Основы теории чисел - Простые числа и факторизация

'Объясните Теорему о Факторизации.'

'Докажите, используя биномиальную теорему, что следующее уравнение верно: { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'Наибольший общий делитель (многочлены): Многочлен, который делится на все заданные многочлены, из двух или более многочленов.'

'(1) Докажите, что если m - простое число, то d_{m}=m.\n(2) Докажите математическим индукцией, что для всех натуральных чисел k, k^m-k делится на d_{m}.'

'Докажите, что для всех натуральных чисел n выражение 4^{2n+1} + 3^{n+2} является кратным 13.'

'Математика II\n(1) Из (α-2)(α+3)=0, получаем α=2,-3\n(2) При α=2, k=8 и при α=-3, k=-27\nСледовательно k=8,-27'

'Упражнение (1) Докажите, что когда n является натуральным числом, 4^(2n+1) + 3^(n+2) является кратным числу 13.'

'(1) При делении $k ^ 3$ на $n$ получается частное $q$ и остаток $r$. Тогда $k ^ 3 = qn + r (0≤r≤n-1)$. Когда $n$ и $k$ взаимно просты, $n$ и $k ^ 3$ тоже взаимно просты. Следовательно, $r≠0$, поэтому $1≤r≤n-1$. Разделив обе стороны (1) на $n$, мы получаем $\\frac{k ^ 3}{n} = q + \\frac{r}{n}$. Из $1≤r≤n-1$ следует, что $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$. Следовательно, 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1, следовательно, $\\left[\\frac{k ^ 3}{n}\\right] = \\left[q + \\frac{r}{n}\\right] = q$'

'(2) Докажите, что для всех k, k^m - k делится на d_m. [1] Когда k=1, 1^m - 1 = 0 и d_m ≠ 0, поэтому 0 делится на d_m. Следовательно, (1) верно. [2] Предположим, что (1) верно для k=l, то есть l^m - l делится на d_m. Рассмотрим случай k=l+1, (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} Из предположения, l^m - l делится на d_m. Кроме того, d_m является наибольшим общим делителем {m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)}, поэтому эти члены также делятся на d_m. Следовательно, (l+1)^m - (l+1) делится на d_m. Следовательно, когда k=l+1, (1) также верно. Из [1], [2], можно заключить, что (1) верно для всех натуральных чисел k.'

'Докажите следующее, когда p - простое число:\n(1) Для натуральных чисел k, удовлетворяющих 1 ≤ k ≤ p-1, p_kC_k является кратным p.\n(2) 2^p-2 - кратно силе.\n[Тохоку Гакуин университет]'

'Определим слово длиной n как три буквы (а, б, с), расположенные горизонтально n раз. Здесь, n=1,2,3, … и т. д. Например, abbaca и caab - это разные слова длиной 4. Среди таких слов длиной n, пусть те, которые содержат нечётное количество символов a, будут обозначены как xn, а остальные как yn. Найдите значения xn и yn.'

'В упражнении 55 (1) [1], когда m=2, d_2 - это наибольшее натуральное число, делящееся на биномиальный коэффициент {2 C_1} = 2, поэтому d_2=2, и d_m=m верно. [2] Когда m - простое число больше или равное 3, {m C_1} = m, поэтому достаточно показать, что {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} являются кратными числу m. Для k=2,3,…,m-1, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1}, следовательно, k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1}. Поскольку m - простое число больше или равное 3, и 2 ≤ k ≤ m-1, k и m взаимно просты. Следовательно, {m C_k} кратно числу m. Следовательно, d_m=m верно. Из [1], [2], если m - простое число, то d_m=m.'

'Комплексное упражнение'

'(3) \ m, n \ - натуральные числа, а \ p \ - простое число, следовательно, \ m, n, p \ - ненулевые вещественные числа. Следовательно, из (1) получаем \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \. Также, в уравнении \ a^{m} = b^{n} \, где \ 1 < a < b \, имеем\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { что означает } a^{m} > a^{n} \\\\\\\Основание \ a \ больше 1, так что \ m > n \. Следовательно, из (2) получаем \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \, и, следовательно\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'Пусть решения для (1) будут α и β, и пусть f(x)=x^2+2ax+a-1. Условие для того, чтобы α и β были между двумя решениями для (2) - это то, что при условиях (3), f(α)<0 и f(β)<0.'

'Когда ненулевые действительные числа $x, y, z$ удовлетворяют уравнениям $3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$, найдите значение $\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$.'

'Предположим, что целые числа a и b не являются кратными 3, и пусть f(x) = 2x^3 + a^2x^2 + 2b^2x + 1. Докажите, что не существует целого числа x, удовлетворяющего уравнению f(x) = 0.'

'При $4^{x}=6^{y}=24$ найдите значение $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$.'

'Давайте вспомним о понятии совпадающих корней! В математике совпадающие корни относятся к случаю, когда b^2-4ac=0 в квадратном уравнении ax^2+bx+c=0. В формуле для нахождения корней квадратного уравнения, x=-b±√(b^2-4ac)/(2a), когда b^2-4ac=0, как √(b^2-4ac), так и -√(b^2-4ac) равны 0, что приводит к корню x=-b/(2a).'

