Стереометрия - Свойства трехмерных фигур (полихедры, цилиндры, конусы, сферы)

'Найдите локус центра круга C, касающегося и описывающего данный круг (2) и касающегося оси x.'

'Область, представленная неравенствами'

'Рассмотрим цилиндр, вписанный в сферу с радиусом 2 и пусть его высота будет равна 2x. (1) Выразите радиус основания цилиндра а через x. (2) Выразите объем V цилиндра через x. (3) Найдите максимальное значение V. [Хоккайдо Институт Технологий]'

'2019 Шибуйская академия образования Makuhari Middle School 1-я попытка (26) Наблюдатель стоит лицом к утесу. Наблюдатель смотрит на юго-восток на утесе A, на юго-запад на утесе B, и на север на утесе C.'

'Почему не измерять удлинение металлического стержня с помощью линейки? Объясните кратко примерно в 20 словах.'

'Согласно пункту (1), в регионе слои опускаются с юга на север, поэтому восток-запад направлении слои практически горизонтально уложены. Поэтому на обрыве C, обращенном на юг, каждый слой кажется практически вертикальным.'

'Почему используются поднятые полы для предотвращения влаги и наводнений?'

'Докажите, что фигура, заданная полярным уравнением \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \, совпадает с фигурой, заданной уравнением комплексного числа \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \, и нарисуйте очертание этой фигуры.'

'Уравнения 3 сферы'

''

'Есть две сферические поверхности $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$ и $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Пусть пересечение сферических поверхностей $S_{1}, S_{2}$ будет окружностью $C$. Найти:\n(1) Координаты центра $P$ и радиус $r$ окружности $C$\n(2) Уравнение плоскости $α$, содержащее окружность $C$'

'Пусть точка на окружности C с радиусом 1, центрированной в начале координат, будет \\( (\\cos \\theta, \\sin \\theta) \\) быть P. Пусть окружность, касающаяся окружности C в точке P и также касающаяся оси y, будет S, а координатами ее центра Q будут (u, v). (1) Выразите u и v через \ \\cos \\theta \ и \ \\sin \\theta \, соответственно. (2) Пусть площадь окружности S обозначается через \\( D(\\theta) \\). Определите \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\).'

'В пространстве координат с точкой O в качестве начала, возьмем A(5,4,-2).'

'Рассмотрим куб с вершинами O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1) в координатном пространстве. Пусть точка P будет точкой трисекции ребра OA в отношении 3:1, точка Q будет точкой деления ребра CE в отношении 1:2, а точка R будет точкой деления ребра BF в отношении 1:3. Плоскость, проходящая через точки P, Q, R, обозначается как α.'

'Найдите уравнение сферы, проходящей через точки (1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,0), (2,1,0). Также определите координаты центра и радиус.'

'В тетраэдре ABCD, AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD², и ∠ADB=90°. Пусть G - центроид треугольника ABC.'

'Рассматривая прямоугольник ABCD в пространстве, в котором координаты точки A равны (5,0,0), а координаты точки D равны (-5,0,0), длина стороны AB составляет 5. Более того, и координата y, и координата z точки B положительны, а длина перпендикулярной проекции из точки B на плоскость xy составляет 3. Пожалуйста, найдите координаты точек B и C.'

'Найти площадь, через которую проходит луч, соединяющий точку на кривой, представленной полярным уравнением $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ и полюс $\\mathrm{O}$. Основы 182, Математика $\\mathrm{C}$ с. 303 Ссылка'

'Найдите уравнение сферической поверхности, проходящей через точки (0,0,0), (6,0,0), (0,4,0) и (0,0,-8). Также определите координаты ее центра и радиус.'

'Вычислите количество граней (f), ребер (e) и вершин (v) многогранника, образованного путем разрезания всех вершин правильного икосаэдра плоскостью, проходящей через середины каждой грани.'

'Глава 3 Свойства Фигур EX ⊕ 91 Фигура справа [1] является многогранником, полученным путем вырезания 8 вершин плоскостью, проходящей через середины каждой стороны правильного шестиугольника. Обозначим этот многогранник как X. Фигура справа [2] является многогранником, полученным путем вырезания вершин плоскостью, проходящей через середины каждой стороны многогранника X. Обозначим этот многогранник как Y. (1) Определите количество граней, рёбер и вершин многогранника X, соответственно. (2) Определите количество граней, рёбер и вершин многогранника Y, соответственно.'

