Основы алгебры - Решение неравенств

'Практикуйте доказательство того, что для любых положительных действительных чисел $a, b, x, y, z$ следующие неравенства верны и определите условия, при которых происходит равенство.'

'Решите неравенство log_{x} y+2・\\frac{1}{log_{x} y}<3. Предположим, что log_{x} y=t. Затем мы получаем \\frac{t^{2}-3t+2}{t}<0. Далее, \\frac{(t-1)(t-2)}{t}<0, и мы решаем случаи t>0 и t<0.'

'Исходя из данного неравенства'

'Докажите следующее неравенство.'

'Найти диапазон значений для константы k так, чтобы для любых действительных чисел x, y, удовлетворяющих неравенствам x^{2}+y^{2}-2x-2y ≤ 0 и x-2y+1 ≤ 0, неравенство y-kx-k-1 ≤ 0 всегда выполнялось.'

'Докажите следующие неравенства:'

'Найдите диапазон значений для постоянной a, чтобы неравенство 3a^2x-x^3≤16 всегда выполнялось для x≥0.'

'Когда x равен 29. Иными словами, нам просто нужно найти условия, при которых неравенство (2) будет выполнено. Следовательно, из (2) мы имеем a=c и b=d. Упражнение 9|II| => Основная книга стр.52'

'Решите следующие неравенства: (1) 2sinθ - √2 ≥ 0 (2) 2cosθ - 1 < 0 (3) √3tanθ - 1 < 0'

'Докажите следующие неравенства. Также объясните, когда достигается равенство.'

'Решите неравенство $x^{2}+y^{2}<x+y$, постройте область и убедитесь, что оно удовлетворяет другому ограничению $0 < x + y < 2$.'

'Найдите диапазон вещественных чисел a так, чтобы неравенство 4t^2+at+1-a>0 всегда было истинным при t>0.'

'Доказательство неравенства (2)'

'Важный пример 118 Регион, представленный логарифмическим неравенством'

'Доказательство многомерных неравенств, связанных с последовательностями'

'Докажите 4x + 2/y ≥ 2√(2x/y).'

'Найти область, представленную неравенством: (1) Граничная линия - прямая линия'

'Найдите область, представленную системой неравенством.'

'Когда одновременно выполняются три неравенства x-y ≥ -2, x-4y ≤ 1, 2x+y ≤ 5, найдите диапазон возможных значений x+y.'

'Область, представленная неравенством'

'Докажите, что следующие неравенства верны, когда a>0, b>0, c>0, d>0. Также определите условия, при которых неравенство становится равенством.'

'Докажите следующее неравенство и определите, когда равенство справедливо.'

'Когда x>1, найдите минимальное значение x+1/(x-1).'

'Доказательство неравенства (3)... с использованием (действительные числа)^2 ≥ 0 [Часть 2]'

'Найдите область, представленную неравенством: (2) Граница - это круг'

'Для 0 ≤ x < 2π найдите диапазон значений x, удовлетворяющий следующему неравенству.'

'Доказательство неравенства (4)... с использованием отношения между квадратами'

'Докажите, что неравенство $x^{3} + 5 > 3 x^{2}$ справедливо.'

'Найдите диапазон значений для x + y, когда x и y удовлетворяют трем неравенствам x - y ≥ -2, x - 4y ≤ 1, 2x + y ≤ 5 одновременно.'

'Найдите максимальное и минимальное значение x+y, когда неравенство 0≤y≤-1/2|x|+3 выполняется, а также соответствующие значения x и y.'

'Доказательство неравенства (5)...неравенство, включающее абсолютное значение'

'Докажите, что следующие неравенства верны, когда a > 0, b > 0. Также определите случаи, когда равенство выполняется. (1) a+9/a ≥ 6 (2) 6b/a + 2a/3b ≥ 4'

'Докажите, что неравенство a+\\frac{1}{4a} \\geqq 1 справедливо при a>0. Также определите условия, при которых достигается равенство.'

'Пожалуйста, решите следующее неравенство: a+8 > \\frac{3 a}{a+1}'

'Решите данный систему уравнений'

'Решите следующие уравнения и найдите диапазон значений для a.'

'Докажите, что неравенство e^x > 1 + x верно, где x не равно 0.'

'Решите неравенство |x-2|>4.'

