Векторный анализ Геометрия кривых и поверхностей - Скалярное произведение и векторное произведение

'Найдите скалярное произведение и угол \ \\theta \ между двумя векторами \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\).'

'Чтобы показать условие для того, чтобы точки \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ лежали на одной прямой, продемонстрируйте следующее свойство:'

'Пусть $\\mathrm{ABCD}$ будет основанием четырехугольной пирамиды $\\mathrm{OABCD}$ такой, что $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Для четырех ненулевых вещественных чисел $p, q, r, s$ пусть точки $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ будут определены как $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Покажите, что если четыре точки $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ лежат в одной плоскости, тогда $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$.'

'В тетраэдре OABC пусть L будет точкой, делящей сторону AB в отношении 1:3, M будет точкой, делящей сторону OC в отношении 3:1, N будет точкой, делящей отрезок CL в отношении 3:2, и P будет пересечением отрезков LM и ON. Если OA=a, OB=b, OC=c, выразите ON и OP через a, b и c.'

''

'Векторы a и b на координатной плоскости не параллельны. Пусть a и b - это векторы положения, соответствующие точкам A и B соответственно. Кроме того, для положительных действительных чисел x и y пусть x a и y b будут векторами положения, соответствующими точкам P и Q. Когда отрезок PQ делит отрезок AB в соотношении 2:1, найдите минимальное значение xy. Все векторы положения рассматриваются относительно начала координат O.'

'Векторное уравнение прямой, перпендикулярной вектору n (не равному нулю) и проходящей через точку A(вектор a), имеет вид n·(p-a)=0'

'Определение векторного произведения'

'Определение скалярного произведения, Скалярное произведение и компоненты \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nОпределение скалярного произведения\nПусть угол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ равен \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) , тогда\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nСкалярное произведение и компоненты\nЕсли \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) , тогда\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nТакже, если угол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ равен \ \\theta \ , то\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'Доказательственная задача о равномерном круговом движении\nТочка P движется по круговой траектории радиусом r с центром в начале координат O, начиная от фиксированной точки P₀, так что OP вращается с угловой скоростью ω радиан в секунду.\n(1) Найдите величину v скорости P.\n(2) Покажите, что вектор скорости P и вектор ускорения перпендикулярны.'

'Учитывая вектора a и b, удовлетворяющие условиям |a|=5,|b|=3,|a-2 b|=7. Если угол между a-2 b и 2 a+b равен θ, найдите значение cos θ.'

'Найдите скалярное произведение и угол $\\theta$ между двумя векторами $\\vec{a}=(-2,1,2)$ и $\\vec{b}=(-1,1,0)$.'

''

'Для ненулевых векторов a и b, таких что a+2b и a-2b ортогональны, и |a+2b|=2|b|.'

'Опишите условия для того, чтобы векторы a и b были перпендикулярными.'

'Внутри \\triangle \\mathrm{ABC} есть точка \\mathrm{P}, такая что 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}. (1) Где находится точка \\mathrm{P}? (2) Найдите соотношение площадей \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB}.'

'В квадрате ABCD со стороной 2 найдите следующие скалярные произведения.'

'Докажите, используя векторы, что уравнение 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 выполняется в параллелограмме ABCD.'

'Даны 4 точки A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5).'

'Базовый пример 22 Стандартный пример 33'

'В тетраэдре OABC, пусть середина стороны OA будет P, середина стороны BC будет Q, точка, делящая отрезок PQ в соотношении 1:2, будет R, а точка пересечения прямой OR и плоскости ABC будет S. Если OA=вектор a, OB=вектор b, OC=вектор c, то выразите OS через векторы a, b и c.'

'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ при \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ и точка пересечения высот обозначается как H. Пусть \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \, затем ответьте на следующие вопросы:'

'Найдите скалярное произведение и угол $\\theta$ между векторами $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.(1) $\\vec{a}=(3,4), \\vec{b}=(7,1)$(2) $\\vec{a}=(1, \\sqrt{3}), \\vec{b}=(-\\sqrt{3},-1)$(3) $\\vec{a}=(\\sqrt{2},-2), \\vec{b}=(-1, \\sqrt{2})$(4) $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(6,3)$'

'В прямоугольном треугольнике ABC, с векторами AB = a, AC = b и BC = c, найдите скалярное произведение a⋅b, b⋅c и c⋅a.'