'Найдите длину стороны правильной тетраэдра, вписанной в сферу радиусом 1.'

'Найдите длину ребра правильной тетраэдра, вписанного в сферу радиусом 1.'

'Пример задачи 141 на нахождение минимального значения разорванной линии на тетраэдре\nДан тетраэдр ABCD, где AB=BC=CA=8, AD=7. Когда cos∠CAD=11/14, найдите следующее:\n(1) Длина стороны CD\n(2) Размер ∠ACD\n(3) Для точки E на стороне AC, найти минимальное значение BE+ED'

'Фигура справа [1] - это выпуклый многогран, полученный путем вырезания восьми вершин правильного шестиугольника плоскостью, проходящей через середины каждой стороны. Обозначим этот многогран как X. Фигура справа [2] изображает многогран, полученный вырезанием [1], который мы обозначим как Y.'

'В правом прямоугольнике на рисунке, AD=AE=1, EF=√3. (1) Найдите ребро, перпендикулярное ребру BF.'

'Рассмотрим прямой круговой конус с радиусом основания 2 и высотой \ \\sqrt{5} \. Пусть \ \\mathrm{O} \ будет вершиной этого конуса, а \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ - двумя концами диаметра основания. Также пусть \ \\mathrm{P} \ будет серединой отрезка \ \\mathrm{OB} \. Найдите наименьшее расстояние на боковой поверхности конуса от A до P.'

"На правом рисунке прямая AB касается окружностей O и O' в точках A и B соответственно. Если радиусы окружностей O и O' составляют 5 и 4, а расстояние между центрами O и O' составляет 6, найдите длину отрезка AB."

'Покрасьте каждое лицо правильной тетраэдра и правильного гексаэдра краской. На каждом лице красится только один цвет. Кроме того, вращение на 323 градуса, чтобы совпасть с окраской, считается одинаковым. При наличии 12 цветов существует 7 способов раскрасить грани правильного тетраэдра так, чтобы каждая грань имела разный цвет. При наличии 8 цветов существует миллиард способов раскрасить грани правильного гексаэдра так, чтобы каждая грань имела разный цвет.'

'Схема справа показывает твердое тело, образованное разрезанием прямоугольной призмы на плоскости, содержащей ребра DH, BF.'

'Каждая грань куба должна быть раскрашена таким образом, чтобы соседние грани имели разные цвета. Однако вращения куба, приводящие к одинаковой раскраске, считаются одинаковыми. (1) Сколько существует способов раскраски с использованием всех 6 разных цветов? (2) Сколько существует способов использования всех 5 разных цветов?'

'Пожалуйста, найдите количество граней f, рёбер e и вершин v полиэдра, образованного путём разрезания всех вершин правильного додекаэдра плоскостью, проходящей через середины каждого ребра.'

'Используйте условие, что сумма противоположных углов равна 180°, чтобы доказать, что четырехугольник вписан в круг.'

None

"На правой картинке прямая AB касается окружностей O и O' в точках A и B соответственно. Если радиусы окружностей O и O' обозначаются как r и r' (r < r'), а расстояние между центрами двух окружностей равно d, то докажите, что AB = √(d^2 - (r' - r)^2)."

'Определите количество граней f, рёбер e и вершин v для следующих выпуклых многогранников:\n(1) Выпуклый многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников\n(2) Выпуклый многогранник, образованный путем отрезания всех углов плоскостью, проходящей через точки, делящие каждое ребро правильного тетраэдра на три равные части, как показано на правом рисунке'

'Свет, излучаемый фонариками и подобными им, распространяется в форме усеченного конуса, но при правильном угле освещения край освещенной области становится параболой. Это явление происходит потому, что при разрезании конуса параллельно его венцовой линии образуется парабола на линии разреза.'

'Положение точек в пространстве\nКак и точки в плоскости представляются парой действительных чисел, точки в пространстве также можно описать с помощью координат, состоящих из тройки действительных чисел. Давайте рассмотрим точку С в пространстве и определим три взаимно перпендикулярные числовые прямые в точке О, как показано на диаграмме. Они называются осью x, осью y и осью z соответственно, совместно известные как координатные оси. Кроме того, точка О называется началом координат.\nПлоскость, определенная осью х и осью у, известна как плоскость xy, плоскость, определенная осью у и осью z, - плоскость yz, а плоскость, определенная осью z и осью х, - плоскость zx.\nВ координатной плоскости есть две оси, ось х (горизонтальная) и ось у (вертикальная), но в координатном пространстве добавляется ось z (высота). Эти три оси вместе называются координатной плоскостью.'

