Продвинутая алгебра - Матрицы и операции с матрицами

'Найдите общее выражение последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, определенной следующими условиями'

"Каково основное содержание 'Линейной алгебры'?"

'Последовательность {a_{n}} определяется как a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n. Определите квадратичную функцию f(n) так, чтобы последовательность {a_{n}-f(n)} образовывала геометрическую прогрессию с общим отношением 2, и выразите a_{n} через n.'

'32'

'Упражнение 40: Решите рекуррентные формулы (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} и (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}. Исходя из начальных условий a_{1} + b_{1} = 4 и a_{1} - b_{1} = 2, найдите a_{n} и b_{n}.'

''

'Неравенство выполняется, когда 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} с равенством при \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'Пример 37 Рекуррентное соотношение между смежными 3 элементами (1)\nНайдите общий член последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, определяемой следующими условиями.\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'Для геометрической прогрессии с положительным общим отношением сумма первых 3 членов равна 21, а сумма следующих 6 членов равна 1512. Найдите первый член и сумму первых 5 членов этой прогрессии.'

'Пример 51 | Доказательство неравенства'

'Если сумма от первого до n-го члена последовательности {an} представлена как Sn = 3n(n+5), найдите общий член an.'

'Когда m=6, x=-2; когда m=10, x=-8,0; когда m=-6, x=4; когда m=-10, x=2,10'

'Найдите общий член последовательности (1).'

'Определите последовательность {a_n} следующим образом.'

"Найдите первый член арифметической прогрессии 'a' и общую разность 'd', где сумма первых 5 членов равна 20, а сумма первых 20 членов равна 140."

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующим образом: a1=-1, an+1=an+4n-1'

'Если сумма первых n членов последовательности {a_n} удовлетворяет 3 S_n = a_n + 2n - 1, ответьте на следующие вопросы:'

'Найдите первый член и общее отношение геометрической последовательности, сумма первых трех членов которой равна 6, а сумма от второго до четвертого членов равна -12.'

'Найти компоненты двух векторов. Для двух векторов \\( \\vec{a}=(2,1) \\) и \\( \\vec{b}=(4,-3) \\), определите компоненты векторов \ \\vec{x} \ и \ \\vec{y} \, удовлетворяющие условиям \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ и \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \.'

'В тетраэдре PABC пусть H будет ногой перпендикуляра из точки A на плоскость PBC, а PA=a, PB=b, PC=c.'

''

'На вечеринке с 5 участниками, где каждый человек готовит подарок, а затем проводит жеребьевку для их распределения, сколькими способами только два конкретных человека, A и B, получают свои подготовленные подарки, а оставшиеся трое получают подарки, отличные от тех, что они подготовили? Кроме того, количество способов, когда только один человек получает свой подготовленный подарок, равно .'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями.'

'Учитывая две последовательности {a_n} и {b_n}, определенные следующим образом, ответьте на следующие вопросы. a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n, (1), b_{n+1}=a_n+3b_n. (1) Найдите общий член последовательностей {a_n+b_n} и {a_n-b_n}. (2) Найдите общий член последовательностей {a_n} и {b_n}.'

'Предполагая, что прибыль за 1 кг продукции P и Q составляет один миллион иен и 3 миллиона иен соответственно. Теперь рассмотрим ежедневную прибыль. Здесь предполагается, что а - это положительное число. (i) Когда а = 1, значения x, y, максимизирующие прибыль, равны (х, у) = (ノハ, ヒф). (ii) Когда а принимает какое-либо значение, производя только продукт Q без производства продукта P можно максимизировать прибыль, и максимальная прибыль в этот момент составляет миллион иен. (iii) Достаточным и необходимым условием для того, чтобы x, y максимизировали прибыль только при (х, у) = (, Нани) является Му.'

'Глава 1 Последовательности-327'

'(1) Найдите общий член последовательности \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ и общий член последовательности \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \, где \ \\alpha \\neq \\ beta \ [Ссылка на Важный Пример 41].'

'Выведите три одновременных разностных уравнения: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ (см. важный пример 43), получив уравнения вида $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$, или вывести рекуррентные связи, касающиеся только $a_{n}$ или $b_{n}$ (рекуррентные отношения между соседними 3 элементами).'

'Сумма от первого до n-го члена последовательности {an} выражается как Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...). (1) Найдите an. (2) Докажите, что ∑(k=1)^(n) k ak кратно 3.'

'Давайте рассмотрим следующую [проблему]. Пожалуйста, найдите общий член последовательности \\\left\\{a_{n}\\right\\}\, определенной каждым условием.'

'Решите следующие системы линейных уравнений.'

'Парабола y = 2x^{2} + ax + b была параллельно смещена на 2 единицы вдоль оси x и на -3 единицы вдоль оси y, и пересеклась с параболой y = 2x^{2}. Найдите значения констант a и b.'

'Таро, спринтер в забеге на 100 м, решил сосредоточиться на вопросе (1) и обдумать лучшую длину шага и темп, чтобы улучшить свое время.'