'Найдите значение $x$, при котором $\\ vec{a} = (x + 2,1)$ и $\\ vec{b} = (1,-6)$ перпендикулярны.'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'Независимость и зависимость один раз'

'Точка P движется вдоль стороны OA, поэтому её можно представить как OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1). Также точка Q движется вдоль стороны BC, и её можно представить как OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1). Найдите минимальное значение квадрата PQ в этот момент.'

'В координатном пространстве с началом в центре пусть A(5,4,-2). Какая фигура представлена множеством точек P(x, y, z), удовлетворяющих условию $|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$? Также, выразите уравнение через x, y, z.'

'Решите следующую задачу о векторах. \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ приводит к \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'Так как \ \\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{PH} \, имеем \ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{PH} = 0 \, что влечет \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). Следовательно, \ k = 4 \'

'Найдите угол θ между векторами a и b таким образом, чтобы a-(2/5)b был перпендикулярен a+b, а a был перпендикулярен a-b.'

'(1) Доказательство:'

'Пример 10 Вычисление скалярного произведения (определение)'

'В тетраэдре ABCD пусть M будет серединой ребра AB, а N - серединой ребра CD.\n(1) Существует ли точка P, удовлетворяющая уравнению PA + PB = PC + PD? Предоставьте доказательство и ответьте.'

'Уравнения скалярного произведения в проблемах формы треугольника'

'Объясните способ вычисления скалярного произведения векторов и выполните вычисление с использованием конкретного примера.'

'Пример 18 Найдите вектор положения ортоцентра треугольника\nВ треугольнике OAB, где OA=5, OB=6, AB=7, и ортоцентр H. Пусть вектор OA будет a, а вектор OB будет b, ответьте на следующие вопросы:\n1. Найдите скалярное произведение a·b.\n2. Выразите вектор OH через a и b.'

'В тетраэдре OABC, пусть ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC. Пусть середины отрезков OA, OB, OC, BC, CA, AB обозначаются как L, M, N, P, Q, R соответственно, а ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR.'

'Векторное уравнение прямой, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной к n (не равной нулевому вектору) имеет вид: n·(p - a) = 0.'

'Вычислите скалярное произведение векторов и объясните его геометрический смысл.'

'Докажите десятое неравенство векторов'

'(1) Поскольку \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, то \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. Найдите вещественное число \ k \ и определите значения \ a \ и \ b \ при \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) и \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\).'

'Определите скалярное произведение и компоненты, где \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \.\nУгол между \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ обозначен как \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\).\nТогда, скалярное произведение \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ задается формулой \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nДля \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) скалярное произведение векторов равно \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\nКроме того, косинус угла \ \\theta \ выражается как \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'

'Пусть P(0, s, 0), Q(t+1, t+3, -t). В результате вычислений найдем PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2. Когда s-t-3=0 и t+1/2=0, т.е. s=5/2, t=-1/2, минимальное значение равно 1/2. Таким образом, PQ достигает минимального значения 1/sqrt(2) при s=5/2, t=-1/2. Другими словами, когда P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2), минимальное значение равно 1/sqrt(2).'

'Докажите, что для четырех точек O, A, B, C в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, если вектор OA=a, вектор OB=b и вектор OC=c, то любой вектор p может быть единственным образом выражен в виде p=s*a+t*b+u*c (где s, t, u - действительные числа).'

'|𝛼 + t𝛽| больше или равно 0, поэтому, когда |𝛼 + t𝛽|^2 минимизируется, |𝛼 + t𝛽| также минимизируется. Следовательно, |𝛼 + t𝛽| принимает минимальное значение √26 при t=-1. Другое решение заключается в том, чтобы взять точку O в качестве начала координат, 𝛼 = OA, а 𝛽 = OB. Точка C, определенная 𝛼 + t𝛽 = OC, проходит через точку A и лежит на линии, параллельной OB. Поэтому, для минимизации |𝛼 + t𝛽|, (𝛼 + t𝛽) должно быть перпендикулярно к 𝛽. В этом случае у нас есть (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0, что приводит к решению (2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0, что приводит к 3t + 3 = 0, следовательно, t = -1. В этой точке |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26. Поэтому, |𝛼 + t𝛽| достигает минимального значения √26 при t=-1.'

