Плоская геометрия - Подобие и совпадение

'В треугольнике ABC, где 43AB=6, AC=4, и cosB=3/4, ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите длину стороны BC. (2) Когда угол C острый, найдите площадь треугольника ABC. (3) Для треугольника ABC из вопроса (2) определите радиусы его описанной и вписанной окружностей.'

'Иллюстрируйте области, представленные следующими неравенствами.'

'Пусть радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной окружности равен R, и h=r/R. Также, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ.'

'Внутренние и внешние деления\nНайдите координаты точек, которые делят отрезок AB внутренне и внешне в соотношении m к n.\nТочка внутреннего деления $\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\nТочка внешнего деления $\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

''

'Упражнение (1) Когда треугольник PAB с вершинами в точках A(0, -2), B(0, 6) и точкой P движется так, что AP:BP=1:3, найдите траекторию точки P.'

'Понять координаты внутренних и внешних точек деления между двумя точками.'

'Уменьшив фигуру A до 1/4, получаем подобную фигуру, которую, поместив в (1) до (3) фигуры A, приводит к фигуре B. Затем, уменьшив фигуру B до 1/4, получаем подобную фигуру, которую, поместив обратно в (1) до (3) фигуры A, приводит к самоподобному образу. Примените этот самоподобный образ к шаблону треугольника Паскаля.'

'Найдите острый угол, образованный двумя линиями y=5x(1) и y=\\frac{2}{3}x(2).'

'Преобразуйте следующие углы из градусов в радианы и из радиан в градусы.'

'TR 132\nНайдите угол, образованный прямыми 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) и \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nПредполагая, что угол, образованный этими двумя прямыми, острый.\nПусть угол, образованный прямыми (1) и (2) с положительным направлением оси \ x \, обозначается как \ \\alpha, \eta \'

'Найдите локус точки P, равноудаленной от точек A(-1,-2) и B(-3,2).'

'Шаг вперед'

'Используйте формулу сложения для нахождения значений sin 75° и tan 15°. Поскольку 75° не является стандартным углом на транспортире, его нельзя вычислить непосредственно, используя тригонометрические определения. Выражая 75° в терминах суммы или разности углов, таких как 30°, 45°, 60° и т. д., вы можете использовать формулу сложения для определения тригонометрических функций 75°.'

'Данные две прямые параллельные или перпендикулярные?'

'(1) x-координата точек пересечения парабол P₁ и P₂ задается уравнением x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, которое упрощается до x² - (t+1)x + t = 0. Решив это, мы приходим к (x-1)(x-t) = 0, что приводит к x=1, t. Когда 0<t<1, S - это площадь красной области на диаграмме, представленной как'

'Условие перпендикулярности двух прямых\nДля двух прямых y=m_{1} x+n_{1} и y=m_{2} x+n_{2} прямые перпендикулярны, когда произведение их уклонов равно -1.'

'Когда размер угла, представленного радиусом, указан, определяется положение радиуса, но наоборот, даже если определено положение радиуса, существует бесчисленное множество углов, которые он может представлять, не только один. Это потому, что радиус возвращаетя в исходное положение после полного вращения.\\n\\nУгол, образованный радиусом OP и начальной линией OX, обозначается $\\alpha$, затем угол, представленный радиусом OP, составляет $\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$ - целое число $) \\) \\( \\cdots,-300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$, который одинаков для радиусов'

'Точка деления и внешняя точка деления m, n являются положительными числами. Когда точка P на отрезке AB удовлетворяет AP: PB = m: n, говорят, что точка P делит отрезок AB в пропорции m: n, и точку P называют внутренней точкой отрезка AB. Кроме того, когда точка Q на продолжении отрезка AB удовлетворяет AQ: QB = m: n (m≠n), говорят, что точка Q делит отрезок AB в пропорции m: n, и точку Q называют внешней точкой отрезка AB. Как правило, выполняется следующее:\nВнутреннее деление\nВнешнее деление при m>n'

'Найти локус точки P так, что отношение ее расстояний от точек O(0,0) и A(3,6) составляет 1:2.'

'Найдите координаты следующих точек.'

'Мой дом ближе к дому г-на А.'

'Выберите слой с точки Y с A по F, который соответствует слою e в точке X на рисунке 2, и укажите символ.'

''

'Затененная область треугольника на рисунке справа (4) обозначается как К. Предположим, что площадь четырехугольника ABCD равна 1, тогда площадь прямоугольника BCQP также равна 1, следовательно, площадь прямоугольника RPQS также равна 1. Площадь треугольника RPQ равна 1/2. Кроме того, треугольники RBU и QSU подобны, с коэффициентом подобия RB: QS = 2:1, следовательно, RU: UQ = 2:1. Кроме того, треугольники PBT и QST конгруэнтны, поэтому известно, что PT = TQ. Таким образом, К равно 1/2 от площади треугольника RPQ, что равно 1/6, следовательно, K = 1/2 * 1/6 = 1/12. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD в 12 раз больше, чем K.'

'4 Плоские фигуры - Соотношение сторон и площадей (1) Как показано на схеме справа, отметьте центр круга как O и соедините O с точками E, F, G и H на окружности. Кроме того, поскольку треугольник ABD является равносторонним, углы, обозначенные символами, равны 60 градусам, а углы, обозначенные •, равны 60 ÷ 2 = 30 градусам. Таким образом, все прямоугольные треугольники с ○ и являются половиной равносторонних треугольников. Поэтому, сосредотачиваясь на треугольнике ODH, HD:OD = 1:2, и сосредотачиваясь на треугольнике AOD, OD:AD = 1:2, таким образом, если длину HD взять за 1, длина OD составит 1 × 2/1 = 2, а длина AD составит 2 × 2/1 = 4. Следовательно, AH:HD = (4-1):1 = 3:1.'

'Ответьте на следующие вопросы.'

'Проблема измерения длины и точности (1) Шкала делит 39 мм на 20 одинаковых частей и имеет нарисованную на ней самую тонкую градуировочную линию, поэтому интервал одного деления составляет 39 ÷ 20 = 1,95 (мм).'

'На рисунке 10 расстояние между XY составляет 65-30=35 (делений) по измерениям окулярного микрометра, и оно составляет 50 делений по измерениям объективного микрометра. Один деление на объективном микрометре равен 10 микрометрам, так что с 50 делениями это становится 10 x 50 = 500 микрометров. Следовательно, видимая длина для каждого деления на окулярном микрометре составляет 500 ÷ 35 = 14.28..., что равно 14,3 микрометра.'

'Относительно подчеркнутой части в строке 4, предложения A-С описывают одну из гор Раусудаке, Ивакисан или Чоукайсан. Выберите правильное предложение и сочетание гор из предложенных вариантов и ответьте номером.'

'При исследовании этой земли было обнаружено, что длина AC составляет 15 метров, длина BC составляет 18 метров, а угол B в точности вдвое больше угла C. В этом случае, на каком расстоянии находится T от B?'

'При разрезании этого твердого тела плоскостью, проходящей через точки P, Q и F, плоскость пересекла ребро AE в точке R.'

'Затем проведите прямую, перпендикулярную прямой, соединяющей центр O и точку B, проходящую через точку B. Точка пересечения двух прямых - это точка C. Поскольку длины CA и CB всегда равны, можно построить круг с центром в точке C и проходящим через точки A и B. Дуга этого круга - это путь, по которому шёл пришелец Поан.'

'Исходя из того же подхода, что и в (2)(1), у нас есть OI:ID=3:1, что означает, что если площадь треугольника HID принята за 1, то площадь треугольника HOI будет 1 × 3/1 = 3. Следовательно, площадь четырехугольника EFGH составляет 3 × 8 = 24. Кроме того, площадь треугольника HOD составляет 1 + 3 = 4, поэтому площадь треугольника AOH равна 4 × 3/1 = 12, а площадь треугольника AOD равна 4 + 12 = 16. Таким образом, площадь четырехугольника ABCD составляет 16 × 4 = 64, и соотношение площадей четырехугольника EFGH к четырехугольнику ABCD равно 24:64 = 3:8.'

''

'Площадь треугольника AFC равна площади треугольника AEC. Кроме того, если оба треугольника добавить к треугольнику ADC, то площади треугольника CDF и треугольника AED также будут равны. Следовательно, площадь треугольника AED равна 3 × 1 ÷ 2 = 1,5 (см^2), поэтому площадь треугольника CDF также равна 1,5 см^2 и площадь квадрата со стороной CD вдвое превышает площадь треугольника CDF, то есть 1,5 × 2 = 3 (см^2).'

'Относительно двух микрометров выберите один из вариантов видимости, когда увеличение объектива увеличивается с 10х до 40х, и укажите символ.'

'В треугольнике ABC угол B прямой, а в треугольнике ACD угол C также прямой, а углы, обозначенные точками, равны. Точка E - это пересечение продолжений сторон BC и AD. Длина стороны AB составляет 2 см, а длина стороны BC составляет 1 см. (2) Какова длина CE в см?'

'(1) По мере увеличения значения расстояния на рисунке 2, значение освещенности уменьшается. Другими словами, по мере увеличения расстояния между лампочкой и осветительным прибором освещенность уменьшается.'

'На рисунке (2) Марк движется вдоль окружности с Х в качестве центра изначально, в то время как Гарри двигается вдоль окружности с Y в качестве центра. В рисунке (2), треугольник OFX и треугольник YOX оба являются треугольниками, которые представляют собой половину равностороннего треугольника, поэтому, если мы установим XF=1, тогда OX=1×2=2, а XY=2×2=4. Следовательно, соотношение радиусов окружностей, по которым двигаются Марк и Гарри, будет XF:YF=1:(4-1)=1:3. Далее, центральный угол части, по которой движется Марк, составляет 120 градусов, и таких частей всего 6. Кроме того, центральный угол части, по которой движется Гарри, составляет 60 градусов, и таких частей всего 3. Поэтому соотношение расстояний, которые проходят Марк и Гарри, будет {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, поэтому мы можем утверждать, что скорость Марка составляет 4/3=1 1/3 от скорости Гарри.'

'В другом способе решения, на рисунке 4, треугольники DBG и DCG конгруэнтны, пусть угол BDG равен θ, а угол CDG равен φ, тогда θ + φ = 90 градусов, поэтому сумма 2θ и 2φ равна 180 градусам. Следовательно, размер угла ADB равен 2θ. Кроме того, взяв точку H на BD такую, что AD = AH, треугольники ATH и ATD конгруэнтны, что означает, что размер угла AHT также равен 2θ. В результате из внешних углов треугольника ABH мы находим, что размер угла HAB равен θ, как показано на рисунке 5. В рисунке 5, длина AC равна 15 метрам, и длины DB и DC равны, поэтому длина жирного отрезка составляет 15 метров. Более того, учитывая, что AD = BH и DT = HT, длина BT составляет половину длины жирного отрезка, то есть 15 ÷ 2 = 7,5 метров. Стоит отметить, что длина BT не зависит от длины BC.'

'Поскольку треугольник ADC и треугольник CDB подобны, CD=см, что можно выразить как 1:=:3. Кроме того, если P:Q=R:S, то Q × R=P × S, поэтому × =1 × 3=3. Следовательно, площадь квадрата со стороной CD также можно рассчитать как 3 см^2.'

'Определите значение p, чтобы два вектора m=(1, p) и n=(p+3, 4) стали параллельными.'

