Основы алгебры - Алгебраические операции (Арифметика, Показатели, Корни)

'Пожалуйста, покажите формулы для суммы и произведения.'

'Пожалуйста, вычислите умножение следующих комплексных чисел:\n(a + bi) * (c + di)\nгде a, b, c и d - это действительные числа.'

'Найдите общий член последовательностей {a_{n}}, {b_{n}}, определенный следующими условиями.'

'Пожалуйста, решите следующую задачу.'

'Вычислите выражение последовательности a_n в соответствии со следующими правилами: начальное условие a_1=5, если четное, то a_n/2, если нечетное, то a_n+1.'

'Пожалуйста, рассчитайте следующее выражение: (6) [\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'Опишите свойства уравнения тождества.'

'Используя отношение между корнями и коэффициентами, найдите следующие значения.'

'Найдите общий член последовательностей {a_{n}}, {b_{n}}, определенных следующими условиями.'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'Пожалуйста, рассчитайте следующее выражение: (4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'Практика: Если остаток от деления многочлена P(x) на (x+1)^2 равен 18x+9, а остаток от деления на x-2 равен 30 с остатком 9, найдите остаток при делении P(x) на (x+1)^2(x-2).'

'Найдите общий член последовательности {a_{n}}, {b_{n}}, определенной следующими условиями.'

'Упростите следующие выражения.'

'Продемонстрировать основные операции с дробями.'

'Комплексное упражнение'

'Вычислите следующие выражения.'

''

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Выполните следующее вычисление, используя арифметику комплексных чисел: (3 + 4i) + (1 - 2i).'

'Практика (1) Пусть n - натуральное число. Найдите остаток от деления x^n-3^n на (x-3)^2. Также найдите остаток от деления 31x^n-3^n на x^2-5x+6. В пункте (2) найдите остаток от деления 3x^100+2x^97+1 на x^2+1.'

''

''

'Найдите общий член последовательностей \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \, заданных следующими условиями.\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'Покажите частное и остаток от деления многочленов.'

'Последовательность {p a_{n}+q b_{n}} является арифметической прогрессией, где первый член является p a_{1}+q b_{1}=p a+q b, а общая разность равна p d+q e'

'Найдите общий член последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \, определенный следующими условиями.'

'Найдите пятый член последовательности {a_n}, определенной следующими условиями:'

'Найдите сумму первых 30 членов арифметической прогрессии с начальным членом 100 и разностью -8.'

'Найдите общий член последовательности $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$.'

'Найдите сумму S от 15-го до 30-го членов арифметической прогрессии с общим разностным членом 1, где 10-й член равен 1, а 16-й член равен 5.'

'Найдите остаток данного уравнения, подставляя многочлен при x = i.'

'Используя длинное деление, найдите частное и остаток при делении следующих уравнений на уравнение 1-й степени внутри [ ].'

'Вычислите следующие выражения:'

'Найдите частное Q(x) и остаток ax + b при делении x^{2020} + x^{2021} на x^2 + x + 1'

'Упражнение 29: Решите следующую задачу. Дан многочлен $P(x)$, при делении на $(x-1)(2x+1)$ частное равно $Q(x)$, а остаток равен $ax+b$. Следующее уравнение верно: $P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'Добавив c к обеим сторонам уравнения a>b, мы получаем a+c>b+c, добавив b к обеим сторонам уравнения c>d, мы получаем b+c>b+d, следовательно, a+c > b+d'

'Пожалуйста, вычислите сумму следующих комплексных чисел:\n(a + bi) + (c + di)\nгде a, b, c и d - это вещественные числа.'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Пожалуйста, вычислите вычитание следующих комплексных чисел.\n(a + bi) - (c + di)\nгде a, b, c, d - действительные числа.'

'Найдите остаток при делении следующих многочленов на линейное выражение в [ ].'

'Выразите относительные размеры следующих наборов чисел, используя символы неравенства. \ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'Практика книга 104 стр.208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ Возводя обе стороны в квадрат, получаем \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ Следовательно, \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ и, следовательно, \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ Таким образом, \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'Найдите сумму 22: 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенный следующими условиями.'

'Выразите порядок каждого набора чисел, используя символы неравенства.'

'Квадратное отношение'

'Вычислите следующие выражения.'

'Свойства кубического корня из 63'

'Вычислите следующие выражения.'

'Для двух последовательностей {an}, {bn} и константы p'

'Найдите элемент из общего члена'

'В примере 108 A решила проблему, установив x+y=k. Невозможно рассчитать максимальные и минимальные значения x+y для всех пар (x, y), содержащихся в области D. Поэтому ... установив x+y=k и рассматривая (x, y) как точки на линии y=-x+k. Следовательно, когда линия y=-x+k проходит через точки в области D (= когда она пересекается с областью D), достаточно рассмотреть максимальные и минимальные значения пересечения y k. Теперь, при тех же условиях, давайте рассмотрим максимальные и минимальные значения 2x+y. Установив 2x+y=k и изучив движение линии y=-2x+k, выясняется, что минимальное значение к является таким же, как и A, когда линия (2) проходит через начало координат O. Однако максимальное значение к достигается не тогда, когда линия (2) проходит через точку (2,2), а когда она проходит через точку (10/3, 0).'

'Найдите десятки числа B(134)(20+1)^{100}.'

'Используя доступные методы доказательства, докажите, что следующее уравнение верно.'

'Деление многочленов'

'Объясните метод деления комплексных чисел.'

'Отношение между решением и коэффициентами'

'Найдите следующие значения.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Известно, что 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010, а также \\log_{10} 3 = 0.4771. Сколько цифр в числе 2011? Также, найдите ведущую цифру числа 2^{2011}.'

'Найдите остаток при делении многочлена P(x)=2 x^{3}-3 x+1 на следующие линейные выражения: (а) x-1 (б) 2 x+1'

'Гармоническое среднее'

'Степени рациональных чисел\nДля \ a>0, m, n \ как положительных целых чисел и \ r \ как положительного рационального числа, тогда \\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'Учитывая, что остаток равен 17, когда многочлен P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20 делится на x-4, найдите значение константы a.'

'Прямые линии задачи можно нарисовать как 2 линии, показанные на рисунке, поэтому угол между прямой линией и положительным направлением оси x равен \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { или } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Докажите, что уравнение a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 верно, когда a+b+c=0.'

'Найдите остаток от деления многочлена $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ на $x-2$.'

'Определите многочлен с помощью уравнения деления'

'Найдите общий член последовательности, который представляет сумму от первого члена до n-го члена как Sn'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями. a1=1, an+1=an+n^2'

'При x=3+2i и y=3-2i, найдите значения x+y, xy и x^2+y^2 соответственно.'

'Продемонстрируйте общие методы сложения, вычитания и умножения комплексных чисел.'

'Найдите значение корня степени.'

'Выразите следующие выражения в форме r*sin(θ+α), где r>0, -π<α≤π.'

'Найдите сумму S арифметической прогрессии с первым членом 3, общей разностью -5, до 11-го члена.'

'Когда многочлен P(x)=3x^{3}-ax+b делится на x-2, остаток равен 24, а когда делится на x+2, остаток равен -16. Найдите значения констант a, b.'

'Овладейте делением многочленов и покорите пример 7!'

''

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями. (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'Найдите значения действительных чисел x и y, которые удовлетворяют уравнениям.'

'Используя длинное деление, найдите частное и остаток, когда следующий полином A делится на линейное уравнение B.'

'Найдите значения действительных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению (2+i)(x+yi)=3-2i.'

'Сложение и вычитание дробей'

'Вычислите следующие выражения.'

'Когда многочлен P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4 делится на x+1 с остатком -2, найдите значение константы a.'

'Найдите частное Q и остаток R при делении многочлена A на B. Также, выразите результат в виде A=BQ+R. \n(1) A=4x^{3}-3x-9, B=2x+3 \n(2) A=1+2x^{2}+2x^{3}, B=1+2x'

'Найдите сумму \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\).'

'Угловой коэффициент линии 2x+5y=3 равен -2/5. Найдите угловой коэффициент линии, перпендикулярной этой линии, и выведите ее уравнение.'

'Стандарт 56: Определение остатка от деления многочленов'

'(4) Сложение и вычитание\nПри сложении или вычитании дробей с разными знаменателями их необходимо преобразовать так, чтобы у них были одинаковые знаменатели перед выполнением вычислений.\nПроцесс приведения знаменателей двух или более дробей к общему называется нахождением общего знаменателя.\nПримеры:\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'Докажите, что неравенство соблюдается.'

'Выразите следующие выражения, используя обозначение ∑.'

'Урок 33: Сложение, Вычитание и Умножение Комплексных Чисел'

'(1) Найдите остаток, когда многочлен P(x) = 2x^3 - 3x + 1 делится на следующие линейные выражения:\n(A) x-1\n(B) 2x+1\n(2) Если остаток равен 17, когда многочлен P(x) = 1/2x^3 + ax + a^2 - 20 делится на x-4, найдите значение константы a.\n(3) Учитывая, что остаток равен -5, когда многочлен P(x) = x^3 + ax^2 + x + b делится на x+2, и остаток равен 20 при делении на x-3, найдите значения констант a и b.'

'7 точек x 3'

''

'Выберите правильный ответ из следующих вариантов.'

'172 (1) \\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'На комплексной плоскости есть треугольник OAB с вершинами в точках O, A и B. Здесь O - начало координат. Пусть P - центр описанной окружности треугольника OAB. Если комплексные числа, представленные точками A, B и P соответственно, обозначаются α, β, z, и дано, что αβ=z, то определите условия, которым должен удовлетворять α, и изобразите форму, описываемую точкой A(α) на комплексной плоскости.'

'Выразите следующие выражения, используя z и его сопряженное z-черта: (1) а (2) б (3) а-б (4) а^2-б^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'Пусть z и w - комплексные числа такие, что |z|=2,|w|=5. Если вещественная часть z \x08ar{w} равна 3, найдите значение |z-w|.'

'Найдите общий член следующей системы линейных рекуррентных уравнений: \\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\cos \\frac{5}{12}\\pi\\left(\\cos \\frac{7}{12}\\pi+i\\sin \\frac{7}{12}\\pi\\right)'

''

'Для заданных векторов $\\ vec{a} = (11,23)$ и $\\ vec{b} = (-2,-3)$, какое значение действительного числа t минимизирует $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$? Кроме того, найдите минимальное значение $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$.'

'Вектор - это направленный отрезок прямой, начинающийся в точке A и заканчивающийся в точке B. Вектор - это величина, определенная только своим направлением и величиной, обозначаемая как a = AB. Ответьте на следующие вопросы: 1. Найдите длину направленного отрезка, представляющего величину вектора a, |a| a. 2. Опишите направление ka, когда k > 0. 3. Объясните свойства нулевого вектора 0.'

'Преобразуйте следующие выражения в формы, которые не включают √.'

''

'(1) Найдите значение следующих выражений при \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \:\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[Осака Университет] Основы 25,113'

'Сложение и вычитание многочленов'

'Сложение и вычитание многочленов'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n(2)\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(А) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'В беге на короткие дистанции в легкой атлетике время, затрачиваемое на бег 100 метров (далее по тексту - время), связано с расстоянием, пройденным за шаг (далее по тексту - шаг) и количеством шагов в секунду (далее по тексту - темп). Шаг и темп определяются следующими уравнениями.'

'Использование правила о произведениях'

'Добавив вместо вычитания выражение -2x^{2}+5x-3 из некоторого полинома, ответ оказался равен -4x^{2}+13x-6. Найдите правильный ответ.'

'Найдите общее количество способов раставления чисел, когда есть 68 чисел, число 1 появляется 3 раза, число 2 появляется 3 раза, и число 3 появляется 2 раза.'

'Перестановка чисел (на основе условия упорядочивания чисел)'

'Рассмотрите количество способов разделить группу людей на группы, гарантируя, что в каждой группе будет как минимум один человек.'

'Применение концепции (весь) - (не)'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'Вычислите следующие выражения.'

'Вместо вычитания из многочлена (-2x^2+5x-3) выражение ошибочно было добавлено, что привело к -4x^2+13x-6. Найдите правильный ответ.'

'Найдите выражение, которое нужно вычесть из (2), чтобы получить 8x^2-5xy+5y^2.'

''

'Покажите коммутативное свойство в сложении.'

'Количество четырехугольников и комбинаций'

'116 4-√7/3'

'Объедините подобные члены в данном полиноме. Определите степень и постоянный член, сосредоточившись на символах в [ ].'

'После изучения обработки выражений, содержащих модули, необходимых и достаточных условий, пожалуйста, попробуйте следующую проблему.'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

''

'Выполните следующие вычисления многочленов в соответствии с правилами сложения, вычитания и умножения многочленов:'

'Сколькими способами можно разделить 8 яблок на четыре мешка, обозначенных как A, B, C и D, с возможностью оставить некоторые мешки пустыми?'

'Часто возникают вопросы, связанные с сложением, вычитанием и умножением многочленов, где нам требуется складывать, вычитать или находить произведение различных многочленов. Углубим наше понимание через пример.'

'Определите коэффициенты и степени следующих одночленов. Также проанализируйте значение букв в квадратных скобках.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Вычислите следующие выражения, когда A=2x^{3} +3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3} -15x^{2} + 7x. (1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'Упростите следующее выражение. Где n - натуральное число. (1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'Вычислите следующие 18 выражений.'

'Привыкайте к завершению квадрата'

'Глава 2 Вещественные числа, Линейные неравенства: Вычисления, включающие выражения со знаком корня из 5'

'Вычислите сумму и разность многочленов A и B.'

'Сложите подобные члены для (2x + 3x), чтобы получить 5x.'

'Скажите степень и коэффициент следующих одночленов. Кроме того, обратите внимание на букву внутри квадратных скобок и скажите степень и коэффициент этой буквы.'

'Найдите сумму A + B и разность A - B многочленов A и B.'

'Стандарт 5: Сложение и вычитание многочленов (2)'

'Глава 1: Расчет уравнений - 1 Сложение и вычитание многочленов'

''

'Объясните основные свойства множеств A и B и продемонстрируйте закон Де Моргана.'

'Когда $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$, вычислите следующие выражения. (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$'

'Использование закона суммы.'

'(4) Умножим каждую сторону -1<y<3 на -2, чтобы получить -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'Выполните умножение мономов. Используйте правило показателей.'

'Вычислите сумму и разность заданных многочленов A и B.'

'Вычислите следующее выражение: (8)(√6 + 2)(√3 - √2)'

'Используя следующие правила умножения, исправьте неверные утверждения в таблице.'

"Если пять ароматов отличаются последовательно как имеющие одинаковые метки для 1-го и 4-го, и для 2-го, 3-го и 5-го, они представлены в виде узора справа. Этот узор называется 'Suma'. Существует в общей сложности 52 узора, представляющих различие между пятью ароматами. Каждый из них ассоциируется с названиями глав из романа «Рассказ о рода Генджи», исключая 'Кирицубо' и 'Юмэутсуцу'. Они известны как узоры ладана Гендзи. Пожалуйста, подумайте, сколько узоров есть, когда есть два типа ароматов. Сколько узоров есть, когда 5 ароматов разделены на 3 и 2 соответственно? Также рассмотрите сценарий разделения их на 4 и 1."

'Кратко опишите концепцию абсолютной величины.'

'Вычислите следующие выражения:'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'Практика делает мастера'

'Вычислите следующее выражение: (2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'Вычислите следующие выражения.'

'1) Сколькими способами 8 различных соков можно разделить между двумя людьми, A и B, убедившись, что каждый получает как минимум 1 сок? \n2) Сколько различных способов разделить 8 различных соков на 2 группы?'

'Вычислите следующее выражение: (7)(√20 + √3)(√5 - √27)'

'Вычислите выражения, содержащие квадратные корни. Вычислите следующее выражение: \ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

''

'Выполните сложение и вычитание многочленов. Например, решите следующую задачу.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Использование закона умножения.'

'Вычислите следующее выражение: (3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'Упростите выражение, используя правила степеней.'

'Сколько существует способов, чтобы при одновременном броске трех костей разного размера на всех костях выпали нечетные числа?'

'Разделите на следующие уравнения и решите их вертикально.'

'Вычислите следующие выражения.'

'(1) Сколько существует способов распределить 10 человек по 2 комнатам, A или B? Возможно также поместить всех в одну комнату.\n(2) Сколько существует способов разделить 10 человек на 2 группы, A и B?\n(3) Сколько существует способов разделить 10 человек на 2 группы?'

'Вычислите следующее выражение: (1) 3√3 - 6√3 + 5√3'

'Объясните вычисление следующего выражения: 500x z^3 умножить на \\frac{1}{4} x^2 y^4 умножить на \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'Имея в виду 3 женщин как одну группу, общее количество круговых перестановок 10 мужчин и одной группы женщин составляет (11-1)!=10! способов. В любом случае, расстановка 3 женщин может быть выполнена 3! способами. Следовательно, необходимая вероятность равна (10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22.'

'Есть 1 красный нефрит, 2 голубых нефрита, 2 желтых нефрита и 2 белых нефрита.\n(1) Сколько способов существует для расположения всех 7 нефритов в круговую форму?\n(2) Когда нанизывают все 7 нефритов и изготавливают браслеты, сколько различных браслетов можно создать?'

'Вычислите следующие выражения.'

'Сравнение степеней и корней степени: Сравните величину следующих степеней и корней степени.'

'Найдите S_n, когда n четное и нечетное: S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2), когда n четное, S_{n}=-\x0crac{1}{2}(n+1)^{2}, когда n нечетное'

'Для геометрической прогрессии \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ с общим отношением 2 и первым членом 1, найдите сумму \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \'

'Для решения (II) также хорошим методом является снижение степеней, как это сделано в решении (IV).'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'Вычислите следующие выражения. (1) \ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2) \ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) Выполните следующие вычисления:\n\nЗдесь, $\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) Выполните следующее вычисление:\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3a+2}$'

'Определите значения констант a, b, c, d, e так, чтобы первое выражение делилось на второе выражение.'

'Вычислите следующие выражения:'

'Упростите следующие выражения.'

'(4) Вычислите $\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'Найдите общий член последовательности {an}, определяемой следующими условиями.\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'Вычислите следующие выражения и найдите решения:\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'Найдите частное и остаток'

'Найдите значение следующих выражений:\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'Доказательство: (1) Докажите, что когда a: b=c: d, уравнение (a+c)(d+f)=(a+c+e)(b+d+f) верно. (2) Докажите, что когда a/b=c/d=e/f, уравнение (a+c)/(b+d)=(a+c+e)/(b+d+f) верно.'

'Найдите число, которое возводится в квадрат и дает 8i.'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'Вычислите следующие выражения.'

'Что мне делать? Ханако: Поскольку остаток при делении P(x) на (x-1)^{2} равен 2x+3, мы можем выразить это как s x^{2}+t x+u=. (i) Выберите выражение, которое подходит в пропуск из следующих вариантов. (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) Определите значения s, t, u, такие что s=, t=, u=. Заполните правильными числами.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Найдите остаток при делении данного многочлена указанным линейным уравнением. (1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"Если a < 0, b < 0, пусть a = -a', b = -b', где a'> 0, b'> 0, тогда"

'Выразите следующие выражения в виде r\\sin (\\theta+\\alpha), где r>0, -\\pi<\\alpha\\leq\\pi.'

