Основы вероятности - Основы вероятности

'Найдите вероятность ничьей в игре камень-ножницы-бумага между двумя игроками.'

'Из кучи сахарных мешков было случайным образом выбрано 100 мешков и взвешено, в результате получилось среднее веса 300,4 грамма. Предполагая стандартное отклонение веса популяции 7,5 грамма, оцените средний вес одного мешка с доверительной вероятностью 95%.'

'Шаги проверки гипотезы'

'Найдите совместное распределение X и Y, и проверьте, независимы ли X и Y.'

''

'Пример 62 Биномиальное распределение и преобразование случайных величин'

'Вычислите вероятность того, что в определенном событии не будет получено никаких призов.'

'Сумма, ожидание и дисперсия последовательности\nЕсть карточки с номерами от 1 до n, каждая из них с n, n-1, ..., 1 штук. Эти карточки помещают в мешок. Хорошо перемешав мешок, вытаскивают одну карточку, а число на ней считается случайной величиной X.\n(1) Определите вероятность P(X=k).\n(2) Найдите E(X) и V(X) для X.'

'Рассчитайте вероятностное распределение суммы чисел при броске двух кубиков и найдите вероятность того, что X попадет в определенный диапазон.'

'В общем, если случайная величина Х принимает возможные значения x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn соответственно, какие условия должна удовлетворять вероятность P?'

"Как математическая задача, давайте рассмотрим распределение мест в выборах с помощью математических методов. Конкретно, используя общую систему выборов (например, метод Д'Онта или метод Сен-Лагюа), рассчитайте количество мест, выделенных каждой партии на основе данного количества голосов. Вот голоса за каждую партию. Пожалуйста, рассчитайте количество мест, выделенных каждой партии."

'При отборе случайной выборки размером 100 из популяции, следующей нормальное распределение средним значением 120 и стандартным отклонением популяции 30, рассчитайте следующие вероятности.'

'Среди n карточек, на каждой из которых написаны числа 1,2,3,...,n, по одному числу на карточку. При случайном выборе 2 карточек, пусть X будет меньшим числом, а Y - большим. Обратите внимание, что n ≥ 2. (1) Найдите вероятность X=k, где k=1,2,3,...,n. (2) Найдите математическое ожидание X. (3) Найдите дисперсию Y.'

'Для определенного продукта A было проведено исследование среди 300 человек, из которых 210 человек поддерживают продукт A. Рассчитайте доверительный интервал с уровнем доверия 95% для доли сторонников продукта A в популяции. Используйте √7=2.65 для расчета и округлите до третьего десятичного знака.'

'Когда из мешка извлекают две красные шары и один белый шар, расположение шаров при извлечении двух шаров одновременно, различая два красных шара как красный 1 и красный 2 ((красный 1, красный 2), (красный 1, белый), (красный 2, белый)) есть три варианта. В этом эксперименте, пусть X будет количеством извлеченных красных шаров, тогда X может принимать значения 1 или 2, найдите вероятности для X, чтобы принимать эти значения.'

'Частота возникновения побочных эффектов определенного препарата составляла 4% в прошлом, однако после использования нового улучшенного препарата на 400 пациентах, у 8 пациентов возникли побочные эффекты. Можно ли заключить, что частота возникновения побочных эффектов уменьшилась? Проведите тест на уровне значимости 5%. Предполагается, что 400 пациентов были случайным образом выбраны.'

'Согласно традиционным данным, рейтинг возникновения побочных эффектов определенного препарата составлял 4%, но когда улучшенный новый препарат был использован на 400 пациентах, у 8 пациентов возникли побочные эффекты. Можно ли заключить, что рейтинг возникновения побочных эффектов снизился? Проведите тест с уровнем значимости 5%. Предположим, что 400 пациентов были выбраны случайным образом.'

'По поводу подчеркнутой части, ответьте на следующий вопрос:\n(1) Через онлайн-транзакции теперь можно непосредственно покупать товары из зарубежных стран. Однако возникают проблемы, такие как недоставка товаров или повреждения. В таких случаях Национальный центр жизни предоставляет консультационные услуги. Выберите одно из правительственных агентств ниже, ответственное за надзор за этим учреждением, и предоставьте ответ по номеру:\n1. Агентство финансовых услуг 2. Национальное агентство по налогам\n3. Агентство по защите прав потребителей 4. Комиссия по справедливой торговле'

'Для утверждения X·Y относительно подчеркнутой части J в вопросе 11 выберите правильное сочетание верного или неверного из вариантов ниже и ответьте соответствующим номером.'

'Два случая, когда полезны познавательные видео'

'Подбросив монету 8 раз, найдите вероятность выпадения орла 5 раз или более подряд.'

'Когда точка P изначально находится в начале координат O на числовой прямой, при каждом броске кубика, если выпадает четное число, двигаться на 3 единицы в положительном направлении, а если выпадает нечетное число, двигаться на 2 единицы в отрицательном направлении. Какова вероятность того, что точка P будет находиться в начале координат O после 10 бросков кубика?'

