Продвинутая алгебра - Комплексные числа и комплексная плоскость

''

'Если уравнение n-ой степени с рациональными коэффициентами имеет p+q√r в качестве решения, объясните другое решение и продемонстрируйте его свойства.'

'Найдите комплексное число z, такое что его квадрат равен 3+4i.'

'Невозможно определить, отличается ли средний балл учеников средней школы от среднего балла по муниципалитету'

'При делении x^{2025} на x^{2}+1, пусть частное будет Q(x), а остаток a x + b (a, b - действительные числа); тогда x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b. Подставив x=i в обе стороны, получаем i^{2025} = a i + b. Здесь, i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i. Поэтому, i = a i + b. Поскольку a и b - действительные числа, то a=1, b=0. Следовательно, требуемый остаток - x.'

'Пожалуйста, укажите номера страниц для терминов, связанных с комплексными числами.'

''

'Найдите значение следующего выражения.'

'Когда a < 1 / 4, M = -3a + b + 1, когда 1 / 4 ≤ a < 1, M = 2a√a + b, когда a ≥ 1, M = 3a + b - 1'

'Целые числа a, b удовлетворяют уравнению (a+bi)^{3}=-16+16i. Здесь i - мнимая единица.\n(2) Найдите значение выражения i/(a+bi)- (1+5i)/4.'

'Найдите условия для того, чтобы функция имела экстремальные значения и диапазон значений для того, чтобы функция не имела экстремальных значений'

'Пример 19 | Дискриминант уравнений второй степени (2)'

'Есть по 3 монеты по 100 иен и 3 монеты по 50 иен, всего 6 монет, и кубик. Когда эти 6 монет и 1 кубик брошены одновременно, приз получается умножением абсолютного значения произведения общей суммы монет, показывающих орла, и результата кубика n минус 2. Например, если все 6 монет показывают орла, а на кубике выпадает 6, общая сумма монет, показывающих орла, составляет 450 иен, умноженные на 4, что приводит к получению 1800 иен в качестве приза.'

'Найдите значение данного уравнения при \ x=1+\\sqrt{2} i \: \\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'Выразите следующие вычисления в форме a+bi.\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'Для комплексного числа z найдите все комплексные числа z такие, что z^2 = i.'

'Определите последовательность {a_n} как {a_1=3, a_{n+1}=(a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3, ...)}'

'Основы 35: Деление комплексных чисел'

'Определите последовательность {a_n} следующим образом. Пусть a_1 = 2. Для любого натурального числа n координата x точки пересечения прямой, проходящей через (0,1), (a_n,0) и прямую y = x, обозначается как a_{n+1}.'

'(1) Найдите значения вещественных чисел \ x, y \, которые удовлетворяют уравнению \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\).'

'Учитывая значения 26 x -1/2 и 2/3, решите уравнение'

'Пример 1 Доказательство неравенства'

'В математике, действительные числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений {x+y+z=-1, x^2+y^2+z^2=7, x^3+y^3+z^3=-1} 1). В это время xy+yz+zx=⧁, xyz=1. Следовательно, система уравнений (1) имеет ⧁ наборов решений, среди которых x<y<z является (x, y, z)=1.'

''

'Базовый 34: Сопряженные комплексные числа и их сумма/произведение'

'Найдите общий член последовательности {an}, определяемый следующими условиями.'

'Определите диапазон значений константы k, которые удовлетворяют следующим условиям: (1) Функция f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 имеет критические точки. (2) Функция f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 не имеет критических точек.'

'Найдите сумму и произведение каждого из следующих чисел и его комплексно-сопряженного числа.'

'Найдите комплексные числа, представляющие точку, разделяющую отрезок, соединяющий две точки A(α) и B(β) внутренне в отношении m:n и внешне.'

''

'Когда комплексное число z удовлетворяет уравнению z+1/z=√2, найдите значение выражения z^20+1/z^20.'

'Пусть 3 α не является вещественным числом, а является комплексным числом, а β - положительным вещественным числом.\n(1) На комплексной плоскости пусть C будет множеством комплексных чисел z, удовлетворяющих соотношению α*conj(z) + conj(α)*z = |z|^2. Покажите, что C является окружностью, проходящей через начало координат.'

'Примитивные 6-е корни из 1. Например, в случае n=6 мы ищем решения z^6 = 1, которые становятся примитивными 6-ыми корнями. Решения для z^6 = 1 являются шестью значениями z_0, z_1, ..., z_5 в соответствии с ответом к базовому примеру 105 на странице 528.'

'Рассмотрим последовательность комплексных чисел \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \.'

'Переведите данный вопрос на несколько языков.'

'Преобразование из z в w, представленное следующим уравнением, называется преобразованием первого порядка дроби (или преобразованием Мёбиуса).'

'В нашей повседневной жизни переменный ток широко используется. При расчетах переменных токовых цепей иногда используются комплексные числа и дифференциальные уравнения, так что давайте рассмотрим некоторые из них. Обратите внимание, что представленный ниже контент включает темы университетского уровня, поэтому достаточно грубое понимание.'

'Решите уравнение z^6=1, используя полярную форму.'

'Для последовательности {a_{n}}, где a_{1}=3 и a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1}.'

