Искусственный интеллект | Номер 1 в бесплатном приложении для завершения домашнего задания
Геометрия и измерение
Векторный анализ Геометрия кривых и поверхностей - Основы векторов
Q.01
'Упражнение (1) Найдите координаты точки Q, полученной поворотом точки P(-2,3) вокруг начала координат на угол 5/6π.'
A. ...
Q.02
'Дифференциальное исчисление 186 Условия касания двух кривых'
A. ...
Q.03
'Изобразите радиус следующих углов и укажите, в какой четверти находится каждый угол.'
A. ...
Q.06
"Я изучал свойства векторов на плоскости и в пространстве. Давайте суммируем и сравним все, кроме 'отражения' в разделе D.470."
A. ...
Q.08
'В пространстве взяты 4 точки A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2). Прямая, проходящая через точки A и B, обозначается ℓ, а прямая, проходящая через точки C и D, обозначается m.'
A. ...
Q.09
'(3) Прямая, проходящая через фиксированную точку A (вектор a) и перпендикулярная ненулевому вектору n'
A. ...
Q.11
'(1) Прямая параллельная ненулевому вектору d и проходящая через фиксированную точку A(вектор a) представлена как p=a+td, где d - вектор направления прямой'
A. ...
Q.13
'Различные методы нахождения позиционного вектора точки пересечения'
A. ...
Q.14
'Найти диапазон существования конечной точки вектора. (4)'
A. ...
Q.16
'Объясните три основных правила векторных операций.'
A. ...
Q.17
'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (1,2,-3) и параллельной вектору d=(3,-1,2).'
A. ...
Q.18
'(1) На плоскости даны 4 различные точки A, B, C, D и точка O, не лежащая на прямой AB. Если OA=a, OB=b, OC=3a-2b, OD=-3a+4b, то докажите, что AB параллельно CD.'
A. ...
Q.19
'В параллелограмме ABCD, если 2 раза вектор BP равен вектору BC, и 2 раза вектор AQ плюс вектор AB равно вектору AC, какова форма четырехугольника ABPQ?'
A. ...
Q.20
'В равностороннем треугольнике ABC со стороной 2, пусть L, M и N будут серединами сторон AB, BC и CA соответственно. Найдите все следующие векторы, представленные 6 точками A, B, C, L, M, N:'
A. ...
Q.23
'Когда \ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \, выразите \ \\vec{x}-\\vec{y} \ через \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.'
A. ...
Q.24
'В пространстве найдите единичный вектор t, ортогональный оси x, образующий угол 45 градусов с положительной осью z и имеющий положительную компоненту y.'
A. ...
Q.25
'Когда точка P движется на плоскости, и ее координаты (x, y) - функции времени t, ответьте на следующие вопросы:\n1. Выведите уравнение вектора, представляющее скорость.\n2. Выведите уравнение вектора, представляющее ускорение.'
A. ...
Q.27
'Найдите вектор положения точки пересечения линий.'
A. ...
Q.28
'Условие коллинеарности\nКогда две точки A, B различны\nКогда точка P находится на отрезке AB\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ для некоторого вещественного числа k'
A. ...
Q.29
'Даны три точки A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), найдите следующее:'
A. ...
Q.30
'Пусть полярные координаты точки A будут (r₁, θ₁), а полярные координаты точки B будут (r₂, θ₂). Найдите расстояние AB между точками A и B.'
A. ...
Q.32
'(2) Пусть D, E, F будут точками на отрезках ОА, ОВ, ОС соответственно таким образом, что OD = 1/2 · OA, OE = 2/3 · OB и OF = 1/3 · OC. Если плоскость, содержащая три точки D, E, F, пересекает линию OQ в точке R, то выразите вектор OR через вектора a, b и c.'
A. ...
Q.33
'Пусть середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD обозначены как K, L, M, N соответственно, а середины диагоналей AC, BD обозначены как S, T соответственно. (1) Если вектора положения вершин A, B, C, D обозначены как a, b, c, d соответственно, выразить вектор положения середины отрезка KM используя a, b, c, d. (2) Показать, что три отрезка KM, LN, ST пересекаются в одной точке, выразив векторы положения середины отрезков LN, ST через a, b, c, d.'
A. ...
Q.34
'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'
A. ...
Q.35
'Условия коллинеарности и совпадения\n(1) Условия коллинеарности\nКогда две разные точки A, B, если точка P лежит на линии AB, то существует вещественное число k такое, что вектор AP = k вектор AB.'
A. ...
Q.37
'В кубе OAPB-CRSQ, пусть 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR. Выразите ⃗OA через 𝑝, 𝑞, 𝑟.'
A. ...
Q.38
'В параллелепипеде ABCD-EFGH пусть P будет серединой диагонали AG, а вектор AB будет равен a, вектор AD равен b, и вектор AE равен c. Выразите векторы AC, AG, BH и CP через a, b и c.'
A. ...
Q.40
'Пусть \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \ - прямоугольник \ \\mathrm{ABCD} \. Если \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \, выразите единичный вектор, параллельный \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ через \ \\vec{b}, \\vec{d} \.'
A. ...
Q.41
'Объясните основные концепции. В частности, укажите подробное объяснение понятий позиционных векторов, середин отрезков и центроидов треугольников.'
A. ...
Q.42
'Пусть z - комплексное число. Найдите диапазон точек для z, которые образуют остроугольный треугольник в комплексной плоскости с точками A(1), B(z) и C(z^2), и проиллюстрируйте это.'
A. ...
Q.43
'(1) Объясните следующие векторные операции по основным понятиям пространственных векторов.\n\n- Равенство\n- Сложение\n- Вычитание\n- Обратный вектор\n- Нулевой вектор\n- Умножение на скаляр'
A. ...
Q.45
'Основные концепции\n3. Вектор положения центроида треугольника\nПусть точки A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) будут вершинами треугольника ABC, а G - вектор положения центроида. Тогда\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'
A. ...
Q.46
'(2) Прямая, проходящая через две разные точки A(𝐚) и B(𝐛)'
A. ...
Q.47
'Упражнение 1 Найдите все следующие векторы, представленные с использованием 6 вершин правильного шестиугольника ABCDEF с длиной стороны 1 и точки пересечения O диагоналей AD и BE.'
A. ...
Q.48
'Для треугольника OAB пусть OP = sOA + tOB. Определите диапазон существования точки P, когда вещественные числа s, t удовлетворяют следующим условиям.'
A. ...
Q.50
"В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b), C(c), пусть D - точка, делящая сторону BC в соотношении 2:3, а E - точка, делящая сторону BC внешне в соотношении 1:2. Пусть G - центроид треугольника ABC, а G' - центроид треугольника AED. Выразите следующие векторы через a, b и c.\n(1) Положение векторов точек D, E, G'\n(2) GG'"
A. ...
Q.51
'Когда |𝑎|=3, найдите единичный вектор параллельный 𝑎.'
