Основы теории чисел - Рациональные и иррациональные числа

'Упражнение 13 Основная цифра\n505\nДля неотрицательного вещественного числа a, где 0 ≤ r < 1, и a-r является целым числом, вещественное число r обозначается как {a}. Другими словами, {a} представляет десятичную часть числа a. (1) Найдите одно положительное целое n, при котором десятичная часть {n log_10 2} будет меньше 0.02. (2) Найдите одно положительное целое n, где главная цифра 2^n в десятичной записи равна 7. При этом указывается, что 0.3010 < log_10 2 < 0.3011 и 0.8450 < log_10 7 < 0.8451. [Киотский университет]'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Является ли тангенс 1 градуса рациональным числом?'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'Когда x=π, y=π/12, максимальное значение составляет 25/12 π; при x=0, y=5/12 π минимальное значение равно 5/12 π'

'Многочлен с рациональными коэффициентами'

'x = (3 ± √21) / 3'

'Когда 1 ≤ a < (3 + √6) / 3, тогда M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'Найдите квадратный корень отрицательного числа. Пусть a будет положительным действительным числом.'

'Найдите сумму следующего ряда.'

'(1) Предположим, что существует рациональное число x, удовлетворяющее условию 3^{x}=5. Поскольку 3^{x}=5>1, это означает, что x>0. Таким образом, x может быть выражен как x=\x0crac{m}{n}, где m и n - положительные целые числа. При возведении обеих сторон в степень n получаем 3^{m}=5^{n} (1). Левая сторона кратна 3, но правая сторона не кратна 3, что приводит к противоречию. Следовательно, x, удовлетворяющее 3^{x}=5, не является рациональным числом.'

'(1) Если a > 0 и x > 0, то a^{1/2x} > 0, a^{-1/2x} > 0'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Вычислите.'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'Докажите, что решение уравнения $3^{x}=5$ не является рациональным числом.'

'Является ли тангенс 1 градуса рациональным числом?'

'Квадратные корни отрицательных чисел'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'Изучение арифметических и геометрических последовательностей'

'Вычислите следующую сумму: \\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。'

''

'Выразите следующие наборы чисел в терминах неравенства. \n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'Найдите квадратный корень от (1) до (3). Также рассчитайте (4) до (6).'

'Выразите следующие наборы чисел в виде неравенства.'

'Найдите следующие четыре суммы.'

'Решите следующие неравенства: (1) $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$ (2) $5^{x+3}>\\frac{1}{25}$ (3) $2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'При x=√10, y=10, максимальное значение составляет 1/2'

'Найдите значение, соответствующее числу 5,67 в таблице ниже.'

'Найдите квадратный корень из (1) по (3). Выполните вычисления для (4) по (6).'

''

'Выразите относительные размеры следующих наборов чисел, используя символы неравенства.'

'(8) В Рисунке 6 разница между длиной основной шкалы с шагом 2 мм и минимальным шагом 1 мм винтовой шкалы составляет 0,05 мм, то есть 2 - 1.95 = 0.05 (мм). Следовательно, когда шкальные линии основной шкалы и винтовой шкалы выровнены и на винтовой шкале происходит смещение на одну позицию, в измеренной длине (величина измерения) возникает разница в 0,05 мм. Таким образом, длина, которую можно измерить с помощью штангенциркуля в Рисунке 6, имеет интервалы 0,05 мм.'

'(1) Максимальное значение \\\sqrt{2}\, минимальное значение \-\\sqrt{2}\\\n(2) Максимальное значение 5, минимальное значение -5'

'Когда комплексное число z удовлетворяет |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, изобразите диапазон, в котором точка z движется на комплексной плоскости.'

'Что такое натуральное число?'

'Пусть α и z - комплексные числа, причем |α|>1. Сравните модули |z-α| и |αz-1|.'

'Найдите аргумент \ \\theta \ комплексного числа \ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \. Убедитесь, что \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \.'

'Найдите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y=√(2x+4) была 1≤y≤3.'

"Предложение 'Пусть n - целое число. Если n^2 кратно 7, то n кратно 7' истинно. Используйте это утверждение, чтобы доказать, что √7 иррациональное число."