'Доказательство: В треугольнике ABC стороны BC, CA, AB разделены внутри точками P, Q, R в соотношении m:n (m>0, n>0). Если 24R, то центроиды треугольников ABC и PQR совпадают.'

'Укажите условия для того, чтобы отрезки AB и CD были параллельными, а также условия для того, чтобы они были перпендикулярными, для разных точек A(α), B(β), C(γ), D(δ).'

'Для диапазона существования точки P в треугольнике OAB на плоскости, если OP = sOA + tOB, то диапазон существования точки P следующий: (1) Прямая AB если и только если s + t = 1; в частности, отрезок AB если и только если s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (2) Периметр и внутренность треугольника OAB если и только если 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (3) Периметр и внутренность параллелограмма OACB если и только если 0 ≤ s ≤ 1, и 0 ≤ t ≤ 1.'

'На плоскости xy рассмотрим точки \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) и пусть \ \\mathrm{P} \ будет точкой, произведение расстояний от которой до этих точек является постоянным значением \ 2 a^2 \. Обозначим положение точки \ \\mathrm{P} \ как \ C \. При этом \ a>0 \.\n(1) Найдите уравнение \ C \ в декартовых координатах \\( (x, y) \\).\n(2) Найдите полярное уравнение \ C \ с началом координат в качестве полюса и положительной положительной осью x в качестве начальной линии, в полярных координатах \\( (r, \\theta) \\).\n(3) Докажите, что участок \ C \, исключая начало координат, находится в объединенном диапазоне первой и третьей четверти на плоскости.'

'Преобразуйте декартовы координаты (x, y) в полярные координаты (r, θ).'

'В упражнении три точки A, B, C находятся на окружности с центром O и радиусом 1 так, что (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. Пусть угол AOB равен α, а угол AOC равен β. Определите: (1) Докажите, что OB перпендикулярен OC. (2) Найдите cosα и cosβ.'

'В равностороннем треугольнике ABC со стороной a, пусть P₁ будет ногой перпендикуляра из вершины A на сторону BC. Пусть Q₁ будет ногой перпендикуляра из P₁ на сторону AB; R₁ будет ногой перпендикуляра из Q₁ на сторону CA; и P₂ будет ногой перпендикуляра из R₁ на сторону BC. Повторяя этот процесс, точки P₁, P₂, ..., Pn, ... будут расположены на стороне BC. Определите предельное положение точки Pn. Угол в основном 26°.'

'(4) Ортоцентр (в случае остроугольного треугольника \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) точка пересечения трех высот \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nПусть \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ будут точками пересечения прямой \ \\mathrm{AH} \ со стороной \ \\mathrm{BC} \ и прямой \ \\mathrm{CH} \ со стороной \ \\mathrm{AB} \ соответственно, тогда \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ дает\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nТочно так же, \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nСледовательно, из (*) мы получаем \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nТаким образом, из \\left( ** \\) у нас есть \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'Найдите полярные уравнения следующего круга и линии в полярных координатах. Предположим, что a>0.'

'Пусть s ≠ 0. Для различных 3 точек O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t), где точки P, Q находятся в одном и том же квадранте и OP // OQ, пусть α будет углом между линией OP и положительным направлением оси x. Найдите значение tan α.'

'Задача 107: Применение тригонометрии\nДля измерения высоты здания угол возвышения до самой высокой точки P здания был измерен с точки, находящейся на расстоянии 10 метров и на высоте 1,5 метра, и составил 65 градусов.\nИспользуя таблицу тригонометрических функций в конце книги, ответьте на следующие вопросы:\n(1) Определите высоту этого здания. Округлите до ближайшего метра.\n(2) Из точки, находящейся в 15 метрах от здания, определите угол возвышения до точки P, следуя тому же процессу.'

'В треугольнике ABC, ∠C=90°, AB:AC=5:4. На продолжении стороны BC за точку C, примите CD=376. Пусть E - середина стороны AB, а BF - перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую AD. Ответьте на следующие вопросы: (1) Докажите, что EF=EC. (2) Найдите отношение площадей треугольника ABC к треугольнику CEF.'

'Докажите, что в неравностороннем треугольнике ABC, если O - окрестностный центр, G - центр тяжести, а H - ортоцентр, то G лежит на отрезке OH и OG:GH=1:2.'

'Используя правило синусов и правило косинусов: Найдите стороны и углы треугольника.'

'Базовый пример 131 Площадь треугольника'

'Угол окружности: Размер угла окружности для дуги постоянен, равен половине угла центральной для этой дуги.'

'В ближайшем парке есть круглый бассейн. Однажды я и мой друг решили измерить площадь этого бассейна, поэтому мы вышли с мерной лентой и мелом. Мы отметили точки A, B и C в трех местах на краю бассейна. Когда мы измерили горизонтальные расстояния AB, BC, CA, они были соответственно 9м, 6м, 12м. 1. Найдите синус, косинус и тангенс угла ABC. 2. Найдите площадь этого бассейна.'

'Пусть θ будет острым углом. Когда один из sin θ, cos θ, tan θ принимает определенное значение, найдите значения остальных 2 тригонометрических отношений в каждом случае.'

'В треугольнике ABC, где AB = 3, AC = 2 и ∠BAC = 60°, пусть D будет точкой пересечения биссектрисы ∠A и BC. Найдите длину сегмента AD.'

'Математика I'

'Докажите, что в треугольнике ABC, когда размеры углов A, B, C представлены соответственно A, B, C, уравнение cos((A+B)/2) = sin(C/2) верно.'

'Теорема Чевы\nКогда линия, соединяющая вершины A, B и C треугольника ABC или точки на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях, пересекается с этими сторонами или их продолжениями, и точки пересечения обозначены P, Q, R, то\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'В треугольнике ABC, sinA:sinB:sinC=5:7:8. Следовательно, cosC (заполните пробел). Более того, если длина стороны BC равна 1, то площадь треугольника ABC составляет (заполните пробел).'

'365'

'Отношение между сторонами и углами треугольника\nТеорема\n14\n1. В треугольнике\n 1. В треугольнике угол, противоположный бОльшей стороне, больше, чем угол, противоположный меньшей стороне.\n 2. В треугольнике сторона, противоположная бОльшему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу.\nИными словами, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"Когда окружности O и O' с радиусами 5 и 8 соответственно касаются внешне в точке A, и общая внешняя касательная этих двух окружностей пересекает окружности O и O' в точках B и C соответственно, причем пересечение продолженной BA и окружности O' - точка D. Доказать: (1) AB перпендикулярно AC. (2) Доказать, что точки C, O', D коллинеарны. (3) Найти отношение AB: AC: BC."

'В треугольнике ABC пусть радиус описанной окружности равен R. Если A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'

'Количество прямоугольников (включая квадраты), образованных пересечением 7 линий x=k(k=0,1,2,⋯6) и 5 линий y=l(l=0,1,2,3,4) на координатной плоскости. Кроме того, количество прямоугольников с площадью 4.'

''

'Базовый пример 70 Отношение площадей центроида и треугольника'

'Теорема косинусов'

'Пример 124 Максимальный угол треугольника В треугольнике ABC найдите меру наибольшего угла этого треугольника при следующих условиях. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

'Используя правило синусов, найдите длины других сторон следующего треугольника: A равен 45°, а длина противоположной стороны a равна 2.'

'Есть кусок оригами в форме равностороннего треугольника ABC со стороной 10 см. Точки D на стороне AB и E на стороне AC выбраны так, что сегмент DE параллелен стороне BC. При сгибании бумаги вдоль сегмента DE, обозначим S как площадь перекрытия между треугольником ADE и четырехугольником BCED. Максимальное значение S достигается, когда длина сегмента DE равна x см, и в этой точке S = y кв. см.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'(2) В треугольнике ABC, где AB=4, BC=3 и CA=2, пусть D и E будут точками, в которых угол A и его биссектрисы внешнего угла пересекаются с прямой BC. Определите длину отрезка DE.'

'Внутри острого угла PR XOY даны 2 точки A и B, как показано на правой диаграмме. На полулинии 480 X и OY берут точки P и Q соответственно, чтобы минимизировать AP + PQ + QB, куда следует поместить P и Q соответственно.'

'В треугольнике ABC справа, G - центр масс треугольника ABC, и сегмент GD параллелен стороне BC. Найдите отношение площадей треугольников DBC и ABC.'

'Длина биссектрисы угла в треугольнике'

'В треугольнике ABC, по формуле косинусов\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { Следовательно }\n\\end{array}\n\\]\n'

'Исходя из заданных условий, при определении других трех элементов треугольника методы использования теорем на основе условий следующие: 1. 1 сторона и ее смежные углы (получение b, c, A из условий a, B, C) A = 180° - (B + C); Теорема синусов: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 стороны и включенный угол (получение a, B, C из условий b, c, A) Теорема косинусов a² = b² + c² - 2bc cosA для нахождения a; Теорема косинусов cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) для нахождения B; C = 180° - (A+B); 3. 3 стороны (получение A, B, C из условий a, b, c) Теорема косинусов cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) для нахождения A; Теорема косинусов cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) для нахождения B; C = 180° - (A + B).'

'В треугольнике ABC, когда sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, найдите меру наибольшего угла в этом треугольнике.'

''

'Докажите в остроугольном треугольнике ABC (AB>AC) следующее по поводу биссектрисы угла A AD, медианы AM, перпендикуляра AH:'

'Существует четырехугольник ABCD, вписанный в круг. Если AB=8, BC=3, BD=7 и AD=5, найдите длину A и сторону CD. Также найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'В треугольнике ABC, если C равен 45 градусам, b равен квадратному корню из 3, а c равен квадратному корню из 2, найдите A, B и a.'

'(3) Поскольку $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$, имеем $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$, откуда $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$. Также, $\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$, поэтому $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$, следовательно $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$. Следовательно, $\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$.'

'Четырёхугольник ABCD описан окружностью O. Пусть точки пересечения сторон AB, BC, CD, DA с окружностью O будут P, Q, R, S соответственно, а длины отрезков линий AP, BQ, CR, DS обозначим как a, b, c, d. Когда ни одна из трёх прямых AC, PQ, RS не параллельна другой:\n(1) Пусть точка пересечения AC и PQ будет X, докажите, что AX: XC = a: c.\n(2) Пусть точка пересечения AC и RS будет Y, докажите, что AY: YC = AX: XC.'

'Опишите свойства треугольника A: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'

'В равнобедренном треугольнике два основных угла равны. Кроме того, биссектриса угла вершины равнобедренного треугольника делит основание перпендикулярно пополам. Используя эту информацию, решите следующую проблему: В равнобедренном треугольнике ABC, если угол вершины ∠A = 100 градусов, каково измерение угла основания ∠B?'

'В треугольнике ABC точка O внутри треугольника соединена с тремя вершинами, пересекающимися с сторонами BC, CA и AB в точках D, E, F, и продолжение FE проходит через точку E, чтобы пересечься с продолжением стороны BC в точке G.'

'Задача 381. Сравнение периметра треугольника'

'В треугольнике ABC каждая сторона касается окружности в точках P, Q, R, как показано на рисунке ниже. Найдите длины отрезков AQ и BC.'

'Базовый пример 133: Длина биссектрисы угла в треугольнике (2)'

'Обратное утверждение теоремы Цевы'

'В треугольнике ABC, если точка P делит сторону BC в отношении m:n, точка Q делит сторону CA в отношении l:m, и точка R делит сторону AB в отношении n:l, то линии AP, BQ и CR пересекаются в одной точке. Докажите это, используя обратную форму теоремы Чевы.'