'Дополнительная информация\nСсылка: Найдите векторное произведение \\vec{u} векторов \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} и \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. Максимальное и минимальное значения скалярного произведения векторов\n2. Векторы с траекторией, областью\n3. Максимальный объем тетраэдра\n4. Обработка векторных уравнений\n5. Геометрические фигуры в пространстве (сферическая поверхность)\n6. Предел точки, движущейся на комплексной плоскости\n7. Диапазон существования точек на комплексной плоскости\n8. Задачи слияния свойств комплексных чисел и целых чисел\n9. Параметрическое представление и траектория\n10. Задачи слияния комплексной плоскости, уравнений и кривых'

'Пример 11 | Вычисление скалярного произведения (Компоненты)'

'(2) продолжение'

'В правильной тетраэдре ABCD с длиной ребра 2 найдите скалярное произведение вектора AB и вектора AC.'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+ \\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| = \\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}= \\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'Пусть A(r1,θ1) и B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0]. Используя теорему косинусов, найдите расстояние AB между точкой A и точкой B.'

'Как вы выражаете равенство векторов a и b, когда у них одинаковая длина и направление?'

'В общем случае, векторы в пространстве \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ удовлетворяют следующим условиям: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'Отрезок AB и точка P. При выполнении следующего уравнения, в каком положении находится точка P.'

'В декартовом пространстве с точкой O в качестве начала, какую фигуру представляет собой множество точек P(x, y, z), удовлетворяющих следующим условиям? Кроме того, выразите уравнения в x, y, z:\n(1) При A(3,-6,2), точка P удовлетворяет |→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0.\n(2) При A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), точка P удовлетворяет →AP⋅(→BP+2→CP)=0.'

'Вопрос 31 | Векторное уравнение окружности\nДля треугольника OAB на плоскости и любой точки P следующие векторные уравнения представляют окружность. Какого это окружность типа?\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'

'Для точек O(0,0,0), A(2,1,-2), B(3,4,0) найдите вектор, перпендикулярный как вектору OA, так и вектору OB, с величиной √5.'

'Покажите следующее.'

'(1) Какую форму представляет уравнение вектора |3→OA+2→OB-5→OP|=5 для двух различных точек A, B и любой точки P на плоскости? (2) На плоскости есть точки P и треугольник ABC. Найдите множество точек P, удовлетворяющих условию 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC.'

'Докажите, что на плоскости, для четырех различных точек A, B, C, D и точки O, не лежащей на прямой AB, где OA=a, OB=b. И если OC=3a-2b, OD=-3a+4b, то AB∥CD.'

'Дан четырехугольник ABCD и точка O, с OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Если a + c = b + d и a · c = b · d, определите форму этого четырехугольника.'

'Найдите максимальное значение скалярного произведения $\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$ при движении точки A по эллипсу $\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$. Здесь A(x, y) и B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}), а O - начало координат.'

'Докажите уравнение \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \'

'Использование ортогональных векторов проекции'

'Упражнение(2) Найдите угол \ \\theta \, образованный двумя ненулевыми векторами \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \, когда существует уникальное действительное число \ t \ такое, что \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ и \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ перпендикулярны.'

'Даны векторы OA и OB. Найдите площадь треугольника QBC, если точка Q удовлетворяет условию 256 вектор AQ + 3 вектор BQ + 2 вектор CQ = вектор 0.'

'Найдите вектор \\\vec{p}\, перпендикулярный обоим векторам \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) и \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) и имеющий величину \\\sqrt{5}\.'

'Ортогональность и скалярное произведение векторов'

'Докажите, что когда \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\), то \ \\vec{a} / / \\vec{b} \.'

'Векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(𝑎) и параллельной 𝑑(≠0), имеет вид 𝑝=𝑎+𝑡𝑑. Основные сведения 1, стр.343.'

'В треугольнике OAB, где vec{a} = \\overrightarrow{OA} и vec{b} = \\overrightarrow{OB}, с |\\vec{a}|=3, |\\vec{b}|=5, и \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}. Найдите положение вектора, начиная с O, где биссектриса угла \\angle AOB пересекает окружность с центром в B и радиусом \\sqrt{10}, используя vec{a} и vec{b}.'