'Базовый пример 23 Рационализация знаменателя Упростите следующие выражения, рационализируя знаменатель.'

'При делении 3 человек на 3 группы по 3 человека в каждой, если убрать различие между A, B и C, то каждый набор можно упорядочить 3! способами, так сколько всего способов разделения?'

'При x=(√2+√3)/(√2-√3), y=(√2-√3)/(√2+√3) найдите значения следующих выражений.'

'Пусть целая часть числа 1+√10 равна a, а дробная часть равна b. Найдите следующие значения: (1) a, b; (2) b + 1/b, b² + 1/b²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'Докажите, что когда дробь a = m / n (где m, n - целые числа и n>0) становится бесконечной десятичной дробью, a является периодической десятичной дробью.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) Докажите, что $\\sqrt{5}$ - это иррациональное число.'

'√3 - это иррациональное число. Найдите значения рациональных чисел a, b, которые удовлетворяют уравнению 7+a√3/2+√3=b+9√3.'

'(1) По порядку \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57 (А) 20/3'

'В городе с 6 северо-южными дорогами и 4 восточно-западными дорогами рассмотрим кратчайший путь от точки P до точки Q. Во время этого путешествия подбрасываем монету: если выпадает орёл, двигаемся на восток на 1 блок, если решка - двигаемся на север на 1 блок. Вероятность выпадения орла или решки одинакова, обе составляют 1/2. Кроме того, прежде чем достичь точки Q, если монетка выпадает орлом в самом восточном перекрёстке или решкой в самом северном, вы не можете продолжать и должны остаться на этом перекрёстке.'

'УПРАЖНЕНИЕ 23'

'Сумма, разность, произведение и частное двух вещественных чисел a и b всегда являются вещественными числами. Например, даже при сложении рациональных чисел результат всегда является рациональным числом. Объясните, что арифметические операции всегда возможны в пределах диапазона рациональных и вещественных чисел. Однако деление не учитывает деление на 0.'

'Докажите, что сумма рационального числа и иррационального числа является иррациональным.'

'(1) Упростите \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'Доказать, что √5 - иррациональное число.'

'Объем \ \\frac{4}{3} \, Расстояние \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'Определите диапазон константы a и найдите координаты точек пересечения.'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x= \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'Докажите, что сумма рационального числа и иррационального числа является иррациональным.'

'Игра, в которой монету многократно бросали, и приз получался тогда, когда она падала орлом 3 раза, с максимальным количеством бросков 5 и без бросков после третьего раза выпадения орла. Сколько возможных последовательностей нужно для победы, если первый бросок окажется решкой?'

'Исследуйте истинность следующих утверждений. Однако используйте множества для изучения (2) и (3).\n(1) Для действительных чисел a, b, если квадрат a равен квадрату b, то a равно b\n(2) Для действительных чисел x, если |x|<3, то x<3\n(3) Для действительных чисел x, если x<1, то |x|<1'

'Пример 98: Определите диапазон существования решений квадратного уравнения с решениями в диапазонах 0 < x < 1 и 1 < x < 2.'

'(А) \ \\frac{1}{7} \'

'Объясните свойства квадратных корней.'

'Для положительного числа a существует два корня, модули которых равны, но знаки разные. Корень из 0 равен 0. Например, корни числа 5 равны sqrt{5} и -sqrt{5}. Пример вычислений с корнями: sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}. sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}.'

''

'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'Упростите знаменатели следующих выражений.'

'Когда x=(2+√3)/(2-√3), а y=(2-√3)/(2+√3), найдите значения следующих уравнений.'

'Докажите, что sqrt(3) - это иррациональное число. Предположим, что sqrt(3) - рациональное число, то есть существуют два натуральных числа m и n без общих делителей, кроме 1, такие что sqrt(3) = m/n. Следовательно, m = sqrt(3)*n. Возведя обе стороны в квадрат, получим m^2 = 3n^2, что означает, что m кратно 3. Таким образом, существует натуральное число k такое, что m = 3k. Подставив это, получим 9k^2 = 3n^2, что упрощается до n^2 = 3k^2, что означает, что n кратно 3, что приводит к противоречию. Следовательно, sqrt(3) - иррациональное число.'