A. ...
Q.54
'Найдите расстояние между началом координат O и точкой P(2,3,1).'
A. ...
Q.55
'69 (2) равен -2 по направлению оси x и -3 по направлению оси y'
A. ...
Q.57
'(1) Переместить 4 единицы вдоль оси x и -7 единиц вдоль оси y\n(2) Переместить -5/2 единиц вдоль оси x и -35/4 единиц вдоль оси y'
A. ...
Q.59
"Постройте точки P(z), A(α), P'(-z), B(z+α), C(z-α) на комплексной плоскости, где z=3+2i и α=1-i."
A. ...
Q.60
'Для точек A(1,2,3), B(-3,2,-1) и C(-4,2,1) найдите следующее:'
A. ...
Q.62
'В прямоугольнике ABCD, AB = 3, а AD = 4. Пусть вектор AB - это b, а вектор AC - это c. (1) Если E - середина стороны AD, выразите вектор DE, используя b и c. (2) Выразите единичный вектор d в том же направлении, что и c, используя c.'
A. ...
Q.65
'Отношение точек и векторов в пространстве\nДля двух точек \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\),\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'
A. ...
Q.68
'(1) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(3,1) и перпендикулярной вектору n=(3,-7).'
A. ...
Q.70
'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'
A. ...
Q.71
'Для векторов справа нарисуйте следующие векторы:'
A. ...
Q.72
'В правильном шестиугольнике ABCDEF, где AB→=a и AF→=b. Представьте следующие векторы в терминах a и b. (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'
A. ...
Q.73
'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку C(1,-5) и перпендикулярной прямой AB, где A(3,1) и B(-2,2), используя векторы.'
A. ...
Q.74
'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'
A. ...
Q.75
'Давайте сосредоточимся на результатах примера на предыдущей странице.'
A. ...
Q.77
'Объясните компонентное представление векторов в пространстве.'
A. ...
Q.79
'В тетраэдре OABC, пусть OA=a, OB=b, OC=c. Пусть M - середина AB, N - точка, делящая BC в отношении 3:1, и G - центроид треугольника OAB. Выразите векторы MN и GN через a, b и c.'
A. ...
Q.80
'Рассмотрим прямую, проходящую через точку и имеющую заданный угол наклона (направление). Пусть прямая g проходит через точку A(\\\vec{a}\) и параллельна ненулевому вектору \\\vec{d}\. Для любой точки P(\\\vec{p}\) на прямой g (за исключением точки A) выполняется следующее.'
A. ...
Q.82
'Математическая задача: Найти позиционный вектор центроида G треугольника OAB. Поскольку точка G является центроидом треугольника, позиционный вектор точки G можно вычислить следующим образом.'
A. ...
Q.83
'Для точек \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) найдите следующее:\n(1) Расстояние между точками \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \\n(2) Координаты точки \ \\mathrm{P} \ разделения отрезка \ \\mathrm{BC} \ в соотношении 1:3\n(3) Координаты точки \ \\mathrm{Q} \, разделяющей отрезок \ \\mathrm{AB} \ внешне в соотношении 2:3\n(4) Координаты середины отрезка CA\n(5) Координаты центра тяжести G треугольника \ \\triangle \\mathrm{PQR} \'
A. ...
Q.84
'Для точек A(0,3,7), B(3,-3,1), C(-6,2,-1) найдите следующее:\n(1) Расстояние между точками A и B\n(2) Координаты точки, делящей отрезок AB в отношении 2:1\n(3) Координаты точки, делящей внешний отрезок AB в отношении 3:2\n(4) Координаты середины отрезка BC\n(5) Координаты центроида треугольника ABC'
A. ...
Q.86
'Линия, перпендикулярная вектору \ \\vec{n} \\nНаконец, давайте рассмотрим выражение линии с помощью скалярного произведения.\nПроходя через точку \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\), и ненулевой вектор \ \\overrightarrow{0} \, перпендикулярный вектору \ \\vec{n} \, обозначается как линия \ g \, и любая точка на линии \ g \ обозначается как \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\), так что \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ или \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) представляет собой векторное уравнение линии, проходящей через точку \ \\mathrm{A} \ и перпендикулярной вектору \ \\vec{n} \. Кроме того, \ \\vec{n} \ называется нормальным вектором линии \ g \.\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \ справедливо только тогда, когда точка P совпадает с точкой A.\nНормальный вектор линии \ g \ перпендикулярен к ней.\nТеперь давайте решим задачу с векторным уравнением.'
A. ...
Q.87
'Найдите позиционные векторы внутренних и внешних точек деления.'
A. ...
Q.88
'Пирамида \ \\ ( \\mathrm{OABCD} \ с основанием \ \\mathrm{ABCD} \ удовлетворяет \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \, а для четырех действительных чисел \ p, q, r, s \ отличных от 0, определяем четыре точки \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ как \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. Покажите, что если \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ плоские, то \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \.'
A. ...
Q.91
'Даны точки P(5,-3,7) и Q(7,1,2), найдите компоненты и величину вектора PQ.'
A. ...
Q.92
'Постройте положение следующих точек в полярных координатах.'
A. ...
Q.93
'Опишите диапазон существования точки P при движении с соблюдением условий s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0.'
A. ...
Q.94
'Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка P (вектор 𝑝) лежала на прямой AB, проходящей через две различные точки A (вектор 𝑎) и B (вектор 𝑏).'
A. ...
Q.95
'Важный пример 63 | Длина общей перпендикулярной\nВ декартовой системе координат точка A(1,3,0) лежит на линии l, параллельной вектору a=(-1,1,-1), а точка B(-1,3,2) лежит на линии m, параллельной вектору b=(-1,2,0). Пусть P будет точкой на линии l и Q будет точкой на линии m. Найдите минимальное значение величины |PQ| вектора PQ и координаты точек P и Q в этом случае.'
A. ...
Q.96
'Условие параллельности векторов ( \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ ) заключается в том, что существует действительное число \ k \, такое что \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'
A. ...
Q.97
'Для △OAB, пусть →OP=→OA+t→OB. Найдите диапазон существования точки P, когда действительные числа s, t удовлетворяют следующим отношениям: (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'
A. ...
Q.98
'Учитывая отрезок AB и точку P, когда AP + 3BP + 4AB = 0, где находится точка P?'
A. ...
Q.99
'Упражнение 38:\n(1) (А) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) следовательно\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'
A. ...
Q.00
'Рассмотрим середину диагонали RT как G и возьмем векторы OP=p, OR=r, и OS=s.'
A. ...
Q.01
'Объясните правила операций с векторами и используйте эти правила для доказательства свойств.'
A. ...
Q.02
'Найдите вектор положения p точки P, который делит отрезок прямой, соединяющий точки A(a) и B(b), в отношении m:n.'