'Пожалуйста, ответьте (от А до С), подходящее для таблицы.'

'Проходя плоскость через середины каждого ребра правильного додекаэдра и разрезая все вершины, определите количество граней f, ребер e и вершин v результирующего многогранника с 21 гранью.'

'Для выпуклого многогранника с 8 вершинами и 6 гранями, давайте найдем количество рёбер.'

'Вычислите количество граней f, рёбер e и вершин v выпуклого многогранника, образованного путем отрезания всех вершин правильного октаэдра плоскостью, проходящей через точки, делящие каждое ребро на три части.'

'Выберите термин из следующих математических терминов, который соответствует правильному многограннику.'

'Докажите, что в правильной квадратной пирамиде A-BCDE, в которой все рёбра имеют одинаковую длину, когда середина ребра AD обозначена как M, ребро AD перпендикулярно плоскости MEC.'

'В пятиугольной призме ABCDE-FGHIJ, изображенной на рисунке, ответьте на следующие вопросы.'

'В задачах, связанных с многогранными фигурами, используется теорема многогранника Эйлера для выявления связи между вершинами, рёбрами и гранями.'

'Теорема синусов представляет собой теорему, выражающую отношение синуса трех внутренних углов треугольника к длинам его трех сторон. Для доказательства этой теоремы используется теорема вписанных углов, изученная в средней школе.'

'Для прямого кругового конуса, вписанного в сферу радиусом 1, найдите высоту, радиус основания и боковую площадь для максимизации.'

'Представьте, что бумажную трубку нарезают по диагонали. Как, по-вашему, будет выглядеть край, когда бумага расправится? Здесь предполагается, что радиус основания равен 1, а угол между разрезанным краем и основанием равен π/4 (=45 градусов).'

'В прямой пирамиде O-ABCD, длина одной стороны основания которой составляет 2a, а высота - a. Найти следующее:\n(1) Длина перпендикулярной линии AE, проведенной из вершины A на ребро OB\n(2) Для точки E в пункте (1) найти величину угла AEC и площадь треугольника AEC'

'Для удобства расчёта площади путём деления'

'Когда все вершины регулярного икосаэдра W со стороной 1 находятся на поверхности сферы S, ответьте на следующие вопросы. Регулярный икосаэдр имеет все грани совпадающими равносторонними треугольниками, причем каждая вершина разделена на 5 треугольников.'

'Математика I'

'(1) По теореме косинусов'

''

'Учитывая, что высота прямоугольной призмы равна 4, пусть радиус сферы будет r, тогда 0 < r ≤ 2'

'Тетраэдр и сфера'

'Найдите длину одной стороны регулярного тетраэдра, вписанного в сферу радиусом 1.'

'Есть прямой круговой конус с радиусом основания 2 и высотой √5. Пусть O будет вершиной этого конуса, A и B будут концами диаметра основания. Если середина отрезка OB - это точка P, каково кратчайшее расстояние от A до P на боковой поверхности?'

'Найдите минимальное значение ломаной линии на тетраэдре Пример 141\nУ нас есть тетраэдр ABCD, где AB=BC=CA=8, а AD=7. Когда cos∠CAD=11/14, найти следующее:\n(1) Длина ребра CD\n(2) Размер ∠ACD\n(3) Для точки E на ребре AC найти минимальное значение BE+ED\nОсновы 121,137'

'Пример 127 Проблема измерения (Пространство)\nКак показано на диаграмме справа, электрический столб стоит перпендикулярно на плоскости, содержащей точки A, B и C. Когда видны из точек A и B, верхушка столба D имеет углы места в 60° и 45° соответственно. Учитывая, что расстояние между A и B составляет 6м, и ∠ACB = 30°, найдите высоту столба CD. Предполагается, что высота глаз не учитывается.'

'Тетраэдр и Сфера\nПредположим, у нас есть тетраэдр ABCD с длиной ребра a.\n(1) Выразите радиус R сферы, описанной около тетраэдра, через a.\n(2) Выразите радиус r сферы, вписанной в тетраэдр, через a.'

'Найдите длину ребра правильной тетраэдра, вписанного в сферу радиусом 1.'

'Есть прямой круговой конус с радиусом основания 2 и высотой √5. Пусть O будет вершиной этого конуса, A и B будут двумя концами диаметра основания, а P будет серединой сегмента OB. Найдите кратчайшее расстояние от A до P на боковой поверхности.'