'На комплексной плоскости имеются 4 точки A(2+4i), B(z), C(сопряженное к z), D(2z). Найдите значение комплексного числа z, когда четырехугольник ABCD является параллелограммом.'

'На комплексной плоскости, для 3 точек A(1+i), B(3+4i), C, когда треугольник ABC является равносторонним, найдите комплексное число z, представляющее точку C.'

'Пусть z - комплексное число. Докажите, что |z|=1, когда z+1/z - это вещественное число. Также найдите все комплексные числа z, при которых z+1/z является натуральным числом.'

'Когда два квадратных уравнения $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ и $x^{2}-2 m x-m=0$ имеют только одно общее решение, значение $m$ равно $\\qquad$, а общее решение равно $x=$ $\\square$.'

'Есть 12 лотерейных билетов, среди которых n выигрышных билетов (0 ≤ n ≤ 12). Когда из этих билетов берут ^3161 билет, выигрышные билеты получают 3 очка, а проигрышные -1 очко. Найдите диапазон значений n, при котором ожидаемое количество очков больше или равно 1.'

'Определите значение постоянной c так, чтобы минимальное значение функции f(x)=-x^{2}+4x+c было равно -50 в диапазоне (-4 ≤ x ≤ 4).'

'Для комплексного числа \\\alpha=a+bi\ и его сопряженного комплексного числа \\\overline{\\alpha}=a-bi\ справедливы следующие свойства.'

''

'Последовательность {an} определяется как a1=2, an+1=3an-n²+2n. Рассмотрим квадратичную функцию g(n), чтобы последовательность {an}-g(n) была геометрической прогрессией с общим коэффициентом 3, выразите an через n.'

'Найдите диапазон значений c, при которых уравнение x^3-6x+c=0 имеет два различных положительных решения и одно отрицательное решение.'

'Пусть i будет мнимой единицей, x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i. Пусть y будет сопряженным к x. Найдите следующие значения.'

'Пусть сумма от первого до n-го членов геометрической прогрессии с положительным общим отношением равна Sn. Если S2n=2 и S4n=164, найдите значение Sn.'

'Последовательность {an} определена как a1=2 и формула рекурсии an+1=2-an/(2an-1).'

'Пусть i будет мнимой единицей, а x=√3+√7i. Пусть y будет комплексно-сопряженным числом x. Найдите следующие значения.'

''

'Поскольку соотношение двух решений составляет 3:2, найдите эти два решения.'

'Найдите диапазон действительных чисел a, для которых хотя бы одно из уравнений имеет комплексные корни'

'Существует ровно два комплексных числа z=x+yi (x, y - действительные числа), таких что его квадрат равен i. Найдите эти z.'

''

'Касательно логарифмических шкал (1), (2), при фокусировке на противоположных шкалах a и c, а также b и d, отношение a/c = b/d всегда остаётся верным, что показывает, что соотношение противоположных шкал постоянно. Кроме того, рассматривая логарифмическую шкалу (3), отношение cf = de всегда остаётся верным.'

'Найдите условия, при которых можно провести три различных касательные от точки \\((a, b)\\) к кривой \y=x^{3}-x\, и проиллюстрируйте диапазон точек \\((a, b)\\) удовлетворяющих этому условию. [Кансайский университет]'

'Рекуррентная формула a_{n+1}=2 a_{n}-n с предыдущей страницы, кажется, не подходит ни к одному из трех основных шаблонов так, как она есть. Даже если мы заменим a_{n+1} и a_{n} на α и рассмотрим характеристическое уравнение α=2α-n, мы все равно получим α=n, не сможем продолжить как в Базовом примере 30. Поэтому давайте внимательно рассмотрим ответ слева.'

'Найдите общий член последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, определенной следующими условиями.'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'Пожалуйста, найдите решение для x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).'

'Какое уравнение параболы получится при переводе параболы y=1/2 x^2 таким образом, что она проходит через точку (1,5) и её вершина находится на прямой y=-x+2?'

'Когда точка z движется по кругу с центром в начале координат O и радиусом 2, какую форму нарисует точка w = \\frac{2z-i}{z+i}?'

'Объясните, как обрабатывать вектор позиции, соответствующий сложению комплексных чисел α + β в комплексной плоскости.'

'Найдите комплексное число, представляющее точку, полученную поворотом точки 2+2i вокруг точки i для следующих углов.'

'Я хотел бы подвести итог, какое геометрическое движение представляют вычисления комплексных чисел.'

'Комплексная плоскость'

''

'Решите уравнение z^6=1.'

'Для точек A(-1+i) и B(3+4i), найти (2) середину M отрезка AB.'

'Пример 90 | Форма треугольника (3)'

'Найдите сумму и разность комплексных чисел α=3+4i и β=1+2i, и постройте точки, которые они представляют на комплексной плоскости.'

'Когда комплексное число z удовлетворяет |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, изобразите диапазон движения точки z на комплексной плоскости.'

'Когда у (*) есть два мнимых решения, являющихся сопряженными друг к другу, обозначаемых как $z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma$ мнимый)$,$ мы можем определить из соотношения между решениями и коэффициентами, что $\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a$ и $\\gamma \\overline{\\gamma}=b$, что означает $a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$. В этом случае $D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$, и поскольку $\\gamma-\\overline{\\gamma}$ является чисто мнимым, мы всегда имеем $D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$. Объединяя $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$, получаем $|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$, или эквивалентно, $\\left.\\left\\lvert\\,(Действительная часть$\\gamma)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$. Следовательно, диапазон возможных значений мнимого решения z для (*) это $\\left.\\left\\lvert\\,(Действительная часть$z)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$.'