'Учитывая отрезок AB и точку P. Когда выполняется следующее уравнение, где находится точка P? (2) AP-3BP+4BA=0'

'Докажите, что когда A и B являются векторами с началом в начале координат, уравнение вектора биссектрисы угла, образованного векторами OA=a и OB=b составляет p = t(a/|a| + b/||b|), где t-переменная.'

'Параллельные векторы и скалярное произведение'

'Решите пример 20 (2) на странице 54, используя предоставленную информацию'

'Найдите значение t, когда угол между двумя векторами \\( \\vec{a} = (1, t) \\) и \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) составляет \ 30^{\\circ} \. Предполагая, что t > 0.'

'(1) Условие для $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ это $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Здесь, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times x + 2 \\times 6 = 3x + 12$. Таким образом, $3x + 12 = 0$. Поэтому, $x = -4$. (2) Условие для $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ это $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Здесь, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times(-1) + x \\times \\sqrt{3} = \\sqrt{3}x - 3$. Таким образом, $\\sqrt{3}x - 3 = 0$. Поэтому, $x = \\sqrt{3}$.'

'Практика Дан отрезок AB и точка P. Где находится точка P, когда выполняется следующее уравнение? (1) 3 вектор AP + 4 вектор BP = 2 вектор AB'

'Когда два вектора a, b удовлетворяют условиям (1) |a + b| = 4 и (2) |a - b| = 3, найдите значение a·b.'

'На плоскости, из (1), дано, что угол ACB = угол CAD и угол BFC = угол DFA. Это означает, что форма векторов BC // AD.'

'Практикуйтесь в доказательстве следующего в случае, когда \ \\vec{a}, \\vec{b} \ - ненулевые векторы пространства, \ s, t \ неотрицательные вещественные числа, и \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \.'

'Скалярное произведение векторов: \\( \\vec {a} = (a_1, a_2, a_3), \\ vec {b} = (b_1, b_2, b_3) \\) равно'

'Векторное уравнение плоскости альфа, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной ненулевому вектору n, имеет вид n·(p-вектор a)=0 (как обсуждается в разделе 1, страница 387).'

'Докажите следующие неравенства.'

'Дан четырёхугольник ABCD и точка O, где вектор OA равен a, вектор OB равен b, вектор OC равен c, а вектор OD равен d. Если a + c = b + d и a · c = b · d, определите форму этого четырёхугольника.'

'Учитывая |a| = 3, |b| = 2, |a-2b| = sqrt{17}, найдите значение вещественного числа t, при котором a+b и a+tb перпендикулярны.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите полярное уравнение прямой, проходящей через точку \\( A(a, \\alpha) \\), перпендикулярной к OA.'

'Скалярное произведение векторов'

'Учитывая, что плоскость ABC определяется тремя точками A(1,1,0), B(3,4,5) и C(1,3,6) в трехмерном пространстве, если на плоскости есть точка P(4,5,z), найдите значение z.'

В прямоугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$, показанном на рисунке справа, пусть \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} . Найдите скалярные произведения ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} соответственно. Данo, что |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 , и угол между ec{a} и ec{b} равен $90^{\circ}$.

ТРЕНИРОВКА 19 (3) Пусть |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 . Ответьте на следующие вопросы. (1) Когда ec{a} \cdot ec{b}=-1 , найдите значение |ec{a}-ec{b}| . (2) Когда |ec{a}+ec{b}|=1 , найдите значения ec{a} \cdot ec{b} и |2 ec{a}-3 ec{b}| .

Найдите скалярное произведение и угол $heta$ между следующими двумя векторами ec{a}, ec{b} . \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

Докажите, что следующие уравнения верны. (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

Найдите скалярные произведения $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, и угол $\theta$ между ними: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

Свойства Скалярного Произведения Вычислите скалярное произведение следующих векторов и подтвердите свойства скалярного произведения. ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) Скалярное произведение равно 0 Свойства Скалярного Произведения Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства от 1 до 5. 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) где k – это вещественное число. Доказательство Пусть ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight).

(1) Из $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ следует $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ Таким образом, \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) Следовательно, $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ Пусть $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$, тогда \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) То есть $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$, следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! Следовательно $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ Так как $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, то $\quad \theta=135^{\circ}$

Пусть $k$ будет вещественной постоянной. На некоторой плоскости находится точка $\mathrm{P}$ и треугольник $\mathrm{ABC}$, и выполняется следующее уравнение. $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) Когда точка $\mathrm{P}$ находится на линии $\mathrm{AB}$, $k=\square$. (2) Когда точка $\mathrm{P}$ находится внутри треугольника $\mathrm{ABC}$, выполняется $<k<\square$. Однако примите, что точка $\mathrm{P}$ не находится на периметре треугольника $\mathrm{ABC}$.