'Больше 10723 штук'

'Пусть n - натуральное число больше или равное 3, докажите неравенство 4^{n}>8 n+1 (A).'

'Какой из следующих является множителем полинома 2x^3+5x^2-23x+10?'

'Необходимое и достаточное условие существования действительных чисел x, y, удовлетворяющих уравнениям x² - xy + y² = k и x + y = 1, это k ≥ 0.'

'Как найти значения k, при которых P(k) = 0'

'Основы 57: Поиск коэффициентов по условиям делимости'

''

'Если вы внесете 1 миллион иен с годовой процентной ставкой 1% с ежегодным начислением процентов, через сколько лет общая сумма основного и процентов впервые превысит 1,1 миллиона иен? Вы можете использовать таблицу общего логарифма.'

'Арифметический экзамен Шибуйского учебного института школы Макухари, 2020'

'Упорядочите целые числа, большие 1, которые не являются квадратами или кубами в порядке возрастания. 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots Что такое 2020-ое целое число, когда оно пересчитывается с наименьшего?'

'(4) Когда сторона черного квадрата находится между 1 см и 100 см, количество белых квадратов составляет как минимум 8 ((1+1) x 4 = 8) и как максимум 404 ((100+1) x 4 = 404). Число, которое нельзя выразить в виде суммы последовательных целых чисел, помимо 1, является целым числом, в котором нет нечетных делителей. Такие числа можно выразить как произведение простых чисел, например, 2 x ・・・ x 2. Поэтому в указанном диапазоне имеется 8 (штук), 16 (штук), 32 (штуки), 64 (штуки), 128 (штук) и 256 (штук), что соответствует боковым размерам черных квадратов на 1 см, 3 см, 7 см, 15 см, 31 см и 63 см соответственно.'

"Что означает '百八の煩脳'?"

'Посол хорошо принимается каждый раз, когда он посещал премьер-министра.'

'каждый 6 пунктов × 2'

'(2) Когда 3240 выражается в виде произведения простых чисел, 3240 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5.'

'Упорядочьте целые числа, большие 1, которые не являются квадратами, в порядке возрастания, например, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ... Какое число является 300-м при счете с наименьшего?'

None

'(1) Докажите неравенство $2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$ с использованием бинома Ньютона. (2) Найдите значение $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$.'

'Ссылочная линия составная линия'

'Докажите, что для двух целых чисел a и b, если a+b и ab взаимно просты, то a и b тоже взаимно просты.'

'Найдите количество натуральных чисел, меньших или равных 56, взаимно простых с 56.'

'Пусть a и b - натуральные числа, где a + b = p + 4 и ab^{2} = q. Найдите простые числа p и q, удовлетворяющие этим условиям.'

'Докажите, что среди любых 26 различных целых чисел, выбранных из диапазона от 1 до 50, обязательно найдется пара чисел, сумма которых будет равна 51.'

'Докажите, что n^{2}+1 является кратным 5 тогда и только тогда, когда остаток от деления n на 5 равен 2 или 3.'

'О положительных делителях PR 3500'

'Простое число - это натуральное число, большее 1, не имеющее положительных делителей, кроме 1 и самого себя, в то время как число, которое не является простым, называется составным числом. Например, 2, 3, 5, 7, 11 и т. Д. Являются простыми числами, в то время как 4, 6, 8, 9 и т. Д. Являются составными числами.'

''

None

'Под данными условиями, когда p=3k+2, естественное число p, которое делает p, 2p+1 и 4p+1 все простыми числами, равно p=3. Для простых чисел p больше или равных 5, очевидно, что либо 2p+1, либо 4p+1 будет кратно 3.'

'Определите истинность или ложность следующих утверждений:\n(2) Положительные делители числа 28 - это 1, 2, 4, 7, 14 и 28, всего 6 делителей. Поэтому это верное утверждение.\n(3) Когда n=36, n является кратным 4 и 6, но не кратным 24. Поэтому это неверное утверждение (с n=36 в качестве контрпримера).'

'Использование свойств простых чисел'

'Доказательство относительно взаимно простых чисел'

'Докажите, что произведение последовательных целых чисел является кратным 2.'

'Я смущен, как подходить к проблемам с простыми числами. Определение простых чисел, "Целые числа больше 2, которые не имеют положительных делителей, кроме 1 и самих себя", простое. Ключевой момент - как эффективно использовать это определение. Во-первых, давайте понимать следующие свойства (1) и (2): (1) Делители простого числа p являются ±1 и ±p (есть 2 положительных делителя: 1 и p),(2) Простые числа больше 2, и единственное четное простое число - 2. Кроме того, Все простые числа больше 3 являются нечетными. Используя свойство "делители простого числа p являются ±1 и ±p", мы можем рассмотреть четыре случая (A) до (D) при условии, что (n-3)(n-9) является простым числом p. Обратите внимание на отношение n-9<n-3 и 1<p,-p<-1, где только (B) n-9=1 и (C) n-3=-1 возможны. Особенно будьте внимательны к ошибкам, как n-9=-1 в отрицательных случаях.'

