函数。将其转化为标准形式a(x-p)^2+q。(2) 解含有绝对值的公式——将其分成情况讨论。这取决于a_1，a_2，...，a_n成为分歧点。但是，由于绝对值较多不易理解，因此试图研究n=2,4的情况下的图表，可以预测取得最小值的可能值是多少。'

標準 70 | 放物線的平行移動 (2)

如何平移抛物线 $y=x^{2}+4x+5$ 以使其与抛物线 $y=x^{2}-6x+8$ 重合。

求把抛物线 $y=-2 x^{2}+4 x-4$ 关于 $x$ 轴对称移动，然后在 $x$ 轴方向平移 8 个单位，$y$ 轴方向平移 4 个单位后得到的抛物线方程。