'Докажите, что следующее равенство выполняется в треугольнике ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'В треугольнике ABC, пусть D будет точкой, где биссектриса угла B пересекает сторону AC. Найдите длину отрезка BD.'

'Ключевые моменты решения задач по углам'

'Базовый пример 68: Использование центра описанной окружности и ортоцентра\nПусть H - ортоцентр остроугольного треугольника ABC, O - центр описанной окружности, а OM - перпендикуляр от O к стороне BC. Кроме того, возьмем точку K на описанной окружности треугольника ABC так, чтобы отрезок CK стал диаметром окружности. Докажите следующее:\n1. BK = 2OM\n2. Четырехугольник AKBH является параллелограммом\n3. AH = 2OM'

'Четырехугольник, вписанный в окружность'

'Используя обратное утверждение теоремы Чевы, докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.'

'Докажите обратное утверждение к базовой фигуре 90'

'В треугольнике ABC, при AB=8, BC=3, CA=6, пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла A и прямой BC. Найдите длину отрезка CD.'

'В остроугольном треугольнике ABC, пусть BD и CE будут высотами, опущенными из вершин B и C на противоположные стороны. Если BC=a, выразите угол A в терминах других углов. Вы можете использовать свойство, что если в отрезке PQ угол PRQ=90°, то точка R лежит на окружности с PQ как диаметром.'

''

'Доказать, что в остроугольном треугольнике ABC, с ортоцентром H и центром описанной окружности O, середина стороны BC — M, а середина сегмента AH — N, длина сегмента MN равна радиусу описанной окружности треугольника ABC, используя тот факт, что AH=2OM.'

'В диаграмме, если AR:RB=3:4 и BP=PC, найдите AQ:QC.'

'При заданных отрезках AB длиной a и двух отрезках длиной b и c нарисуйте отрезок длиной \ \\frac{a c}{b} \.'

'Когда применять теорему синусов и теорему косинусов? Как теорему синусов, так и теорему косинусов можно использовать для нахождения длин сторон и размеров углов, и иногда может быть неясно, какую из них использовать. Есть ли метод для определения этого?'

'Найдите длину отрезка BF.'

''

'В точке H на уровненной земле PR стоит столб, перпендикулярный земле. Когда смотрят на вершину столба с точек A и B, углы возвышения составляют 30 градусов и 60 градусов соответственно. Также, из земельного обследования известно, что расстояние между A и B составляет 20 метров, и ∠AHB=60 градусов. Определите высоту столба. Предположим, что высота глаз не учитывается.'

'Глава 4: Геометрия и измерение EX В четырехугольнике ABCD, вписанном в круг, где DA = 2AB и ∠BAD = 120°, а E - пересечение диагоналей BD и AC, E делит отрезок BD на 3:4.\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ?AB.\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB.\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : мощность : 2.\n(4) Если радиус круга равен 1, то AB = ?, а площадь четырехугольника ABCD равна S = ?.'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, при AB=2, BC=1, CD=3 и cos∠BCD=-1/6. Найдите длину AD и площадь четырехугольника ABCD.'

'Для данного отрезка AB постройте следующие точки. (1) Точка E, делящая отрезок AB внутренне в пропорции 3:2 (2) Точка F, делящая отрезок AB внешне в пропорции 3:1'

'В треугольнике ABC, где AB=3, BC=4 и CA=6, пусть D будет точкой, где биссектриса внешнего угла A пересекает линию BC. Найдите длину отрезка BD.'

'Найдите площади треугольника ABC и параллелограмма ABCD на данной фигуре.'

'Базовое упражнение 122 Решение треугольников (1) Для каждого случая найдите оставшиеся длины сторон и углы треугольника ABC. (1) a=√3, B=45°, C=15° (2) b=2, c=√3+1, A=30°'

'Синус-правило'

'Ханако и Таро решили поработать над следующей [проблемой] вместе и попробовать думать, используя графическое программное обеспечение.'

''

'Докажите, что в треугольнике ABC, если углы ∠A, ∠B, ∠C обозначены соответственно A, B, C, то уравнение (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 верно.'

'(4) Найти треугольник с наименьшим радиусом описанной окружности.'

'Термин градиент используется для описания наклона дорог и железных дорог. Используя тригонометрические соотношения, ответьте на следующие вопросы. (1) Наклон дороги часто выражается в процентах (%). Проценты показывают, на сколько метров повышается высота при перемещении на 100 метров по горизонтали. На определенной дороге есть знак, указывающий 23%. Каков приблизительный угол наклона этой дороги? (2) Наклон железной дороги часто выражается в промиллях (‰). Промилле показывают, на сколько метров повышается высота при перемещении на 1000 метров по горизонтали. На определенной железнодорожной линии есть знак, указывающий 18‰. Каков приблизительный угол наклона этой железнодорожной линии?'

'Отношения сторон и углов треугольника'

'В \ \\triangle ABC \, где \ \\angle C=90^\\circ \ и \ AB:AC=5:4 \, построена точка \ D \ на продолжении стороны \ BC \ так, что \ CA=CD \. Пусть \ E \ будет серединой стороны \ AB \, а \ BF \ - перпендикуляр из точки \ B \ на линию \ AD \. Ответьте на следующие вопросы: ［Университет Миядзаки］\n(1) Докажите, что \ EF=EC \.\n(2) Найдите отношение площадей \ \\triangle ABC \ и \ \\triangle CEF \.'

'Из (5) BC = 9, BD: DC = 4: 5, мы имеем BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. Следовательно, BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2) По закону косинусов'

'В треугольнике ABC покажите, как изменение угла A влияет на отношение a², b², c².'

'Пожалуйста, объясните значения следующих терминов: соответствующие углы, вертикальные углы, острые углы, тупые углы, внутренние углы, внешние углы, равны, подобные, перпендикулярная биссектриса, угловая биссектриса, остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник, хорда, дуга, центральный угол, вписанный угол, касательная к окружности, противоположная сторона, диагональ, параллелограмм.'

'Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AEF.'

'В треугольнике ABC, где BC=5, CA=3, AB=7. Пусть D и E будут точками, в которых угол A и его внешний угловой биссектриса пересекают линию BC, необходимо найти длину отрезка DE.'

'Пожалуйста, используйте свойства и определения описанного, вписанного, ортоцентра и барицентра для ответа на следующие задачи по треугольникам.'

'Альтернативное решение (То же, что и на 11 шагу)\n (1) Из \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ аналогично\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n Таким образом, \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} поэтому \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'Обратная теорема Менелая'

'Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, где AB=8, BC=3, BD=7, AD=5. Найдите длину CD. Также, вычислите площадь S четырёхугольника ABCD.'

'Базовый пример 1142 Углы, образованные линиями\n(1) Найдите угол α, образованный линией y=-1/√3x и положительным направлением оси x, и угол β, образованный линией y=1/√3x и положительным направлением оси x. Также найдите острый угол, образованный двумя линиями. Предположим, что 0° < α < 180°, 0° < β < 180°.\n(2) Найдите острый угол θ, образованный двумя линиями y=-√3x и y=x+1.'

'В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC, где AC = BC и AB = 6, строятся два прямоугольника с равными вертикальными длинами, как показано на диаграмме справа. Каково максимальное значение суммы площадей двух прямоугольников при построении для максимальной суммы?\nИсходя из данных условий, AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nКак показано на диаграмме, пусть D, E, F, G - точки, а x - вертикальная длина прямоугольников:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nТакже, так как 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, что означает 0 < x < 3√2 / 2\n\nПусть y - сумма площадей двух прямоугольников:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nВ (1) значение y достигает максимума 6 при x = √2.'

'Используя теорему Менелая в треугольнике ABC и прямой DF'

'Условие подобия треугольников: Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий. [1] Отношение трех сторон равно. [2] Два пары сторон пропорциональны, и включенные углы равны. [3] Два пары углов равны.'

''

''

'Доказать: в треугольнике ABC, если M - середина стороны BC, а биссектрисы углов ∠AMB и ∠AMC пересекают стороны AB и AC в точках D и E соответственно, то DE // BC.'

''

'Относительно ромба с суммой длин диагоналей 10 см:\n(1) Найдите максимальную площадь.\n(2) Найдите минимальный периметр.'

'Теорема 2: В треугольнике ABC с AB ≠ AC, пересечение внешнего биссектрисы угла ∠A и продолжения стороны BC делит сторону BC в соотношении AB:AC.'

'В треугольнике ABC пусть D - середина стороны AB, E - середина отрезка CD, а F - точка пересечения AE и BC. Найдите отношение AE к EF.'

'Решите следующую задачу о треугольнике.'

'Овладейте использованием диаграмм Венна и покорите пример 49!'

''

'Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, такой что AB=4, BC=2, и DA=DC.'

'Пример 378\nВ треугольнике ABC с AB=10, BC=5, CA=6, пусть ∠A и его внешние угловые биссектрисы пересекают сторону BC или её продолжение в точках D и E. Найдите длину отрезка DE.'

'Освойте синусоидальное правило и покорите пример 126!'

'Найдите cosA, используя правило косинусов, а затем вычислите площадь и высоту треугольника с использованием этого результата.'

'Какое расстояние вы прошли по горизонтали, пройдя 80 метров по склону с уклоном 8° от горизонтали? Кроме того, сколько метров вы спустились по вертикали?'

'Когда даны две стороны и угол между ними, мы можем использовать правило косинусов.'

'Дан равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 1. Точка P взята на дуге BC, не включающей вершину A, так что PA=a, PB=b, PC=c (b>c). Посчитаем значение a²+b²+c². Поскольку ∠APB=∠APC=α градусов, в треугольнике ABP можно применить теорему косинусов.'

'Из двух точек A и B, находящихся на расстоянии 1 км друг от друга на море, обе точки видят одну и ту же вершину горы C. Из точки A угол возвышения на восток составляет 30 градусов, а из точки B угол на северо-восток составляет 45 градусов. Найдите высоту CD горы. Предположим, что точка D находится прямо под C, и точки A, B, D находятся на одной горизонтальной плоскости. Кроме того, предположим, что sqrt(6) = 2,45.'

''

'Если 90° < A < 180°, на правой диаграмме, отрезок BD является диаметром описанной окружности треугольника ABC. В этом случае, \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ что означает, что \ \\angle BDC = 180° - A \, следовательно \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, поэтому \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'Существует три случая для положения между линией `ℓ` и плоскости `α`.'

'Определение формы треугольника из равенства сторон и углов'

'Точка H является центром вписанной окружности треугольника DEF, потому что она является пересечением биссектрис углов DFE и FDE.'

'Пожалуйста, объясните свойства угловых биссектрис и отношений в треугольнике.'

'В треугольнике ABC, если a²cosA sinB=b²cosB sinA, то какова форма треугольника ABC?'

'В треугольнике ABC, если a²cosA sinB = b²cosB sinA, в какой форме находится треугольник ABC?'

'Пусть O - центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Если биссектриса угла BAO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D, докажите, что AB параллельно OD.'

'Проведем перпендикуляр из точки D на сторону AB, пусть пересечение будет Н, тогда AH=BH=\\frac{1}{2}. Следовательно, используя (2), \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. Сосредоточимся на треугольнике DAH.\n\nСсылаясь на это, проведем перпендикуляр из вершины A на сторону BC, пусть пересечение будет Е, тогда BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nСледовательно, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. Биссектриса угла равнобедренного треугольника делит основание перпендикулярно.'