''

''

'Найдите наименьшее положительное целое число, количество положительных делителей которого равно 28.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Количество взаимно простых натуральных чисел'

'Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 72 и 120.\nРазделите по общим простым множителям среди 12 чисел.\nНапример, продолжайте делить на 2.\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\nВычислите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.'

'Найдите все натуральные числа p, такие что все три числа p, 2p+1, 4p+1 являются простыми числами.'

'Пусть p и q - простые числа, где p<q. Также пусть m и n будут положительными целыми числами такими, что m≥3 и n≥2. Предположим, что среди целых чисел от 1 до p^m * q^n количество чисел, кратных p или q, равно 240. Найдите набор (p, q, m, n), удовлетворяющий этим условиям.'

'Базовый пример 106 Количество положительных делителей\n(1) Найдите количество положительных делителей 630.\n(2) Если натуральное число N разложено на простые множители, где простые множители включают в себя p и 7, и других простых множителей нет. Кроме того, у N 6 положительных делителей, и сумма положительных делителей составляет 104. Найдите значения простых множителей p и натурального числа N.'

'Совершенные числа и простые числа'

'(2) Предположим, что a - положительное целое число, и что p = a^2 + 1 - простое число. Тогда n^2 + 1 является кратным числом p тогда и только тогда, когда остаток от деления n на p равен a или p - a.'

''

'Докажите, что для двух взаимно простых целых чисел a и b, a+b и ab также взаимно просты.'

'Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для 2 или 3 целых чисел с использованием разложения на простые множители.\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

None

'Найдите количество натуральных чисел, меньших чем 432, взаимно простых с 432.'

'(2) Доказать, что если натуральное число P не делится на 2 или 3, то P^2-1 делится на 24.'

'Найдите количество натуральных чисел меньше 735, взаимно простых с 735.'

'Чтобы найти остаток от деления 13 в степени 15 на 5.'

'Пусть а и b - натуральные числа. Докажите, что если ab кратно 3, то либо a, либо b кратно 3.'

''

'Раскрасьте в порядке D → A → B → C → E. Есть 6 способов раскрасить D → A → B (3!). Для каждого из них есть 1 способ раскрасить C и 1 способ раскрасить E. Следовательно, общее количество способов раскраски составляет 6 × 1 × 1 = 6.'

'Найдите количество положительных делителей положительного целого числа 756.'

'Проблема (2) декомпозирует натуральное число N на простые множители, где простые множители - p и 5, и других простых множителей нет. Кроме того, у N 8 положительных делителей, и сумма положительных делителей равна 90. Найдите значения простого множителя p и натурального числа N.'

'Условие, при котором все три числа являются простыми'

'Когда простая факторизация натурального числа N имеет вид N=p^a * q^b * r^c ......., то количество положительных делителей числа N равно (a+1)(b+1)(c+1) .......'

'Есть загадка для угадывания возраста: Мой возраст при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 5 - остаток 4, при делении на 7 - остаток 1. Пожалуйста, угадайте мой возраст. Он меньше 105 лет.'

'Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел n(n+1)(n+2)(n+3) является кратным 24.'

'Полная перестановка'

'Докажите, что 2n-1 и 2n+1 взаимно просты для любого натурального числа n.'

'Докажите, что если натуральное число P не делится ни на 2, ни на 3, то P^2-1 делится на 24.'

'73 опущение'

'Докажите условие для того, чтобы все три числа были простыми'

'Принцип голубятни (метод назначения комнат)'

'Пусть n - натуральное число. Найдите все значения n, при которых следующие выражения являются простыми числами:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'Какие вызовы возникают при обнаружении больших простых чисел?'

'Найдите наименьшее натуральное число n, при котором √(378n) становится натуральным числом.'

''

'Когда целое число можно выразить как произведение нескольких целых чисел, каждое число в произведении называется множителем исходного числа. Множители, являющиеся простыми числами, называются простыми множителями, и выражение натурального числа в виде произведения, содержащего только простые числа, называется простым разложением на множители.'

'Близнецы и тройняши простые числа'

'Найдите наименьшее положительное целое число, для которого количество положительных делителей равно 28.'

'Как находить простые числа (решето Эратосфена)\nЕсли натуральное число n не делится на все простые числа, меньшие или равные его квадратному корню, то n - простое число.\nИспользуя это правило, рассмотрите метод поиска всех простых чисел, меньших или равных 50.'

'Количество делителей и сумма'

'Факторизация'

'Давайте вспомним основы факторизации!'

'Основы 11: Факторизация путем извлечения общих множителей'

'(1) Докажите, что произведение двух последовательных целых чисел является кратным 2.'

'Если у двух целых чисел a и b нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1. Если наибольший общий делитель двух целых чисел a и b равен 1, то a и b считаются взаимно простыми.'

'14 (1) 144 способа\n(2) 720 способов\n(3) 1440 способов'

'Давайте обобщим основные шаги простого разложения на множители. Чтобы применить формулы для простого разложения на множители:'

'Сколько существует способов, чтобы произведение результатов бросания кубика дважды было кратным 12?'

'Из a≥1 и b≥1 следует, что a+b>a+b-1≥1. Более того, поскольку a+b-1 является простым числом, то a+b-1=1. Следовательно, a+b=p. Учитывая, что a≥1 и b≥1, получаем a=1 и b=1. Таким образом, из (2) следует, что p=2, что является простым числом. Следовательно, значения a и b, делающие p простым числом, равны a=1 и b=1.'