'Решите следующие неравенства: (1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \\frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x'

'Какого цвета ваша шляпа? - Использование редукции до абсурда -'

'Квадратные неравенства, содержащие параметры'

'Условия для выполнения неравенства во все времена'

'Решение квадратных неравенств (1)'

'Решите следующее неравенство: 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)'

'Каково решение неравенства |3x-6|<b? Если график y=b находится выше графика y=|3x-6|, каков диапазон значений x, который он охватывает? Пожалуйста, объясните для случая, когда b>0.'

'Я уже узнал, что когда α<β, решение для (x−α)(x−β)<0 - это α<x<β. Сейчас мы ищем обратный сценарий.'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Решите следующие неравенства.'

'Каково решение неравенства |3x-6|<ax? Если график y=ax находится выше графика y=|3x-6|, то какому диапазону значений x это соответствует?'

'Решите следующие уравнения и неравенства: (1) |2x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x|≤2'

'Решите эти два квадратных неравенства.'

'Определите значения констант a и b таким образом, чтобы решение квадратного неравенства ax^2+9x+2b>0 было 4<x<5.'

'Определение коэффициентов из решений квадратного неравенства'

'Неравенства и текстовые задачи'

'Решите следующие неравенства. (1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \\frac{3 x + 4}{3}'

'Текстовое представление решения квадратного неравенства'

'Решение неравенств второй степени (2)'

'Решите следующие квадратные неравенства.'

'Решите следующие два неравенства. (2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'Преобразовал неравенство (A) в следующих (1), (2) в уравнения (1), (2), (3) последовательно и вывел (3) как решение (A). Определите, верно ли решение (3) или нет. Если нет, укажите, какое преобразование (A)→(1), (1)→(2), (2)→(3) неверно. Здесь a является постоянным вещественным числом. (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3): x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1'

'Решите неравенство: (4) \ -\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2} \.'

'Решите x(x-1)<0.'

'Исследуйте, верны ли следующие два неравенства для всех действительных чисел x:\n(1) 2x^2-3x+1 < 0\n(2) 2x^2-4x+2 ≥ 0\n(3) 2x^2-5x+4 ≤ 0\n(4) 2x^2-6x+4 > 0'

'Применение двух неравенств (решения:)'

'Решите следующие неравенства:\n(1) \\\left\\{\egin}{l}x^{2}>1+x \\\\ x\\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2\\leqq x^{2}-x\\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2\\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\'

'На уроке Ханако она подумала об неравенстве |3x-6| <ax+b на ее уроке математики, где a, b - константы. Давайте сначала найдем решение неравенства (1), когда a = 2, b = 1.'

'Применение систем неравенств (квадратичных)'

'Решите следующее неравенство: (4) - (2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3'

'Решите уравнение x^{2}-x-6 \\geqq 0.'

'Решите неравенство: 5(x-3) < 3(2x-5)'

'Решите следующие уравнения:\n(1) |3x+8|=5x\n(2) |x+1|+|x-1|=2x+8'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите неравенство (5) |5x-9| ≤ 3 и найдите диапазон x.'

'Решение: Значение x равно [2, 12/5]'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Изучите отношение между следующими 2 числами и выразите их в виде неравенств.'

'Извлеките информацию из решений двух неравенств.'

'Решите следующие неравенства.'

'Исследуйте правдивость следующих утверждений. Используйте множества для исследования (2), (3).\n(2) Для действительных чисел x, если |x|>2, то x>2.\n(3) Для действительных чисел x, если |x+2|<1, то |x|<3.'

'При a = 4, b = 6, найдите диапазон x, который удовлетворяет неравенству (1) |3x - 6| < 4x + 6.'

''

'Решите неравенство \ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \.'

'Решите следующие неравенства. (3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5'

'Решите следующее неравенство: (3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'Доказательство утверждений с использованием противоположности'

''

'Овладейте свойствами неравенств и покорите пример 34!'

'Давайте вспомним основы системы неравенств и квадратных неравенств!'

'Глава 2 Действительные числа, неравенства первой степени: 61 неравенство'

'Давайте вспомним основы квадратных неравенств!'

'Сводка методов решения двух неравенств'

'Абсолютное неравенство'

'Объясните свойства линейного неравенства.'

'Решите следующее неравенство.'

'Решите следующие 2 квадратных неравенства:'

''

'Рассмотрим неравенство |2x-6|<x'

'Объясните основные свойства линейных неравенств.'

'Овладейте свойствами неравенств и покорите пример 34!'

'Практика 3: Применение одновременных неравенств второго порядка'

'Дискриминант, давайте вспомним основы квадратичных неравенств!'