'Есть два касающихся друг друга круга в точке P. Как показано на правой диаграмме, две линии, проходящие через точку P, пересекают внешний круг в точках A и B, а внутренний круг в точках C и D. Докажите, что AB параллельно CD.'

'На правом рисунке точки L, M, N являются точками касания сторон △ABC с вписанной окружностью, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Пусть r - радиус вписанной окружности, выразим длины AC и BC как r. (2) Найдем значение r.'

'В треугольнике ABC, когда b=2√6, c=3√2+√6, и A=60°, найдите длину оставшейся стороны и размер другого угла.'

''

'В трапеции ABCD, где AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3. Пусть E будет пересечением линии, проходящей через D параллельно AB и сторона BC, и пусть ∠DEC=θ. Найдите следующие значения.'

'Глава 7: Применения к треугольникам\n135\nВ треугольнике ABC, где AB = 7, BC = 4√2 и ∠ABC = 45°, с центром описанной окружности треугольника ABC, обозначенного как O.\n(1) CA = $является квадратом, а радиус описанной окружности O равен$.\n(2) На дуге BC описанной окружности O, за исключением точки A, взята точка D такая, что CD = √10. В этом случае, учитывая, что ∠ADC = $, пусть AD = x, тогда x = √.'

'Пусть L, M, N - точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Выразите длины AC и BC через r, полурезультат вписанной окружности. (2) Найдите значение r.'

'Из точек A и B наблюдались точки C и D на противоположной стороне водотока, как показано на карте справа. Предполагается, что точки A, B, C и D находятся на одной высоте.\n(1) Найдите длины BD и BC (метры).\n(2) Найдите длину CD (метры).\n\nОтветы могут остаться в виде квадратного корня.\n& 〜РУКОВОДСТВО Используйте теорему синусов и теорему косинусов, чтобы найти применимые треугольники.\n(1) В треугольнике ABD известна одна сторона и два угла, что позволяет использовать теорему синусов.\n(2) В треугольнике BDC известны две стороны и угол между ними, что позволяет использовать теорему косинусов.'

'Пример 123: Прямоугольный треугольник и тригонометрические значения'

'Докажите, что в треугольнике ABC, если ∠B > ∠C, то b > c.'

'Глава 3 Свойства фигур\nКроме того, в ∆AFE и ∆ABC\n∠A общий, ∠AFE=∠ABC\nПоэтому, так как два набора углов равны, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nСледовательно, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) Из (1) пусть площадь четырехугольника AFGE будет T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nСледовательно, из (1) и (2), ∆ABC/T=12S/4S=3\nСледовательно 3 раза'

'На правом рисунке вычислите значение синуса, косинуса и тангенса угла θ.'

'Используя прямоугольный треугольник ABC справа, найдите значения синуса, косинуса и тангенса 15 градусов.'

'На схеме справа точка I является центром вписанной окружности треугольника ABC. Вычислите следующее: (1) α (2) CI: ID'

'(1) Учитывая α=90°, AB=2, BC=3, найдите размеры трех углов △ABC.\n(2) Учитывая α=70°, β=γ, найдите длины трех сторон △ABC.'

'В данной фигуре найдите значение α. Здесь (1) утверждает, что BC = DC, а (3) упоминает, что точка O является центром круга.'

'Выразите в виде тригонометрических отношений острых углов'

'Теорема 1: Пересечение внутреннего биссектрисы угла A треугольника ABC с стороной BC делит сторону BC в отношении AB:AC.'

'Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность O, где AB=2, BC=3, CD=1, и ∠ABC=60°. Найдите:\n(1) Длину отрезка AC\n(2) Длину стороны AD\n(3) Радиус R окружности O'

''

"В математике докажите следующее: В приведенной выше диаграмме прямая AB касается окружностей O и O' в точках A и B соответственно. Если радиусы равны r и r' (r < r'), а расстояние между центрами двух окружностей равно d, то докажите, что AB равно sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."

'Площадь треугольника можно рассчитать как половину основания, умноженную на высоту. Давайте выразим эту формулу, используя тригонометрию.'

'Есть прямой склон длиной 125 метров. Поднимаясь по этому склону, высота увеличивается на 21,7 метра. Каков приблизительный угол наклона этого склона? Кроме того, каково горизонтальное расстояние этого склона в метрах? Рассмотрите использование тригонометрических соотношений.'

'Радиус и площадь вписанной окружности треугольника'

'Ответьте на следующий вопрос. Найдите другие элементы треугольника, когда a=√3+1, A=75°, C=60°, или когда a=√3-1, A=15°, C=120°.'

'(2) Когда центр описанной окружности и центр вписанной окружности треугольника ABC совпадают, обозначим эту точку как О. Поскольку О является центром описанной окружности, OB=OC. Следовательно, ∠OBC=∠OCB. Кроме того, точка О также является центром вписанной окружности треугольника ABC.\n\n[\nНачало системы уравнений\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\nКонец системы уравнений\n\\]\n\nАналогично, можем получить, что\nцентр вписанной окружности\n\n\\angle A=\\angle C\n\nТаким образом, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nСледовательно, треугольник ABC является равносторонним.'

'С края крыши здания высотой 20 метров, смотря на определенную точку вниз, угол, образованный с горизонтальной плоскостью, составляет 32°. Найдите расстояние между этой точкой и зданием. Также найдите расстояние между этой точкой и краем крыши здания. Округлите до двух десятичных знаков.'

'Используйте теорему углов в круге для определения внутренних углов каждого треугольника, и используйте теорему косинусов и теорему синусов.'

''

''

'В треугольнике ABC, где AB=4, BC=5, CA=6, пусть D и E будут точками пересечения угла A и его биссектрисы внешнего угла с прямой BC. Найдите длину отрезка DE.'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'В треугольнике ABC, AB=AC=1, ∠ABC=72°. Точка D взята на стороне AC таким образом, что ∠ABD=∠CBD.\n(1) Найдите измерение ∠BDC.\n(2) Найдите длину стороны BC.\n(3) Найдите значение cos 36°.'

'В треугольнике ABC точки D и E являются серединами сторон BC и AC соответственно. Кроме того, пусть пересечение AD и BE будет F, середина отрезка AF будет G, а пересечение CG и BE будет H. (1) Если BE=6, найдите длины отрезков FE и FH. (2) Найдите отношение площадей треугольника EHC к треугольнику ABC.'

'■ Центр вписанной окружности…… Пересечение угловых биссектрис треугольника\nБиссектриса угла\nТочка P находится на биссектрисе ∠ ABC Точка P находится на биссектрисе двух прямых ⇔ Она находится на равном расстоянии от BA и BC - Другими словами, биссектриса ∠ ABC представляет собой набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии от двух прямых BA и BC.'

"Даны две окружности O, O', внешне касающиеся в точке A. Если касательная к окружности O' в точке B пересекает окружность O в двух точках C и D, как показано на диаграмме, докажите, что AB делит внешний угол ∠CAD пополам."

'На правом рисунке предположим, что гипотенузы имеют длину 1. Найдите длины оставшихся сторон и заполните пропуски. Затем проверьте значения синуса, косинуса и тангенса для 30, 45, 60 градусов.'

'Найти длину оставшейся стороны при данной 2 стороны и 1 диагонали'

'В △ABC, при радиусе описанной окружности равном R, найдите следующее: (1) Когда a=10, A=30°, B=45°, найдите C, b и R. (2) Когда b=3, B=60°, C=75°, найдите A, a и R. (3) Когда c=2, R=√2, найдите C.'

'В △ABC, где радиус описанной окружности равен R, найдите следующее.'

''

'В треугольнике ABC пусть D будет точкой, делящей сторону BC в отношении 3:2, а E - точкой, делящей сторону AB в отношении 4:1. Пусть P будет пересечением отрезков AD и CE, а F - пересечением прямой BF и стороны CA.'

'Теорема о Циклическом Четырехугольнике\nРазмер циклического угла, соответствующего дуги, постоянен и равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. Другими словами, на правом рисунке, $\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ В частности, когда $\\mathrm{AB}$ - диаметр, $\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\nОбратная Теорема о Циклическом Четырехугольнике\nДля 4 точек $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$, если точки $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ находятся на одной стороне отрезка $\\mathrm{AB}$\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nто 4 точки $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ находятся на одной окружности.'

'Глава 6 Тригонометрические соотношения - 115 TR 121'

''

"Есть три подобных прямоугольных треугольника ABC и A'B'C'. Поскольку соотношения соответствующих сторон равны, возникают следующие три уравнения относительно этих отношений. Давайте рассмотрим эти три отношения: (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'Глава 3 Свойства геометрических фигур - 195\n(2) Точка E - середина стороны AC, поэтому треугольник ABC = 2 треугольника EBC\nТакже, поскольку BF:FE = 2:1, BE:FE = 3:1\n\n\треугольник EBC = 3 треугольника EFC\\]\nКроме того, FH:HE = 2:1, следовательно, FE:HE = 3:1, поэтому треугольник EFC = 3 треугольника EHC\nСледовательно\n\\[\egin{aligned}\nтреугольник ABC & = 2 треугольника EBC = 2 \\cdot 3 треугольника EFC \\\\\n& = 6 треугольника EFC = 6 \\cdot 3 треугольника EHC \\\\\n& = 18 треугольника EHC\n\\end{aligned}\\nСледовательно треугольник EHC: треугольник ABC = 1:18\n- из-за наличия общей высоты\n\ треугольник ABC: треугольник EBC = AC:EC \\n\ треугольник EBC: треугольник EFC = BE:FE \\n\ треугольник EFC: треугольник EHC = FE:HE \'

'На диаграмме справа, пусть ∠A = α, ∠B = β. Найдите значения синуса, косинуса и тангенса α и β.'

'(1) Как показано на рисунке, для правильного пятиугольника и точек A, B, H, когда ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, и θ = 1/2 × 72° = 36°, используя результат предыдущего вопроса, длина одной стороны составляет\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, округляя до AB = 11.8. Длина перпендикуляра равна OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, округляя до OH = 8.1.'

'В треугольнике ABC найдите следующее. Где площадь треугольника ABC обозначается как S. 76 (1) Когда A=120°, c=8, S=14√3, найдите a, b (2) Когда b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5, найдите sinA, a (3) Когда a=13, b=14, c=15, и длина перпендикулярной линии от вершины A до стороны BC обозначается как h, найдите S, h'

'Докажите, что когда три разные прямые x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 пересекаются в одной точке, то три точки (1,1), (4,5), (a,b) лежат на одной прямой.'

'Найдите траекторию точки P так, чтобы отношение ее расстояний от точек A(0,0) и B(5,0) составляло 2:3.'

''

'Найдите значение a, когда треугольник ABC является равнобедренным треугольником.'

'(1) Поскольку у двух линий одинаковый угловой коэффициент, то они параллельны.\n(2) Из y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3 мы можем определить, что угловые коэффициенты двух линий равны 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1, следовательно, две линии перпендикулярны.'

'Что такое радиан?'

'Найдите локус точки P, удовлетворяющей следующим условиям: (1) Сумма квадратов расстояний от точек A(-4,0) и B(4,0) до точки P равна 36. (2) Соотношение расстояний от точек A(0,0) и B(9,0) до точки P равно PA:PB=2:1. (3) Точка P изменяется таким образом, что треугольник PAB с вершинами в точках A(3,0) и B(-1,0) удовлетворяет условию PA:PB=3:1.'