A. ...
Q.03
'В данном случае, с О в качестве начала координат, следовательно '
A. ...
Q.04
'Объясните и укажите условия для параллельности векторов.'
A. ...
Q.05
'Найдите вектор позиции g центроида G треугольника ABC, где A(a), B(b), C(c) - вершины.'
A. ...
Q.06
'Если \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, и \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \, то любой вектор \ \\vec{p} \ может быть уникально представлен как \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, где \ s, t \ - это действительные числа.'
A. ...
Q.08
'Страница 15 | Уравнение векторов и положение точек (2)'
A. ...
Q.09
'Позиционный вектор и условие коллинеарности\nДля 2 точек \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\), позиционный вектор точки, делящей отрезок прямой \ \\mathrm{AB} \ в пропорциях \ m: n \.\nВнутреннее деление: \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, внешнее деление: \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nУсловие коллинеарности\nКогда точки \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ отличаются, существует действительное число \ k \, такое что точка \ \\mathrm{P} \ лежит на линии \ \\mathrm{AB} \\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ для некоторого действительного числа \ k \'
A. ...
Q.10
'Исходя из предоставленной информации, найдите выражения и отношения различных векторов.'
A. ...
Q.11
'Объясните, как можно разложить произвольный вектор p с использованием двух непараллельных векторов a и b.'
A. ...
Q.12
'Найдите параметрические уравнения для данной кривой.'
A. ...
Q.13
'Направленный отрезок AB обозначается как вектор →AB. Кроме того, векторы также могут обозначаться с использованием одной буквы с стрелкой, например, →a, →b. Как мы обозначаем величину векторов →AB, →a?'
A. ...
Q.14
'При заданных координатах точек и компонентах вектора \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)'
A. ...
Q.15
'Для отрезка AB, соединяющего точки A (вектор а) и B (вектор b), выразите векторы положения следующих точек через векторы а и b.'
A. ...
Q.17
'Пусть координаты точки C будут \\((x, y, z)\\). Используя условие, что четырёхугольник \ \\mathrm{ABCD} \ является параллелограммом, найдите координаты C.'
A. ...
Q.18
'Найдите диапазон движения точки P при следующих условиях.'
A. ...
Q.20
'Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(𝑎→) и параллельной вектору 𝑑(𝑑 ≠ 𝑎→).'
A. ...
Q.21
'В треугольнике OAB найдите диапазон точек P, удовлетворяющих следующим условиям.'
A. ...
Q.22
'Дан отрезок AB и точка P. Когда следующее уравнение верно, где находится точка P?'
A. ...
Q.24
'На плоскости XY координаты точки A равны (1,0), координаты точки B равны (cos 𝛼, sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π), координаты точки C равны (cos 𝛽, sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π), при этом не теряется общности. Следовательно, OA=(1,0), OB=(cos 𝛼, sin 𝛼), OC=(cos 𝛽, sin 𝛽).'
A. ...
Q.25
'Пусть p будет положительной постоянной, и пусть вектора a=(1,1) и b=(1,-p). Теперь, если угол между векторами a и b составляет 60 градусов, найдите значение p.'
A. ...
Q.26
'Найдите компоненты каждого вектора, где 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\, \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, и \\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'
A. ...
Q.28
'Пример 37 | Единичные векторы, перпендикулярные двум векторам'
A. ...
Q.29
'В остроугольном треугольнике ABC, где A(→a), B(→b), C(→c), BC=a, CA=b, AB=c. Если центр угла A обозначен как IA(→iA), выразите вектор →iA через →a, →b и →c.'
A. ...
Q.30
'(1) Найдите расстояние между точкой P(0,1,4) и точкой Q(-4,5,0).'
A. ...
Q.32
'Получите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A (вектор a) и перпендикулярной вектору n (n не равен нулевому вектору).'
A. ...
Q.34
'В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b) и C(c), где точка P делит сторону AB в пропорции 2:1, точка Q делит сторону BC внешне в пропорции 3:2, а точка R делит сторону CA внешне в пропорции 1:3. Пусть G будет центроидом треугольника PQR. Выразите следующие векторы через a, b и c: (1) Положение точек P, Q, R (2) Вектор PQ (3) Положение точки G'
A. ...
Q.35
'Точка Q делит отрезок OP внешне в соотношении 4:1, поэтому'
A. ...
Q.36
'Докажите, что неравенство |вектор AP| + |вектор AQ| + |вектор AR| ≥ 3/√2 выполняется для 4 точек P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) в вещественных числах.'
A. ...
Q.37
'Проверьте координаты точки P (x, y) и возьмите точку Q.'
A. ...
Q.38
'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'
A. ...
Q.39
'Даны векторы \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\, \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (где O - начало координат), при этом \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\, \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\. Постройте векторы \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ на координатной плоскости.'
A. ...
Q.40
'(1) Выразить \ \\overrightarrow{G U} \ как \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \.'
A. ...
Q.44
'Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной 1 на плоскости. Для точки P, пусть вектор v(P) определяется как v(P)=→PA−3→PB+2→PC. Докажите: (1) v(P) - это постоянный вектор, независящий от P. (2) Для какой фигуры находится точка P, когда |→PA+→PB+→PC|=|v(P)|.'
A. ...
Q.45
'Выполните сложение векторов, вычитание, умножение на скаляр и операции с векторами между двумя точками, используя компоненты вектора.'
A. ...
Q.46
'Пусть центры окружностей C1 и C2 обозначены как O1 и O2 соответственно. Чему равен вектор от центра O1 до центра O2?'
A. ...
Q.47
'Для любой точки P на прямой, пусть OP = p. В этом случае, каково векторное уравнение прямой?'
A. ...
Q.48
'Переведите данное выражение на несколько языков.'
A. ...
Q.49
'Когда четыре точки O, A, B, C не лежат в одной плоскости, если , , , то любой вектор можно единственным образом представить как , где , , - действительные числа.'
A. ...
Q.50
'Найдите координаты точки Q после вращения точки P(3, -1) вокруг точки A(-1, 2) как центра на -π/3.'
A. ...
Q.51
'Пожалуйста, укажите формулу для расчета расстояния AB между точками A(r1, θ1) и B(r2, θ2).'
A. ...
Q.52
'Постройте следующие точки в полярных координатах и найдите декартовы координаты.'
A. ...
Q.53
'(1) Найдите координаты точки B после вращения точки A(2,1) вокруг начала координат O на угол π/4 радиан.\n(2) Точка P была центром вращения, когда точка A(2,1) повернулась на угол π/4 радиан до координат (1-√2, -2+2√2). Найдите координаты точки P.'
A. ...
Q.54
'Точка P движется по окружности круга радиусом r с центром в начале координат O, начиная с фиксированной точки Р0, так что ОР вращается с постоянной угловой скоростью ω за секунду.'