'Используйте метод доказательства от противного, чтобы доказать следующее утверждение: По крайней мере одно из x в квадрате и x в кубе является иррациональным.'

'(1) Пусть a, b, c и d - рациональные числа, √l - иррациональное число. Докажите, что b=d, когда a+b√l=c+d√l. Также докажите, что a=c в этом случае. (2) Найдите значения рациональных чисел x и y, удовлетворяющие уравнению (1+3√2)x + (3+2√2)y = -5-√2.'

'Иррационализация знаменателей следующих выражений.'

''

'(1) Для некоторого натурального числа n, √n является рациональным числом, истинным. (2) Для всех действительных чисел x, x^2 ≠ x + 2, ложь.'

''

'Выразите повторяющиеся десятичные дроби 0.2, 1.21, 0.13 в виде обыкновенных дробей.'

'Ответьте на следующий вопрос. 127 (1) Найдите длины других сторон треугольника с длиной b=2√7.'

'Объясните условие p и его отрицание.'

'Используя факт о том, что √3 - иррациональное число, докажите, что 1+2√3 также является иррациональным.'

''

''

'Объясните определение иррациональных чисел и перечислите две их характеристики.'

'Что такое квадратный корень? Пожалуйста, объясните с конкретными примерами.'

'Доказать, что √3 - иррациональное число. Предположим, что √3 - рациональное число и может быть представлено как √3 = p/q, где p и q - взаимно простые целые числа. Возведя обе стороны в квадрат, получаем 3 = p^2/q^2, перегруппировав, получаем 3q^2 = p^2. Следовательно, p^2 - кратное числа 3, согласно предположению p - кратное 3, поэтому можно написать p = 3m. Подставив обратно, получаем 3q^2 = 9m^2, деля на 3 получаем q^2 = 3m^2, что означает, что q также кратное 3. Это противоречит тому факту, что p и q - взаимно простые, следовательно, предположение ошибочно, и √3 - иррациональное число.'

'Удалите двойные квадратные корни в следующих выражениях.'

'Найдите общий член последовательности 1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30.'

'Вычислите каждое выражение.'

'139\n(1) \ \\frac{\\sqrt{3}-1}{4} \'

'117\nНайдите значения a и b, где a = (6 ± √14)/2 и b = (6 ∓ √14)/2\n(знаки одинаковы в обоих случаях)'

'Пусть a и b будут ненулевыми вещественными числами. Следующие уравнения верны при a>0 и b>0, но как насчет других случаев? Пожалуйста, исследуйте следующие сценарии: [1] a>0, b<0 [2] a<0, b>0 [3] a = √(a/b) (2) √(a) / √(b) = √(a/b) (3) √(a) √(b) = √(ab)'

'Для последовательности 1/1, 1/2, 3/2, 1/3, 3/3, 5/3, 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 1/5, ...'

'562 см или (1+√3) см'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) Резюме'

'Найдите следующие значения:\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'Пусть a будет положительной константой, отличной от 1. Если a^x=8 и a^y=25, выразите log_{10} 500 через x и y.'

"В задачах, где необходимо определить коэффициенты высокоуровневого уравнения, следующие [1], [2] являются основами решения проблемы. Во-первых, давайте поймем этот самый важный момент. x=α является решением уравнения f(x)=0 тогда и только тогда, когда f(α)=0 (выполняется при подстановке) ⇐[1]⇔ f(x) имеет x−α в качестве множителя ⇐[2] Самый базовый метод решения - это стратегия [1], которая заключается в 'подстановке решения'. В примерах задач 61, 62 мы сначала показываем ответы, используя эту стратегию. Однако, когда решение является мнимым, как в примере 62, расчеты после подстановки могут стать несколько сложными."

'Рассчитайте следующие выражения. (5) (sqrt{3}+sqrt{-1})(1-sqrt{-3})'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'Вопрос 95 sqrt{15} деленное на 2 < r < 4'

'Вычислите следующие выражения. Предположим, что a>0, b>0.'

'Найдите сумму последовательности от первого члена до n-го члена.'

"(2) Укажите обратный, контрапозитивный и обратный 'Если xy иррациональны, то хотя бы одно из x, y иррационально', и определите их истинностные значения."