'Когда точка z на комплексной плоскости движется по окружности, исключая точку -1 из единичного круга, какую форму рисует точка w, представленная как w=\\frac{2z+1}{z+1}?'

'В этой главе мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Далее давайте представим комплексные числа как точки на плоскости координат и познакомимся с геометрическим значением комплексных чисел. Конкретно, мы рассмотрим геометрическую интерпретацию суммы, разности, абсолютного значения и сопряженного комплексного числа, а также узнаем о полярной форме для умножения и деления комплексных чисел, и исследуем различные фигуры на комплексной плоскости.'

'Исходя из результата (1), условие существования комплексного числа z, удовлетворяющего (2), является α≤-2, -1≤α. Таким образом, из |α|≤2 следует α=-2, -1≤α≤2.'

'Здесь все символы считаются комплексными числами. Преобразование из z, представленного в уравнении, в w называется преобразованием дроби первого порядка.'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Угол 𝜃 должен удовлетворять условию 0 ≤ 𝜃 < 2π.'

'Для комплексного числа z, отличного от -1, когда комплексное число w определяется как w= z/z+1, найдите форму, следуемую w по мере движения z вдоль мнимой оси. Также найдите форму, следуемую w по мере движения z на окружности |z-1|=1 в комплексной плоскости.'

'Когда точки O(0), A(3+4i), B(1+2i) не являются коллинеарными, и результат сложения обозначается как C(α+β), каким будет четырехугольник OACB?'

'На комплексной плоскости, если точка P(z) и точка Q(w) являются симметричными относительно прямой, проходящей через начало координат O и точку A(α) (α ≠ 0), то выразите w через α и z.'

'(2) Для комплексного числа $z$, не являющегося действительным числом, докажите, что $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ является чисто мнимым числом.'

'Докажите, что для любого комплексного числа z выражение z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z является действительным числом.'

''

'Выразите сопряженное комплексное число z в полярной форме.'

'Для функции f(x)=(x+1)/(x^2+2x+a) найдите диапазон значений для константы a, удовлетворяющий следующим условиям:'

'Пусть \ z \ - ненулевое комплексное число. 85 (1) Если представить \ z \ как число с абсолютным значением \ r \ и аргументом \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\), то найти значения \ r \ и \ \\theta \, при которых \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ является действительным числом.'

'Умножение комплексных чисел и поворот (2)'

'Задача 12 касается обоснованности метода Ньютона для нахождения действительных решений (приближенных значений) уравнения f(x)=0, когда f(x) является выпуклой функцией.'

'(2) На комплексной плоскости, для точек \\alpha, \eta, показать следующие точки: (a) \\alpha+\eta (b) \\alpha-\eta (c) 2\\alpha+\eta (d) -(2\\alpha+\eta)'

'Выразите комплексное число z=a+bi в полярной форме.'

'Умножение комплексных чисел и вращение (2)\n(1) Для двух точек z=3+i, w=2-i найдите комплексное число, представляющее точку, полученную путем вращения z вокруг центра w на угол π/6.'

'(1) Пусть комплексное число z задано в виде z=r(cosθ+isinθ), где r - положительное действительное число, а θ - действительное число. Докажите необходимые и достаточные условия для одновременной сходимости последовательностей {xn} и {yn} к 0.'

'Предполагая, что уравнение (1) имеет комплексное решение со значением модуля 1, z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta, тогда из (2) получаем'

'Для точек A(-1+i) и B(3+4i) найдите комплексное число, представляющее следующую точку: точку P, которая делит отрезок AB в пропорции 2:1'

'Для треугольника ABC с вершинами в точках A(α), B(β) и C(γ) на комплексной плоскости, если уравнение 903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα выполняется, то каким является треугольник ABC?'

'Покажите условия, при которых комплексное число z или z1, z2, z3, z4 находится на единичной окружности.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Объясните геометрический смысл произведения комплексных чисел.'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'На комплексной плоскости пусть комплексные числа, представляющие вершины треугольника, будут 0, α, β для O, A, B соответственно.'

'На комплексной плоскости найдите точку, представленную комплексным числом α=3+4i, и найдите точку, представленную комплексным числом, полученным умножением его на -2.'

'В этой главе》 В Математике I мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. В этой главе мы узнаем, как комплексные числа представляются в виде точек на комплексной плоскости и геометрические значения суммы, разности, абсолютного значения и сопряженных комплексных чисел. Кроме того, для рассмотрения произведения и частного комплексных чисел мы изучим геометрическое представление комплексных чисел на комплексной плоскости в полярной форме и изучим различные формы на комплексной плоскости.'

'Умножение комплексных чисел и вращение (2)\n(1) Для двух точек z=3+i и w=2-i найдите комплексное число, представляющее точку z, повернутую по часовой стрелке на π/6 вокруг центра точки w.\n(2) Когда комплексное число, представляющее точку 3-2i после вращения вокруг центра 1+i на угол θ (0 ≤ θ < 2π), равно (4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2, найдите значение θ.'

