Векторный анализ Геометрия кривых и поверхностей - Основы векторов

'Упражнение (1) Найдите координаты точки Q, полученной поворотом точки P(-2,3) вокруг начала координат на угол 5/6π.'

'Дифференциальное исчисление 186 Условия касания двух кривых'

'Изобразите радиус следующих углов и укажите, в какой четверти находится каждый угол.'

''

'Найдите расстояние между двумя точками.'

"Я изучал свойства векторов на плоскости и в пространстве. Давайте суммируем и сравним все, кроме 'отражения' в разделе D.470."

''

'В пространстве взяты 4 точки A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2). Прямая, проходящая через точки A и B, обозначается ℓ, а прямая, проходящая через точки C и D, обозначается m.'

'(3) Прямая, проходящая через фиксированную точку A (вектор a) и перпендикулярная ненулевому вектору n'

'Что такое вертикальный (вектор)?'

'(1) Прямая параллельная ненулевому вектору d и проходящая через фиксированную точку A(вектор a) представлена как p=a+td, где d - вектор направления прямой'

'Найдите векторы положения 26 пересечений.'

'Различные методы нахождения позиционного вектора точки пересечения'

'Найти диапазон существования конечной точки вектора. (4)'

'Равенство и величина векторов'

'Объясните три основных правила векторных операций.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (1,2,-3) и параллельной вектору d=(3,-1,2).'

'(1) На плоскости даны 4 различные точки A, B, C, D и точка O, не лежащая на прямой AB. Если OA=a, OB=b, OC=3a-2b, OD=-3a+4b, то докажите, что AB параллельно CD.'

'В параллелограмме ABCD, если 2 раза вектор BP равен вектору BC, и 2 раза вектор AQ плюс вектор AB равно вектору AC, какова форма четырехугольника ABPQ?'

'В равностороннем треугольнике ABC со стороной 2, пусть L, M и N будут серединами сторон AB, BC и CA соответственно. Найдите все следующие векторы, представленные 6 точками A, B, C, L, M, N:'

''

'Операции с векторами'

'Когда \ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \, выразите \ \\vec{x}-\\vec{y} \ через \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.'

'В пространстве найдите единичный вектор t, ортогональный оси x, образующий угол 45 градусов с положительной осью z и имеющий положительную компоненту y.'

'Когда точка P движется на плоскости, и ее координаты (x, y) - функции времени t, ответьте на следующие вопросы:\n1. Выведите уравнение вектора, представляющее скорость.\n2. Выведите уравнение вектора, представляющее ускорение.'

''

'Найдите вектор положения точки пересечения линий.'

'Условие коллинеарности\nКогда две точки A, B различны\nКогда точка P находится на отрезке AB\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ для некоторого вещественного числа k'

'Даны три точки A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), найдите следующее:'

'Пусть полярные координаты точки A будут (r₁, θ₁), а полярные координаты точки B будут (r₂, θ₂). Найдите расстояние AB между точками A и B.'

'Объясните условия параллельности векторов.'

'(2) Пусть D, E, F будут точками на отрезках ОА, ОВ, ОС соответственно таким образом, что OD = 1/2 · OA, OE = 2/3 · OB и OF = 1/3 · OC. Если плоскость, содержащая три точки D, E, F, пересекает линию OQ в точке R, то выразите вектор OR через вектора a, b и c.'

'Пусть середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD обозначены как K, L, M, N соответственно, а середины диагоналей AC, BD обозначены как S, T соответственно. (1) Если вектора положения вершин A, B, C, D обозначены как a, b, c, d соответственно, выразить вектор положения середины отрезка KM используя a, b, c, d. (2) Показать, что три отрезка KM, LN, ST пересекаются в одной точке, выразив векторы положения середины отрезков LN, ST через a, b, c, d.'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'Условия коллинеарности и совпадения\n(1) Условия коллинеарности\nКогда две разные точки A, B, если точка P лежит на линии AB, то существует вещественное число k такое, что вектор AP = k вектор AB.'

'Векторные уравнения'

'В кубе OAPB-CRSQ, пусть 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR. Выразите ⃗OA через 𝑝, 𝑞, 𝑟.'

'В параллелепипеде ABCD-EFGH пусть P будет серединой диагонали AG, а вектор AB будет равен a, вектор AD равен b, и вектор AE равен c. Выразите векторы AC, AG, BH и CP через a, b и c.'

'Найдите векторы положения 26 пересечений'

'Пусть \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \ - прямоугольник \ \\mathrm{ABCD} \. Если \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \, выразите единичный вектор, параллельный \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ через \ \\vec{b}, \\vec{d} \.'

'Объясните основные концепции. В частности, укажите подробное объяснение понятий позиционных векторов, середин отрезков и центроидов треугольников.'

'Пусть z - комплексное число. Найдите диапазон точек для z, которые образуют остроугольный треугольник в комплексной плоскости с точками A(1), B(z) и C(z^2), и проиллюстрируйте это.'

'(1) Объясните следующие векторные операции по основным понятиям пространственных векторов.\n\n- Равенство\n- Сложение\n- Вычитание\n- Обратный вектор\n- Нулевой вектор\n- Умножение на скаляр'

'Объясните разницу векторов и их представление.'

'Основные концепции\n3. Вектор положения центроида треугольника\nПусть точки A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) будут вершинами треугольника ABC, а G - вектор положения центроида. Тогда\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(2) Прямая, проходящая через две разные точки A(𝐚) и B(𝐛)'

'Упражнение 1 Найдите все следующие векторы, представленные с использованием 6 вершин правильного шестиугольника ABCDEF с длиной стороны 1 и точки пересечения O диагоналей AD и BE.'

'Для треугольника OAB пусть OP = sOA + tOB. Определите диапазон существования точки P, когда вещественные числа s, t удовлетворяют следующим условиям.'

'Какое отношение между этими двумя векторами?'

"В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b), C(c), пусть D - точка, делящая сторону BC в соотношении 2:3, а E - точка, делящая сторону BC внешне в соотношении 1:2. Пусть G - центроид треугольника ABC, а G' - центроид треугольника AED. Выразите следующие векторы через a, b и c.\n(1) Положение векторов точек D, E, G'\n(2) GG'"

'Когда |𝑎|=3, найдите единичный вектор параллельный 𝑎.'

