Искусственный интеллект | Номер 1 в бесплатном приложении для завершения домашнего задания
Геометрия и измерение
Векторный анализ Геометрия кривых и поверхностей - Скалярное произведение и векторное произведение
Q.01
'Найдите скалярное произведение и угол \ \\theta \ между двумя векторами \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
'Чтобы показать условие для того, чтобы точки \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ лежали на одной прямой, продемонстрируйте следующее свойство:'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'Пусть будет основанием четырехугольной пирамиды такой, что . Для четырех ненулевых вещественных чисел пусть точки будут определены как , , , . Покажите, что если четыре точки лежат в одной плоскости, тогда .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'В тетраэдре OABC пусть L будет точкой, делящей сторону AB в отношении 1:3, M будет точкой, делящей сторону OC в отношении 3:1, N будет точкой, делящей отрезок CL в отношении 3:2, и P будет пересечением отрезков LM и ON. Если OA=a, OB=b, OC=c, выразите ON и OP через a, b и c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'Векторы a и b на координатной плоскости не параллельны. Пусть a и b - это векторы положения, соответствующие точкам A и B соответственно. Кроме того, для положительных действительных чисел x и y пусть x a и y b будут векторами положения, соответствующими точкам P и Q. Когда отрезок PQ делит отрезок AB в соотношении 2:1, найдите минимальное значение xy. Все векторы положения рассматриваются относительно начала координат O.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'Векторное уравнение прямой, перпендикулярной вектору n (не равному нулю) и проходящей через точку A(вектор a), имеет вид n·(p-a)=0'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
'Определение скалярного произведения, Скалярное произведение и компоненты \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nОпределение скалярного произведения\nПусть угол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ равен \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) , тогда\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nСкалярное произведение и компоненты\nЕсли \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) , тогда\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nТакже, если угол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ равен \ \\theta \ , то\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Доказательственная задача о равномерном круговом движении\nТочка P движется по круговой траектории радиусом r с центром в начале координат O, начиная от фиксированной точки P₀, так что OP вращается с угловой скоростью ω радиан в секунду.\n(1) Найдите величину v скорости P.\n(2) Покажите, что вектор скорости P и вектор ускорения перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
'Учитывая вектора a и b, удовлетворяющие условиям |a|=5,|b|=3,|a-2 b|=7. Если угол между a-2 b и 2 a+b равен θ, найдите значение cos θ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'Найдите скалярное произведение и угол между двумя векторами и .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
'Для ненулевых векторов a и b, таких что a+2b и a-2b ортогональны, и |a+2b|=2|b|.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
'Опишите условия для того, чтобы векторы a и b были перпендикулярными.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'Внутри \\triangle \\mathrm{ABC} есть точка \\mathrm{P}, такая что 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}. (1) Где находится точка \\mathrm{P}? (2) Найдите соотношение площадей \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB}.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
'В квадрате ABCD со стороной 2 найдите следующие скалярные произведения.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
'Докажите, используя векторы, что уравнение 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 выполняется в параллелограмме ABCD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Даны 4 точки A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
'В тетраэдре OABC, пусть середина стороны OA будет P, середина стороны BC будет Q, точка, делящая отрезок PQ в соотношении 1:2, будет R, а точка пересечения прямой OR и плоскости ABC будет S. Если OA=вектор a, OB=вектор b, OC=вектор c, то выразите OS через векторы a, b и c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ при \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ и точка пересечения высот обозначается как H. Пусть \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \, затем ответьте на следующие вопросы:'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
'Найдите скалярное произведение и угол между векторами и .(1) (2) (3) (4) '
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
'В прямоугольном треугольнике ABC, с векторами AB = a, AC = b и BC = c, найдите скалярное произведение a⋅b, b⋅c и c⋅a.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
'Найдите значение , при котором и перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