'Чему равен результат вычисления 60!, и сколько раз его можно разделить на 3? 98\nПри вычислении 50!, сколько подряд идущих нулей будет в конце?'

'(1) Доказательство: Предположим, что целое число n не является кратным 3, тогда n можно представить в виде 3k±1 (k - целое число). Тогда, n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k), что должно быть кратно 3.'

'Выделите общие множители и разложите на множители.'

'95 (1) n=21 (2) n=30,270'

'Найдите наибольший общий делитель следующих пар целых чисел с помощью алгоритма Евклида: (1) 221, 91 (2) 418, 247 (3) 1501, 899'

'Найдите все значения p, при которых 51, 2p+1 и 4p+1 являются простыми числами. Проверьте, являются ли 2p+1 и 4p+1 простыми, когда p - простое число.'

'Докажите, что для двух натуральных чисел a и b, если a и b взаимно просты, то a+b и ab также взаимно просты.'

'Докажите, что для любых натуральных чисел a и k, a и ka+1 взаимно просты.'

None

'Какие проблемы хороши для решения после решения базовых и стандартных примеров?'

'Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы: (1) Рассчитайте результат 60!, и определите максимальное количество раз, на которое его можно разделить на 3. (2) Рассчитайте 50!, и определите, сколько нулей идет подряд в конце.'

'Докажите следующее для натуральных чисел a, b:\n(1) Если a и b взаимно просты, то a^2 и b^2 также взаимно просты.\n(2) Если a+b и ab взаимно просты, то a и b также взаимно просты.'

'Докажите, что для любого натурального числа n, большего или равного 2, n^4+4 не является простым числом.'

'Используйте символы $\\subset ,=$, чтобы описать отношения между множествами $A, B$. A=\\{n \\mid n является простым числом, не превышающим 7 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'По следующим математическим вопросам: (1) Используя частное от деления 10 на 2, деление 4 на 2 и деление 2 на 2, с методом подсчета количества кратных 2, каково максимальное количество раз, которое 10! можно разделить на 2? (2) Используя частное от деления 10 на 5, вычислите 10! и определите, сколько нулей идут подряд в конце?'

'1) Найдите количество положительных делителей числа 720.\n\n2) Разложите натуральное число N на простые множители, где простые множители - это 2 и 3, без других простых множителей. Также известно, что у N ровно 10 положительных делителей. Найдите все такие натуральные числа N.'

'Простым числом называется натуральное число больше 1, которое не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя. Сложным числом называется натуральное число больше 2, которое не является простым.'

'Сколько строк можно составить, используя все 8 букв слова TANABATA?'

'Задача A (2) Найдите два натуральных числа, обозначенных как 6m и 6n, где m и n - взаимно простые натуральные числа. Поскольку 6m>6 и 6n>6, мы имеем m>1 и n>1. Учитывая 4536=6m·6n, мы получаем mn=126. Поскольку mn не является полным квадратом, m не может быть равно n, следовательно, 1<m<n. Решив уравнение для пар m и n, удовлетворяющих этому условию, мы получаем (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21),(7,18),(9,14). Среди этих пар копростыми являются (2,63),(7,18),(9,14). Следовательно, два необходимых натуральных числа равны 12,378 или 42,108 или 54,84.'

'Как перевести двоичное число 101 в десятичное?'

"Сколько существует возможных способов образования 8 букв слова 'дополнение' горизонтально в один ряд?"

'Овладейте метод определения кратных чисел и покорите пример 85!'

'Найдите наименьшее натуральное число, имеющее 8 положительных делителей.'

'ТРЕНИРОВКА 99 (1) Пусть n - натуральное число. Найдите все значения n, при которых следующие выражения дадут простое число. (а) n^{2}+6 n-27 (б) n^{2}-16 n+39 (2) Пусть a, b - натуральные числа, и пусть p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b. Найдите все значения a, b, при которых p является простым числом.'

'(1) Сколько существует натуральных чисел N, у которых 3 разряда при представлении в пятеричной системе?'

'Найдите наименьшее натуральное число с 4 положительными делителями.'

'Ответ: Математический раздел 50 опущен 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

''

'Найдите все значения p, при которых p, 2p+1 и 4p+1 являются простыми числами.'

'Перестановка с определенным порядком. Стандартная 20-перестановка с определенным порядком.'

''

'Докажите, что a и k a+1 взаимно просты, когда a и k - натуральные числа.'

'Разделив пример 83 на максимальное и минимальное значения, мы получаем следующие результаты.'

'Задача нахождения целочисленных решений линейного диофантова уравнения (3) (с использованием алгоритма Евклида).'

'Давайте вспомним, как найти целочисленные решения линейных диофантовых уравнений! Когда целые решения не находятся легко, можно использовать метод последовательных делений. Отследив расчеты метода последовательных делений в обратном порядке, можно найти целочисленные решения.'

'Предположим, что a и b не взаимно просты, то есть у a и b есть общий простой множитель p, тогда a=pk, b=pl (k, l - натуральные числа).'

'Сколько существует способов, при броске двух костей одновременно, чтобы на ни одной из них не выпало число 1?'