A. ...
Q.55
'Понимание основ векторов (определение векторов, свойства и основные операции).'
A. ...
Q.56
'На координатной плоскости есть три фиксированные точки A, B, C и подвижная точка P, с вектором AB=(3,1), вектором BC=(1,2) и вектором AP, который представлен как (2t, 3t) с использованием вещественного числа t.'
A. ...
Q.58
'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'
A. ...
Q.59
'\ \\triangle OAB \, найдите диапазон существования точки \ P \, удовлетворяющей следующим уравнениям. \\ n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\leqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'
A. ...
Q.65
'О решениях для векторов положения и условиях для нахождения в одной плоскости'
A. ...
Q.66
'Глава 1 Векторы на плоскости - В треугольнике OAB определите диапазон точек P, удовлетворяющих следующим уравнениям:\n1) OP = sOA + tOB, s + t = 1/3, s ≥ 0, t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB, 3s + 2t = 4, s ≥ 0, t ≥ 0'
A. ...
Q.67
'В координатном пространстве PR есть 4 точки O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2). Найдите вектор p, который перпендикулярен как к векторам OA, так и к BC, с величиной 3√3.'
A. ...
Q.68
'Найдите один нормальный вектор следующей прямой.'
A. ...
Q.70
'Найдите диапазон существования точки P, удовлетворяющей следующим условиям.'
A. ...
Q.71
'Диапазон существования точек, удовлетворяющих векторному уравнению и координатам пересечения'
A. ...
Q.72
'Даны четыре точки A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b).'
A. ...
Q.73
'Докажите, что следующие уравнения выполняются в тетраэдре ABCD: (1) (2) '
A. ...
Q.75
'Пример 21 | Представление пространственных векторов\nВ параллелепипеде ABCD-EFGH пусть точка пересечения диагоналей AG будет P, а →AB=𝑎, →AD=𝑏, →AE=𝑐. Выразить →AC, →AG, →BH, →CP через 𝑎, 𝑏, 𝑐.'
A. ...
Q.79
'Используйте следующие уравнения для демонстрации свойств векторов:'
A. ...
Q.80
'В треугольнике ABC с вершинами A(a), B(b) и C(c), где точка P делит сторону AB внутренним образом в отношении 2:1, точка Q делит сторону BC внешним образом в отношении 3:2 и точка R делит сторону CA внешним образом в отношении 1:3, а G - центроид треугольника PQR. Выразите следующие векторы через a, b и c: (1) Позиционные векторы точек P, Q и R (2) Вектор PQ (3) Позиционный вектор точки G'
A. ...
Q.81
'Рассмотрим окружность с центром в O. На окружности этой окружности есть 3 точки A, B и C, такие что вектор OA + вектор OB + вектор OC = 0. Докажите, что треугольник ABC - равносторонний треугольник.'
A. ...
Q.82
'Разложение векторов В параллелограмме ABCD точка E делит сторону BC внутренне в соотношении 2:1, точка F является пересечением диагоналей AC и BD, и точка G является пересечением отрезков AE и BD. Пусть вектор AB=b и вектор AD=d. (1) Выразите векторы AE, AF, GC через b и d. (2) Если вектор AE=e и вектор AF=f, то выразите вектор BD через e и f.'
A. ...
Q.83
'Линейная независимость и линейная зависимость векторов в пространстве'
A. ...
Q.84
'Когда три вектора a, b и c не коллинеарны, найдите уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.'
A. ...
Q.85
'В треугольнике \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ найдите диапазон точек \ \\mathrm{P} \, удовлетворяющих следующим уравнениям:'
A. ...
Q.86
'Для векторов a, b, c, постройте следующие векторы:\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'
A. ...
Q.87
'Пусть \\( \\vec{a}=(1,-1,2) \\) и \\( \\vec{b}=(1,1,-1) \\). Найдите минимальную величину \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (где \ t \ - это вещественное число) и соответствующее значение \ t \.'
A. ...
Q.88
'Применения векторов Пусть s, t, u будут действительными числами на одной плоскости. Точка P (p) находится на плоскости, определенной тремя точками A (a), B (b) и C (c) тогда и только тогда, когда ⇔CP⃗ = sCA⃗ + tCB⃗ ⇔ p⃗ = sa⃗ + tb⃗ + uc⃗, s + t + u = 1'
A. ...
Q.89
'Важный пример 61: Уравнения прямых\nНайдите уравнения следующих прямых:\n(1) Проходящая через точку A(1,3,-2) и параллельная вектору d=(3,2,-4)\n(2) Проходящая через точки A(0,1,1) и B(-1,3,1)\n(3) Проходящая через точку A(-3,5,2) и параллельная вектору d=(0,0,1)'
A. ...
Q.90
'Любая точка на прямой обозначается как P(x, y) с t в качестве параметра.'
A. ...
Q.91
'Найдите уравнение прямой \ \\ell \, проходящей через точку A(\ \\vec{a} \) и параллельной ненулевому вектору \ \\vec{d} \.'
A. ...
Q.92
'Любой вектор \ \\vec{p} \ на плоскости можно выразить через два вектора \\( \\vec{a}, \\vec{b} ( \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b}) \\), как показано ниже:'
A. ...
Q.93
'Выполните следующие операции с векторами: 1. Найдите сумму векторов A = (3, 4) и B = (1, 2). 2. Найдите разность между векторами A = (3, 4) и B = (1, 2).'
A. ...
Q.94
'Векторное уравнение плоскости, определенной тремя неколлинеарными точками A(⃗a), B(⃗b), C(⃗c) и произвольной точкой P(⃗p), с s, t, u в качестве вещественных чисел, задается ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1 или ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'
A. ...
Q.95
'Когда два вектора a и b имеют одинаковое направление и величину, эти два вектора считаются равными.'
A. ...
Q.96
'Найдите значение действительного числа , при котором угол между векторами и равен , если и .'
A. ...
Q.97
'Найдите комплексные числа, представляющие следующие точки. (1) Середина отрезка AB, соединяющего точки A(-3+6i) и B(5-8i) (2) Точка P, делящая отрезок AB, соединяющий точки A(2-3i) и B(-7+3i), в отношении 2:1, и точка Q, разделяющая внешне.'
A. ...
Q.99
'Найдите угол θ, образованный двумя плоскостями. Где 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'
A. ...
Q.00
'Для отрезка, соединяющего точки A(a) и B(b) как AB, выразите векторы положения следующих точек через a и b.'
A. ...
Q.01
'Вектор положения и внутренние точки деления・внешние точки деления\nПусть вектор положения будет \ \\vec{p} \ и точку обозначим как \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\).\nВ пространстве, как и в плоскости, справедливо следующее:\n\nЗадача 1: Для точек \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) составьте следующие уравнения.\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. Найти вектор позиции точки, делящей отрезок \ \\mathrm{AB} \ в отношении \ m: n \.\n3. Найти вектор позиции середины отрезка \ \\mathrm{AB} \ .\n4. Найти вектор позиции центроида G треугольника \ \\triangle \\mathrm{ABC} \.'