'Решите следующие квадратные неравенства. (1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0'

'(2) $\\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2$'

'Найдите диапазон значений для константы m, чтобы данные два неравенства всегда были верны.'

'Обзор решения двух неравенств'

'Решите неравенство 3|x+1|≥x+5.'

''

'Решением неравенства (1) является, y = |2x-6| - x...диапазон значений x, при которых y < 0 на графике (2). (Используйте график (2) для нахождения решения (1).\n(i) Решение 2x-6 ≥ 0 дает x ≥ , решение 2x-6 < 0 дает x < , поэтому когда x ≥ , (2) равно y = .\nКогда x < , (2) равно y = .'

'Пусть TR(x) - это действительное число. С использованием множеств определите истинностное значение следующих предложений.'

'Решите следующие квадратные неравенства.'

'Решите систему неравенств { |x+1|<\\frac{3}{2}, x^{2}-2 x-3>0 }.'

'Решите следующие неравенства:'

'Практика 1: Неравенство с модулем и график'

'Решите следующие квадратные неравенства.'

'Определите значения констант a и b так, чтобы:\n(1) Решение квадратного неравенства x^2 + ax + b < 0 было -\x0crac{1}{2} < x < 3.\n(2) Решение квадратного неравенства ax^2 + x + b ≤ 0 было x ≤ -1, 2 ≤ x.'

'Решите неравенство 3|x+1| ≥ x+5.'

'Абсолютное неравенство'

'Решите неравенство |2x|+|x-5|≥8.'

'Решите следующие неравенства: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \\\\ 5-3 x<1-x\\end{\overlineray}\\right.'

'Обзор методов решения квадратных неравенств'

'Найдите решение системы неравенств \\(\\left\\{\egin{array}{l}x>3a+1\\\\2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right.\\) и определите диапазон константы \a\, удовлетворяющей следующим условиям.\\n1. Решения не существует.\\n2. Решение содержит 2.\\n3. В решении присутствуют только 3 целых числа.'

'Решите неравенство p x ≥ 2 x-3 для постоянной p.'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите следующие квадратные неравенства.'

'Найдите диапазон значений константы $a$, удовлетворяющий следующим условиям для решения системы неравенств \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right.: (1) Уравнение имеет решение. (2) В решении ровно 3 целых числа.'

'Найдите все значения целого числа x, удовлетворяющие системе неравенств {2(x+1) ≥ 5x-2, -5x < -3x+4}.'

'Докажите неравенство A < B ≤ C.'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите два неравенства, используя график.'

'ТРЕНИРОВКА: 35 (2)'

'(1) y ≥ 0\n(2) y ≤ 0\n(3) 0 ≤ y ≤ 6\n(4) -1 ≤ y < 1'

'Докажите, что 3x+1>x+3 при x>1. (2) Докажите неравенство a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 и определите условия равенства.'

'Решите неравенство \\\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \.'

'(1) Докажите, что если x+y>0 и x-y>0, то 2x+y>0.'

'Докажите, что следующие неравенства верны.'

'Постройте область, представленную следующим неравенством.'

'Доказать следующее неравенство.'

'Докажите следующие неравенства:'

'Докажите, что неравенство выполняется'

'Решите неравенство $2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5$.'

'Какое неравенство представляет затененную область справа от области A? Предположим, что оно не включает граничные линии.'

'Решение экспоненциальных неравенств: Решите следующее экспоненциальное неравенство.'

''

'Решите неравенство 2log₃x - 4logₓ27 ≤ 5.'

''

'Докажите следующие неравенства и определите, когда достигается равенство.'

'Решение логарифмических неравенств (2): Решите следующее логарифмическое неравенство.'

'Найдите максимальное и минимальное значения x-4 y, когда неравенства x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0, 3 x+y-18 <= 0 выполняются.'

'Докажите неравенство $\\frac{3}{10}<\\log_{10} 2<\\frac{4}{13}$, не используя $\\log_{10} 2=0.3010 \\cdots \\cdots$. Учитывая, что $2^{10}=1024,2^{13}=8192$, мы имеем $10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4 }$. Взяв обычный логарифм с обеих сторон этих неравенств.'

'Решите неравенство: \9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}\'

'Найдите минимальное значение a такое, что неравенство a sin ^{2} x+6 sin x+1 всегда выполняется.'