''

'В каком случае комплексное число z имеет неопределенный аргумент?'

'Следовательно, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$, следовательно $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'Вычислите следующие выражения.'

'Выразите следующие комплексные числа z в полярной форме. Обратите внимание, что аргумент θ находится в диапазоне 0≤θ<2π.'

'Для треугольника ABC с вершинами в 3 точках A(α), B(β) и C(γ) на комплексной плоскости, каким будет треугольник ABC, когда выполняются следующие уравнения?\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

''

'Пусть n будет натуральным числом больше или равным 2, а i будет мнимой единицей.'

'Найдите частное комплексного числа \\\frac{c+d i}{a+b i}\.'

'Комплексное число'

'Докажите, что если у уравнения n-й степени с рациональными коэффициентами есть решение p+q√r, то другое решение - p-q√r.'

'Пожалуйста, выполните арифметические операции с комплексными числами и вычислите квадратный корень отрицательных чисел.'

'Глава 2 Комплексные числа и уравнения Справка Поиск решений квадратных уравнений с комплексными коэффициентами'

'Пусть k - это вещественная константа, i=√-1 - мнимая единица. Найдите значение k, когда уравнение (1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0 имеет исключительно мнимые корни.'

'Практика\nПусть k - это вещественная константа, а i - мнимая единица √(-1). Найдите значение k, когда квадратное уравнение x, (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0, имеет чисто мнимые корни.'

'Если ω является одним из решений уравнения x^2+x+1=0, а α - другим решением, то, исходя из отношения между решениями и коэффициентами, у нас есть ω+α=-1...(1) и ω*α=1.'

'Найдите максимальное и минимальное значения BC² при следующих условиях: Условия: если \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \, то \ \\cos \\theta < 0 \'

'Найдите значение выражения x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 при x = (1 - √3i)/2.'

'Есть бесконечная геометрическая прогрессия с вещественными числами в качестве первого члена и общего отношения, сумма которой равна 3. Ещё есть бесконечная геометрическая прогрессия, где каждый член является кубом соответствующего члена в первой прогрессии, и сумма равна 6. Найдите общее отношение первой прогрессии.'

'Решите уравнение z^6=1, используя полярную форму.'

'На комплексной плоскости, пусть вершины треугольника O, A, B будут представлены комплексными числами 0, α и β'

None

'На комплексной плоскости пусть точка A представляет собой 6, точка B представляет собой 7+7i. Кроме того, для положительного действительного числа t пусть точка P представляет собой \\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7)\\.'

'n-ые корни из 1\nn-ые корни из 1 (т.е. решения уравнения z^n=1) представлены следующими n комплексными числами.\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'Рассмотрим функцию комплексного числа z, f(z)=z+1/z. Когда z удовлетворяет условию 1/3<=|z|<=2 и 0<=arg z<=π/4, найдите максимальное и минимальное значения для действительной части f(z).'

'Для комплексного числа z = cos(2/7π) + i sin(2/7π) найдите значение (4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6. Также найдите значение (1) 1/(1-z) + 1/(1-z^6). Если t=(z^2+1)/z, то докажите, что t является вещественным числом и покажите, что t является корнем кубического уравнения t^3+⏋⎹t^2-1␍t-ウ␍.'

'Для трех точек A(α), B(β), C(γ) на комплексной плоскости\n(1) Когда α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i, найдите размер угла ∠ABC.\n(2) Когда α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a - это вещественное число), если a=⬜, то точки A, B, C коллинеарны; если a=1⬜, то AB⊥AC.'

''

'Практика вычисления следующих выражений.'

'Покажите вычисление выражения комплексного числа z в полярной форме с использованием теоремы де Муавр на комплексной плоскости.'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Предположим, что аргумент θ удовлетворяет условию 0 ≤ θ < 2π. (1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'Практика'

'Пусть α - комплексное число со значением 1. При каких условиях на z выражение (α+z)/(1+αz) будет действительным числом?'

'Предположим, что два комплексных числа можно представить как \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \ , где аргументы таковы, что \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \. (1) Выразите \ \\alpha+1 \ в полярной форме, при условии, что аргумент \ \\theta \ удовлетворяет \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \. (2) Покажите, что \ \eta=-\\alpha \ справедливо, когда действительная часть \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ равна 0.'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Предположим, что аргумент тета находится между 0 и 2π.'

'(A) Выразите α и β в полярной форме: α = cos(θ1) + i sin(θ1), β = cos(θ2) + i sin(θ2), где 0 < θ1 < π < θ2 < 2π.'

'Найдите значение z, когда комплексное число z удовлетворяет arg z = π/4 и |(z+i)/(1+2i)| = 1.'

'Проблема, касающаяся уравнения окружности в комплексной плоскости. Для уравнения, представляющего окружность |z-α|=r, возводя его в квадрат, получаем |z-α|^{2}=r^{2}, что при раскрытии приводит к z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0. Данное уравнение включает в себя вещественные числа, поэтому требуется рассмотрение геометрического представления.\nДалее, используя вещественные числа a, c и комплексное число β, мы исследуем, какую форму представляет уравнение a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0.\nСлучай 1: Когда α ≠ 0, |β|^{2}>a c, и a ≠ 0, данное уравнение представляет собой окружность с центром в -β/a и радиусом |β|^{2}-a c|a.\nСлучай 2: Когда a = 0 и \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0, уравнение представляет собой уравнение прямой A x + B y + c = 0 (интерпретируя комплексное число β как p + qi). Линия B перпендикулярна линии, соединяющей две точки (0, β) (см. строку 261).'