'Точка P движется вдоль стороны OA, поэтому её можно представить как OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1). Также точка Q движется вдоль стороны BC, и её можно представить как OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1). Найдите минимальное значение квадрата PQ в этот момент.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'В координатном пространстве с началом в центре пусть A(5,4,-2). Какая фигура представлена множеством точек P(x, y, z), удовлетворяющих условию ? Также, выразите уравнение через x, y, z.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
'Решите следующую задачу о векторах. \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ приводит к \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
'Так как \ \\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{PH} \, имеем \ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{PH} = 0 \, что влечет \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). Следовательно, \ k = 4 \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'Найдите угол θ между векторами a и b таким образом, чтобы a-(2/5)b был перпендикулярен a+b, а a был перпендикулярен a-b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
'Пример 10 Вычисление скалярного произведения (определение)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'В тетраэдре ABCD пусть M будет серединой ребра AB, а N - серединой ребра CD.\n(1) Существует ли точка P, удовлетворяющая уравнению PA + PB = PC + PD? Предоставьте доказательство и ответьте.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Уравнения скалярного произведения в проблемах формы треугольника'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
'Объясните способ вычисления скалярного произведения векторов и выполните вычисление с использованием конкретного примера.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
'Пример 18 Найдите вектор положения ортоцентра треугольника\nВ треугольнике OAB, где OA=5, OB=6, AB=7, и ортоцентр H. Пусть вектор OA будет a, а вектор OB будет b, ответьте на следующие вопросы:\n1. Найдите скалярное произведение a·b.\n2. Выразите вектор OH через a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'В тетраэдре OABC, пусть ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC. Пусть середины отрезков OA, OB, OC, BC, CA, AB обозначаются как L, M, N, P, Q, R соответственно, а ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'Векторное уравнение прямой, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной к n (не равной нулевому вектору) имеет вид: n·(p - a) = 0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'Вычислите скалярное произведение векторов и объясните его геометрический смысл.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
'(1) Поскольку \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, то \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. Найдите вещественное число \ k \ и определите значения \ a \ и \ b \ при \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) и \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
'Определите скалярное произведение и компоненты, где \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \.\nУгол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ обозначен как \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\).\nТогда, скалярное произведение \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ задается формулой \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nДля \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) скалярное произведение векторов равно \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\nКроме того, косинус угла \ \\theta \ выражается как \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
'Пусть P(0, s, 0), Q(t+1, t+3, -t). В результате вычислений найдем PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2. Когда s-t-3=0 и t+1/2=0, т.е. s=5/2, t=-1/2, минимальное значение равно 1/2. Таким образом, PQ достигает минимального значения 1/sqrt(2) при s=5/2, t=-1/2. Другими словами, когда P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2), минимальное значение равно 1/sqrt(2).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'Докажите, что для четырех точек O, A, B, C в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, если вектор OA=a, вектор OB=b и вектор OC=c, то любой вектор p может быть единственным образом выражен в виде p=s*a+t*b+u*c (где s, t, u - действительные числа).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
'|𝛼 + t𝛽| больше или равно 0, поэтому, когда |𝛼 + t𝛽|^2 минимизируется, |𝛼 + t𝛽| также минимизируется. Следовательно, |𝛼 + t𝛽| принимает минимальное значение √26 при t=-1. Другое решение заключается в том, чтобы взять точку O в качестве начала координат, 𝛼 = OA, а 𝛽 = OB. Точка C, определенная 𝛼 + t𝛽 = OC, проходит через точку A и лежит на линии, параллельной OB. Поэтому, для минимизации |𝛼 + t𝛽|, (𝛼 + t𝛽) должно быть перпендикулярно к 𝛽. В этом случае у нас есть (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0, что приводит к решению (2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0, что приводит к 3t + 3 = 0, следовательно, t = -1. В этой точке |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26. Поэтому, |𝛼 + t𝛽| достигает минимального значения √26 при t=-1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'Дополнительная информация\nСсылка: Найдите векторное произведение \\vec{u} векторов \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} и \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