'В пространстве точка обычно определяется своими координатами и расстоянием до начала координат O.'

'Найдите уравнение сферической поверхности с центром в точке (a, b, c) и радиусом r.'

'Найдите уравнения следующих сфер.'

'Переведите координаты центра и радиус по порядку'

'Найти вещественное число а, и когда точка P движется по всей сфере S,'

'Как показано на диаграмме, пусть S, T, U будут точками пересечения плоскости z=t (0<t<2/3) с окружностью диска D и отрезком линии CQ.'

'Уравнение сферы'

'Практика: Учитывая плоскость $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ и две сферы $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Найдите следующее. (1) Уравнение сферы, проходящей через начало координат и включающее пересечение плоскости $\\alpha$ и сферы $S_{1}$ (2) Уравнение плоскости, содержащей окружность $C$ пересечения сфер $S_{1}$ и S_{2 , а также координаты центра $P$ окружности $C$ и радиус $r$'

'Какая форма у треугольника АВС, образованного тремя точками A(4,7,2), B(2,3,-2), C(6,5,-6)?'

'Предполагая a>0. Найдите следующее для сферы, проходящей через точки O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) с уравнением 54.'

'Объясните свойства параболы и выведите свойства точки P на параболе.'

'Дан правильный гексагон ABCDEF со стороной 1. Когда точка P движется по ребру AB, а точка Q движется по ребру CD независимо, найти область, через которую может пройти точка R, разделяющая отрезок PQ в отношении 2:1.'

'(2) Поскольку сфера касается каждой координатной плоскости и проходит через точку (5, -1, 4), радиус обозначается как r, а координаты центра (r, -r, r). Следовательно, уравнение сферы'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку (-1,2,3) и перпендикулярной к прямой, заданной уравнением (4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3'

'Пусть уравнение сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=16$, а плоскость $\\alpha: 6x-2y+3z=5$ пересекающая ее, образует окружность $C$. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.'

'Уравнение сферы'

'Найдите координаты вершин прямоугольной призмы OABC-DEFG справа, за исключением точки O.'

'Рассмотрим окружность с радиусом 1, центрированную в начале координат на плоскости xy. Пусть S будет конусом (включая его внутреннюю часть) с этой окружностью в качестве основания и точкой (0,0,2) в качестве вершины. Также рассмотрим точку A(1,0,2).'

'(2) Точка B проходит через и плоскость α перпендикулярна к оси x. На плоскости α, с точкой C(1,0,0) в качестве центра и радиусом CB = √(3²+4²) = 5, находясь на окружности, пусть R будет движущейся точкой на окружности. Тогда, CB = CR, QB = √(QC² + CB²), QR = √(QC² + CR²). Следовательно, QB = QR, поэтому, D(1,0,-5), тогда AQ + QB = AQ + QD ≥ AD. Поскольку точки A, Q и D находятся в плоскости zx, минимальное значение AQ + QD достигается, когда Q находится на линии AD. Таким образом, минимальное значение AQ + QB составляет AD = √((1-2)² + (0-0)² + (-5-3)²) = √65.'

'В кубоиде ABCD-EFGH докажите, что середины рёбер FB, BC, CD, DH, HE и EF находятся в одной плоскости.'

'Рассмотрим треугольник ABC с тремя вершинами A, B, C на кривой K: y=1/x. Докажем, что ортоцентр H треугольника ABC находится на кривой K.'

'Найдите объем части в координатном пространстве, где расстояние до оси x, оси y и оси z составляют менее или равно 1.'

'В пространстве координат найдите объем части, где расстояние до оси x, оси y и оси z меньше или равно 1.'

'В пространстве координат найдите объем области, где расстояние до оси х и оси у меньше или равно 1.'

'Найдите площадь области на плоскости z = t (-1 ≤ t ≤ 1), где расстояния до оси x и оси y обе меньше или равны 1.'

'Пусть полярные координаты точки A будут (10,0), а Q будет любой точкой на окружности C с диаметром, образованным линейным отрезком, соединяющим полюс O и точку A. Проведите перпендикуляр из полюса O к касательной окружности C в точке Q, пусть полярные координаты точки P будут (r,θ), найдите полярное уравнение ее траектории. Здесь, 0 ≤ θ < π.'

'Пример 54: Уравнение сферы (2)'

'Упражнение 1: Докажите, что сумма 1/OP^2 + 1/OQ^2 является постоянной при построении двух перпендикулярных полулучей из центра O эллипса до точек пересечения P и Q.'