'Вычислите следующие вычисления. Обратите внимание, что a>0, b>0.'

'Найдите значения b_n, c_n и a_n, используя следующую серию шагов: (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'Найдите сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1 и общим отношением 2, выраженной как log₂(a₁) + log₂(a₂) + ... + log₂(aₙ).'

'Когда многочлен A делится на многочлен 2x^{2}-1, и частное равно 2x-1, а остаток равен x-2, найдите A.'

'(3) Используя распределительный закон $(a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'Когда многочлен $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ делится на $x^{2}+x+1$ и остаток равен $-x+3$, найдите значения констант $a, b$.'

'Найдите частное и остаток при делении многочлена $x^3-2x^2-45x-40$ на многочлен $x-8$.'

'Определите, является ли следующее уравнение тождеством.'

''

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'Пусть два вещественных числа a, b будут положительными. Также, i - мнимая единица.'

'Упростите следующие выражения.'

'Доказательство уравнения с условиями'

'Упростите следующие выражения.'

''

'Выберите вариант от 0 до 3, который соответствует A.'

'Перепишите следующие углы в радианах и обратно.'

'Рассчитайте следующее выражение: (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'Максимальная прибыль в этот момент составляет a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (миллион йен)'

'Бросьте монету один раз, получив 1 очко за орла и 2 очка за решку. Повторите этот эксперимент n раз, разделите сумму очков на 3, вероятность того, что остаток будет 0, составляет a_{n}, вероятность того, что остаток будет 1, составляет b_{n}, а вероятность того, что остаток будет 2, составляет c_{n}. (1) Найдите a_{1}, b_{1}, c_{1}. (2) Выразите a_{n+1} через b_{n} и c_{n}. (3) Выразите a_{n+1} через a_{n}. (4) Выразите a_{n} через n.'

'При одновременном броске 2 монеты номиналом 50 иен, 4 монеты номиналом 100 иен и 1 монеты номиналом 500 иен, вычислите математическое ожидание и стандартное отклонение общей суммы монет, выпавших орлом.'

'Докажите, что последовательность, в которой n-ый член равен 5n+1, является арифметической прогрессией, и найдите её первый член и разность.'

'Базовый пример 19: Идентичность дробных уравнений (частичное разложение дробей)'

'Базовый пример 55 Оценка значения высокой степени полинома с помощью деления\nДля P(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2, ответьте на следующие вопросы:\n(1) Докажите, что x=-1+i удовлетворяет условию x^{2}+2 x+2=0.\n(2) Найдите частное и остаток при делении P(x) на x^{2}+2 x+2.\n(3) Найдите значение P(-1+i).'

'Чему равен остаток при делении многочлена P(x) на линейное выражение ax+b?'

'Найдите частное и остаток при делении многочлена A на многочлен B для следующих значений x:'

'Докажите, что уравнение a³(b-c) + b³(c-a) + c³(a-b) = 0 верно, когда a+b+c=0.'

'Для этого деления справедливо следующее уравнение.'

'Выразите относительные размеры следующих наборов чисел, используя знаки неравенства.'

'Покажите сложение и вычитание комплексного числа z = a + bi.'

'Выберите 3 карты из 9 карт с числами от 1 до 9, написанными на них, и упорядочите их, чтобы составить трехзначное число.'

'(2) Связь между размером и знаком разности 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'Найдите общий член последовательности {a_n}, определенной следующими условиями.'

''

'Решите задачу, используя следующее правило степени: Правило степени: a^{r} a^{s}=a^{r+s} Особенно, когда a равно 3, r равно 2, s равно 4, найдите значение a^{r+s}.'

'Упростите следующие дроби и выразите их в наиболее простой форме.'

'Компания X, занимающаяся системой велоделения, планирует открыть два места, A и B, в небольшом городе. В каждом месте будет большое количество велосипедов в аренду, и пользоваться ими можно будет из любого места. Каждый день все велосипеды в местах A и B сдаются в аренду только один раз и возвращаются в любое место в этот же день. Предполагается, что соотношение возвращаемых велосипедов в каждое место остается постоянным. В частности, 70% велосипедов, взятых напрокат в A, возвращаются в A, а 30% в B. Для велосипедов, взятых напрокат от B, 20% возвращаются в A, и 80% в B. Обозначим an и bn - соотношения числа велосипедов в местах A и B соответственно к общему количеству велосипедов после окончания n-го дня. Если изначальные пропорции велосипедов в A и B составляют 20% и 80% соответственно, ответьте на следующий вопрос: (1) Найдите an.'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'Вычислите следующее выражение:'

'Найдите значение следующего выражения: \\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'Преобразуйте данное правое выражение в'

"Если a < 0, b > 0, пусть a = -a', где a' > 0, тогда"

'Присвойте 4 и 14 переменной a соответственно.'

'Выразите относительные размеры каждого набора чисел, используя неравенства.'

'Используя деление в столбик, найдите частное и остаток при делении многочлена A на многочлен B. (1) A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, B=x+3 (2) A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, B=2 x-1'

'Организуйте подобные термины в следующих многочленах и определите степени и постоянные члены букв в квадратных скобках в многочленах (2) и (3).'

'Упростите следующие выражения, удалив двойной квадратный корень.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Пусть 12 будет вещественным числом, а b - положительной постоянной. Найдите минимальное значение m функции f(x) = x^{2} + 2(ax + b|x|). Кроме того, постройте график m с a на горизонтальной оси и m на вертикальной оси при изменении значения a.'

'Основные вопросы\n3 квадратных корня\n(1) Число, квадрат которого равен а, называется квадратным корнем из а.\n(2) Свойства 1. Когда а ≥ 0, (√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2. Когда а ≥ 0, √(a²) = a; когда а < 0, √(a²) = -a, то есть √(a²) = |a|\n(3) Формулы Когда а > 0, b > 0, k > 0\n3. √a * √b = √(a * b); 4. (√a) / (√b) = √(a / b); 5. √(k² * a) = k * √a\n\nРационализация знаменателя Преобразование выражения, содержащего корень в знаменателе, в выражение, не содержащее корня, называется рационализацией знаменателя.'

'Пожалуйста, вычислите следующие примеры, используя правила показателей.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Пожалуйста, предоставьте пример сложения и вычитания полиномов.'

'Найдите значение следующих выражений.'

'Найдите значение следующих выражений.'

'Основные правила для вычислений полиномов'

'Упростите следующие выражения, убрав двойные квадратные корни.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Уберите квадратные корни в следующем выражении и упростите: $\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ (где $-2<x<\\frac{3}{4}$).'

'Пусть a = b = c будут действительными числами, и пусть A, B, C будут определены как A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}. Выразите abc через A, B, C.'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'Вычислите следующие математические выражения.'

'Из теоремы синусов, $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$, поэтому\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\nИз теоремы синусов\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\nСледовательно\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'Найдите уравнение параболы, которое получается путем параллельного сдвига на 2 единицы вдоль оси x и -1 единицы вдоль оси y, так чтобы оно совпадало с параболой y=-2 x^{2}+3.'

'Найдите значение PR(2) sin 160° cos 70° + cos 20° sin 70°.'

'Сложение, вычитание и умножение многочленов'

'Упростите следующие уравнения, убрав квадратные корни.'

''

'В части (1) Базового примера 13 подумайте о том, как consoliдировать и заменить общие выражения.'

'Перечислите основные законы сложения и умножения многочленов.'

'Используя (3)(2), Таро решил определить цену одного окономияки так, чтобы прибыль была максимальной. Найдите значение x, при котором прибыль максимальна, и рассчитайте прибыль в этой точке.'

'Сложение и вычитание многочленов\nСумма A+B находится путем сложения всех членов из A и B, а если есть похожие члены, они объединяются и упрощаются.\nРазность A-B рассматривается как A+(-B), где знак каждого члена в B изменяется и добавляется к A.\nВертикальное вычисление\nКак показано справа, также допустимо выравнивать похожие члены и выполнять вертикальные вычисления. В этом случае оставьте место для отсутствующих членов степени.'

'В базовых примерах 6 и 12, представлен метод объединения общих выражений и затем продолжения вычислений. Пожалуйста, объясните метод, который вы бы использовали для продвижения решения.'

'Вычислите выражения, включающие в себя корни'

'(1) Покажите выражения для замены x на x+1 и y на y-2. (2) Для функции f(x) = -2x^2 + 1, покажите полученную функцию.'

''

'Вычислите следующие выражения.'

'Следующий расчет неверен. Перечислите все неверные равенства и объясните причину, позволяющую считать их ошибочными.'

'Вычитая -2x^2 + 5x - 3 из определенного полинома, но по ошибке добавив этот выражение, результатом стало -4x^2 + 13x - 6. Найдите правильный ответ.'

'(1) При $x=3$, $f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$. (2) При $x=0$, $f(0)=-2 \\cdot 0+1=1$'

'Пожалуйста, объясните сумму, разность, произведение и частное двух рациональных чисел.'

'Через манипуляцию членами можно создавать общие множители.'

'При x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\ найдите значения x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}, x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}, x^{6}+\\frac{1}{x^{6}}. [Университет Риккё]Поскольку x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{и} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\nСледовательно, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} следовательно x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'Найдите сумму A + B.'

'Выполните следующие вычисления:\n(1) A+B\n(2) A-B\nгде A=5x^3-2x^2+3x+4, B=3x^3-5x^2+3'

'Когда значения двух чисел a и b находятся в диапазоне -2 ≤ a ≤ 1 и 0 < b < 3, найдите диапазон возможных значений для 1/2a - 3b.'

'Найдите вектор x, который удовлетворяет следующим уравнениям, и выразите его через вектор a:\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'Три точки A, B и C коллинеарны тогда и только тогда, когда AC=kAB, где k - это действительное число.'

'При условии, что уравнение \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) верно для трех различных комплексных чисел \ \\alpha, \eta, \\gamma \, ответьте на следующие вопросы.'

'(2) Если комплексные числа $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ удовлетворяют условиям $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ и $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$, найдите значение $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$.'

'(g∘f)(x) = g(f(x)) = 2f(x) - 1 = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 (f∘g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2 = (2x - 1) + 2 = 2x + 1'

'1622 \\pi^{2} a'

'Решение задачи 60 (1) \\log \eta-\\log \\alpha-\\frac{2(\eta-\\alpha)}{\\alpha+\eta}'

'Найдите решение для (1): Вычислите (g∘f)(x), (f∘g)(x).\nДокажите (2): (h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x).\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}.'

'(2) - (1) умноженное на 3 дает (3), (4) дает z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'Вопрос 6'

'Условия для того, чтобы три точки A, B и C были коллинеарны и условия перпендикулярности\nПусть c - вещественная константа. Представьте точки A, B и C как α=1+i, β=-i, γ=-2+ci.\n(1) Определите значение c, чтобы точки A, B и C находились на одной прямой.\n(2) Определите значение c, чтобы отрезки AB и AC были перпендикулярны.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Ответ на упражнение 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'90 (2) \\((0, 1-a), (0, -1-a)\\)'

'Пусть P(z) будет точкой на прямой, проходящей через две различные точки A(α) и B(β) на единичной окружности. Докажите уравнение z+αβ𝑧¯=α+β.'

'Выразите практику z = sinα + i cosα (где 0 ≤ α < 2π) в полярной форме.'

'Сложение и вычитание матриц, умножение на число'

'Упражнение'

'Ответ на упражнение 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x, g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'161 (4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'Что такое CHART?'

'Учитывая \n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \, подставив их в \n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \, мы получим\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\nУпрощая, мы получаем следующее уравнение:\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'Сложение, вычитание и скалярное умножение матриц'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ Умножив обе стороны на \ z \ и упростив, получим\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\nРешив для \ z \, получим \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'Для матриц A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) и B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right) определите значения $x, y, z$ для удовлетворения условия $AB=BA=O$.'

'Когда $\\ vec {a} = (-2,1)$ и $\\ vec {b} = (3,-2)$, выразите вектор $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$ в компонентах. Также найдите его величину.'

'(Альтернативное решение)\n\nКогда z является вещественным числом, в соответствии с квадратным уравнением (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + 1 + 2, и (x + 1/x) ^ 3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x).\nРассматривая z как вещественное число: (-√2) ^ 3 + 3√2 = 0.\nСледовательно: √2.\n\nТаким образом, уравнение z^6 + 1/z^6 равно (z^3 + 1/z^3)^2 - 2 = √2 - 2 = 0.\nПоэтому z^12 + 1/z^12 равно (z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2.'

'Рассматривая кривую alpha z + beta, когда точка z движется по кругу с центром в начале координат O и радиусом 1, представленную как w = (1-i)z - 2i. Какую форму нарисует точка w?'

'При $k=0,1,2$, пусть $z$ будет $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$'

'Пусть k будет натуральным числом'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Ответ на упражнение 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'Практика (2) Пусть \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\) . Найдите максимальное и минимальное значения \ |\\vec{p}| \ при \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \.'

''

'Математика C'

'Решайте по порядку.'

''

'При x = 1 + √2i, найдите значение следующего уравнения.'

"Для многочлена f(x) относительно x, если f(3) = 2 и f'(3) = 1, найдите остаток при делении f(x) на \\\\underline{201}(x-3)^{2}."

'Давайте проверим деление многочленов.'

'Разделите многочлен P(x) на x-1, чтобы получить остаток 5, и на x-2, чтобы получить остаток 7. Найдите остаток при делении P(x) на x^2-3x+2.'

'Найдите частное и остаток при делении многочлена A на многочлен B.'

'Деление 2 полиномов'

'Учитывая прямую l: y=-2x, где точка A(a, b) имеет симметричную точку B. Найдите координаты точки B через a, b. Кроме того, определите уравнение пути, по которому движется точка B при движении точки A вдоль прямой y=x.'

''

'Найдите остаток при делении многочлена P(x) на квадратное уравнение x^2+3x+2.'

'Пусть n - натуральное число, большее или равное 2, а i - мнимая единица. Когда α=1+√3i, β=1-√3i, найдите значение (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3}.'

'(2) Пусть полином P(x) делится на x-3 и (x+2)(x-1)(x-3) с остатками a и R(x) соответственно. Учитывая, что коэффициент x^2 в R(x) равен 2. Кроме того, когда P(x) делится на (x+2)(x-1), остаток составляет 4x-5. Найдите значение a. [Похоже на Университет Хосэй]'

'Докажите, что для любых действительных чисел a, b, c, удовлетворяющих a+b+c≠0 и abc≠0, уравнение 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) справедливо. В этом случае докажите, что для любого нечетного числа n уравнение 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n также справедливо.'

'Когда многочлен P(x) делится на x^2-1, остаток - 4x-3, и когда делится на x^2-4, остаток - 3x+5. Найдите остаток при делении P(x) на x^2+3x+2.'

'170 (У) \а-б\'

'Упражнение (1) Разделите многочлен $2x^{3} + ax^{2} + x + 1$ на многочлен $x^{2} + x + 1$, чтобы получить частное $bx - 1$ и остаток $R$. Найдите значения констант $a, b$ и $R$. Обратите внимание, что $R$ является многочленом или константой относительно $x.'

'При делении многочлена P(x) на x^{2}+5 x+4 остаток равен 2 x+4, и при делении на x^{2}+x-2 -x+2. В этом случае найдите остаток при делении P(x) на x^{2}+6 x+8.'

'Рассчитайте следующие выражения:\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'Найдите остаток от деления P(x) на (x-1)(x+2).'

'(3) Длинная форма 10 умножение, деление дробей'

''

'Деление Тацумото 18 и тождество'

'Найдите остаток при делении линейного многочлена P(x) на линейный фактор (x-a).'

'Найдите частное и остаток от деления многочлена A на многочлен B.'

''

'(1) Найдите следующие значения.'

'Найдите значения констант a и b для функции f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1 так, чтобы функцию можно было разделить на (x-1)^2.'

'Деление многочленов и определение многочленов'

'Определите диапазон действительных чисел, для которых последовательность {\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}} сходится. Также найдите предел последовательности для этих значений x.'

'Пусть z ≠ 0. В комплексной плоскости, когда точка z и точка z^5 симметричны относительно начала координат O, найдите значение z. Кроме того, в комплексной плоскости найдите площадь многоугольника с вершиной, соответствующей вычисленному значению z.'

'Когда точка P(x, y) делает один контр-часовой оборот вокруг окружности радиусом 1, расположенной в центре начала координат, сколько оборотов совершают точки Q1(-y, x) и Q2(x^2 + y^2, 0) вокруг начала координат в контр-часовом направлении соответственно?'

'Определите функции f(n) и g(n), принимающие целые значения n, следующим образом: f(n)=1/2 n(n+1), g(n)=(-1)^{n}, определите составную функцию h(n)=g(f(n)). Кроме того, бросьте шестигранный кубик 4 раза, обозначьте результаты как j, k, l, m, и пусть a=h(j), b=h(k), c=h(l), d=h(m), рассмотрите функцию P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d.'

'Альтернативное решение 1. Предположим, что z=x+yi(x, y) является действительным числом'

'Математика верна'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) Из результата (2) имеем aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3). Следовательно, последовательность {aₙ - 2/3} с начальным членом a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3 и общим отношением -1/2 является геометрической прогрессией. Следовательно, aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾, значит aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3. Следовательно, limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Если g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 делится на (x-1)^{2}, выразите a и b через n, где a и b не зависят от x.'

'Найдите значение следующих выражений:\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'Обратите внимание, что α ≠ π'

'Найдите сумму следующего бесконечного ряда.'

'Пусть последовательности {a_{n}} и {b_{n}} удовлетворяют следующему соотношению.'

'Какие из следующих комплексных чисел являются действительными, а какие являются чисто мнимыми? Предположим, что αβ̅ не является действительным числом.'

''

'Пусть PR α, β будут комплексными числами. (1) Если α= |β|=1, α-β+1=0, найдите значения α β и α/β+β/α. (2) Если |α|=|β|=|α-β|=1, найдите значение |2 β-α|.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\) и \\( \\vec{a} = \\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{b} = \\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{c} = \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right) \\) когда \ \\vec{e}, \\vec{e}, \\vec{e} \\vec{e}_{3} \ выражены с использованием \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ соответственно. Также, выразите \\( \\vec{d}=(3,4,5) \\) используя \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.\\n[Университет Кинки]\\n(Вторая половина) Выразите \ \\vec{d} \ используя \ \\overrightarrow{e_{1}}, \\overrightarrow{e_{2}}, \\overrightarrow{e_{3}} \ и подставьте результаты из первой половины.'

'Условие параллелизма векторов: Когда векторы 𝐚≠0 ,𝐛≠0 , тогда 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 где 𝑘 является вещественным числом.'

'Когда два непараллельных вектора \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (где \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) удовлетворяют условию \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\), найдите значения вещественных чисел \ s, t \.'

'Решите следующие уравнения, используя полярную форму: (1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'Найдите значения констант a, b и c, когда композитная функция (g∘f)(x) = x выполняется.'

'Рассмотрим следующую последовательность комплексных чисел.'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\log \\frac{3}{4}'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Где диапазон аргумента 𝜃 равен 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) 2(sin(𝜋/3) + cos(𝜋/3)) (2) 𝑧 = cos(12/7)𝜋 + i sin(12/7)𝜋, затем -3𝑧'

'(2) \\ (2(cos(π/10)+i sin(π/10)) \\)^{5}'

'Выразив 1+i и √3+i в показательной форме, найдите значения cos(5/12π) и sin(5/12π) соответственно.'