'Когда три различные точки A(α), B(β), C(γ) удовлетворяют следующим условиям, найдите меры трех углов треугольника ABC.'

'Предположим, что существуют три различных комплексных числа α, β, γ, для которых выполняется уравнение α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3).'

''

'Найдите комплексное число z, представляющее вершину C равностороннего треугольника ABC с отрезком AB как одной стороной на комплексной плоскости с точками A (-1+i) и B (√3-1+2i).'

'Найдите комплексное число, представляющее центроид треугольника ABC с вершинами A(α), B(β) и C(γ).'

'Найдите комплексное число z, представляющее вершину C равностороннего треугольника ABC с отрезком AB в качестве одной стороны, где A(-1 + i) и B(√3-1 + 2i) - две точки на комплексной плоскости.'

''

''

'Докажите, что все решения уравнения zⁿ = α могут быть даны как α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀.'

'Предположим, что между тремя различными комплексными числами α, β, γ выполняется уравнение α³ - 3α²β + 3αβ² - β³ = 8(β³ - 3β²γ + 3βγ² - γ³).'

'Выразите следующие комплексные числа в полярной форме. Предполагается, что аргумент θ удовлетворяет 0 ≤ θ < 2π.'

'Для точек A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i) найдите комплексные числа, представляющие следующие точки:\n(1) Точка P, разделяющая отрезок AB в соотношении 3:2\n(2) Точка Q, разделяющая отрезок AC внешне в соотношении 2:1\n(3) Середина отрезка AC точка M\n(4) Вершина D параллелограмма ABCD\n(5) Центроид G треугольника ABC'

'На комплексной плоскости есть три точки O(0), A(-1+3i) и B. Когда △OAB является прямоугольным равнобедренным треугольником, найдите комплексное число z, представляющее точку B.'

'Абсолютное значение'

'Вычислите следующие выражения.'

'Для ненулевого комплексного числа d, какую форму представляет уравнение dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1) в комплексной плоскости?'

'Упражнение'

'Пусть a - положительное действительное число, w=a(cos(π/36) + i sin(π/36)). Определите последовательность комплексных чисел {z_n}, z_1 = w, z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...). (1) Найдите аргумент z_n.'

'Когда комплексное число z удовлетворяет уравнению z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i, используйте свойства сопряженных комплексных чисел, чтобы найти z.'

'Пусть α и β будут комплексными числами. (1) Когда |α|=|β|=1 и α-β+1=0, найдите значения αβ и α/β+β/α. (2) Когда |α|=|β|=|α-β|=1, найдите значение |2β-α|.'

'Решите следующие выражения.'

'На комплексной плоскости комплексное число α = a + bi соответствует точке (a, b) на координатной плоскости. Эту плоскость называют комплексной плоскостью. Так, на какую точку на комплексной плоскости соответствует комплексное число α = 3 + 4i?'

'Когда комплексное число z удовлетворяет условию 3z + 2\x08ar{z} = 10 - 3i, найдите z, используя свойства сопряженных комплексных чисел.'

'Рассмотрим последовательность комплексных чисел, заданную следующим соотношением: z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n=1,2, ...). Здесь i - это мнимая единица. (1) Найдите z_2, z_3. (2) Выразите вышеприведенное рекуррентное соотношение как z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α) и найдите комплексное число α. (3) Найдите общий член z_n. (4) Найдите все натуральные числа n, для которых z_n = -(1 - √3 i)/2 выполняется.'

'Найдите произведение αβ и частное α/β следующих комплексных чисел.'

'На комплексной плоскости, 2 точки A(α), B(β) соединены отрезком AB, который делит в пропорции m:n. Точка, делящая внутри пропорции m:n, - C(γ), а снаружи - D(δ).'

'Умножьте комплексное число с абсолютным значением 2 и аргументом π/3 на z.'

'Найдите комплексное число w2, полученное путем поворота точки z = 4 - 2i на π/3 радиан против часовой стрелки вокруг начала координат и масштабирования расстояния от начала координат на 1/2.'

'Найдите комплексное число z, удовлетворяющее |z|=5 и |z+5|=2√5, затем вычислите следующие значения. 31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'В этой главе мы узнаем о том, как комплексные числа представляются точками на комплексной плоскости, а также геометрическом значении сложения, вычитания, модуля и сопряженных комплексных чисел. Кроме того, мы изучаем полярную форму, геометрическое представление комплексных чисел и изучаем различные формы на комплексной плоскости.'

'Когда комплексное число z удовлетворяет |z-3-4i|=2, найдите максимальное значение |z| и соответствующее значение z.'

'Докажите, что для любого натурального числа \ n \ неравенство \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \ выполняется.'

'Докажите, что для двух различных прямых l и m на комплексной плоскости, не проходящих через начало координат, точки на прямой l всегда удовлетворяют уравнению α z + ᾱ z = |α|².'