'Найдите вероятность того, что произведение чисел на двух кубиках будет 24 или меньше.'

'Из мешка наугад вытаскивается один шар, и этот процесс продолжается, без возврата вытащенного шара обратно в мешок. Найдите следующие вероятности: (1) Вероятность того, что сначала будут вытащены красные шары (2) Вероятность того, что после того, как все красные шары будут вытянуты в мешке останется только 5 белых шаров.'

'Какова вероятность того, что сумма будет 10 или больше при бросании двух кубиков одновременно?'

'В ящиках A, B и C находятся соответственно красные, белые и черные шары. Числа представлены в таблице справа. Случайным образом выберите ящик и извлеките один шар. Найдите следующие вероятности.'

'При одновременном броске двух костей, какова вероятность того, что произведение результатов составит 24 или меньше?'

'Найдите вероятность того, что после 3 операций красных шариков не будет.'

'Карты с номерами от 1 до 6 подготовлены с соответствующим количеством для каждого номера. Какой из следующих вариантов более выгоден при извлечении одной карты?\n(1) Получить монету номиналом 100 иен с тем же номером, что и извлеченная карта.\n(2) Получить фиксированную сумму в 700 иен только при извлечении четного числа.'

'Базовый пример 47 Основы вероятности повторных испытаний\nИмеется 8 лотерейных билетов, включая 2 выигрышных. Когда билеты извлекаются один за другим с заменой 5 раз, найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность выиграть ровно дважды\n(2) Вероятность выиграть как минимум 4 раза'

'А и Б играют, первый кто выиграет 3 игры, станет победителем. Предположим, что вероятность того, что А выиграет одну игру, составляет 1/3. Ответьте на следующий вопрос.'

'При извлечении одной карты из чисел от 91 до 50 найдите вероятность того, что будет извлечена карта, не являющаяся кратной 3.'

'Бросьте 3 кубика одновременно. (1) Найдите вероятность того, что сумма очков любых 2 из 3 кубиков составит 5. (2) Найдите вероятность того, что сумма очков любых 2 из 3 кубиков составит 10. (3) Найдите вероятность того, что сумма очков любых 2 кубиков не является кратной 5.'

'Имеется общее количество 9 карт с числами от 1 до 9, написанными на них, каждое по одной. Когда из них вытаскивают 3 карты, вероятность того, что все числа на картах нечетные, составляет A. Кроме того, вероятность того, что сумма чисел на 3 вытянутых картах нечетная, составляет B.'

'Какова вероятность того, что минимальное значение равно 3 или максимальное значение равно 4 при одновременном броске двух кубиков?'

'В коробке 9 красных номерных карточек (от 1 до 9) и 6 белых номерных карточек (от 1 до 6). При извлечении карточки из этой коробки, пусть событие A будет извлечение четной карточки, а событие B - извлечение красной карточки. Найдите следующие вероятности.'

''

'Вероятность того, что выиграет a и также c'

'При одновременном броске двух кубиков вычислите вероятность того, что оба кубика покажут одинаковое число, а также вероятность того, что сумма двух чисел будет нечетной.'

'Какова вероятность того, что количество красных шаров составит не менее 2 после 3 операций?'

'Поскольку в каждом раунде из мешка A берется белый шар, а из мешка B — красный, вероятность нахождения которой равна'

'Найдите вероятность выпадения 2 орлов и 1 решки при броске 3 монет одновременно.'

'Три человека играют в камень, ножницы, бумагу. Однако проигравший не может участвовать в следующем раунде. Ответьте на следующие вопросы.'

'При броске шестигранного кубика три раза, какова вероятность того, что максимальный результат будет равен 6?'

'Пожалуйста, вычислите вероятность того, что на первом розыгрыше появится красный шар, и условную вероятность появления белого шара на втором розыгрыше.'

'Бросьте монету 9 раз, найдите вероятность попадания в точку Q именно на 9-й бросок.'

'После игры в 10 игр PRA и B, A выиграл 7 раз. Можем ли мы заключить, что A сильнее B на основе этого результата? Используйте концепцию проверки гипотез и учитывайте уровень значимости 0,05. Обратите внимание, что в игре нет ничьих.'

'В коробках A, B и C находятся красные, белые и черные шары соответственно. Количество шаров указано в таблице справа. Случайным образом выберите одну коробку и вытащите один шар. Найдите следующие вероятности.'

'Игроки A и B играют в следующую игру. Они вытаскивают шар из мешка, содержащего 2 красных шара и 1 белый шар, проверяют цвет, а затем возвращают его на место. В зависимости от цвета вытащенного шара, A получает 1 очко, если это красный шар, а B получает 2 очка, если шар белый.'

'Рассчитайте вероятность того, что событие A произойдет 8 или более раз в одном испытании.'

'Рассчитайте вероятность выпадения орла при броске 4 монет один раз и расчитайте ожидаемое значение X.'