'Пожалуйста, объясните разложение вектора.'

'Диапазон существования конечной точки вектора'

'Найдите расстояние между началом координат O и точкой P(2,3,1).'

'69 (2) равен -2 по направлению оси x и -3 по направлению оси y'

''

'(1) Переместить 4 единицы вдоль оси x и -7 единиц вдоль оси y\n(2) Переместить -5/2 единиц вдоль оси x и -35/4 единиц вдоль оси y'

''

"Постройте точки P(z), A(α), P'(-z), B(z+α), C(z-α) на комплексной плоскости, где z=3+2i и α=1-i."

'Для точек A(1,2,3), B(-3,2,-1) и C(-4,2,1) найдите следующее:'

'Представление параметрической кривой'

'В прямоугольнике ABCD, AB = 3, а AD = 4. Пусть вектор AB - это b, а вектор AC - это c. (1) Если E - середина стороны AD, выразите вектор DE, используя b и c. (2) Выразите единичный вектор d в том же направлении, что и c, используя c.'

'Напишите компонентное представление векторов'

''

'Отношение точек и векторов в пространстве\nДля двух точек \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\),\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'Полярные координаты ↔ Декартовы координаты'

''

'(1) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(3,1) и перпендикулярной вектору n=(3,-7).'

'Организуйте ШАГ здесь'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'Для векторов $\\ vec a, \\ vec b$ справа нарисуйте следующие векторы:'

'В правильном шестиугольнике ABCDEF, где AB→=a и AF→=b. Представьте следующие векторы в терминах a и b. (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку C(1,-5) и перпендикулярной прямой AB, где A(3,1) и B(-2,2), используя векторы.'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'Давайте сосредоточимся на результатах примера на предыдущей странице.'

'Пример вопроса'

'Объясните компонентное представление векторов в пространстве.'

''

'В тетраэдре OABC, пусть OA=a, OB=b, OC=c. Пусть M - середина AB, N - точка, делящая BC в отношении 3:1, и G - центроид треугольника OAB. Выразите векторы MN и GN через a, b и c.'

'Рассмотрим прямую, проходящую через точку и имеющую заданный угол наклона (направление). Пусть прямая g проходит через точку A(\\\vec{a}\) и параллельна ненулевому вектору \\\vec{d}\. Для любой точки P(\\\vec{p}\) на прямой g (за исключением точки A) выполняется следующее.'

''

'Математическая задача: Найти позиционный вектор центроида G треугольника OAB. Поскольку точка G является центроидом треугольника, позиционный вектор точки G можно вычислить следующим образом.'

'Для точек \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) найдите следующее:\n(1) Расстояние между точками \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \\n(2) Координаты точки \ \\mathrm{P} \ разделения отрезка \ \\mathrm{BC} \ в соотношении 1:3\n(3) Координаты точки \ \\mathrm{Q} \, разделяющей отрезок \ \\mathrm{AB} \ внешне в соотношении 2:3\n(4) Координаты середины отрезка CA\n(5) Координаты центра тяжести G треугольника \ \\triangle \\mathrm{PQR} \'

'Для точек A(0,3,7), B(3,-3,1), C(-6,2,-1) найдите следующее:\n(1) Расстояние между точками A и B\n(2) Координаты точки, делящей отрезок AB в отношении 2:1\n(3) Координаты точки, делящей внешний отрезок AB в отношении 3:2\n(4) Координаты середины отрезка BC\n(5) Координаты центроида треугольника ABC'

'Обратный вектор'

'Линия, перпендикулярная вектору \ \\vec{n} \\nНаконец, давайте рассмотрим выражение линии с помощью скалярного произведения.\nПроходя через точку \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\), и ненулевой вектор \ \\overrightarrow{0} \, перпендикулярный вектору \ \\vec{n} \, обозначается как линия \ g \, и любая точка на линии \ g \ обозначается как \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\), так что \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ или \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) представляет собой векторное уравнение линии, проходящей через точку \ \\mathrm{A} \ и перпендикулярной вектору \ \\vec{n} \. Кроме того, \ \\vec{n} \ называется нормальным вектором линии \ g \.\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \ справедливо только тогда, когда точка P совпадает с точкой A.\nНормальный вектор линии \ g \ перпендикулярен к ней.\nТеперь давайте решим задачу с векторным уравнением.'

'Найдите позиционные векторы внутренних и внешних точек деления.'

'Пирамида \ \\ ( \\mathrm{OABCD} \ с основанием \ \\mathrm{ABCD} \ удовлетворяет \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \, а для четырех действительных чисел \ p, q, r, s \ отличных от 0, определяем четыре точки \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ как \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. Покажите, что если \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ плоские, то \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \.'

'Практика'

''

'Даны точки P(5,-3,7) и Q(7,1,2), найдите компоненты и величину вектора PQ.'

'Постройте положение следующих точек в полярных координатах.'

'Опишите диапазон существования точки P при движении с соблюдением условий s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0.'

'Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка P (вектор 𝑝) лежала на прямой AB, проходящей через две различные точки A (вектор 𝑎) и B (вектор 𝑏).'

'Важный пример 63 | Длина общей перпендикулярной\nВ декартовой системе координат точка A(1,3,0) лежит на линии l, параллельной вектору a=(-1,1,-1), а точка B(-1,3,2) лежит на линии m, параллельной вектору b=(-1,2,0). Пусть P будет точкой на линии l и Q будет точкой на линии m. Найдите минимальное значение величины |PQ| вектора PQ и координаты точек P и Q в этом случае.'

'Условие параллельности векторов ( \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ ) заключается в том, что существует действительное число \ k \, такое что \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'

'Для △OAB, пусть →OP=→OA+t→OB. Найдите диапазон существования точки P, когда действительные числа s, t удовлетворяют следующим отношениям: (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'

'Учитывая отрезок AB и точку P, когда AP + 3BP + 4AB = 0, где находится точка P?'

'Упражнение 38:\n(1) (А) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) следовательно\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'Рассмотрим середину диагонали RT как G и возьмем векторы OP=p, OR=r, и OS=s.'

'Объясните правила операций с векторами и используйте эти правила для доказательства свойств.'

'Найдите вектор положения p точки P, который делит отрезок прямой, соединяющий точки A(a) и B(b), в отношении m:n.'

'В данном случае, с О в качестве начала координат, $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ следовательно $H(3,2,-2)$'

'Объясните и укажите условия для параллельности векторов.'

'Найдите вектор позиции g центроида G треугольника ABC, где A(a), B(b), C(c) - вершины.'

'Если \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, и \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \, то любой вектор \ \\vec{p} \ может быть уникально представлен как \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, где \ s, t \ - это действительные числа.'

'Проверить (ПРОВЕРКА)'

'Страница 15 | Уравнение векторов и положение точек (2)'

'Позиционный вектор и условие коллинеарности\nДля 2 точек \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\), позиционный вектор точки, делящей отрезок прямой \ \\mathrm{AB} \ в пропорциях \ m: n \.\nВнутреннее деление: \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, внешнее деление: \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nУсловие коллинеарности\nКогда точки \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ отличаются, существует действительное число \ k \, такое что точка \ \\mathrm{P} \ лежит на линии \ \\mathrm{AB} \\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ для некоторого действительного числа \ k \'

'Исходя из предоставленной информации, найдите выражения и отношения различных векторов.'

'Объясните, как можно разложить произвольный вектор p с использованием двух непараллельных векторов a и b.'

'Найдите параметрические уравнения для данной кривой.'

'Направленный отрезок AB обозначается как вектор →AB. Кроме того, векторы также могут обозначаться с использованием одной буквы с стрелкой, например, →a, →b. Как мы обозначаем величину векторов →AB, →a?'

'При заданных координатах точек и компонентах вектора \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)'

'Для отрезка AB, соединяющего точки A (вектор а) и B (вектор b), выразите векторы положения следующих точек через векторы а и b.'

'Как записать вектор OA + вектор AC?'

'Пусть координаты точки C будут \\((x, y, z)\\). Используя условие, что четырёхугольник \ \\mathrm{ABCD} \ является параллелограммом, найдите координаты C.'

'Найдите диапазон движения точки P при следующих условиях.'

''

'Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(𝑎→) и параллельной вектору 𝑑(𝑑 ≠ 𝑎→).'

'В треугольнике OAB найдите диапазон точек P, удовлетворяющих следующим условиям.'

'Дан отрезок AB и точка P. Когда следующее уравнение верно, где находится точка P?'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'На плоскости XY координаты точки A равны (1,0), координаты точки B равны (cos 𝛼, sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π), координаты точки C равны (cos 𝛽, sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π), при этом не теряется общности. Следовательно, OA=(1,0), OB=(cos 𝛼, sin 𝛼), OC=(cos 𝛽, sin 𝛽).'

'Пусть p будет положительной постоянной, и пусть вектора a=(1,1) и b=(1,-p). Теперь, если угол между векторами a и b составляет 60 градусов, найдите значение p.'

'Найдите компоненты каждого вектора, где 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\, \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, и \\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'

'Найдите уравнение прямой'

'Пример 37 | Единичные векторы, перпендикулярные двум векторам'

'В остроугольном треугольнике ABC, где A(→a), B(→b), C(→c), BC=a, CA=b, AB=c. Если центр угла A обозначен как IA(→iA), выразите вектор →iA через →a, →b и →c.'

'(1) Найдите расстояние между точкой P(0,1,4) и точкой Q(-4,5,0).'

'Векторные уравнения'

'Получите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной вектору n (n не равен нулевому вектору).'

''

'В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b) и C(c), где точка P делит сторону AB в пропорции 2:1, точка Q делит сторону BC внешне в пропорции 3:2, а точка R делит сторону CA внешне в пропорции 1:3. Пусть G будет центроидом треугольника PQR. Выразите следующие векторы через a, b и c: (1) Положение точек P, Q, R (2) Вектор PQ (3) Положение точки G'

'Точка Q делит отрезок OP внешне в соотношении 4:1, поэтому'

'Докажите, что неравенство |вектор AP| + |вектор AQ| + |вектор AR| ≥ 3/√2 выполняется для 4 точек P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) в вещественных числах.'

'Проверьте координаты точки P (x, y) и возьмите точку Q.'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'Даны векторы \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\, \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (где O - начало координат), при этом \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\, \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\. Постройте векторы \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ на координатной плоскости.'

'(1) Выразить \ \\overrightarrow{G U} \ как \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Векторное уравнение окружности'

'Найдите уравнения следующих прямых:'

'Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной 1 на плоскости. Для точки P, пусть вектор v(P) определяется как v(P)=→PA−3→PB+2→PC. Докажите: (1) v(P) - это постоянный вектор, независящий от P. (2) Для какой фигуры находится точка P, когда |→PA+→PB+→PC|=|v(P)|.'

'Выполните сложение векторов, вычитание, умножение на скаляр и операции с векторами между двумя точками, используя компоненты вектора.'

'Пусть центры окружностей C1 и C2 обозначены как O1 и O2 соответственно. Чему равен вектор от центра O1 до центра O2?'

'Для любой точки P на прямой, пусть OP = p. В этом случае, каково векторное уравнение прямой?'

'Переведите данное выражение на несколько языков.'

'Когда четыре точки O, A, B, C не лежат в одной плоскости, если $\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$, то любой вектор $\\vec{p}$ можно единственным образом представить как $\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$, где $s$, $t$, $u$ - действительные числа.'

'Найдите координаты точки Q после вращения точки P(3, -1) вокруг точки A(-1, 2) как центра на -π/3.'

'Пожалуйста, укажите формулу для расчета расстояния AB между точками A(r1, θ1) и B(r2, θ2).'

'Постройте следующие точки в полярных координатах и найдите декартовы координаты.'

'(1) Найдите координаты точки B после вращения точки A(2,1) вокруг начала координат O на угол π/4 радиан.\n(2) Точка P была центром вращения, когда точка A(2,1) повернулась на угол π/4 радиан до координат (1-√2, -2+2√2). Найдите координаты точки P.'

'Точка P движется по окружности круга радиусом r с центром в начале координат O, начиная с фиксированной точки Р0, так что ОР вращается с постоянной угловой скоростью ω за секунду.'

'Понимание основ векторов (определение векторов, свойства и основные операции).'

'На координатной плоскости есть три фиксированные точки A, B, C и подвижная точка P, с вектором AB=(3,1), вектором BC=(1,2) и вектором AP, который представлен как (2t, 3t) с использованием вещественного числа t.'

'Важная тема 40 | Сравнение величин векторов'

'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'

'\ \\triangle OAB \, найдите диапазон существования точки \ P \, удовлетворяющей следующим уравнениям. \\ n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\leqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'

'Найдите величину следующих векторов.'

''

''

'Понятие позиционных векторов в пространстве'

''

'О решениях для векторов положения и условиях для нахождения в одной плоскости'

'Глава 1 Векторы на плоскости - В треугольнике OAB определите диапазон точек P, удовлетворяющих следующим уравнениям:\n1) OP = sOA + tOB, s + t = 1/3, s ≥ 0, t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB, 3s + 2t = 4, s ≥ 0, t ≥ 0'

'В координатном пространстве PR есть 4 точки O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2). Найдите вектор p, который перпендикулярен как к векторам OA, так и к BC, с величиной 3√3.'

'Найдите один нормальный вектор следующей прямой.'

'Поскольку 4|a|=3, требуемые векторы -'

'Найдите диапазон существования точки P, удовлетворяющей следующим условиям.'

'Диапазон существования точек, удовлетворяющих векторному уравнению и координатам пересечения'

'Даны четыре точки A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b).'

'Докажите, что следующие уравнения выполняются в тетраэдре ABCD: (1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'Применение векторов к плоской геометрии'

'Пример 21 | Представление пространственных векторов\nВ параллелепипеде ABCD-EFGH пусть точка пересечения диагоналей AG будет P, а →AB=𝑎, →AD=𝑏, →AE=𝑐. Выразить →AC, →AG, →BH, →CP через 𝑎, 𝑏, 𝑐.'

'Найдите координаты заданной точки.'

''

'Объясните условие параллельности векторов.'

'Используйте следующие уравнения для демонстрации свойств векторов:'

'В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b) и C(c), где точка P делит сторону AB внутренним образом в отношении 2:1, точка Q делит сторону BC внешним образом в отношении 3:2 и точка R делит сторону CA внешним образом в отношении 1:3, а G - центроид треугольника PQR. Выразите следующие векторы через a, b и c: (1) Позиционные векторы точек P, Q и R (2) Вектор PQ (3) Позиционный вектор точки G'

'Рассмотрим окружность с центром в O. На окружности этой окружности есть 3 точки A, B и C, такие что вектор OA + вектор OB + вектор OC = 0. Докажите, что треугольник ABC - равносторонний треугольник.'

'Разложение векторов В параллелограмме ABCD точка E делит сторону BC внутренне в соотношении 2:1, точка F является пересечением диагоналей AC и BD, и точка G является пересечением отрезков AE и BD. Пусть вектор AB=b и вектор AD=d. (1) Выразите векторы AE, AF, GC через b и d. (2) Если вектор AE=e и вектор AF=f, то выразите вектор BD через e и f.'

'Линейная независимость и линейная зависимость векторов в пространстве'

'Когда три вектора a, b и c не коллинеарны, найдите уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.'

'В треугольнике \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ найдите диапазон точек \ \\mathrm{P} \, удовлетворяющих следующим уравнениям:'

'Для векторов a, b, c, постройте следующие векторы:\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'

'Пусть \\( \\vec{a}=(1,-1,2) \\) и \\( \\vec{b}=(1,1,-1) \\). Найдите минимальную величину \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (где \ t \ - это вещественное число) и соответствующее значение \ t \.'

'Применения векторов Пусть s, t, u будут действительными числами на одной плоскости. Точка P (p) находится на плоскости, определенной тремя точками A (a), B (b) и C (c) тогда и только тогда, когда ⇔CP⃗ = sCA⃗ + tCB⃗ ⇔ p⃗ = sa⃗ + tb⃗ + uc⃗, s + t + u = 1'

'Важный пример 61: Уравнения прямых\nНайдите уравнения следующих прямых:\n(1) Проходящая через точку A(1,3,-2) и параллельная вектору d=(3,2,-4)\n(2) Проходящая через точки A(0,1,1) и B(-1,3,1)\n(3) Проходящая через точку A(-3,5,2) и параллельная вектору d=(0,0,1)'

'Любая точка на прямой обозначается как P(x, y) с t в качестве параметра.'

'Найдите уравнение прямой \ \\ell \, проходящей через точку A(\ \\vec{a} \) и параллельной ненулевому вектору \ \\vec{d} \.'

'Любой вектор \ \\vec{p} \ на плоскости можно выразить через два вектора \\( \\vec{a}, \\vec{b} ( \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b}) \\), как показано ниже:'

'Выполните следующие операции с векторами: 1. Найдите сумму векторов A = (3, 4) и B = (1, 2). 2. Найдите разность между векторами A = (3, 4) и B = (1, 2).'

'Векторное уравнение плоскости, определенной тремя неколлинеарными точками A(⃗a), B(⃗b), C(⃗c) и произвольной точкой P(⃗p), с s, t, u в качестве вещественных чисел, задается ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1 или ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'Когда два вектора a и b имеют одинаковое направление и величину, эти два вектора считаются равными.'

'Найдите значение действительного числа $t$, при котором угол между векторами $\\vec{a} + t \\vec{b}$ и $\\vec{b} + t \\vec{a}$ равен $120^{\\circ}$, если $\\vec{a} = (3, 4, 5)$ и $\\vec{b} = (7, 1, 0)$.'

'Найдите комплексные числа, представляющие следующие точки. (1) Середина отрезка AB, соединяющего точки A(-3+6i) и B(5-8i) (2) Точка P, делящая отрезок AB, соединяющий точки A(2-3i) и B(-7+3i), в отношении 2:1, и точка Q, разделяющая внешне.'

'Объясните сложение и вычитание векторов.'

'Найдите угол θ, образованный двумя плоскостями. Где 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'Для отрезка, соединяющего точки A(a) и B(b) как AB, выразите векторы положения следующих точек через a и b.'

'Вектор положения и внутренние точки деления・внешние точки деления\nПусть вектор положения будет \ \\vec{p} \ и точку обозначим как \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\).\nВ пространстве, как и в плоскости, справедливо следующее:\n\nЗадача 1: Для точек \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) составьте следующие уравнения.\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. Найти вектор позиции точки, делящей отрезок \ \\mathrm{AB} \ в отношении \ m: n \.\n3. Найти вектор позиции середины отрезка \ \\mathrm{AB} \ .\n4. Найти вектор позиции центроида G треугольника \ \\triangle \\mathrm{ABC} \.'

'Объясните разложение вектора.'

'Вопрос 71\n(1) Найдите точку (-3, -1, 7).\n(2) Найдите точку (18/11, 26/11, 12/11).'

'Найдите диапазон существования точки P в треугольнике OAB, удовлетворяющий следующим уравнениям:\n(1) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n(2) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'Найдите расстояние между точкой A(r1, θ1) и точкой B(r2, θ2).'

'Позиционные векторы, векторы и фигуры: Объясните, как позиционные векторы и векторы формируют фигуры.'

'Практика (1) Для двух ненулевых векторов \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \, когда \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ перпендикулярен к \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \, и когда выполнено условие \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \, найдите угол \ \\theta \, образованный \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \.'

'Пусть \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ - два ненулевых вектора, перпендикулярные друг другу. Пусть угол между \ \\vec{a}+\\vec{b} \ и \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ равен \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \. (1) Выразите \ \\sin ^{2} \\theta \ через \ x \ и \ y \, где \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \. (2) Найдите максимальное значение \ \\theta \.'

"Вектор - это величина, обладающая как величиной, так и направлением. В данной главе обсуждаются векторы на основе направленных отрезков на плоскости, представление векторов парами чисел (компонентов), операции, такие как 'скалярное произведение', и применение векторов в геометрии. Понимание концепции 'линейной независимости' векторов крайне важно для подготовки к будущим учебным материалам по математике, физике, экономике и другим областям."

'Постройте положения следующих точек, представленных в полярных координатах: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\), \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\), \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\).'

'Пусть \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ будет началом координат, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (где s и t - действительные числа).'

'Ответьте на следующие вопросы.'

'В треугольнике OAB пусть C будет серединой OA, а D - точкой, делящей OB в соотношении 1:3 снаружи. Если вектор OA равен a и 35 раз вектор OB равен b, найдите векторное уравнение следующей прямой.'

'В параллелепипеде \ABCD-EFGH\, когда \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\, выразите \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ через \\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\.'

'Найдите параметрическое представление следующей прямой с параметром t.'

'Найдите параметрическое представление следующей прямой с параметром t: проходит через точку B(-4,3) и параллельна вектору d=(5,6).'

'Векторное уравнение окружности: Векторное уравнение окружности с центром C(c) и радиусом r: |p-c|=r'

''

'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'

'Найдите компоненты и длину вектора PQ для точек P(5,-3,7) и Q(7,1,2).'

'В этом примере, учитывая векторы \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), выразите вектор \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) в виде \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ вещественные числа.'

None

'Иллюстрируйте сложение, вычитание и скалярное умножение векторов.'

'Изучение векторных уравнений и положения точек (1).'

'Пример 14 | Равенство векторов и положение точек (1)'

'Пусть N будет точкой, делящей AB в соотношении 2:3. Пусть P будет точкой пересечения отрезка LM и ON. Если a - это вектор OA, а b - вектор OB, выразите ON и OP через вектора a и b.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'В чем разница в подходе между Подходом 1 и Подходом 2 для Базового примера 24?'

'Рассмотрим круг C с радиусом r и вектором позиции центра →OA на координатной плоскости с EXO в качестве начала координат. Пусть вектор позиции точки P на окружности будет →OP. Также рассмотрим точку B вне круга C с вектором позиции →OB. Кроме того, пусть Q будет серединой точек B и P, с вектором позиции →OQ. Определим D как фигуру, следуемую по точке Q по мере движения точки P по окружности.\n(1) Найдите векторное уравнение, представляющее круг C.'

'Определите диапазон существования точек, удовлетворяющих векторному уравнению. Пожалуйста, ответьте, используя пример пространственной геометрической фигуры.'

'Найдите нормальный вектор следующей линии.'

'Изучение векторных уравнений и положений точек (2).'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку (-1,2,3) и перпендикулярной линии \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3.'

'Докажите, что точка P лежит на линии AB, где AB определяется двумя различными точками A(a) и B(b).'

'Даны точки A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7). Пусть E - симметричная точка D относительно плоскости, проходящей через точки A, B и C. Найдите координаты точки E.'

'(1) Найдите координаты точки, симметричной точке P(-3, 4, 1) относительно точки A(1, -2, 3).'

'Условие коллинеарности: Когда две точки A, B различны, точка P лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда вектор AP равен k раз вектору AB, где k - это действительное число.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору n. (2) A(1,3), n=(-1,2)'

'Найдите параметрические уравнения следующих прямых, с параметром t.'

'Имея две точки A(вектор a) и B(вектор b), найдите позиционный вектор точки, в которой сегмент AB делится на m:n.'

''

'В пространстве координат, геометрические фигуры и векторные уравнения: объясните представление геометрических фигур в пространстве координат и использование векторных уравнений.'

'Точка P лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существуют числа s и t такие, что вектор OP равен s умножить на вектор OA плюс t умножить на вектор OB, и s + t = 1'

'Найдите параметрическое представление следующих прямых линий с параметром t. Также выразите его без параметра t.'

'Опишите компоненты векторов в пространстве, скалярное произведение: Объясните вычисление компонентов векторов в пространстве и их скалярное произведение.'

'Вопрос 46\n(1) Найдите координаты точки (0, 1/4, 0).\n(2) Найдите координаты точки (0, -21, 17/2).'

'Пусть a = (0,1,2), b = (2,4,6). Для вещественных чисел t, где -1 ≤ t ≤ 1, найдите значения x, которые максимизируют и минимизируют величину x, когда x = a + tb.'

'Если $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$, найдите диапазон вещественных чисел для $k$ таких, что $|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$ выполняется для всех вещественных чисел $t$.'

'В пространстве есть треугольник ABC с вершинами A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5). (1) Найдите длины отрезков AB, BC и CA. (2) Найдите площадь S треугольника ABC.'

'Предположим, что плоскость α определяется тремя неколлинеарными точками A (вектор a), B (вектор b) и C (вектор c), не лежащими на одной прямой. Когда точка P (вектор p) лежит в плоскости α, справедливо следующее векторное уравнение. Докажите это.'

'Точка C делит сторону \\\mathrm{OA}\ треугольника \\\triangle OAB\ в отношении 3:1, а точка D делит сторону \\\mathrm{OB}\ в отношении 4:1. Пусть P будет пересечением отрезков \\\mathrm{AD}\ и \\\mathrm{BC}\, а Q - пересечением отрезков \\\mathrm{OP}\ и \\\mathrm{AB}\. Учитывая, что \\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\ и \\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\, выразите \\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ и найдите соотношение BP к CP. Также выразите \\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ и определите отношение \\\mathrm{OP}\ к \\\mathrm{PQ}\.'

'Какое имя кривой, представленной полярным уравнением r = sin αθ? Кроме того, покажите изменение количества лепестков в зависимости от значения a.'

'В отрезке AB, когда указывается направление от точки A к точке B, это называется направленный отрезок AB. В направленном отрезке AB A называется его начальной точкой, а B - конечной точкой. Длина отрезка AB называется величиной или длиной направленного отрезка AB. Игнорируя разницу в положении, фокусируясь лишь на направлении и величине, это называется вектором. Напишите вектор, представленный направленным отрезком AB.'

'Пожалуйста, решите проблему, используя координаты.'

'(1) Найти расстояние между двумя точками A(1,-1,3) и B(-1,0,1).'

Условие для точки P(\vec{p}) находиться в плоскости, определяемой тремя точками A(\vec{a}), B(\vec{b}) и C(\vec{c}), заключается в следующем $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■ Положение вектора центра тяжести треугольника $\mathrm{ABC}$, положение вектора центра тяжести G треугольника ABC, определяется следующим образом. Положение вектора центра тяжести треугольника ABC с вершинами \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) равно $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

О равенстве коэффициентов векторов: Если ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, то s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

Пусть lpha=x-2 i и eta=3-6 i . Когда две точки \( \mathrm{A}(lpha) \) и \( \mathrm{B}(eta) \) находятся на одной прямой с началом координат $\mathrm{O}$, найдите значение действительного числа $x$.

Пожалуйста, решите задачу с векторами на плоскости.

Для треугольника $riangle \mathrm{ABC}$ с вершинами \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) найдите величину угла ngle \mathrm{BAC} , обозначаемую $heta$.

Параллельные векторы Два ненулевых вектора ec{a}, \ec{b} называются параллельными, если они имеют одно или противоположное направление, и записывается это как $\vec{a}/\vec{b}$. Исходя из определения вещественных кратных векторов, справедливо следующее. Теперь покажите на примере векторов ecа= лучший ), \вейвек тот же и равен \( 2 \vec {b}。

Найдите угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в следующих случаях. (1) Когда $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ (2) Когда $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ и $\vec{a}-3 \vec{b}$ перпендикулярен $2 \vec{a}+ \vec{b}$

В пространстве имеются точки \( \mathrm{A}(ec{a}) \) и \( \mathrm{B}(ec{b})\). Найдите вектор положения точки, которая внешним образом делит отрезок AB в отношении m:n.

Даны компоненты векторов \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \), выразите следующие векторы в виде компонент. (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

Область существования точки $\mathrm{P}$, удовлетворяющей векторному уравнению: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

Дано \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) и вещественное число $t$. Пусть \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \). Найдите значение $t$, при котором $|\vec{p}|$ минимально, и значение $|\vec{p}|$ в этот момент.

Для векторов, показанных на правой диаграмме, перечислите все пары номеров векторов, которые соответствуют следующим критериям: (1) Векторы с равной величиной (2) Векторы с одинаковым направлением (3) Равные векторы (4) Противоположные векторы

Поймите геометрический смысл сложения векторов и разберитесь с примером 2!

Есть зафиксированные точки O, A и движущаяся точка P. Дано \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} и \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} , когда |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 , точка P лежит на окружности определенного круга. Найдите центр и радиус этого круга. Предположим, что ec{a} eq \overrightarrow{0} .

В четырехугольнике $A B C D$, показанном справа, который является ромбом, точка $O$ является точкой пересечения диагоналей $A C$ и $\mathrm{BD}$. Дано, что $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) Постройте векторы $\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{c}$. (2) Каким будет вектор $\vec{b}+\vec{c}$?

Разложение вектора ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b}. Любой вектор ec{p} может быть однозначно представлен в виде ec{p}=s ec{a}+t ec{b}, используя действительные числа $s, t$.

В координатном пространстве найдите расстояние между двумя точками. Если координаты точки A (a1, a2, a3) и координаты точки B (b1, b2, b3), каково расстояние между A и B?

Давайте подумаем о геометрическом значении сложения векторов. Для векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справа, нарисуйте $\vec{a}+\vec{b}$。

Определите значение $x$, при котором следующие два вектора ec{a}, ec{b} будут параллельны. (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

Внутри $riangle \mathrm{ABC}$ находится точка $\mathrm{P}$, такая что $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ справедливо. (1) Где находится точка $\mathrm{P}$? (2) Найдите отношение площадей $riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}$.

Пример Вопрос 35 Минимальная величина вектора (пространство) Пусть \(ec{a}=(2,-4,-3)\) и \(ec{b}=(1,-1,1)\). Найдите минимальную величину ec{a}+t ec{b} (где $t$ - действительное число) и значение $t$ при этом минимуме. [Технический институт Чиба]

Действительное умножение вектора\ Дано действительное число $k$ и вектор \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \), $k$-кратный вектор $\vec{a}$, обозначаемый как $k \vec{a}$, определяется следующим образом: 1. Если $k > 0$, вектор $k \vec{a}$ имеет то же направление, что и $\vec{a}$, но его величина увеличивается в $k$ раз. В частности, $1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. Если $k < 0$, вектор $k \vec{a}$ имеет противоположное направление по сравнению с $\vec{a}$, и его величина увеличивается в \( |k| \ ) раз. В частности, \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. Если $k=0$, результат является нулевым вектором $\overrightarrow{0}$, то есть $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ Далее подтвердите это на данном примере. Пример: умножьте вектор \( \vec{a} = (3, -2) \) на действительные числа $k = 2, -3, 0$.

Альтернативный метод решения для $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ (до шага 11 тот же). С точкой D в качестве начальной точки, $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ Поэтому, из (1), \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ Проверьте это.

Если z=4+2i, lpha=1+3i , нанесите точки \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) на комплексную плоскость.

Координаты точки A: (2,-4), координаты точки B: (-2,2), координаты точки C: (0,-4). Для векторов ec{a}, ec{b}, ec{c} ответьте на следующие вопросы: (1) Представьте векторы ec{a}, ec{b}, ec{c} в компонентной форме. (2) Вычислите величины |ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}|.

Докажите, что следующие уравнения верны. (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

Вектор позиции, применение к фигурам Вектор позиции точек деления (пространство)

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) и перпендикулярной вектору \( ec{n}=(1,-2,3) \).

Пожалуйста, решите задачу, связанную с векторами в пространстве.

Объясните векторное уравнение прямой.

В каждой из следующих ситуаций найдите угол $\theta$ между $\vec{a}$ и $\vec{b}$. (1) Когда $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ (2) Когда $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ перпендикулярен $6 \vec{a}+7 \vec{b}$

На плоскости рассмотрим △ABC и точки P и Q. Ответьте, где находятся точки P и Q, если выполняются следующие равенства: (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

Найдите координаты центра тяжести точек A, B и C. Если координаты точки A (a1, a2, a3), координаты точки B (b1, b2, b3) и координаты точки C (c1, c2, c3), каковы координаты центра тяжести?

Для двух точек \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) и \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \), \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2 ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]

В треугольнике $riangle \mathrm{ABC}$ с вершинами в точках \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \), точка $\mathrm{P}$ — середина стороны $\mathrm{AB}$, точка $\mathrm{Q}$ вне делит сторону $\mathrm{BC}$ в отношении 1:2, а точка $\mathrm{R}$ вне делит сторону $\mathrm{CA}$ в отношении 2:1. Точка G — это центроид треугольника $\mathrm{AQR}$. Выразите следующие векторы, используя ec{a}, ec{b}, ec{c} : (1) Вектор положения точки G (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

Если точка P находится на плоскости KLM, найдите величину вектора OP |€{ec{\mathrm{OP}}}|.

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку \( \mathrm{A}(4,2,2) \) и перпендикулярной вектору \( ec{n}=(2,-3,1) )。

Для треугольника $riangle \mathrm{OAB}$, пусть $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Если действительные числа $s$ и $t$ удовлетворяют условиям s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 , найдите область существования точки $\mathrm{P}$.

Дано \(ec{a}=(3,-4)\) и \(ec{b}=(-2,1)\), выразите компоненты следующих векторов: (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

Для треугольника OAB пусть $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Определите область существования точки P, когда действительные числа $s, t$ удовлетворяют следующим уравнениям. (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

Глава 1 Векторы на плоскости- 23 EX 3 точки \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) существуют. (1) Найдите косинус угла $\theta$ между $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, который обозначается $\cos \theta$. (2) Найдите площадь треугольника $\triangle \mathrm{ABC}$. (3) Найдите действительное число t, которое минимизирует величину вектора $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ и его минимальное значение.

Относительно векторов, показанных на диаграмме справа, перечислите все пары номеров векторов следующим образом: (1) Векторы с равной величиной (2) Векторы с одинаковым направлением (3) Равные векторы (4) Противоположные векторы

Имеются \( ec{a}=(1,2,3) \) и \( ec{b}=(2,0,-1) \). Найдите минимальное значение |ec{c}| и значение $t$, при котором оно достигается, где ec{c}=ec{a}+t ec{b} .

Предположим, что на плоскости есть $riangle \mathrm{ABC}$ и точки $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$. Когда выполняются следующие уравнения, ответьте на вопрос о положении точек $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$. (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

Даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Если |\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5}, и \vec{a} \cdot \vec{b} = -10, ответьте на следующие вопросы. (1) Для любого действительного числа t, найдите минимальное значение |\vec{a} + t\vec{b}| и значение t в этот момент. (2) Для значения t, полученного в (1), докажите, что \vec{a} + t\vec{b} перпендикулярно \vec{b}.

В пространстве направленный отрезок из точки А в точку В, представленный как $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, имеет величину, представленную как $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$. Векторы в пространстве также часто обозначаются строчными буквами, такими как ec{a} и ec{b} . Векторы в пространстве определяются точно так же, как и векторы на плоскости. Ответьте на следующие вопросы о базовых свойствах векторов. 1. Если ec{a} и ec{b} имеют одинаковое направление и величину, как их можно представить? 2. Как обозначается обратный вектор ec{a} ? 3. Как называются векторы с величиной 0 и величиной 1, соответственно? 4. Приведите примеры сложения, вычитания и умножения векторов на скаляр.

Если z=3+2 i, lpha=1-i , изобразите точки \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) на комплексной плоскости.

(1) Найдите значение $x$, при котором \( \vec{a}=(x+2,1) \) и \( \vec{b}=(1,-6) \) перпендикулярны. (2) Найдите вектор $\vec{d}$, который перпендикулярен \( \vec{c}=(2,1) \) и имеет величину $2 \sqrt{5}$.

Найдите уравнение прямой, удовлетворяющей следующим условиям, используя векторы: (1) Проходит через точку \( \mathrm{A}(-2,3) \) и параллельна вектору \( ec{d}=(2,1) \) (2) Проходит через две точки \( \mathrm{A}(-1,2) \) и \( \mathrm{B}(3,1) \)

Для следующих векторов \vec{a}, \vec{b}, проиллюстрируйте \vec{a}-\vec{b}.

(1) В треугольнике $riangle \mathrm{OAB}$, если \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} , выразите площадь $S$ треугольника $riangle \mathrm{OАB}$ через ec{a} и ec{b} . (2) Используя (1), при $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$, найдите площадь $S$ треугольника $riangle \mathrm{OAB}$.

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

Найдите координаты точки P, которая делит отрезок AB внутренне в отношении m:n. Если координаты точки A равны (a1, a2, a3), а координаты точки B равны (b1, b2, b3), то каковы координаты точки P?

Координаты средней точки отрезка AB $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$

(1) $3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$

Когда точки O, P и C находятся на одной прямой в этом порядке, P является ближайшей к O точкой среди точек пересечения прямой OC и сферы S. Поскольку OC = √(0^2+1^2+2^2) = √5, чему равна координата y точки P, когда точки O, P и C находятся на одной прямой в этом порядке?

Базовый пример Сложение двухмерных векторов Для векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ на правой диаграмме изобразите следующие векторы. (1) $\vec{a}+\vec{b}$ (2) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ (3) $\vec{a}+\vec{d}$

Условия совпадения точек Точки $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ совпадают $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ (совпадают радиус-векторы) \& см. 50.

В пространстве имеются точки \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \). Найдите радиус-вектор точки, которая делит отрезок AB в отношении $m:n$.

Докажите, что следующие уравнения верны. (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

Найдите координаты середины отрезка AB. Если координаты точки A (a1, a2, a3), а координаты точки B (b1, b2, b3), каковы координаты середины?

Компоненты вектора Разложение и компоненты вектора

Найдите вектор $\vec{b}$, который образует угол $45^{\circ}$ с вектором \( \vec{a}=(1,2) \) и имеет величину $\sqrt{10}$.

Найдите угол между $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \).

В правильном шестиугольнике $\mathrm{ABCDEF}$ на правой фигуре, пусть пересечение диагоналей $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{BE}$ будет точкой $\mathrm{O}$, и \overrightarrow{\mathrm{OA}} = ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = ec{b} . В этом случае выразите следующие векторы через ec{a} и ec{b}: (1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

Какую фигуру рисуют следующие параметрические уравнения? (1) $x=t+1, \quad y=3t-2$ (2) $x=\sqrt{t}-1, \quad y=t-3\sqrt{t}$ (3) $x=2\cos\theta, \quad y=2\sin\theta$

Для векторов ec{a}, ec{b} справа, изобразите следующие векторы. (1) 2 ec{a} (2) rac{1}{3} ec{b} (3) 2 ec{a}+rac{1}{3} ec{b}

Поймите угол между пространственными векторами и решите Пример 46!

Пусть $3t = -2$, когда $t = 1$, \( \vec{p} = (-5,0) \), и когда $t = 1$, \( \vec{p} = (4,3) \).

Вектор положения, применение в геометрии Вектор положения точки пересечения прямой и плоскости

Пожалуйста, объясните разницу вектора.

Глава 2 Векторы в пространстве 37 Даны \( \vec{a} = (1,2,3) \) и \( \vec{b} = (2,0,-1) \). Для действительного числа $t$ пусть $\vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$. Определите минимальное значение $|\vec{c}|$ и соответствующее значение $t$. [Фукуокский технологический институт] \[ egin{aligned} \vec{c} & = \vec{a} + t \vec{b} = (1,2,3) + t(2,0,-1) \\ & = (2t + 1, 2, -t + 3) \end{aligned} \]

Имея векторы ec{a}, ec{b} справа, нарисуйте следующие векторы. (1) 3 ec{a} (2) -\frac{3}{2} ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

Дано |ec{a}|=1, |ec{b}|=2 . Ответьте на следующий вопрос. (2) Когда |ec{a}+ec{b}|=1 , найдите значения ec{a} \cdot ec{b} и |2 ec{a}-3 ec{b}| .

Найдите вектор \( \vec{d}=(x, y) \), который перпендикулярен \( \vec{c}=(2,1) \) и имеет величину $2 \sqrt{5}$.

Условие для 3 точек находиться на одной прямой [Условие Коллинеарности]: Когда 2 точки \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \) различны, условие для точки \( \mathrm{C}(ec{c}) \) следующее: 3 точки $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ находятся на одной прямой $\Longleftrightarrow$ Точка $\mathrm{C}$ находится на линии $\mathrm{AB}$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} / / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ или $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$, где k — действительное число ...... (1) \Longleftrightarrow ec{c}=s ec{a}+t ec{b}, s+t=1 , где $s$ и $t$ — действительные числа ...... Примечание: В (1) \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{c}-ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}-ec{a} , следовательно, \( ec{c} - ec{a} = k(ec{b} - ec{a}) Производим формирование: \( ec{c} = (1 - k) ec{a} + k ec{b} \) Если взять $1 - k = s, k = t$, то получаем результат (2).

Найдите расстояние между точками \(A(a_1, a_2, a_3)\) и \(B(b_1, b_2, b_3)\).

45 \vec{d}=2 \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}

Глава 1: Векторы на плоскости - 5 TR \( ec{a}=(2,3), ec{b}=(-2,2), ec{c}=(5,5) \) Найдите значения действительных чисел $x, y$, при которых ec{c}=x ec{a}+y ec{b} .

(1) Из точки P(-3,5,1) опустите перпендикуляры PA, PB и PC на плоскости xy, yz и zx соответственно. Найдите координаты точек A, B и C. (2) Пусть точки, симметричные точке P(-3,5,1) относительно плоскостей xy, yz и zx, будут соответственно D, E и F. Найдите координаты точек D, E и F. (3) Найдите расстояние между точкой O и точкой P(-3,5,1).

Компоненты вектора Величина вектора $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

Докажите, что следующие уравнения верны: (1) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{RS}}-\overrightarrow{\mathrm{SH}}-\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{KN}}$

В треугольнике $riangle ABC$ с вершинами A(\(ec{a}), B(ec{b}), C(ec{c}) \), пусть P будет точкой, которая делит отрезок $AB$ в отношении 2:1 внутренне, а Q будет точкой, которая делит отрезок $BC$ в отношении 2:5 внешне. Выразите следующие векторы, используя ec{a}, \(ec{b}, и ec{c}: (1) Позиционные векторы точек P и Q (2) $\overrightarrow{PQ}$ (3) Позиционный вектор центра тяжести G треугольника $riangle CPQ$.

В правильном шестиугольнике $\mathrm{ABCDEF}$, показанном справа, пусть пересечением диагоналей $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{BE}$ будет точка $\mathrm{O}$, и пусть \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} . Используя ec{a}, ec{b} , выразите следующие векторы: (1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$