A. ...
Q.03
'Вопрос 71\n(1) Найдите точку (-3, -1, 7).\n(2) Найдите точку (18/11, 26/11, 12/11).'
A. ...
Q.04
'Найдите диапазон существования точки P в треугольнике OAB, удовлетворяющий следующим уравнениям:\n(1) \n(2) '
A. ...
Q.05
'Найдите расстояние между точкой A(r1, θ1) и точкой B(r2, θ2).'
A. ...
Q.06
'Позиционные векторы, векторы и фигуры: Объясните, как позиционные векторы и векторы формируют фигуры.'
A. ...
Q.07
'Практика (1) Для двух ненулевых векторов \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \, когда \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ перпендикулярен к \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \, и когда выполнено условие \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \, найдите угол \ \\theta \, образованный \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \.'
A. ...
Q.08
'Пусть \ \\vec{a} \ и \ \\vec{b} \ - два ненулевых вектора, перпендикулярные друг другу. Пусть угол между \ \\vec{a}+\\vec{b} \ и \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ равен \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \. (1) Выразите \ \\sin ^{2} \\theta \ через \ x \ и \ y \, где \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \. (2) Найдите максимальное значение \ \\theta \.'
A. ...
Q.09
"Вектор - это величина, обладающая как величиной, так и направлением. В данной главе обсуждаются векторы на основе направленных отрезков на плоскости, представление векторов парами чисел (компонентов), операции, такие как 'скалярное произведение', и применение векторов в геометрии. Понимание концепции 'линейной независимости' векторов крайне важно для подготовки к будущим учебным материалам по математике, физике, экономике и другим областям."
A. ...
Q.10
'Постройте положения следующих точек, представленных в полярных координатах: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\), \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\), \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\).'
A. ...
Q.11
'Пусть \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ будет началом координат, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (где s и t - действительные числа).'
A. ...
Q.13
'В треугольнике OAB пусть C будет серединой OA, а D - точкой, делящей OB в соотношении 1:3 снаружи. Если вектор OA равен a и 35 раз вектор OB равен b, найдите векторное уравнение следующей прямой.'
A. ...
Q.14
'В параллелепипеде \ABCD-EFGH\, когда \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\, выразите \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ через \\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\.'
A. ...
Q.15
'Найдите параметрическое представление следующей прямой с параметром t.'
A. ...
Q.16
'Найдите параметрическое представление следующей прямой с параметром t: проходит через точку B(-4,3) и параллельна вектору d=(5,6).'
A. ...
Q.17
'Векторное уравнение окружности: Векторное уравнение окружности с центром C(c) и радиусом r: |p-c|=r'
A. ...
Q.19
'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'
A. ...
Q.20
'Найдите компоненты и длину вектора PQ для точек P(5,-3,7) и Q(7,1,2).'
A. ...
Q.21
'В этом примере, учитывая векторы \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), выразите вектор \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) в виде \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ вещественные числа.'
A. ...
Q.23
'Иллюстрируйте сложение, вычитание и скалярное умножение векторов.'
A. ...
Q.24
'Изучение векторных уравнений и положения точек (1).'
A. ...
Q.25
'Пример 14 | Равенство векторов и положение точек (1)'
A. ...
Q.26
'Пусть N будет точкой, делящей AB в соотношении 2:3. Пусть P будет точкой пересечения отрезка LM и ON. Если a - это вектор OA, а b - вектор OB, выразите ON и OP через вектора a и b.'
A. ...
Q.28
'В чем разница в подходе между Подходом 1 и Подходом 2 для Базового примера 24?'
A. ...
Q.29
'Рассмотрим круг C с радиусом r и вектором позиции центра →OA на координатной плоскости с EXO в качестве начала координат. Пусть вектор позиции точки P на окружности будет →OP. Также рассмотрим точку B вне круга C с вектором позиции →OB. Кроме того, пусть Q будет серединой точек B и P, с вектором позиции →OQ. Определим D как фигуру, следуемую по точке Q по мере движения точки P по окружности.\n(1) Найдите векторное уравнение, представляющее круг C.'
A. ...
Q.30
'Определите диапазон существования точек, удовлетворяющих векторному уравнению. Пожалуйста, ответьте, используя пример пространственной геометрической фигуры.'
A. ...
Q.32
'Изучение векторных уравнений и положений точек (2).'
A. ...
Q.33
'Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку (-1,2,3) и перпендикулярной линии \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3.'
A. ...
Q.34
'Докажите, что точка P лежит на линии AB, где AB определяется двумя различными точками A(a) и B(b).'
A. ...
Q.35
'Даны точки A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7). Пусть E - симметричная точка D относительно плоскости, проходящей через точки A, B и C. Найдите координаты точки E.'
A. ...
Q.36
'(1) Найдите координаты точки, симметричной точке P(-3, 4, 1) относительно точки A(1, -2, 3).'
A. ...
Q.37
'Условие коллинеарности: Когда две точки A, B различны, точка P лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда вектор AP равен k раз вектору AB, где k - это действительное число.'
A. ...
Q.38
'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору n. (2) A(1,3), n=(-1,2)'
A. ...
Q.39
'Найдите параметрические уравнения следующих прямых, с параметром t.'
A. ...
Q.40
'Имея две точки A(вектор a) и B(вектор b), найдите позиционный вектор точки, в которой сегмент AB делится на m:n.'
A. ...
Q.42
'В пространстве координат, геометрические фигуры и векторные уравнения: объясните представление геометрических фигур в пространстве координат и использование векторных уравнений.'
A. ...
Q.43
'Точка P лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существуют числа s и t такие, что вектор OP равен s умножить на вектор OA плюс t умножить на вектор OB, и s + t = 1'
A. ...
Q.44
'Найдите параметрическое представление следующих прямых линий с параметром t. Также выразите его без параметра t.'
A. ...
Q.45
'Опишите компоненты векторов в пространстве, скалярное произведение: Объясните вычисление компонентов векторов в пространстве и их скалярное произведение.'
A. ...
Q.46
'Вопрос 46\n(1) Найдите координаты точки (0, 1/4, 0).\n(2) Найдите координаты точки (0, -21, 17/2).'
A. ...
Q.47
'Пусть a = (0,1,2), b = (2,4,6). Для вещественных чисел t, где -1 ≤ t ≤ 1, найдите значения x, которые максимизируют и минимизируют величину x, когда x = a + tb.'
A. ...
Q.48
'Если , найдите диапазон вещественных чисел для таких, что выполняется для всех вещественных чисел .'
A. ...
Q.49
'В пространстве есть треугольник ABC с вершинами A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5). (1) Найдите длины отрезков AB, BC и CA. (2) Найдите площадь S треугольника ABC.'