"Точки O, A', B' находятся на плоскости xy, поэтому фигура, образованная пересечением поверхности S и плоскости xy, представляет собой окружность, проходящую через O, A', B'."

'Уравнение сферы - сфера радиуса r с центром в точке (a, b, c) (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'Пусть \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) будет точкой, а \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) параллельна прямой \ \\ell \.\n(1) Найдите координаты точки пересечения прямой \ \\ell \ и плоскости \ 2x-3y+z=0 \.\n(2) Найдите длину сегмента, отрезанного прямой \ \\ell \ на сфере \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\).'

"(2) Когда t изменяется по всем вещественным числам, пусть линия, определенная точкой (t+2, t+2, t) в пространстве xyz, обозначается как l. Учитывая, что сфера S с центром в C(a, b, c) проходит через точки O(0,0,0), A'(2,1,0), B'(1,2,0) и имеет общую точку с линией l, найдите условия для a, b, c. [Хоккайдо Университет]"

'В пространстве множество точек, находящихся на постоянном расстоянии r от фиксированной точки C, называется сферой с центром C и радиусом r.'

''

'В тетраэдре $ABCD$ пусть $G_A$, $G_B$, $G_C$, $G_D$ - центроиды треугольников $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ соответственно. Докажите, что точки, в которых отрезки $AG_A$, $BG_B$, $CG_C$, $DG_D$ делятся в отношении $3:1$, совпадают.'

'Имеется четыре точки A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,4), D(0,0,2).'

'Найдите координаты точек пересечения прямой, проходящей через точки A(3,1,-1) и B(-2,-3,2), с плоскостью xy, плоскостью yz и плоскостью zx.'

'(2) Плоскость ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0 касается сферической поверхности с центром в (3, 2, 1) радиусом √5. Найдите значение постоянной a.'

'Учитывая, что центр находится в (1, -3, 2), а сфера, проходящая через начало координат, пересекается с плоскостью z=k, образуя окружность с радиусом √5. Найдите значение k.'

'Изучил векторы на плоскости, теперь изучает основы векторов в пространстве, и понимает уравнения форм (линии, сферы и т. д.) в пространственных координатах.'

'Найдите уравнение следующей сферы.'

'Пусть \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) будут концами диаметра сферической поверхности \ S \ в пространстве координат. Когда точка \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) движется по поверхности \ S \, найдите максимальное значение \ 3x+4y+5z \. Кроме того, определите координаты P в этой точке.'

'Для точек A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0) докажите, что: (1) Треугольник с вершинами A, B, C является равносторонним. (2) Если три вершины правильной тетраэдра - A, B, C, найдите координаты четвёртой вершины D.'

'Найдите координаты точек пересечения между прямой, проходящей через точки A(2,4,0) и B(0,-5,6), и сферой с центром в (0,2,0) и радиусом 2.'

'Учитывая, что центр сферы находится в точке (1, -2, 3a), а радиус равен √13, при пересечении этой сферы с плоскостью xy образуется окружность с радиусом 2. Найдите значение параметра a. Также определите координаты центра этой окружности.'

'(1) Найдите уравнения фигур, образованных пересечением сферы с центром (-1,3,2) и радиусом 5 с плоскостью xy, плоскостью yz и плоскостью zx.'

'В правильном пятиугольнике ABCDE со стороной 1, пусть AB будет вектором b, а AE - вектором e.'

'В комплексной плоскости пусть точки A и B представляют собой -1+2i и 3+i соответственно. Если AB является одной стороной квадрата, найдите комплексные числа, представляющие вершины C и D квадрата ABCD.'

'Рассмотрим 3 точки O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2). Предположим, что точка P(x,y,z) движется так, чтобы |PO|=|PA|=|PB|.'

'(2) Сфера с центром в (1,-2,3a) и радиусом sqrt(13) пересекает плоскость XY, образуя окружность с радиусом 2. Найдите значение a. Кроме того, найдите координаты центра этой окружности.'

''

'Для точек A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0): (1) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним треугольником. (2) Если A, B и C являются тремя вершинами правильной тетраэдра, найдите координаты четвёртой вершины D.'

'Пусть a>0. Найдите следующее для сферы, проходящей через точки O(0,0,0), A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0): (1) Координаты центра и радиус (2) Уравнение пересечения с плоскостью zx'

'Имеется сфера с центром (2, -3, 4) и радиусом r, пересекающая плоскость XY и образующая окружность с радиусом 3. Определите значение r.'