'Какова вероятность вытянуть хотя бы 1 выигрышный билет, вытягивая 2 билета одновременно из лотереи, включающей 3 выигрышных билета из 10?'

'Найти вероятность того, что произведение костей даст нечетное число или кратное 12.'

'Бросьте 3 кости одновременно.'

'Есть 20 карточек, на каждой из которых написано целое число от 1 до 20. (1) Когда одновременно вытаскивают две карточки, какова вероятность того, что сумма чисел на этих двух карточках будет кратной 3? (2) Когда одновременно вытаскивают 17 карточек, какова вероятность того, что сумма чисел на этих 17 карточках будет кратной 3?'

'Всего 20 лотерейных билетов, включая 3 выигрышных. При извлечении без возврата найдите следующие вероятности:\n(1) Когда А и В тянут по одному билету, по порядку, вероятность того, что А проиграет, а В выиграет\n(2) Когда А, В и С тянут по одному билету каждый, по порядку, вероятность того, что только С выиграет'

'A и B играют в игру, где первый, кто выигрывает 3 матча, будет объявлен победителем. Вероятность выигрыша A в матче составляет 1/3. Ответьте на следующий вопрос. Предполагая, что ничьих нет. (2) Рассчитайте вероятность того, что A выиграет в четвертом матче.'

'A и B играют в игру, где первым побеждает тот, кто выигрывает 3 раза. Вероятность победы A в одной игре составляет 1/3. Ответьте на следующие вопросы. Предположим, что ничьих нет. (3) Определите вероятность победы A.'

'Два игрока A и B играют в игру многократно. В каждой игре вероятность победы A над B составляет 2/3, а вероятность победы B над A составляет 1/3.\n1. Если первый, кто выиграет 3 раза, объявляется победителем, то найдите вероятность победы A.\n2. Когда один игрок выигрывает на 2 раза больше, чем другой, побеждает тот, у кого больше побед. Найдите вероятность того, что A победит к концу четвёртой игры.'

'Выберите случайное четырехзначное целое число между 1000 и 9999 и найдите вероятность того, что по крайней мере две цифры будут одинаковыми.'

'При игре в камень, ножницы, бумага с 3 людьми, рассчитайте вероятность не закончить игру вничью.'

''

'Объясните, как определить вероятность победы каждого игрока в соревновательной игре.'

'Компания X провела исследование, чтобы определить, какой из их собственного продукта, карандаша A, или карандаша B другой компании Y проще писать. Вначале две трети всех респондентов сказали, что A проще писать. Позже, после того как компания Y улучшила карандаш B и провела другое исследование, 14 из 30 человек сказали, что A проще писать. Можно ли сделать вывод, что удобство письма с A уменьшилось по сравнению с B? Используя концепцию проверки гипотез, рассмотрите каждый из следующих случаев. Используйте приведенный выше пример эксперимента бросания кубика.'

'Точки A, B, C, D, E, F расположены по часовой стрелке на окружности. Бросьте кубик, и если выпадет 1 или 2, двигающаяся точка P продвигается на две соседние точки по часовой стрелке, а если выпадет 3, 4, 5 или 6, она продвигается на одну соседнюю точку против часовой стрелки. Начиная с точки A и бросая кубик 5 раз для передвижения, найдите вероятность нахождения в точке B.'

'Пожалуйста, объясните правило сложения вероятностей, когда события A и B никогда не происходят одновременно.'

'Какова вероятность того, что сумма чисел будет равна 5, когда одновременно бросают три кубика.'

'Базовая вероятность 57 причин\nСуществуют машины А и В для производства компонентов, с коэффициентом дефектов 3% для А и 5% для В. Предположим, что детали из А и В смешиваются в соотношении 7:3 и из смеси выбирается одна деталь, при этом событие ее дефектности обозначается как Е. В этом случае рассчитайте следующие вероятности.\n(1) Вероятность P(E)\n(2) Вероятность того, что событие Е произошло из-за машины А'

'При одновременном броске трех кубиков, найдите вероятность того, что сумма чисел равна 5.'

'В коробке A 3 красные шары и 2 белые шары, всего 5 шаров, а в коробке B 3 красные шары и 4 белые шары, всего 7 шаров. Когда из A и B берут по 2 шара, вероятность того, что все 4 взятые шары будут красными, равна A, а вероятность того, что из 4 взятых шаров 2 красных и 2 белых, равна B.'

'Когда 3 человека играют в камень, ножницы, бумага один раз, найдите вероятность ничьей.'

'Есть 2789 карт, на каждой из которых написаны буквы D, A, I, G, A, K, U. После того, как эти 9 карт тщательно помешаны, они укладываются в один ряд. Какова вероятность того, что эти карты будут расположены слева направо в порядке D, G, K, U, когда видятся только карты с буквами D, G, K, U? Эта вероятность обозначается как A. Кроме того, вероятность того, что три карты I будут идти подряд, обозначается как B.'

