Основы вероятности - Случайные величины

'Поскольку относительная частота R следует тому же распределению, что и доля выборки, R приблизительно нормально с N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n) то есть N(1/6, 5/36n). Поэтому, если мы определим Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n)), то Z приблизительно распределено как N(0,1). Следовательно, \\[P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60) \\]\n\\[\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array} \\]\nСледовательно, искомые значения при n=500\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 \\]n=2000\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 \\]n=4500\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'Пожалуйста, создайте таблицу, описывающую распределение вероятностей случайной величины X.'

'Отбор выборки из генеральной совокупности путем выбора по одному элементу с возвращением каждый раз называется выборкой с возвращением. В отличие от этого, выборка без возвращения после выбора называется выборкой без возвращения. Случайным образом выберем выборку размером n из генеральной совокупности и присвоим значения переменных в этих n элементах как X₁, X₂, ..., Xₙ. При выборке с возвращением это можно рассматривать как повторный эксперимент случайного выбора выборки размером 1 n раз. Следовательно, X₁, X₂, ..., Xₙ - это независимые случайные величины, каждая из которых следует за распределением генеральной совокупности.'

'Найдите соответствующую точку для z = 5.93 на основе предоставленной таблицы.'

'Каково вероятностное распределение числа выигрышных билетов, вытянутых до того, как будет вытянуты два проигрышных билета в лотерее, в которой n (где n - целое число, большее или равное 3) билетов, из которых 582 - проигрышные?'

'Какова вероятность p_{n+1}, что две частицы окажутся в одной точке через (n+1) секунду?'

'Когда две случайные переменные X и Y, произведение XY также является случайной переменной, и X и Y независимы друг от друга, справедлива следующая теорема. E(XY) = E(X)E(Y)。'

'Используйте символы для выражения вероятности того, что случайная величина X принимает значение больше или равное a и меньше или равное b.'

'Пример 67 Доля выборки и нормальное распределение'

'Глава 2 Статистическое заключение 8. Случайные переменные и вероятностные распределения 9. Преобразование случайных переменных 10. Сумма случайных переменных и ожидание 11. Биномиальное распределение 12. Нормальное распределение 13. Популяция и выборка, среднее выборочное и его распределение 14. Оценка 15. Проверка гипотез'

'При броске кубика n раз, пусть R - относительная частота выпадения 1. Найдите значение P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) для n=500, 2000, 4500.'

'Что такое непрерывная случайная величина?'

'Преобразование случайных переменных\nX - случайная величина, a и b - постоянные.\nКогда Y=aX+b\nE(Y)=aE(X)+b\nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'Предположим, что совместное распределение двух случайных переменных X и Y задано следующим образом:'

'Для двух случайных переменных X, Y, если X и Y независимы друг от друга, то V(X+Y) = V(X) + V(Y).'

'Выберите одно из двух определений отрицательного биномиального распределения и вычислите вероятность количества испытаний X до того, как событие A произойдет k раз, или количество неудач Y.'

'При взятии случайной выборки размером 100 из популяции, следующей нормальное распределение с средним значением 58 и стандартным отклонением 12, вычислите следующие вероятности.'

'Поскольку размер выборки n равен 900, доверительный интервал 95% для среднего значения генеральной совокупности m составляет X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))'

'Рассчитать 95% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности m.'

'Диапазон случайной величины X составляет 0 ≤ X ≤ 1, а ее функция плотности вероятности f(x)=a(2-x). Где a - положительная постоянная.\n(1) Найдите значение a.\n(2) Найдите математическое ожидание E(X) и дисперсию V(X) случайной величины X.'

'В доверительном интервале A <= m <= B, каков будет эффект интервала доверия 99% E <= m <= F для среднего значения популяции m, полученного из того же образца по сравнению с A <= m <= B? Пожалуйста, выберите один из следующих вариантов:'

'Когда одновременно бросают два кубика, пусть меньшее число будет X. Найдите следующее: Если выпадает одинаковое число, то возьмите это число как X.'

'Бросьте одновременно три кубика большого, среднего и маленького размеров. Используйте числа на кубиках большого, среднего и маленького размеров как сотни, десятки и единицы соответственно, чтобы создать трехзначное целое число. Найдите следующие ожидаемые значения:\n(1) Ожидаемое значение суммы цифр\n(2) Ожидаемое значение трехзначного числа'

'Пусть n будет натуральным числом, большим или равным 8. Из 1, 2, ..., n случайно выберите 6 различных чисел и упорядочите их по возрастанию как X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6}.\n(1) Найдите вероятность p_{n}, что X_3=5.\n(2) Найдите натуральное число n, максимизирующее p_n.'

'Суждение по методу гипотез (2)'

'Точка P изначально находится в начале координат O на числовой прямой, и каждый раз, когда бросают кубик, если выпадает четное число, перемещается на 3 единицы в положительном направлении, а если выпадает нечетное число, то перемещается на 2 единицы в отрицательном направлении. Когда кубик брошен 10 раз, вероятность того, что точка P находится в начале координат O, равна А. Также, когда кубик брошен 10 раз, вероятность того, что координата точки P меньше или равна 19, равна В.'

'Вероятность выпадения ровно 5 раз герба из 6 подбрасываний равна ${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$. Вероятность выпадения герба все 6 раз из 6 бросков равна $(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$. Сумма этих вероятностей равна $\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$.'