'Предположим, что точка z на комплексной плоскости лежит на единичной окружности. Покажите, что z можно представить в виде z = e^(iθ).'

''

'Докажите, что для комплексного числа z, где z^3 не является действительным числом, z^3 - (сопряженное z)^3 является чисто мнимым.'

''

'Докажите, что неравенство |(α-β)/(1-αβ)|<1 выполняется для комплексных чисел α, β с абсолютным значением меньше 1.'

'В комплексной плоскости, представляя точки как -1+2i, 3+i. Если мы рассмотрим отрезок AB как одну сторону, найдите комплексное представление вершин C, D квадрата ABCD.'

'Докажите, что если у уравнения четвертой степени ax^4+bx^2+c=0 есть комплексное решение α, то сопряженное к α также является решением этого уравнения.'

'Пусть i - мнимая единица, k - действительное число. Пусть α=-1+i, точка z движется на комплексной плоскости вдоль единичной окружности с центром в начале координат.'

''

''

'Выразите следующее комплексное число в полярной форме, где аргумент θ удовлетворяет условию 0 ≤ θ < 2π. 1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π).'

'Упражнение: На комплексной плоскости пусть комплексные числа a, b, c представляют точки A, B, C соответственно, где точки не лежат на одной прямой. Рассмотрим α, β, γ как константы, выразите β/α и γ/α через комплексные числа a, b, c и их сопряженные a, b, c, когда комплексное число z удовлетворяет уравнению αz+βz+γ=0, представляя следующие фигуры: (1) Прямая AB (2) Прямая, проходящая через точку C и перпендикулярная прямой AB'

''

'Базовый вопрос 106 Форма треугольника (1) Для треугольника ABC с вершинами A(α), B(β) и C(γ) на комплексной плоскости, если уравнение β-α=(1+√3i)(γ-α) верно, найдите размеры трех внутренних углов треугольника ABC.'

'Пусть α - комплексное число с модулем, равным 1. При каких комплексных числах z выражение (α+z)/(1+αz) становится действительным числом?'

'В комплексной плоскости с началом в точке O, пусть точки, представляющие комплексные числа α, β, будут обозначены как A, B соответственно. Где α ≠ 0, β ≠ 0. Выберите два из следующих уравнений, которые гарантируют, что треугольник △OAB всегда будет прямоугольным равнобедренным.'

''

'Найдите куб комплексного числа z = 1 + i и выразите его в полярной форме.'

'Для комплексного числа z, отличного от -1, определим комплексное число w как w=z/(z+1). Когда точка z движется по окружности радиусом 1 с центром в начале координат, найдите форму, образованную точкой w.'

'Рассмотрим последовательность {an}, определенную условиями (i)(ii).'

'Пример 89 Применение вращенных фигур'

'Для точек A(-2-2i), B(5-3i), C(2+6i) найдите комплексные числа, представляющие следующие точки.'

'Рассмотрим четыре точки A(α), B(β), C(γ), D(δ) на комплексной плоскости, образующие четырехугольник ABCD. Предположим, что четырехугольник ABCD является выпуклым четырехугольником со всеми внутренними углами менее 180 градусов. Кроме того, предположим, что вершины четырехугольника ABCD упорядочены против часовой стрелки как A, B, C, D. Постройте прямоугольные равнобедренные треугольники APB, BQC, CRD, DSA со сторонами AB, BC, CD, DA как их гипотенузами снаружи четырехугольника ABCD. (1) Найдите комплексное число, представляющее точку P. (2) Необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник PQRS является параллелограммом, определяется чем для четырехугольника ABCD? (3) Если четырехугольник PQRS является параллелограммом, докажите, что четырехугольник PQRS является квадратом.'

'Пусть α=2+i, β=4+5 i. Найдите комплексное число γ, представляющее точку, которая получается поворотом β вокруг α на π/4.'

'Объясните сложение комплексных чисел α и β как α+β, используя позиционные векторы, и проиллюстрируйте его с помощью параллелограмма.'

'Важный пример 77 | Использование корней степени n'

'Комплексная плоскость\nПусть w = (1 + α)z + 1 + α. Когда линии OW и OZ перпендикулярны, ответь на следующие вопросы:\n(1) Найди значение |z-α|.\n(2) Найди комплексное число z для того, чтобы △OAZ образовал прямоугольный треугольник.\n[Тип: Университет Ямагаты]'

'Найдите общий член последовательности комплексных чисел {zn}, который удовлетворяет следующему соотношению рекуррентности.'

'Докажите, что неравенство |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 справедливо, когда комплексное число z=x+yi(x, y - действительные числа) с x≥0. Также определите, когда имеет место равенство.'

'Используя полярную форму z=r(cosθ+isinθ)'

'Пожалуйста, объясните соотношение между комплексными числами и векторами на плоскости, и докажите, что это взаимно однозначное соответствие.'

'Найдите комплексное число, представляющее точки A(-1+i) и B(3+4i).'

''

'Пусть a, b - действительные числа, и предположим, что у кубического уравнения x^{3}+ax^{2}+bx+1=0 есть мнимый корень α. Докажите, что сопряженное комплексное число α также является корнем этого уравнения. Кроме того, выразите третий корень β и коэффициенты a, b, используя α и сопряженное α.'

