Основы алгебры - Расширение и факторизация выражений

'Общий член разложения выглядит так\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\nгде \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(а) Коэффициент члена \ a^{3} b^{2} c \ при \ p=3, q=2, r=1 \ равен\n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(б) Коэффициент члена \ a^{4} c^{2} \ при \ p=4, q=0, r=2 \ равен\n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'Найдите коэффициент указанного члена в следующих выражениях разложения.(1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [постоянный член]'

'Найдите общий член и коэффициент конкретных членов для следующих выражений:'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'Решите следующие уравнения:'

'Общий член разложения \\( (a+b+c)^{n} \\) равен\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\nгде \ p+q+r=n \'

'(2) (Решение 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) Общий член разложения равен $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$, где $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$.\nПри $q+2 r=4$ появляется член $x^{4}$, то есть при $q=4-2r$.'

'Найдите общий член следующей последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Разложить следующие многочлены.'

'Знак суммы \ \\Sigma \, Свойства суммы \ \\Sigma \\nЗнак суммы \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\nКонстанты \ p, q \ в этом свойстве не зависят от \ k \.\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\nКонстанты \ c, r \ в формулах для сумм последовательностей не зависят от \ n \.\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \nОсобенно \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'Прикладные задачи биномиальной теории'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'(A + B)^2 + (A - B)^2'

'Упростите следующую цепную дробь:\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'Развернув и упростив уравнение, полученное в (3) (2), получаем: x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0. Подставив y = x^2, получаем x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0, что упрощается до x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0. Следовательно, x = 0, -m, α, β. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы парабола y = x^2 и окружность, полученная в (2) A, B, O не имели других общих точек, является то, что x = -m является корнем уравнения x(x^2 - mx - 1) = 0.'

'Разложите на множители следующие квадратные уравнения в области комплексных чисел:\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x³-4x²+x-7 на x = -2'

'(1) Поскольку решения равны \ \\alpha, \eta \, имеем'

'Разделим P(x) на (x+1)^{2}(x-2), где частное будет Q(x), а остаток - R(x), тогда следующее уравнение будет справедливым.'

'Определите значения констант a, b, c и d, так чтобы уравнение (x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6 стало тождеством относительно x и y.'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\ a>b, x>y следовательно, a-b>0, x-y>0 \\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\Следовательно \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'Более того, x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'Найдите коэффициент указанного члена в следующих расширенных выражениях.(1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'Найдите общий член разложения.'

'Пусть $f(y)=y^{2}+y-a-9$, тогда с учётом оси $-3<-\x0crac{1}{2}<3$. Из $f(3)>0$ следует $a<3$ и из $f(-3)>0$ следует $a<-3$. В результате получаем $-\x0crac{37}{4}<a<-3$.'

'Упражнение: Найдите коэффициенты x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p в разложении (x₁+x₂+...+xᵣ)^p.'

'Раскройте (a+b)ⁿ, используя биномиальную теорему.'

'Математика I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} &= \\triangle \\mathrm{OAP} - \\int_{0}^{1}(-3x^{2}+3)dx + 2y_{1} \\\\ &= \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p + 3 \\int_{0}^{1}(x^{2}-1)dx + 2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p + 3\\left[\\frac{x^{3}}{3}-x\\right]_{0}^{1} + (2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p - 2 + (2-p)^{3} \\\\ &= -p^{3} + 6p^{2} - \\frac{21}{2}p + 6 \\end{aligned}\\]'

'(2) Решения данного уравнения - \ \\alpha, \eta \, поэтому'

'Упражнение 79 том 302 с. 302 y=a x^(3)-2 x Квадрат расстояния между точкой (t, a t^(3)-2 t) на точке и началом координат равен t^(2)+(a t^(3)-2 t)^(2)=a^(2) t^(6)-4 a t^(4)+5 t^(2)'

'Покажите условия, при которых указанное уравнение равно 0.'

'Для вещественного числа t рассмотрите две точки P(t, t^{2}) и Q(t+1, (t+1)^{2}).'

'(2) Из f(a)=f(a+1) мы получаем a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'Найдите коэффициент указанного члена в данном разложении. (1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, константное слагаемое]'

'Кубическое уравнение Q(x) с коэффициентом 1 для 19x^{3} дает остаток -1 при делении на x-1 и остаток 8 при делении на x-2.'

'Для последовательности \ \\{a_{n}\\} \, где сумма членов от первого до n-го члена задается формулой \ S_{n}=2 n^{2}-n \, найдите следующее:\n1. Найдите общий член \ a_{n} \.\n2. Найдите сумму \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \.'

''

'Решите следующие уравнения.'

'Проверьте, являются ли следующие уравнения тождествами:\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

''

'Разложите каждый член сложного уравнения слева, чтобы показать, что он упрощается к простому уравнению справа.\n(2), (3) Поскольку и левая, и правая стороны одинаково сложны, преобразуйте их соответственно, чтобы показать, что они становятся одним и тем же выражением.'

'Разложите x⁴+2x²-8 на множители как (x²+4)(x²-2)'

'В математике, т. е. (α-1)(β-1)(γ-1)=0, так что по крайней мере одно из α, β, γ равно 1.'

'Найти остаток при делении многочлена x^2020 + x^2021 на многочлен x^2 + x + 1.'

'(2) Пусть t=x+1/x, докажите математическим индукцией, что x^n+1/x^n станет уравнением n-ой степени для t.'

'Вычислите данные показатели'

'Пусть k будет вещественным числом. Для кубического уравнения f(x)=x^{3}-kx^{2}-1 пусть три корня уравнения f(x)=0 будут α, β, γ. Пусть g(x) будет кубическим уравнением с коэффициентом 1 для x^{3}, и пусть три корня уравнения g(x)=0 будут αβ, βγ, γα.\n(1) Выразите g(x) через α, β, γ.\n(2) Найдите значения k, при которых у уравнений f(x)=0 и g(x)=0 есть общее решение.'

'В учебнике по практике 8 (стр. 35), если коэффициент третьего члена P обозначается как a, а b, c как константы, тогда P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c).'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'300'

'Практика 56 (1) (Первая половина) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 Также αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 Поэтому P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (Вторая половина) [1] Когда n=1, P_1=2, когда n=2, P_2=6 Следовательно, для n=1,2, P_n является четным числом, которое не кратно 4. [2] Предположим, что n=k, k+1, когда n=k, k+1, P_n является четным числом, которое не кратно 4.'