'Когда точка P находится на прямой x+y=5, найдите координаты точки P, минимизирующие длину ломаной линии AP + PB, соединяющей точки A(2,5) и B(9,0).'

"Координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями (1) ax + by + c = 0 и (2) a'x + b'y + c' = 0, получаются в качестве решений системы уравнений (1) и (2)"

'Когда точка P удовлетворяет условию AP:BP = 2:3 и отрезок AB соединяет A(0,0) и B(5,0), найдите траекторию точки P.'

'Для фигуры A_{n+1} обратите внимание на самый правый столбец. Размещение плитки горизонтально в правом нижнем углу приводит к трем возможным конфигурациям, как показано на рисунке 3, где оставшаяся часть соответствует A_{n}, а двум возможным конфигурациям, как показано на рисунке 4, где оставшаяся часть соответствует B_{n}.'

'Найдите угол, образованный двумя прямыми (1) Найдите угол θ (0<θ<π/2), образованный прямыми y=3x+1 и y=1/2x+2. (2) Найдите угол наклона прямой, образованный углом с y=2x-1 равным π/4.'

'В (2) 0 <α <π/2 радиус, представляющий угол α, равняется радиусу, представляющему 6α. Найдите величину угла α.'

'Учитывая три точки A(6,1), B(2,3) и C(a,b), найдите значения a и b, когда треугольник ABC является равносторонним.'

'Докажите, что центроид треугольника DEF совпадает с центроидом треугольника ABC, когда точки D, E и F взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, так что BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37. [Университет Кинки]'

''

'Симметричные точки на линии'

'Докажите, что в треугольнике ABC точки P и Q делят сторону BC на три равные части, так что BP=PQ=QC. Докажите, что выполняется следующее соотношение: $$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'В треугольнике ABC, при AB=15, BC=18, AC=12, найдите точку пересечения D биссектрисы угла A и стороны BC. Определите длины отрезков BD и AD.'

'Объясните синусоиду и косинусоиду, и решите пример проблемы.'

''

'С помощью правила синусов и правила косинусов'

'Пожалуйста, объясните отношение соответствующих углов, когда две линии параллельны.'

'Когда c=√6, найдите углы треугольника. Полученные результаты при использовании закона косинусов: A=75°, C=60°.'

'От вершины O опустим перпендикуляр OI на треугольник DEG, тогда I оказывается центром описанной окружности треугольника DEG. Поскольку GI является радиусом описанной окружности треугольника DEG, согласно теореме синусов, мы получаем GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Следовательно, OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. Пожалуйста, проведите следующие вычисления.'

''

'Практика На точке A, которая находится на той же высоте, что и определенная башня, угол возвышения до вершины башни был измерен в 30 градусов. Кроме того, в точке A, на расстоянии 114 м, есть точка B, где угол KAB составляет 75 градусов, а угол KBA составляет 60 градусов. В этот момент расстояние между A и K составляет x метров, а высота башни - y метров.'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, с AD // BC, AB=3, BC=5, ∠ABC=60 градусов, найти следующее:\n(1) Длина AC\n(2) Длина CD\n(3) Длина AD\n(4) Площадь четырехугольника ABCD'

'По синус-теореме, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, следовательно \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, поэтому \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'В △ABC, пусть M будет серединой стороны BC.'

'Теорема синусов\nВ \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ пусть радиус описанной окружности будет \ R \, тогда\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'На отрезке AB длиной 6 взяты две точки C и D, такие что AC=BD. При условии, что 0<AC<3. Найдите минимальное значение суммы S площадей трех окружностей с диаметрами AC, CD и DB, а также длину отрезка AC в этот момент.'

'От места на море до маяка, стоящего на вершине утёса высотой 30 метров, зенитный угол составляет 60 градусов, а из того же места до зенитного угла нижней части маяка 30 градусов, найти высоту утёса.'

'Площадь треугольника ABC равна 12√6, и отношение его сторон составляет AB:BC:CA = 5:6:7. В этом случае, что такое sin∠ABC, обозначенное как , и каков радиус вписанной окружности треугольника ABC, обозначенный как .'

'Как показано на рисунке, наблюдая точки P и Q на противоположном берегу реки от точек A и B, находящихся на расстоянии 100 метров друг от друга, были получены следующие значения: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°. Ответьте на следующие вопросы в этом случае.'

'Вершины B, E, G находятся все на поверхности сферы S, а BG является диаметром сферы S, так что треугольник EBG является прямоугольным треугольником с ∠BEG = 90°. Начиная с EG = 1, выполните следующие вычисления.'

'В треугольнике ABC, если ∠A = 60 градусов, AB = 7, AC = 5, то пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла ∠A с стороной BC. Найдите длину AD.'

'Из места на морской поверхности до вершины маяка высотой 30 метров угол наклона к вершине составляет 60 градусов, а угол наклона к нижней части маяка составляет 30 градусов. Найдите высоту скалы.'

'Пожалуйста, перечислите три условия равенства треугольников.'

'Определите условия существования треугольника.'

''

''

'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} или c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'Человек ростом 1.5 метра, стоя на ровной местности, хотел узнать высоту дерева. Угол наклона от точки А до вершины дерева составлял 30°, а угол наклона от точки В, находящейся на расстоянии 10 метров ближе к дереву, был 45°. Вычислите высоту дерева.'

''

'Отношение расстояния между Солнцем и Луной'

'В треугольнике ABC, когда a=1+√3, b=2, C=60°, найдите:\n(1) Длина стороны AB\n(2) Величина угла ∠B\n(3) Площадь △ABC\n(4) Радиус описанной окружности\n(5) Радиус вписанной окружности'

'В Древней Греции исследования тригонометрии продвигались наряду с астрономией. Древнегреческий астроном Аристарх использовал следующее соотношение для определения приблизительного отношения расстояний между Солнцем и Луной.'

''

'Рассмотрим неравносторонний треугольник ABC, где наибольшая сторона BC, а наименьшая сторона AB, где AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c). Обозначим площадь треугольника ABC как S.'

'Переведите данный вопрос на несколько языков.'

'Синус и косинус'

'Когда m>0, n>0, точка P лежит на отрезке AB, и AP: PB=m: n, говорят, что точка P делит отрезок AB внутренним образом в соотношении m: n [Дополнительные подробности см. в Математике A]. Пусть AB=k, представляя длину другой стороны как k. Используйте подобие треугольников, образованных диагоналями вписанного четырехугольника.'

'В треугольнике ABC пусть S обозначает площадь. Найдите следующее. Предполагается, что треугольник (2) не является тупым треугольником.'

'Пусть площади треугольников AID, BEF и CGH обозначаются как T1, T2 и T3 соответственно. В этом случае, какой из следующих вариантов подходит на место S?'

'В треугольнике ABC, пусть R будет радиусом описанной окружности. Когда A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'

'Докажите следующие уравнения в треугольнике ABC'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность с DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD= корень из 3 умножить на AB, AE= AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:корень из 3:2, (4) Если радиус окружности равен 1, то AB= корень из 3 и площадь четырехугольника ABCD равна S=3.'

'Как показано на правой диаграмме, нарисуйте квадраты ADEB, BFGC и CHIA с углами AB, BC и CA как один из их стороны, а затем соедините точки E и F, G и H, I и D.'

'Рассчитайте уклон этой железнодорожной линии. Уклон железнодорожной линии составляет 18%, и при перемещении 1000 м по горизонтали высота увеличивается на 18 м. Рассчитайте угол наклона θ, используя тригонометрию.'

'угол между двумя линиями'

'Основной вопрос 124 Максимальный угол треугольника'

'Пожалуйста, объясните разницу между правилом синуса и правилом косинуса.'

'Из уравнения \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\ следует, что \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\. На окружности радиуса 1 точки \\\mathrm{P}\ и \\\mathrm{Q}\, где координата \y\ равна \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\. Таким образом, угол \\\theta\, который мы ищем, соответствует углам \\\angle \\mathrm{AOP}\ и \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'

'Геометрия и измерения\n157\nEX 394\n(1) Используя правую диаграмму, найдите значение \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) Используя правую диаграмму, найдите значения \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \ и \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nПОДСКАЗКА: Чтобы найти тригонометрические отношения специальных углов, можно построить прямоугольный треугольник, который включает этот угол.'

'Задача 218 Базовый пример 136 Радиус описанной и вписанной окружности треугольника\nВ △ABC, где AB=6, BC=7, CA=5, найти радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности.'

'Основы тригонометрии'

''

'Математика I'

'Докажите, что равенство cos (A+B)/2 = sin (C/2) верно, когда размеры углов A, B, C треугольника ABC представлены как A, B, C соответственно.'

'Какую применять, правило синусов или правило косинусов?'

'В треугольнике ABC, пусть R - радиус описанной окружности. Если A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'

'В треугольнике ABC с AB=6, BC=4, CA=5 пусть D будет точкой, в которой биссектриса угла B пересекает сторону AC. Найдите длину отрезка BD.'

'В треугольнике ABC, где AB = 3, AC = 2, и ∠BAC = 60°, пусть D будет точкой пересечения медианы угла A и BC. Найдите длину отрезка AD.'

'Проблема измерения 126 (Плоский) (1) (1) (0) Из двух точек A и B, находящихся на расстоянии 100 метров друг от друга, были произведены измерения для определения двух точек P и Q на противоположном берегу реки, с полученными значениями, как показано на рисунке. (1) Найдите расстояние между A и P. (2) Найдите расстояние между P и Q. Основы 107, 120, 121 Расстояния и направления (сегменты и углы) могут рассматриваться как стороны и углы треугольников. Подумайте, на какой треугольник на диаграмме сосредоточиться, и думайте, когда применять правило синусов или косинусов.'

'В треугольнике ABC, если sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7, найдите соотношение cos A: cos B: cos C.'

'Базовый пример 133 Длина биссектрисы угла в треугольнике (2)'

''

'Базовый пример 106 Прямоугольный треугольник и тригонометрические соотношения\nВ треугольнике ABC, как показано на рисунке, найдите следующее:\n(1) Значения sinθ, cosθ, tanθ\n(2) Длины отрезков AD и CD'

'(2) В треугольнике ABC, по правилу косинусов'

'Были взяты измерения с точек A и B, которые находятся на расстоянии 50 метров друг от друга, до точек P и Q на противоположном берегу реки, что привело к значениям, показанным на диаграмме. Рассчитайте расстояние между точками P и Q.'

'В треугольнике ABC, если 7/sin A=5/sin B=3/sin C, найти меру наибольшего угла в треугольнике ABC.'

'Длина биссектрисы угла в треугольнике'

'В равнобедренном треугольнике ABC, где угол A равен 36 градусов, а BC = 1, пересечение биссектрисы угла C и стороны AB называется D.\n(1) Найдите длины отрезков DB и AC.\n(2) Снова найдите длины отрезков DB и AC. Используя результат из пункта (1), определите значение косинуса 36 градусов.\n[Источник: Университет Кобе Гакуин]\nБазовый курс 106'

'Пример Задача 140 Минимальная Площадь Треугольника\nДан равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 2. Точки D на стороне AB и E на стороне CA таковы, что AD=CE. Пусть S - площадь четырехугольника DBCE.\n(1) Найдите минимальную длину отрезка DE и длину отрезка AD в этой точке.\n(2) Найдите минимальное значение S и длину отрезка AD в этой точке.\nИзвестно по базам 66, 121, 131'

'Возьмем точку E на стороне BC, такую что AB // DE, тогда четырёхугольник ABED является параллелограммом.'