'(i) Есть 2 случая, когда сумма чисел на 3 картах нечетная:'

'Вероятность и её основные свойства'

'Бросьте одновременно 3 кубика размерами большой, средний и малый, что приведет к получению очков a, b, c соответственно. Ответьте на следующие вопросы:\n(1) Найдите вероятность того, что 1/a+1/b≥1.\n(2) Найдите вероятность того, что 1/a+1/b≥1/c.'

'Есть три абитуриента A, B, C. Если вероятность того, что каждый человек сдаст в свою желаемую школу, составляет 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно, найдите следующие вероятности:'

'Какова вероятность определения результата, когда два человека играют в камень, ножницы, бумагу один раз?'

'Когда одновременно бросают две кости, пусть меньшее из двух чисел (или число само, если они равны) обозначается как X, а большее (или число само, если они равны) обозначается как Y. Задав постоянную a как целое число от 1 до 6, найдите вероятности следующим образом: (1) X>a (2) X≤a (3) X=a (4) Y=a'

'В некотором эксперименте, когда каждое элементарное событие имеет равные шансы на возникновение, говорят, что эти элементарные события равновероятны. В таком эксперименте, если общее количество возможных исходов равно N, а количество раз, когда событие A происходит, равно a, найдите вероятность того, что событие A произойдет, P(A).'

'Есть 20 карточек с целыми числами от 1 до 20, написанными на них.'

'Основная задача перестановки 44 Вероятность независимых испытаний\n(1) Когда бросают кубик и монету одновременно, найдите вероятность того, что на кубике выпадет число 4 или меньше, а на монете будет орёл.\n(2) В мешке A находится 6 белых шаров и 4 черных шара, а в мешке B - 8 белых шаров и 2 черных шара. Когда из мешка A берут 3 шара, а из мешка B - 2 шара, найдите вероятность того, что все они будут белыми шарами.\nСтраница 329 Основная информация 11\nC. HART \\& РЕШЕНИЕ'

'При броске двух кубиков одновременно, какова вероятность того, что минимальное значение равно 3 или максимальное значение равно 4? Всего 36 возможных исходов.'

'В мешке есть 3 белых шара и 6 черных шаров. Когда из мешка одновременно извлекают 4 шара, вычислите вероятности следующих событий:\n(1) Извлечение 1 белого шара и 3 черных шаров.\n(2) Извлечение 4 шаров одного цвета.'

'5 Событий и Вероятность'

'Пример задачи\nВ общем случае, когда из 100 карт, пронумерованных от 1 до 100, вытаскивается одна карта, найдите вероятность того, что номер будет кратен 3 или 4.'

'В определенной компании была разработана ручка B, улучшающая уже существующую ручку A. Чтобы оценить удобство письма, был проведен опрос среди 20 случайно выбранных людей, чтобы определить, с какой из них, A или B, легче писать. Результат показал, что 15 человек выбрали B. Можно ли сделать вывод из этого результата опроса, что потребители ценят B как более удобный для письма? Используйте вероятностный критерий 0,05 и рассмотрите результаты следующего эксперимента с монеткой. Эксперимент: Подбросить честную монету. Затем бросить монетку 20 раз в один набор и записать количество раз, когда выпадает орел в каждом наборе. Повторив этот эксперимент 200 раз, результаты следующие.'

'Найдите вероятность получить 4 шара одного цвета.'

'Из колоды из 52 карт без джокера, A и B тянут по одной карте поочередно. Рассчитайте следующие вероятности без возвращения:\n(1) A и B тянут карту червей\n(2) Только B тянет карту червей'

'Основы комбинаций.'

'Объясните вероятность и её основные свойства, и рассчитайте вероятности для следующих случаев.'

'При случайном расположении 5 букв слова DREAM в строку, найдите вероятности для следующих случаев:\n(1) Правый конец - это E.\n(2) A и D соседние.'

'При броске двух игральных костей одновременно выясните вероятность того, что сумма чисел на костях равна 4.'

'Из сумки, содержащей 5 красных бусин и 4 белых бусины, какова вероятность того, что одновременно вытащат 4 бусины двух разных цветов?'

'При броске 3 костей одновременно вычислите следующие вероятности: (1) Вероятность получить хотя бы одно нечетное число (2) Вероятность того, что сумма трех чисел не равна 4'

'При одновременном броске 3 кубиков найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность получить хотя бы одно нечетное число\n(2) Вероятность того, что сумма трех чисел не будет равна 4'

'Подбрасывая одну монету 6 раз, найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность получить 4 или более орлов\n(2) Вероятность получить как минимум 1 орла'

'В мешке 6 красных шаров и 4 белых шара. Найдите вероятность того, что одновременно извлекутся один красный шар и один белый шар при извлечении 3 шаров из мешка.'

'Проверка гипотез - это процесс определения, является ли гипотеза о популяции статистически верной с использованием данных полученных выборок.'

'При одновременном броске трех кубиков найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность того, что все результаты будут 3 или более\n(2) Вероятность того, что самый маленький результат будет 3'

'Из 10 лотерейных билетов, 2 содержат выигрышный приз. Если вы вытаскиваете по одному билету и возвращаете его, после 4 вытаскиваний, какова вероятность того, что количество выигрышных и проигрышных билетов будет равным?'