'Решите уравнение на повторяемость комплексных чисел\n\ z_{1}=3 \ и уравнение на повторяемость \\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\) определяющее последовательность комплексных чисел \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \, и ответьте на следующие вопросы:\n(1) Найдите \ z_{n} \.\n(2) Найдите \ z_{21} \.'

'Пусть 𝛼 = -2 + 2𝑖, 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖. Где аргумент равен 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) Выразите 𝛼𝛽 и 𝛼 / 𝛽 соответственно в полярной форме. (2) Найдите 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ и |𝛼³ / 𝛽|.'

'Условие коллинеарности трех точек, включая начало O, - это (1) ○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i. Найдите значение вещественного числа x, когда точки A(α), B(β) и начало O коллинеарны.'

'Выразите комплексные числа 1+i и sqrt(3)+i в показательной форме и вычислите значения cos(5/12π) и sin(5/12π) для каждого из них.'

'Понимание геометрических фигур с использованием комплексных чисел'

'Глава 3 Комплексная плоскость 417\nАльтернативное решение 2 A(3 i), B(-3), P(z) Пусть |z-3 i|=2|z+3| следовательно AP=2BP значит AP:BP=2:1 Отрезок AB делится внутренним образом в точке C(α) в отношении 2:1 и внешним образом в точке D(β), поэтому множество точек P является окружностью с C и D в качестве диаметра. α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i Следовательно, множество точек z является окружностью с -2+i и -6-3 i в качестве диаметра. |z-3 i| представляет расстояние между точками A и P, а |z+3| представляет расстояние между точками B и P. Глава 3'

'Точка, полученная в результате вращения точки z вокруг начала координат на угол θ, составляет (cos θ + i sin θ) z'

'Комплексное число \ \\alpha \ удовлетворяет \ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \.'

'Исследуйте сходимость и расходимость следующих бесконечных рядов и найдите их сумму, если они сходятся.'

'Отношение между комплексными числами и векторами в геометрии'

'Для вещественных чисел x, y, z, удовлетворяющих x+y+z=√5+2, xy+yz+zx=2√5+1, xyz=2, найти значения следующих выражений: (1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'Для того, чтобы уравнение f(x)=0 имело два различных отрицательных корня, график y=f(x) должен пересекать отрицательную часть оси x в двух разных точках. Поэтому должны справедливы следующие утверждения одновременно.'

'Примеры чисел Каталана 3... Способы разделения многоугольника на треугольники'

'Найдите решение следующего уравнения:'

Продвинутый 40 Удаление $\sqrt{A^{2}}$ Продвинутый 41 Рационализация знаменателя (2) Продвинутый 42 Проблемы с целой и дробной частью Продвинутый 43 Удаление двойных корней Продвинутый 44 Решение неравенств с модулями через разбиение на случаи Продвинутый 45 Неравенство с двумя модулями Продвинутый 46 Условия существования решений системы неравенств

Вычислите следующие выражения. 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

Пожалуйста, объясните представление комплексных чисел в полярной форме.

ТРЕНИРОВКА Практика 3 В комплексной плоскости есть 6 точек \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \). Когда шестиугольник $\mathrm{ABCDEF}$ является правильным шестиугольником, как показано на рисунке: egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( \mathrm{D}\left(z_{4} ight) \) является ア $\square$ Выберите правильный ответ (вы можете выбрать один и тот же вариант несколько раз): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

Найдите центр (в полярных координатах) и радиус окружностей, представленных следующими полярными уравнениями. 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

Вычислите следующие выражения. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

Глава 3 Комплексная плоскость 13 Комплексная плоскость 14 Полярная форма комплексных чисел 15 Теорема де Муавра 16 Комплексные числа и фигуры

ТРЕНИРОВКА 74 Дано α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π) и β=3(cos π/4 + i sin π/4), найдите αβ и α/β.

Если комплексное число $z$ удовлетворяет $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$, найдите значение $z^{15} + \frac{1}{z^{15}}$.

Найдите значение z^{15}+rac{1}{z^{15}}, когда комплексное число z удовлетворяет z+rac{1}{z}=\sqrt{2}.

Каким образом точка \( (-1+i) z \) связано с исходной точкой $z$. Предположим, что диапазон углов поворота $heta$ составляет $0 \leqq heta<2 \pi$.

Действительные кратные комплексных чисел Для действительного числа $k$ и комплексного числа $\alpha = a + b i$, как показано на следующем диаграмме, когда $\alpha \neq 0$, точка $k \alpha$ лежит на линии $\ell$, проходящей через две точки $0$ и $\alpha$. Наоборот, точки на этой линии $\ell$ представляют собой действительные кратные числа $\alpha$. Рассмотрим следующие случаи: 1. $\alpha = 1 + i$, $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$ Для каждого случая найдите $k \alpha$ и опишите его положение относительно 0 на комплексной плоскости.

Пусть точка lpha поворачивается на угол rac{\pi}{3} вокруг начала координат и превращается в точку eta, где eta = 2 + 2i. Найдите комплексное число, представляющее точку lpha.