'1. Максимальное и минимальное значения скалярного произведения векторов\n2. Векторы с траекторией, областью\n3. Максимальный объем тетраэдра\n4. Обработка векторных уравнений\n5. Геометрические фигуры в пространстве (сферическая поверхность)\n6. Предел точки, движущейся на комплексной плоскости\n7. Диапазон существования точек на комплексной плоскости\n8. Задачи слияния свойств комплексных чисел и целых чисел\n9. Параметрическое представление и траектория\n10. Задачи слияния комплексной плоскости, уравнений и кривых'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'Пример 11 | Вычисление скалярного произведения (Компоненты)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'В правильной тетраэдре ABCD с длиной ребра 2 найдите скалярное произведение вектора AB и вектора AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
'(2) \\ n \\ also , \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'Пусть A(r1,θ1) и B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0]. Используя теорему косинусов, найдите расстояние AB между точкой A и точкой B.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
'Как вы выражаете равенство векторов a и b, когда у них одинаковая длина и направление?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'В общем случае, векторы в пространстве \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ удовлетворяют следующим условиям: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
'Отрезок AB и точка P. При выполнении следующего уравнения, в каком положении находится точка P.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'В декартовом пространстве с точкой O в качестве начала, какую фигуру представляет собой множество точек P(x, y, z), удовлетворяющих следующим условиям? Кроме того, выразите уравнения в x, y, z:\n(1) При A(3,-6,2), точка P удовлетворяет |→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0.\n(2) При A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), точка P удовлетворяет →AP⋅(→BP+2→CP)=0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
'Вопрос 31 | Векторное уравнение окружности\nДля треугольника OAB на плоскости и любой точки P следующие векторные уравнения представляют окружность. Какого это окружность типа?\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
'Для точек O(0,0,0), A(2,1,-2), B(3,4,0) найдите вектор, перпендикулярный как вектору OA, так и вектору OB, с величиной √5.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
'(1) Какую форму представляет уравнение вектора |3→OA+2→OB-5→OP|=5 для двух различных точек A, B и любой точки P на плоскости? (2) На плоскости есть точки P и треугольник ABC. Найдите множество точек P, удовлетворяющих условию 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'Докажите, что на плоскости, для четырех различных точек A, B, C, D и точки O, не лежащей на прямой AB, где OA=a, OB=b. И если OC=3a-2b, OD=-3a+4b, то AB∥CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'Дан четырехугольник ABCD и точка O, с OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Если a + c = b + d и a · c = b · d, определите форму этого четырехугольника.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.67
'Найдите максимальное значение скалярного произведения при движении точки A по эллипсу . Здесь A(x, y) и B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}), а O - начало координат.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
'Докажите уравнение \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'Упражнение(2) Найдите угол \ \\theta \, образованный двумя ненулевыми векторами \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \, когда существует уникальное действительное число \ t \ такое, что \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ и \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.71
'Даны векторы OA и OB. Найдите площадь треугольника QBC, если точка Q удовлетворяет условию 256 вектор AQ + 3 вектор BQ + 2 вектор CQ = вектор 0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
'Найдите вектор \\\vec{p}\, перпендикулярный обоим векторам \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) и \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) и имеющий величину \\\sqrt{5}\.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
'Ортогональность и скалярное произведение векторов'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.74
'Докажите, что когда \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\), то \ \\vec{a} / / \\vec{b} \.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'Векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(𝑎) и параллельной 𝑑(≠0), имеет вид 𝑝=𝑎+𝑡𝑑. Основные сведения 1, стр.343.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