'Изучить процент ответов по возрастным группам в многовариантном опросе.'

'В мешке 5 красных шаров и 4 черных шара. Когда из этого мешка одновременно извлекают 3 шара, найдите следующие вероятности: (1) Вероятность того, что все 3 шара будут одного цвета. (2) Вероятность того, что только 2 шара будут одного цвета.'

'Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел, если монету бросить 3 раза?'

"Найдите событие 'выпадение четного числа или простого числа' в предыдущей задаче."

'Рассчитайте следующие вероятности:\n(1) Вероятность выпадения ровно одного орла при бросании монеты три раза\n(2) Вероятность выпадения хотя бы одного орла при бросании монеты три раза\n(3) Вероятность выпадения двух или более последовательных орлов при бросании монеты четыре раза\n(4) Вероятность того, что не выпадет два и более последовательных орла при бросании монеты пять раз'

'Бросьте кубик три раза. Найдите вероятность того, что сумма результатов будет равна 6.'

'7 Независимых испытаний и вероятность'

'При бросании шестигранного кубика четыре раза найдите следующие вероятности: (1) Вероятность того, что минимальное значение будет 1 (2) Вероятность того, что минимальное значение будет 1 и максимальное значение будет 6'

'Рассчитайте вероятность получения по крайней мере 3 белых шаров, когда из мешка, содержащего 3 белых шара и 6 красных шаров, выбирают шар, просматривают его цвет и возвращают обратно в мешок на 4 последовательных испытаниях.'

'В одной компании была разработана модифицированная версия ручки A, названная ручкой B. Для оценки удобства письма было проведено исследование среди 20 случайно выбранных лиц, чтобы определить, с каким из них легче писать, A или B. Результаты показали, что 12 человек предпочли B. Можно ли сделать вывод из результатов этого исследования, что потребители считают, что B легче писать? Стандартная вероятность установлена на уровне 0.05 и делаются соответствующие рассуждения на основе результатов следующего эксперимента бросания монеты. Бросая равную монету и повторяя эксперимент 20 раз в одном наборе, записывая количество раз, когда выпадает орел в одном наборе. После повторения этого эксперимента 200 раз, результаты следующие:'

'Подбросив кубик 4 раза, найдите следующие вероятности: (1) Вероятность получить минимальное значение 1 (2) Вероятность получить минимальное значение 1 и максимальное значение 6'

'Есть 9 карт с числами от 1 до 9. При одновременном извлечении 3 карт найдите вероятность того, что сумма чисел на этих 3 картах будет нечётной.'

'При одновременном броске 3 монет, какова вероятность, что все 3 монеты выпадут орлом?'

'Какова вероятность того, что при броске двух кубиков размером 2 одновременно произведение двух кубиков окажется кратным 10?'

'При извлечении одного мяча из мешка, содержащего по одному красному, синему, желтому и белому мячу, найдите вероятность вытянуть красный мяч.'

''

''

'Найдите вероятность того, что при броске монеты 5 раз выпадет ровно 3 орла.'

'Из мешка, содержащего 4 красные шары и 3 белые шары, рассчитайте следующие вероятности при извлечении 2 шаров одновременно: (1) вероятность того, что оба шара будут красными (2) вероятность того, что будет извлечены шары разных цветов'

'Базовый пример 38 000 описывает сценарий, в котором из трех ящиков A, B, C извлекается 1 билет, каждый из которых содержит выигрышные билеты с вероятностями 1/4, 2/3, 1/2 соответственно. Когда из каждой коробки извлекается 1 билет, рассчитайте следующие вероятности:'

'В лотерее из 12 билетов с 2 выигрышными билетами лица A, B, C вытаскивают по одному билету по порядку. В случае с 44^3 рассчитайте вероятность того, что выиграют только A и C, когда: (1) билеты заменяются после вытаскивания (2) билеты не заменяются. Испытания, в которых A, B, C вытаскивают билеты, независимы. A, B, C вытаскивают по одному билету из 12, включая 2 выигрышных билета. Поскольку A и C побеждают, а B проигрывает, вероятность рассчитывается как (2/12) * (10/12) * (2/12) = 5/216. Учтите вероятность независимых событий с возвращением.'

'В этом наборе из 8 вопросов, где кружки обозначают правильные ответы, а крестики - неправильные, какова вероятность получить ровно 2 правильных ответа, случайно отмечая кружки и крестики?'

'Три человека A, B и C играют в камень, ножницы, бумага один раз. Найдите вероятность победы A и B.'

'При одновременном броске кубика и монеты найдите вероятность того, что на кубике выпадет нечетное число и на монете выпадет решка.'

'В мешке 6 красных шаров с номерами от 1 до 6 и 5 синих шаров с номерами от 1 до 5. Когда из мешка вытаскивается один шар, найдите вероятность того, что число на шаре будет нечетным или это будет синий шар.'