'На оси x есть точка P. Когда бросают шестигранный кубик и выпадает кратное 6, P двигается на 1 единицу в положительном направлении оси x, а когда кратное 6 не выпадает, P двигается на 2 единицы в отрицательном направлении оси x. При бросании кубика 4 раза вероятность того, что точка P, начиная с начала координат, будет в точке x=-2, равна A, а вероятность быть в начале координат равна B.'

'Найдите количество положительных делителей и их сумму для 648.'

'Найдите наибольшее трехзначное натуральное число, которое дает остаток 5 при делении на 14 и остаток 7 при делении на 9.'

'Найдите максимальное значение n для детей EX и соответствующие значения a, b'

'Метод факторизации'

'Алгоритм Евклида\nДля натуральных чисел a и b, если a делится на b и остаток равен r, то НОД a и b равен НОД b и r.\nПовторяя этот метод, мы можем найти НОД двух натуральных чисел. Этот метод называется алгоритмом Евклида или просто алгоритмом деления.\nНапример, найдем НОД чисел 319 и 143\nРассматривая деление 319 на 143, получаем уравнение 319=143*2+33, в соответствии с теоремой, вместо того, чтобы находить НОД чисел 319 и 143, мы можем найти НОД делителя 143 и остатка 33. Продолжая эту операцию, остатки будут уменьшаться. Кроме того, поскольку остаток больше или равен 0, в конце концов остаток станет равным 0. Когда остаток станет равным 0, делитель на этом шаге будет являться искомым НОДом.'

'Математика A\nTR\n(1) Используя сравнения, найдите следующее:\nНайдите остаток, когда 12^{1000} делится на 11\nНайдите единицу для 13^{81}\n(2) Докажите, используя сравнения, что если целые числа a, b, c удовлетворяют a^2+b^2=c^2, то по крайней мере одно из a и b является кратным 3.'

'Разделите 5390 на натуральное число n так, чтобы остаток был равен 0, а частное было квадратом натурального числа. Найдите минимальное значение n, которое удовлетворяет этому условию.'

'Используя сравнения, найдите следующее:'

'Найдите наименьшее натуральное число, у которого 8 положительных делителей.'

''

'Факторизуйте натуральное число N, где простые множители - 3 и 5, и других простых множителей нет. Кроме того, у N ровно 6 положительных делителей. Найдите все натуральные числа N, удовлетворяющие этим условиям.'

'Объясните метод контрапозиции для доказательства и докажите следующее утверждение T, используя контрапозицию:'

'Найдите количество делителей числа 10000.'

'Найдите количество делителей числа 10000.'

'Пусть a и b - натуральные числа. Докажите следующее: (1) Если a и b взаимно просты, то a^{2} и b^{2} также взаимно просты. (2) Если a+b и ab взаимно просты, то a и b тоже взаимно просты.'

'Докажите, что для любого натурального числа a, a и a+1 являются взаимно простыми.'

''

'Умножьте 150 на двузначное натуральное число n, чтобы это был квадрат определенного натурального числа. Найдите максимальное значение n, которое удовлетворяет этому условию.'

'При одновременном броске трех костей, сколькими способами все три кости могут показывать нечетные числа?'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'Найдите количество элементов в следующих множествах в пределах натуральных чисел меньше 500:\n(1) Множество чисел, кратных 3\n(2) Множество чисел, делящихся нацело на 3, 5 и 7\n(3) Множество чисел, делящихся нацело на 3, но не на 5\n(4) Множество чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5\n(5) Множество чисел, делящихся нацело на 3, но не на 5 или 7'

'(1) Найдите количество положительных делителей числа 1800.\n\n(2) Когда натуральное число N разлагается на простые множители, его простые множители - это 3 и 5, без других простых множителей. Кроме того, у N ровно 6 положительных делителей. Найдите все такие натуральные числа N.'

'Когда ненулевые действительные числа x, y, z удовлетворяют 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, найдите значение \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Определите количество различных действительных решений уравнения x^3-3x^2-9x+k=0.'

'Пусть \ \\omega \ будет одним из мнимых решений уравнения \ x^{3}=1 \. Тогда \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1=\\square, \\omega^{100}+\\omega^{50}=\\square \.'

'Найдите общий член последовательности 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ...'

'Если ненулевые вещественные числа x, y, z удовлетворяют условию 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, найдите значение \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Найдите значение p, когда сумма несократимых дробей с простыми числами в качестве знаменателей между 1 и 10 составляет 198.'

'Используя биномиальную теорему, найдите следующие значения.'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'Рассмотрите все целые числа от 1 до 300.'

'Рассмотрим последовательность $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$, найдем общий член этой последовательности.'

''

'Существует ровно два комплексных числа z=x+yi (где x, y - вещественные числа), таких что квадрат z равен 8i. Найдите эти z.'

'Предполагая, что это геометрическая прогрессия, общий отношение равно \\frac{6}{3}=2. Если n-ый член равен 1500, то 3* 2^{n-1}=1500. Следовательно, 2^{n-1}=500, 500=2^{2}* 5^{3}, поэтому нет натурального числа n, удовлетворяющего этому уравнению. Следовательно, это не может быть геометрической прогрессией.'

