Продвинутая алгебра - Экспоненциальные и логарифмические функции

'Решите следующее уравнение:'

'Математика II'

'(3) (2) от $M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\nСледовательно, из $d_{n}=2^{M_{n}}$ получаем d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nЗначит, $\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$ (константа).\nСледовательно, последовательность $\\left\\{d_{n}\\right\\}$ является геометрической прогрессией с первым членом $d_{1}=a$ и общим отношением $r^{\\frac{1}{4}}$.'

'Какие были достижения Джона Непира (1550-1617 годы)?'

'(1) Пусть $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$, тогда $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { и } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { Теперь } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { поэтому } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'Таблица общих логарифмов: Таблица логарифмов с основанием 10.'

'Найдите сумму следующего ряда. Учитывая n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'Учитывая, что сумма первых 8 членов геометрической прогрессии равна 54, а сумма первых 16 членов равна 63, найдите сумму членов с 17 по 24 этой геометрической прогрессии.'

'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'Упражнение: пусть log_{2} x=t, где 1≤x≤8 соответствует 0≤t≤3. Также log_{1/2} x=-log_{2} x=-t. Определите y=t^{2}-2 t+3 как функцию от t. Найдите максимальное и минимальное значения y в пределах 0≤t≤3.'

'Глава 7 Показательные и логарифмические функции-147'

'Если \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \, выражение \ \\log_{15} 8 \ через \ a \ и \ b \.'

'Экспоненциальная функция и логарифмическая функция'

''

'Экспоненциальная функция'

'Найдите значение логарифма.'

'Докажите, что если 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1, то по крайней мере одно из x, y или z должно быть равно 1.'

'Подтверждение условий логарифмических уравнений и вещественных чисел'

'Найдите следующие значения.'

'Найдите общий член рекуррентного соотношения $a_{n+1}=3a_n+2n-1$.'

'Если вы внесете 1 миллион иен с годовой процентной ставкой 1%, капитализируемой ежегодно, через сколько лет общая сумма впервые превысит 1,1 миллиона иен? Можно использовать таблицу общего логарифма.'

'Вот два примера, где используется бесконечная геометрическая прогрессия: 1. Троение квадрата Разделите квадратный лист бумаги с площадью 1 на четыре равные части в виде креста и распределите одну для каждого для A, B и C. Разделите оставшуюся часть на четыре равные части снова и распределите одну для каждого для A, B и C. Повторяйте этот процесс бесконечно, общая площадь бумаги, полученной A, B и C, может быть выражена в виде следующей бесконечной геометрической прогрессии ∑(1/4)^n (от n=1 до ∞). Найдите сумму этой бесконечной геометрической прогрессии.'

'Чтобы последовательность $\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$ сходилась, определите диапазон действительных значений для $x$. Также найдите предел последовательности в этот момент.'

'(1) Убрать A, B из уравнения y=A \\sin x + B \\cos x -1, чтобы получить дифференциальное уравнение ③ 213.'

'Для мяча, запущенного вертикально с определенной скоростью, пусть h метров будет высотой над землей через x секунд после пуска. Когда значение h задано h=-5x²+40x, в каком диапазоне значений x мяч находится на высоте от 35м до 65м от поверхности земли?'

''

'Для последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ предполагается, что сумма от начального члена \ p a_{1} \ до n-го члена \ p^{n} a_{n} \ последовательности \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ равна \ q^{n} \. Где \ p \\neq 0 \.\n(1) Найти \ a_{n} \.\n(2) Найти \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \.'

"(3) Пусть y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1, тогда y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 больше 0 для всех действительных чисел, что означает, что y возрастает. Следовательно, уравнение x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 имеет 1 вещественный корень."

'(2) Пусть \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \. Найдите \ \\log _{12} 7 \ через \a, b\.'

'Докажите следующие уравнения:'

'Решите следующие уравнения и неравенства, где a - положительная константа, не равная 1.'

'Решите следующие неравенства.'

'При 1 < a < b < a^{2} упорядочить: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1 в порядке возрастания.'

'Ответьте на следующие вопросы о свойствах логарифмических функций.'