'В треугольнике OAB, где vec{a} = \\overrightarrow{OA} и vec{b} = \\overrightarrow{OB}, с |\\vec{a}|=3, |\\vec{b}|=5, и \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}. Найдите положение вектора, начиная с O, где биссектриса угла \\angle AOB пересекает окружность с центром в B и радиусом \\sqrt{10}, используя vec{a} и vec{b}.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
'Учитывая отрезок AB и точку P. Когда выполняется следующее уравнение, где находится точка P? (2) AP-3BP+4BA=0'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
'Докажите, что когда A и B являются векторами с началом в начале координат, уравнение вектора биссектрисы угла, образованного векторами OA=a и OB=b составляет p = t(a/|a| + b/||b|), где t-переменная.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'Решите пример 20 (2) на странице 54, используя предоставленную информацию'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'Найдите значение t, когда угол между двумя векторами \\( \\vec{a} = (1, t) \\) и \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) составляет \ 30^{\\circ} \. Предполагая, что t > 0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
'(1) Условие для это . Здесь, . Таким образом, . Поэтому, . (2) Условие для это . Здесь, . Таким образом, . Поэтому, .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
'Практика Дан отрезок AB и точка P. Где находится точка P, когда выполняется следующее уравнение? (1) 3 вектор AP + 4 вектор BP = 2 вектор AB'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
'Когда два вектора a, b удовлетворяют условиям (1) |a + b| = 4 и (2) |a - b| = 3, найдите значение a·b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'На плоскости, из (1), дано, что угол ACB = угол CAD и угол BFC = угол DFA. Это означает, что форма векторов BC // AD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
'Практикуйтесь в доказательстве следующего в случае, когда \ \\vec{a}, \\vec{b} \ - ненулевые векторы пространства, \ s, t \ неотрицательные вещественные числа, и \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
'Скалярное произведение векторов: \\( \\vec {a} = (a_1, a_2, a_3), \\ vec {b} = (b_1, b_2, b_3) \\) равно'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'Векторное уравнение плоскости альфа, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной ненулевому вектору n, имеет вид n·(p-вектор a)=0 (как обсуждается в разделе 1, страница 387).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
'Дан четырёхугольник ABCD и точка O, где вектор OA равен a, вектор OB равен b, вектор OC равен c, а вектор OD равен d. Если a + c = b + d и a · c = b · d, определите форму этого четырёхугольника.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
'Учитывая |a| = 3, |b| = 2, |a-2b| = sqrt{17}, найдите значение вещественного числа t, при котором a+b и a+tb перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
'Найдите полярное уравнение прямой, проходящей через точку \\( A(a, \\alpha) \\), перпендикулярной к OA.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
'Учитывая, что плоскость ABC определяется тремя точками A(1,1,0), B(3,4,5) и C(1,3,6) в трехмерном пространстве, если на плоскости есть точка P(4,5,z), найдите значение z.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
В прямоугольном треугольнике , показанном на рисунке справа, пусть \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} . Найдите скалярные произведения ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} соответственно. Данo, что |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 , и угол между ec{a} и ec{b} равен .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
ТРЕНИРОВКА 19
(3)
Пусть |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 . Ответьте на следующие вопросы.
(1) Когда ec{a} \cdot ec{b}=-1 , найдите значение |ec{a}-ec{b}| .
(2) Когда |ec{a}+ec{b}|=1 , найдите значения ec{a} \cdot ec{b} и |2 ec{a}-3 ec{b}| .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.98
Найдите скалярное произведение и угол между следующими двумя векторами ec{a}, ec{b} .
\[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
Докажите, что следующие уравнения верны.
(1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \)
(2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
Скалярное произведение векторов
и , и угол между ними:
\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta
\]
\[
\cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
Свойства Скалярного Произведения
Вычислите скалярное произведение следующих векторов и подтвердите свойства скалярного произведения. ec{a}=\left(2, 3
ight), ec{b}=\left(4, -1
ight)
Скалярное произведение равно 0
Свойства Скалярного Произведения
Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства от 1 до 5.
1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2}
2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a}
3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c}
4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c}
5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b})
где k – это вещественное число.
Доказательство Пусть ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}
ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}
ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2}
ight).