'Хочется исследовать эффективность лекарства, применяемого при определенном заболевании. Предполагая, что пропорция считаемых эффективными после приема лекарства составляет от 33% до 63%. Случайно выбирая n человек от пациентов с заболеванием, определяя случайную переменную X_i как 1, если эффективность лекарства наблюдается у i-того пациента, иначе 0.\n(1) Определите среднее и дисперсию выборочного среднего \ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \.\n(2) Выбрав случайно 400 человек из пациентов с заболеванием, было замечено, что эффективность лекарства наблюдалась у 320 человек. Определите 95% доверительный интервал для доли населения, округлив до третьего десятичного знака. Предположим, что размер выборки 400 достаточно большой. [Университет Кюсю]'

'Рейтинг одобрения партии А среди избирателей в определенном городе составляет 64%. Когда 100 человек случайным образом выбираются из избирателей этого города, пусть случайная переменная, присваивающая значение 1, если k-ый выбранный человек поддерживает партию А и 0 если нет, обозначается как X_k.'

'При извлечении образцов размером 2 из популяции {A, B, C, D} перечислите все возможные образцы в каждом случае. (1) С заменой (2) Без замены - [1] извлечено последовательно [2] извлечено одновременно (3) 1!'

'В мешке 1 белый шар, 2 красных шара и 3 синих шара. Когда из мешка без возвращения извлекают 2 шара, пусть X будет количеством извлеченных красных шаров, а Y - количеством извлеченных синих шаров. Найдите совместное распределение X и Y.'

'Учитывая распределения вероятностей случайных переменных X и Y в следующей таблице, найдите Var(3X+2Y) и Var(6X-4Y). Предполагая, что X и Y независимы.'

'Принимая всех студентов университета P в качестве популяции, с материнской пропорцией 0,2 для лиц из округа A, и случайного размера выборки 400, случайная переменная X подчиняется биномиальному распределению B(400,0,2). Таким образом, ожидаемое значение E(X) и стандартное отклонение σ(X) переменной X равно E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'Найдите P(190 ≤ X ≤ 220).'

'Среди всех студентов Университета P 20% из префектуры A. Пусть X будет количеством жителей префектуры A из 400 студентов, взятых случайным образом из Университета P. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение X.'

'Когда 360 раз бросают шестигранный кубик, пусть X будет количеством выпадения шестёрки. Определите вероятность попадания X в следующие диапазоны. Предположим, что √2 = 1.41.\n(1) 50 ≤ X ≤ 60\n(2) |X/360 - 1/6| ≤ 0.05'

'Предположим, что популяция студентов, в которой пропорция студентов, никогда не читавших книгу, составляет 0,5. В этом случае пусть X будет случайной величиной, представляющей количество студентов, которые никогда не читали книгу в случайной выборке из 100 студентов. Какое распределение следует за X? Кроме того, каково среднее значение (ожидаемое значение) и стандартное отклонение X?'

'Хотите исследовать эффективность препарата, принимаемого для определенного заболевания. Предположим, что доля пациентов, считаемых с эффектом после приема препарата, равна p. Случайным образом выберите n пациентов с этим заболеванием, если эффект препарата наблюдается у i-го пациента, то это 1, в противном случае 0, определяя случайную величину Xi.'

'Известно, что соотношение новорожденных мальчиков к девочкам в городе A равно. В определенный год, когда из новорожденных в городе A случайным образом выбирают n человек, переменной Xk будет случайная величина, которая присваивает значение 1, если k-й новорожденный является мальчиком, и 0, если девочкой.'

''

'Рассмотрим игру, в которой бросают кубик, заработав 0 очков за выпадение 1 или 2, 1 очко за выпадение 3, 4 или 5 и 100 очков за выпадение 6. Пусть X будет остаток при делении общего количества очков из 80 бросков на 100. Найдите вероятность того, что X будет меньше или равен 46. Учитывая, что √5 = 2.24.'

'Существует положительная корреляция'

'Таблица справа сводит воедино баллы двух тестов по математике и английскому, проведенных дважды в маленьком классе из 10 учеников, в сумме 100 баллов.'

'На диаграмме рассеяния справа, 198 Mathe 187 - это тесты на 100 баллов по китайским и английским словам в классе из 30 человек. （1）Исходя из этой диаграммы рассеяния, определите, есть ли корреляция между баллами за китайские и английские слова. Если есть корреляция, укажите, положительная она или отрицательная. （2）Исходя из этой диаграммы рассеяния, создайте таблицу частот для английских слов. Однако классы таковы: «40 или более, но менее 50», ..., «90 или более, но менее 100». Точки на диаграмме рассеяния распределены вверх и вправо в целом. Считайте, исходя из горизонтальных линий, увеличиваясь на 10 баллов за английские слова.'

'Прыжки на лыжах - это вид спорта, в котором спортсмены соревнуются на основе дистанции своего прыжка и красоты своей позы в воздухе. Спортсмены скользят по склону, а затем запускаются в воздух с края склона. Дистанция прыжка (измеряется в метрах) определяет балл X, в то время как поза в воздухе определяет балл Y. Рассмотрим 58 прыжков в конкретном соревновании.\n(1) Исходя из трех точечных графиков на Рисунке 1, выберите правильные утверждения:\n1. Существует положительная корреляция между X и Y.\n2. Прыжок с самой высокой скоростью V также имеет самый высокий X.\n3. Прыжок с самой высокой скоростью V также имеет самый высокий Y.\n4. Прыжок с самым низким Y не обязательно имеет самый низкий X.\n5. Все прыжки с X более или равным 80 имеют скорость V 93 или выше.\n6. Нет прыжков с Y более или равным 55 и V более или равным 94.'

'Настройка случайных переменных'

'Пример 1. В эксперименте по бросанию кубика один раз, событие A: выпадение нечетного числа, событие B: выпадение числа 4 или выше, тогда A={1,3,5}, B={4,5,6}, поэтому A ∩ B={5} это нечетное и 4 или выше. A ∪ B={1,3,4,5,6} это нечетное или 4 или выше.'