"Рассмотрим следующий эксперимент: 'Одновременное бросание двух игральных костей'. Рассчитайте вероятность того, что 'хотя бы одна кость покажет 6'."

'Есть сумка, содержащая 6 красных шаров с номерами от 1 до 6 и 5 синих шаров с номерами от 1 до 5. Найдите вероятность вытащить шар с нечетным номером или синий шар, когда вытаскивается один шар из сумки.'

'Рассчитайте вероятность получения хотя бы одной шестёрки при броске кубика.'

'При броске монеты три раза, какова вероятность получить орла только один раз?'

'Из мешка, содержащего 5 красных мраморных шаров и 4 белых мраморных шаров, какова вероятность вытащить 4 мраморных шара одновременно с двумя разными цветами?'

'При одновременном броске 3 кубиков посчитайте следующие вероятности:\n(1) Вероятность того, что все кубики покажут 3 или более\n(2) Вероятность того, что наименьшее выпавшее число будет 3\n[Источник: Университет Шига]'

'Когда играете в камень, ножницы, бумагу с 3 людьми, определите вероятность ничьей.'

'При броске двух костей одновременно найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность не получить одинаковое число\n(2) Вероятность получить хотя бы одно четное число'

'Вероятность и её основные свойства'

'Пусть n - натуральное число, и имеется в общей сложности (2n+1) карточка, на которых написаны числа 0, 1, 2, ⋯, 2n, каждое число появляется всего один раз. Случайным образом выберите одну карточку, пусть число на ней будет обозначено X. Найдите вероятность того, что Y=k для всех k=0, 1, 2, ⋯, 2n, когда Y определено согласно следующим шагам. Кроме того, найдите дисперсию Y. (a) Если X - нечетное, тогда Y=X. (b) Если X - четное (включая 0), тогда верните карточку, случайным образом выберите снова одну карточку из всех, и пусть на ней написанное число будет Y.'

'Имеются 9 карт с номерами от 1 до 9. Из этих карт последовательно без возвращения извлекаются 4 карты, обозначенные как a, b, c, d. (1) Найдите вероятность того, что произведение a b c d будет четным. (2) Положив тысячные места карты как a, сотенные как b, десятки как c и единицы как d, найдите ожидаемое значение 4-значного числа N. [Акита]'

'Нельзя утверждать, что вероятность выпадения 671 на кубике равна 1/6.'

'На что следует обращать внимание при покупке цифровых учебных материалов?'

'Опрос 600 шестиклассников, выбранных случайным образом из определенного регионального начальной школы, показал, что 262 из них имели кариес. Утверждается, что доля шестиклассников с кариесом во всей стране составляет 40%. Можно ли сказать, что доля шестиклассников с кариесом в начальной школе этого региона превышает национальный уровень? Проверьте при следующих уровнях значимости.'

'Когда функция плотности вероятности случайной величины X задается f(x) = 1-\x0crac{1}{2} x (0 ≤ x ≤ 2), найдите указанные вероятности.'

'Среднее значение выборки X̄=6,5, стандартное отклонение популяции σ, размер выборки n=250. Следовательно, доверительный интервал для среднего значения популяции m с уровнем доверия 95% составляет [6,5-1,96⋅σ/√250, 6,5+1,96⋅σ/√250]'

'В определенном эксперименте переменная, значение которой определяется результатом эксперимента и для каждого значения определены вероятности, называется случайной переменной. Как правило, для случайной переменной X, которая может принимать значения x1, x2, ..., xn, и соответствующие вероятности p1, p2, ..., pn, выполняются следующие условия.'

'На n карточках написаны числа 1, 2, 3, ..., n по одному на каждой. При случайном выборе двух карточек из этих карточек, пусть меньшее число будет обозначено как X, а большее число как Y. Предполагается, что n ≥ 2. (1) Найдите вероятность того, что X = k, где k = 1, 2, 3, ..., n. (2) Найдите ожидаемое значение X. (3) Найдите дисперсию Y.'

'Базовая задача 75 Закон больших чисел\nНайдите вероятность того, что среднее значение выборки X̄, взятое из совокупности с показателем среднего 0 и стандартным отклонением совокупности 1, находится в пределах от -0,1 до 0,1 для каждого случая n=100, 400, 900.'

'В определенном районе A измерили рост 400 мальчиков в возрасте 15 лет, что дало среднее значение 168,4 см и стандартное отклонение 5,7 см. Найдите 95% доверительный интервал для среднего роста мальчиков в возрасте 15 лет в A.'