'Для комплексного числа z функция e^z определяется заменой 11 на x в выражении'

"Упражнение 67 |II| Книга стр.558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) Полярное уравнение r=θ(θ≧0) дает x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ где dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ Следовательно, таблица возрастающих и убывающих значений x, y относительно θ имеет следующий вид. θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ локальный максимум ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ локальный максимум ↘ Однако \\cos α−α sin α=0 - это условие для проверки \\sin β+β\\cos β=0"

'Следовательно, найдите координаты точки Q.'

'Использование теоремы о промежуточном значении\n(1) Докажите, что уравнение \\( 3^{x}=2(x+1) \\) имеет хотя бы одно действительное решение в диапазоне \ 1<x<2 \.\n(2) Пусть \\( f(x), g(x) \\) - непрерывные функции на интервале \ [a, b] \. Если \\( f(a)>g(a) \\) и \\( f(b)<g(b) \\), покажите, что уравнение \\( f(x)=g(x) \\) имеет хотя бы одно действительное решение в диапазоне \ a<x<b \.'

'Пожалуйста, переведите данный текст на несколько языков.'

'В главе 2 допустим, что есть константы a, b такие, что 100<a<b. Определим x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...). Найдите (1) Докажите неравенство b^n < a(x_n)^n < 2b^n. (2) Найдите предел lim n->∞ x_n.'

'Уравнение 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3, x=0\\right)\\)'

'Выразите размер каждого набора чисел, используя символы неравенства.'

'Упростите следующие выражения.'

'31 Логарифмические функции'

''

'Значения выражений, включающих как экспоненциальные, так и логарифмические функции'

'Общий логарифм, используемый в повседневной жизни'

'Пределы последовательностей (5) ... с использованием теоремы о стягивании и биномиальной теоремы'

'Пусть fn(x) = (log x)^n (где n - целое число больше или равное 3). Здесь log x - натуральный логарифм. Когда кривая y = fn(x) имеет точку перегиба (x_0, 8), найдите значения n и x_0, и нарисуйте общий вид кривой (включая выпуклость). [Университет развития карьеры]'

'Докажите, что уравнение 3^x=2(x+1) имеет по меньшей мере одно действительное решение в диапазоне 1<x<2.'

'Практика: пусть n будет натуральным числом больше или равным 2.'

'(2) Разойтись'

'Пусть n - натуральное число. Покажите, что n-я производная f^{(n)}(x) функции f(x)=x^{2} e^{x} может быть выражена как f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}, где a_{n} - это константа, и найдите значение a_{n}.'

'Найдите значения констант a и b так, чтобы y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x) и y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x были верными.'

'Бросьте n шаров в 2n коробки. Предположим, что каждый шар будет помещен в одну из коробок с равной вероятностью. Пусть p_{n} - вероятность того, что в каждой коробке будет не более 1 шара. Найдите предел \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \.'

''

None

'Вычислите количество цифр числа 3^n для натурального числа n и найдите его предел.'

'Даны постоянные \ a, b \ такие, что \ 0 < a < b \. Обозначим \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\). Докажем (1) неравенство \\( b^{n} < a\\left(x_{n}\\right)^{n} < 2b^{n} \\). (2) Найдем \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \.'

'Переведите данный текст задачи 309 по математике с японского на русский'

'102 (У) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'

''

'(3) лог 2'

'(1) Пусть a - ненулевая константа. Для x≥0 найдите f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1).'

'Исследуйте сходимость и расходимость следующих бесконечных геометрических рядов и найдите сумму, если ряд сходится.'

''

'91 квадратный корень из 3 умножить на пи'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'О числе e'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime}=e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime}=3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=9 e^{3 x} \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime}=9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'Докажите, что уравнение 3^x = 2(x+1) имеет хотя бы одно действительное решение в диапазоне 1<x<2.'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'Создайте контейнер PR. Налейте воду аккуратно в этот контейнер со скоростью a на единицу времени. Пусть V представляет объем воды, когда высота воды составляет h, радиус воды - r, площадь воды - S, а объем воды - V после времени t с момента начала налива. (1) Выразите V. (2) Выразите скорости изменения dh/dt, dr/dt, dS/dt h, r, S относительно времени t, используя a и h.'