A. ...
Q.50
'Предположим, что плоскость α определяется тремя неколлинеарными точками A (вектор a), B (вектор b) и C (вектор c), не лежащими на одной прямой. Когда точка P (вектор p) лежит в плоскости α, справедливо следующее векторное уравнение. Докажите это.'
A. ...
Q.51
'Точка C делит сторону \\\mathrm{OA}\ треугольника \\\triangle OAB\ в отношении 3:1, а точка D делит сторону \\\mathrm{OB}\ в отношении 4:1. Пусть P будет пересечением отрезков \\\mathrm{AD}\ и \\\mathrm{BC}\, а Q - пересечением отрезков \\\mathrm{OP}\ и \\\mathrm{AB}\. Учитывая, что \\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\ и \\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\, выразите \\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ и найдите соотношение BP к CP. Также выразите \\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\ и определите отношение \\\mathrm{OP}\ к \\\mathrm{PQ}\.'
A. ...
Q.52
'Какое имя кривой, представленной полярным уравнением r = sin αθ? Кроме того, покажите изменение количества лепестков в зависимости от значения a.'
A. ...
Q.53
'В отрезке AB, когда указывается направление от точки A к точке B, это называется направленный отрезок AB. В направленном отрезке AB A называется его начальной точкой, а B - конечной точкой. Длина отрезка AB называется величиной или длиной направленного отрезка AB. Игнорируя разницу в положении, фокусируясь лишь на направлении и величине, это называется вектором. Напишите вектор, представленный направленным отрезком AB.'
A. ...
Q.54
'Пожалуйста, решите проблему, используя координаты.'
A. ...
Q.55
'(1) Найти расстояние между двумя точками A(1,-1,3) и B(-1,0,1).'
A. ...
Q.56
Условие для точки P(\vec{p}) находиться в плоскости, определяемой тремя точками A(\vec{a}), B(\vec{b}) и C(\vec{c}), заключается в следующем
A. ...
Q.57
■ Положение вектора центра тяжести треугольника , положение вектора центра тяжести G треугольника ABC, определяется следующим образом. Положение вектора центра тяжести треугольника ABC с вершинами \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) равно
A. ...
Q.58
О равенстве коэффициентов векторов: Если ec{a}
eq \overrightarrow{0}, ec{b}
eq \overrightarrow{0}, то s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔
A. ...
Q.59
Пусть lpha=x-2 i и eta=3-6 i . Когда две точки \( \mathrm{A}(lpha) \) и \( \mathrm{B}(eta) \) находятся на одной прямой с началом координат , найдите значение действительного числа .
A. ...
Q.60
Пожалуйста, решите задачу с векторами на плоскости.
A. ...
Q.61
Для треугольника с вершинами \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) найдите величину угла ngle \mathrm{BAC} , обозначаемую .
A. ...
Q.62
Параллельные векторы
Два ненулевых вектора ec{a}, \ec{b} называются параллельными, если они имеют одно или противоположное направление, и записывается это как . Исходя из определения вещественных кратных векторов, справедливо следующее.
Теперь покажите на примере векторов ecа= лучший ), \вейвек тот же и равен \( 2 \vec {b}。
A. ...
Q.63
Найдите угол между векторами и в следующих случаях.
(1) Когда
(2) Когда и перпендикулярен
A. ...
Q.64
В пространстве имеются точки \( \mathrm{A}(ec{a}) \) и \( \mathrm{B}(ec{b})\). Найдите вектор положения точки, которая внешним образом делит отрезок AB в отношении m:n.
A. ...
Q.65
Даны компоненты векторов \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \), выразите следующие векторы в виде компонент.
(1) 2 ec{a}
(2) -ec{b}
(3) ec{a}+2 ec{b}
(4) 2 ec{a}-3 ec{b}
A. ...
Q.66
Область существования точки , удовлетворяющей векторному уравнению:
A. ...
Q.67
Дано \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) и вещественное число . Пусть \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \). Найдите значение , при котором минимально, и значение в этот момент.
A. ...
Q.68
Для векторов, показанных на правой диаграмме, перечислите все пары номеров векторов, которые соответствуют следующим критериям:
(1) Векторы с равной величиной
(2) Векторы с одинаковым направлением
(3) Равные векторы
(4) Противоположные векторы
A. ...
Q.69
Поймите геометрический смысл сложения векторов и разберитесь с примером 2!
A. ...
Q.70
Есть зафиксированные точки O, A и движущаяся точка P. Дано \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} и \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} , когда |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 , точка P лежит на окружности определенного круга. Найдите центр и радиус этого круга. Предположим, что ec{a}
eq \overrightarrow{0} .
A. ...
Q.71
В четырехугольнике , показанном справа, который является ромбом, точка является точкой пересечения диагоналей и . Дано, что ,
(1) Постройте векторы и . (2) Каким будет вектор ?
A. ...
Q.72
Разложение вектора ec{a}
eq \overrightarrow{0}, ec{b}
eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b}. Любой вектор ec{p} может быть однозначно представлен в виде ec{p}=s ec{a}+t ec{b}, используя действительные числа .
A. ...
Q.73
В координатном пространстве найдите расстояние между двумя точками. Если координаты точки A (a1, a2, a3) и координаты точки B (b1, b2, b3), каково расстояние между A и B?
A. ...
Q.74
Давайте подумаем о геометрическом значении сложения векторов.
Для векторов справа, нарисуйте 。
A. ...
Q.75
Определите значение , при котором следующие два вектора ec{a}, ec{b} будут параллельны. (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)
A. ...
Q.76
Внутри находится точка , такая что справедливо.
(1) Где находится точка ?
(2) Найдите отношение площадей .
A. ...
Q.77
Пример Вопрос 35 Минимальная величина вектора (пространство) Пусть \(ec{a}=(2,-4,-3)\) и \(ec{b}=(1,-1,1)\). Найдите минимальную величину ec{a}+t ec{b} (где - действительное число) и значение при этом минимуме. [Технический институт Чиба]
A. ...
Q.78
Действительное умножение вектора\ Дано действительное число и вектор \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \), -кратный вектор , обозначаемый как , определяется следующим образом:
1. Если , вектор имеет то же направление, что и , но его величина увеличивается в раз. В частности,
2. Если , вектор имеет противоположное направление по сравнению с , и его величина увеличивается в \( |k| \ ) раз. В частности, \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \)
3. Если , результат является нулевым вектором , то есть
Далее подтвердите это на данном примере. Пример: умножьте вектор \( \vec{a} = (3, -2) \) на действительные числа .
A. ...
Q.79
Альтернативный метод решения для (до шага 11 тот же). С точкой D в качестве начальной точки,
Поэтому, из (1),
\[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}})
& = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \]
Проверьте это.
A. ...
Q.80
Если z=4+2i, lpha=1+3i , нанесите точки \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) на комплексную плоскость.
A. ...
Q.81
Координаты точки A: (2,-4), координаты точки B: (-2,2), координаты точки C: (0,-4). Для векторов ec{a}, ec{b}, ec{c} ответьте на следующие вопросы:
(1) Представьте векторы ec{a}, ec{b}, ec{c} в компонентной форме.
(2) Вычислите величины |ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}|.
A. ...
Q.83
Вектор позиции, применение к фигурам Вектор позиции точек деления (пространство)
A. ...
Q.84
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) и перпендикулярной вектору \( ec{n}=(1,-2,3) \).
A. ...
Q.85
Пожалуйста, решите задачу, связанную с векторами в пространстве.
A. ...
Q.87
В каждой из следующих ситуаций найдите угол между и .
(1) Когда
(2) Когда и перпендикулярен
A. ...
Q.88
На плоскости рассмотрим △ABC и точки P и Q. Ответьте, где находятся точки P и Q, если выполняются следующие равенства:
(1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}
(2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}
A. ...
Q.89
Найдите координаты центра тяжести точек A, B и C. Если координаты точки A (a1, a2, a3), координаты точки B (b1, b2, b3) и координаты точки C (c1, c2, c3), каковы координаты центра тяжести?
A. ...
Q.90
Для двух точек \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) и \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \), \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2
ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]
A. ...
Q.91
В треугольнике с вершинами в точках \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \), точка — середина стороны , точка вне делит сторону в отношении 1:2, а точка вне делит сторону в отношении 2:1. Точка G — это центроид треугольника . Выразите следующие векторы, используя ec{a}, ec{b}, ec{c} :
(1) Вектор положения точки G
(2)
A. ...
Q.92
Если точка P находится на плоскости KLM, найдите величину вектора OP |€{ec{\mathrm{OP}}}|.
A. ...
Q.93
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку \( \mathrm{A}(4,2,2) \) и перпендикулярной вектору \( ec{n}=(2,-3,1) )。
A. ...
Q.94
Для треугольника , пусть . Если действительные числа и удовлетворяют условиям s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 , найдите область существования точки .
A. ...
Q.95
Дано \(ec{a}=(3,-4)\) и \(ec{b}=(-2,1)\), выразите компоненты следующих векторов:
(1) 2ec{a}
(2) -ec{b}
(3) ec{a}+2ec{b}
A. ...
Q.96
Для треугольника OAB пусть . Определите область существования точки P, когда действительные числа удовлетворяют следующим уравнениям. (1) (2)
A. ...
Q.97
Глава 1 Векторы на плоскости- 23
EX 3 точки \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) существуют.
(1) Найдите косинус угла между и , который обозначается .
(2) Найдите площадь треугольника .
(3) Найдите действительное число t, которое минимизирует величину вектора и его минимальное значение.
A. ...
Q.98
Относительно векторов, показанных на диаграмме справа, перечислите все пары номеров векторов следующим образом:
(1) Векторы с равной величиной
(2) Векторы с одинаковым направлением
(3) Равные векторы
(4) Противоположные векторы
A. ...
Q.99
Имеются \( ec{a}=(1,2,3) \) и \( ec{b}=(2,0,-1) \). Найдите минимальное значение |ec{c}| и значение , при котором оно достигается, где ec{c}=ec{a}+t ec{b} .
A. ...
Q.00
Предположим, что на плоскости есть и точки и . Когда выполняются следующие уравнения, ответьте на вопрос о положении точек и .
(1)
(2)
A. ...
Q.01
Даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Если |\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5}, и \vec{a} \cdot \vec{b} = -10, ответьте на следующие вопросы. (1) Для любого действительного числа t, найдите минимальное значение |\vec{a} + t\vec{b}| и значение t в этот момент. (2) Для значения t, полученного в (1), докажите, что \vec{a} + t\vec{b} перпендикулярно \vec{b}.
A. ...
Q.02
В пространстве направленный отрезок из точки А в точку В, представленный как , имеет величину, представленную как . Векторы в пространстве также часто обозначаются строчными буквами, такими как ec{a} и ec{b} . Векторы в пространстве определяются точно так же, как и векторы на плоскости. Ответьте на следующие вопросы о базовых свойствах векторов.
1. Если ec{a} и ec{b} имеют одинаковое направление и величину, как их можно представить?
2. Как обозначается обратный вектор ec{a} ?
3. Как называются векторы с величиной 0 и величиной 1, соответственно?
4. Приведите примеры сложения, вычитания и умножения векторов на скаляр.
A. ...
Q.03
Если z=3+2 i, lpha=1-i , изобразите точки \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) на комплексной плоскости.
A. ...
Q.04
(1) Найдите значение , при котором \( \vec{a}=(x+2,1) \) и \( \vec{b}=(1,-6) \) перпендикулярны.
(2) Найдите вектор , который перпендикулярен \( \vec{c}=(2,1) \) и имеет величину .
A. ...
Q.05
Найдите уравнение прямой, удовлетворяющей следующим условиям, используя векторы:
(1) Проходит через точку \( \mathrm{A}(-2,3) \) и параллельна вектору \( ec{d}=(2,1) \)
(2) Проходит через две точки \( \mathrm{A}(-1,2) \) и \( \mathrm{B}(3,1) \)
A. ...
Q.06
Для следующих векторов \vec{a}, \vec{b}, проиллюстрируйте \vec{a}-\vec{b}.
A. ...
Q.07
(1) В треугольнике , если \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} , выразите площадь треугольника через ec{a} и ec{b} .
(2) Используя (1), при , найдите площадь треугольника .
A. ...
Q.09
Найдите координаты точки P, которая делит отрезок AB внутренне в отношении m:n. Если координаты точки A равны (a1, a2, a3), а координаты точки B равны (b1, b2, b3), то каковы координаты точки P?
A. ...
Q.12
Когда точки O, P и C находятся на одной прямой в этом порядке, P является ближайшей к O точкой среди точек пересечения прямой OC и сферы S. Поскольку OC = √(0^2+1^2+2^2) = √5, чему равна координата y точки P, когда точки O, P и C находятся на одной прямой в этом порядке?
A. ...
Q.13
Базовый пример
Сложение двухмерных векторов
Для векторов на правой диаграмме изобразите следующие векторы.
(1)
(2)
(3)
A. ...
Q.14
Условия совпадения точек
Точки совпадают
(совпадают радиус-векторы)
\& см. 50.
A. ...
Q.15
В пространстве имеются точки \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \). Найдите радиус-вектор точки, которая делит отрезок AB в отношении .
A. ...
Q.17
Найдите координаты середины отрезка AB. Если координаты точки A (a1, a2, a3), а координаты точки B (b1, b2, b3), каковы координаты середины?
A. ...
Q.18
Компоненты вектора Разложение и компоненты вектора
A. ...
Q.19
Найдите вектор , который образует угол с вектором \( \vec{a}=(1,2) \) и имеет величину .
A. ...
Q.21
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \).
A. ...
Q.22
В правильном шестиугольнике на правой фигуре, пусть пересечение диагоналей и будет точкой , и \overrightarrow{\mathrm{OA}} = ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = ec{b} . В этом случае выразите следующие векторы через ec{a} и ec{b}:
(1)
(2)
(3)
(4)
A. ...
Q.23
Какую фигуру рисуют следующие параметрические уравнения?
(1)
(2)
(3)
A. ...
Q.24
Для векторов ec{a}, ec{b} справа, изобразите следующие векторы.
(1) 2 ec{a}
(2) rac{1}{3} ec{b}
(3) 2 ec{a}+rac{1}{3} ec{b}
A. ...
Q.25
Поймите угол между пространственными векторами и решите Пример 46!
A. ...
Q.26
Пусть , когда , \( \vec{p} = (-5,0) \), и когда , \( \vec{p} = (4,3) \).
A. ...
Q.27
Вектор положения, применение в геометрии Вектор положения точки пересечения прямой и плоскости
A. ...
Q.29
Глава 2 Векторы в пространстве
37
Даны \( \vec{a} = (1,2,3) \) и \( \vec{b} = (2,0,-1) \). Для действительного числа пусть . Определите минимальное значение и соответствующее значение .
[Фукуокский технологический институт]
\[
egin{aligned}
\vec{c} & = \vec{a} + t \vec{b} = (1,2,3) + t(2,0,-1) \\
& = (2t + 1, 2, -t + 3)
\end{aligned}
\]
A. ...
Q.30
Имея векторы ec{a}, ec{b} справа, нарисуйте следующие векторы.
(1) 3 ec{a}
(2) -\frac{3}{2} ec{b}
(3) ec{a}+2 ec{b}
(4) 2 ec{a}-3 ec{b}
A. ...
Q.31
Дано |ec{a}|=1, |ec{b}|=2 . Ответьте на следующий вопрос.
(2) Когда |ec{a}+ec{b}|=1 , найдите значения ec{a} \cdot ec{b} и |2 ec{a}-3 ec{b}| .
A. ...
Q.32
Найдите вектор \( \vec{d}=(x, y) \), который перпендикулярен \( \vec{c}=(2,1) \) и имеет величину .
A. ...
Q.33
Условие для 3 точек находиться на одной прямой [Условие Коллинеарности]: Когда 2 точки \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \) различны, условие для точки \( \mathrm{C}(ec{c}) \) следующее:
3 точки находятся на одной прямой
Точка находится на линии
или
, где k — действительное число
...... (1)
\Longleftrightarrow ec{c}=s ec{a}+t ec{b}, s+t=1 , где и — действительные числа
......
Примечание: В (1) \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{c}-ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}-ec{a} , следовательно, \( ec{c} - ec{a} = k(ec{b} - ec{a})
Производим формирование: \( ec{c} = (1 - k) ec{a} + k ec{b} \)
Если взять , то получаем результат (2).
A. ...
Q.34
Найдите расстояние между точками \(A(a_1, a_2, a_3)\) и \(B(b_1, b_2, b_3)\).
A. ...
Q.36
Глава 1: Векторы на плоскости - 5 TR \( ec{a}=(2,3), ec{b}=(-2,2), ec{c}=(5,5) \) Найдите значения действительных чисел , при которых ec{c}=x ec{a}+y ec{b} .
A. ...
Q.37
(1) Из точки P(-3,5,1) опустите перпендикуляры PA, PB и PC на плоскости xy, yz и zx соответственно. Найдите координаты точек A, B и C.
(2) Пусть точки, симметричные точке P(-3,5,1) относительно плоскостей xy, yz и zx, будут соответственно D, E и F. Найдите координаты точек D, E и F.
(3) Найдите расстояние между точкой O и точкой P(-3,5,1).
A. ...
Q.40
В треугольнике с вершинами A(\(ec{a}), B(ec{b}), C(ec{c}) \), пусть P будет точкой, которая делит отрезок в отношении 2:1 внутренне, а Q будет точкой, которая делит отрезок в отношении 2:5 внешне. Выразите следующие векторы, используя ec{a}, \(ec{b}, и ec{c}:
(1) Позиционные векторы точек P и Q
(2)
(3) Позиционный вектор центра тяжести G треугольника .
A. ...
Q.41
В правильном шестиугольнике , показанном справа, пусть пересечением диагоналей и будет точка , и пусть \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} . Используя ec{a}, ec{b} , выразите следующие векторы: (1) (2) (3) (4)
A. ...
Q.42
Равные векторы
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое направление и величину, обозначенные как .
Когда , можно переместить направленный отрезок так, чтобы он совпал с отрезком .
Другими словами, означает, что направленные отрезки одновременно удовлетворяют следующим условиям: [1] Одинаковое направление направление стрелки одинаковое, [2] Равные величины .
A. ...
Q.43
Математика C
На рисунке четырехугольник является ромбом, а точка является точкой пересечения диагоналей и . Если \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=ec{c} ,
(1) Нарисуйте ec{a}-ec{b} и ec{a}-ec{c} .
(2) Каким вектором является ec{b}+ec{c} ?
A. ...
Q.44
Компоненты вектора Расчеты компонентов вектора и расстояние между двумя точками
A. ...
Q.45
В квадрате со стороной длиной 2, пусть \overrightarrow{\mathrm{AB}} = ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} = ec{c} .
(1) Для точки , которая делит сторону внутренне в отношении 2:1, выразите используя ec{b}, ec{c} .
(2) Выразите единичный вектор ec{d} , направленный в противоположную сторону от ec{c} , используя ec{c} .
A. ...
Q.46
Найдите вектор , который образует угол с вектором \( \vec{a}=(-1,1) \) и имеет величину .
A. ...
Q.47
EX Даны два вектора \( \vec{a}=(1,2), \vec{b}=(3,1) \) и вещественное число , пусть . Найдите значение и , такие что величина равна 5.
A. ...
Q.48
В приведенном слева примере точка P делит отрезок AE в отношении m: n [AP: PE = m: n], поэтому ее можно выразить как \overrightarrow{\mathrm{OP}}=rac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=rac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+rac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]. Обращая внимание на то, что сумма коэффициентов равна 1, \[ rac{m}{m+n}=s \]. Следовательно, \[ rac{n}{m+n}=1-s , и (A) можно выразить как \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \].
A. ...
Q.49
В полярных координатах с центром в O, найдите полярные уравнения следующих прямых.
(1) Прямая, проходящая через точку A(3/2, 0) на начальной прямой OX и перпендикулярная начальной линии
(2) Прямая, проходящая через полюс O и образующая угол -π/4 с начальной линией
A. ...
Updated: 12.12.2024