''

'Используйте синус-теорему для определения наибольшего угла треугольника ABC. Данные условия следующие: син A : син B : син C = 5 : 16 : 19.'

"Слово, используемое для описания уклона дорог и железных дорог, - это градиент. Используя 'таблицу тригонометрических соотношений', ответьте на следующий вопрос. (1) Наклон дороги часто выражается в процентах (%). Проценты показывают, насколько метров повышается высота, когда проходится 100 метров по горизонтали. На определенной дороге есть знак, указывающий на 23%. Примерно сколько градусов составляет уклон этой дороги?"

'(1) В треугольнике ABC, если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, докажите, что BD:DC = AB:AC.'

''

'Найдите длины оставшихся сторон и размеры углов \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ в каждом из следующих случаев: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'

''

'Пусть D - точка, разделяющая сторону AB △ABC внутренне в пропорции 1:2, E - точка, разделяющая сторону AC в пропорции 2:1 внутренне, и F - точка, разделяющая сторону BC в пропорции t:(1-t). Здесь t - действительное число, удовлетворяющее условию 0<t<1.'

'В тетраэдре ABCD точки P, Q, R, S являются точками, внутренне делящими рёбра AB, CB, CD, AD в соотношении t:(1-t) [0<t<1].'

'На координатной плоскости TR, когда концы A и B отрезка AB длиной 6 перемещаются вдоль осей y и x соответственно, следует определить траекторию точки P, которая делит отрезок AB в соотношении 3:1.'

'Объясните следующие кривые:\n(1) Эллипс $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1$, сдвинутый параллельно к оси $x$ на 2 единицы и к оси $y$ на -3 единицы; центр в точке (2, -3); фокусы в точках (2+√5, -3), (2-√5, -3)\n(2) Гипербола $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{25}=1$, сдвинутая параллельно к оси $x$ на -2 единицы и к оси $y$ на -3 единицы; вершины в точках (0, -3), (-4, -3); фокусы в точках (√29-2, -3), (-√29-2, -3); асимптоты - две линии $5x+2y+16=0$, $5x-2y+4=0\n(3) Парабола$y^{2}=4x$, сдвинутая параллельно к оси$x$на -2 единицы и к оси$y$на 1 единицу; вершина в точке (-2, 1), фокус в точке (-1, 1); директриса - это линия$x=-3"'

'Полярные координаты и полярные уравнения'

'(4) В декартовой системе координат пусть кривая, представленная полярным уравнением $r=2 \\cos \\theta$, будет обозначена как $C$, а точки на $C$ с полярными координатами $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right)$ и $(2,0)$ будут обозначены как $\\mathrm{A}$ и $\\mathrm{B}$, соответственно. Кроме того, пусть $\\ell$ - это прямая, проходящая через $\\mathrm{A}$ и \\mathrm{B }, и пусть $D$ - это окружность с центром в $A$ радиусом, равным длине отрезка $\\mathrm{AB}$.\n(1) Найдите полярное уравнение прямой $\\ell$.\n(2) Найдите полярное уравнение окружности $D$.'

'Докажите, что середины диагоналей AG и BH параллелограмма ABCD-EFGH совпадают.'

'Траектория точек с постоянным отношением расстояний от точки и прямой'

'В треугольнике OAB пусть точка D делит сторону AB внутренним образом в пропорции 2:1, точка E является образом точки D при симметрии относительно прямой OA, а точка F - пересечение перпендикуляра из точки B на прямую OA. Пусть вектор OA равен a, а вектор OB равен b так, что |a|=4 и a⋅b=6.'

'(1) Окружность с центром в середине стороны BC и проходящая через точку A.\n(2) Окружность с точкой деления стороны BC в соотношении 3:2 и точкой A как диаметр.'

'(2) Докажите, что \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ перпендикулярен плоскости QTV.'

'Попробуйте доказать следующие свойства фигуры, используя комплексную числовую плоскость.\nДля четырехугольника ABCD\n(1) AB·CD+AD·BC≥AC·BD справедливо.\n(2) Равенство выполняется в (1), когда четырехугольник ABCD вписан в окружность.'

'(1) Найдите угол θ, образованный двумя плоскостями α и β. Обратите внимание, что 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'Используя комплексную плоскость, докажите следующие теоремы: (1) В треугольнике ABC, пусть D и E будут серединами сторон AB и AC соответственно. Тогда BC // DE и BC=2DE (Теорема середины). (2) В треугольнике ABC, пусть M будет серединой стороны BC. Тогда уравнение AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) верно (Теорема медианы).'

'В пространстве есть четыре точки O, A, B, C, не находящиеся в одной плоскости. Пусть s и t - это вещественные числа, удовлетворяющие 0<s<1,0<t<1. Пусть точка A0 делит отрезок OA в пропорции 1:1, точка B0 делит отрезок OB в пропорции 1:2, точка P делит отрезок AC в пропорции s:(1-s), а точка Q делит отрезок BC в пропорции t:(1-t). Кроме того, предположим, что четыре точки A0, B0, P, Q лежат в одной плоскости. (1) Выразите t через s. (2) При условии |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60°, и ∠POQ=90°, найти значение s.'

'Пример 36 Минимальная длина ломаной линии (пространство)\nВ координатном пространстве рассмотрим точки A(1,0,2), B(0,1,1).\n(1) Когда точка P движется в плоскости xy, найдите минимальное значение AP+PB.\n(2) Когда точка Q движется на оси x, найдите минимальное значение AQ+QB.'

'В параллелограмме ABCD, точка E делит сторону AB в отношении 3:2, точка F делит сторону BC в отношении 1:2, а середина стороны CD - точка M. Пусть P будет пересечением отрезков CE и FM, а Q - пересечением линии AP и диагонали BD. Если вектор AB обозначается как a, а вектор AD как b, выразите векторы (1) AP и (2) AQ через a и b.'

'Пример 23 Положение центра тяжести, центра описанной окружности и ортоцентра треугольника\nПусть центр тяжести треугольника ABC будет G, а центр описанной окружности - E, докажем следующее:\n[Университет Яманаши]\n1. Вектор GA + Вектор GB + Вектор GC = Вектор 0\n2. Вектор EA + Вектор EB + Вектор EC = Вектор EH, где H - ортоцентр треугольника ABC.\n3. Точки E, G и H лежат на одной прямой и EG: GH = 1:2'

'Пример 106 Растяжение эллипса и круга'

'Найдите координаты точки R, которая равноудалена от точек O(0,0,0), F(0,2,0), G(-1,1,2) и H(0,1,3).'

'Найдите полярное уравнение прямой с углом α с начальной прямой.'

'Пример 132: Использование параметрического представления для определения минимальной площади треугольника, образованного касательной к эллипсу и координатными осями'

'Докажите условия, когда треугольник ABC является равнобедренным треугольником с AB=BC.'

''

'(3) Фигура, образованная проходящим через отрезок AP, является черной областью на правой фигуре, включая граничную линию. Здесь G и H - точки пересечения двух касательных линий, проведенных из точки A на окружность K. cos∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2, 0 < ∠AEH < π, поэтому ∠AEH = π/3. Кроме того, ∠AEH = ∠AEG, поэтому ∠GEH = 2/3π. Таким образом, площадь S фигуры, образованной проходящим через отрезок AP, равна S = 2 * △AEH + (площадь круга K) - (площадь сектора EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'

'Эти два касательных проходят через точку P(x_{0}, y_{0})'

'Уравнение касательной в точке P(x1, y1) есть (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a), а x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. Когда x=a, и y1 ≠ 0, мы получаем y = b^2(x1 - a)/(a y1). Когда x=-a, и y1 ≠ 0, мы получаем y = -b^2(x1 + a)/(a y1). Таким образом, Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1)), R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). Следовательно, центр окружности C1 с диаметром QR это (0, -b^2/y1), и если радиус это r, тогда r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). Таким образом, уравнение окружности C1 это x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'

'Из $\\mathrm{FP}: \\mathrm{PH}=e: 1$, следует $\\mathrm{FP}^{2}=e^{2} \\mathrm{PH}^{2}$, поэтому'

'Найдите полярные координаты точки Q.'

'Если четырёхугольник ABDC является параллелограммом, найдите значения a, b, c из вектора AB = CD.'

'Найдите острый угол, образованный следующими двумя линиями.'

'(1) В треугольнике ABC, где AB=8, BC=7, и CA=5, пусть I будет центром вписанной окружности. Выразите вектор AI через векторы AB и AC.'

'Точка Q движется по окружности радиусом 5 с центром в точке O, а точка P движется по окружности радиусом 1 с центром в точке Q. В момент времени t углы, образуемые OQ и QP с положительным направлением оси x, равны соответственно t и 15t. Если угол, образуемый прямой OP с положительным направлением оси x, равен ω, найдите dω/dt.'

'В правильной тетраэдре ABCD со стороной 2 найдите скалярное произведение вектора AB и вектора AC.'

'Найти уравнение прямой, которая делит площадь треугольника ABC с вершинами A(20,24), B(-4,-3) и C(10,4) и проходит через точку P, делящую сторону BC в соотношении 2:5.'

'Точка внутреннего деления и точка внешнего деления\nКоординаты точки, которая делит отрезок AB в соотношении m:n, равны\nВнутреннее деление ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nВнешнее деление ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'

'На координатной плоскости параболы C₁: y=-p(x-1)²+q и C₂: y=2x² касаются одной и той же прямой в точке (t, 2t²). Здесь p и q - положительные вещественные числа, а t находится в диапазоне 0 < t < 1.'

'Найдите координаты точки P, находящейся на одинаковом расстоянии от точек A(3,3), B(-4,4) и C(-1,5).'

'Перевести данный текст на несколько языков.'

'Найдите координаты точки P на оси y, находящейся на одинаковом расстоянии от точек A(3, -4) и B(8, 6).'

'Каково значение данной проблемы?'

'(2) В треугольнике ABC, пусть D будет точкой, делящей сторону BC в соотношении 1:3. Докажите, что уравнение 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} справедливо.'

'Для точки P(x, y) на плоскости XY, отличной от начала координат O, давайте определим точку Q, удовлетворяющую следующим условиям: (A) Q находится на луче OP с O в качестве начальной точки. (B) Произведение длин отрезков OP и OQ равно 1. (1) Выразите координаты Q через x и y. (2) Определите локус Q при движении точки P вокруг окружности с уравнением (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2, исключая начало координат. (3) Определите локус Q при движении точки P вокруг окружности с уравнением (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'

'Найдите координаты точки P, находящейся на равном расстоянии от точек A(3,3), B(-4,4) и C(-1,5).'

'Пусть на окружности с центром в точке O на плоскости и радиусом 1 заданы три различные точки A, B, C. Доказать, что радиус r вписанной окружности треугольника ABC не превышает 1/2.'

'На математической плоскости xy с началом координат в точке O есть две точки P и Q на полулуче, удовлетворяющие условию OP · OQ = 4. Когда точка P движется вдоль кривой (x-2)² + (y-3)² = 13, (x, y)≠(0,0) исключая начало координат, найдите траекторию точки Q.'

'Найдите траекторию точек, находящихся в соотношении расстояния 2:1 от точек A(-4,0) и B(2,0).'