'Используя тот факт, что √3 - иррациональное число, докажите, что 1/√2 + 1/√6 - также иррациональное число.'

''

'Используя доказательство методом противоположности из Предложения 61, докажите, что \ \\sqrt{7} \ является иррациональным числом, а затем докажите, что \ \\sqrt{5}+\\sqrt{7} \ также является иррациональным числом. Основной принцип 2. Сложно показать напрямую, что число является иррациональным (т. е. не является рациональным). Поэтому мы предполагаем, что утверждение, которое требуется доказать, является ложным, выводим противоречие и доказываем истинность утверждения.'

'В △ABC, где a=1+√3, b=2, а C=60°. Найдите следующее:\n(1) Длина стороны AB\n(2) Измерение ∠B\n(3) Площадь △ABC\n(4) Радиус описанной окружности\n(5) Радиус вписанной окружности\n[Похоже на Нара университета образования]\nстр. 285 Упр. 118,119'

'О значении √2'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'Для следующих предпосылок укажите противоположность и обратную противоположность, и определите их истинность или ложность.'

'Используйте рационализацию знаменателей.'

'Найдите значение (3) (1+√3)^3.'

'В примере 28, рационализируя знаменатель x, получаем x=5-2√6, а рационализируя знаменатель y, получаем y=5+2√6.'

'Докажите каждую часть следующей проблемы. (2) Предположим, что √n и √(n+1) - оба рациональные числа. Докажите, что √n и √(n+1) одновременно являются положительными целыми числами. (3) Предположим, что √(n+1) - √n - рациональное число. Покажите свойства √n и √(n+1). Решите следующую проблему. Выведите a x + y из (a x + y)/(1 - a) = a и решите уравнение.'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'Упростите следующие выражения, рационализируя знаменатели.'

'Предоставьте контрпримеры следующим утверждениям.'

'Практикуйте упрощение следующих выражений, рационализируя знаменатели.'

'Объясните свойства вещественных чисел и квадратных корней.'

'Пусть A будет множеством рациональных чисел, а B - множеством иррациональных чисел в 33®. Пусть ∅ представляет пустое множество. Выберите подходящий символ ∈, ∋, ⊆, ⊇, ∪, ∩, чтобы заполнить пустоты ниже.'

'Докажите, что \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ - иррациональное число. Предполагается, что \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ известны как иррациональные числа.'

'Докажите, что для рациональных чисел a, b, c, d и иррационального числа x, если a+bx=c+dx, то a=c и b=d.'

'Базовый пример 27 Целая и десятичная части'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'Исходя из данного условия, AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}. Взяв точки D, E, F, G как показано на рисунке, обозначим длину вертикальной стороны прямоугольника как x, тогда DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x, FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x. Также, так как 0<CE<AC, мы имеем 0<2 x<3 \\sqrt{2}, что означает 0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}. Пусть y будет суммой площадей двух прямоугольников, тогда y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6. Максимальное значение y равно 6 при x=\\sqrt{2}. Следовательно, максимальное значение суммы площадей двух прямоугольников равно 6.'

'Докажите, используя доказательство методом противоречия'

'Рационализируйте знаменатели и упростите следующие выражения:'

'Докажите, что сумма рационального числа и иррационального числа является иррациональным числом.'

'Докажите, что PR√2+√3 является иррациональным. Предположим, что √2 и √3 оба иррациональны.'

'Докажите, что сумма рационального числа и иррационального числа является иррациональным.'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'Упростите следующее выражение.'

'При x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}, y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}, найти значения следующих выражений.'

'Количество решений при 84 a > -1 / 8, количество решений при a = -1 / 8, количество решений при a < -1 / 8'

'Когда x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}}, найдите значения следующих выражений.\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'Докажите, используя метод от противного, что √3 - иррациональное число.'