'Пусть первый член будет a, общая разность будет d, а сумма от первого до n-го члена будет S_{n}. Известно, что S_{5}=125 и S_{10}=500, поэтому 1/2・5{2a+(5-1)d}=125 и 1/2・10{2a+(10-1)d}=500. Следовательно, у нас есть a+2d=25 ... (1), 2a+9d=100 ... (2). Решение уравнений (1) и (2) одновременно дает a=5, d=10'

'Для многочлена f(x)=x^{4}-x^{2}+1 ответьте на следующие вопросы.'

'Определите значение вещественного числа x, чтобы выражение (1 + xi)(3 - i) стало (1) действительным числом или (2) чисто мнимым числом.'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) Общим членом разложения $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$ является $_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$. Термин $x^{4} y^{3}$ соответствует значению $r=3$, и его коэффициент равен'

'Разложите следующие выражения: (a+b)³ и (a-b)³'

''

'Определите значения констант a, b и c, таким образом, чтобы уравнение было тождественным относительно x.'

'Найдите коэффициенты членов a^{3} b^{2} c и a^{4} c^{2} в разложении выражения (a+2b+3c)^{6}.'

'Последовательность {P_{n}} определена следующим образом.'

'Пожалуйста, перечислите три основные функции цифровой версии справочников в стиле диаграмм.'

'Доказательство арифметической прогрессии'

'Практика, разложите на множители следующие выражения.'

'Можно ли разложить P как произведение линейных уравнений относительно x и y, если α, β не являются линейными уравнениями относительно y?'

'Разверните следующие выражения. (1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'Используя биномиальную теорему, докажите следующее уравнение.'

'Рассматривая случай, когда в математике B 329 n=k+2'

'Пожалуйста, докажите тождество функции.'

'Преобразование Рекуррентных Соотношений, Преобразование математической индукции Рекуррентные Соотношения\n- Последовательные 2 члена \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) Для \ \\alpha \, которое удовлетворяет \ \\alpha = p \\alpha + q \\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- Последовательные 3 члена \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ с решениями \ \\alpha, \eta \ тогда\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\nМатематическая Индукция\nПроцедура доказательства предположения \ P \ относительно натурального числа \ n \, которая справедлива для всех натуральных чисел, выглядит следующим образом\n[1] Доказать, что \ P \ истинно, когда \ n=1 \.\n[2] Предполагая, что \ P \ истинно для \ n=k \, доказать, что оно также истинно для \ n=k+1 \.'

'(3) Предположим, что существуют вещественные числа p, q, r, s, t, u, удовлетворяющие уравнению x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u). При раскрытии правой части коэффициентом x^{2 является p s, поэтому сравнивая коэффициенты при x^{2 на обеих сторонах, получаем p s=1. Следовательно, должно быть так, что p не равно 0 и s не равно 0.'

'Пусть a будет вещественной константой и рассмотрим две окружности C1: x^{2}+y^{2}=4 и C2: x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0'

'Разложите на множители следующее выражение.'

'Найдите остаток при делении многочлена $P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$ на следующие линейные выражения: (а) $x+1$ (б) $2 x-1$'

'Используйте теорему о факторизации для факторизации следующих уравнений.'

'Пожалуйста, найдите коэффициенты следующего выражения.(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'Расширение 51: Факторизация квадратного выражения с 2 слагаемыми (используя формулу для корней)'

'Синтетическое деление\nРассмотрим кубический полином $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$, разделим его на линейный полином $x-k$ и получим частное $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ и остаток $R$.\nКоэффициенты $l, m, n$ этого частного и остатка $R$ также могут быть получены с помощью метода, называемого синтетическим делением.\n\nДоказательство Поскольку уравнение деления $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ выполняется\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\nЭто уравнение является тождеством относительно $x$.\nРазвернув и упростив правую часть\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\nСравнивая коэффициенты с обеих сторон\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\nТаким образом\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'Найдите коэффициент члена с разложением'

'Проверьте, являются ли следующие уравнения тождествами.'

'Пусть k будет константой. Найдите значение k, когда коэффициент члена a^{2}bc^{2} в разложении (a+kb+c)^{5} равен 60. Кроме того, найдите коэффициент члена ac^{4} в этой точке.'

''

'Разложите на множители следующее выражение.'

'Определение коэффициентов тождества (1)... Метод сравнения коэффициентов'

'[7!/(3!2!2!)]'

'Разверните (a+b)^{4}, используя биномиальную теорему, и найдите коэффициенты каждого члена.'

'Пусть {a_{n}} - последовательность: 1, 3, 8, 19, 42, 89, а {b_{n}} - разности этой последовательности. Если разности последовательности {b_{n}} образуют геометрическую прогрессию,\n(1) Найдите общий член последовательности {b_{n}}.\n(2) Найдите общий член последовательности {a_{n}}. Базовый пример 19'

'Используя биноминальную теорему, найдите развернутую форму следующих выражений.'

'Найдите коэффициент члена [x^{3} y^{2} z] в разложении следующего выражения.'

'Чтобы сделать уравнение $x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$ тождеством для всех $x$, определите значения констант $a, b, c$.'

'Определите значения констант a и b так, чтобы следующие полиномы делились на указанные выражения:'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложение на частные дроби'

'Урок 61: Решение уравнений высокой степени (1) - Использование факторизации'

'Найдите коэффициент члена внутри [ ] в развернутом выражении.'

'При факторизации полиномов более высокой степени мы находим целое число k, удовлетворяющее условию P(k) = 0, а затем используем теорему о делении. Здесь мы сосредоточимся на том, как найти целое число k, удовлетворяющее условию P(k) = 0.'

'Каков коэффициент разложения (a+b+c)^{n}?'

'Найдите коэффициент [ ] в развернутом выражении.'

'Найдите многочлены A и B, удовлетворяющие следующим условиям:'

'Базовый 45: Факторизация квадратного уравнения в области комплексных чисел'

'Найдите коэффициент [a b^{2} c^{2}] в раскрытом виде (a+b+c)^{5}.'

'Бином Ньютона'

'Проверьте, являются ли следующие уравнения тождествами.'

'В математике I мы изучали факторизацию и использовали ее для решения квадратных уравнений. Здесь мы рассмотрим методы решения уравнений 3-ей степени и выше через теорему о факторизации.'

'Пусть два решения квадратного уравнения $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ будут $\\alpha, \eta$. Найдите значения следующих выражений. (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'Преобразуйте x^2+1/(x^2-1) в 4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4 и рассмотрите это.'