'Иллюстрируйте радиусы следующих углов. Кроме того, определите, в каком квадранте они находятся.'

'Угол α таков, что 0<α<π/2, и радиус, представляющий α, совпадает с радиусом, представляющим 6α. Найдите величину угла α.'

'(5) Найдите локус точек, где угол, образованный в фиксированных точках A и B, является постоянным углом α.'

'В треугольнике ABC пусть длины сторон BC, CA и AB будут a, b, c соответственно. Если треугольник ABC вписан в круг радиуса 1 и ∠A = π/3, найдите максимальное значение a + b + c.'

'Синусоида, появляющаяся в форме, образованной разрезанием цилиндра'

''

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Докажите, что в треугольнике ABC, где размеры углов A и B равны α и β соответственно, а длины их противоположных сторон обозначаются как a и b, неравенство b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 соблюдается при условии 0 < α < β < π.'

''

'Рассмотрим Математику III\nТакже, рассмотрим коническую кривую, когда значение 𝑡 является решением. Докажите, что это гипербола или эллипс, и найдите координаты фокусов.'

'Исходя из политики редактирования диаграмм, пожалуйста, решите следующую задачу:\n2. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника. (Используя теорему Пифагора)\nПроблема: Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами сторон 3 см и 4 см.'

'Переведите данный вопрос на несколько языков.'

'Выразите X, Y через x, y и θ, когда точка P(X, Y) поворачивается вокруг начала координат O на угол θ, чтобы получить точку Q(x, y).'

'Что касается полярных координат, найдите полярные уравнения следующего круга и линии. Предположим, что a>0.'

'Пусть полярные координаты точек A, B, C и D будут соответственно (r₁, θ+π/6), (r₂, θ), (r₃, θ) и (r₄, θ+π/3). Треугольник ABC - равнобедренный треугольник с AB=AC, а треугольник DBC - равнобедренный треугольник с DB=DC.'

'Для треугольника $\\triangle ABC$ с длиной стороны 2 и $\\cos A=\\frac{7}{9}$, пусть длина стороны $AB$ будет $x(0<x<1)$ и площадь $\\triangle ABC$ будет $S$. [Похоже на Айтицхи университет образования] (1) Выразите $S$ через $x$. (2) Найдите максимальное значение $S$. Также определите длины трех сторон $\\triangle ABC$.'

'Пожалуйста, укажите условие, при котором точки A(α), B(β), C(γ), D(δ) таковы, что AB и CD перпендикулярны.'

'В равнобедренной трапеции ABCD с AD // BC, где AB=2 см, BC=4 см, и ∠B=60°. Если ∠B увеличится на 1°, на сколько увеличится площадь S трапеции ABCD? Предположим, что π=3.14.'

'В полярных координатах найдите полярное уравнение локуса точек P, где отношение расстояния от полюса O и линии g постоянно, проходящее через точку A(3, π) и перпендикулярно к начальной линии.'

'Через точку О найдите полярное уравнение прямой, образующей угол с начальной прямой и α.'

'Условия, когда четырехугольник вписан в окружность'

'В комплексной плоскости пусть три точки O(0), A(α), B(β) образуют треугольник OAB, где ∠AOB = π/6 и OA/OB = 1/√3. Тогда выполняется α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'

'Учитывая, что треугольник ABC с вершинами A(-1), B(1), C(√3i) образует равносторонний треугольник и треугольник PQR с вершинами P(α), Q(β), R(γ) образует равносторонний треугольник. Докажите, что уравнение α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 верно.'

'Определите значение параметра a, чтобы прямые AB и AC были перпендикулярными.'

'Как показано справа, когда OP1=1, а P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2, ... продолжаются бесконечно, к какой точке приближаются бесконечно близко точки P1, P2, P3, ...?'

'В треугольнике OAB пусть точка D делит сторону AB в отношении 2:1, точка E является симметричной точкой точки D относительно прямой OA, а точка F - пересечение перпендикуляра от точки B к прямой OA и прямой OA. Пусть вектор OA=a, вектор OB=b, где |a|=4 и a∙b=6. (1) Вектор OF можно выразить, используя вектор a. (2) Вектор OE можно выразить, используя векторы a и b.'

'На плоскости имеется треугольник OAB с OA=8, OB=7, AB=9 и точка P, где OP=шOA+тOB выражается (ш, т - действительные числа).'

'Докажите, что точки A, B и C удовлетворяют AB ⊥ AC.'

'Для диапазона существования точек на плоскости внутри треугольника OAB, если \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \, то диапазон для точки P'

'Когда длина отрезка AB равна 8, точка A лежит на оси x, и точка B перемещается вдоль оси y, найдите траекторию точки P, делящей отрезок AB в соотношении 3:5.'

'(2) В правильном шестиугольнике ABCDEF выразите вектор FB через вектор AB и вектор AC.'

'На плоскости есть правильный пятиугольник со стороной длиной 1, и его вершины последовательно A, B, C, D, E. Ответьте на следующие вопросы:\n(1) Докажите, что сторона BC параллельна отрезку AD.\n(2) Пусть пересечение отрезков AC и BD будет F. Опишите форму четырехугольника AFDE и укажите его имя и причину.\n(3) Найдите отношение длин отрезков AF и CF.\n(4) Если вектор AB=a и вектор BC=b, выразите вектор CD через векторы a и b.'

'Найдите расстояние между точками A и B, если координаты точки A равны (3, π/4), а координаты точки B равны (4, 3π/4) в полярных координатах.'

''

'В равностороннем треугольнике ABC со стороной а, пусть P1 будет основанием перпендикуляра из вершины A к стороне BC, Q1 - основание перпендикуляра из P1 к стороне AB, R1 - основание перпендикуляра из Q1 к стороне CA, и P2 - основание перпендикуляра из R1 к стороне BC. Повторяя эту процедуру, точки P1, P2, ..., Pn определяются на стороне BC. Найдите точку, к которой приближается Pn.'

''

'В треугольнике ABC есть точка P внутри. Пусть Q будет пересечением AP и стороны BC, так что BQ:QC=1:2, и 24AP:PQ=3:4. Докажите, что уравнение 4PA+2PB+PC=0 верно.'

'Предположим, что периметр треугольника ABC равен 36, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 3. Найдите площадь треугольника QBC, когда точка Q удовлетворяет условию 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'

'В треугольнике OAB, пусть точка, делящая сторону AB в соотношении 2:1, будет D, точка симметричная точке D относительно прямой OA, будет E, а точка пересечения перпендикуляра от точки B до прямой OA будет F. Пусть →OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6. (1) Выразите →OF через вектор a. (2) Выразите →OE через векторы a и b.'

'В четырёхугольнике ABCD, где AD // BC и BC=2AD, доказать (1), что точки P и Q лежат на линии AB. (2) Показать, что точки P, Q и D коллинеарны.'

'Точка Q делит сторону AC треугольника ABC внутренне в отношении 1:2, а точка P делит сторону BC в отношении m:n (m>0, n>0). Пусть R - точка пересечения отрезков AP и BQ. Прямая, проходящая через точку R, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках D и E. Кроме того, пусть vec{b}=→AB, а vec{c}=→AC.\n(1) Выразите вектор AR через m, n, vec{b} и vec{c}.\n(2) Пусть k=AB/AD+AC/AE. Покажите связь между m и n так, чтобы k оставалась постоянной независимо от положения точки D на отрезке AB, и найдите значение k в этом случае.'

'Доказать, что центр вписанной окружности P(z) треугольника OAB с вершинами O(0), A(α) и B(β) удовлетворяет уравнению z=|β|α+|α|β/|α|+|β|+|β-α|.'

'Пройдите через полюс O и найдите полярное уравнение прямой, образующей угол α с начальной линией.'

'Когда точка z движется на следующей фигуре, какую фигуру рисует точка w, представленная как w=(-√3+i) z+1+i? (1) Окружность с радиусом 1/2 с центром в -1+√3i (2) Перпендикуляр, делящий пополам отрезок, соединяющий 2 точки 2,1+√3i'

''

'В четырехугольнике ABCD, где AD // BC и BC = 2AD. Ответьте на следующие вопросы, когда точки P и Q удовлетворяют условиям.'

'Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAB с различными точками O(0), A(α), B(β) в качестве вершин - это P(z), где z удовлетворяет уравнению z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α|).'

'В треугольнике OAB, пусть точка С делит сторону OA в соотношении 2:1, а точка D делит отрезок BC в соотношении 1:2. Пусть E будет точкой пересечения прямой OD и стороны AB. Выразите следующие векторы через вектор OA и вектор OB.'

'В параллелограмме ABCD пусть точка E делит сторону AB в отношении 3:2, точка F делит сторону BC в отношении 1:2, а M - середина стороны CD. Пусть P будет пересечением прямой CE и FM, а Q - пересечением прямой AP и диагонали BD. Если вектор AB=a, а вектор AD=b, выразите векторы (1) AP и (2) AQ через a и b.'

'(3) Поскольку $\\ sqrt {3} \\ cos \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {3} {2}, \\ sqrt {3} \\ sin \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}$, координаты точки A равны $\\ left (\\ frac {3} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} \\ right)$, следовательно, угловой коэффициент линии OA равен $\\ frac {1} {\\ sqrt {3}}$, поэтому угловой коэффициент искомой линии равен $- \\ sqrt {3}$. Следовательно, уравнение\n$[y- \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} = - \\ sqrt {3} \\ left (x- \\ frac {3} {2} \\ right)]$\nто есть $\\ sqrt {3} x + y = 2 \\ sqrt {3}$\nПодставляя $x = r \\ cos \\ \\ theta, y = r \\ sin \\ \\ theta$\n\n$[\\ sqrt {3} r \\ cos \\ theta + r \\ sin \\ theta = 2 \\ sqrt {3}]$'

'В треугольнике OAB пусть точка C делит сторону OA в отношении 2:3, а точка D делит сторону OB в отношении 4:5. Пересечение отрезков AD и BC - точка P, а пересечение прямой OP с стороной AB - точка Q. Если \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\, а \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\, выразите \\\overrightarrow{OP}\ и \\\overrightarrow{OQ}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\. [Похоже на Kinki Univ.]'

'Пусть \ a>0 \. Исследуем кривую \ K \, которую представляет полярное уравнение \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (кардиоида). Ответьте на следующие вопросы.'

'Когда линия, проходящая через центр тяжести G треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках 25D и E соответственно, где D отличается от точек A и B, а E отличается от точек A и C, докажите, что DB/AD + EC/AE = 1.'

'(4) Для плоскости PQR и ребра OD справедливо следующее. Когда q=1/4, какова плоскость PQR? Когда q=1/5, какова плоскость PQR? Когда q=1/6, какова плоскость PQR?'

'(1) Доказательство: В тетраэдре OABC, для t, удовлетворяющего условию 0<t<1, проведем точки K, L, M, N, где ребра OB, OC, AB, AC соответственно разделяются внутренне в пропорции 43t:(1-t). Доказать, что четырехугольник KLNM является параллелограммом.'

'Представление компонентов скалярного произведения'

'Путем решения для y в (1) получаем y = ±(b/a)√(x² - a²), таким образом y = ±(b/a)x√(1 - a²/x²). При приближении x к бесконечности, y приближается к ±(b/a)x. То же самое происходит, когда x отрицателен, а его абсолютное значение приближается к бесконечности. Следовательно, две линии y = (b/a)x и y = -(b/a)x являются асимптотами гиперболы (1) (линии, к которым кривая приближается по мере близости). Эти асимптоты также представляют собой две линии, представленные выражением (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0, с заменой 1 справа от (1) на 0.'