'Обозначим c = a + tb для двух векторов a = (11, -2) и b = (-4, 3). Вещественное число t изменяется.'

'Пусть α=2+i и β=4+5i. Найдите комплексное число γ, представляющее точку β после вращения вокруг точки α на π/4.'

''

'(1) Доказать, что для любого комплексного числа z, z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z является вещественным числом.\n(2) Показать, что для комплексных чисел z, где \\\overline{\\alpha} z\ не является вещественным числом, \\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\ является чисто мнимым числом.'

'Когда \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \, выразите \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) через \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \.'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'Даны четыре различные точки O, A, B и C, не лежащие в одной плоскости, и для двух точек P, Q, если ⃗OP=⃗OA-⃗OB и ⃗OQ=-5⃗OC, найдите значения действительных чисел k, l, такие что k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC верно.'

'Предположим, что вероятность события \ A \ в 231 испытаниях составляет \\( p(0<p<1) \\). Если этот эксперимент проводится \ n \ раз, то вероятность того, что \ A \ произойдет нечетное количество раз, обозначается как \ a_{n} \.'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Где аргумент θ удовлетворяет 0 ≤ θ < 2π. (1) z = -cosα + i sinα (0 ≤ α < π) (2) z = sinα - i cosα (0 ≤ α < π/2)'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

''

'13'

'Преобразуйте данную рациональную функцию y=(6x+5)/(2x-1) в стандартную форму y=k/(x-p)+q.'

'(3) -\\frac{(b-a)^{11}}{2772}'

'Для комплексных чисел z и w, удовлетворяющих условию |z|=|w|=1 и zw≠1, докажите, что (z-w)/(1-zw) является вещественным числом.'

'Когда p = 1, a_{n}=2 n, когда p ≠ 1, a_{n}=\\frac{2\\left(p^{n}-1\\right)}{p-1}; -1<p<1'

'Пусть z = x + y, где x и y - вещественные числа, рассматривается как уравнение с вещественными числами. Самое большое преимущество этого подхода заключается в том, что он позволяет более простые стратегии вычислений, так как его можно рассматривать через знакомые вещественные числа. Однако вычисления часто становятся более сложными. (Пример 101, решение 1) В примере 100, z = x+y с x и y в качестве вещественных чисел, решения (1), (2), (4) также могут быть получены, но по сравнению с методом 1 количество вычислений больше.'

'Пусть частичная сумма от первого до n-го члена будет обозначаться как S_n'

'(1) \\frac{28 \\sqrt{2}}{3}-\\frac{32}{3}'

'Найдите композицию функций (f ∘ g)(x) двух функций f(x) и g(x). (1) Учитывая f(x)=\\frac{x-1}{2x+3}, g(x)=\\frac{-x}{x+1}, найдите (f ∘ g)(x). (2) Пусть a, b будут действительными числами, и f(x)=\\frac{x+1}{ax+b}. Найдите значения a, b, удовлетворяющие условию (f ∘ f)(x)=x. (3) Пусть a будет действительным числом, где a ≠ 0, и f(x)=\\frac{ax+1}{-ax}. Найдите значение a, удовлетворяющее условию (f ∘(f ∘ f))(x)=x. Здесь (f ∘(f ∘ f))(x) означает f((f ∘ f)(x)). [Ямагучи Хироси] Пример 11'

'(2) 1-2 \\log 2'

'Найдите значение выражения P = (-1 + √3 i) / 2)^n + ((-1 - √3 i) / 2)^n. Где n - положительное целое число.'

'Найдите сумму и разность комплексных чисел α = a + bi, β = c + di.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Пусть a, b будут постоянными такими, что 100<a<b. Определим x_{n}= (a^{n}/b + b^{n}/a)^{1/n}(n=1,2,3, ...).'

'Какую форму нарисует точка w со следующими уравнениями:'

'13\n(3) \\( y^{\\prime}=-\\frac{(5 x+3)^{\\prime}}{(5 x+3)^{2}}=-\\frac{5}{(5 x+3)^{2}} \\)'

'Разделите окружность на 6 равных частей, обозначьте их по часовой стрелке как A, B, C, D, E, F и поместите камешек на точку A в качестве стартовой точки. Бросьте кубик, если выпадет чётное число, переместите камешек на 2 пункта по часовой стрелке, если выпадет нечётное число, переместите камешек на 1 пункт по часовой стрелке, продолжайте эту игру, пока камешек не вернётся точно на точку A, что считается достижением цели.'

'Рассчитайте общее количество перестановок, выбирая 3 из 5 чисел, чтобы создать четное число.'

'Вычислите сумму A+B и разность A-B следующих многочленов:\n(1) A=7x-5y+17, B=6x+13y-5\n(2) A=7x^3-3x^2-16, B=7x^2+4x-3x^3\n(3) A=3a^2-ab+2b^2, B=-2a^2-ab+7b^2'

'Пожалуйста, решите следующую математическую задачу.'

'Преобразуйте в стандартную форму. Переместите коэффициент \ x^{2} \, который равен \ \\frac{1}{3} \, за пределы знака абсолютной величины.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Рассчитайте общее количество перестановок, выбирая 3 числа из 5 чисел для создания кратного 4.'

'Сложите следующие выражения: (1) 13x + 8y + 12 и x - 18y + 22'

'(2) Поскольку $\\sin ^{2} \\theta+ \\cos ^{2} \\theta=1$, мы имеем $\\sin ^{2} \\theta=1- \\cos ^{2} \\theta=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}=\\frac{9}{25}$. Угол $\\theta$ является острым, поэтому $\\sin \\theta>0$, следовательно $\\sin \\theta=\\sqrt{\\frac{9}{25}}=\\frac{3}{5}$. Также $\\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}$.'

'(1) 5+√3'

'(2) \\[ \\frac{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}}{\\sqrt{x} - \\sqrt{y}} = \\frac{(\\sqrt{x} + \\sqrt{y})^{2}}{(\\sqrt{x} - \\sqrt{y})(\\sqrt{x} + \\sqrt{y})} \\] \\[ \egin{array}{l} = \\frac{(\\sqrt{x})^{2} + 2 \\sqrt{x} \\sqrt{y} + (\\sqrt{y})^{2}}{(\\sqrt{x})^{2} - (\\sqrt{y})^{2}} = \\frac{x + 2 \\sqrt{x y} + y}{x - y} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) + 2 \\sqrt{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})} + (\\sqrt{7} - \\sqrt{5})}{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) - (\\sqrt{7} - \\sqrt{5})} = \\frac{2 \\sqrt{7} + 2 \\sqrt{7 - 5}}{2 \\sqrt{5}} = \\frac{2 \\sqrt{7} + 2 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{2}}{\\sqrt{5}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{2}) \\sqrt{5}}{(\\sqrt{5})^{2}} = \\frac{\\sqrt{35} + \\sqrt{10}}{5} \\end{array}\\]'

'Пожалуйста, продемонстрируйте следующие правила сложения, вычитания и умножения алгебраических выражений.'