'В районе Y доля поддержки партии B была 1/3. Партия B выдвинула определенную политику и возникло подозрение на изменение доли поддержки. Поэтому было проведено опрос 30 человек, из которых 15 поддержали партию B. Можно ли сделать вывод, что доля поддержки партии B выросла? Проанализируйте каждый случай, используя концепцию проверки гипотез. Предположим, что был проведен эксперимент 200 раз, бросив справедливый 30-гранный кубик, и результаты количества появлений чисел от 1 до 4 представлены в таблице:'

'Диаграмма рассеяния справа - это диаграмма рассеяния оценок по 100 баллов для 187 кандзи и английских слов в классе из 30 человек. (1) Исходя из этой диаграммы рассеяния, исследуйте, существует ли корреляция между оценками за кандзи и английские слова. Если корреляция есть, укажите, является ли она положительной или отрицательной. (2) Исходя из этой диаграммы рассеяния, составьте таблицу частот для английских слов. Класс установлен как “полный”.'

'Можно сказать, что данный кубик склонен выпадать на 1.'

'Корреляция данных'

'A и B сыграли в игру 9 раз. A выиграл 7 раз. Можем ли мы сделать вывод, что A сильнее B на основе этого результата? Используя концепцию проверки гипотез, обсудите с уровнем значимости 0.05. Предполагая, что в игре нет ничьих.'

'Расчет среднего и дисперсии с помощью интеграции данных'

'После 10 игр А выиграл 7 раз. Можем ли мы заключить, что А сильнее В, исходя из этого результата? Используя концепцию проверки гипотез с уровнем значимости 0.05. Предполагая, что в играх нет ничьих.'

"Компания создала образ маскота и провела опрос среди 20 человек, из которых 13 ответили, что 'образ компании улучшился'. Можно ли заключить, что образ компании действительно улучшился? Используя концепцию проверки гипотез, рассмотрите уровень значимости 0.05. Тем не менее, известно, что эксперимент по подбрасыванию честной монеты 20 раз был проведен 200 раз, и результаты таковы, как показано в таблице ниже. Пожалуйста, используйте эти результаты для анализа."

'Упражнение 22\n(1) После первой операции помеченное лицо всегда будет находиться на боковой поверхности, поэтому вероятность того, что отмеченное лицо последовательно появится на боковой поверхности после следующей операции, составляет\n\\\\n\\\\frac{2}{4}=\\\\frac{1}{2}\n\\\'

'Из этих четырех этапов, основным детерминантом успеха или неудачи, вероятно, являются рекомендации на втором этапе. Конкретный подход можно увидеть на диаграмме в тексте, но сначала рассмотрим некоторые общие соображения.'

'Для вычисления вероятности того, что старший разряд равен k, вычислите ширину диапазона Lk, включающего n.'

''

'При одновременном броске 12 кубиков, какова вероятность того, что сумма будет простым числом?'

'Пример 23 | Комбинации и вероятности\nЕсть 4 карты каждого из красного, синего и желтого цветов, на каждой карте написаны числа от 1 до 4. Когда из этих 12 карт случайным образом извлекают 3 карты, найдите вероятности следующих событий:\n(1) Все карты одного цвета.\n(2) Все числа разные.\n(3) Все цвета и числа разные.\n[Сайтамская медицинская университет]'

'Вычислить вероятность'

'Вычислить вероятность'

'Рассчитать вероятность'

'Рассчитайте вероятность выпадения 3 орлов при подбрасывании монеты 6 раз.'

'При броске кубика один раз вероятность получить простое число составляет \\\frac{3}{6}\, а вероятность получить составное число также \\\frac{3}{6}\. \\({}_{5}\\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}=5\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}\\)\n(i) Событие получения как минимум 4 простых чисел происходит при получении 4 или 5 простых чисел, поэтому вероятность равна\n\\(\\frac{5}{32}+\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}+\\frac{1}{32}=\\frac{3}{16} \\)'

'Вычисление вероятности'

'Рассчитать вероятность'

'Из события, когда все извлеченные карты равны 7 или меньше, за исключением случая, когда все они равны 6 или меньше, найдите вероятность того, что при извлечении одной карты максимальное значение будет 7.'

'Вероятность точки двигаться вокруг периметра 31 фигуры'

'Пример 24 | Вероятности камень-ножницы-бумага\nКогда 4 человека играют в камень-ножницы-бумага один раз, найдите следующие вероятности:\n(1) Вероятность того, что победит только один человек\n(2) Вероятность того, что победят 2 человека\n(3) Вероятность ничьи'

'Рассчитать вероятность'

'Вычисление вероятности'

'12. Вычисление вероятностей'

'Вероятность забить гол с одного удара составляет \ \\frac{2}{3} \'

'Из мешка, содержащего 3 красные шары и 3 синие шары, извлекают два шара, проверяют их цвета и затем возвращают обратно в мешок. Этот процесс повторяется 2 раза. Найдите вероятность того, что из 4 шаров, извлеченных после 2 попыток, 2 красных и 2 синих.'

'Кубик был брошен 8 раз, и четное число выпало 7 раз. Можно ли сделать вывод из этого результата, что кубик имеет предвзятость к четным числам? Обсудите, используя принципы проверки гипотез с уровнем значимости 0,05.'