'79 (1) Учитывая z=√3+i, -√3-i (2) Учитывая z=2i, -√3-i, √3-i'

''

'(2) Точка z удовлетворяет уравнению |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z, то есть w=2(1+√3 i) z Из z =w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8, подставьте в (1) получим |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1, то есть |(1-√3 i)/8||w-8|=1|(1-√3 i)/8|=2/8=1/4, поэтому |w-8|=4 Следовательно, точка w рисует окружность с центром в точке 8 радиусом 4. Ссылка 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)) Таким образом, точка (2+2 √3 i) z является точкой, полученной путем поворота точки z вокруг начала координат на π/3 и умножения на 4. Следовательно, центральная точка 1-√3 i окружности |z-(1-√3 i)|=1 перемещается на точку 8, а радиус окружности равен 4. Следовательно, точка w рисует окружность с центром в точке 8 радиусом 4.'

'Пожалуйста, объясните следующие термины: ограниченный, конечное определенное значение, направленный отрезок прямой, фокусный конический, рациональная функция, положительная функция, сумма квадратов, эксцентрический угол, эксцентриситет, объем тела, лемниската, нулевой делитель, нулевая матрица, нулевой вектор, лемниската, непрерывный, ряд Лейбница, правило Лопиталя, теорема Ролля'

'Для комплексного числа \ \\alpha=a+b i \, где \ \\overline{\\alpha}=a-b i \ является сопряженным к \ \\alpha \, докажите следующее:\n\n(1) Если \ \\alpha \ - это вещественное число, то \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \. Если \ \\alpha \ является чисто мнимым числом с \ \\alpha \\neq 0 \, то \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \.\n(2) Докажите, что \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ является вещественным числом.\n(3) Докажите, что \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \.\n(4) Докажите, что \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \.'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\nИз (1) получаем s^2/b^2 + t^2 = 1\nИз (2) следует t^2 = 1 - s^2/b^2\nПодставляя это в (1) получаем s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1\nПосле упрощения получаем s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)\ns > 0, b > 0, таким образом s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\nИз (2) и (3) получаем t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)\nt > 0, a > 0, b > 1, следовательно t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'Ответ на упражнение: t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'Упражнение 44\\n(1) (Решение 1) x=1/(y^2-2y) Отсюда, получаем y^2-2y-1/x=0 Пусть дискриминант этого квадратного уравнения равен D\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 означает 1/x+1 >= 0 Следовательно, x<=-1,0<x Таким образом, когда x<=-1,0<x у нас y=1±√(1+1/x)'

'Ответ на упражнение 62 (1) а= \\ frac{9}{8}'

'Условия справедливости неравенства'

'Решение упражнения 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'Найдите n-ый корень от 1 и объясните, какой позиции на единичной окружности соответствует каждое значение.'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих задач.'

'(1) \ z \ это все действительные числа, кроме 0, 1 и -1'

'Прочитайте следующее доказательство, чтобы показать, что e - иррациональное число.'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'Докажите неравенство e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'Упражнение 41 III: Докажите неравенство \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \.'

'(1) Пропущено\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

"Пожалуйста, объясните доказательство того, что 'е является иррациональным числом'. Покажите процедуру доказательства того, что е является иррациональным, используя метод доказательства от противного и бесконечные ряды."

'Когда α=√3+i и β=2-2i, выразите αβ и α/β в полярной форме, где аргумент θ находится в диапазоне 0≤θ<2π.'

'Пусть a, b будут неотрицательными действительными числами. Следующие уравнения справедливы при a > 0, b > 0, но что насчет других случаев? Исследуйте в следующих случаях.'

'Вычислите следующие математические выражения.'

'(1) Пусть a = 1/4, b = 3/4, и 2ab = 3/8, a^2 + b^2 = 5/8,\n\nОжидается что a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b.'

'Ответьте на следующие вопросы. Предположим, что $\\sqrt{3}$ - иррациональное число.\n(1) Докажите, что $\\log_{3} 4$ - иррациональное число.\n(2) Найдите одну пару действительных чисел $(a, b)$, где $a$ и $b$ - иррациональные числа, и $a^{b}$ - рациональное число.'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'Найдите значения θ, при которых 21θ находится между 210° и π/2. Хотя cos θ не является рациональным числом, найдите значения θ, при которых и cos 2θ, и cos 3θ являются рациональными числами.'

'Определение количества цифр и первого десятичного разряда с использованием общих логарифмов'

''

'Найдите рациональные числа x и y, удовлетворяющие уравнению 20^x = 10^(y+1).'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'Вопрос 24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'Найдите комплексное число z, удовлетворяющее уравнению z^2=2+2sqrt(3)i.'