'Далее рассмотрим правильный восьмигранный куб и сферу, касающуюся всех его граней, и представим сечение, проходящее через плоскость, содержащую точки контакта, как показано на правой диаграмме [2]. Если радиус сферы равен r, то площадь прямоугольного треугольника в участке сетки составляет'

'Объясните, как найти высоту тетраэдра.'

'Предположим, что существует куб, как показано на правой диаграмме, то путь от A до D - это перестановка 3 вправо, 2 вверх и 1 вверх,'

'Докажите следующее для тетраэдра ABCD:\n1. Пусть M - середина ребра AB.\n(A) Ребро AB перпендикулярно плоскости CDM.\n(T) Ребро AB перпендикулярно ребру CD.\n2. Пусть P, Q, R, S - середины рёбер BC, AC, AD и BD соответственно, тогда четырёхугольник PQRS является квадратом.'

'Определите количество граней f, рёбер e и вершин v полиэдра, образованного путём разрезания всех вершин правильного икосаэдра плоскостью, проходящей через середины рёбер.'

'Рассчитайте минимальное количество цветов, необходимых для правильного шестиугольника.'

'Пожалуйста, рассчитайте кратчайшее расстояние на развернутой диаграмме.'

'Доказательство: A является основанием перпендикуляра тетраэдра.'

'Найдите количество граней f, рёбер e и вершин v многогранника, образованного путём разрезания всех углов плоскостью, проходящей через середины каждого ребра правильного додекаэдра.'

'Согласно обратной теореме секущей, DA - касательная кругу, проходящему через точки A, E и F.'

'Рассмотрим тетраэдр ABCD в пространстве. Докажем, что существует сферическая поверхность, проходящая через все 4 вершины A, B, C, D.'

'Хотим раскрасить каждое лицо куба так, чтобы соседние грани имели разные цвета. Однако вращения куба, приводящие к одинаковой раскраске, считаются одинаковыми.'

Найдите уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом r.

Пусть a будет действительным числом. В пространстве xyz рассмотрим четыре точки A(0, a, 4), B(-2, 0, 3), C(1, 0, 2) и D(0, 2, 3), и разместим источник света в точке P(1, 0, 6). (1) Координаты тени точки A на плоскости xy, создаваемой источником света, равны (アイ, ウ a, 0). (2) Тень треугольника BCD на плоскости xy, создаваемая источником света, также будет треугольником. Координаты вершин этого треугольника будут 力 > ク.

15 (2) \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \), \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \)

Пересечение сферы и плоскостей Пересечение сферы \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) с указанными ниже плоскостями представляет собой круг. Найдите координаты центра и радиус. (1) плоскость $x y$ (2) плоскость $y z$ (3) плоскость $y=4$

Сфера с центром в начале координат и радиусом r $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

(1) Найдите координаты центра и радиус сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$. (2) Найдите уравнение сферы, проходящей через точки \( (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2) \).

Найдите уравнение сферы с центром в точке (a, b, c) радиусом r \(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

Уравнение сферы Найдите уравнения следующих сфер. (1) Сфера с центром в точке \( (3,-2,1) \) и радиусом 2 (2) Сфера с центром в начале координат, проходящая через точку \( (2,1,-3) \) (3) Сфера, концы диаметра которой находятся в точках \( \mathrm{A}(5,3,-2) \) и \( \mathrm{B}(-1,3,2) \)

Пересечение сферы \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \) с следующими плоскостями является окружностью. Найдите координаты центра и радиус окружности. (1) плоскость yz (2) плоскость zx (3) плоскость $z=3$

Уравнение сферы (общая форма)

Найдите уравнения сфер следующим образом. (1) Сфера с центром в начале координат радиусом $2 \sqrt{2}$ (2) Сфера с центром в точке A(6,5,-3), проходящая через точку B(2,4,-3) (3) Сфера с концами диаметра в точках A(-1,4,9) и B(7,0,1)

Уравнение сферы в координатном пространстве

Найдите уравнение сферы следующим образом.

Фигуры в координатных пространствах: пересечение сферы и плоскости

Опустите перпендикуляр $\mathrm{OH}$ от начала координат $\mathrm{O}$ на плоскость $\mathrm{ABC}$, задаваемую тремя точками \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,-2) \). Найдите координаты точки $\mathrm{H}$ и длину отрезка $\mathrm{OH}$.