'Математика I'

'(2) В одном испытании движение камня против часовой стрелки обозначается +, движение по часовой стрелке обозначается -, не двигаться обозначается 0. После 4 испытаний есть 5 комбинаций, когда камень находится в C:\n[1] (+,+,0,0)\n[2] (+,+,+,-)\n[3] (-,0,0,0)\n[4] (-,-,+ ,0)\n[5] (-,-,-,-)\nВероятность одной итерации'

'Расчет вероятностей'

'Вычисление вероятностей'

'Какие особенности изучения математики, и в чем отличие от других предметов?'

'При выборе мешка, содержащего 5 красных самоцветов, 4 белых самоцвета и 3 синих самоцвета, какова вероятность извлечь красный самоцвет?'

'При бросании 3 монет одновременно, определите вероятность выпадения 1 орла и 2 решек.'

'Вычислите следующие вероятности:'

'Событие суммы чисел на кубике, равной 6, является объединенным событием событий A, C и D, которые являются взаимно исключающими.'

'Зачем изучать математику?'

'При броске двух кубиков, какова вероятность того, что на большем кубике выпадет нечетное число, а на меньшем - 5 или больше?'

'Найти вероятность того, что в n-м раунде будет определен только один победитель.'

'Вероятность того, что A выиграет в каждом матче, составляет 1/3, а вероятность выигрыша B равна 2/3.\nДля победы A существуют три случая:\n12 испытаний независимы и вероятности могут умножаться.\nПравило сложения (сумма вероятностей)\nИсключая простые числа, один раз ✔️\n${ }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}$\n4 простых числа из 5 событий\n4 простых числа из 5 событий\nИспользуя правило сложения.\n2 из 3 определены.\nИзмените перспективу для сложных вероятностей (дополнительные события).\n${}_{6} \\mathrm{C}_{3} \\times{ }_{3} \\mathrm{C}_{1} \\times{ }_{2} \\mathrm{C}_{2}$ тоже работает.\nУмножьте вероятности для случая 60 возможностей, где X происходит 3 раза, Y происходит 1 раз, а Z происходит 2 раза.\nВероятность того, что B выиграет, равна 1-1/3'

'Из колоды из 52 карт, исключая джокера, когда берется 1 карта, какие два события взаимно исключают друг друга среди событий A: выпадение туза, B: выпадение червы, C: выпадение картинки?'

'Есть 27 карт с номерами от 1 до 9, по 3 карты на каждый номер. После тщательного перемешивания, когда вытаскивают 2 карты, оцените следующие вероятности:\n(1) Вероятность получить две карты с одинаковым номером\n(2) Вероятность получить две карты с одинаковым номером или чтобы сумма чисел не превышала 5.'

''

'Вычисление вероятности'

'27. Расчет вероятности'

'После игры между A и B 10 раз, A победил 8 раз. Можем ли мы сделать вывод из этого результата, что A сильнее, чем B? Используйте понятие проверки гипотез с уровнем значимости 0,05 для анализа. Предположим, что в игре нет ничьих.'

'Бросьте кубик 3 раза, пусть X будет произведением всех результатов. Найдите вероятность того, что X больше 2.'

'Рассчитать вероятность'

'Рассчитать вероятность'

"Иногда вероятность наступления события выражается числом. Это число называется 'вероятность'. Основываясь на определении вероятности, в этой главе рассматриваются теоремы и свойства вероятности (включая теорему сложения вероятностей, теорему умножения, вероятность независимых событий и т. д.), и используя концепции, изученные в предыдущих главах, такие как перестановки и сочетания, учится вычислять вероятности. Кроме того, исследуется концепция среднего значения числовых результатов экспериментов, также известного как математическое ожидание."

"Когда три стрелка A, B и C стреляют по мишени одним стрелом, вероятности попадания в цель составляют соответственно 1/2, 1/3 и 1/4. Поскольку Γ×1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1, идея о том, что 'по крайней мере один человек попадет в цель', является верной."

'Рассчитайте вероятность'

'Пример 32 Вероятность максимального и минимального значений\nКогда кубик бросают 4 раза, найдите следующие вероятности.\n(1) Вероятность того, что минимальное значение равно 3.\n(2) Вероятность того, что минимальное значение равно 1, а максимальное значение равно 6.'

'Вычисление вероятности'

'Найдите вероятность того, что A выиграет 4 матча подряд и завоюет чемпионство после второго матча.'

'События [1] по [3] взаимно исключающие, поэтому рассчитайте необходимую вероятность.'

'28. Вычисление вероятности'

'Найдите общее количество способов и вероятность вытянуть 3 числа, сумма которых равна 0.'

'Есть 36 возможных исходов при броске двух кубиков (способы).'

'Расчёт вероятности'

'Рассчитать вероятности'

'Вычислите вероятность'

Это 'общий диапазон' или 'объединённый диапазон'? В ответе на пример 44 на предыдущей странице есть случаи, когда спрашивается 'общий диапазон' и случаи, когда спрашивается 'объединённый диапазон'. Давайте более подробно рассмотрим их различия, основываясь на ответе на пример 44.