Найдите угол $heta$, образованный скалярным произведением векторов ec{a} и ec{b} .\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

Найдите значение $x$, если угол между двумя векторами \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) равен $45^{\circ}$.

Скалярное произведение векторов Угол, образуемый скалярным произведением векторов (пространство)

Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ векторов $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Возьмите три точки $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ и пусть угол между $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ будет $heta$.

Найдите значения $s$ и $t$, когда два вектора \( \vec{a}=(s, 3 s-1, s-1) \) и \( \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) параллельны.

Даны векторы \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \), где $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$、докажите следующее: $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

Найдите значение $x$, когда угол между векторами \( ec{a}=(2,1,1) \) и \( ec{b}=(x, 1,-2) \) равен $60^{\circ}$.

Связь между скалярным произведением и работой

Докажите, что векторы перпендикулярны, используя скалярное произведение.

Условие для того, чтобы 13 точек находились на прямой линии [Условие Коллинеарности] [=Пример 25]. Когда точки A и B различны, точка C находится на линии AB ⇔ существует действительное число k, такое что $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$. Когда точка C находится на линии AB, проходящей через различные точки A и B, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ или $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$.

В кубе со стороной 1 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ найдите следующие скалярные произведения. (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

Скалярное произведение векторов. Формы и скалярное произведение векторов (пространство) (1)

ТРЕНИРОВКА Практика 1 (4) Пусть $k$ - действительная константа. На некоторой плоскости есть точка $\mathrm{P}$ и треугольник $\mathrm{ABC}$, которые удовлетворяют следующему уравнению: 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) Когда точка $\mathrm{P}$ находится на прямой $\mathrm{AB}$, $k=\square$. (2) Когда точка $\mathrm{P}$ находится внутри треугольника $\mathrm{ABC}$, $<k<\square$. Предполагается, что точка $\mathrm{P}$ не находится на грани треугольника $\mathrm{ABC}$.

Определите значение $x$, которое делает два вектора $\vec{a}, \vec{b}$ параллельными. (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

Найдите площадь треугольника OAB S в следующих случаях. (1) Когда |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2

Вычислить компоненты скалярного произведения векторов (пространство)

(2) Так как \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \), у нас \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) Следовательно, \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) Таким образом, $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ Учитывая, что $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$, следовательно, $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$, следовательно $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ рассматривается как $|\vec{p}|^{2}$. Так как $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, следовательно, $\quad \theta=60^{\circ}$

Найдите следующие скалярные произведения. (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

Следовательно, $heta$ — это угол между $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$, тогда \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] Так как $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, то $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 Пусть угол между ненулевыми векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равен $heta$, тогда $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

Пожалуйста, вычислите скалярное произведение следующих векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$, при угле $\theta = 60^{\circ}$ между векторами, и | $\vec{a}$ | = 5, | $\vec{b}$ | = 3

(1) Найдите значение $x$, при котором \( \vec{a}=(5,1) \) и \( \vec{b}=(2, x) \) перпендикулярны. (2) Найдите единичный вектор $\vec{e}$, перпендикулярный вектору \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \).

Даны векторы \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight) \) и \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \), где $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$. Докажите, что следующее утверждение верно: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0

Пожалуйста, вычислите скалярное произведение следующих двух векторов: Вектор \(\vec{a} = (3, 4)\) и Вектор \(\vec{b} = (1, 2)\)

Для векторов, показанных на рисунке справа, перечислите все пары номеров векторов следующим образом. (1) Векторы с равной величиной (2) Векторы с одинаковым направлением (3) Равные векторы (4) Противоположные векторы

В треугольнике $riangle \mathrm{ABC}$ с вершинами в точках \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \), найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ и величину угла $\mathrm{ABC}$, обозначенную $heta$.

Угол между векторами и условие перпендикулярности Найдите угол между векторами ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) и докажите, что эти векторы перпендикулярны. Пусть угол между двумя ненулевыми векторами ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight) равен $heta$. Тогда \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}, где $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$