'32 Общие логарифмы\n33 Связанные продвинутые проблемы УПРАЖНЕНИЯ'

'Определение количества цифр с помощью обычных логарифмов и положение первой ненулевой цифры в десятичном числе'

'Максимальное значение (9 + 4√3) / 9, а минимальное значение (9 - 4√3) / 9'

''

'Выразите следующие наборы чисел в порядке с использованием знаков неравенства.'

'95 не является рациональным числом.'

'Пусть a будет положительным действительным числом на комплексной плоскости, w=a(cosπ/36+isinπ/36). Определите последовательность комплексных чисел {zn} как z1=w, zn+1=znw^(2n+1) (n=1,2,…). (1) Найдите аргумент zn. (2) На комплексной плоскости, с началом координат в O и представляя zn в виде точки Pn. Найдите значения n и a, при которых △OPnPn+1 является прямоугольным равнобедренным треугольником для 1≤n≤17.'

'(3) x = √5/10 имеет максимальное значение √5/2 при x = -1/2 и минимальное значение -1/2'

'Пожалуйста, объясните метод использования концепции бесконечной геометрической прогрессии для представления периодической десятичной дроби в виде обыкновенной дроби.'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) Представьте целую часть действительного числа a (k ≤ a < k+1 и k - целое) как [a]. Найдите количество различных элементов среди [f(1)], [f(2)], [f(3)], ..., [f(1000)]. При необходимости используйте логарифм 10 = 2.3026 для вычислений.'

'Перевести данный текст на несколько языков.'

'Упражнение ⊕ 31'

'Когда мяч падает на пол, он отскакивает до 3/5 высоты падения.'

'Вычислите следующее выражение.'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'Докажите, что уравнение α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0 верно, когда треугольник ABC с вершинами A(-1), B(1), C(√3i) является равносторонним треугольником и треугольник PQR с вершинами P(α), Q(β), R(γ) также является равносторонним.'

'График и область значений иррациональных функций\nГрафик и точки пересечения иррациональных чисел, иррациональные неравенства'

'(1) При достаточно малых значениях |x| найдите первое и второе приближения следующих функций.'

'Пусть α и z будут комплексными числами, где |α|>1. Сравните модули |z-α| и |α z-1|.'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Аргумент 𝜃 должен удовлетворять условию 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2. Предположим, что (1) это y=1/(x+3) и (2) это y=1/(3-x). Решив это, получим x=0. Требуемое решение для неравенства - это диапазон значений x, при которых график (1) находится выше графика (2) или имеет общие точки. Из рисунка следует, что искомый диапазон значений x составляет -3 < x ≤ 0, 3 < x.'

'При a=-\\frac{24}{\\pi^{2}}, b=\\frac{12}{\\pi^{2}} минимальное значение равно -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'Найдите максимальное и минимальное значения |z+√3|, когда комплексное число z удовлетворяет |z-i|=1, и определите соответствующие значения z.'

'При a= \\frac{2}{e+1}, минимальное значение равно \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'Как разделить квадрат на три равные части'

'Свойства n-й корня из 1'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'Существует тип роста, который нельзя выразить числами.'

'Предположим, что комплексное число z удовлетворяет условию |z| ≤ 1. Для комплексного числа w = z-√2 ответьте на следующие вопросы: (1) Какую форму следует на плоскости комплексных чисел точка w? Проиллюстрируйте. (2) Если мы представим абсолютное значение w^2 как r и аргумент как θ, найдите диапазон r и θ. Обратите внимание, что 0 ≤ θ < 2π.'

'432 Базовый пример 85 Произведение и Частное комплексных чисел\nПусть α=1-i, β=√3+i. Где, аргумент равен 0 ≤ θ < 2π.\n(1) Выразите αβ и α/β в полярной форме соответственно.\n(2) Найдите arg(β^4), |α/β^4|.\n(3) Смотрите стр.429 Основы 1 1, 2'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'Упорядочите значения следующей функции в убывающем порядке: (11^1/10, 13^1/12, 15^1/14)'

'Докажите неравенство \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'Найдите минимальное значение, когда t = 2/3.'

''

'Если комплексное число z удовлетворяет условию |z|=1, то максимальное значение |z^3-1/z^3| равно a.'

'Выразив 1+√3i и 1+i в полярной форме, найдите значения cos(π/12) и sin(π/12) соответственно.'

'9 разделить на 8'

'42 (1) 10√3\n(2) 1:3'

'Когда z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \, максимальное значение равно 3. Когда z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\), минимальное значение равно 1.'

'Опишите свойства n-ой корня из 1.'

'Разница скоростей устремляется к бесконечности'

'34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \'

'144'

'Пример 11 Периодические десятичные дроби'

'Выразите следующую периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.'

'Докажите, что не существует натурального числа n, такого что и √n и √(n+1) являются рациональными числами.'

'Упражнение 4 | II --> Книга с.59\n(2)\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'В Примере 31, у камня вероятность 1/2 перейти от точки A к B и C соответственно. Точно так же, у него вероятность 1/2 перейти от точки B к C и D. Наблюдая за камнями, приходящими на каждую точку от A и B к C, от B и C к D, от C и D к E и так далее. Поэтому можно заключить, что когда камень перемещается с точки P, Q до точки R, вероятности достижения точек P, Q, R равны p, q, r соответственно, затем r=1/2 p+1/2 q. Используя это, вероятности достижения каждой точки могут быть вычислены последовательно.'

'Пожалуйста, прочитайте пояснение о действительных числах и их свойствах и ответьте на следующие вопросы:\n1. Как вы классифицируете действительные числа?\n2. Как вы представляете точку P, соответствующую координате a на числовой прямой?\n3. Пожалуйста, определите абсолютное значение.\n4. Определите квадратный корень и объясните разницу между положительным и отрицательным квадратным корнем.'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'Пожалуйста, предоставьте пример того, как иррациональные числа появляются в конкретных математических проблемах.'

'Из числа 128 в Математике I (3), рассматривая неравенство \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\], мы получаем \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ Решив уравнение \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \, получаем \ \\theta=30^{\\circ} \. Поскольку решение находится на линии \ x=1 \ с координатой \ y \ больше или равной \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \, диапазон решений составляет \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \'

'Попрактикуйтесь в доказательстве следующего, используя уникальность разложения на простые множители.'

'Докажите, что квадратный корень из 3 - иррациональное число.'

'Пусть x - положительное число. Прямоугольник с двумя сторонами, являющимися рациональными числами, можно выложить одним видом квадрата. Иными словами, для прямоугольника со сторонами 1 и x, если x - рациональное число, его можно выложить одним видом квадрата. Если нельзя выложить его одним видом квадрата, то другая сторона прямоугольника - иррациональная. Используя этот факт, докажите, что √10 - иррациональное число.'

'Найдите область значений функции y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5}.'

'42 √7 или 1+√6'

Приведите знаменатель следующих выражений к рациональному виду. (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x является иррациональным числом. Докажите следующее утверждение с помощью метода доказательства от противного. По крайней мере одно из x^2 или x^3 является иррациональным.

Найдите значения выражений, если даны x и y, определенные как: x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}. (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

ТРЕНИРОВКА 27 (1) Из следующих утверждений (1)–(4) выберите все верные. (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$. (2) $\sqrt{0.25}=0.5$. (3) Квадратный корень из rac{49}{64} равен \pm rac{7}{8} . (4) Квадратный корень из rac{49}{64} равен только rac{7}{8} . (2) Найдите значения \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \).

Рассмотрим многочлен P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by относительно x и y, где a и b — рациональные постоянные. (1) Когда x = 1/(2-√3) и y = 1/(2+√3), найдите значения x + y и x - y. (2) Для значений x и y в (1), если P = 4, найдите значения a и b.