'Докажите, что для всех положительных целых чисел n, 3^(3n-2)+5^(3n-1) является кратным 7.'

'Докажите, что для всех положительных целых чисел n, 3^{3n-2}+5^{3n-1} является кратным 7.'

''

'Пусть k - положительное целое число. Найдите все значения k, при которых существует ровно одно значение n, удовлетворяющее неравенству 5n^{2}-2kn+1<0.'

'Выберите правильные варианты с A по E ниже.'

'Для двух уравнений $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$ определите диапазон значений константы $a$ так, чтобы выполнялись следующие условия:\n(1) Оба уравнения имеют вещественные решения\n(2) По крайней мере, одно из них не имеет вещественных решений\n(3) Только одно из них имеет вещественные решения'

'Выразите символы и способы представления множества 44.'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'Найдите максимальное и минимальное значения выражения 2x+y, когда реальные числа x и y удовлетворяют уравнению x²+y²=2. Также определите значения x и y в этот момент.'

'Гауссов символ и график (Гауссов символ)'

'180 (1), (3)'

'Найдите диапазон значений для постоянной k, чтобы квадратное уравнение x² + (2k-1)x + (k-1)(k+3) = 0 имело действительные корни.'

'Среди трех последовательных натуральных чисел, квадрат наименьшего числа равен сумме двух других чисел. Найдите эти три числа.'

'(1) Поскольку значение слова "большой" не ясно, нельзя определить, верно ли это или нет. Следовательно, это не утверждение.'

'Найдите диапазон значений константы $a$, при которых квадратное уравнение $x^{2}+(a-3)x-a+6=0$ не имеет действительных решений.'

'Найдите количество точек пересечения между параболой y = 2x^2 + 3x - a + 1 и осью x, используя константу a.'

'Разложение на множители числа 2'

''

'Найдите решения для разложенных квадратных неравенств. Найдите решения для следующих неравенств.'

'Пожалуйста, докажите, что выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$ имеет множители.'

'Найдите условие наличия одного решения больше p и одного решения меньше p.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Перевод 17 (3) 1'

'11 (3) 0'

'Когда $k=-\x0crac{1}{2}$'

'Сумма бесконечного ряда с использованием рекуррентного отношения'

'Докажите, что \\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\).'

'По порядку, это 10 (1) 2 (2);'

'(2) Пусть l и k - взаимно простые натуральные числа. Докажите, что комплексные числа z^l, z^2l, z^3l, ..., z^kl все различны.'

''

'Математика'

'Исходя из условия победы C в соревновании, мы получаем $\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$. Поскольку $p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$, очищая знаменатель и упрощая, мы получаем $5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$. Решая это неравенство, получаем $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$. Обратите внимание, что $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$, и поскольку $6<\\sqrt{41}<7$ означает, что $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$. Следовательно, с $0<p<1$, у нас $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$. Далее, найдем натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1). Решив это неравенство, получаем $54<-10+\\sqrt{4100}<55$. Поскольку $n$ монотонно растет, наименьшее $n$, удовлетворяющее (1), это $55$. Следовательно, минимальное значение требуемого $N$ - 55.'

'В случае многочленов мы также можем использовать факторизацию для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, аналогично случаю с целыми числами.'

'Когда струна раскачивается, укорачивая ее длину вдвое, звук становится на одну октаву выше. Здесь отношение длины струн между до и более высоким до делится на 12 равных частей, образуя темперированную 12-тональную гамму. Это обычно используемая гамма.'

'Найдите остаток, когда 29^51 делится на 900.'

'Когда положительные действительные числа x, y удовлетворяют условию 9x^2 + 16y^2 = 144, максимальное значение xy составляет √.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите многочлен x такой, что при делении на x^2+1 остаток 3x+2, и при делении на x^2+x+1 остаток 2x+3, при этом минимальная степень x составляет 48.'

'Найдите все положительные целые числа n, для которых n^{n}+1 делится на 3.'

'Определите значения констант a и b так, чтобы f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 делилось на (x-1)^{2}, где n - натуральное число.'

'91 (1) 4 штуки'

'Теорема остатка и Теорема о делителе'

'169 (3) 2'

''

'Пусть \ p \ - простое число, и пусть целое число \ r \ удовлетворяет \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \. Докажите, что \ p_r \ делится на \ p \.'

'Если a, b - простые числа и уравнение 3 x^{2}-12 a x+a b=0 имеет два целых решения, найдите значения a, b и целые решения.'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ Условие для того, чтобы \ \\sqrt{d} \ было целым числом, заключается в том, что произведение \a c\ должно быть полным квадратом. Среди таких натуральных чисел \\(a, c(a>c>1)\\) наименьшим является \ a=2^{3}, c=2 \ Если выбрать\b=3\, то \d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\.'

'Если остаток от деления P(x) на (x-1)^{2} является постоянным, найдите остаток при делении P(x) на (x-1)^{2}(x+1).'

'1042'

'В квадрате на комплексной плоскости, если одна пара смежных вершин - точка 1 и точка 3+3i, найдите комплексные числа, представляющие другие две вершины.'

''

'119 (1) 3'

''

'Переведите данный текст на несколько языков.'

None

'Докажите, что для всех натуральных чисел n выполняется 2^n > n.'

'Условия действительных и чисто мнимых чисел комплексного числа z\nПусть z=a+bi (a, b - действительные числа)\n• z является действительным ⇔ z=̄z\nПоскольку ̄z=z, то a-bi=a+bi, что означает -b=b, следовательно, b=0, таким образом z=a, и z является действительным.\nРассматривая это на комплексной плоскости, точка z и точка ̄z являются двумя симметричными точками относительно вещественной оси, эти две точки совпадают только на вещественной оси, поэтому z является действительным.\n• z является чисто мнимым ⇔ ̄z=-z и z≠0\nПоскольку ̄z=-z и z≠0, то a-bi=-a-bi, что означает a=-a, следовательно a=0, следовательно z=bi, и так как z≠0, то b≠0, поэтому z является чисто мнимым.\nРассматривая это на комплексной плоскости, точка ̄z и точка -z являются двумя симметричными точками относительно мнимой оси, эти две точки совпадают только на мнимой оси, за исключением начала O, все остальные точки являются чисто мнимыми, поэтому z является чисто мнимым.'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101 (2) 4'

''

'Докажите, что для натуральных чисел n, k, удовлетворяющих 2 ≤ k ≤ n-2, биномиальный коэффициент C(n, k) > n.'

'Используя решето Эратосфена, докажите, что чисел непростые числа меньше 1000 больше 750.'

''

'Максимальное значение n находится путем вычисления количества нулей в конце 50 !, которое равно количеству простого множителя 5 при разложении 50! на простые множители. Среди натуральных чисел от 1 до 50 количество кратных 5 равно 10 (количество кратных 5^2 равно 2, поскольку 50 делится на 5^2 нацело 2 раза). Поскольку нет кратных 5^n (n ≥ 3), то количество простого множителя 5 равно 10 + 2 = 12. Таким образом, максимальное значение n, которое нужно найти, равно 12.'

'Докажите, что для любого натурального числа n, f(n) = 5^{3n} + 5^{2n} + 5^n + 1. Когда n не является кратным 4, f(n) является кратным 13.'

'Опишите шаги алгоритма Евклида и предоставьте конкретный пример, пожалуйста.'

'Если a и b взаимно простые числа, и a k является кратным b, то k также кратен b.'

'Для простого числа p найдите минимальное значение p такое, что n = p^14 и n ≥ 1900.'

'Докажите, что для любого натурального числа n, n^5 - n кратно 15.'

'О произведении последовательных целых чисел.'

'Упражнение 6 III-> Книга стр .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'Естественные числа больше 2 могут быть разложены на простые множители.'

'Пример 75 | Использование простого разложения на множители'

'Пусть p - простое число. Найдите все пары натуральных чисел (n, k), удовлетворяющие условию k ≤ n и такие, что биномиальный коэффициент C(n, k) = p.'

'Найдите все тройки простых чисел (a, b, c), где 40-a-8 и b-c-8 - простые числа.'

'Числа, больше чем 125 и кратные 5, включают 150, 155, 160, 165, 130 и т. д. Сколько раз появляется простой множитель 5 при разложении 165! на простые множители?'

'Сколько натуральных чисел от 1 до 100 делются на 2, 3 и 5? Сколько чисел делются на 2, 3 или 5? Сколько чисел делются на 2, но не на 3 или 5?'

'(2) Докажите, что среди a, b, c есть числа, не являющиеся простыми.'

'Пожалуйста, решите проблему с гауссовой нотацией и квадратными неравенствами.'

'Найдите значения натурального числа n, для которых и n, и n^{2}+2 являются простыми числами.'

"Приведите примеры составных чисел, для которых обратная формулировка Малой теоремы Ферма 'Если взаимно простое целое число a не удовлетворяет a^{p-1} ≡ 1 (mod p), то p не является простым (а составным)' верна: 9, 35."

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите делители следующих чисел. (1) 36 (2) 14 (3) 12345 кратно 3 или 9? (4) 91 и 144 являются взаимно простыми?'

'Найдите все нечетные числа a больше 423 и меньше 9999, для которых (a^2 - a) делится нацело на 10000.'

'Докажите, что составные числа всегда имеют простые числа в качестве делителей.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'В (3) (2), если убрать различие между A, B, и C, то одни и те же вещи могут комбинироваться по 3! способам каждый, поэтому 1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280 (способов)'

'Простое число p удовлетворяет условию: m² - n² = p. Докажите, что существует уникальная пара натуральных чисел (m, n), удовлетворяющая этому условию.'

'Докажите, что p - простое число, большее 3.'

'Проверьте, являются ли числа 91 и 144 взаимно простыми.'

'Найдите делители числа 36.'

'Предположим, что p - простое число, большее 3, и p + 4 также является простым числом.'

'Предположим, что a, b и c не являются кратными 5.'

'Докажите формулу для нахождения n-ого числа Каталана (число Каталана Cn). Также найдите число Каталана при n=4.'

'Докажите следующее утверждение: Если целое число n не является кратным 3, то n² также не является кратным 3.'

'Вызов принят. Решение также содержит =.'