'(1) \2 a-2\'

'Пожалуйста, решите задачу, связанную с вычислением квадратного корня из упражнений в главе 1 о числах и выражениях.'

'Докажите, что если k ≠ l, то r(k) ≠ r(l).'

"Пожалуйста, вычислите следующие выражения путем сложения и вычитания:\n(1) A+B = (3a^2-ab+2b^2) + (-2a^2-ab+7b^2)\n(2) A-B = (3a^2-ab+2b^2) - (-2a^2-ab+7b^2)\nЭта функция называется 'CHECK 3'."

''

'Скажите обратное, противоположное и обратное противоположное следующих утверждений.'

"Существует 5 способов показать руку, с 3 возможностями 'Камень, Ножницы, Бумага' на каждого человека, поэтому существует общее количество способов 3 в степени 5. (1) Рассмотрите, кто победит, и как он это сделает, рассчитайте вероятность. (2) Рассмотрите, какие 2 человека победят и как они это сделают, рассчитайте вероятность. (3) Рассчитайте вероятность ничьей, что означает, что матч не приведет ни к победе, ни к поражению."

'Вычислите следующие выражения.'

''

Вычислите следующие выражения. (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

Пусть целая часть 3+\sqrt{2} равна a, а десятичная часть равна b. Значение a^{2}+2 a b+4 b^{2} равно \square.

Решите следующие вычисления.\n(1) \( 2 a imes\left(a^{3} ight)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b imes\left(-5 a b^{3} ight) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y ight)^{2} imes\left(-3 x^{3} y^{2} ight)^{3} \)

Вычислите следующие выражения. (3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (4) $\frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

Пусть всеобщий множества U, а множества, удовлетворяющие условиям p и q, — это соответственно P и Q. Как будет представлено множество элементов, удовлетворяющих условию 'p и q'?

Решите следующие вычисления. (1) $x^{2} imes x^{5}$ (2) \( \left(x^{5} ight)^{2} \) (3) \( \left(-x^{2} y z ight)^{4} \) (4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3} ight)^{3} imes\left(-3 a^{2} b ight)^{2} \) (5) \( \left(-x y^{2} ight)^{2} imes\left(-2 x^{3} y ight) imes 3 x y \)

Пример Вопроса Основной Пример 27 Объяснение $40 \sqrt{A^{2}}$. Дано вещественное число $a$, упростите $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$. Результаты следующие: когда $a>\frac{1}{3}$, это $\square$; когда $-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$, это 1 $\qquadj$; и когда $a<-2$, это $\qquadj$ \. [Пример на Централизованном экзамене]\& ГИД $A \geqq 0$ означает $\sqrt{A^{2}}=A$, и $A<0$ означает $\sqrt{A^{2}}=-A$; таким образом, $\sqrt{A^{2}}=|A|$ верно. $\square$$\qquadj$. Используя это, выразите $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ с использованием абсолютных значений.

Вычислите следующие выражения. (1) \( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} )

Вычислите следующие выражения. (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

Найдите значения функции \( f(x)=2x+1 \) при $x=-1, 0, 1$.

Представьте множество всех элементов, которые удовлетворяют условию 'p и q'.

Пожалуйста, объясните четыре основных арифметических операции.

Вычислите следующие выражения. (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

Графическое представление суммы комплексных чисел Сумма двух комплексных чисел \alpha = a + bi, eta = c + di определяется как \[ \alpha + eta = (a + c) + (b + d)i \] При отображении на комплексной плоскости можно отметить следующие ключевые моменты. 1. Переместив точку $\alpha$ на позицию параллельную точке eta из начала координат, полученная точка будет суммой. Пожалуйста, вычислите следующие суммы и отобразите их на комплексной плоскости. 1. $\alpha = 1 + 2i$, eta = 3 + 4i 2. $\alpha = -1 + i$, eta = 2 - 3i

Учитывая f(x)=-2x+3 и g(x)=2x²-4x+3, найдите следующие значения. (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

Выполните следующие преобразования по порядку модуля и аргумента. (1) $2r, heta$ (2) $r, heta+\pi$ (3) $r,- heta$ (4) rac{1}{r},- heta (5) $r^{2}, 2 heta$ (6) $2r, \pi- heta$

(2) Точка G делит отрезок AF внутренне в отношении 1:2, поэтому \[ egin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{AG}}=rac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AF}}=rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} \ ext { Следовательно } \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} ight)-ec{d} \ =rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}-rac{9}{10} ec{d} \ \end{array} \] Поскольку точки D, G и H коллинеарны, существует действительное число $k$, такое что $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DG}}$.

(3) Из (1), \alpha=\frac{3 \pm \sqrt{3} i}{3} eta , следовательно \[ egin{aligned} |3 \alpha-2 eta| & =|(3 \pm \sqrt{3} i) eta-2 eta|=|(1 \pm \sqrt{3} i) eta| & =|1 \pm \sqrt{3} i||eta|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}|eta|=2|eta| \end{aligned} \]

Дано \( z=r(\cos heta+i \sin heta) \). Найдите модуль и аргумент следующих комплексных чисел, используя $r, heta$. Каждый ответ по 1 пункту 20. Предположим, что $r>0$. (1) $2z$ (2) $-z$ (3) \overline{z} (4) rac{1}{z} (5) $z^{2}$ (6) -2\overline{z}

На комплексной плоскости находятся три точки \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \). Когда $riangle \mathrm{OAB}$ является прямоугольным равнобедренным треугольником, найдите комплексное число $z$, представляющее точку $\mathrm{B}$.

Чтобы заполнить следующую таблицу, пожалуйста, вычислите квадрат (n^2), куб (n^3), квадратный корень (√n) и десятикратный квадратный корень (√10n).

Дано α=2(cos 11/12 π + i sin 11/12 π) и β=3(cos π/4 + i sin π/4), найдите αβ и α/β.

46 rac{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{10}}{5}

Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. $-3+2i, -1+5i$ или $3-2i, 5+i$