'Разверните (a+b)^4, используя биномиальную теорему.'

'Определите значения констант a, b и c, чтобы сделать следующие уравнения тождественными относительно x: (1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1}(2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'Учитывая B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5, найдите A.'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'Разложите следующие выражения.'

'Координата x точек пересечения кривой C и прямой l задается уравнением x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0. Левая часть может быть разложена как x+2, поэтому, разложив, мы получим (x+2)^{2}(x-2)=0, что дает x=2,-2. Следовательно, одной из координат x точек, в которых кривая C пересекает прямую l, за исключением точек касания, является 2.'

'Рассмотрим последовательность {a_n} от первого элемента до пятого, для n=1,2,3,4, у нас есть a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}.... для всех натуральных чисел n удовлетворяет (1). В этом случае, a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) выполняется. a_{1}=11, a_{2}=101, из (2), когда n E, a_{n} это кратное 11, а когда a_{n} это кратное 11, n F.'

''

'Разложите следующее выражение.'

'Разложите на множители следующие квадратные уравнения в диапазоне комплексных чисел:\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'Пусть {a_{n}} - последовательность, определим b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n}'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'Найдите коэффициент [ ] члена в развернутом выражении. 6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'Докажите, что уравнение a^{2}-bc=b^{2}-ca верно, когда a+b+c=0.'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'Использование формул суммы и произведения'

'В математике I мы работали с квадратными выражениями. В математике II мы будем иметь дело с выражениями более высокой степени, такими как кубические уравнения. Поэтому давайте сначала узнаем о раскрытии и факторизации кубических выражений.'

'Найдите коэффициент члена x^4 в разложении.'

''

'Раскройте и разложите многочлен третьей степени'

'Если два решения квадратного уравнения 2x²-3x+5=0 равны α и β, то каково квадратное уравнение с решениями α² и β²?'

'Разложите квадратное уравнение на 512 иен с использованием формулы для решений.'

'Определите значения констант a и b, чтобы следующее уравнение было идентичностью относительно x:'

'Используя биномиальную теорему, найдите разложение следующих выражений.'

'Разложите на множители следующее уравнение: \\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\)。'

'Чему равен коэффициент [x^3] в разложении следующих выражений?'

'Как найти общий член по рекуррентному соотношению.\\nРешите следующие рекуррентные соотношения, чтобы найти общий член последовательности:\\n\\n1. Тип арифметической последовательности\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ является постоянной \\]）\\n\\n2. Тип геометрической последовательности\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ является постоянной \\]）\\n\\n3. Тип последовательности разностей\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) является общим членом последовательности разностей \\]）\\n\\nКроме того,\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ и \ q \ являются константами, где \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）\\nв форме рекуррентного соотношения, и найти общий член последовательности.'

'Базовый 59: Факторизация полиномов высокого порядка'

''

'Найдите коэффициент при x^{11} в разложении 15^4(1+x+x^2)^{8}.'

'Разложите следующее выражение на множители.'

'Найдите частное и остаток при делении A на B в каждом из следующих случаев:'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Пусть \ \\left\\{a_{n}\\right\\}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots \ - последовательность. Пусть \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ - ее последовательность разностей. Когда последовательность разностей \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ является геометрической прогрессией: (1) Найдите общий член последовательности \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \. (2) Найдите общий член последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Найти разложенную форму'

'Разложить и факторизовать данный выражение'

'Когда a=2, (x-2y+1)(x+y+1), когда a=-5/2, (x-2y-2)(x+y-1/2)'

'ТРЕНИРОВКА 13 Найдите сумму следующих геометрических последовательностей. (1) Первый член 4, общее отношение 1/2, количество членов 7 (2) Последовательность 3, -3, 3, -3, ..., количество членов n (3) Последовательность 18, -6, 2, ..., количество членов n'

'Найдите общий член гармонической последовательности {an}, где второй член равен 1, а пятый член равен 1/13.'

'Найдем решения уравнения x^4 + 8x^3 + 20x^2 + 16x - 12 = 0.'

'Помимо перемешивания, назовите два способа увеличить скорость растворения твердого вещества в воде, не изменяя количество воды и твердого вещества.'

'【Рисунок 1】 показывает схему расположения мест в классе. Всего 9 мест, и все ученики сидят лицом к доске. Чтобы избежать сидения учеников рядом друг с другом спереди, сзади, слева и справа, ученикам назначаются места. Например, при пронумеровывании мест, если один ученик сидит на месте 1, другие ученики не могут сидеть на местах 2 и 4. Ответьте на следующие вопросы: (1) Когда A, B, C, D, E, 5 учеников сидят, сколько способов назначения мест? (2) Когда A, B, C, D, 4 ученика сидят, сколько способов назначения мест? (3) Когда A, B, C, 3 ученика сидят, сколько способов назначения мест?'

'Найдите сумму 1+x+x^2+⋯+x^n.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

"Иди от желаемого 'себя'."

'Для последовательности {an} ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите общий член последовательности {an^2 + bn^2}. Также найдите lim_{n -> ∞} (an^2 + bn^2). (2) Докажите, что lim_{n -> ∞} an = lim_{n -> ∞} bn = 0. Также найдите ∑_{n=1}^{∞} an, ∑_{n=1}^{∞} bn.'

'Приближенное значение и приближенное выражение'

''

'Найдите количество перестановок, которые можно сделать, взяв любые 4 буквы из слова математика.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Сколько перестановок содержат одновременно AA и OO среди всех перестановок из 8 символов PR NAGOYAJO, и сколько перестановок не имеют соседние одинаковые символы?'

'Разложите на множители следующие уравнения:'

'Вычислите следующее выражение.'

'2 x^{2}-6 x+4'

'Количество способов выбрать 3 студента, чтобы поместить их в A, составляет C_9^3'

'Дополните квадрат для 3x^2 - 5x + 1.'

'19 (1) \\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2) \\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'Упростите подобные члены заданных многочленов. Кроме того, определите степень и постоянный член, обратив внимание на символы внутри [ ].'

'Разложите следующее выражение.'

'Разложите следующие выражения.'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'Разложите на множители следующее выражение: $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'Раскройте следующие выражения.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Факторизуйте (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.'

'Факторизуйте следующее выражение.'

'Таким образом, количество требуемых перестановок составляет\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (способы) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'Разложите на множители следующее выражение.\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'Упростить многочлен'

'Вычислите следующее выражение.'

'Ответьте на следующие вопросы о подмножествах вещественных чисел.'

'Разложить на множители следующее выражение: $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'Разложите на множители следующие выражения. (1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'Упростите следующие выражения в убывающем порядке степеней x.'

'Разложите следующее выражение.'

'Разложите на множители следующие выражения:\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'Разложите следующее выражение: (4)((3 a-b)(9 a^{2}+3 a b+b^{2})).'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите выражение (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) и найдите коэффициент xyz.'

'Каково общее количество перестановок для данной строки?'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'Пожалуйста, завершите квадрат для {1}/{3}x^{2}+2x+1.'

'Формулы раскрытия'

'Сколько членов образуется при разложении выражения (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y)?'

'Вычислите следующее выражение.'

'Раскрытие произведения многочленов всегда можно выполнить, повторно используя принцип дистрибутивности, даже для сложных выражений. Однако факторизация часто может привести к тупикам, если расчеты проводятся без учета шагов. Здесь мы собрали список приоритетов для поиска шагов факторизации. Рекомендуется думать о факторизации с учетом этих аспектов.'

'При A=5x³ -2x² +3x +4 и B=3x³ -5x² +3, вычислите следующее: (1) A+B (2) A-B'

'Пожалуйста, завершите квадрат для -2 x^{2}+10 x-7.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите на множители следующее уравнение: $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)'

'Упростите следующее математическое выражение.'

'Пересечение и объединение 3 множеств\nПересечение A∩B∩C - это множество всех элементов, принадлежащих к множествам A, B и C.\nОбъединение A∪B∪C - это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B и C.\nСвойства 3 множеств\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(Расширение принципа включения-исключения)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(Расширение законов Де Моргана)'

''

'Раскройте выражение (2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z) и найдите коэффициент xyz.'

'(Пример) Для уравнения x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0)'

'Разложите на множители следующее выражение:\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

''

'Разложить следующие выражения.'

'Упростите данный выражение.'

'(5) Разложите следующее выражение: (x+y+z)(x-y-z)'

'Разложите следующие выражения.'

'Бином Ньютона'

'Симметричное выражение'

'Разложите следующие выражения.'

'Преобразуйте следующие уравнения в форму y=a(x-p)^{2}+q (завершите квадрат).'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Раскладывайте следующие уравнения на множители.'

'12 (1) \\( (x-y)(2x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3x+y+2) \\) (3) \\( (x+2y-1)(3x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2y+z) \\)'

'Прямоугольник, окруженный 4 линиями, образуется комбинацией 2 вертикальных и 2 горизонтальных линий, поэтому необходимое количество равно ${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{(единиц)}'

'Сколько положительных целых чисел до 4 цифр можно сформировать, используя 6 различных чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5)? Повторное использование одного и того же числа разрешено.'

'Между городом A и городом B есть 5 отдельных маршрутов автобусов. В следующих случаях, сколько способов существует для совершения круговой поездки из города A в город B.'

'Предположим, что есть 4 белых бусины, 3 черных бусины и 1 красная бусина. Существует \ \\square \ способов упорядочить их в ряд, \ \\square \ способов упорядочить их в круг. Более того, есть \ \\square \ способов протянуть нить через эти бусины и создать петлю.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите на множители следующие выражения:'

'Ответ на упражнение 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'(4) Разложите на множители выражение $-3x^{3} + (9y+z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$.'

'Вычислите следующее выражение.'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'Разложите на множители следующие уравнения.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Как называется числа, буквы и выражения, которые умножают друг на друга?'

'Формулы разложения для квадратичных выражений'

''

'Разверните следующие выражения.'

'Разложить следующее выражение на множители.'

''

'Упорядочите следующие уравнения в порядке убывания степеней по отношению к x для (1), (2) и по отношению к a для (3).'

'Упростите следующие выражения относительно x в порядке убывания степеней.'

'Дополните квадрат для следующих квадратичных уравнений.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Дан полином P=3x^{3}-3xy^{2}+x^{2}-y^{2}+ax+by.'

'Формула разложения (a^2) - (b^2)'

'Вычислите следующие выражения.'

'Раскройте следующие выражения, используя формулы факторизации.'

'Формула раскрытия (a-b)^{2} выглядит как a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'Разложите на множители следующие выражения.'

"В разделе 2 'Умножение многочленов' мы узнали, как раскрывать выражения в виде произведений многочленов и представлять их в виде одного многочлена. Теперь давайте изучим обратный процесс выражения многочлена в виде монома или произведения многочленов."

'Разложите следующие выражения.'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'Разложите следующее выражение: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)'

'Функция, представляющая график при симметричном перемещении по отношению к началу координат функции y=f(x), это y=-f(-x). Если a и b - вещественные числа, а m - минимальное значение функции f(x)=x^{2}+ax+b для 0 <= x <= 1, то выразите m через a и b.'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'Преобразуйте данное уравнение y=-x^{2}+2 x'

'Факторизуйте следующие выражения.'

'Раскройте следующее выражение: \n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'Пожалуйста, вычислите следующий полином умножением: (x + 2)(x - 3)'

'Пожалуйста, раcкладывайте следующие полиномы.'

'Разложите следующие выражения на множители.'

'Определите степень и коэффициент данного одночлена. Также определите степень и коэффициент букв внутри квадратных скобок.'

'Дополните квадрат для следующих квадратичных уравнений'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Вычислите следующее выражение: (4) (√3 + √5)²'

'Сколько существует способов выбрать по одному председателю, вице-президенту и казначею из 7 членов клуба? Обратите внимание, что одновременное занятие нескольких должностей не допускается.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Раскройте следующие выражения.'

'В отличие от прошлого, давайте рассмотрим перестановки, в которых один и тот же элемент может повторяться. Например, если мы возьмем 3 символа из 2 типов символов A и B с допуском дубликатов, общее количество способов их упорядочения в строке составит 2^{3}.'

'Найдите значение следующих выражений.'

''

'Разложите на множители следующие выражения.'

''

'(1) Разложите следующие выражения.(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'Разложите следующие выражения на множители.'

''

'Факторизуйте следующие выражения: (1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(А) -x^{2}+8 x\n(1) -x^{2}+16\n(У) 2\n(И) 24'

'Разложите следующие выражения на множители. (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'Преобразуйте данные выражения и найдите максимальное и минимальное значение: (1) преобразуйте 3x^2 + 4y^2 и подставьте. (2) Найдите максимальное и минимальное значения на основе диапазона x и y. (3) Когда x является вещественным числом, преобразуйте y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 и обозначьте t = x^2 + 2x. Найдите максимальное и минимальное значение.'

'В развернутом выражении коэффициент при x^5 - это А, а коэффициент при x^3 - это В.'

'Разделите 10 студентов на несколько групп. В этом случае, сколько существует способов разделить их на (1) 3 группы по 2, 3 и 5 студентов в каждой. (2) 3 группы по 3, 3 и 4 студентов в каждой. (3) 4 группы по 2, 2, 3 и 3 студента в каждой.'

''

'Уравнение параболы y=x^{2}+ax+b, симметрично перемещенной относительно начала координат, можно получить, заменив x и y на -x и -y соответственно, что приведет к -y=(-x)^{2}+a(-x)+b, что упрощается до y=-x^{2}+ax-b. Перемещение параболы y=-x^{2}+ax-b горизонтально на 3 единицы и вертикально на 6 единиц дает уравнение y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b, что далее упрощается до y=-x^{2}+(a+6)x-3a-b-3. Поскольку это соответствует y=-x^{2}+4x-7, имеем a+6=4 и -3a-b-3=-7, решая что, получаем a=-2, b=10.'

'Разложите следующие выражения.'

'Перестановка с одинаковыми предметами'

'Разложите на множители следующее выражение: (3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3'

'Разложите следующие выражения на множители.'

'(9) Факторизуйте следующее выражение: $(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'Разложите на множители следующие уравнения.'

'Сколько членов получится при раскрытии (a+b+c)(x+y)(p+q)?'

'Когда парабола y=ax^{2}+bx+c параллельно перемещается относительно оси x на 2 единицы и параллельно оси y на -1 единицу, она становится параболой 33y=-2x^{2}+3. Найдите значения коэффициентов a, b и c.'

'Формула раскрытия (a+b)^{2} выглядит следующим образом: a^{2} + 2ab + b^{2}'

'Разложить следующие выражения.'

'Разложите на множители следующие выражения: (1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'Из 4 студентов, сколько существует способов выбрать одного председателя и одного вице-председателя? Нельзя допустить, чтобы председатель и вице-председатель одновременно занимали обе должности.'

'Разложите следующее выражение: (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'

'(1) Разложите выражение (x-2y+1)(x-2y-2)'

'При 3 кандидатах и 10 анонимных голосующих, сколькими способами можно распределить голоса?'

''

'1. (1) Степень 3, коэффициент $2$; $a$: Степень 1, коэффициент $2x^{2}$\n2. Степень 17, коэффициент $-\x0crac{1}{3}$; $y$: Степень 7, коэффициент $-\x0crac{1}{3}ab^{7}x^{2}$; $a$ и $b$: Степень 8, коэффициент $-\x0crac{1}{3}x^{2}y^{7}$'

'(3) x^{3}+2 x^{2}-9 x-18\nx^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x^{3}+2 x^{2})-(9 x+18)=x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)…'

'Разложите следующие выражения.'

'Пожалуйста, рассчитайте количество узоров для одного типа, трех типов и четырех типов ладана, и определите возможности для каждого сценария.'

'На сколько способов можно разделить 12 человек следующим образом:'

'Вычислите следующее уравнение: (6)(4 + 2√3)(4 - 2√3)'

'Разложите следующее выражение.'

'(9) \\ ((x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2)'

'Разложите следующие выражения на множители.'

'Разложите на множители следующие уравнения:'

'Факторизуйте следующие выражения.'

'Объясните вычисление следующего выражения: (a+b)^2 + (a-b)^2'

'Вычислите следующее выражение: (5) (3√2 - √3)²'

'Каково разложение на множители у (4)(a-b)^{2}+c(b-a)?'

'Симметрично переместите параболу y=x^{2}+a x+b относительно начала координат, затем параллельно переместите 3 единицы вдоль оси x и 6 единиц вдоль оси y, в результате получится парабола y=-x^{2}+4 x-7. Найдите значения a и b в этом случае.'

'Дополните квадрат для следующих квадратных уравнений.'

'Сколькими способами можно разделить 12 человек следующим образом:'

'Математика I'

'Разложите следующие выражения на множители.'

'Разложить на множители следующие выражения.'

'Завершите квадрат для следующих квадратных уравнений.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Сколько членов получится при разложении (a+b+c)(x+y)(p+q)?'

'Разложите следующие выражения на множители.'

'Разложите следующие выражения.'

'Упростите многочлен и выполните сложение и вычитание.'

'Разложите на множители следующее уравнение.'

'Покажите формулу раскрытия (ax+b)(cx+d).'

'Найдите координаты вершины параболы y=x^{2}-4 a x+4 a^{2}-4 a-3 b+9. Также найдите натуральные числа a, b, чтобы парабола не имела общих точек с осью x.'

'Базовый пример 9, 10\nРазложите следующее выражение:\n(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)'

'Разложить следующие выражения.'

'Произведение мономов рассчитывается с использованием правила степеней. Например, 2 a b \\times 3 a^{2} b'

'Проблема группировки с различием и без различия'

'(1) $y=(x-1)^{2}-2[y=x^{2}-2 x-1]$\\n(2) $y=-(x-1)^{2}+2[y=-x^{2}+2 x+1]$'

'Разложить следующее выражение: (a+b+c)^2(a+b-c)^2'

'Разложить следующие выражения.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

''

'(5) x^{3}+x^{2}+3 x y-27 y^{3}+9 y^{2}\nx^{3}-27 y^{3}+{x²+3 x y+9 y²}=(x-3 y)[x²+x⋅3 y+(3 y)²]+x²+…'

'(1) \ x^{2}+x+\\frac{1}{4} \'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Учитывая, что коэффициент 3^{3} x^{2} равен -1, график проходит через точку (1,1), а вершина находится на прямой y=x, найдите квадратичную функцию.'

'Разложить следующие выражения на множители.'

''

'(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)'

''

'Когда выражение A делится на x+2, частное равно B, а остаток -5. Если частное B разделить на x+2, то частное будет 38x^2-4, а остаток - 2. Найдите остаток, когда выражение A делится на (x+2)^2. Согласно условиям Канагавского университета: A=(x+2)B-5, B=(x+2)(x^2-4)+2. Подставив (2) в (1), получим: A=(x+2){(x+2)(x^2-4)+2}-5=(x+2)^2(x^2-4)+2(x+2)-5=(x+2)^2(x^2-4)+2x-1. Следовательно, когда A делится на квадратное выражение (x+2)^2, остаток является линейным уравнением или константой, поэтому необходимый остаток - 2x-1.'

'Найдите общий член a_n последовательности {a_n}, так что сумма S_n от первого до n-го элемента удовлетворяет следующему соотношению:'

''

'Пусть сумма первых n членов этой арифметической прогрессии {an} равна Sn. Из (1) следует, что a1 до a16 - положительные числа, а начиная с a17 - отрицательные числа; поэтому Sn максимальна при n=16.'

'Разложите следующие выражения.'

'Найдите сумму: \\(\\sum_{l=5}^{9}(2+l^{2})\\)'

'Разложите на множители следующие выражения: (1) $a^{3} b^{3}-b^{3} c^{3}$; (2) $(x+y)^{3}-(y+z)^{3}$; (3) $8 a^{3}-36 a^{2}+54 a-27$'

'Докажите следующее уравнение.'

'Разложите на множители следующие квадратичные выражения в области комплексных чисел. (1) x^2 - 20x + 91 (2) x^2 - 4x - 3 (3) 3x^2 - 2x + 3'

'(2) \ x^{4}-16 x^{2}+16 \'

'\\(\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right)=(a x+b y+c z)^{2} \\)+(a y-b x)^{2}+(b z-c y)^{2}+(c x-a z)^{2} \\)'

'Известно, что многочлен f(x), поделенный на (x-1)^2, равен частному g(x) и остатку 3x-1, а когда f(x) поделен на 352(x-2), остаток составляет 6. Найдите остаток, когда g(x) делится на x-2, а частное от деления f(x) на (x-1)(x-2) равно чему x-U?'

'Если многочлен A разделить на x+2, частное будет B, а остаток -5. Когда частное B разделить на x+2, частное будет x^2-4, а остаток 2. Найдите остаток при делении многочлена A на (x+2)^2.'

'Используя формулу разложения (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, разложите на множители x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}.'

'Разворачивая (x + 1)^6 с использованием бинома Ньютона, получаем'

'Найдите следующие суммы.'

'Проблема: Найти общий член последовательности(1):\\egin{\overlineray}{l}a_{1}=1 \\\\a_{2}=3 a_{1}-1=3 \\cdot 1-1=2 \\\\a_{3}=3 a_{2}-1=3 \\cdot 2-1=5 \\\\a_{4}=3 a_{3}-1=3 \\cdot 5-1=14 \\\\a_{5}=3 a_{4}-1=3 \\cdot 14-1=41 \\end{\overlineray}\'

'Биномиальная теорема - это формула в алгебре, которая используется для раскрытия полиномов вида (a+b)^n. Разложение означает процесс умножения полинома и сложения членов для получения результата.'

'Найдите значение внутри квадратных скобок в разложении следующих выражений.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Каково условие того, что линейное выражение x-k является множителем многочлена P(x)?'

'(1) Поскольку P(-2)=-3, имеем P(x)=(x-1)(x+2)Q_{3}(x)+a(x+2)-3. (2) Поскольку P(1)=4, имеем 3a-3=4, откуда a=\\frac{7}{3}. Таким образом, искомый остаток равен \\frac{7}{3}(x+2)-3=\\frac{7}{3}x+\\frac{5}{3}.'

'(а) Разложите следующие уравнения в диапазоне рациональных чисел:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(б) Разложите следующие уравнения в диапазоне действительных чисел:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(в) Разложите следующие уравнения в диапазоне комплексных чисел:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n'

'(3) \\( P(x)=\\{x(x+3)\\}\\{(x+1)(x+2)\\}-24 \\)'

'Факторизуйте следующие выражения в диапазонах (а) рациональных чисел, (б) вещественных чисел и (в) комплексных чисел:\n(1) x^{4}+2 x^{2}-15\n(2) 8 x^{3}-27'

'[Найдите коэффициент указанного члена в развернутом выражении]'

'Подставив x=-1 в x^{3}-x^{2}-5x-3, получим (-1)^{3}-(-1)^{2}-5\\cdot(-1)-3=0 \\nCледовательно, x^{3}-x^{2}-5x-3 имеет множитель x+1, что означает x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3) =(x+1)^{2}(x-3)'

'Найдите коэффициент x ^ 3 в разложении PR \\left(x^{2}-3 x+1\\right)^{10}.'

'Найдите общий член следующей последовательности: -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ...'

'Определите коэффициент указанных членов в развернутом выражении'

'Разложение (x+y)^{3} на x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.'

"Пусть PR - это постоянная. Для параболы $y=x^{2}+a x+3-a$ найдите путь вершины по мере изменения 'a' для всех действительных значений. Преобразуя уравнение параболы, мы получаем $y=\\left(x+\\frac{a}{2}\\right)^{2}-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$. Пусть вершина параболы будет P(x, y). Тогда $x=-\\frac{a}{2}$(1) и $y=-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$(1). Из (1) следует, что $a=-2 x$. Подставляя это в (2), мы получаем $y=-\\frac{1}{4}(-2 x)^{2}-(-2 x)+3=-x^{2}+2 x+3$. Следовательно, необходимый путь - это парабола $y=-x^{2}+2 x+3$ с соответствующими координатами вершины $\\left(-\\frac{a}{2},-\\frac{a^{2}}{4}-a+3\\right)$."

'Используя свойство того, что сопряженные комплексные числа также являются решениями, когда уравнение f(x)=0 имеет мнимое решение p+q i, тогда p-q i также является решением.'

'Докажите, что хотя бы один из x+y, y+z, z+x равен 0'

'Факторизуйте следующие квадратные уравнения в области комплексных чисел:\n(1) $15 x^{2}+14 x-8$\n(2) $x^{2}-2 x-2$\n(3) $x^{2}+2 x+3$'

'Найдите коэффициенты членов в разложенном выражении'

'\\( x^{4}-16 =\\left(x^{2}-4\\right)\\left(x^{2}+4\\right) =(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right) \\)\\nПоэтому уравнение\\n\\[(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right)=0\\]\\nОтсюда\ x+2=0 \ или \ x-2=0 \ или \ x^{2}+4=0 \ следовательно\ x= \\pm 2, \\pm 2 i \'

'Найдите коэффициент члена a^2 b^3 c^2 в разложении следующего выражения: (a+b-2c)^7'

'Когда S(x) делится на (x+1)^{2}(x-3), частное обозначается как Q_{1}(x).'

'(1) Найдите коэффициент [x^9] в разложении (2x^3 - 3x)^5'

'Когда константа равна k, найдите значение k, когда квадратное уравнение $x^{2}+3xy+2y^{2}-3x-5y+k$ может факторизоваться в произведение линейных уравнений в $x,y$. Также, найдите результат факторизованной формы.'

'Пусть последовательность \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ является арифметической прогрессией с первым членом 1 и разностью 3. Определим \ S_{n} \ как сумму произведений двух различных членов из первых \ n \ членов последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \. Например, \ S_{3}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3} \. Найдите \ S_{10} \.'

'Найдите коэффициенты указанных членов в следующих разложениях.'

'Найдите решение уравнения (x + 1)(x + 3) = x(9 - 2x).'

'Имеются 5 карт с числами от 1 до 5. Когда одновременно извлекают 2 карты, найдите ожидаемое значение чисел на извлеченных картах (E(5 X^{2}+3)) и дисперсию (V(3 X + 1)).'

'Разложите (a + b)^n, используя бином Ньютона.'

'(1) Пусть a, b будут константами. Предположим, что многочлен относительно x, x^{3}+ax+b делится на (x+1)^{2}. Найдите значения a и b. (2) Пусть n - натуральное число больше 2. Определите значения констант a, b, когда многочлен x^{n}+ax+b делится на (x-1)^{2}.'

'Факторизуйте следующий многочлен: x^3 - 6x^2 + 11x - 6.'

''

'(1) (Уравнение) \\( = \\frac{x^{2}-1}{x+1} = \\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} \\)\ = x-1 \ (2) И Уравнение \=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\\frac{2 x}{x^{2}-1}+\\frac{1}{x^{2}-1} \\\(=\\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\\frac{x-1}{x+1} \\)'

'Найдите коэффициент x³ в разложении (1) [Айчи-институт технологий]'

'Каково условие для линейного выражения ax+b, чтобы оно было множителем многочлена P(x)?'

'Чтобы обеспечить делимость первого выражения на второе, определите значения констант a, b, c, d, e.'

'В формуле $S_n = \\frac{a\\left(r^n-1\\right)}{r-1}$, с $a=-1, r=2, n=10$, сумма равна\n\\[ \\frac{-1 \\cdot\\left(2^{10}-1\\right)}{2-1} = -(1024-1) = -1023 \\]\nВ формуле $S_n = na$, с $n=10, a=3$, сумма равна\n\ 10 \\cdot 3 = 30 \'

'Разложите следующие выражения.'

'Данное уравнение выглядит следующим образом:'

'Найдите значения s, t, p, q, при которых функция f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d удовлетворяет \\[\\int_{-3}^{3} f(x) d x=s \\cdot f(p)+t \\cdot f(q)\\]. Также убедитесь, что p ≤ q.'

'Разложить следующие кубические уравнения и факторизовать их: (a+b)^{3}, (a-b)^{3}, (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}), (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})'

'Факторизуйте следующие выражения:\n2. (1) (а) Произведение: (3 x-y)(9 x^{2}+3 x y+y^{2})\n(б) Произведение: 9(a+2 b)(a^{2}-2 a b+4 b^{2})\n(в) Произведение: (2 x-y z)(4 x^{2}+2 x y z+y^{2} z^{2})\n(2) (x+4)^{3}'

'Докажите, что следующие уравнения верны.'

'(1) \\((x-7)(x-13)\\)\n(2) \\((x-2-\\sqrt{7})(x-2+\\sqrt{7})\\)\n(3) \\(3\\left(x-\\frac{1+2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\left(x-\\frac{1-2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\)'

'Пусть а - отрицательная константа. Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x)=2x³-3(a+1)x²+6a x на интервале -2 ≤ x ≤ 2.'

'Заполните пробел, чтобы уравнение стало верным: (x-1)^{3}-7(x-1)^{2}+17(x-1)-9 = 314'

'Найдите a_n, используя следующие шаги: (1) a_{n}=2+\\frac{3}{n+2} (2) a_{n}=\\frac{3 \\cdot 5^{n}+1}{5^{n}-1}'

'Вычислите следующие выражения: (1) \\( \\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)} \\) (2) \ \\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2} \'

'Когда k является постоянной, найдите значение k так, чтобы квадратное уравнение x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k можно было разложить на произведение линейных уравнений относительно x и y. Также найдите результат этого разложения в данном случае.'

'(1) \ a_{n}=5^{n+1}-20 \\cdot 3^{n-1} \'

'Определите значения констант a, b, c так, чтобы следующее уравнение было верным для x и y: (1) x^2 + a x y + b y^2 = (c x + y)(x - 4 y)'

'Коэффициент члена x y^2 z в (2)(2x-\\frac{1}{2}y+z)^4'

''

'(1) \\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} \\) (2) \\( (a-1)(a^{2}+a+1)=a^{3}-1^{3}=a^{3}-1 \\)'

'Найдите сумму арифметической последовательности: \\( \\sum_{k=5}^{14}(2k-9) \\)'

'Разложите на множители следующие уравнения.'

''

'Для формы B_{n+1} сосредоточьтесь на самом правом столбце. Как показано на рисунке 1, когда плитки укладываются вертикально в выступающей части, оставшаяся часть соответствует форме A_{n+1}. В этом случае есть a_{n+1} способов укладки плитки. С другой стороны, как показано на рисунке 2, при укладке плиток горизонтально в выступающей части есть 3 способа сделать это, и оставшаяся часть соответствует форме B_{n}. В этом случае есть b_{n} способов укладки плитки. Поэтому b_{n+1} = a_{n+1} + b_{n}, поэтому b_{2} = a_{2} + b_{1} = 11 + 4 = 15'

'Найдите коэффициенты следующих выражений:\n1. (1) x^{3}-x^{2}+\x0crac{1}{3} x-\x0crac{1}{27}\n(2) -8 s^{3}+12 s^{2} t-6 s t^{2}+t^{3}\n(3) 27 x^{3}+8 y^{3}\n(4) -a^{3}+27 b^{3}\n(5) 64 x^{6}-48 x^{4} y^{2}+12 x^{2} y^{4}-y^{6}'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Перепишите правую часть как'

'Пусть g(x) = (x^3 - 2x^2 - 45x - 40) / (x - 8), найдите десятичную часть g(2020). Здесь десятичная часть вещественного числа a определяется как a - n, где n - наибольшее целое число, которое не превышает a.'

'Найдите общий член следующих арифметических последовательностей.\n(а) 1, -\\frac{1}{2}, -2, -\\frac{7}{2},\n(б) p+1, 4, -p+7, -2 p+10,\n(2) В арифметической прогрессии, где девятый член равен 26, а восемнадцатый член равен 53, какой член является 134 в последовательности? Кроме того, какой член впервые превысит 1000.'

'Найдите общий член арифметической прогрессии. Пусть первый член будет a, а общее различие - d.'

'Пожалуйста, разложите на множители следующие выражения. (1) $2(x-1)^{2}-11(x-1)+15$ (2) $x^{2}-y^{2}+4y-4$ (3) $x^{4}-10x^{2}+9$ (4) $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)-8$'

'Разверните следующее выражение.'

'Разложите следующее выражение.'

'Выражение (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 раскладывается на множители как (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)'

'Раскройте (x+y+1)(x^{2}-xy+y^{2}-x-y+1).'

'(2) \\[\egin{aligned}(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) & =(x-1)(x+1) \\times(x-2)(x+2) =(x^{2}-1) \\times(x^{2}-4) =(x^{2})^{2}-5 x^{2}+4 =x^{4}-5 x^{2}+4 \\]'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'\\[ (4) \\left(-2 a x^{3} y\\right)^{2}\\left(-3 a b^{2} x y^{3}\\right) =(-2)^{2} a^{2}\\left(x^{3}\\right)^{2} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 a^{2} x^{6} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 \\cdot(-3) a^{2+1} b^{2} x^{6+1} y^{2+3} =-12 a^{3} b^{2} x^{7} y^{5} \\]'

'Раскройте следующие выражения.'

'Для действительных чисел x, y, удовлетворяющих условию |2x+y|+|2x-y|=4, возможный диапазон значений 2x^2+xy-y^2 равен 11 ≤ 2x^2+xy-y^2 ≤ 9.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите на множители следующее уравнение.'

'Пусть a - это действительное число, b - положительная постоянная. Найдите минимальное значение m функции f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|). Кроме того, при изменении значения a , постройте график a по отношению к m для m.'

''

'Разложите на множители следующие выражения.'

'(1) Раскладываем левую сторону на множители'

'(1) Используя тождество a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b), раскладывается на множители выражение a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c.'

'(3a-2b)^{2}'

'Факторизуйте следующие выражения:\n(1) 3 x^{2}+10 x+3\n(2) 2 x^{2}-9 x+4\n(3) 6 x^{2}+x-1\n(4) 8 x^{2}-2 x y-3 y^{2}\n(5) 6 a^{2}-a b-12 b^{2}\n(6) 10 p^{2}-19 p q+6 q^{2}'

'Найдите значение выражения (4) (2√6+√3)(√6-4√3).'

'Раскройте следующее выражение.'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложите на множители следующее выражение (1) x^{2}-2 x y+y^{2}-x+y'

'Разложите данное выражение на множители.'

'Используя метод крестовой домножки для факторизации с формулой $a c x^{2}+(a d+b c) x+b d=(a x+b)(c x+d)$, можно найти коэффициенты $a, b, c, d$, что очень удобно.'

'Факторизуйте следующее выражение.'

'Начиная с правого плеча'

'(3) \\ [(x-3 y+2 z)(x+3 y-2 z) = \\{x-(3 y-2 z)\\}\\{x+(3 y-2 z)\\} = x^{2}-(3 y-2 z)^{2} =x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}+12 y z]'

'Определите степень и постоянный член, сосредоточившись на части внутри [ ], в следующих полиномах:'

'Разложите на множители следующее выражение. (1) x^{6}-1'

'Начиная с правой диагонали, 6 a^{2}-a b-12 b^{2} =(2 a-3 b)(3 a+4 b)'

'Найдите значение (5) (1-√7+√3)(1+√7+√3).'

'Разложите следующие выражения: (1) (a+2)^{2} (2) (3 x-4 y)^{2} (3) (2 a+b)(2 a-b) (4) (x+3)(x-5) (5) (2 x+3)(3 x+4) (6) (4 x+y)(7 y-3 x)'

'Развернуть следующее выражение: (2a-5b)^{3} - 8a^{3}-60a^{2}b+150ab^{2}-125b^{3}'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Разложить следующее выражение.'

'Из правого плеча висит'

'(3) Найдите выражение, сумма с которым от 3x^2-2x+1 равна x^2-x.\n(2) По ошибке, вместо добавления a^3+2a^2b-5ab^2+5b^3 к определенному многочлену, было вычтено, что привело к -a^3-4a^2b+10ab^2-9b^3. Найдите правильный ответ.'

''

'Раскройте следующие выражения.'

'Раскройте следующие выражения.'

'Разложите следующее выражение: (x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)'

'Правила сложения, вычитания и умножения многочленов Пусть A, B, C будут многочленами. Коммутативное свойство A+B=B+A, AB=BA Ассоциативное свойство (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) Распределительное свойство A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Свойство показателя Пусть m, n будут положительными целыми числами. 1. a^m a^n = a^(m+n) 2. (a^m)^n = a^(mn) (Ссылка) a^0 = 1 3. (ab)^n = a^n b^n Формулы разложения, факторизации: 1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 3. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 4. (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd (Ссылка) 5. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 6. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3'

'Разложите на множители следующие выражения.'

'Вычислите (x+b)(x+c)(b-c) + (x+c)(x+a)(c-a) + (x+a)(x+b)(a-b).'

'Практика: Факторизуйте следующие выражения.'

'\\[ (3) \\left(-2 a^{2} b\\right)^{3}\\left(3 a^{3} b^{2}\\right)^{2} =(-2)^{3}\\left(a^{2}\\right)^{3} b^{3} \\times 3^{2}\\left(a^{3}\\right)^{2}\\left(b^{2}\\right)^{2} =-8 a^{2 \\times 3} b^{3} \\times 9 a^{3 \\times 2} b^{2 \\times 2} =-8 a^{6} b^{3} \\times 9 a^{6} b^{4} =(-8) \\cdot 9 a^{6+6} b^{3+4} =-72 a^{12} b^{7} \\]'

''

'Разложите на множители следующее выражение: (x+y+1)^{4}-(x+y)^{4}'

'Разложите следующие выражения.'

'(3 x-4 y)(5 y+4 x)'

'Когда a = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}, найдите значение следующих выражений.\n(1) a^{2}-a-1\n(2) a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1'

'(2)(2p-q)(4p^{2}+2pq+q^{2})'

'Разложите следующие выражения на множители:'

'С правого пояса'

''

'Найдите значение (6).'