'Пример 49 | Классификация целых чисел по остатку\nДокажите следующее:\n(1) Для любого целого числа n, n^{4}+5 n^{2} является кратным 3.\n(2) Остаток никогда не будет равен 3 при возведении целого числа в квадрат и делении на 5.'

'Найдите количество элементов в следующих множествах среди натуральных чисел, меньших 500.'

'Найдите все множители заданных чисел 25 и 36.'

'1) Посчитайте результат факториала 20, сколько раз он делится на 2.\n2) Посчитайте факториал 25, сколько нулей будет идти подряд в конце.'

'Пусть $n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$. Докажите, что $T(n)=n$, когда $2^{m}-1$ - простое число, и используйте $1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$.'

'Если ab является кратным простого числа p, то и a, и b являются кратными p.'

'Проблема делителей и кратных: Найдите количество положительных делителей натурального числа N. Когда простое разложение натурального числа N имеет вид N=p^a q^b r^c ... ..., количество положительных делителей числа N равно'

'Докажите условия существования целочисленных решений уравнения 99 1 1'

'Поскольку (3k + 1)(3k + 2) является произведением двух последовательных целых чисел, оно является кратным 2. Следовательно, его можно выразить как (3k + 1)(3k + 2) = 2l, а также (p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1). Поскольку p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4 — это пять последовательных целых чисел, одно из них кратно 5. Если предположить, что p = 5, то p + 4 = 9, что не является простым числом, что приводит к тому, что p + 4 не является простым, а следовательно p > 5, таким образом, p, p + 4 являются простыми числами больше 5, таким образом, не кратны 5. Следовательно, одно из p + 1, p + 2, p + 3 кратно 5. Следовательно, (p + 1)(p + 2)(p + 3) кратно 5. Из 2 и 3 мы можем сделать вывод, что (p + 1)(p + 2)(p + 3) кратно 24, следовательно, кратно 120.'

'Среди натуральных чисел менее 30, есть 15 кратных 2, 7 кратных 2^2, 3 кратных 2^3 и 1 кратное 2^4. Следовательно, количество простых множителей 2 в простом разложении 30! равно'

'Упражнение 15 III (→ Учебник стр. 84)'

'Найдите все простые числа $k$, для которых $k^{2}+2$ является простым числом, и докажите, что других случаев нет.'

'(1) Найдите наименьшее положительное целое число n, такое что n! / 1024 является целым числом.'

'Когда у двух пар костей есть только две одинаковые грани, единственный случай, когда произведение двух разных чисел от 1 до 6 становится квадратом, это 2^2=1×4, поэтому наборы, удовлетворяющие этому условию, - это {1,2,2} и {1,1,4},{2,2,4} и {1,4,4}, в этом случае k=4,16, что приводит к k=4,10,15,16,40,90,120'

'Среди натуральных чисел до 125 есть 25 кратных 5, 5 кратных 5^2 и 1 кратный 5^3. Следовательно, количество простого множителя 5 в простом разложении 125! равно'

'Докажите, что если два натуральных числа a и b взаимно просты, то a+b и a*b также взаимно просты.'

'Найдите все комбинации чисел от 0 до 5, где сумма их цифр является кратной 3.'

'Важный пример 82 | Доказательство иррациональности'

'Докажите, что если 49 - простое число, то $p^{4}+14$ не является простым числом.'

'Разложение на простые множители составного числа является уникальным, за исключением порядка множителей. Докажем уникальность разложения на простые множители, используя данную выше теорему. Доказательство: Предположим, что разложение на простые множители составного числа a представлено двумя разными способами.'

'Объясните метод определения, является ли целое число N простым числом. Например, проверьте, является ли 257 простым числом.'

'Для любого натурального числа n больше 2 пусть T(n) будет суммой всех положительных делителей числа n (исключая само n). Найдите значение T(120).'

'Проблема простых чисел\nПусть n - натуральное число. Докажите, что единственный случай, когда n, n+2 и n+4 являются простыми числами, это когда n=3.'

'Ключевой пример 87 | Задача на доказательство по уравнению a^2+b^2=c^2\n\nПусть a, b, c - натуральные числа, не имеющие общих множителей, кроме 1. Когда a, b, c удовлетворяют уравнению a^2+b^2=c^2, докажите следующее:\n(1) Одно из чисел a, b четное, а другое нечетное.\n(2) Если a нечетное, то b - кратно 4.\n(3) По крайней мере одно из чисел a, b - кратно 3.'

'Важный пример 83 Количество взаимно простых натуральных чисел'

Докажите следующее утверждение. (2) Если $m n$ нечетное, то и $m$, и $n$ нечетные.

Для следующих случаев (1) - (5) найдите максимальные и минимальные значения квадратичной функции $y = x^2 - 2ax + a$ на интервале $1 \leqq x \leqq 2$, предполагая, что a является константой. (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

1. Пусть минимум квадратичной функции $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ в уравнении третьей степени $41^{3} x$ равен $m$. (1) Выразите $m$ через $b$. (2) Определите максимальное значение $m$ и соответствующее значение $b$, когда $b$ изменяется.

Основное упражнение 76 Пусть z=1+i. (2) Найдите наименьшее натуральное число n, при котором z^n является чисто мнимым числом.