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
(1) Из следует
Таким образом, \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \)
Следовательно,
Пусть , тогда \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \)
То есть , следовательно,
! Следовательно
Так как , то
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
Пусть будет вещественной постоянной. На некоторой плоскости находится точка и треугольник , и выполняется следующее уравнение.
(1) Когда точка находится на линии , .
(2) Когда точка находится внутри треугольника , выполняется . Однако примите, что точка не находится на периметре треугольника .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
Найдите угол , образованный скалярным произведением векторов ec{a} и ec{b} .\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
Найдите значение , если угол между двумя векторами \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) равен .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
Скалярное произведение векторов Угол, образуемый скалярным произведением векторов (пространство)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
Найдите скалярное произведение векторов и . Возьмите три точки и пусть угол между и будет .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
Найдите значения и , когда два вектора \( \vec{a}=(s, 3 s-1, s-1) \) и \( \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) параллельны.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
Даны векторы \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \), где 、докажите следующее:
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
Найдите значение , когда угол между векторами \( ec{a}=(2,1,1) \) и \( ec{b}=(x, 1,-2) \) равен .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
Докажите, что векторы перпендикулярны, используя скалярное произведение.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
Условие для того, чтобы 13 точек находились на прямой линии [Условие Коллинеарности] [=Пример 25]. Когда точки A и B различны, точка C находится на линии AB ⇔ существует действительное число k, такое что . Когда точка C находится на линии AB, проходящей через различные точки A и B, или .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
В кубе со стороной 1 найдите следующие скалярные произведения.
(1)
(2)
(3)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
Скалярное произведение векторов. Формы и скалярное произведение векторов (пространство) (1)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
ТРЕНИРОВКА Практика 1 (4) Пусть - действительная константа. На некоторой плоскости есть точка и треугольник , которые удовлетворяют следующему уравнению:
3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}
(1) Когда точка находится на прямой , .
(2) Когда точка находится внутри треугольника , . Предполагается, что точка не находится на грани треугольника .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
Определите значение , которое делает два вектора параллельными.
(1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \)
(2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
Найдите площадь треугольника OAB S в следующих случаях. (1) Когда |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
Вычислить компоненты скалярного произведения векторов (пространство)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
(2) Так как \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \), у нас \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \)
Следовательно, \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \)
Таким образом,
Учитывая, что , следовательно,
(1) Следовательно, , следовательно рассматривается как .
Так как , следовательно,
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
Найдите следующие скалярные произведения.
(1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
Следовательно, — это угол между и , тогда
\[
\cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Так как , то
〔 Пусть угол между ненулевыми векторами и равен , тогда .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
Пожалуйста, вычислите скалярное произведение следующих векторов и :\n\n , при угле между векторами, и | | = 5, | | = 3
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
(1) Найдите значение , при котором \( \vec{a}=(5,1) \) и \( \vec{b}=(2, x) \) перпендикулярны.
(2) Найдите единичный вектор , перпендикулярный вектору \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \).
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
Даны векторы \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}
ight) \) и \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}
ight) \), где . Докажите, что следующее утверждение верно: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
Пожалуйста, вычислите скалярное произведение следующих двух векторов:
Вектор \(\vec{a} = (3, 4)\) и Вектор \(\vec{b} = (1, 2)\)
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
Для векторов, показанных на рисунке справа, перечислите все пары номеров векторов следующим образом.
(1) Векторы с равной величиной
(2) Векторы с одинаковым направлением
(3) Равные векторы
(4) Противоположные векторы
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
В треугольнике с вершинами в точках \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \), найдите скалярное произведение и величину угла , обозначенную .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
Угол между векторами и условие перпендикулярности
Найдите угол между векторами ec{a}=\left(1, 0
ight), ec{b}=\left(0, 1
ight) и докажите, что эти векторы перпендикулярны.
Пусть угол между двумя ненулевыми векторами ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}
ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}
ight) равен . Тогда \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}, где