'Найдите условие, чтобы показать, что AB параллельно CD.'

'Похожести и различия между плоскостью и пространством 2'

'Найдите условия, при которых четырехугольник PQSR будет параллелограммом.'

''

'Рассмотрим равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 1 на плоскости. Для точки P, вектор v(P) задается как v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'

'Следующие 4-7 - основные факты об эллипсе.'

'(2) Пусть ∆ABC обозначается как S. Тогда'

'В комплексной плоскости, если A(0), B(β), C(γ), найдите комплексные числа, представляющие точки E и G.'

'Для точек A(1,2), B(2,3), C(-1,2) найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной BC. Найдите острый угол α, образованный прямыми x-2y+3=0 и 6x-2y-5=0.'

"При изменении k от 1 до 2, отрезок A'B' параллельно двигается от отрезка AB до CD, как показано на диаграмме."

'В трапеции ABCD, показанной справа, где AD=a и BC=b. Пусть E будет точкой, делящей AB в соотношении m, а F будет пересечением CD с прямой через E, параллельной AD, тогда EF=(na+mb)/(m+n) выполняется.'

'Какая кривая получится при сжатии или увеличении круга x^2 + y^2 = 4 следующим образом?\n(1) Уменьшение вдоль оси y в 2 раза\n(2) Увеличение вдоль оси x в 3 раза'

'Пусть O - центроид треугольника ABC. Прямая l, проходящая через точку O, но не проходящая через вершину A, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть S - площадь треугольника ABC, а T - площадь треугольника APQ. Определите уравнение прямой l, минимизирующей T / S, и найдите минимальное значение T / S.'

'(1) Окружность с радиусом 1, центр которой находится в точке, делящей отрезок AB в соотношении 2:3\n(2) Окружность с диаметром AD, где точка D делит сторону BC в соотношении 3:2'

''

'Внутри прямоугольного треугольника ABC0 с углом в 90 градусов строятся бесконечная серия квадратов B0B1C1D1, B1C2D2 и так далее. Пусть длина одной стороны n-го квадрата Bn-1BnCnDn будет an, а его площадь Sn. Для каждого натурального числа k большего 1 выполняется ak=ralpha(k-1), где a0=1.'

'Докажите, что в трапеции ABCD, AD // BC и AD: BC = 1:2.'

'Точки P и Q на сторонах OA и OB равностороннего треугольника OAB со стороной длиной 1. Когда площадь треугольника OPQ точно в половину площади треугольника OAB, найдите диапазон возможных значений длины PQ.'

'Найдите координаты точки Q, которая делит отрезок AB в соотношении m:n.'

'В правильном шестиугольнике $\\mathrm{ABCDEF}$, выразите $\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}$ через $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ и $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$.'

'Вопрос 62\n(1) Определите точки D, которые внутренне делят отрезок BC в соотношении 5:4, и точки E, которые внутренне делят отрезок AD в соотношении 2:1.\n(2) Найдите отношение V_{1} : V_{2}.'

'(1) Прямоугольный равнобедренный треугольник с BA=BC\n(2) Равносторонний треугольник\n(3) Прямоугольный треугольник с ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'

'На комплексной плоскости пусть точки, представляющие z1, z2, z3, z4, z5, будут обозначены как A, B, C, D, E соответственно. Из следующих (0) по (5) правильными являются (E) и (G). (0) △ABC - равносторонний треугольник. (1) △BCD - равносторонний треугольник. (2) △OCE - прямоугольный треугольник. (3) △BCE - прямоугольный треугольник. (4) Четырехугольник ABDC - параллелограмм. (5) Четырехугольник AOEC - параллелограмм.'

'Докажите следующие теоремы, используя комплексную плоскость: (1) В треугольнике ABC, где середины AB и AC обозначаются как D и E соответственно, выполняется условие BC // DE и BC = 2DE (Теорема о средней линии). (2) В треугольнике ABC, когда середина BC равна M, уравнение AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) верно (Теорема о медиане).'

'Докажите, что в равнобедренном треугольнике ABC, взяв точку D на основании BC и нарисовав хорду ADE окружности треугольника ABC. В этот момент квадрат AB равен AD умножить на AE.'

'238'

'Нарисуйте подобие с 64 похожими методами'

'(2) В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$, точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно, удовлетворяя следующим условиям: $\\frac{BD}{DC}=\\frac{AB}{AC} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{CE}{EA}=\\frac{BC}{BA} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{AF}{FB}=\\frac{AC}{BC} \\cdots \\cdots$'

'Вопрос 51 | Размер сторон и углов в треугольнике\nВ треугольнике ABC, пусть M будет серединой стороны BC, а D - точкой пересечения биссектрисы угла A и стороны BC.\nДокажите следующие утверждения (1), (2):\n(1) AB > BD\n(2) Если AB > AC, то ∠BAM < ∠CAM'

"Упражнение 44: Пусть пересечение AB и PQ будет R, а пересечение PQ и CD будет R'. Поскольку AD//BC, имеем PR:RQ=AP:BQ, PR':R'Q=PD:QC, AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC, PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. Следовательно, AP:BQ=PD:QC."

''

'Теорема Пифагора и её обратное: В треугольнике ABC, если BC=a, CA=b, AB=c, то ∠C=90° тогда и только тогда, когда a²+b²=c².'

'Важный пример 102 Форма треугольника'

'В треугольнике ABC, согласно теореме косинусов, cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. Из (1) получаем, что AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90, и так как AD > 0, то AD = 3 \\sqrt{10}. Пусть ∠ADB = θ. В треугольнике ABD, согласно теореме косинусов, AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cosθ. Кроме того, BD:CD = 2:3, поэтому CD = \\frac{3}{2}BD. В треугольнике ADC, согласно теореме косинусов, AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. Следовательно, 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'

'Объясните и докажите условия подобия треугольников.'

'В треугольнике \ \\triangle ABC \, если точки \ P \ и \ Q \ лежат на сторонах \ AB \ и \ AC \ или на их продолжении, то выполняются следующие свойства: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'

'В △ABC, так как OA=OC, угол OCA=угол OAC=40°, следовательно α=180°-2×40°=100°. Также, так как OA=OB, OB=OC, угол OAB=угол OBA=β, а угол OBC=угол OCB=25°. Следовательно, в △ABC, 2×40°+2×25°+2β=180°, откуда 2β=50°, и, таким образом, β=25°. Другое решение: Сначала найдем β, затем, согласно теореме об угле вписанной дуги, получим α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'

'Пусть радиус описанной окружности будет R, согласно теореме синусов, 6/sin C = 2R, отсюда R = 8/√7 = 8√7/7. Пусть радиус вписанной окружности будет r, тогда △ABC = r/2(6+4+5), △ABC = 15√7/4, поэтому r = √7/2.'

'Упражнение: точка M делит сторону AB треугольника ABC в соотношении 1:2, а точка N делит сторону BC в соотношении 3:2. Пересечение линии AN и CM обозначается как O, а пересечение линии BO и стороны AC обозначается как P. Если площадь треугольника AOP равна 1, найдите площадь треугольника ABC.'

'Задача нахождения длин $a, b$ или углов $x, y$ на чертеже: \\n$i. В (1)$, $DE // BC$,\\n$ii. В (2)$, $AD // BC, AD=BC$, а $AE$ делит $\\angle A$ пополам,\\n$iii. В (3)$, $\triangle ABC$ - равносторонний треугольник, где $AD=EC$.'

'По теореме косинусов'

'Углы, заключенные дугами PS и PT этой окружности, равны'

''

'В математическом учебнике A, пример 29 на странице 337, AD является биссектрисой угла ∠A, поэтому BD:DC=AB:AC=12:9=4:3. Следовательно, DC=3 / (4+3) * BC = 3 / 7 * 6 = 18 / 7. Кроме того, AE является биссектрисой внешнего угла ∠A, поэтому BE:EC=AB:AC=12:9=4:3. BC:CE=(4-3):3=1:3. Таким образом, CE=3 * BC=3 * 6=18. Следовательно, DE=DC+CE=18 / 7 + 18=144 / 7.'

'Пример 53 Применение тригонометрии (1) Из края кровли здания высотой 20 м при взгляде вниз в определенную точку угол составляет 30 градусов. Найдите расстояние между этой точкой и зданием. Также найдите расстояние между этой точкой и краем крыши здания.'

'Пример 52 | Сравнение сторон и углов двух треугольников\nВ треугольниках ABC и DEF, AB = DE и AC = DF. Доказать, что если ∠A > ∠D, то BC > EF.'

'Согласно теореме о мощности точки, для точки пересечения P двух хорд AB и CD окружности верно, что PA * PB = PC * PD. Кроме того, когда проводится касательная от внешней точки P к окружности с точкой касания T, и линия, проходящая через P, пересекается с окружностью в точках A и B, тогда PA * PB = PT^2 верно.'

'Пример 62 Применение синуса правила'

'В треугольнике найдите решение, когда AR, BP и CQ равны.'

'\\n Плоскость, проходящая через три точки A, B, C, обозначается как α, плоскость, проходящая через три точки A, C, D, обозначается как β, а плоскость, проходящая через четыре точки P, Q, R, S, обозначается как γ.\\n (1) Предположим, что PQ параллельно AC, тогда PQ пересекает AC в точке X на плоскости α.\\n Точка X находится на линии AC, потому что линия AC находится на плоскости β, следовательно точка X также находится на плоскости β. Кроме того, X находится на линии PQ, потому что линия PQ находится на плоскости γ, поэтому X также находится на плоскости γ. Следовательно, X лежит на пересечении плоскостей β и γ, что является линией RS. Однако это противоречит PQ // RS. Следовательно, PQ // AC. Точно так же, RS // AC.\\n Из PQ // AC имеем AP:PB=CQ:QB, поэтому AP/PB=CQ/BQ, что означает AP/PB\\cdot BQ/QC=1. Кроме того, из RS // AC имеем CR:RD=AS:SD, поэтому CR/RD=SA/DS, что означает CR/RD\\cdot DS/SA=1. Следовательно, (1)×(2) приводит к AP/PB\\cdot BQ/QC\\cdot CR/RD\\cdot DS/SA=1.'

'Построение линейного отрезка заданной длины Когда даны линейные отрезки длиной 1, a и b, укажите процедуру построения отрезка длиной √(b/a).'

'Свойства длин сторон треугольника'

'Практика 109\nПусть H будет серединой стороны AB, а M - серединой стороны OC.\nПоскольку треугольники OAC и OBC являются равносторонними треугольниками, у нас есть AM перпендикулярно OC и BM перпендикулярно OC.\nСледовательно, плоскость ABM перпендикулярна OC.\nПусть V будет объемом, который необходимо определить, и треугольная пирамида OABM.\n∠AOP=60°\n∠POM=60°\nТреугольник OAB является равносторонним.\nИспользуйте результат из (1).\nПодставьте cosθ из (2).\nИсследуйте случай, когда квадратный корень из 11t²-6t+3 минимален. В этот момент S также минимален.\nОтносительно перпендикулярности линии и плоскости обратитесь к Основной информации 3 на странице D.207.'

'Теорема Чева и её обратное'

'Пример 95 | Решение треугольников (2)'