Для трёх различных точек O(0), A(α), B(β) на комплексной плоскости, где α и β удовлетворяют следующим уравнениям. Какого типа треугольник △OAB? (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

(1) Изобразите точки, представляющие следующие комплексные числа, на комплексной плоскости. (а) $5-2 i$ (b) $-1+3 i$ (в) -2 (d) 1 (e) $-3 i$ (f) $2 i$ (2) Ответьте на комплексные числа, соответствующие следующим точкам на координатной плоскости. (а) \( (-3,1) \) (b) \( (4,0) \) (c) \( (0,-2) \)

Пусть lpha=2+3i, eta=-6+xi . Если точки \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) и начало координат $\mathrm{O}$ лежат на одной прямой, найдите значение действительного числа $x$.

Запишите следующие комплексные числа в полярной форме. Диапазон аргумента θ: 0 ≤ θ < 2π. (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

Если lpha = e^{i\pi/6} и eta = e^{-i\pi/4} , найдите $m$ и $n$. (1) $m=6, n=12$

Пусть для трёх различных комплексных чисел lpha, eta, \gamma выполняется равенство \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \). Ответьте на следующие вопросы. (1) Вычислите rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} . (2) Определите величины углов ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} треугольника $riangle \mathrm{ABC}$ с вершинами в точках lpha, eta, \gamma .

Математика C EX Когда точка \( \mathrm{P}(z) \) на комплексной плоскости движется по окружности с центром в точке $2 i$ и радиусом 1, определите фигуру, описываемую точкой \( \mathrm{Q}(w) \), которая удовлетворяет \( w=(1+i)(z-1) \) 27.

Когда точка rac{z}{z-2} на комплексной плоскости лежит на мнимой оси, какую фигуру описывает точка $z$ при своем движении?

Пусть комплексные числа lpha, eta удовлетворяют уравнению rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} . Определите величины углов треугольника $riangle \mathrm{OAB}$ с вершинами в точках \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(lpha) \) и \( \mathrm{B}(eta) \) на комплексной плоскости.

Вычислите следующие выражения. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

Пример 73: α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4), найдите α β и α/β.

Для натуральных чисел $n$ удовлетворяющих $1 \leqq n \leqq 100$, сколько таких $n$ существует, что для мнимого числа lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} выполняется уравнение lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 ?

Пусть $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$. Найдите комплексное число $w$, представляющее точку $z$, повернутую вокруг начала координат на -rac{\pi}{4} .

Покажите, что для комплексного числа $z$, если $|z|=\sqrt{2}$, то z+rac{2}{z} является действительным числом.

Пусть комплексные числа lpha, eta, \gamma, \delta такие, что lpha + eta + \gamma + \delta = 0 и |lpha| = |eta| = |\gamma| = |\delta| = 1 . Найдите значение выражения |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} .

Докажите следующие утверждения о комплексных числах z, lpha . (1) Если $k$ положительное число и $|z|=k$, то z+rac{k^{2}}{z} является вещественным числом. (2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z является вещественным числом.

Найдите комплексное число, представляющее точку, полученную путем вращения точки 2+2i вокруг точки i на следующие углы: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

Даны три различные точки на комплексной плоскости O(0), A(α), B(β), где α и β удовлетворяют следующим уравнениям. Какой тип треугольника ΔOAB? (1) α² + β² = 0 (2) 3α² + β² = 0

Геометрически изобразите произведение комплексных чисел $z_1 \cdot z_2$ и объясните его. В качестве примера конкретно вычислите произведение \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \).

Пожалуйста, объясните свойства комплексных сопряженных чисел на комплексной плоскости.

В комплексной плоскости, когда точка z движется по окружности с центром в O и радиусом 1, какую фигуру будет описывать точка w, представленная следующими уравнениями? (1) w=rac{z+2}{z-1} (где z eq 1) (2) w=rac{z+1}{2z-1}

На комплексной плоскости точка A представляет комплексное число $z = a + bi$. (1) Точка B представляет его сопряженное комплексное число $\overline{z} = a - bi$. Найдите координаты точки B. (2) Найдите расстояние между точками A и B.

На комплексной плоскости есть три точки \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \). Если $\triangle \mathrm{OAB}$ является прямоугольным равнобедренным треугольником, найдите комплексное число $z$, представляющее точку $\mathrm{B}$.

Найдите значения lpha и eta для 34. lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

(1) Постройте точки, представляющие следующие комплексные числа на комплексной плоскости. (ア) $4+2 i$ (イ) $-2-3 i$ (ウ) 3 (エ) -4 (才) $4 i$ (力) $-i$ (2) Ответьте на вопрос, какие комплексные числа соответствуют следующим точкам на координатной плоскости. (ア) \( (5,-2) \) (个) \( (-1,0) \) (ウ) \( (0,3) \)

Пусть z=r(\cos heta+i \sin heta), выразите модуль и аргумент следующих комплексных чисел, используя r и heta. Предположим, что r>0. (1) 2 z (2) -z (3) ar{z} (4) rac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 ar{z}

Используя комплексное число $\sqrt{3}+i$, вычислите следующее. (5) Найдите \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \).

Пусть $\alpha$ и eta являются комплексными числами, такими что действительная и мнимая части $\alpha$ положительны, и |\alpha|=|eta|=1 . Известно, что три точки i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta образуют равносторонний треугольник на комплексной плоскости, найдите $\alpha$ и eta . [Университет Сидзуока]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )