Стереометрия - Объем и площадь поверхности

'Рассмотрим ось x и точку P на оси x. Поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной оси x и проходящей через точку P, образует прямоугольный равнобедренный треугольник PQR. Пусть x - координата точки P, тогда PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}. Итак, обозначим площадь треугольника PQR как S(x), тогда S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2}). Основываясь на этой площади треугольника, найдем объем V.'

'Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с длинами сторон a, b и c. Когда сторона длиной b используется в качестве оси вращения, и параллелепипед вращается на 90 градусов, твердое тело, образованное всеми точками, через которые проходит параллелепипед, обозначается как V. (1) Выразите объем V через a, b и c. (2) При a+b+c=1 найдите диапазон возможных значений объема V. [Токийский университет]'

'Разрежьте этот твердый объект плоскостью, перпендикулярной основанию, проходящей через точки Q и S, затем разрежьте плоскостью, перпендикулярной основанию, проходящей через точки T и R, и покрасьте только грани, образованные разрезами. Обозначим твердое тело, содержащее точки A, B, C, как твердое тело X, Y, Z соответственно. Если объемное соотношение между твердым телом Y и твердым телом Z равно 4:1, ответьте на следующие вопросы.'

'Во сколько раз объем тетраэдра O-KLMN больше объема прямоугольной призмы ABCD-EFGH?'

'(3) Точки P, Q, R берутся на сторонах AE, BF, CG так, что AP: PE = 2: 1, BQ: QF = 1: 1, CR: RG = 1: 2. На рисунке 2 показано добавление точек P, Q, R к рисунку 1. Когда тело образуется путем разрезания пирамиды OKLMN плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, во сколько раз объем тела, содержащего точку O, больше объема пирамиды OKLMN?'

'(2) Если куб одновременно разрезан плоскостью, проходящей через точки P, R и T, и плоскостью, проходящей через точки Q, R и T, найдите отношение объемов твердого тела, образованного точкой B, и твердого тела, образованного точкой E, в простейшем целочисленном отношении.'

'Ответьте на следующие вопросы. Объем конуса рассчитывается как (площадь основания) × (высота).\n(1) При сборке этой развернутой диаграммы, какие ребра касаются ребра A? Пожалуйста, ответьте, используя символы от ребер I до K.\n(2) Сколько ребер у твердого тела C?\n(3) Давайте назовем D куб с одним ребром длиной 6 см.\nВыразите отношение объема твердого тела C к кубу D в наиболее простой форме целых чисел.'

'Когда плоскость, проходящая через точки P, Q, и F, разрезает этот твердый, плоскость пересекает ребро AE в точке R.'

'На сколько раз площадь дна резервуара А больше площади дна резервуара В?'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'В трехмерной геометрии Z, если соотношение площади окрашенной части к площади неокрашенной части составляет 1:4, какое самое простое отношение площадей поверхности тела X и тела Z?'

''

'В задаче нахождения объема тела рассчитайте объемы следующих геометрических фигур.'

'Когда плоскость, проходящая через середины рёбер AE, BF, CG, DH, разрезает пирамиду O-KLMN, во сколько раз площадь сечения на рузу ABCD?'

'Как показано на диаграмме, есть тело со всеми плоскими гранями, где ребро AB параллельно ребру EF, ребро BC параллельно FG, ребро CD параллельно GH и ребро DA параллельно HE.'

'Пусть p, q будут положительными действительными числами. Даны в пространстве координат с началом в точке O три точки P(p, 0, 0), Q(0, q, 0), R(0, 0, 1), удовлетворяющие условию ∠PRQ=π/6'

'Даны точки A(1, -2, -3), B(2, 1, 1), C(-1, -3, 2), D(3, -4, -1). Определите координаты других вершин параллелепипеда с отрезками AB, AC и AD в качестве трех ребер.'

'Есть контейнер в форме полусферы радиусом 2, наполненный водой. Когда его аккуратно наклоняют под углом α, уровень воды падает на 197h(2), и соотношение пролитой воды к оставшейся воде в контейнере становится 11:5. Найдите значения h и α. Укажите ответ для α в радианах.'

'Найдите объем V тела, полученного путем вращения следующей формы вокруг оси x один раз. (2) Круг x^{2}+(y-2)^{2}=4 и его внутренность'

'Найдите объем тела вращения, образованного вокруг прямой y=x. Учитывайте следующие условия: систему неравенств 0 <= x <= t, x² - x <= y <= x, 0 <= t <= 2.'

'Когда объем сферы увеличивается на 1%, насколько приблизительно увеличиваются радиус r и площадь поверхности S?'

'Объем тетраэдра'

''

'Рассчитайте объем кривой, представленной параметрическими уравнениями и телом вращения.'

'В трехмерном пространстве треугольник OAB с вершинами O(0,0,0), A(1,0,0) и B(1,1,0) вращается вокруг оси x, образуя конус V. Рассчитайте объем тела, образованного вращением конуса V вокруг оси y.'

'Есть два бесконечно расширяющихся цилиндра сечений, которые являются кругами радиусом a. Теперь предположим, что эти два цилиндра пересекаются с их центральными осями, образуя угол π/4. Вычислите объем пересечения (общей части).'

'Пусть r будет положительным действительным числом. В пространстве xyz рассмотрим множество точек, удовлетворяющих следующей системе неравенств: x^{2} + y^{2} \\le r^{2}, y^{2} + z^{2} \\ge r^{2}, z^{2} + x^{2} \\le r^{2}. Найдем объем тела, рассматривая сечение плоскостью x = t (0 \\le t \\le r).'

'Вычислите объем тела вращения в координатном пространстве (2).'

'Найдите объем тела, представленного системой неравенств.'

'Повторение'

'Раскрасьте каждое лицо тетраэдра и октаэдра цветами. Каждое лицо окрашивается только одним цветом. Кроме того, вращение и совпадение цветовых узоров считаются одинаковыми. Когда цветов 12, количество способов раскрасить тетраэдр так, чтобы все его грани имели разные цвета, равно A [ ]. Также, когда цветов 8, количество способов раскрасить октаэдр так, чтобы все его грани имели разные цвета, равно B [ ].'

''

'Сколько существует различных способов раскрасить грани заданных полихедров? Предполагая, что вращательно эквивалентные раскраски считаются одинаковыми. (1) Метод окрашивания каждой грани квадратной пирамиды 5 разными цветами (2) Метод окрашивания каждой грани треугольного призмы 5 разными цветами'

'Базовый пример 138 Высота и объем правильной тетраэдра\nПусть ABCD будет правильным тетраэдром с длиной ребра a.\n(1) Выразите высоту этого тетраэдра через a.\n(2) Выразите объем этого тетраэдра через a.'

'Есть куб со стороной 6 см. Определите объем правильного октаэдра, образованного пересечением диагоналей каждой грани этого куба.'

'Из уравнения \ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \ следует, что \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \. Точка на полукруге с радиусом 1, где x-координата равна \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \, - это точка \ \\mathrm{P} \ на рисунке. Угол \ \\theta \, который нам нужен, это \ \\angle \\mathrm{AOP} \.'

'Конус высотой 4 и радиусом основания √2 касается шара O по боковой стороне и также в центре M его основания. Найдите объем V и площадь поверхности S шара O.'

'Отношение объема между кубом и тетраэдром 102'

''

'В тетраэдре ABCD, показанном справа, AD=2, BD=4, CD=6, углы ADB=ADC=BDC=90 градусов, найдите следующие значения.'

'В тетраэдре ABCD, где AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°, найдите следующие значения:\n(1) Объем V тетраэдра ABCD\n(2) Площадь S △ABC\n(3) Длина d перпендикуляра, опущенного с вершины D на плоскость ABC'

'Есть тонкий металлический лист формата прямоугольника, где длина вдвое превышает ширину. Из углов этого листа вырезают квадраты со стороной 1 см, чтобы создать прямоугольную коробку без верха. Чтобы объем коробки был от 4 см³ до 24 см³, в каком диапазоне должна быть высота?'

'Найдите следующее для тетраэдра OABC:'

''

'Найдите максимальный объем прямого цилиндра, вписанного в сферу радиусом 6. Также определите высоту цилиндра в этот момент.'

'Рассчитайте объем правильной тетраэдра'

'Ответьте на следующие вопросы, когда каждая вершина правильного икосаэдра W с длиной ребра 1 находится на поверхности сферы S. Икосаэдр имеет все грани равнобедренные треугольники, и каждая вершина совместно используется 5 такими треугольниками.'

'Дан куб со стороной длиной 1, ABCD-EFGH, плоскость, содержащая точки A, C, F, пересекающаяся с прямой BH в точках P, и перпендикуляр, опущенный из точки P на плоскость ABCD, пересекающийся в точке Q.'

'Найдите объем цилиндра и конуса, когда площадь основания равна S, а высота равна h. Также найдите объем и площадь поверхности сферы с радиусом r.'

'Постройте тетраэдр PABC с равносторонним треугольником ABC со стороной 3 как основанием, где PA=PB=PC=2. Опустите перпендикуляр PH из вершины P на основание ABC.'

'В тетраэдре ABCD, где AB=3, BC=√13, CA=4, DA=DB=DC=3, опустите перпендикуляр DH из вершины D на треугольник ABC. Найдите длину сегмента DH и объем тетраэдра ABCD.'

'Пусть ABC - равносторонний треугольник со стороной 3, а PABC - тетраэдр с PA=PB=PC=2. Из точки P перпендикуляр PH опущен на основание ABC.'

'Расчет высоты и объема правильной тетраэдра\nВ правильном тетраэдре ABCD с длиной ребра a опустить перпендикуляр AH от вершины A к треугольнику BCD.\n(1) Выразить длину h отрезка AH через a.\n(2) Выразить объем V правильного тетраэдра ABCD через a.\n(3) Выразить длину перпендикуляра, опущенного из точки H на треугольник ABC, через a.'

'Пусть I будет центром вписанной сферы. Четыре тетраэдра IABC, IACD, IABD, IBCD равны, поэтому'

'Нахождение объема правильной тетраэдра'

''

'Есть куб A. Уменьшите A по вертикали на 1 см, по горизонтали на 2 см и увеличьте высоту на 4 см, чтобы создать прямоугольный призма B. Кроме того, увеличьте A по вертикали на 1 см, по горизонтали на 2 см и уменьшите высоту на 2 см, чтобы создать прямоугольный призма C. Когда объем A больше объема B, но не больше объема C, найдите диапазон длины одной стороны A.'

'Пожалуйста, вычислите объем правильного икосаэдра W.'

'Высота и объем правильной тетраэдра'

'В тетраэдре ABCD, AB = AC = 3, ∠BAC = 90°, AD = 2, BD = CD = √7, и середина BC обозначим M. В этом случае, BC = квадрат, DM = треугольник, ∠DAM = углы прямоугольника, а объем тетраэдра ABCD - трапеция.'

'Найдите площадь треугольника и его применение в твердой геометрии'

'Найдите объем тетраэдра ABCD.'

'В правильной тетраэдре ABCD со стороной 3, из вершины A на основание BCD опущена перпендикулярная AH. Учитывая, что точка E на ребре AB имеет AE=1, найдите:\n(1) sin∠ABH\n(2) Объем тетраэдра EBCD'

'Найдите объем тетраэдра OABC. Также найдите расстояние между точкой O и плоскостью ABC.'

'На сколько процентов увеличится радиус шара, если его объем увеличится на 1%?'

'(2) Пусть объем контейнера $Q$ будет $V_{1}$. Для тетраэдра $ABCD$ с длиной ребра $b$...'

'В диапазоне 0 ≤ x ≤ π, каков объем V твердого тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми y=sin x, y=sin 2x вокруг оси x?'

'(2) В пространстве, когда центр сферы с радиусом 1 движется вдоль одной стороны квадрата со стороной 4 на один оборот, найдите объем V части сферы, которая проходит через.'

'В координатном пространстве рассмотрим квадрат S с вершинами A(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0) и D(-1,-1,0), определяемый неравенствами |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 в плоскости xy. Пусть V1 - это твердое тело, образованное вращением квадрата S вокруг линии BD, а V2 - твердое тело, образованное вращением квадрата S вокруг линии AC.'

''

'Практическое задание 20: Объем тела вращения вокруг диагонали куба'

'Рассмотрим прямой круглый конус с центром в начале координат и кругом с радиусом в качестве основания, включающий треугольный призму с вершинами A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1), F(-1,0,1). Найдите минимальный объем этого конуса и радиус основания r в этот момент.'

None

'Пусть S - сфера радиусом 1 с центром в начале координат О в координатном пространстве. Для точек A, B, C, D, движущихся по S, пусть F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2).(1) Пусть →OA= a, →OB= b, →OC= c, →OD = d, где существует постоянная k, отличная от a, b, c, d, такая что F=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d). Найдите значение постоянной k.(2) Найдите максимальное значение M для F, когда точки A, B, C, D движутся по S.(3) Когда координаты точки C равны (-1/4, √15/4, 0) и координаты точки D равны (1, 0, 0), определите все пары точек A и B на S, где F=M.'

'Найдите радиус r конуса, который минимизирует объем правильного кругового конуса.'

'Тетраэдр ABCD и точка P удовлетворяют уравнение AP+3BP+2CP+6DP=0.'

'Упражнение 3 Максимальный объем тетраэдра\nВ тетраэдре OABC, где |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, ∠AOB=90°, ∠AOC=α, ∠BOC=β. Дано, что 0°<α<90°, 0°<β<90°, и α+β>90°.\n(1) Выразите скалярные произведения OA⋅OC, OB⋅OC через a, b, c, α, β.\n(2) Пусть CH - перпендикуляр, опущенный из точки C на плоскость, содержащую △OAB.\nЕсли OH=kOA+lOB (где k, l - действительные числа), выразите k, l через a, b, c, α, β.\n(3) Выразите объем V тетраэдра OABC через a, b, c, α, β.\n(4) Когда a, b, c - постоянные, а α, β удовлетворяют условию α+β=120°, найдите максимальное значение V.'

'Пример задачи 20 Объем тела вращения вокруг диагонали куба'

None

'Найдите объем V твердого тела, полученного в результате вращения эллипса $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \\geqq 0)$ и области, ограниченной осью y вокруг оси y один раз. Здесь $a>0, b>0$.'

'(3) Найти абсолютное значение координаты $x$ точки A. Точки B и P находятся в плоскости $yz$. Найти высоту тетраэдра POAB и вычислить его объем.'

''

'Найдите объем тела, образованного вращением области, ограниченной прямой y=x и параболой y=x^2-x вокруг линии OA как оси, где A - точка пересечения прямой и параболы (за исключением начала O).'

''

'Объем тела вращения: Найдите объем тела, образованного вращением кривой y = √x вокруг оси x от x = 0 до x = 1.'

'Найдите объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривой y=-2x^2-1, осью x и двумя прямыми x=-1 и x=2 вокруг оси x.'

'Прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH с длинами рёбер AB=x, AD=y и AE=z находится в пространстве. Если длина диагонали AG равна 3, а площадь поверхности S равна 16, то'

'Найдите объем тела, образованного правильным тетраэдром, нарисованным при соединении точек P(x, 0) и Q(x, 4-x^2) как одной стороны на плоскости, перпендикулярной оси x. Пока P движется вдоль оси x от начала O до точки (2,0).'

'При AB=x, AD=y, AE=z в пространстве находится параллелепипед ABCD-EFGH. Если длина диагонали AG равна 3, а площадь поверхности S равна 16'

''

'Контейнер в форме перевернутого прямого кругового конуса с радиусом 5 см и высотой 10 см. Воду аккуратно наливают в контейнер со скоростью 2 см³/с. Определите следующее, когда глубина воды достигнет 4 см:\n(1) Скорость поднятия уровня воды\n(2) Процентное увеличение площади поверхности воды'

'Объем тела, полученного вращением S1 вокруг оси x один раз'

'Найдите объем V следующего тела вращения.'

'Точка A на отрезке PQ задается формулой OA = OP + sPQ (0 <= s <= 1)'

'В трехмерном пространстве есть три точки O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,√3,1). Они находятся в плоскости z=0, и окружность с центром в O и радиусом 1, называемая W. Когда точка P движется вдоль отрезка OA, а точка Q движется вокруг или внутри окружности W, удовлетворяя условию ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, все точки R образуют твердое тело V_A. Аналогично, когда точка P движется вдоль отрезка OB, а точка Q движется вокруг или внутри окружности W, удовлетворяя условию ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, все точки R образуют твердое тело V_B. Кроме того, перекрывающуюся часть V_A и V_B обозначают как V. (1) Выразите площадь поперечного сечения твердого тела V, разрезанного плоскостью z=cosθ(0≤θ≤π/2), используя θ. (2) Определите объем твердого тела V.'

'Найдите объем $V$ тела, полученного вращением области, ограниченной кривой $x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta$ (для $-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$) и осью $x$ вокруг оси $x$ один раз.'

'Найдите объем трехмерной фигуры \ V \.'

'Существуют два бесконечно продленных цилиндра по обе стороны, с разрезанными секциями, образующими круги радиуса а. Теперь предположим, что эти цилиндры пересекаются, образуя центральную ось под углом π/4. Найдите объем пересекающейся части (общей части). [Источник: Японский женский университет]'

'Объем тела, образованного вращением прямой в координатном пространстве'

''

'Найдите объем V тела, полученного в результате вращения области, ограниченной параболой y=x^{2}-2 x и прямой y=-x+2 вокруг оси x один раз.'

'Рассмотрим треугольную призму с вершинами A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1) и F(-1,0,1) и прямой круговой конус с кругом в плоскости xy, центрированным в начале координат в качестве основания. Найдите минимальный объем такого конуса и радиус r основания в этот момент.'

'Проблемы применения максимума и минимума (2) ... Тема - пространственные фигуры'

'Когда объем V шара увеличивается на 1%, приблизительно на какой процент увеличиваются радиус r и площадь поверхности S шара?'

'Найдите объем V тела, образованного вращением следующих форм вокруг линии y=x: (1) Площадь, ограниченная параболой y=x^2 и прямой y=x. (2) Площадь, ограниченная кривой y=sin x (0 <= x <= pi) и двумя прямыми y=x и x+y=pi.'

''

'Задача вызова'

'Базовый пример 171 Количество пролитой воды из контейнера'

'Кривая C: y=x^3 проходит через 2 точки O(0,0) и A(1,1). Найдите объем V тела, образованного вращением области, заключенной между кривой C и отрезком прямой OA вокруг прямой OA.'

'Объем правильного тетраэдра'

'Есть цилиндр с радиусом основания а и высотой а. Когда плоскость, содержащая диаметр AB основания и наклоненная на 30 градусов к основанию, делит цилиндр на два тела, найдите объем V меньшего тела.'

'В пространстве координат EX существует цилиндр, который одновременно удовлетворяет неравенствам $x^{2}+y^{2} \\leqq 1$ и $0 \\leqq z \\leqq 3$. Когда этот цилиндр разделен на два тела плоскостью, проходящей через точку $(1,0,1)$ и содержащей ось y (образуя угол $\\frac{\\pi}{4}$ с плоскостью 2133), найдите объем $V$ тела, содержащего точку $(1,0,0)$.'

''

'Как рассчитать объем'

'Уменьшив каждую сторону куба с длиной стороны 5 см на 0,02 см, на сколько уменьшится площадь поверхности и объем куба? Пожалуйста, рассчитайте до двух десятичных знаков.'

'В пространстве с точкой O(0, 0, 0) в качестве начала, есть три точки A(1, 2, 0), B(0, 2, 3), C(1, 0, 3). Найдите объем тетраэдра OABC.'

'394 Пример 62 Векторное уравнение и отношение объема четырехугольника'

'Рассмотрим точки P(u, u, 0) и Q(u, 0, √(1-u^2)) в трехмерном пространстве. При изменении u от 0 до 1 поверхность, образуемая отрезком PQ, обозначается как S.'

'Пусть объем тетраэдра OABC равен V, '

'Найдите объем V тела, полученного в результате вращения области, ограниченной кривой y = f(x), осью y и линией y = f(1) вокруг оси y, где f(x)=xe^x+e/2.'

'Решить математическую задачу: Пусть y = cos x (0 ≤ x ≤ π/2) представляет собой кривую. Объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной кривой, осью x и осью y вокруг оси x обозначается как V1. Объем правильного кругового конуса с радиусом основания 1 и высотой π/2 обозначается как V2. Рассчитайте значение V = V1 - V2.'

''

'Решите проблемы максимума и минимума, связанные с твердой геометрией.'

'Найдите объем V тела, образованного вращением области, ограниченной двумя кривыми вокруг оси x. Кривые задаются уравнениями y = f(x) и y = g(x) (a <= x <= b, где f(x) >= g(x) >= 0).'

'Найдите объем, образованный вращением вокруг оси y.'

'Найдите объем V тела, образованного вращением области, ограниченной кривой x=f(θ), y=g(θ), осью x и двумя линиями x=a, x=b (a < b) вокруг оси x с использованием метода цилиндрических оболочек.'

'Найдите объем V тела, полученного вращением области, заключенной между кривой y=cosx (0 ≤ x ≤ π), y=-1, и осью y вокруг оси y один раз.'

'В пространстве с началом O в качестве центра есть три точки A(1,2,0), B(0,2,3), C(1,0,3). Найдите объем тетраэдра OABC.'

'Вычислите объем тела, полученного в результате вращения рассмотренной формы в (2) (1) вокруг оси y один раз.'

'Найдите объем твердого тела, полученного вращением вокруг оси y. Объясните, используя функцию g(y).'

''

'Переведите данный вопрос на несколько языков.'

'Найдите объем V тела, образованного вращением области, ограниченной кривой x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2), и осью x вокруг оси x.'

'Объясните, как найти высоту прямого кругового конуса.'

'Я хочу покрасить каждую грань правильной тетраэдра. Однако, поворот тетраэдра, чтобы цвета совпадали, считается одинаковым. (1) Сколько существует способов окрасить, используя все четыре различных цвета. (2) Среди различных способов окрашивания тремя цветами, сколько способов окрасить, используя все три цвета. Кроме того, если существует цвет из трех, который не используется, сколько существует способов окрашивания.'

'Пример 73 | Объем многогранника\nМногогранник с 6 квадратами c длиной стороны 3 и 8 равносторонними треугольниками в качестве граней вписан в куб, как показано на рисунке. Найдите объем этого многогранника. [Университет Сецунан] Руководство Фокус на то, чтобы быть вписанным в куб. Рассмотрите многогранник, образованный отсечением всех углов куба плоскостью, проходящей через середины каждого ребра куба.'

'Тонкий металлический лист имеет длину, вдвое большую ширины. Из четырех углов этого листа вырезают квадраты со стороной 5 см, как показано на диаграмме, и сгибают, чтобы создать открытый прямоугольный контейнер. Когда объем этого контейнера составляет 1,5 литра, каковы исходные размеры листа в сантиметрах?'

'144'

'Есть тетраэдр PABC с ребрами длиной 3. Найдите объем оставшейся фигуры после удаления 4 тетраэдров длиной 1 изнутри.'