Основы алгебры - Алгебраические уравнения (Линейные, Квадратные)

'Решите следующие уравнения:'

'Определение коэффициентов по мнимым решениям уравнения'

'Пусть x будет суммой, которую нужно вернуть в конце каждого года, найдите значение x такое, что баланс в конце каждого года будет равен нулю.'

'Найдите кубическое уравнение с корнями 1, 2 и 3.'

'Найдите уравнения следующих прямых:\n(1) Линия, проходящая через точку (6,-4) и параллельная линии 3x + y - 7 = 0\n(2) Линия, проходящая через точку (-1,3) и перпендикулярная линии x - 5y + 2 = 0'

'Следовательно, значение данного выражения'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'Определите типы решений для следующих квадратных уравнений. Где a - постоянная. (1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'Для уравнения $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$ определите диапазон постоянной $k$ так, чтобы у уравнения были следующие корни:'

'Решите следующую систему одновременных уравнений.'

'Определите типы решений для следующих квадратных уравнений.'

'Практикуйте решение следующих уравнений и неравенств.'

'Найдите значения константы $m$, при которых квадратное уравнение $x^2 - mx + 3m = 0$ имеет только целочисленные решения, и определите все такие целочисленные решения.'

'Найдите сумму и произведение двух решений следующих квадратных уравнений.'

'Решите следующую практическую задачу: Найдите решения квадратного уравнения.'

'Важный пример 23 | Решения квадратных уравнений и значение уравнений Пусть два решения квадратного уравнения $x^{2}+n x+p=0$ будут $a, b$, а два решения уравнения $x^{2}+n x+q=0$ будут $c, d$. Здесь $p, q$ - целые числа, и $n$ - вещественное число. (1) Выразить $(c-a)(c-b)$ через $p, q$. (2) Доказать, что $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ является квадратом (может быть выражено как квадрат целого числа).'

'Рассчитайте вероятность p_{n+2} после (n+2) секунд, используя p_n и p_{n+1}.'

'(1) Пусть D будет дискриминантом квадратного уравнения x^2-k x+3 k-4=0 (1), тогда D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16. Для того, чтобы квадратное уравнение (1) имело комплексные корни, условие - D<0, значит k^2-12 k+16<0.'

'Учитывая три линии, где a и b являются постоянными: x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1. Докажите, что когда эти три линии проходят через одну и ту же точку, три точки (-1,1), (3,-1), (a, b) коллинеарны.'

''

'Решать тригонометрические уравнения, используя формулы суммы и произведения.'

'(1) Решите уравнение: $6x^{2}-61x+153=0$.'

'По очереди, 4x + 3y - 17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0'

'Исходя из следующих условий, решите задачу.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку \\( (x_{1}, y_{1}) \\) и перпендикулярной оси \ x \.'

'Когда у кубического уравнения с действительными коэффициентами ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 есть мнимое решение α, объясните о сопряженных комплексных числах и продемонстрируйте их свойства.'

'(1) Пусть $\\alpha$ и $\eta$ - два решения квадратного уравнения $x^{2}+3x-6=0$. Определите новое квадратное уравнение с корнями $2\\alpha+\eta$ и $\\alpha+2\eta$. (2) Если $\\alpha$ и $\eta$ - решения квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$, и одно из уравнений с корнями $\\alpha^{2}$ и $\eta^{2}$ это $x^{2}-4x+36=0$, найдите значения вещественных констант $p$ и $q$.'

'Найдите значения α, β, γ, удовлетворяющие следующим уравнениям: \ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'Найдите все целочисленные значения $m$, для которых у квадратного уравнения $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ есть целочисленные решения.'

'Практика: Начиная с начала O на числовой прямой, бросьте монету, двигаясь на 2 единицы в положительном направлении, если выпадет орёл, и на 481 единицу в положительном направлении, если выпадет решка. Пусть вероятность достижения точки n обозначается как pn. Здесь n - натуральное число.\n(1) Определите отношение между pn, pn-1 и pn-2 для n больше или равного 3.\n(2) Найдите значение pn.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'(1) (6, 4) (2) По порядку (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'Математика II'

'Взяв обратное от обеих сторон рекуррентного отношения получаем \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ Положим \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} , тогда \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} Перегруппировав это получаем \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) Также, \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 Следовательно, последовательность \\ \\{b_{n}+2\\} образует геометрическую прогрессию с первым членом 3 и общим отношением 3, где \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} что приводит к \\ b_{n} = 3^{n} - 2 Следовательно, \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'Когда уравнение окружности преобразуется, \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\), следовательно, центр окружности C находится в точке (2,1), а радиус равен \\\sqrt{2}\.'

'Пусть 14k будет вещественным числом, рассмотрим квадратное уравнение относительно x, x^{2}-kx+3k-4=0.'

'Рассмотрим следующие условия для целых чисел a, b, c (*). ∫(x²+bx)dx = ∫(x²+ax)dx при интегрировании от a до c и от b до c. (1) Выразите c² через a, b, когда целые числа a, b, c удовлетворяют (*) и a≠b. (2) Найдите все пары целых чисел (a, b), удовлетворяющих (*) и a<b при c=3. (3) Покажите, что когда целые числа a, b, c удовлетворяют (*) и a≠b, то c является кратным 3.'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями.'

'Практика 2 кривые y = 2x^{3} + 2x^{2} + a, y = x^{3} + 2x^{2} + 3x + b касаются, и касательная проходит через точку (2,15), найдите значения констант a, b и уравнение касательной.'

'Упражнение 39: x² = x + 3, то есть x² - x - 3 = 0 имеет два решения α, β (α < β), и из соотношения между решениями и коэффициентами получаем α + β = 1, αβ = -3. Докажите это. Кроме того, докажите, что рекуррентная формула - a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0. Наконец, найдите a_{n}.'

''

'Пожалуйста, докажите, что уравнение с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы одно действительное решение.'

'Набор математических проблем 62'

'Найдите значение следующего выражения.'

'(3) Из суммы двух чисел α+β=-4 и произведения αβ=13 найдите квадратное уравнение и его решения.'

'Классифицируйте количество решений уравнения sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π) в зависимости от значения постоянной a.'

'Пусть первый член будет a, а общая разница d, тогда десятый член равен 1, а шестнадцатый член равен 5, отсюда a+9d=1, a+15d=5. Решая эти уравнения, получаем a=-5, d=2/3. Пусть Sn обозначает сумму членов от первого до n-го члена. Следовательно, S30=1/2*30{2*(-5)+(30-1)*2/3}=140, а S14=1/2*14{2*(-5)+(14-1)*2/3}=-28/3. Таким образом, S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'Практика 38: Преобразуйте рекуррентное отношение в a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n}). Следовательно, последовательность {a_{n+1} + 4a_{n}} имеет начальный член a_{2} + 4a_{1} = 9, общее отношение -4, докажите, что это геометрическая прогрессия. Кроме того, покажите, что a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}. Наконец, найдите значение a_{n}.'

'Для квадратного уравнения $a x^{2}+b x+c=0$ с двумя решениями $\\alpha, \\ beta$, мы имеем $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$ и $\\ alpha \\ beta=\\frac{c}{a}$.'

'Пусть $D_{1}$, $D_{2}$ и $D_{3}$ будут дискриминантами трех уравнений, соответственно. Определите диапазон значений для a, при которых каждый дискриминант имеет комплексные корни. Используйте результаты дискриминантов на основе уравнений.'

'Три действительных числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию в порядке a, b, c и геометрическую прогрессию в порядке b, c, a. Когда произведение a, b и c равно 125, найдите значения a, b и c.'

'Из уравнения C2 у нас есть (x-3)^2 + (y-a)^2 = a^2 - 4a + 5. Найдите условия, при которых это уравнение пересечет прямую y=x+1 в двух различных точках.'

'Математика II Практика 61 страница'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\nПусть дискриминант этого квадратного уравнения будет D\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\nПоскольку D<0, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, окружность (A) и прямая (3) не имеют общих точек.'

'y = bx - a² / 4'

'Когда a = 1, уравнение для C₂ имеет вид x^2-6x+y^2-2y+8=0. Пусть k будет постоянной, рассмотрим следующее уравнение: k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0. Найдите условия, при которых это будет прямой.'

'Условие того, что оба решения будут больше 4, это D>0 и (α-4)+ (β-4)>0 и (α-4)(β-4)>0'

'Поскольку середина отрезка PQ равна (3+p)/2, (4+q)/2 принадлежит прямой ℓ, следовательно'

'Кубическое уравнение с повторяющимися корнями'

'Решите следующее уравнение четвертой степени: x^{4}=4'

'Докажите, что по крайней мере одно из \ a, b, c \ равно 1 при \ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \.'

'Пожалуйста, объясните решения уравнения (x-3)^{2}(x+2)=0 и его кратный корень.'

'Пусть $Q(x)$ - квадратный многочлен. Многочлен $P(x)$ не может делить $Q(x)$, но {$P(x)$}^2 может быть делен на $Q(x)$. Докажите, что квадратное уравнение $Q(x)=0$ имеет кратный корень.'

'Поскольку действительное число положительно, значит $x-2>0$ и $3-x>0$. Следовательно, $2<x<3$. И так как $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$.'

'Интерпретируйте это как решение для b в уравнении второй степени'

'Используя связь между корнями и коэффициентами, найдите следующее значение.'

'Важный пример 27 | Решения двух уравнений'

'Для овощей A, каждый содержит 8г питательного вещества x₁, 4г питательного вещества x₂ и 2г питательного вещества x₃; для овощей B каждый содержит 4г питательного вещества x₁, 6г питательного вещества x₂ и 6г питательного вещества x₃. Выберите некоторые из этих двух типов овощей, чтобы смешать и сделать овощной сок. Цель состоит в том, чтобы выбранные овощи содержали как минимум 42г питательного вещества x₁, как минимум 48г питательного вещества x₂ и как минимум 30г питательного вещества x₃. При приготовлении сока с наименьшим количеством овощей типа A и B, комбинация количества овощей A, a и овощей B, b, составляет'

'Для всех натуральных чисел n, выведите cn + 1, используя an + bn + cn = 1.'

'Озеро 37 книга стр. 119 Найти уравнение окружности в форме x^2+y^2+lx+my+n=0. Окружность проходит через точку A(8,5), поэтому 8^2+5^2+8l+5m+n=0; проходит через точку B(1,-2), поэтому 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0; проходит через точку C(9,2), поэтому 9^2+2^2+9l+2m+n=0. Упрощая, получаем 8l+5m+n=-89, l-2m+n=-5, 9l+2m+n=-85. Решение этих уравнений дает l=-8, m=-4, n=-5. Следовательно, искомое уравнение x^2+y^2-8x-4y-5=0. Другой подход заключается в том, что центр окружности, построенной на сторонах треугольника ABC, является центром искомой окружности. Уравнение перпендикулярного биссектрисы AB имеет вид y-3/2=-1(x-9/2), таким образом y=-x+6. Можно также проверить, подставив x=y=0 в 4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2. Из (1)-(2) ÷ 7 получаем l+m=-12, из (1)-(3) получаем l-3m=-4, следовательно 4m=-16 и так далее.'

'Пример 4 | Три числа, образующие арифметическую прогрессию\nЕсть три числа, образующие арифметическую прогрессию, сумма которых равна 18, а произведение - 162. Найдите эти три числа.'

'Пусть объем прямоугольного параллелепипеда обозначается V, где V = x y z выводится из уравнений (2), (3), (4), x, y, z являются корнями кубического уравнения t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0. Условие существования положительных чисел x, y, z заключается в том, что уравнение (5) имеет три положительных корня.'

'Пример 42 | Уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку\nПусть k будет постоянной. Прямая (2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0 проходит через фиксированную точку независимо от значения k. Координаты этой фиксированной точки обозначаются A. Кроме того, когда угловой коэффициент этой прямой равен 1/3, значение k обозначается B.\n[Университет Фукуоки]'

'a³ - a² - b = 0 или 9a + 27b - 1 = 0 где a ≠ 1 / 3'

'Основание - это положительное число, которое не равно 1.'

'Найдите условие для того, чтобы одно из уравнений имело комплексные корни.'

'Комплексное упражнение'

'Найдите квадратное уравнение, используя сумму и произведение двух чисел.'

'Пример 18 Значение симметричного уравнения (2)\nДля двух корней $\\alpha, \eta$ уравнения 2-й степени $2 x^{2}+4 x+3=0$, найдите значения следующих выражений.\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'Пример 38 Повторное отношение между соседними 3 элементами (2)'

'Покажите решения и дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с действительными коэффициентами.'

'Найдите уравнение, когда прямая, проходящая через точки пересечения 2x - y - 1 = 0 и x + 5y - 17 = 0, становится параллельной 4x + 3y - 6 = 0.'

'(1) Найдите квадратное уравнение из суммы двух чисел α+β=7 и произведения αβ=3, и найдите корни уравнения.'

'Решите следующую проблему.'

'(1) Найдите корни квадратного уравнения, используя сумму и произведение двух чисел.'

'Пример 17 | Значение Симметричных выражений (1)\nКвадратное уравнение x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\nПусть два решения уравнения будут \\alpha, \eta, тогда найдите значения следующих выражений.\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'В (2) отношение между корнями и коэффициентами равно α+β=-p и αβ=q. В x²+qx+p=0 отношение между корнями и коэффициентами равно α(β-2)+β(α-2)=-q, α(β-2)+β(α-2)=p и 2αβ-2(α+β)=-q. Следовательно, 2q+2p=-q, что подразумевает 2p+3q=0. Из (2) мы получаем αβ+αβ-2(α+β)+4=p, а из (1) получаем q(q+2p+4)=p, следовательно, p=-3/2q. Подставляя (6) в (5) и упрощая, мы получаем 4q²-11q=0, что приводит к q(4q-11)=0. Решив это, получаем q=0 и 11/4. Когда q=0, из (6) мы получаем, что p=0. В этом случае α=0 и β=0, что противоречит предположению, что α и β не равны. Когда q=11/4, из (6) мы получаем, что p=-33/8.'

'Пусть дискриминанты уравнений (1) и (2) обозначаются как D1 и D2 соответственно.'

'Упростите уравнение до'

'Точка (1,2) лежит на прямой (3), поэтому a+2b=1'

'Найдите диапазон возможных значений y, чтобы удовлетворить y=-2x+3 для x в пределах -3 ≤ x ≤ 2.'

'Докажите следующее уравнение:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \nгде a + b + c = 0.'

'Покажите связь между решениями кубического уравнения и коэффициентами.'

'Определите значение постоянной k, которое удовлетворяет следующим условиям:\n(1) Одно решение вдвое больше другого решения\n(2) Одно решение является квадратом другого решения'

'Для вещественных чисел a, b, пусть f(x) = x^3 - 3 a x + b. Пусть M - максимальное значение |f(x)| для -1≤x≤1.'

'Пусть координаты точки P будут (a, b). Абсцисса точек, в которых прямая с угловым коэффициентом m, проходящая через точку P, пересекает кривую C, является действительным решением уравнения x^3 - x = m(x-a) + b. Когда это уравнение имеет три различных действительных решения, прямая ℓ пересекает кривую C в трех различных точках.'

'Практика'

'Найдите значение k, которое удовлетворяет следующим условиям.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через две различные точки \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\).'

'Предполагая, что данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом равным 5 и общей разностью равной -7. Если n-й член этой арифметической прогрессии равен -1010, то 5+(n-1)×(-7)=-1010. Решив это уравнение, получим 7n=1022, что означает, что n=146 (натуральное число). Следовательно, данная последовательность может быть арифметической прогрессией. Кроме того, -1010 - это 146-й член.'

'Данный математический текст преобразован на несколько языков.'

'Упражнение 39⇒Эта книга стр.91\\ Из отношения между решениями и коэффициентами кубического уравнения \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'Когда уравнение $x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$ представляет собой окружность\n(1) Найдите диапазон значений для постоянной $k$.\n(2) Когда $k$ меняется в пределах этого диапазона, найдите траекторию центра окружности.'

'Для всех значений переменных x, y и z, удовлетворяющих уравнениям x-2y+z=4 и 2x+y-3z=-7, необходимо найти значения констант a, b и c так, чтобы выполнялось уравнение ax^2+2by^2+3cz^2=18.'

'Найдите значения констант a, b и c, которые удовлетворяют уравнениям x - 2y + z = 4 и 2x + y - 3z = -7 для всех значений x, y и z, удовлетворяющих этим уравнениям.'

'Определите значения констант a, b, c таким образом, чтобы уравнение 3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c было тождеством относительно x.'

'Найдите количество различных вещественных решений следующих кубических уравнений.'

'Подтвердите логарифмические уравнения и условия степеней'

'Когда у кубического уравнения $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ есть двойной корень, найдите значение постоянной $a$.'

'Найдите уравнения следующих прямых.'

'Найдите два числа, сумма и произведение которых равны:'

'Развитие 52: Задача о доказательстве относительно решений квадратного уравнения'

'Определите типы решений для следующих квадратных уравнений. Обратите внимание, что k в (4) является постоянной.'

'Найдите условия, при которых заданный многочлен P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 делится на x = 2 и x = -1.'

''

'Когда квадратное уравнение $x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$ имеет два различных решения оба больше 1, найдите диапазон значений для постоянной $a$.'

'Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с двумя решениями $\\alpha, \eta$ и дискриминантом $D$:\n1. $\\alpha, \eta$ - два различных положительных решения $\\Longleftrightarrow D > 0$ и $\\alpha + \eta > 0$ и $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ - два различных отрицательных решения $\\Longleftrightarrow D > 0$ и $\\alpha + \eta < 0$ и $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ - решения с противоположными знаками $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'Рассмотрим знаки разностей \\\alpha-k, \eta-k\ вещественных корней \\\alpha, \eta\ квадратного уравнения и вещественного числа \k\\n\nОбратите внимание на знаки суммы \\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\) и произведения \\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)'

'Найдите количество различных вещественных решений для следующих кубических уравнений.'

'Определите диапазон значений константы $m$ так, чтобы квадратное уравнение $x^{2}+2mx+6-m=0$ имело два различных вещественных корня, оба больше 1.'

'Определите диапазон значений для постоянной m, чтобы квадратное уравнение $x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$ удовлетворяло следующим условиям: (1) Имеет два положительных корня. (2) Имеет два различных отрицательных корня. (3) Имеет корни с противоположными знаками.'

'Пусть a, b являются постоянными. Найдите значения a и b, когда многочлен x^3-x^2+ax+b делится на x^2+x+1.'

'Найдите первый член и общее отношение геометрической прогрессии таким образом, чтобы сумма первых трех членов была равна -7, а сумма членов с третьего по пятый была равна -63.'

'Уравнение высокой степени: Найдите значение постоянной $a$ и другой корень уравнения $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$, учитывая, что один из корней равен $x=2$.'

'Тождество с условием'

'Для квадратного уравнения $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$ ответьте на следующие вопросы.\n(1) Определите диапазон значений константы $m$, когда у уравнения два комплексных решения.\n(2) Найдите значения константы $m$ и кратный корень, когда у уравнения есть кратный корень.'

'Пусть α и β будут двумя решениями квадратного уравнения x^{2}-3x+4=0. Найдите значения следующих выражений:'

'Покажите формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 и найдите его корни.'

'Решите следующие уравнения для 0 ≤ θ < 2π: (1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'Определите значения констант a, b и c так, чтобы уравнение x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c выполнялось как тождество относительно x.'

'Если три решения кубического уравнения $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ обозначены как $α, β, γ$, найдите значения $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ и $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$.'

'Когда кубическое уравнение $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ имеет кратный корень, найдите значение константы $a$.'

'Найдите сумму и произведение двух решений следующих квадратных уравнений.\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'Найдите уравнения следующих прямых:'

'Базовый уровень 62: Решение уравнений высших степеней (2) - Использование теоремы о множителях'

'Решение: Используя формулу x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -3. Ответ: x = 3 или x = -1.'

''

'Определите типы решений для следующих квадратных уравнений. Здесь k в уравнении (4) является постоянной.'

'Найдите решение и ответ на уравнение 2x^{2}+4x-1=0.'

'176 (1) y = 4x - 9 (2) y = -2x, y = 6x - 16'

'Покажите связь между решениями квадратного уравнения и его коэффициентами. Предположим, что решения квадратного уравнения составляют α и β для уравнения ax^2+bx+c=0, затем, используя формулу для решений, продемонстрируйте следующие отношения:\n\n1. Сумма решений α+β\n2. Произведение решений αβ'

'Найдите общий член последовательности, определенной рекуррентным соотношением $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$.'

''

'Если два решения квадратного уравнения x^2 + 2x - 4 = 0 - α и β, то какое квадратное уравнение с решениями α + 2 и β + 2?'

'Найдите значения x и y, когда тождество (k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0 выполняется для всех значений k.'

'Найдите диапазон значений константы $a$, когда квадратное уравнение $x^{2}-a x+4=0$ имеет два различных решения, оба из которых меньше 3.'

'Расширение 53: Целочисленные решения квадратных уравнений (используя соотношение между решениями и коэффициентами)'

'Решите уравнение высокой степени x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0.'

'Базовый пример 62 Определение коэффициентов многочлена 64-ой степени (1) ... Условия для действительных решений Уравнение третьей степени $x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$ имеет -1 и -3 в качестве решений. (1) Найти значения констант $a$ и $b$. (2) Найти другие решения этого уравнения.'

'Когда квадратное уравнение $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ имеет два различных положительных решения, найдите диапазон значений для постоянной $a$.'

'Рассмотрим многочлен P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r. Когда решения кубического уравнения P(x)=0 равны -2 и двум натуральным числам α, β(α<β), найдите значения α, β, q и r.'

'Когда квадратное уравнение x^2+2mx+15=0 имеет следующие корни, найдите значение константы m и два корня.'

'Найдите формулу для решений квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.'

'Найдите значение константы $m$ и два решения, когда два решения квадратного уравнения $3 x^{2}+6 x+m=0$ удовлетворяют следующим условиям:'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной 25 условиями. (1) a1=1, an+1=2an-3(2) a1=1, 2an+1-an+2=0'

'Рассмотрим кубическое уравнение $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$.'

"Найдите информацию о 'высокоуровневых уравнениях' на основе следующей таблицы."

'\ 67 a=1,10 \'

'Решите следующие квадратные уравнения.'

'Найдите значение константы m и два решения квадратного уравнения $3x^{2}+6x+m=0$ так, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям: (1) Одно решение в три раза больше другого. (2) Соотношение двух решений равно 2:3.'

'Решение квадратного уравнения'

'Найдите уравнение окружности, проходящей через три точки.'

'Развитие 69: Решение уравнений высших порядков (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'Доказательство уравнения A=B 3 способами\n\nУравнение A=B может иметь прикрепленные к нему условия, но в основном это идентичность. Существуют три способа доказательства уравнения следующим образом:\n\n(1) Сравнив обе стороны, преобразуя более сложную сторону, чтобы вывести более простую сторону.\n\nA=⋯⋯ Преобразование ⋯⋯ = B\n(или B =⋯⋯ Преобразование ⋯⋯ = A)\n\nСледовательно A = B\n\n(2) Преобразуя обе стороны отдельно, чтобы получить одно и то же выражение C.\n\nA=⋯⋯ Преобразование ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ Преобразование ⋯⋯ = C\n\nСледовательно A = B\n\n(3) Преобразование A - B для демонстрации A - B = 0.\n\nA - B =⋯⋯ Преобразование ⋯⋯ = 0\n\nСледовательно A = B'

'Предположим, что TR - это вещественные числа, и уравнение x ^ {3}-2x ^ {2} + ax + b = 0 имеет x = 2 + i в качестве корня. Найдите значения a, b и все корни уравнения.'

'Найдите диапазон значений для константы $a$, когда уравнение $a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$ имеет действительные решения.'

'Найдите уравнения следующих прямых:\n(1) Проходящая через точку (3, 0) с наклоном 2\n(2) Проходящая через точку (-1, 4) с наклоном -3\n(3) Проходящая через точку (3, 2) и перпендикулярная оси x\n(4) Проходящая через точку (1, -2) и параллельная оси x'

'Функция $y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$ принимает минимальное значение $b$ при $x=a$. Найдите значение $|a+b|$.'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'Определите значения констант a, b и c так, чтобы следующее уравнение было тождеством по x: (1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'Изучите условия, при которых у кубического уравнения есть кратные корни'

'Подставим третье уравнение в первое уравнение, чтобы получить следующее уравнение: a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25. Упрощая, мы получаем следующее квадратное уравнение: a^{2} - 7a + 12 = 0. Следовательно, получаем следующие решения: (a - 3)(a - 4) = 0, поэтому a = 3, 4. Подставив эти значения в третье уравнение, мы получаем следующее: когда a = 3, b = 4; когда a = 4, b = -3. Таким образом, уравнения касательных следующие: 3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'Основной 43: Значение двух решений симметричного уравнения'

'Когда максимальное значение функции f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) равно 10, а минимальное значение равно -10, найдите значения констант a, b.'

'Когда S_{2}=2 S_{1}, \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9, т.е. (m+3)^{3}=54. Поскольку m является действительным числом, m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'Когда k=0, есть одно реальное решение; когда k=-1, есть кратный корень; когда -1<k<0, 0<k, есть два различных реальных решения; когда k<-1, есть два различных мнимых решения.'

'Базовый 42: Сумма и произведение двух решений квадратного уравнения'

'Пусть k будет постоянной. Определите типы решений уравнения kx^2 + 4x - 4 = 0.'

'Найдите значения m, при которых прямые l1 и l2 параллельны или перпендикулярны.'

'Найдите количество различных действительных решений следующих кубических уравнений:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'Найдите значения x и y, при которых (k+2)x-(1-k)y-k-5=0 выполняется для любого значения k.'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Условие существования только мнимых решений'

'Найдите решения квадратного уравнения x^2=k. Здесь k - любое вещественное число.'

'Пусть первый член геометрической прогрессии, с общим отношением r, будет a, причем второй член будет равен 4, а сумма членов от первого до третьего будет равняться 21. Следовательно, у нас есть a= и общее отношение r=.'

'Принимая q, r в качестве вещественных чисел, давайте рассмотрим многочлен P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r. Если решения 333 уравнения P(x)=0 равны -2 и двум естественным числам \\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\), найти \ \\alpha, \eta \ и \ q, r \. [Подобно центральному тесту]'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Решением примера 3x^2+3x+1=0 является'

'Развитие 54: Диапазон существования решений квадратного уравнения (2)'

'Решите следующие уравнения:'

'А и В решили одно и то же квадратное уравнение относительно x. А по ошибке получил коэффициент x² как 26-2/3, с решением 1. В по ошибке получил постоянный член как -1/3, с решением 1/2. Найдите решения начального правильного квадратного уравнения.'

'Найдите диапазон значений для константы $a$, когда кубическое уравнение $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ имеет три различных действительных корня.'

'Рассмотрим квадратное уравнение $x^{2} + (m+1)x+m-1=0$.'

'Стандарт 65: Определение коэффициентов уравнений высоких порядков (2) - Условия для мнимых решений'

'Найдите значение постоянной $a$ при условии, что у кубического уравнения $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ есть двойной корень.'

'Стандарт 49: Диапазон существования решений квадратного уравнения (1)'

'Найдите первый член и общее отношение геометрической последовательности таким образом, что сумма от третьего члена до пятого члена равна -63, а сумма от первого члена до третьего члена равна -7.'

'Базовый 41: Условия для квадратного уравнения иметь комплексные корни, повторяющиеся корни'

'Пусть три решения кубического уравнения $x^{3}-2 x+1=0$ обозначаются $\\alpha, \eta, \\gamma$. Найдите значение следующих выражений.'

'Проведение углубленного изучения - Разработка 192 Количество действительных решений кубического уравнения (3) Использование экстремальных значений'

'58 разделить на, в порядке остатков (1) x^2+2x-6, -10 (2) x^2-5x+4, 3'

'Найти общий член последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, представляющий сумму \ S_{n} \ от первого члена до n-ого члена.'

"Когда функция f(x), представленная многочленом, удовлетворяет условию f'(x)-f(x)=x²+1, f(x) является функцией степени и f(x)= ."

'Стандарт 40: Определение типов решений квадратных уравнений (2)'

'Путем перестановки уравнения x-2y+6=0, мы можем выразить его как y=\\frac{1}{2}x+3, что представляет собой прямую с уклоном \\frac{1}{2} и y-перехватом 3.'

"Определите диапазон константы 'm', чтобы квадратное уравнение $x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$ удовлетворяло следующим условиям: (1) имеет два положительных корня, (2) имеет два различных отрицательных корня, (3) имеет корни разных знаков."

'Расширение 66: Cвязь между решениями кубического уравнения и его коэффициентами'

'Глава 3 Уравнения высокой степени - 49\nEX Пусть a, b, c, d будут вещественными константами. Многочлен P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d даёт остаток 29 при делении на x^{2}-1 и остаток 3x + 4 при делении на x^{2}+1. В этом случае a=->, b=-1, c=d=√. [Университет Шонан]\nПусть Q(x) будет частным при делении P(x) на x^{2}-1, а R(x) - частным при делении P(x) на x^{2}+1. Тогда следующие уравнения справедливы.\n\nP(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + x+2\nP(x) = (x^{2}+1)R(x) + 3x+4\nP(1) = 3, P(-1) = 1, P(i) = 4+3i'

'Глава 7 Показательные и логарифмические функции'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через две разные точки (x1, y1) и (x2, y2).'

'Найдите сумму и произведение двух корней следующих квадратных уравнений.'

''

'Найдите два числа, сумма которых равна 2, а произведение -4.'

'Найдите диапазон значений константы $a$, когда кубическое уравнение $x^{3}-3a^{2}x+4a=0$ имеет три различных действительных корня.'

'Развитие 68: Условия для того, чтобы у кубического уравнения было три различных вещественных корня'

'Докажите, что уравнение a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b верно, когда a+b+c=0.'

''

'По поводу подчеркнутой части g, Министерство земли, инфраструктуры, транспорта и туризма также провело в прошлом году запрос на грант с целью поощрения принятия автомобилей следующего поколения. Выберите правильную комбинацию следующих высказываний X・Y относительно автомобилей следующего поколения как верную или ложную.'

'Выберите подходящее выражение для представления расстояния, которое переместилось блоком A относительно блока C, и укажите символ.'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, Рисунок опущен'

'Докажите, что у следующих уравнений есть хотя бы одно вещественное решение в заданном диапазоне.'

'Пусть a - вещественное число, найти количество действительных решений уравнения f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a.'

'Пожалуйста, удалите знаменатель и решите следующее уравнение:\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'Найдите пятой степени полином f(x), удовлетворяющий условиям (A) и (B) одновременно.'

'Пусть a, b - вещественные числа, и предположим, что кубическое уравнение x^3+ax^2+bx+1=0 имеет мнимый корень α. Докажите, что сопряженное комплексное число α, обозначенное α¯, также является корнем этого уравнения. Выразите третий корень β и коэффициенты a, b через α и α¯.'

'Найдите скорость, ускорение, положение и пройденное расстояние (линейное движение).'

'Доказать, что когда a > 1, два решения уравнения a x^2 − 2 x + a = 0 (1) обозначаются как α и β, а два решения уравнения x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) обозначаются как γ и δ. Пусть A(α), B(β), C(γ), D(δ), докажите, что четыре точки A, B, C, D лежат на одной окружности.'

'Основы 8: Алгебраические решения для иррациональных уравнений и неравенств'

'Для точки $(a, b)$ на гиперболе $x^{2}-4 y^{2}=4$ с касательной, имеющей уклон $m$, ответьте на следующие вопросы. Предположим, что $b \neq 0$.\n(1) Найдите отношение между $a, b, m$.\n(2) Пусть расстояние между точкой на этой гиперболе и прямой $y=2x$ обозначается как $d$. Найдите минимальное значение $d$. Также определите координаты точки на кривой, которая обеспечивает минимальное значение $d$.[Канагавский университет]'

'Какая геометрическая фигура образуется множеством точек, удовлетворяющих следующим уравнениям?'

'Решите уравнение \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \.'

'20 (1) \ |\\alpha|^{2} \\n(2) Отброшено (3) Максимальное значение при \ a=b \ равно \ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \, а минимальное значение равно \ \\frac{3}{10} \'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Предположим, что два комплексных числа w и z (z ≠ 2) удовлетворяют уравнению w = iz/(z-2).\n[Университет Хиросаки]\n(1) Когда точка z движется по окружности с радиусом 2 с центром в начале координат, какую фигуру рисует точка w?\n(2) Когда точка z движется по мнимой оси, какую фигуру рисует точка w?\n(3) Когда точка w движется по вещественной оси, какую фигуру рисует точка z?'

'Радиоактивные вещества, такие как радий, уменьшаются в массе с темпом, пропорциональным массе в каждый момент. Выразите массу x как функцию времени t с постоянной пропорциональности k (k > 0) и начальной массой A. Кроме того, для радия требуется 1600 лет, чтобы масса уменьшилась вдвое. Приблизительно какой процент от изначального количества остается через 800 лет? Округлите до ближайшего целого числа.'

''

'Решите неравенство \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\ . Пусть \\\log _{2} x = a \.'

'Количество действительных решений уравнения'

'Рассмотрим комплексные числа z, которые одновременно удовлетворяют условиям (A) и (B). (A) z + i/z является действительным числом (B) Мнимая часть z положительна. (1) Пусть |z|=r, выразите z через r. (2) Найдите z, для которого мнимая часть z максимальна.'

'Пусть a ≠ 0. Для функции f(x) = 2ax - 5a^2, найдите значение константы a так, чтобы f^{-1}(x) и f(x) совпадали.'

'Предположим, что существует последовательность {a_{n}} и сумма от первого элемента до n-го элемента'

'Решите следующие квадратные уравнения:\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

''

'Таро, участник бега на короткие дистанции 100 м, решил сосредоточиться на (1) и определить лучшую длину шага и частоту шагов, чтобы улучшить свое время.'

'Решите следующие квадратные уравнения.'

'Найдите диапазон значений постоянной a, удовлетворяющий данным условиям для двух квадратных уравнений $x^{2}-x+a=0$ и $x^{2}+2ax-3a+4=0$.'

'Для определения диапазона, в котором существуют решения квадратного уравнения, давайте рассмотрим график, который удовлетворяет следующим условиям:'

'Пусть а и р - постоянные. Найдите действительные решения следующих уравнений относительно x.'

'Решите следующую систему одновременных уравнений.'

'Сколькими способами можно разделить 12 разных книг следующим образом?'

''

'Если два различных действительных решения квадратного уравнения $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ обозначены как $\\alpha$ и $\eta$ и удовлетворяют условию $1<\\alpha<2<\eta$, то определите диапазон значений константы $a$.'

'Когда уравнение $ax^{2}+bx+1=0$ имеет два решения $-2,3$, найдите значения констант $a, b$.'

'Для квадратного уравнения \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ с двумя различными действительными решениями \ \\alpha, \eta \, где \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \, определите диапазон значений для постоянной \ a \.'

'Определите количество действительных решений квадратного уравнения $2 x^{2}+3 x+k=0$.'

'Решите следующую систему одновременных уравнений.'

'Глава 1\nЧисла и Выражения\n23\nПример\n(1) Найдите выражение, которое при сложении с 2x^2-3x+1 дает x^2+2x.'

'Каков диапазон константы a, когда одно вещественное решение квадратного уравнения 2x^{2}-3ax+a+1=0 находится в диапазоне 0<x<1, а другое вещественное решение находится в диапазоне 4<x<6?'

'Решите следующие квадратные уравнения.'

'Каков диапазон существования корней квадратного уравнения?'

'Найдите количество действительных решений для следующих квадратичных уравнений.'

'Учитывая отрезки длиной a и b, найдите положительное решение квадратного уравнения x^{2}-a x-b^{2}=0 и постройте отрезок с такой длиной.'

'Найдите диапазон значений константы $a$ так, чтобы квадратное уравнение $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ имело два различных действительных корня в диапазоне $-3<x<3$.'

'Определите диапазон значений константы $a$, когда квадратное уравнение $x^{2}-2 a x+a+6=0$ удовлетворяет следующим условиям: (1) Имеет положительные и отрицательные корни. (2) Имеет два различных отрицательных корня.'

'Во всех перестановках, образованных из 8 букв слова YOKOHAMA, найдите количество перестановок, содержащих хотя бы одну из последовательностей AO или OA.'

'Преобразуйте данное математическое выражение в другую форму.'

'Глава 2 Множества и Предложения\n(2) Решите следующее уравнение\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\nгде p и q - рациональные числа.'

'Сколько существует способов, чтобы 4 мужчины и 5 женщин выстроились в ряд по следующим условиям? (1) Все 4 мужчины соседи (2) Мужчины не соседствуют друг с другом'

'Пожалуйста, укажите обратное, контрапозитивное и инверсное утверждение.'

'Определение коэффициентов из максимальных и минимальных значений (3)'

''

'54 (2), (3); (2) максимум при x=2 равен 7, минимум при x=0 равен 3; (3) максимум при x=2 равен 5, минимум при x=-1,5 равен -13'

'Какой диапазон значений $k$ для квадратных уравнений $x^{2}+x+k=0$, $x^{2}+k x+1=0$ имеет решения в виде действительных чисел?'

'При условии x ≥ 0, y ≥ 0 и 2x+y=8, найдите максимальное и минимальное значения xy.'

'Используйте квадратную формулу для решения следующих уравнений второй степени.'

'Найдите линейную функцию на основе следующих условий для максимизации прибыли.\n\n(1) Когда x равен 250, y равен 300.\n(2) Когда x равен 300, y равен 250.\n(3) Также выполняется, когда x = 350, y = 200.\n\nКроме того, используя выручку xy и расходы 120y + 5000, пусть z будет прибылью и найдите значение x, которое максимизирует z, а также максимальную прибыль в этот момент.'

'Определите истинностные значения следующих утверждений.'

'Решите следующие уравнения.'

'Если одним из решений квадратного уравнения $x^{2}+(a+4) x+a-3=0$ является $a$, найдите другое решение.'

''

'Решите следующее неравенство относительно x. Где a - постоянная. \\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]'

'Решите следующую систему одновременных уравнений.'

'Приложения квадратных уравнений'

'В одной школе было решено полностью опустошить воду из бассейна для уборки. Тем не менее, предполагается, что постоянное количество воды сливается за минуту с помощью насоса. Пусть оставшийся объем воды в бассейне через t минут после начала слива будет V м³.'

'Решите следующие уравнения.'

'Решите следующую систему одновременных уравнений.'

'Базовый пример 30 Количество целочисленных решений (Использование комбинаций с повторениями)'

'Найдите диапазон существования решений для квадратного уравнения с x < 2 и x > 2.'

'61 a=2, b=-5 или a=-2, b=3'

'Решите неравенство для x. Здесь a - константа. \ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \'

"Пожалуйста, предоставьте 'Линейные диофантовы уравнения' и ссылку на них."

'Найдите координаты двух точек пересечения двух парабол y=x^2-x+1 и y=-x^2-x+3.'

'31 (1) \ x=6,-2 \\n(2) \ x \\leqq-5, \\quad \\frac{1}{5} \\leqq x \'

'Найдите наибольшее четырехзначное натуральное число, которое даёт остаток 2 при делении на 11 и остаток 5 при делении на 6.'

'Решите уравнения и неравенства, включающие модуль: (1) $|x|=c$, (2) $|x|<c$, (3) $|x|>c$'

'Рассмотрим утверждение p⇒q (где p - гипотеза, а q - заключение). Пусть P - множество всех элементов, удовлетворяющих условию p, а Q - множество всех элементов, удовлетворяющих условию q. Истинность утверждения p⇒q эквивалентна P ⊆ Q. Пожалуйста, определите истинностное значение этого утверждения.'

''

'Для функции $f(x)=x^{2}+2x-a^{2}+5$ найдите диапазон значений $a$, удовлетворяющий следующим условиям:'

''

'Когда квадратное уравнение $x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0$ имеет равные корни, найдите значение константы $m$ и равные корни в этот момент.'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'При x=3/2, минимальное значение составляет 3/2, а максимальное значение не определено.'

'Используйте формулу для решения квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0 для его решения.'

'Найдите значение постоянной k, когда парабола y = x ^ 2 + (2k-3) x-6k отрезает отрезок длиной 5 от оси x.'

'Есть лотерея, в которой одновременно бросают три кости. Есть несколько мест для лотереи, каждое с разными условиями победы.'

'Найдите диапазон значений константы m, когда квадратное уравнение x^2 + 3x + m - 1 = 0 не имеет действительных решений.'

'Для квадратного уравнения $x^{2}+mx+9=0$ найдите диапазон значений константы $m$, когда оно имеет следующее:'

'Например, для уравнения x+y=10 существует много целых решений. Найдите любые три целых решения этого уравнения.'

'Решите уравнение $x^{2}+3x-5=0$.'

'Когда решения квадратного уравнения $x^{2}+2 m x-m+2=0$ следующие, найдите диапазон постоянной $m$. (1) Имея два различных действительных решения. (2) Имея действительные решения. (3) Не имея действительных решений.'

'Глава 5 Квадратные уравнения и квадратные неравенства\nПусть h метров - это высота над землей мяча, брошенного непосредственно вверх с определенной скоростью x секунд после запуска. Когда значение h задано h=-5x^2+40x, в каком диапазоне значений x высота мяча находится между 35 метрами над землей и 65 метрами над землей?'

'Найдите значения \ a, b \, такие что \ P=4 \ для точки \ x, y \ со значениями \\( (2, 1) \\).'

'Решите следующие уравнения. 1. Основа 86 - Решение квадратных уравнений с использованием факторизации. 2. Основа 87 - Решение квадратных уравнений с использованием формулы корней. 3. Основа 88 - Условия наличия действительных решений (1)'

'Решите уравнение x^2+3x-4=0.'

'Определите диапазон значений константы $a$, чтобы квадратное уравнение $x^{2}-(a-4)x+a-1=0$ удовлетворяло следующим условиям: (1) имеет два различных отрицательных корня. (2) имеет положительный корень и отрицательный корень.'

'24 (1) Обратное: если хотя бы одно из x, y является отрицательным числом, то x+y=-3, Ложное противоположное: если x≥0 и y≥0, то x+y≠-3, Противоположное: если x+y≠-3, то x≥0 и y≥0.'

'2 (1) 5 выражений(2)(ア)2 выражения, постоянный член 2 y^{2} + 5 y - 12(1)2 выражения, постоянный член 6 x^{2} - 6 x - 12(ら)2 выражения, постоянный член -12'

'Когда корни квадратного уравнения $x^{2}+m x+9=0$ имеют следующие характеристики, найдите диапазон значений константы $m$.'

'Условие того, чтобы график всегда находился выше оси x, заключается в том, что график представляет собой параболу с выпуклостью вниз и не имеет точек пересечения с осью x. Следовательно, дискриминант квадратного уравнения mx^2 + 3x + m = 0 обозначается как D.'

'Решите следующие уравнения и неравенства. (1) |(√14-2)x+2|=4 (2) 3|x-1|≤4 (3) x+|3x-2|=3'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите значение постоянной $m$ и повторный корень квадратного уравнения $x^{2}-2mx+2(m+4)=0$, когда у него есть повторные корни.'

'Когда квадратное уравнение $x^{2}+5x+7-m=0$ имеет два различных вещественных корня, найдите диапазон значений для постоянной $m$.'

'Для функции f(x) = x ^ 2 - 2ax - a + 6 в математике I TR диапазон значений константы a, при которой f(x) > 0 для всех действительных чисел x, составляет от A до T. Кроме того, диапазон значений a, при котором f(x) ≥ 0 всегда выполняется для -1 ≤ x ≤ 1, составляет от ウ до エ.'

'В двух неравенствах сначала замените > на =, а затем решите квадратное уравнение. Для решения квадратного неравенства x^2-6x+3>0 сначала решите уравнение x^2-6x+3=0. Используя формулу для корней, x=(-(-3) ± √((-3)^2-1*3))/1=3 ± √6.\n\nРешение для x^2-6x+3>0 - найти диапазон значений x на графике y=x^2-6x+3, где y>0, то есть x<3-√6, 3+√6<x.'

'(2) Два неравенства $x^{2}+mx+m+2<0$ имеют решения'

'При x=-1 максимальное значение 71(2) равно 5, минимального значения нет.'

'(1) \\\\ Решите уравнение 2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) \\\\ Решить для x=-1, \\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\ Учитывая \\theta=60^{\\circ}, \\ 180^{\\circ} \\\\\\\n'

'Классификация решений квадратного уравнения может быть определена путем изучения знака дискриминанта $D = b^{2} - 4ac$.'

'Найдите диапазон констант a, удовлетворяющих следующим условиям для уравнений x^2+ax+a+3=0 (1) и x^2-2ax+8a=0 (2):'

'Найдите точку пересечения двух прямых 2x + 3y = 7 (1) и 4x + 11y = 19 (2) и уравнение прямой, проходящей через точку (5,4).'

'Найдите значения $a, b, c$ при условии, что функция третьей степени $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ удовлетворяет $(x-2)f^{prime}(x)=3 f(x)$.'

'Решите следующие квадратные уравнения.'

'(1) Найдите решения уравнения 2x^2 - 2√6x + 3 = 0.'

'Глава 1 Последовательности'

'Определите количество решений уравнения 4cos²x-2cosx-1=a в пределах -π < x ≤ π.'

'Найдите значение a, удовлетворяющее данным уравнениям.'

'Докажите, что уравнение $ax+by+cz=0$ верно, когда (2) $\\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b}$.'

''

'Решениями кубического уравнения $x^{3}+a x^{2}-21 x+b=0$ являются $1,3, c$. Найдите значения констант $a$, $b, c$.'