Дано 5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, найдите значения следующих выражений. (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

Пусть x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, найдите значения следующих выражений: (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3} + x^{3} y^{4} (4) x^{3} + y^{3}

Относительно произведения x y, для x и y, поскольку знаменатель x и числитель y одинаковы, а числитель x и знаменатель y одинаковы, мы можем вычислить x y=1 без рационализации знаменателя. Обратное отношение: \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

Доказательство от противного (2) (1) Докажите, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, используя доказательство от противного. Предположим для противоречия, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом. Тогда существуют два целых числа $p$ и $q$ без общих делителей, такие что \sqrt{2} = rac{p}{q}. Возведя обе стороны в квадрат, получаем 2 = rac{p^2}{q^2}, то есть 2q^2 = p^2. Поскольку p^2 является четным, $p$ также должен быть четным. Следовательно, пусть $p=2k$ для некоторого целого $k$. Подставляя, получаем 2q^2 = (2k)^2, то есть 2q^2 = 4k^2. Упрощая, получаем q^2 = 2k^2, так что $q$ также должен быть четным. Это означает, что p и q имеют общий делитель 2, что противоречит предположению, что p и q не имеют общих делителей. Следовательно, $\sqrt{2}$ иррационально.

Докажите, что TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ — иррациональное число. Вы можете использовать тот факт, что если квадрат целого числа $n$ кратен 3, то и само $n$ кратно 3.

Как называется число, которое можно представить в виде дроби rac{m}{n} с использованием целого числа $m$ и ненулевого целого числа $n$?

Когда rac{30}{7} выражено в виде десятичной дроби, найдите цифру в 100-м десятичном разряде.

Приведите знаменатели следующих выражений к рациональному виду. (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) Предположим, что $a, b, c, d$ — рациональные числа, а $\sqrt{l}$ — иррациональное число. Докажите, что $b = d$, если $a + b \sqrt{l} = c + d \sqrt{l}$. Также докажите, что $a = c$ в этом случае. (2) Найдите рациональные значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют \( (1 + 3 \sqrt{2}) x + (3 + 2 \sqrt{2}) y = -5 - \sqrt{2} \).

Как называется десятичная дробь, которая заканчивается на определённом десятичном разряде?

Используя факт, что √6 является иррациональным числом, докажите, что следующие числа иррациональны: (1) 1-√24 (2) √2+√3

Как называется десятичное число, в котором одна и та же последовательность цифр повторяется ниже определенного разряда?

Удалите двойные радикалы из следующих выражений. (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(1) Выберите все правильные из следующих 1〜(4). (1) Квадратный корень из 7 это $\pm \sqrt{7}$ (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} (2) Квадратный корень из 7 это только $\sqrt{7}$ (4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} (2) Найдите значения \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \)

Выразите периодические десятичные числа $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ в виде дробей.

ТРЕНИРОВКА 42 Если целая часть \sqrt{6}+3 равна a, а дробная часть равна b, то значение a^{2}+b^{2} равно \square.

Используя тот факт, что √3 является иррациональным числом, докажите, что 1+2√3 тоже иррациональное число.

Как называется десятичная дробь, в которой цифры после запятой продолжаются бесконечно?

Как точка \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) является перемещенной точкой $z$. Диапазон угла поворота $heta$ составляет $-\pi< heta \leqq \pi$.

Так как точка rac{z}{z-2} находится на мнимой оси, действительная часть rac{z}{z-2} равна 0.

Модуль комплексного числа Для комплексного числа $z=a+bi$ расстояние между точкой $z$ и началом координат $O$, равное $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, называется модулем комплексного числа $z=a+bi$, и обозначается $|z|$. Другими словами, модуль комплексного числа является действительным числом. Найдите модуль следующих комплексных чисел $z$: 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

Свойства сопряжённых комплексных чисел: В отношении комплексных чисел α и β верно следующее.

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) Минимальное значение $2 \sqrt{5}$ при $t=-1$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

Вычислите следующие комплексные числа: (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

Вычислите аргумент следующих комплексных чисел. (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) В порядке rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

Мнимая часть комплексного числа $z$ положительная, и три точки \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) являются вершинами прямоугольного равнобедренного треугольника. Найдите $z$.

Для комплексного числа $z$ докажите, что |z|=|-\overline{z}| .

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (у) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

Пусть вещественная и мнимая части комплексного числа lpha обе положительны. Также пусть |lpha|=|eta|=1 . Если комплексные числа i lpha, rac{i}{lpha}, eta представляют три точки на комплексной плоскости, которые образуют вершины правильного треугольника, найдите lpha и eta .