'Когда PR (x, y) удовлетворяет 4 неравенствам x≥0, y≥0, x-2y+8≥0, 3x+y-18≤0, найдите максимальное и минимальное значения x-4y.'

'Рассмотрены вопросы, которые не рассматриваются в учебнике STEP UP, особенно те, которые требуют особого внимания.'

'Докажите, что следующие неравенства справедливы, если a ≥ 0 и b ≥ 0 в PR. Также определите условия, при которых неравенство становится равенством.'

'Способ решения логарифмического неравенства (1): решите следующее логарифмическое неравенство.'

'Отрицание условий'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Найдите диапазон значений абсолютных неравенств'

'Решите следующие уравнения:\n(1) $|x-2|=3x$\n(2) $|x-1|+|x-2|=x$'

'Решите неравенство a(x+1) > x + a^{2}, где a - постоянная.'

'Найдите диапазон констант m, для которого неравенство x^2 - 2mx + m + 6 > 0 справедливо для всех значений x в диапазоне 0 ≤ x ≤ 8.'

'Найдите диапазон значений постоянной a так, чтобы неравенство a(x^2+x-1)<x^2+x выполнялось для всех действительных чисел x.'

'Метод решения неравенств с модулями'

'[1] При \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \, неравенство\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nТаким образом, \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \, следовательно, \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nСледовательно, \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \'

'Решите следующие неравенства.'

'Для a>0 и D>0, если два различных действительных решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 - α и β (α<β), то решения будут x < α или β < x при a x^2 + b x + c > 0. Решения будут α < x < β при a x^2 + b x + c < 0. Решения будут x ≤ α или β ≤ x при a x^2 + b x + c ≥ 0. Решения будут α ≤ x ≤ β при a x^2 + b x + c ≤ 0.'

'Решите два неравенства $a(x-3a)(x-a^2)<0$. где $a$ - ненулевая константа.'

'Решение двух неравенств (2) при α<β, если есть знак равенства, он будет включен в решение'

'Найдите все значения натурального числа x, удовлетворяющие 5x - 7 < 2x + 5.'

'x ≤ 3 и y > 2'

'Найдите диапазон неравенства x^2-4x+1=t.'

'Свойства линейных неравенств: Если a < b, то a + c < b + c, a - c < b - c. Если a < b и c > 0, то ac < bc, a/c < b/c. Если a < b и c < 0, то ac > bc, a/c > b/c. Если a < b и b < c, то a < c.'

'Решите следующие системы неравенств: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2(1-x)>-6-x \\\\ 2 x-3>-9\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3(x-4) \\leqq x-3 \\\\ 6 x-2(x+1)<10\\end{\overlineray}\\right. (3) Решите неравенство $x+9 \\leqq 3-5 x \\leqq 2(x-2)$.'

'В уравнениях или неравенствах, содержащих абсолютные значения, уберите абсолютное значение и решите уравнение или неравенство, считая выражение внутри абсолютного значения точкой перелома.'

'Решите следующие линейные неравенства.'

'Решите следующие уравнения и неравенства:'

''

'Покажите |x-4|>3x как (*)'

'Найдите диапазон значений постоянной а, в котором существуют ровно 3 целых числа x, одновременно удовлетворяющие неравенствам x²-(a+1)x+a≤0 и 3x²+2x-1≥0.'

'Найдите диапазон констант a, для которых неравенство ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx ≥ 0 выполняется для любых действительных чисел x, y, z. Исходное неравенство переформулируется относительно y как y^2 - (z + x)y + a(z^2 + x^2) - zx ≥ 0.'

'Практикуйте формулирование отрицания следующих утверждений и определение истинности их исходных утверждений и их отрицаний.'

'Линейное неравенство с модулем (используя графический метод)'

'Попробуйте решить следующие неравенства.'

'Решите неравенство \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \.'

'Практикуйтесь в выражении отрицаний следующих утверждений.'

'[1] При \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \, неравенство имеет вид \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \. Упрощая, получим \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \, поэтому \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\). Следовательно, \ \\quad-1<x<3 \. Общий диапазон с \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ равен \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \'

'Решите неравенство ax > 3x - b.'

'Когда a=-1, y является постоянной в интервале -1 ≤ x ≤ 2.'

'Докажите |x-4|<3x.'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите неравенство |2x-3| ≤ |3x+2|.'

'Пусть a, b, c и p - вещественные числа. Предположим, что множество вещественных чисел x, удовлетворяющих неравенствам ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0 и cx^2+ax+b>0, совпадает с множеством вещественных чисел x, удовлетворяющих x>p.'

'Найдите диапазон значений'

'Для всех действительных чисел x, y, если 9x²-12xy+4y²>0'

'Практика решения следующих квадратичных неравенств.'

'Решите следующие неравенства:'

'(2) x>12'

''

'Практика по решению следующих систем линейных неравенств.'

'Решите следующие уравнения и неравенства:\n(1) |x-3| + |2x-3| = 9\n(2) ||x-2|-4| = 3x\n(3) |2x-3| ≤ |3x+2|\n(4) 2|x+2| + |x-4| < 15'

'Пожалуйста, объясните основные свойства линейных неравенств.'

'Решите неравенство 2x^4-11x^2+5>0.'

'Решите следующие линейные неравенства:\n(1) 4x - 5 > 3x + 2\n(2) -2x + 7 ≤ 5'

''

'Методы решения неравенств, включающих тригонометрические отношения'

'Решите следующие квадратные неравенства.'

'Предположим неравенство A < B и докажем следующие неравенства:\n1. A + C < B + C\n2. A - C < B - C\n3. A * C < B * C (где C > 0)\n4. A / C < B / C (где C > 0)'

'Решения:\n(1) x > 2\n(2) x > -23\n(3) 11/5 < x < 3\n(4) -2 < x < 0\n(5) -6/5 <= x <= 3\n(6) x < -2 или x > 6'

'Решите следующие неравенства:\n(1) x+3<2\n(2) 2x ≥ 5\n(3) -3x ≤ 4'

'Решите неравенство \|x^{2}-4| \\leqq x+2\.'

'Проблема абсолютного неравенства.'

'Решите следующее квадратное неравенство. (6) 2 x-3>-x^{2}'

'Является ли решением неравенства (5) x > 0?'

'Решите следующее квадратное неравенство: (5) 4 x^{2}-5 x-3<0'

'Решите неравенство, содержащее абсолютное значение.'

'Решите следующие уравнения или неравенства.'

'Когда старший брат дает 3 карандаша младшему брату, у младшего брата получается больше'

'Решите следующие неравенства.'

'Найдите условия для действительных чисел a и b, таких что ax^2 + 2bx + 1 > 0 выполняется для всех действительных чисел x.'

'Решите следующую систему неравенств.'

'Решите неравенство 2x^{2} - 3x - 5 > 0.'

'(4) ≤'

'(4) Решите неравенство x^{2}-2 x-2 \\leqq 0'

'Пусть а и b будут постоянными, и пусть x^{2}-5 x+6 ≤ 0 (1), x^{2}+a x+b < 0 (2). Учитывая, что не существует значений x, которые удовлетворяют одновременно (1) и (2), и диапазон значений x, которые удовлетворяют (1) или (2), равен 2 ≤ x < 5. Найдите значения a и b.'

'Решите неравенство | x ^ {2} -2x | > 2-x с модулем.'

''

'Решите следующие два неравенства:\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'Решите следующие два квадратных неравенства.'

'Решите следующие два квадратичных неравенства:\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'Решите следующие уравнения или неравенства.'

'Решите следующую систему неравенств.'

'Когда $a+1<5$, то есть $a<4$, из рисунка [4] видно, что $x=a+1$ минимизируется. Минимальное значение равно $f(a+1)=a^{2}-7 a-9$'

'Решите неравенство: x(x-1) < 0'

'Решите следующие неравенства.'

'Найдите условия, при которых неравенство всегда выполняется в определенном диапазоне переменных.'

'(2) Чиба Технический Университет) \\ r \\ n \\ r \\ n Решите следующие неравенства. \\ r \\ n1. \\ ( \\ left \\ {\\ begin \\ {array} {l} x ^ {2}> 1 + x \\\\ x \\ leqq 15-6 x ^ {2} \\ end \\ right. \\) \\ r \\ n2. \\ (2 \\ leqq x ^ {2} -x \\ leqq 4 x-4 \\) \\ r \\ n3. \\ (\\ left \\ {\\ begin \\ {array} {l} x ^ {2} + 3 x + 2 \\ leqq 0 \\\\ x ^ {2} -x-2 <0 \\ end \\ right. \\)'

'Решите следующие неравенства.'

'Определите условие постоянной а так, чтобы существовало ровно одно целое значение x, удовлетворяющее неравенству 2x^{2} - 3x - 5 > 0 и x^{2}+(a-3)x-2a+2<0 одновременно.'

'Укажите отрицание следующих условий.'

'4 1 неравенство'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите данное неравенство $2 x^{4}-11 x^{2}+5>0$.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите следующие неравенства.'

'Докажите, что для всех положительных чисел x и y неравенство x(logx - logy) ≥ x - y справедливо. Также докажите, что равенство справедливо только тогда, когда x = y.'

''

''

'Как решить неравенство \ 2 x^{2}+x-6 \\geq 0 \?'

'Докажите следующие неравенства, используя неравенство $|a+b| \\leqq |a|+|b|$:'

'Решите следующие неравенства.'

'Объясните значение следующего выражения: \ p < q \\Leftrightarrow a^p > a^q \, где \ 0 < a < 1 \.'

'Решите следующие неравенства для 0 ≤ θ < 2π.'

'Доказательство неравенства'

'Решите следующее неравенство. Где a - положительная константа. \\[x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \\leqq 0\\]'

'Доказательство 27 неравенств [используя A-B>0 и т. д.]'

'Докажите и найдите, когда равенство соблюдается'

'Построение графиков логарифмических неравенств и областей'

'Решение экспоненциальных неравенств'

'Решите следующие неравенства.'

'Решите неравенство \ \\log _{4} x^{2}-\\log _{x} 64 \\leqq 1 \.'

'(1) a^{2}-3 b>0'

'Обработка неравенств, включающих абсолютные значения'

'Практикуйтесь в решении следующих неравенств.'

'Расширение доказательства неравенства Дождя 31'

'Область, представленная неравенством'

'Выразите размеры следующих наборов чисел, используя символы неравенства.'

'Решите неравенство $\\log_{4}x^{2}-\\log_{x}64 \\leqq 1$.'

'Найдите площадь области, представленной системой неравенств y≥x², y≤10-3x, y≤x+6.'

'Постройте область, представленную следующими неравенствами.'

''

'Докажите, что неравенство верно. Когда это неравенство равно?'

'Найдите область, представленную следующими неравенствами: когда x<0, 2x ≤ y ≤ 1; когда 0 ≤ x < 1/2, 2x ≤ y ≤ x²+1; когда 1/2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ x²+1; когда x > 1, 1 ≤ y ≤ 2x.'

'Упражнение 6\nДля положительной константы a найдите диапазон значений a, при которых неравенство a^x >= x выполняется для всех положительных действительных чисел x.'

'Пусть K будет областью, определенной неравенством -sin x ≤ y ≤ cos 2x, 0 ≤ x ≤ π/2. (1) Найдите площадь K. (2) Найдите объем тела, полученного вращением K вокруг оси x. [Университет Кобе]'

'Доказательство неравенства f(x)>g(x)'

'Найдите диапазон значений положительного действительного числа x, удовлетворяющих неравенству $x^{2}>2^{x}$.'

'Когда два вещественных числа x, y удовлетворяют двум неравенствам y≤x+1 и x²+4y²≤4, найдите максимальное и минимальное значения y-2x.'

'Докажите следующее неравенство.'

'Докажите неравенство |S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x| \\leqq \\frac{1}{n+1}.'

'Когда вещественные числа x, y удовлетворяют неравенствам y≤2x+1 и x²+2y²≤22, найдите максимальное и минимальное значения x+y.'

'Докажите неравенство \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'Решите следующие неравенства.'

'Найдите диапазон значений a, при которых неравенство a^x >= x выполняется для всех положительных действительных чисел x.'

'Решите неравенство $\\sqrt{4-x}>x-2$.'

'Докажите неравенство $\\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y|$.'

'Найдите диапазон значений для константы $a$, когда неравенства $x^{2}-10 x-24>0,(x+1)(x-a^{2}+a)<0$ одновременно выполняются и не существует значения $x$.'

'Исследуйте истинностное значение следующих предложений и их отрицаний.\n(1) Для всех действительных чисел x, 2 x^{2}+1>0\n(2) Для любых действительных чисел x, y, x^{2}-4 x y+4 y^{2}>0\n(3) Существует натуральное число x, такое что x^{2}-3 x-10=0'

'Определите, являются ли следующие утверждения предложениями.'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Найдите диапазон неравенства 3x - 5x < 4 + 8.'

'Умножьте обе стороны неравенства на -1 и решите 2x^2 + 3x + 7 ≤ 0. Пусть D будет дискриминантом квадратного уравнения 2x^2 + 3x + 7 = 0, тогда D = 3^2 - 4 * 2 * 7 = -47 < 0. Следовательно, для данного неравенства нет решений. Как альтернативное решение, дополните квадрат и проверьте отсутствие решений.'

'86 - Математика I'

'Решите 3(x-1) \\geqq x+3 и найдите диапазон решения.'

'Если количество покупаемых товаров составляет 10 или менее, то магазин A дешевле магазина B, поэтому давайте допустим, что необходимое количество равно x, тогда x > 10.'

None

'Найдите диапазон действительных чисел x, которые удовлетворяют следующему квадратному неравенству: a x^2 - 3x + b > 0'

'Пусть a будет постоянной. Найдите диапазон значений a, при которых существуют целые числа, одновременно удовлетворяющие следующим двум неравенствам, и эти целые числа ограничены только натуральными числами.'

'Пусть а будет постоянной. Решите следующие неравенства для x.'

'Докажите неравенство |x+2|-|x-1| <= 3.'

'Упражнение 69 Книга стр.146 (1) Неравенство 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 то есть a>-1/2, когда это условие выполнено, решением неравенства является 1/2<x<a+1. Условие для того, чтобы только одно целое число x удовлетворяло этому неравенству, a+1 ≤ 2, следовательно 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 то есть a=-1/2, в этом случае неравенство становится 2(x-1/2)^{2}<0, и ни одно целое число x не удовлетворяет этому условию. [3] a+1<1/2 то есть a<-1/2, в этом случае решением неравенства является a+1<x<1/2. Условие для того, чтобы только одно целое число x удовлетворяло этому неравенству, a+1 <0, следовательно -2≤ a<-1. Таким образом, диапазон значений a составляет -2 ≤ a<-1, 0<a ≤ 1'

'Пусть a, b, c и p - действительные числа. Дано, что множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенствам ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0, и 7cx^2+ax+b>0 равно множеству действительных чисел x, удовлетворяющих x>p.'

''

'При x = 1 неравенство становится 0 > 0, что не является решением.'

'Найдите общий диапазон следующих неравенств.\n(A): 6x+5≥2x-3 и x+13 > 7x-5\n(B): 2x+8 > x+7 и 3x-3 > 4x-1'

''

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Ответьте на следующие вопросы относительно двух неравенств ||x-9|-1|≤2 (1), |x-4|≤k (2), где k - положительная константа.'

'(1) Поскольку x^2 >= 0, мы имеем 2x^2 + 1 > 0. Учитывая △ A ∩ B ⊂ A и 2 ∈ A, рассмотрим случай, когда 7 ∈ A. С учетом 2 ∈ B и 7 ∉ B. (2) Для того чтобы показать A = B, нам нужно продемонстрировать A ⊂ B и B ⊂ A.'

'[3] -a/2 > 1 то есть, когда a < -2'

'Решите следующие неравенства.'

'Сторона 17 | Метод решения систем неравенств\n(1) Решите следующие системы неравенств.\n(а) $\\left\\{\egin}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right.$\n(b) $\\left\\{\egin}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right.$\n(2) Решите неравенство $9-7 x<3-5 x<2(x-2)$.'

'Решим -2 x < 3 x - 4 < 2 x, что эквивалентно |3 x-4| < 2 x, чтобы найти решение.'

'Сформулируйте отрицание следующих утверждений.'

'Решите следующее неравенство: |x-1|+2|x| <= 3'

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $x^{2}-8x+16>0$ (2) $x^{2}-8x+16<0$ (3) $x^{2}-8x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8x+16 \leqq 0$

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

Квадратное неравенство Основы 93 Решение квадратных неравенств (1)

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

Основной 32 Использование свойств неравенств (1) Стандартный 33 Использование свойств неравенств (2) Основной 34 Решение линейных неравенств Основной 35 Решение систем неравенств Стандартный 36 Целые решения неравенств Стандартный 37 Задачи на неравенства Основной 38 Уравнения и неравенства с модулями…Основной Стандартный 39 Решение уравнений с модулями методом разбора случаев

Решите следующие уравнения и неравенства. (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

Найдите диапазон значений для константы $a$, который удовлетворяет следующие условия для решения системы неравенств \( \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \): (1) Решений не существует. (2) Решение включает число 2. (3) Решение включает ровно 3 целых числа.

Задача 93 - Решите следующее квадратное неравенство. (6) $x^{2}+x \leqq 6$

Задача 93 - Решите следующее квадратное неравенство. (4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

Определите истинность предложений. Пусть $x$ - действительное число, а $n$ - целое число. Используйте множества для проверки истинности следующих утверждений. (1) $x < -3 \Longrightarrow 2 x + 4 \leqq 0$ (2) $n$ является положительным делителем 18 $\Longrightarrow n$ является положительным делителем 24

Решите следующее квадратное неравенство. (3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$ (4) $x^{2}+3 \geqq 0$

Найдите все целые значения $x$, которые удовлетворяют системе неравенств \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \).

Найдите диапазон значений для постоянной $a$, которые удовлетворяют следующим условиям для решения системы неравенств: (1) Существует решение. (2) Решение содержит ровно 3 целых числа. \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

Практическая задача 93 - Решить следующую квадратичную неравенство. (3) $x^{2}-2x < 0$

Решите следующие неравенства. (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

Решите следующие неравенства. (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

Когда \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 , найдите максимальное значение функции \( f(x)=(1-x)|x+2| \).

Для данной системы неравенств \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. найдите диапазон значений для константы $a$, который удовлетворяет следующим условиям: (1) Система имеет решение. (2) Решение включает ровно 2 целых числа.

Пусть $x$ будет вещественным числом. Используйте множества, чтобы определить истинность следующих утверждений. (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

Практическое задание 93 - Решите следующее квадратное неравенство. (5) $x^{2} > 9$

Давайте систематизируем метод решения квадратных неравенств в виде блок-схемы. В базовых примерах с 93 по 96 мы решили различные типы квадратных неравенств. Теперь мы их систематизируем. Рассмотрим $ax^{2} + bx + c$. Сначала проверьте, можно ли это разложить на множители. Если это можно сделать, оно примет форму \( a(x-lpha)(x-eta) \) или \( a(x-lpha)^{2} \). Затем нарисуйте график $y = ax^{2} + bx + c$, предполагая, что $a > 0$. Результаты обобщены в таблице ниже: egin{\overlineray}{c} Тип неравенства & Интервал решений \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \леqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \леqq 0$ & lpha \леqq x \леqq eta \\hline\end{array}\) Важно понимать причину решений, а не просто заучивать эту таблицу.

Квадратичное Неравенство Основы 94 Решение Квадратичного Неравенства (2)

Упражнение 93 - Решите следующее квадратное неравенство. (2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

Решите неравенство 2|x+4|<x+10, рассматривая различные случаи.

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

Решите неравенство $x^2-4x+3<0$.

Упражнение 93 - Решите следующее квадратное неравенство. (1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

Когда все члены неравенства перенести в левую сторону и упростить, например $a x^{2}+b x+c>0$, $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ (где $a, b, c$ - константы и a eq 0 ）, левая часть становится квадратным выражением в \( x , которое называется квадратным неравенством в $x$. Тогда значение $x$, которое удовлетворяет квадратному неравенству, называется решением неравенства, а нахождение всех решений называется решением квадратного неравенства. В этом разделе давайте научимся решать квадратные неравенства, используя графики квадратных функций. Мы будем активно использовать взаимное расположение графика квадратной функции и оси $x$, которое мы изучили в предыдущем разделе. ■ Решения квадратных неравенств и графики квадратных функций Замечание: В следующих обсуждениях невыгодно предполагать знак коэффициента $a$ в $x^{2}$ положительным. Это потому что, когда знак $a$ отрицательный, мы можем просто умножить обе стороны на -1, чтобы сделать коэффициент $x^{2}$ положительным, и затем решать. Чтобы найти решения квадратного неравенства \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \), принимаем $y = a x^{2}+b x+c$, тогда найти диапазон значений $x$, для которых $y>0$ означает найти диапазон значений $x$, где график $y=a x^{2}+b x+c$ находится выше оси $x$. В качестве конкретного примера давайте рассмотрим квадратное неравенство $x^{2}-4 x+3>0$(1).

Решите следующее квадратное неравенство. (2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

Решите неравенство 3|x+1| $\geqq x+5$.

Решите следующие квадратные неравенства. (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

Выразите 'Число, полученное вычитанием утроенного числа x из 10, больше -5' в виде неравенства.

Решите неравенство $|2 x|+|x-5| \geqq 8$.

Решите неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$.

Решите следующие неравенства. (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

Решите следующие уравнения и неравенства. (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

Решите неравенство 2x-5<9.