'Учитывая, что \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \, получим следующие уравнения: \ 2 s+u=1 \ (1), \ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \. Найдите значения s, t, u и выразите \ \\vec{p} \.'

''

'Для матрицы A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right] найдите ее обратную матрицу.'

'Среди этих матриц, какие имеют одинаковый тип? Также, какие из них равны?'

'Объясните определение обратной матрицы.'

'Для матриц A, B, C, D ответьте на вопросы (1) по (3).'

'Это проблема нахождения обратной матрицы.'

'В общем, в умножении матриц коммутативный закон не действует (AB ≠ BA). Поэтому невозможно свободно манипулировать выражениями, как с полиномами. Что можно использовать безоговорочно - это ассоциативный закон (AB)C = A(BC) и дистрибутивный закон (A+B)C = AC + BC, C(A+B) = CA + CB, которые можно использовать для преобразования выражений. Для матриц A, B, где AB=BA (т. е. коммутативные), вычисления могут выполняться как в обычных выражениях.'

'Сумма бесконечного ряда с использованием рекуррентных соотношений'

'Существует ли обратная матрица для указанных матриц. Если да, найдите ее.'

'Обратная матрица\nУсловия существования обратной матрицы и ее компоненты'

'Рассмотрим последовательность {a_{n}}, определенную условиями (i)(ii).'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ Следовательно, $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ Справедливо приравнивание $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$.'

'Когда A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right), выберите две разные матрицы для умножения и вычислите результат.'

'Когда матрицы A и B удовлетворяют AB=BA, они считаются коммутативными.'

'Вычислите следующие выражения.'

'Проверьте, существует ли обратная матрица для следующих матриц. Если она существует, найдите её.'

'Перечислите три основные свойства обратной матрицы.'

'Докажите, что Δ(AB) = Δ(A)Δ(B) для матриц A и B.'

'Практика'

'Максимальное значение 9/4, когда x=y=3√3; Минимальное значение -4, когда x=81, y=1/3'

'Пусть 28n будет положительным целым числом. Пусть f(n) - количество точек решетки P(x, y, z) в пространстве xyz, удовлетворяющих следующей системе неравенств, где x, y, z - целые числа, при n стремящемся к бесконечности. Найдите предел lim_{n -> ∞} f(n)/n^3. Система неравенств выглядит так: { x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }.'

'На основе предоставленных матриц вычислите матрицу X.'

'Для треугольника ABC, обозначим скалярные произведения векторов AB, BC и CA как AB·BC=x, BC·CA=y и 320CA·AB=z. Выразите площадь треугольника ABC через x, y и z.'

'Вопрос 1, Книга с .609\n(1) A: матрица 2x2\nB: матрица 2x3\nC: матрица 3x2\nD: матрица 3x3\n(2) Вектор третьей строки - (1, -3), вектор второго столбца - \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12} = 5, \\quad a_{32} = -3, \\quad a_{33} = 2'

'Векторы \ \\vec{x}, \\vec{y} \, когда \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\), найдите \ \\vec{x} \ и \ \\vec{y} \.'

'Выразите гиперболическую функцию, проходящую через точки (-2,3) и (1,6), при условии, что прямая x=-3 служит асимптотой, в виде y=(ax+b)/(cx+d).'

''

'Математика C\n(2) $\\vec{x} + 2\\vec{y} = \\vec{a}$\n(1), $\\vec{x} - 3\\vec{y} = \\vec{b}$\nПусть (2)\nИз (1) $\\times 3 +$ (2) $\\times 2$ получаем $5\\vec{x} = 3\\vec{a} + 2\\vec{b}$\nСледовательно\n$\\vec{x} = \\frac{1}{5}(3\\vec{a} + 2\\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{3(1,1) + 2(1,3)\\} = (1, \\frac{9}{5})$\nТакже, из (1)-(2) имеем $5\\vec{y} = \\vec{a} - \\vec{b}$\nСледовательно\n$\\vec{y} = \\frac{1}{5}(\\vec{a} - \\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{(1,1) - (1,3)\\} = (0, -\\frac{2}{5})$\nРешая систему уравнений\n$x, y$\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'

'Выразите x и y через a и b, удовлетворяя условиям 2x+5y=a, 3x-2y=b.'

'Вопрос 5: Пожалуйста, решите следующее матричное уравнение.'

'Найдите угол \ \\theta \ между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \, когда \ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ и \ \\vec{a}+\\vec{b} \ перпендикулярны, а \ \\vec{a} \ и \ \\vec{a}-\\vec{b} \ перпендикулярны.'

''

''

'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { Следовательно } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) Следовательно \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'Используя рекуррентное уравнение для определения количества случаев.'

'Для каждого из следующих случаев определите, есть ли стратегия победы для игрока A или B.'

'Решите следующую систему уравнений.'

Выполните следующие вычисления. (1) 3 ec{a}+2 ec{a} (2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \) (3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \) (4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \) (5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)

Пусть \(ec{a}=(2,3,1), ec{b}=(2,5,0), ec{c}=(3,1,1)\), выразите \(ec{p}=(5,10,-1)\) в виде s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} с использованием подходящих действительных чисел $s, t, u$.