'Найдите значение a, удовлетворяющее следующему уравнению. a=2'

'Относительно прямых l: 2x - y + 3 = 0, m: 3x - 2y - 1 = 0 ответьте на следующие вопросы.'

'Определите диапазон постоянной a, чтобы обе квадратные уравнения 9x^{2}+6ax+4=0 (1) и x^{2}+2ax+3a=0 (2) удовлетворяли следующим условиям. (1) У обоих есть комплексные корни (2) По крайней мере, у одного есть комплексные корни (3) Только у (1) есть комплексные корни'

'Когда a = -1, x = 2, -1\nКогда a = 0, x = 0, 2\nКогда a = 8, x = -4, 2'

'Когда уравнение $x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0$ представляет собой окружность,'

'Найдите диапазон значений для c, чтобы уравнение x^3-6x+c=0 имело два различных положительных корня и один отрицательный корень.'

'Определите следующее для последовательности {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}, где сумма первых \ n \ членов, обозначенная как {\ S_{n} \}, удовлетворяет отношению {\ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \}:\n(1) Найдите первый член {\ a_{1} \}.\n(2) Найдите отношение между {\ a_{n} \} и {\ a_{n+1} \}.\n(3) Найдите общий член последовательности {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}.'

'Найдите все вещественные числа $a$ такие, что кубическое уравнение $x^{3}+(a+2)x^{2}-4a=0$ имеет ровно 2 вещественных корня.'

'Используйте формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, чтобы найти решения.'

'Прочитав разговор Ханако и Таро о проблеме, ответьте на следующий вопрос.'

'Определите значения констант a и b, удовлетворяющие следующим условиям:\n(1) Когда x-1 является делителем x^3-3x^2+a, остаток равен 2.\n(2) Когда 2x+1 является делителем 2x^3-3x^2+ax+6, остаток равен 0.\n(3) Когда x+2 делит x^3+ax^2-5x+b, остаток равен 8, и когда x+1 является делителем.'

'Преобразуйте данный текст на несколько языков.'

'Определите значение вещественного числа k так, чтобы уравнение (1 + i) x ^ {2} + (k + i) x + 3 + 3ki = 0 имело реальные решения. Найдите эти реальные решения.'

'Два числа, сумма которых равна -2, а произведение равно 3, являются решениями квадратного уравнения x^2 + 2x + 3 = 0.'

'Найдите значение константы a так, чтобы у уравнения 2x^3 - (3a + 1) x ^ 2 + 2ax + 4 было два различных действительных корня.'

'Решите следующую систему уравнений.'

'Глава 2\nКомплексные числа и уравнения\nДокажите, что для двух решений α, β квадратного уравнения 2x^2 + 4x + 3 = 0 верны следующие утверждения:\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10'

'Если квадратное уравнение $x^{2}+4 a x+8 a^{2}-20 a+25=0$ имеет действительные корни, то $a=\\{ \\text{константа} \\}$, а решения $x=\\{ \\text{константа} \\}$.'

'Создайте квадратное уравнение, сумма которого равна \ p \, а произведение равно \ q \.'

'Найдите значения вещественных чисел x, y, удовлетворяющих следующей системе уравнений.'

''

'Создайте квадратное уравнение с корнями α и β.'

''

'Когда уравнение $x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0$ имеет корни при $x=-1,3$, найдите значения констант $a, b$. Кроме того, найдите другие корни в этом случае.'

'Сумма и произведение двух корней квадратного уравнения $x^{2}+a x+b=0$ являются корнями квадратного уравнения $x^{2}+b x+a=0$. Определите значения констант $a, b$.'

'Прибыль в день составляет (a x + 3 y) 10 000 йен. Если мы возьмем ax + 3 y = l ....5), то (5) представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом -a/3 и угловой точкой y равной l/3.'

'Давайте рассмотрим максимальное и минимальное значения -3x+y при тех же условиях, что и A (назовем это C). Если выразить -3x+y=k, то y=3x+k。'

'Пусть A будет многочленом. Когда x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10 делится на A, частное равно A, а остаток равен 5x^2 - 4x + 1. Найдите многочлен A.'

'Определите значения констант a, b, c и d так, чтобы следующие уравнения выполнялись для x:'

'Найдите диапазон значений константы p так, чтобы у уравнения x^3-3p^2x+8p=0 было три различных действительных решения.'

'Для квадратного уравнения относительно x, 8x^2-4x-a=0, при двух решениях sin θ и cos θ, найдите значение константы a и 2 решения уравнения. [Аналогично Университету Кейо] Из соотношения между решениями квадратного уравнения и коэффициентами, sin θ+cos θ=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2}, sin θ cos θ=-\\frac{a}{8}. Возведя в квадрат обе стороны (1), получаем sin^2 θ+2sin θ cos θ+cos^2 θ=\\frac{1}{4}, откуда 1+2sin θ cos θ=\\frac{1}{4}, что означает, что sin θ cos θ=-\\frac{3}{8}. Подставив это в (2), получаем -\\frac{a}{8}=-\\frac{3}{8}, таким образом a=3. Следовательно, данное квадратное уравнение 8x^2-4x-3=0. Решив это уравнение, получим два решения x=(1±√7)/4.'

'Базовый столбец вопросов 18 Определение коэффициентов тождества'

'Используйте рекуррентное соотношение, чтобы найти общий член последовательности.'

'Известно, что квадратное уравнение $3 x^{2}-2 x-4=0$ имеет два корня $\\alpha, \eta$, найдите значение следующих выражений.'

''

'Когда (x + y) / 2 = (y + z) / 5 = (z + x) / 7 (не равно 0), найдите значение (xy + yz + zx) / (x^2 + y^2 + z^2).'

'Уравнение четвертой степени x^4+ax^3+7x^2+bx+26=0 имеет два общих корня с квадратным уравнением x^2+2x+2=0 и сумма общих корней составляет 37. [Университет Токушима Бунри] (1) Найдите значения действительных констант a, b. (2) Найдите оставшиеся корни уравнения четвертой степени.'

''

''

'（3）Для геометрической прогрессии, где первый член а и общее отношение r являются действительными числами, если сумма с первого элемента по n-й элемент есть Sn, и когда Sn=3 и Sn=27. Найдите значения a, r.'

'В математике \ \\mathbb{I} \ EX\\nДва корня квадратного уравнения \\( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) равны \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. Найдите положительную константу \ a \ и значения \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. При \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \.'

'(1) $x^{2}-14 x+45=0$'

''

'Безразлично к постоянному а, окружность C1 проходит через фиксированную точку A. Найдите координаты этой фиксированной точки A.'

'Пример 76: Уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку'