Искусственный интеллект | Номер 1 в бесплатном приложении для завершения домашнего задания
Геометрия и измерение
Плоская геометрия - Подобие и совпадение
Q.01
'В треугольнике ABC, где 43AB=6, AC=4, и cosB=3/4, ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите длину стороны BC. (2) Когда угол C острый, найдите площадь треугольника ABC. (3) Для треугольника ABC из вопроса (2) определите радиусы его описанной и вписанной окружностей.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
'Иллюстрируйте области, представленные следующими неравенствами.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'Пусть радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной окружности равен R, и h=r/R. Также, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'Внутренние и внешние деления\nНайдите координаты точек, которые делят отрезок AB внутренне и внешне в соотношении m к n.\nТочка внутреннего деления \nТочка внешнего деления '
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'Упражнение (1) Когда треугольник PAB с вершинами в точках A(0, -2), B(0, 6) и точкой P движется так, что AP:BP=1:3, найдите траекторию точки P.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'Понять координаты внутренних и внешних точек деления между двумя точками.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
'Уменьшив фигуру A до 1/4, получаем подобную фигуру, которую, поместив в (1) до (3) фигуры A, приводит к фигуре B. Затем, уменьшив фигуру B до 1/4, получаем подобную фигуру, которую, поместив обратно в (1) до (3) фигуры A, приводит к самоподобному образу. Примените этот самоподобный образ к шаблону треугольника Паскаля.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
'Найдите острый угол, образованный двумя линиями y=5x(1) и y=\\frac{2}{3}x(2).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Преобразуйте следующие углы из градусов в радианы и из радиан в градусы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
'TR 132\nНайдите угол, образованный прямыми 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) и \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nПредполагая, что угол, образованный этими двумя прямыми, острый.\nПусть угол, образованный прямыми (1) и (2) с положительным направлением оси \ x \, обозначается как \ \\alpha, \eta \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'Найдите локус точки P, равноудаленной от точек A(-1,-2) и B(-3,2).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
'Используйте формулу сложения для нахождения значений sin 75° и tan 15°. Поскольку 75° не является стандартным углом на транспортире, его нельзя вычислить непосредственно, используя тригонометрические определения. Выражая 75° в терминах суммы или разности углов, таких как 30°, 45°, 60° и т. д., вы можете использовать формулу сложения для определения тригонометрических функций 75°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
'Данные две прямые параллельные или перпендикулярные?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'(1) x-координата точек пересечения парабол P₁ и P₂ задается уравнением x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, которое упрощается до x² - (t+1)x + t = 0. Решив это, мы приходим к (x-1)(x-t) = 0, что приводит к x=1, t. Когда 0<t<1, S - это площадь красной области на диаграмме, представленной как'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
'Условие перпендикулярности двух прямых\nДля двух прямых y=m_{1} x+n_{1} и y=m_{2} x+n_{2} прямые перпендикулярны, когда произведение их уклонов равно -1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
'Когда размер угла, представленного радиусом, указан, определяется положение радиуса, но наоборот, даже если определено положение радиуса, существует бесчисленное множество углов, которые он может представлять, не только один. Это потому, что радиус возвращаетя в исходное положение после полного вращения.\\n\\nУгол, образованный радиусом OP и начальной линией OX, обозначается , затем угол, представленный радиусом OP, составляет - целое число , который одинаков для радиусов'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Точка деления и внешняя точка деления m, n являются положительными числами. Когда точка P на отрезке AB удовлетворяет AP: PB = m: n, говорят, что точка P делит отрезок AB в пропорции m: n, и точку P называют внутренней точкой отрезка AB. Кроме того, когда точка Q на продолжении отрезка AB удовлетворяет AQ: QB = m: n (m≠n), говорят, что точка Q делит отрезок AB в пропорции m: n, и точку Q называют внешней точкой отрезка AB. Как правило, выполняется следующее:\nВнутреннее деление\nВнешнее деление при m>n'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
'Найти локус точки P так, что отношение ее расстояний от точек O(0,0) и A(3,6) составляет 1:2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
'Выберите слой с точки Y с A по F, который соответствует слою e в точке X на рисунке 2, и укажите символ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
'Затененная область треугольника на рисунке справа (4) обозначается как К. Предположим, что площадь четырехугольника ABCD равна 1, тогда площадь прямоугольника BCQP также равна 1, следовательно, площадь прямоугольника RPQS также равна 1. Площадь треугольника RPQ равна 1/2. Кроме того, треугольники RBU и QSU подобны, с коэффициентом подобия RB: QS = 2:1, следовательно, RU: UQ = 2:1. Кроме того, треугольники PBT и QST конгруэнтны, поэтому известно, что PT = TQ. Таким образом, К равно 1/2 от площади треугольника RPQ, что равно 1/6, следовательно, K = 1/2 * 1/6 = 1/12. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD в 12 раз больше, чем K.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
'4 Плоские фигуры - Соотношение сторон и площадей (1) Как показано на схеме справа, отметьте центр круга как O и соедините O с точками E, F, G и H на окружности. Кроме того, поскольку треугольник ABD является равносторонним, углы, обозначенные символами, равны 60 градусам, а углы, обозначенные •, равны 60 ÷ 2 = 30 градусам. Таким образом, все прямоугольные треугольники с ○ и являются половиной равносторонних треугольников. Поэтому, сосредотачиваясь на треугольнике ODH, HD:OD = 1:2, и сосредотачиваясь на треугольнике AOD, OD:AD = 1:2, таким образом, если длину HD взять за 1, длина OD составит 1 × 2/1 = 2, а длина AD составит 2 × 2/1 = 4. Следовательно, AH:HD = (4-1):1 = 3:1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
'Проблема измерения длины и точности (1) Шкала делит 39 мм на 20 одинаковых частей и имеет нарисованную на ней самую тонкую градуировочную линию, поэтому интервал одного деления составляет 39 ÷ 20 = 1,95 (мм).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
'На рисунке 10 расстояние между XY составляет 65-30=35 (делений) по измерениям окулярного микрометра, и оно составляет 50 делений по измерениям объективного микрометра. Один деление на объективном микрометре равен 10 микрометрам, так что с 50 делениями это становится 10 x 50 = 500 микрометров. Следовательно, видимая длина для каждого деления на окулярном микрометре составляет 500 ÷ 35 = 14.28..., что равно 14,3 микрометра.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'Относительно подчеркнутой части в строке 4, предложения A-С описывают одну из гор Раусудаке, Ивакисан или Чоукайсан. Выберите правильное предложение и сочетание гор из предложенных вариантов и ответьте номером.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
'При исследовании этой земли было обнаружено, что длина AC составляет 15 метров, длина BC составляет 18 метров, а угол B в точности вдвое больше угла C. В этом случае, на каком расстоянии находится T от B?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
'При разрезании этого твердого тела плоскостью, проходящей через точки P, Q и F, плоскость пересекла ребро AE в точке R.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'Затем проведите прямую, перпендикулярную прямой, соединяющей центр O и точку B, проходящую через точку B. Точка пересечения двух прямых - это точка C. Поскольку длины CA и CB всегда равны, можно построить круг с центром в точке C и проходящим через точки A и B. Дуга этого круга - это путь, по которому шёл пришелец Поан.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
'Исходя из того же подхода, что и в (2)(1), у нас есть OI:ID=3:1, что означает, что если площадь треугольника HID принята за 1, то площадь треугольника HOI будет 1 × 3/1 = 3. Следовательно, площадь четырехугольника EFGH составляет 3 × 8 = 24. Кроме того, площадь треугольника HOD составляет 1 + 3 = 4, поэтому площадь треугольника AOH равна 4 × 3/1 = 12, а площадь треугольника AOD равна 4 + 12 = 16. Таким образом, площадь четырехугольника ABCD составляет 16 × 4 = 64, и соотношение площадей четырехугольника EFGH к четырехугольнику ABCD равно 24:64 = 3:8.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'Площадь треугольника AFC равна площади треугольника AEC. Кроме того, если оба треугольника добавить к треугольнику ADC, то площади треугольника CDF и треугольника AED также будут равны. Следовательно, площадь треугольника AED равна 3 × 1 ÷ 2 = 1,5 (см^2), поэтому площадь треугольника CDF также равна 1,5 см^2 и площадь квадрата со стороной CD вдвое превышает площадь треугольника CDF, то есть 1,5 × 2 = 3 (см^2).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Относительно двух микрометров выберите один из вариантов видимости, когда увеличение объектива увеличивается с 10х до 40х, и укажите символ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
'В треугольнике ABC угол B прямой, а в треугольнике ACD угол C также прямой, а углы, обозначенные точками, равны. Точка E - это пересечение продолжений сторон BC и AD. Длина стороны AB составляет 2 см, а длина стороны BC составляет 1 см. (2) Какова длина CE в см?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
'(1) По мере увеличения значения расстояния на рисунке 2, значение освещенности уменьшается. Другими словами, по мере увеличения расстояния между лампочкой и осветительным прибором освещенность уменьшается.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'На рисунке (2) Марк движется вдоль окружности с Х в качестве центра изначально, в то время как Гарри двигается вдоль окружности с Y в качестве центра. В рисунке (2), треугольник OFX и треугольник YOX оба являются треугольниками, которые представляют собой половину равностороннего треугольника, поэтому, если мы установим XF=1, тогда OX=1×2=2, а XY=2×2=4. Следовательно, соотношение радиусов окружностей, по которым двигаются Марк и Гарри, будет XF:YF=1:(4-1)=1:3. Далее, центральный угол части, по которой движется Марк, составляет 120 градусов, и таких частей всего 6. Кроме того, центральный угол части, по которой движется Гарри, составляет 60 градусов, и таких частей всего 3. Поэтому соотношение расстояний, которые проходят Марк и Гарри, будет {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, поэтому мы можем утверждать, что скорость Марка составляет 4/3=1 1/3 от скорости Гарри.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'В другом способе решения, на рисунке 4, треугольники DBG и DCG конгруэнтны, пусть угол BDG равен θ, а угол CDG равен φ, тогда θ + φ = 90 градусов, поэтому сумма 2θ и 2φ равна 180 градусам. Следовательно, размер угла ADB равен 2θ. Кроме того, взяв точку H на BD такую, что AD = AH, треугольники ATH и ATD конгруэнтны, что означает, что размер угла AHT также равен 2θ. В результате из внешних углов треугольника ABH мы находим, что размер угла HAB равен θ, как показано на рисунке 5. В рисунке 5, длина AC равна 15 метрам, и длины DB и DC равны, поэтому длина жирного отрезка составляет 15 метров. Более того, учитывая, что AD = BH и DT = HT, длина BT составляет половину длины жирного отрезка, то есть 15 ÷ 2 = 7,5 метров. Стоит отметить, что длина BT не зависит от длины BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'Поскольку треугольник ADC и треугольник CDB подобны, CD=□см, что можно выразить как 1:□=□:3. Кроме того, если P:Q=R:S, то Q × R=P × S, поэтому □ × □=1 × 3=3. Следовательно, площадь квадрата со стороной CD также можно рассчитать как 3 см^2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
'Определите значение p, чтобы два вектора m=(1, p) и n=(p+3, 4) стали параллельными.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
'Доказательство: В треугольнике ABC стороны BC, CA, AB разделены внутри точками P, Q, R в соотношении m:n (m>0, n>0). Если 24R, то центроиды треугольников ABC и PQR совпадают.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
'Укажите условия для того, чтобы отрезки AB и CD были параллельными, а также условия для того, чтобы они были перпендикулярными, для разных точек A(α), B(β), C(γ), D(δ).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
'Для диапазона существования точки P в треугольнике OAB на плоскости, если OP = sOA + tOB, то диапазон существования точки P следующий: (1) Прямая AB если и только если s + t = 1; в частности, отрезок AB если и только если s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (2) Периметр и внутренность треугольника OAB если и только если 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (3) Периметр и внутренность параллелограмма OACB если и только если 0 ≤ s ≤ 1, и 0 ≤ t ≤ 1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'На плоскости xy рассмотрим точки \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) и пусть \ \\mathrm{P} \ будет точкой, произведение расстояний от которой до этих точек является постоянным значением \ 2 a^2 \. Обозначим положение точки \ \\mathrm{P} \ как \ C \. При этом \ a>0 \.\n(1) Найдите уравнение \ C \ в декартовых координатах \\( (x, y) \\).\n(2) Найдите полярное уравнение \ C \ с началом координат в качестве полюса и положительной положительной осью x в качестве начальной линии, в полярных координатах \\( (r, \\theta) \\).\n(3) Докажите, что участок \ C \, исключая начало координат, находится в объединенном диапазоне первой и третьей четверти на плоскости.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
'Преобразуйте декартовы координаты (x, y) в полярные координаты (r, θ).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'В упражнении три точки A, B, C находятся на окружности с центром O и радиусом 1 так, что (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. Пусть угол AOB равен α, а угол AOC равен β. Определите: (1) Докажите, что OB перпендикулярен OC. (2) Найдите cosα и cosβ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
'В равностороннем треугольнике ABC со стороной a, пусть P₁ будет ногой перпендикуляра из вершины A на сторону BC. Пусть Q₁ будет ногой перпендикуляра из P₁ на сторону AB; R₁ будет ногой перпендикуляра из Q₁ на сторону CA; и P₂ будет ногой перпендикуляра из R₁ на сторону BC. Повторяя этот процесс, точки P₁, P₂, ..., Pn, ... будут расположены на стороне BC. Определите предельное положение точки Pn. Угол в основном 26°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'(4) Ортоцентр (в случае остроугольного треугольника \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) точка пересечения трех высот \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nПусть \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ будут точками пересечения прямой \ \\mathrm{AH} \ со стороной \ \\mathrm{BC} \ и прямой \ \\mathrm{CH} \ со стороной \ \\mathrm{AB} \ соответственно, тогда \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ дает\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nТочно так же, \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nСледовательно, из (*) мы получаем \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nТаким образом, из \\left( ** \\) у нас есть \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.52
'Найдите полярные уравнения следующего круга и линии в полярных координатах. Предположим, что a>0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'Пусть s ≠ 0. Для различных 3 точек O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t), где точки P, Q находятся в одном и том же квадранте и OP // OQ, пусть α будет углом между линией OP и положительным направлением оси x. Найдите значение tan α.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
'Задача 107: Применение тригонометрии\nДля измерения высоты здания угол возвышения до самой высокой точки P здания был измерен с точки, находящейся на расстоянии 10 метров и на высоте 1,5 метра, и составил 65 градусов.\nИспользуя таблицу тригонометрических функций в конце книги, ответьте на следующие вопросы:\n(1) Определите высоту этого здания. Округлите до ближайшего метра.\n(2) Из точки, находящейся в 15 метрах от здания, определите угол возвышения до точки P, следуя тому же процессу.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'В треугольнике ABC, ∠C=90°, AB:AC=5:4. На продолжении стороны BC за точку C, примите CD=376. Пусть E - середина стороны AB, а BF - перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую AD. Ответьте на следующие вопросы: (1) Докажите, что EF=EC. (2) Найдите отношение площадей треугольника ABC к треугольнику CEF.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
'Докажите, что в неравностороннем треугольнике ABC, если O - окрестностный центр, G - центр тяжести, а H - ортоцентр, то G лежит на отрезке OH и OG:GH=1:2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'Используя правило синусов и правило косинусов: Найдите стороны и углы треугольника.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'Угол окружности: Размер угла окружности для дуги постоянен, равен половине угла центральной для этой дуги.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
'В ближайшем парке есть круглый бассейн. Однажды я и мой друг решили измерить площадь этого бассейна, поэтому мы вышли с мерной лентой и мелом. Мы отметили точки A, B и C в трех местах на краю бассейна. Когда мы измерили горизонтальные расстояния AB, BC, CA, они были соответственно 9м, 6м, 12м. 1. Найдите синус, косинус и тангенс угла ABC. 2. Найдите площадь этого бассейна.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'Пусть θ будет острым углом. Когда один из sin θ, cos θ, tan θ принимает определенное значение, найдите значения остальных 2 тригонометрических отношений в каждом случае.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
'В треугольнике ABC, где AB = 3, AC = 2 и ∠BAC = 60°, пусть D будет точкой пересечения биссектрисы ∠A и BC. Найдите длину сегмента AD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
'Докажите, что в треугольнике ABC, когда размеры углов A, B, C представлены соответственно A, B, C, уравнение cos((A+B)/2) = sin(C/2) верно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'Теорема Чевы\nКогда линия, соединяющая вершины A, B и C треугольника ABC или точки на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях, пересекается с этими сторонами или их продолжениями, и точки пересечения обозначены P, Q, R, то\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'В треугольнике ABC, sinA:sinB:sinC=5:7:8. Следовательно, cosC (заполните пробел). Более того, если длина стороны BC равна 1, то площадь треугольника ABC составляет (заполните пробел).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
'Отношение между сторонами и углами треугольника\nТеорема\n14\n1. В треугольнике\n 1. В треугольнике угол, противоположный бОльшей стороне, больше, чем угол, противоположный меньшей стороне.\n 2. В треугольнике сторона, противоположная бОльшему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу.\nИными словами, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.69
"Когда окружности O и O' с радиусами 5 и 8 соответственно касаются внешне в точке A, и общая внешняя касательная этих двух окружностей пересекает окружности O и O' в точках B и C соответственно, причем пересечение продолженной BA и окружности O' - точка D. Доказать: (1) AB перпендикулярно AC. (2) Доказать, что точки C, O', D коллинеарны. (3) Найти отношение AB: AC: BC."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'В треугольнике ABC пусть радиус описанной окружности равен R. Если A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.71
'Количество прямоугольников (включая квадраты), образованных пересечением 7 линий x=k(k=0,1,2,⋯6) и 5 линий y=l(l=0,1,2,3,4) на координатной плоскости. Кроме того, количество прямоугольников с площадью 4.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
'Базовый пример 70 Отношение площадей центроида и треугольника'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'Пример 124 Максимальный угол треугольника В треугольнике ABC найдите меру наибольшего угла этого треугольника при следующих условиях. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
'Используя правило синусов, найдите длины других сторон следующего треугольника: A равен 45°, а длина противоположной стороны a равна 2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
'Есть кусок оригами в форме равностороннего треугольника ABC со стороной 10 см. Точки D на стороне AB и E на стороне AC выбраны так, что сегмент DE параллелен стороне BC. При сгибании бумаги вдоль сегмента DE, обозначим S как площадь перекрытия между треугольником ADE и четырехугольником BCED. Максимальное значение S достигается, когда длина сегмента DE равна x см, и в этой точке S = y кв. см.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.79
'(2) В треугольнике ABC, где AB=4, BC=3 и CA=2, пусть D и E будут точками, в которых угол A и его биссектрисы внешнего угла пересекаются с прямой BC. Определите длину отрезка DE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'Внутри острого угла PR XOY даны 2 точки A и B, как показано на правой диаграмме. На полулинии 480 X и OY берут точки P и Q соответственно, чтобы минимизировать AP + PQ + QB, куда следует поместить P и Q соответственно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'В треугольнике ABC справа, G - центр масс треугольника ABC, и сегмент GD параллелен стороне BC. Найдите отношение площадей треугольников DBC и ABC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
'В треугольнике ABC, по формуле косинусов\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { Следовательно } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { Следовательно }\n\\end{array}\n\\]\n'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
'Исходя из заданных условий, при определении других трех элементов треугольника методы использования теорем на основе условий следующие: 1. 1 сторона и ее смежные углы (получение b, c, A из условий a, B, C) A = 180° - (B + C); Теорема синусов: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 стороны и включенный угол (получение a, B, C из условий b, c, A) Теорема косинусов a² = b² + c² - 2bc cosA для нахождения a; Теорема косинусов cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) для нахождения B; C = 180° - (A+B); 3. 3 стороны (получение A, B, C из условий a, b, c) Теорема косинусов cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) для нахождения A; Теорема косинусов cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) для нахождения B; C = 180° - (A + B).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'В треугольнике ABC, когда sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, найдите меру наибольшего угла в этом треугольнике.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
'Докажите в остроугольном треугольнике ABC (AB>AC) следующее по поводу биссектрисы угла A AD, медианы AM, перпендикуляра AH:'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'Существует четырехугольник ABCD, вписанный в круг. Если AB=8, BC=3, BD=7 и AD=5, найдите длину A и сторону CD. Также найдите площадь S четырехугольника ABCD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.89
'В треугольнике ABC, если C равен 45 градусам, b равен квадратному корню из 3, а c равен квадратному корню из 2, найдите A, B и a.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
'(3) Поскольку , имеем , откуда . Также, , поэтому , следовательно . Следовательно, .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
'Четырёхугольник ABCD описан окружностью O. Пусть точки пересечения сторон AB, BC, CD, DA с окружностью O будут P, Q, R, S соответственно, а длины отрезков линий AP, BQ, CR, DS обозначим как a, b, c, d. Когда ни одна из трёх прямых AC, PQ, RS не параллельна другой:\n(1) Пусть точка пересечения AC и PQ будет X, докажите, что AX: XC = a: c.\n(2) Пусть точка пересечения AC и RS будет Y, докажите, что AY: YC = AX: XC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
'Опишите свойства треугольника A: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
'В равнобедренном треугольнике два основных угла равны. Кроме того, биссектриса угла вершины равнобедренного треугольника делит основание перпендикулярно пополам. Используя эту информацию, решите следующую проблему: В равнобедренном треугольнике ABC, если угол вершины ∠A = 100 градусов, каково измерение угла основания ∠B?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
'В треугольнике ABC точка O внутри треугольника соединена с тремя вершинами, пересекающимися с сторонами BC, CA и AB в точках D, E, F, и продолжение FE проходит через точку E, чтобы пересечься с продолжением стороны BC в точке G.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
'В треугольнике ABC каждая сторона касается окружности в точках P, Q, R, как показано на рисунке ниже. Найдите длины отрезков AQ и BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
'Базовый пример 133: Длина биссектрисы угла в треугольнике (2)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
'В треугольнике ABC, если точка P делит сторону BC в отношении m:n, точка Q делит сторону CA в отношении l:m, и точка R делит сторону AB в отношении n:l, то линии AP, BQ и CR пересекаются в одной точке. Докажите это, используя обратную форму теоремы Чевы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.00
'Докажите, что следующее равенство выполняется в треугольнике ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
'В треугольнике ABC, пусть D будет точкой, где биссектриса угла B пересекает сторону AC. Найдите длину отрезка BD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'Базовый пример 68: Использование центра описанной окружности и ортоцентра\nПусть H - ортоцентр остроугольного треугольника ABC, O - центр описанной окружности, а OM - перпендикуляр от O к стороне BC. Кроме того, возьмем точку K на описанной окружности треугольника ABC так, чтобы отрезок CK стал диаметром окружности. Докажите следующее:\n1. BK = 2OM\n2. Четырехугольник AKBH является параллелограммом\n3. AH = 2OM'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
'Используя обратное утверждение теоремы Чевы, докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'Докажите обратное утверждение к базовой фигуре 90'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'В треугольнике ABC, при AB=8, BC=3, CA=6, пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла A и прямой BC. Найдите длину отрезка CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
'В остроугольном треугольнике ABC, пусть BD и CE будут высотами, опущенными из вершин B и C на противоположные стороны. Если BC=a, выразите угол A в терминах других углов. Вы можете использовать свойство, что если в отрезке PQ угол PRQ=90°, то точка R лежит на окружности с PQ как диаметром.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Доказать, что в остроугольном треугольнике ABC, с ортоцентром H и центром описанной окружности O, середина стороны BC — M, а середина сегмента AH — N, длина сегмента MN равна радиусу описанной окружности треугольника ABC, используя тот факт, что AH=2OM.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
'В диаграмме, если AR:RB=3:4 и BP=PC, найдите AQ:QC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'При заданных отрезках AB длиной a и двух отрезках длиной b и c нарисуйте отрезок длиной \ \\frac{a c}{b} \.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
'Когда применять теорему синусов и теорему косинусов? Как теорему синусов, так и теорему косинусов можно использовать для нахождения длин сторон и размеров углов, и иногда может быть неясно, какую из них использовать. Есть ли метод для определения этого?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'В точке H на уровненной земле PR стоит столб, перпендикулярный земле. Когда смотрят на вершину столба с точек A и B, углы возвышения составляют 30 градусов и 60 градусов соответственно. Также, из земельного обследования известно, что расстояние между A и B составляет 20 метров, и ∠AHB=60 градусов. Определите высоту столба. Предположим, что высота глаз не учитывается.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
'Глава 4: Геометрия и измерение EX В четырехугольнике ABCD, вписанном в круг, где DA = 2AB и ∠BAD = 120°, а E - пересечение диагоналей BD и AC, E делит отрезок BD на 3:4.\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ?AB.\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB.\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : мощность : 2.\n(4) Если радиус круга равен 1, то AB = ?, а площадь четырехугольника ABCD равна S = ?.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, при AB=2, BC=1, CD=3 и cos∠BCD=-1/6. Найдите длину AD и площадь четырехугольника ABCD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Для данного отрезка AB постройте следующие точки. (1) Точка E, делящая отрезок AB внутренне в пропорции 3:2 (2) Точка F, делящая отрезок AB внешне в пропорции 3:1'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
'В треугольнике ABC, где AB=3, BC=4 и CA=6, пусть D будет точкой, где биссектриса внешнего угла A пересекает линию BC. Найдите длину отрезка BD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
'Найдите площади треугольника ABC и параллелограмма ABCD на данной фигуре.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
'Базовое упражнение 122 Решение треугольников (1) Для каждого случая найдите оставшиеся длины сторон и углы треугольника ABC. (1) a=√3, B=45°, C=15° (2) b=2, c=√3+1, A=30°'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
'Ханако и Таро решили поработать над следующей [проблемой] вместе и попробовать думать, используя графическое программное обеспечение.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
'Докажите, что в треугольнике ABC, если углы ∠A, ∠B, ∠C обозначены соответственно A, B, C, то уравнение (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 верно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
'(4) Найти треугольник с наименьшим радиусом описанной окружности.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
'Термин градиент используется для описания наклона дорог и железных дорог. Используя тригонометрические соотношения, ответьте на следующие вопросы. (1) Наклон дороги часто выражается в процентах (%). Проценты показывают, на сколько метров повышается высота при перемещении на 100 метров по горизонтали. На определенной дороге есть знак, указывающий 23%. Каков приблизительный угол наклона этой дороги? (2) Наклон железной дороги часто выражается в промиллях (‰). Промилле показывают, на сколько метров повышается высота при перемещении на 1000 метров по горизонтали. На определенной железнодорожной линии есть знак, указывающий 18‰. Каков приблизительный угол наклона этой железнодорожной линии?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'В \ \\triangle ABC \, где \ \\angle C=90^\\circ \ и \ AB:AC=5:4 \, построена точка \ D \ на продолжении стороны \ BC \ так, что \ CA=CD \. Пусть \ E \ будет серединой стороны \ AB \, а \ BF \ - перпендикуляр из точки \ B \ на линию \ AD \. Ответьте на следующие вопросы: [Университет Миядзаки]\n(1) Докажите, что \ EF=EC \.\n(2) Найдите отношение площадей \ \\triangle ABC \ и \ \\triangle CEF \.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
'Из (5) BC = 9, BD: DC = 4: 5, мы имеем BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. Следовательно, BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'В треугольнике ABC покажите, как изменение угла A влияет на отношение a², b², c².'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
'Пожалуйста, объясните значения следующих терминов: соответствующие углы, вертикальные углы, острые углы, тупые углы, внутренние углы, внешние углы, равны, подобные, перпендикулярная биссектриса, угловая биссектриса, остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник, хорда, дуга, центральный угол, вписанный угол, касательная к окружности, противоположная сторона, диагональ, параллелограмм.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
'Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AEF.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'В треугольнике ABC, где BC=5, CA=3, AB=7. Пусть D и E будут точками, в которых угол A и его внешний угловой биссектриса пересекают линию BC, необходимо найти длину отрезка DE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Пожалуйста, используйте свойства и определения описанного, вписанного, ортоцентра и барицентра для ответа на следующие задачи по треугольникам.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
'Альтернативное решение (То же, что и на 11 шагу)\n (1) Из \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ аналогично\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n Таким образом, \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} поэтому \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, где AB=8, BC=3, BD=7, AD=5. Найдите длину CD. Также, вычислите площадь S четырёхугольника ABCD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'Базовый пример 1142 Углы, образованные линиями\n(1) Найдите угол α, образованный линией y=-1/√3x и положительным направлением оси x, и угол β, образованный линией y=1/√3x и положительным направлением оси x. Также найдите острый угол, образованный двумя линиями. Предположим, что 0° < α < 180°, 0° < β < 180°.\n(2) Найдите острый угол θ, образованный двумя линиями y=-√3x и y=x+1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC, где AC = BC и AB = 6, строятся два прямоугольника с равными вертикальными длинами, как показано на диаграмме справа. Каково максимальное значение суммы площадей двух прямоугольников при построении для максимальной суммы?\nИсходя из данных условий, AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nКак показано на диаграмме, пусть D, E, F, G - точки, а x - вертикальная длина прямоугольников:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nТакже, так как 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, что означает 0 < x < 3√2 / 2\n\nПусть y - сумма площадей двух прямоугольников:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nВ (1) значение y достигает максимума 6 при x = √2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
'Используя теорему Менелая в треугольнике ABC и прямой DF'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
'Условие подобия треугольников: Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий. [1] Отношение трех сторон равно. [2] Два пары сторон пропорциональны, и включенные углы равны. [3] Два пары углов равны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'Доказать: в треугольнике ABC, если M - середина стороны BC, а биссектрисы углов ∠AMB и ∠AMC пересекают стороны AB и AC в точках D и E соответственно, то DE // BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'Относительно ромба с суммой длин диагоналей 10 см:\n(1) Найдите максимальную площадь.\n(2) Найдите минимальный периметр.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
'Теорема 2: В треугольнике ABC с AB ≠ AC, пересечение внешнего биссектрисы угла ∠A и продолжения стороны BC делит сторону BC в соотношении AB:AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'В треугольнике ABC пусть D - середина стороны AB, E - середина отрезка CD, а F - точка пересечения AE и BC. Найдите отношение AE к EF.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'Овладейте использованием диаграмм Венна и покорите пример 49!'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, такой что AB=4, BC=2, и DA=DC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
'Пример 378\nВ треугольнике ABC с AB=10, BC=5, CA=6, пусть ∠A и его внешние угловые биссектрисы пересекают сторону BC или её продолжение в точках D и E. Найдите длину отрезка DE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'Освойте синусоидальное правило и покорите пример 126!'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
'Найдите cosA, используя правило косинусов, а затем вычислите площадь и высоту треугольника с использованием этого результата.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'Какое расстояние вы прошли по горизонтали, пройдя 80 метров по склону с уклоном 8° от горизонтали? Кроме того, сколько метров вы спустились по вертикали?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
'Когда даны две стороны и угол между ними, мы можем использовать правило косинусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'Дан равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 1. Точка P взята на дуге BC, не включающей вершину A, так что PA=a, PB=b, PC=c (b>c). Посчитаем значение a²+b²+c². Поскольку ∠APB=∠APC=α градусов, в треугольнике ABP можно применить теорему косинусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
'Из двух точек A и B, находящихся на расстоянии 1 км друг от друга на море, обе точки видят одну и ту же вершину горы C. Из точки A угол возвышения на восток составляет 30 градусов, а из точки B угол на северо-восток составляет 45 градусов. Найдите высоту CD горы. Предположим, что точка D находится прямо под C, и точки A, B, D находятся на одной горизонтальной плоскости. Кроме того, предположим, что sqrt(6) = 2,45.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
'Если 90° < A < 180°, на правой диаграмме, отрезок BD является диаметром описанной окружности треугольника ABC. В этом случае, \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ что означает, что \ \\angle BDC = 180° - A \, следовательно \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, поэтому \ \\quad a = 2 R \\sin A \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'Существует три случая для положения между линией `ℓ` и плоскости `α`.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'Определение формы треугольника из равенства сторон и углов'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.67
'Точка H является центром вписанной окружности треугольника DEF, потому что она является пересечением биссектрис углов DFE и FDE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
'Пожалуйста, объясните свойства угловых биссектрис и отношений в треугольнике.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.69
'В треугольнике ABC, если a²cosA sinB=b²cosB sinA, то какова форма треугольника ABC?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'В треугольнике ABC, если a²cosA sinB = b²cosB sinA, в какой форме находится треугольник ABC?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.71
'Пусть O - центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Если биссектриса угла BAO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D, докажите, что AB параллельно OD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
'Проведем перпендикуляр из точки D на сторону AB, пусть пересечение будет Н, тогда AH=BH=\\frac{1}{2}. Следовательно, используя (2), \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. Сосредоточимся на треугольнике DAH.\n\nСсылаясь на это, проведем перпендикуляр из вершины A на сторону BC, пусть пересечение будет Е, тогда BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nСледовательно, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. Биссектриса угла равнобедренного треугольника делит основание перпендикулярно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
'Есть два касающихся друг друга круга в точке P. Как показано на правой диаграмме, две линии, проходящие через точку P, пересекают внешний круг в точках A и B, а внутренний круг в точках C и D. Докажите, что AB параллельно CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.74
'На правом рисунке точки L, M, N являются точками касания сторон △ABC с вписанной окружностью, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Пусть r - радиус вписанной окружности, выразим длины AC и BC как r. (2) Найдем значение r.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'В треугольнике ABC, когда b=2√6, c=3√2+√6, и A=60°, найдите длину оставшейся стороны и размер другого угла.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
'В трапеции ABCD, где AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3. Пусть E будет пересечением линии, проходящей через D параллельно AB и сторона BC, и пусть ∠DEC=θ. Найдите следующие значения.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
'Глава 7: Применения к треугольникам\n135\nВ треугольнике ABC, где AB = 7, BC = 4√2 и ∠ABC = 45°, с центром описанной окружности треугольника ABC, обозначенного как O.\n(1) CA = .\n(2) На дуге BC описанной окружности O, за исключением точки A, взята точка D такая, что CD = √10. В этом случае, учитывая, что ∠ADC = $, пусть AD = x, тогда x = √.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.79
'Пусть L, M, N - точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Выразите длины AC и BC через r, полурезультат вписанной окружности. (2) Найдите значение r.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'Из точек A и B наблюдались точки C и D на противоположной стороне водотока, как показано на карте справа. Предполагается, что точки A, B, C и D находятся на одной высоте.\n(1) Найдите длины BD и BC (метры).\n(2) Найдите длину CD (метры).\n\nОтветы могут остаться в виде квадратного корня.\n& 〜РУКОВОДСТВО Используйте теорему синусов и теорему косинусов, чтобы найти применимые треугольники.\n(1) В треугольнике ABD известна одна сторона и два угла, что позволяет использовать теорему синусов.\n(2) В треугольнике BDC известны две стороны и угол между ними, что позволяет использовать теорему косинусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'Пример 123: Прямоугольный треугольник и тригонометрические значения'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
'Докажите, что в треугольнике ABC, если ∠B > ∠C, то b > c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
'Глава 3 Свойства фигур\nКроме того, в ∆AFE и ∆ABC\n∠A общий, ∠AFE=∠ABC\nПоэтому, так как два набора углов равны, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nСледовательно, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) Из (1) пусть площадь четырехугольника AFGE будет T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nСледовательно, из (1) и (2), ∆ABC/T=12S/4S=3\nСледовательно 3 раза'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
'На правом рисунке вычислите значение синуса, косинуса и тангенса угла θ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'Используя прямоугольный треугольник ABC справа, найдите значения синуса, косинуса и тангенса 15 градусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
'На схеме справа точка I является центром вписанной окружности треугольника ABC. Вычислите следующее: (1) α (2) CI: ID'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
'(1) Учитывая α=90°, AB=2, BC=3, найдите размеры трех углов △ABC.\n(2) Учитывая α=70°, β=γ, найдите длины трех сторон △ABC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'В данной фигуре найдите значение α. Здесь (1) утверждает, что BC = DC, а (3) упоминает, что точка O является центром круга.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.89
'Выразите в виде тригонометрических отношений острых углов'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
'Теорема 1: Пересечение внутреннего биссектрисы угла A треугольника ABC с стороной BC делит сторону BC в отношении AB:AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
'Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность O, где AB=2, BC=3, CD=1, и ∠ABC=60°. Найдите:\n(1) Длину отрезка AC\n(2) Длину стороны AD\n(3) Радиус R окружности O'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
"В математике докажите следующее: В приведенной выше диаграмме прямая AB касается окружностей O и O' в точках A и B соответственно. Если радиусы равны r и r' (r < r'), а расстояние между центрами двух окружностей равно d, то докажите, что AB равно sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
'Площадь треугольника можно рассчитать как половину основания, умноженную на высоту. Давайте выразим эту формулу, используя тригонометрию.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
'Есть прямой склон длиной 125 метров. Поднимаясь по этому склону, высота увеличивается на 21,7 метра. Каков приблизительный угол наклона этого склона? Кроме того, каково горизонтальное расстояние этого склона в метрах? Рассмотрите использование тригонометрических соотношений.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
'Радиус и площадь вписанной окружности треугольника'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
'Ответьте на следующий вопрос. Найдите другие элементы треугольника, когда a=√3+1, A=75°, C=60°, или когда a=√3-1, A=15°, C=120°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.98
'(2) Когда центр описанной окружности и центр вписанной окружности треугольника ABC совпадают, обозначим эту точку как О. Поскольку О является центром описанной окружности, OB=OC. Следовательно, ∠OBC=∠OCB. Кроме того, точка О также является центром вписанной окружности треугольника ABC.\n\n[\nНачало системы уравнений\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\nКонец системы уравнений\n\\]\n\nАналогично, можем получить, что\nцентр вписанной окружности\n\n\\angle A=\\angle C\n\nТаким образом, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nСледовательно, треугольник ABC является равносторонним.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
'С края крыши здания высотой 20 метров, смотря на определенную точку вниз, угол, образованный с горизонтальной плоскостью, составляет 32°. Найдите расстояние между этой точкой и зданием. Также найдите расстояние между этой точкой и краем крыши здания. Округлите до двух десятичных знаков.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.00
'Используйте теорему углов в круге для определения внутренних углов каждого треугольника, и используйте теорему косинусов и теорему синусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'В треугольнике ABC, где AB=4, BC=5, CA=6, пусть D и E будут точками пересечения угла A и его биссектрисы внешнего угла с прямой BC. Найдите длину отрезка DE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
'В треугольнике ABC, AB=AC=1, ∠ABC=72°. Точка D взята на стороне AC таким образом, что ∠ABD=∠CBD.\n(1) Найдите измерение ∠BDC.\n(2) Найдите длину стороны BC.\n(3) Найдите значение cos 36°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'В треугольнике ABC точки D и E являются серединами сторон BC и AC соответственно. Кроме того, пусть пересечение AD и BE будет F, середина отрезка AF будет G, а пересечение CG и BE будет H. (1) Если BE=6, найдите длины отрезков FE и FH. (2) Найдите отношение площадей треугольника EHC к треугольнику ABC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'■ Центр вписанной окружности…… Пересечение угловых биссектрис треугольника\nБиссектриса угла\nТочка P находится на биссектрисе ∠ ABC Точка P находится на биссектрисе двух прямых ⇔ Она находится на равном расстоянии от BA и BC - Другими словами, биссектриса ∠ ABC представляет собой набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии от двух прямых BA и BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
"Даны две окружности O, O', внешне касающиеся в точке A. Если касательная к окружности O' в точке B пересекает окружность O в двух точках C и D, как показано на диаграмме, докажите, что AB делит внешний угол ∠CAD пополам."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
'На правом рисунке предположим, что гипотенузы имеют длину 1. Найдите длины оставшихся сторон и заполните пропуски. Затем проверьте значения синуса, косинуса и тангенса для 30, 45, 60 градусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Найти длину оставшейся стороны при данной 2 стороны и 1 диагонали'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
'В △ABC, при радиусе описанной окружности равном R, найдите следующее: (1) Когда a=10, A=30°, B=45°, найдите C, b и R. (2) Когда b=3, B=60°, C=75°, найдите A, a и R. (3) Когда c=2, R=√2, найдите C.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'В △ABC, где радиус описанной окружности равен R, найдите следующее.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
'В треугольнике ABC пусть D будет точкой, делящей сторону BC в отношении 3:2, а E - точкой, делящей сторону AB в отношении 4:1. Пусть P будет пересечением отрезков AD и CE, а F - пересечением прямой BF и стороны CA.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
'Теорема о Циклическом Четырехугольнике\nРазмер циклического угла, соответствующего дуги, постоянен и равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. Другими словами, на правом рисунке, В частности, когда - диаметр, \n\nОбратная Теорема о Циклическом Четырехугольнике\nДля 4 точек , если точки находятся на одной стороне отрезка \n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nто 4 точки находятся на одной окружности.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'Глава 6 Тригонометрические соотношения - 115 TR 121'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
"Есть три подобных прямоугольных треугольника ABC и A'B'C'. Поскольку соотношения соответствующих сторон равны, возникают следующие три уравнения относительно этих отношений. Давайте рассмотрим эти три отношения: (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Глава 3 Свойства геометрических фигур - 195\n(2) Точка E - середина стороны AC, поэтому треугольник ABC = 2 треугольника EBC\nТакже, поскольку BF:FE = 2:1, BE:FE = 3:1\n\n\треугольник EBC = 3 треугольника EFC\\]\nКроме того, FH:HE = 2:1, следовательно, FE:HE = 3:1, поэтому треугольник EFC = 3 треугольника EHC\nСледовательно\n\\[\egin{aligned}\nтреугольник ABC & = 2 треугольника EBC = 2 \\cdot 3 треугольника EFC \\\\\n& = 6 треугольника EFC = 6 \\cdot 3 треугольника EHC \\\\\n& = 18 треугольника EHC\n\\end{aligned}\\nСледовательно треугольник EHC: треугольник ABC = 1:18\n- из-за наличия общей высоты\n\ треугольник ABC: треугольник EBC = AC:EC \\n\ треугольник EBC: треугольник EFC = BE:FE \\n\ треугольник EFC: треугольник EHC = FE:HE \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
'На диаграмме справа, пусть ∠A = α, ∠B = β. Найдите значения синуса, косинуса и тангенса α и β.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
'(1) Как показано на рисунке, для правильного пятиугольника и точек A, B, H, когда ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, и θ = 1/2 × 72° = 36°, используя результат предыдущего вопроса, длина одной стороны составляет\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, округляя до AB = 11.8. Длина перпендикуляра равна OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, округляя до OH = 8.1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
'В треугольнике ABC найдите следующее. Где площадь треугольника ABC обозначается как S. 76 (1) Когда A=120°, c=8, S=14√3, найдите a, b (2) Когда b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5, найдите sinA, a (3) Когда a=13, b=14, c=15, и длина перпендикулярной линии от вершины A до стороны BC обозначается как h, найдите S, h'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
'Докажите, что когда три разные прямые x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 пересекаются в одной точке, то три точки (1,1), (4,5), (a,b) лежат на одной прямой.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
'Найдите траекторию точки P так, чтобы отношение ее расстояний от точек A(0,0) и B(5,0) составляло 2:3.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
'Найдите значение a, когда треугольник ABC является равнобедренным треугольником.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
'(1) Поскольку у двух линий одинаковый угловой коэффициент, то они параллельны.\n(2) Из y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3 мы можем определить, что угловые коэффициенты двух линий равны 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1, следовательно, две линии перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
'Найдите локус точки P, удовлетворяющей следующим условиям: (1) Сумма квадратов расстояний от точек A(-4,0) и B(4,0) до точки P равна 36. (2) Соотношение расстояний от точек A(0,0) и B(9,0) до точки P равно PA:PB=2:1. (3) Точка P изменяется таким образом, что треугольник PAB с вершинами в точках A(3,0) и B(-1,0) удовлетворяет условию PA:PB=3:1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'Когда точка P находится на прямой x+y=5, найдите координаты точки P, минимизирующие длину ломаной линии AP + PB, соединяющей точки A(2,5) и B(9,0).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
"Координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями (1) ax + by + c = 0 и (2) a'x + b'y + c' = 0, получаются в качестве решений системы уравнений (1) и (2)"
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
'Когда точка P удовлетворяет условию AP:BP = 2:3 и отрезок AB соединяет A(0,0) и B(5,0), найдите траекторию точки P.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'Для фигуры A_{n+1} обратите внимание на самый правый столбец. Размещение плитки горизонтально в правом нижнем углу приводит к трем возможным конфигурациям, как показано на рисунке 3, где оставшаяся часть соответствует A_{n}, а двум возможным конфигурациям, как показано на рисунке 4, где оставшаяся часть соответствует B_{n}.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
'Найдите угол, образованный двумя прямыми (1) Найдите угол θ (0<θ<π/2), образованный прямыми y=3x+1 и y=1/2x+2. (2) Найдите угол наклона прямой, образованный углом с y=2x-1 равным π/4.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
'В (2) 0 <α <π/2 радиус, представляющий угол α, равняется радиусу, представляющему 6α. Найдите величину угла α.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'Учитывая три точки A(6,1), B(2,3) и C(a,b), найдите значения a и b, когда треугольник ABC является равносторонним.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Докажите, что центроид треугольника DEF совпадает с центроидом треугольника ABC, когда точки D, E и F взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, так что BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37. [Университет Кинки]'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'Докажите, что в треугольнике ABC точки P и Q делят сторону BC на три равные части, так что BP=PQ=QC. Докажите, что выполняется следующее соотношение: 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) '
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'В треугольнике ABC, при AB=15, BC=18, AC=12, найдите точку пересечения D биссектрисы угла A и стороны BC. Определите длины отрезков BD и AD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'Объясните синусоиду и косинусоиду, и решите пример проблемы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
'Пожалуйста, объясните отношение соответствующих углов, когда две линии параллельны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
'Когда c=√6, найдите углы треугольника. Полученные результаты при использовании закона косинусов: A=75°, C=60°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'От вершины O опустим перпендикуляр OI на треугольник DEG, тогда I оказывается центром описанной окружности треугольника DEG. Поскольку GI является радиусом описанной окружности треугольника DEG, согласно теореме синусов, мы получаем GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Следовательно, OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. Пожалуйста, проведите следующие вычисления.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'Практика На точке A, которая находится на той же высоте, что и определенная башня, угол возвышения до вершины башни был измерен в 30 градусов. Кроме того, в точке A, на расстоянии 114 м, есть точка B, где угол KAB составляет 75 градусов, а угол KBA составляет 60 градусов. В этот момент расстояние между A и K составляет x метров, а высота башни - y метров.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, с AD // BC, AB=3, BC=5, ∠ABC=60 градусов, найти следующее:\n(1) Длина AC\n(2) Длина CD\n(3) Длина AD\n(4) Площадь четырехугольника ABCD'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'По синус-теореме, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, следовательно \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, поэтому \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'Теорема синусов\nВ \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ пусть радиус описанной окружности будет \ R \, тогда\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
'На отрезке AB длиной 6 взяты две точки C и D, такие что AC=BD. При условии, что 0<AC<3. Найдите минимальное значение суммы S площадей трех окружностей с диаметрами AC, CD и DB, а также длину отрезка AC в этот момент.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'От места на море до маяка, стоящего на вершине утёса высотой 30 метров, зенитный угол составляет 60 градусов, а из того же места до зенитного угла нижней части маяка 30 градусов, найти высоту утёса.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
'Площадь треугольника ABC равна 12√6, и отношение его сторон составляет AB:BC:CA = 5:6:7. В этом случае, что такое sin∠ABC, обозначенное как □, и каков радиус вписанной окружности треугольника ABC, обозначенный как □.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'Как показано на рисунке, наблюдая точки P и Q на противоположном берегу реки от точек A и B, находящихся на расстоянии 100 метров друг от друга, были получены следующие значения: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°. Ответьте на следующие вопросы в этом случае.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
'Вершины B, E, G находятся все на поверхности сферы S, а BG является диаметром сферы S, так что треугольник EBG является прямоугольным треугольником с ∠BEG = 90°. Начиная с EG = 1, выполните следующие вычисления.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'В треугольнике ABC, если ∠A = 60 градусов, AB = 7, AC = 5, то пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла ∠A с стороной BC. Найдите длину AD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
'Из места на морской поверхности до вершины маяка высотой 30 метров угол наклона к вершине составляет 60 градусов, а угол наклона к нижней части маяка составляет 30 градусов. Найдите высоту скалы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'Пожалуйста, перечислите три условия равенства треугольников.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} или c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'Человек ростом 1.5 метра, стоя на ровной местности, хотел узнать высоту дерева. Угол наклона от точки А до вершины дерева составлял 30°, а угол наклона от точки В, находящейся на расстоянии 10 метров ближе к дереву, был 45°. Вычислите высоту дерева.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.69
'В треугольнике ABC, когда a=1+√3, b=2, C=60°, найдите:\n(1) Длина стороны AB\n(2) Величина угла ∠B\n(3) Площадь △ABC\n(4) Радиус описанной окружности\n(5) Радиус вписанной окружности'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'В Древней Греции исследования тригонометрии продвигались наряду с астрономией. Древнегреческий астроном Аристарх использовал следующее соотношение для определения приблизительного отношения расстояний между Солнцем и Луной.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
'Рассмотрим неравносторонний треугольник ABC, где наибольшая сторона BC, а наименьшая сторона AB, где AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c). Обозначим площадь треугольника ABC как S.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'Когда m>0, n>0, точка P лежит на отрезке AB, и AP: PB=m: n, говорят, что точка P делит отрезок AB внутренним образом в соотношении m: n [Дополнительные подробности см. в Математике A]. Пусть AB=k, представляя длину другой стороны как k. Используйте подобие треугольников, образованных диагоналями вписанного четырехугольника.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
'В треугольнике ABC пусть S обозначает площадь. Найдите следующее. Предполагается, что треугольник (2) не является тупым треугольником.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
'Пусть площади треугольников AID, BEF и CGH обозначаются как T1, T2 и T3 соответственно. В этом случае, какой из следующих вариантов подходит на место S?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
'В треугольнике ABC, пусть R будет радиусом описанной окружности. Когда A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность с DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD= корень из 3 умножить на AB, AE= AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:корень из 3:2, (4) Если радиус окружности равен 1, то AB= корень из 3 и площадь четырехугольника ABCD равна S=3.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'Как показано на правой диаграмме, нарисуйте квадраты ADEB, BFGC и CHIA с углами AB, BC и CA как один из их стороны, а затем соедините точки E и F, G и H, I и D.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
'Рассчитайте уклон этой железнодорожной линии. Уклон железнодорожной линии составляет 18%, и при перемещении 1000 м по горизонтали высота увеличивается на 18 м. Рассчитайте угол наклона θ, используя тригонометрию.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
'Основной вопрос 124 Максимальный угол треугольника'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'Пожалуйста, объясните разницу между правилом синуса и правилом косинуса.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
'Из уравнения \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\ следует, что \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\. На окружности радиуса 1 точки \\\mathrm{P}\ и \\\mathrm{Q}\, где координата \y\ равна \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\. Таким образом, угол \\\theta\, который мы ищем, соответствует углам \\\angle \\mathrm{AOP}\ и \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
'Геометрия и измерения\n157\nEX 394\n(1) Используя правую диаграмму, найдите значение \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) Используя правую диаграмму, найдите значения \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \ и \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nПОДСКАЗКА: Чтобы найти тригонометрические отношения специальных углов, можно построить прямоугольный треугольник, который включает этот угол.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'Задача 218 Базовый пример 136 Радиус описанной и вписанной окружности треугольника\nВ △ABC, где AB=6, BC=7, CA=5, найти радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
'Докажите, что равенство cos (A+B)/2 = sin (C/2) верно, когда размеры углов A, B, C треугольника ABC представлены как A, B, C соответственно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
'Какую применять, правило синусов или правило косинусов?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
'В треугольнике ABC, пусть R - радиус описанной окружности. Если A=30°, B=105°, a=5, найдите значения R и c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
'В треугольнике ABC с AB=6, BC=4, CA=5 пусть D будет точкой, в которой биссектриса угла B пересекает сторону AC. Найдите длину отрезка BD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
'В треугольнике ABC, где AB = 3, AC = 2, и ∠BAC = 60°, пусть D будет точкой пересечения медианы угла A и BC. Найдите длину отрезка AD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
'Проблема измерения 126 (Плоский) (1) (1) (0) Из двух точек A и B, находящихся на расстоянии 100 метров друг от друга, были произведены измерения для определения двух точек P и Q на противоположном берегу реки, с полученными значениями, как показано на рисунке. (1) Найдите расстояние между A и P. (2) Найдите расстояние между P и Q. Основы 107, 120, 121 Расстояния и направления (сегменты и углы) могут рассматриваться как стороны и углы треугольников. Подумайте, на какой треугольник на диаграмме сосредоточиться, и думайте, когда применять правило синусов или косинусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.98
'В треугольнике ABC, если sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7, найдите соотношение cos A: cos B: cos C.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
'Базовый пример 133 Длина биссектрисы угла в треугольнике (2)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
'Базовый пример 106 Прямоугольный треугольник и тригонометрические соотношения\nВ треугольнике ABC, как показано на рисунке, найдите следующее:\n(1) Значения sinθ, cosθ, tanθ\n(2) Длины отрезков AD и CD'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'Были взяты измерения с точек A и B, которые находятся на расстоянии 50 метров друг от друга, до точек P и Q на противоположном берегу реки, что привело к значениям, показанным на диаграмме. Рассчитайте расстояние между точками P и Q.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'В треугольнике ABC, если 7/sin A=5/sin B=3/sin C, найти меру наибольшего угла в треугольнике ABC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'В равнобедренном треугольнике ABC, где угол A равен 36 градусов, а BC = 1, пересечение биссектрисы угла C и стороны AB называется D.\n(1) Найдите длины отрезков DB и AC.\n(2) Снова найдите длины отрезков DB и AC. Используя результат из пункта (1), определите значение косинуса 36 градусов.\n[Источник: Университет Кобе Гакуин]\nБазовый курс 106'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'Пример Задача 140 Минимальная Площадь Треугольника\nДан равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 2. Точки D на стороне AB и E на стороне CA таковы, что AD=CE. Пусть S - площадь четырехугольника DBCE.\n(1) Найдите минимальную длину отрезка DE и длину отрезка AD в этой точке.\n(2) Найдите минимальное значение S и длину отрезка AD в этой точке.\nИзвестно по базам 66, 121, 131'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
'Возьмем точку E на стороне BC, такую что AB // DE, тогда четырёхугольник ABED является параллелограммом.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Используйте синус-теорему для определения наибольшего угла треугольника ABC. Данные условия следующие: син A : син B : син C = 5 : 16 : 19.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
"Слово, используемое для описания уклона дорог и железных дорог, - это градиент. Используя 'таблицу тригонометрических соотношений', ответьте на следующий вопрос. (1) Наклон дороги часто выражается в процентах (%). Проценты показывают, насколько метров повышается высота, когда проходится 100 метров по горизонтали. На определенной дороге есть знак, указывающий на 23%. Примерно сколько градусов составляет уклон этой дороги?"
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'(1) В треугольнике ABC, если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, докажите, что BD:DC = AB:AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
'Найдите длины оставшихся сторон и размеры углов \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ в каждом из следующих случаев: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'Пусть D - точка, разделяющая сторону AB △ABC внутренне в пропорции 1:2, E - точка, разделяющая сторону AC в пропорции 2:1 внутренне, и F - точка, разделяющая сторону BC в пропорции t:(1-t). Здесь t - действительное число, удовлетворяющее условию 0<t<1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
'В тетраэдре ABCD точки P, Q, R, S являются точками, внутренне делящими рёбра AB, CB, CD, AD в соотношении t:(1-t) [0<t<1].'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
'На координатной плоскости TR, когда концы A и B отрезка AB длиной 6 перемещаются вдоль осей y и x соответственно, следует определить траекторию точки P, которая делит отрезок AB в соотношении 3:1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Объясните следующие кривые:\n(1) Эллипс , сдвинутый параллельно к оси на 2 единицы и к оси на -3 единицы; центр в точке (2, -3); фокусы в точках (2+√5, -3), (2-√5, -3)\n(2) Гипербола , сдвинутая параллельно к оси на -2 единицы и к оси на -3 единицы; вершины в точках (0, -3), (-4, -3); фокусы в точках (√29-2, -3), (-√29-2, -3); асимптоты - две линии , y^{2}=4xxyx=-3"'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
'(4) В декартовой системе координат пусть кривая, представленная полярным уравнением , будет обозначена как , а точки на с полярными координатами и будут обозначены как и , соответственно. Кроме того, пусть - это прямая, проходящая через и \\mathrm{B }, и пусть - это окружность с центром в радиусом, равным длине отрезка .\n(1) Найдите полярное уравнение прямой .\n(2) Найдите полярное уравнение окружности .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
'Докажите, что середины диагоналей AG и BH параллелограмма ABCD-EFGH совпадают.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
'Траектория точек с постоянным отношением расстояний от точки и прямой'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
'В треугольнике OAB пусть точка D делит сторону AB внутренним образом в пропорции 2:1, точка E является образом точки D при симметрии относительно прямой OA, а точка F - пересечение перпендикуляра из точки B на прямую OA. Пусть вектор OA равен a, а вектор OB равен b так, что |a|=4 и a⋅b=6.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
'(1) Окружность с центром в середине стороны BC и проходящая через точку A.\n(2) Окружность с точкой деления стороны BC в соотношении 3:2 и точкой A как диаметр.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
'(2) Докажите, что \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ перпендикулярен плоскости QTV.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
'Попробуйте доказать следующие свойства фигуры, используя комплексную числовую плоскость.\nДля четырехугольника ABCD\n(1) AB·CD+AD·BC≥AC·BD справедливо.\n(2) Равенство выполняется в (1), когда четырехугольник ABCD вписан в окружность.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
'(1) Найдите угол θ, образованный двумя плоскостями α и β. Обратите внимание, что 0° ≤ θ ≤ 90°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
'Используя комплексную плоскость, докажите следующие теоремы: (1) В треугольнике ABC, пусть D и E будут серединами сторон AB и AC соответственно. Тогда BC // DE и BC=2DE (Теорема середины). (2) В треугольнике ABC, пусть M будет серединой стороны BC. Тогда уравнение AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) верно (Теорема медианы).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'В пространстве есть четыре точки O, A, B, C, не находящиеся в одной плоскости. Пусть s и t - это вещественные числа, удовлетворяющие 0<s<1,0<t<1. Пусть точка A0 делит отрезок OA в пропорции 1:1, точка B0 делит отрезок OB в пропорции 1:2, точка P делит отрезок AC в пропорции s:(1-s), а точка Q делит отрезок BC в пропорции t:(1-t). Кроме того, предположим, что четыре точки A0, B0, P, Q лежат в одной плоскости. (1) Выразите t через s. (2) При условии |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60°, и ∠POQ=90°, найти значение s.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
'Пример 36 Минимальная длина ломаной линии (пространство)\nВ координатном пространстве рассмотрим точки A(1,0,2), B(0,1,1).\n(1) Когда точка P движется в плоскости xy, найдите минимальное значение AP+PB.\n(2) Когда точка Q движется на оси x, найдите минимальное значение AQ+QB.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
'В параллелограмме ABCD, точка E делит сторону AB в отношении 3:2, точка F делит сторону BC в отношении 1:2, а середина стороны CD - точка M. Пусть P будет пересечением отрезков CE и FM, а Q - пересечением линии AP и диагонали BD. Если вектор AB обозначается как a, а вектор AD как b, выразите векторы (1) AP и (2) AQ через a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'Пример 23 Положение центра тяжести, центра описанной окружности и ортоцентра треугольника\nПусть центр тяжести треугольника ABC будет G, а центр описанной окружности - E, докажем следующее:\n[Университет Яманаши]\n1. Вектор GA + Вектор GB + Вектор GC = Вектор 0\n2. Вектор EA + Вектор EB + Вектор EC = Вектор EH, где H - ортоцентр треугольника ABC.\n3. Точки E, G и H лежат на одной прямой и EG: GH = 1:2'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
'Найдите координаты точки R, которая равноудалена от точек O(0,0,0), F(0,2,0), G(-1,1,2) и H(0,1,3).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'Найдите полярное уравнение прямой с углом α с начальной прямой.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Пример 132: Использование параметрического представления для определения минимальной площади треугольника, образованного касательной к эллипсу и координатными осями'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
'Докажите условия, когда треугольник ABC является равнобедренным треугольником с AB=BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'(3) Фигура, образованная проходящим через отрезок AP, является черной областью на правой фигуре, включая граничную линию. Здесь G и H - точки пересечения двух касательных линий, проведенных из точки A на окружность K. cos∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2, 0 < ∠AEH < π, поэтому ∠AEH = π/3. Кроме того, ∠AEH = ∠AEG, поэтому ∠GEH = 2/3π. Таким образом, площадь S фигуры, образованной проходящим через отрезок AP, равна S = 2 * △AEH + (площадь круга K) - (площадь сектора EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'Эти два касательных проходят через точку P(x_{0}, y_{0})'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'Уравнение касательной в точке P(x1, y1) есть (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a), а x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. Когда x=a, и y1 ≠ 0, мы получаем y = b^2(x1 - a)/(a y1). Когда x=-a, и y1 ≠ 0, мы получаем y = -b^2(x1 + a)/(a y1). Таким образом, Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1)), R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). Следовательно, центр окружности C1 с диаметром QR это (0, -b^2/y1), и если радиус это r, тогда r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). Таким образом, уравнение окружности C1 это x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
'Если четырёхугольник ABDC является параллелограммом, найдите значения a, b, c из вектора AB = CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
'Найдите острый угол, образованный следующими двумя линиями.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'(1) В треугольнике ABC, где AB=8, BC=7, и CA=5, пусть I будет центром вписанной окружности. Выразите вектор AI через векторы AB и AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
'Точка Q движется по окружности радиусом 5 с центром в точке O, а точка P движется по окружности радиусом 1 с центром в точке Q. В момент времени t углы, образуемые OQ и QP с положительным направлением оси x, равны соответственно t и 15t. Если угол, образуемый прямой OP с положительным направлением оси x, равен ω, найдите dω/dt.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'В правильной тетраэдре ABCD со стороной 2 найдите скалярное произведение вектора AB и вектора AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
'Найти уравнение прямой, которая делит площадь треугольника ABC с вершинами A(20,24), B(-4,-3) и C(10,4) и проходит через точку P, делящую сторону BC в соотношении 2:5.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'Точка внутреннего деления и точка внешнего деления\nКоординаты точки, которая делит отрезок AB в соотношении m:n, равны\nВнутреннее деление ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nВнешнее деление ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.52
'На координатной плоскости параболы C₁: y=-p(x-1)²+q и C₂: y=2x² касаются одной и той же прямой в точке (t, 2t²). Здесь p и q - положительные вещественные числа, а t находится в диапазоне 0 < t < 1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'Найдите координаты точки P, находящейся на одинаковом расстоянии от точек A(3,3), B(-4,4) и C(-1,5).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'Найдите координаты точки P на оси y, находящейся на одинаковом расстоянии от точек A(3, -4) и B(8, 6).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'(2) В треугольнике ABC, пусть D будет точкой, делящей сторону BC в соотношении 1:3. Докажите, что уравнение 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} справедливо.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
'Для точки P(x, y) на плоскости XY, отличной от начала координат O, давайте определим точку Q, удовлетворяющую следующим условиям: (A) Q находится на луче OP с O в качестве начальной точки. (B) Произведение длин отрезков OP и OQ равно 1. (1) Выразите координаты Q через x и y. (2) Определите локус Q при движении точки P вокруг окружности с уравнением (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2, исключая начало координат. (3) Определите локус Q при движении точки P вокруг окружности с уравнением (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'Найдите координаты точки P, находящейся на равном расстоянии от точек A(3,3), B(-4,4) и C(-1,5).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
'Пусть на окружности с центром в точке O на плоскости и радиусом 1 заданы три различные точки A, B, C. Доказать, что радиус r вписанной окружности треугольника ABC не превышает 1/2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'На математической плоскости xy с началом координат в точке O есть две точки P и Q на полулуче, удовлетворяющие условию OP · OQ = 4. Когда точка P движется вдоль кривой (x-2)² + (y-3)² = 13, (x, y)≠(0,0) исключая начало координат, найдите траекторию точки Q.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
'Найдите траекторию точек, находящихся в соотношении расстояния 2:1 от точек A(-4,0) и B(2,0).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.63
'Иллюстрируйте радиусы следующих углов. Кроме того, определите, в каком квадранте они находятся.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
'Угол α таков, что 0<α<π/2, и радиус, представляющий α, совпадает с радиусом, представляющим 6α. Найдите величину угла α.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'(5) Найдите локус точек, где угол, образованный в фиксированных точках A и B, является постоянным углом α.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'В треугольнике ABC пусть длины сторон BC, CA и AB будут a, b, c соответственно. Если треугольник ABC вписан в круг радиуса 1 и ∠A = π/3, найдите максимальное значение a + b + c.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.67
'Синусоида, появляющаяся в форме, образованной разрезанием цилиндра'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'Докажите, что в треугольнике ABC, где размеры углов A и B равны α и β соответственно, а длины их противоположных сторон обозначаются как a и b, неравенство b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 соблюдается при условии 0 < α < β < π.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
'Рассмотрим Математику III\nТакже, рассмотрим коническую кривую, когда значение 𝑡 является решением. Докажите, что это гипербола или эллипс, и найдите координаты фокусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
'Исходя из политики редактирования диаграмм, пожалуйста, решите следующую задачу:\n2. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника. (Используя теорему Пифагора)\nПроблема: Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами сторон 3 см и 4 см.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'Выразите X, Y через x, y и θ, когда точка P(X, Y) поворачивается вокруг начала координат O на угол θ, чтобы получить точку Q(x, y).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
'Что касается полярных координат, найдите полярные уравнения следующего круга и линии. Предположим, что a>0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
'Пусть полярные координаты точек A, B, C и D будут соответственно (r₁, θ+π/6), (r₂, θ), (r₃, θ) и (r₄, θ+π/3). Треугольник ABC - равнобедренный треугольник с AB=AC, а треугольник DBC - равнобедренный треугольник с DB=DC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
'Для треугольника с длиной стороны 2 и , пусть длина стороны будет и площадь будет . [Похоже на Айтицхи университет образования] (1) Выразите через . (2) Найдите максимальное значение . Также определите длины трех сторон .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.79
'Пожалуйста, укажите условие, при котором точки A(α), B(β), C(γ), D(δ) таковы, что AB и CD перпендикулярны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'В равнобедренной трапеции ABCD с AD // BC, где AB=2 см, BC=4 см, и ∠B=60°. Если ∠B увеличится на 1°, на сколько увеличится площадь S трапеции ABCD? Предположим, что π=3.14.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'В полярных координатах найдите полярное уравнение локуса точек P, где отношение расстояния от полюса O и линии g постоянно, проходящее через точку A(3, π) и перпендикулярно к начальной линии.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
'Через точку О найдите полярное уравнение прямой, образующей угол с начальной прямой и α.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
'Условия, когда четырехугольник вписан в окружность'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
'В комплексной плоскости пусть три точки O(0), A(α), B(β) образуют треугольник OAB, где ∠AOB = π/6 и OA/OB = 1/√3. Тогда выполняется α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'Учитывая, что треугольник ABC с вершинами A(-1), B(1), C(√3i) образует равносторонний треугольник и треугольник PQR с вершинами P(α), Q(β), R(γ) образует равносторонний треугольник. Докажите, что уравнение α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 верно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
'Определите значение параметра a, чтобы прямые AB и AC были перпендикулярными.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
'Как показано справа, когда OP1=1, а P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2, ... продолжаются бесконечно, к какой точке приближаются бесконечно близко точки P1, P2, P3, ...?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'В треугольнике OAB пусть точка D делит сторону AB в отношении 2:1, точка E является симметричной точкой точки D относительно прямой OA, а точка F - пересечение перпендикуляра от точки B к прямой OA и прямой OA. Пусть вектор OA=a, вектор OB=b, где |a|=4 и a∙b=6. (1) Вектор OF можно выразить, используя вектор a. (2) Вектор OE можно выразить, используя векторы a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.89
'На плоскости имеется треугольник OAB с OA=8, OB=7, AB=9 и точка P, где OP=шOA+тOB выражается (ш, т - действительные числа).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
'Докажите, что точки A, B и C удовлетворяют AB ⊥ AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
'Для диапазона существования точек на плоскости внутри треугольника OAB, если \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \, то диапазон для точки P'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
'Когда длина отрезка AB равна 8, точка A лежит на оси x, и точка B перемещается вдоль оси y, найдите траекторию точки P, делящей отрезок AB в соотношении 3:5.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
'(2) В правильном шестиугольнике ABCDEF выразите вектор FB через вектор AB и вектор AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
'На плоскости есть правильный пятиугольник со стороной длиной 1, и его вершины последовательно A, B, C, D, E. Ответьте на следующие вопросы:\n(1) Докажите, что сторона BC параллельна отрезку AD.\n(2) Пусть пересечение отрезков AC и BD будет F. Опишите форму четырехугольника AFDE и укажите его имя и причину.\n(3) Найдите отношение длин отрезков AF и CF.\n(4) Если вектор AB=a и вектор BC=b, выразите вектор CD через векторы a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
'Найдите расстояние между точками A и B, если координаты точки A равны (3, π/4), а координаты точки B равны (4, 3π/4) в полярных координатах.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
'В равностороннем треугольнике ABC со стороной а, пусть P1 будет основанием перпендикуляра из вершины A к стороне BC, Q1 - основание перпендикуляра из P1 к стороне AB, R1 - основание перпендикуляра из Q1 к стороне CA, и P2 - основание перпендикуляра из R1 к стороне BC. Повторяя эту процедуру, точки P1, P2, ..., Pn определяются на стороне BC. Найдите точку, к которой приближается Pn.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
'В треугольнике ABC есть точка P внутри. Пусть Q будет пересечением AP и стороны BC, так что BQ:QC=1:2, и 24AP:PQ=3:4. Докажите, что уравнение 4PA+2PB+PC=0 верно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.00
'Предположим, что периметр треугольника ABC равен 36, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 3. Найдите площадь треугольника QBC, когда точка Q удовлетворяет условию 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
'В треугольнике OAB, пусть точка, делящая сторону AB в соотношении 2:1, будет D, точка симметричная точке D относительно прямой OA, будет E, а точка пересечения перпендикуляра от точки B до прямой OA будет F. Пусть →OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6. (1) Выразите →OF через вектор a. (2) Выразите →OE через векторы a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
'В четырёхугольнике ABCD, где AD // BC и BC=2AD, доказать (1), что точки P и Q лежат на линии AB. (2) Показать, что точки P, Q и D коллинеарны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'Точка Q делит сторону AC треугольника ABC внутренне в отношении 1:2, а точка P делит сторону BC в отношении m:n (m>0, n>0). Пусть R - точка пересечения отрезков AP и BQ. Прямая, проходящая через точку R, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках D и E. Кроме того, пусть vec{b}=→AB, а vec{c}=→AC.\n(1) Выразите вектор AR через m, n, vec{b} и vec{c}.\n(2) Пусть k=AB/AD+AC/AE. Покажите связь между m и n так, чтобы k оставалась постоянной независимо от положения точки D на отрезке AB, и найдите значение k в этом случае.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'Доказать, что центр вписанной окружности P(z) треугольника OAB с вершинами O(0), A(α) и B(β) удовлетворяет уравнению z=|β|α+|α|β/|α|+|β|+|β-α|.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
'Пройдите через полюс O и найдите полярное уравнение прямой, образующей угол α с начальной линией.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
'Когда точка z движется на следующей фигуре, какую фигуру рисует точка w, представленная как w=(-√3+i) z+1+i? (1) Окружность с радиусом 1/2 с центром в -1+√3i (2) Перпендикуляр, делящий пополам отрезок, соединяющий 2 точки 2,1+√3i'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
'В четырехугольнике ABCD, где AD // BC и BC = 2AD. Ответьте на следующие вопросы, когда точки P и Q удовлетворяют условиям.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
'Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAB с различными точками O(0), A(α), B(β) в качестве вершин - это P(z), где z удовлетворяет уравнению z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α|).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'В треугольнике OAB, пусть точка С делит сторону OA в соотношении 2:1, а точка D делит отрезок BC в соотношении 1:2. Пусть E будет точкой пересечения прямой OD и стороны AB. Выразите следующие векторы через вектор OA и вектор OB.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
'В параллелограмме ABCD пусть точка E делит сторону AB в отношении 3:2, точка F делит сторону BC в отношении 1:2, а M - середина стороны CD. Пусть P будет пересечением прямой CE и FM, а Q - пересечением прямой AP и диагонали BD. Если вектор AB=a, а вектор AD=b, выразите векторы (1) AP и (2) AQ через a и b.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
'(3) Поскольку , координаты точки A равны , следовательно, угловой коэффициент линии OA равен , поэтому угловой коэффициент искомой линии равен . Следовательно, уравнение\n\nто есть \nПодставляя \n\n'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
'В треугольнике OAB пусть точка C делит сторону OA в отношении 2:3, а точка D делит сторону OB в отношении 4:5. Пересечение отрезков AD и BC - точка P, а пересечение прямой OP с стороной AB - точка Q. Если \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\, а \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\, выразите \\\overrightarrow{OP}\ и \\\overrightarrow{OQ}\ через \\\vec{a}\ и \\\vec{b}\. [Похоже на Kinki Univ.]'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
'Пусть \ a>0 \. Исследуем кривую \ K \, которую представляет полярное уравнение \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (кардиоида). Ответьте на следующие вопросы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
'Когда линия, проходящая через центр тяжести G треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках 25D и E соответственно, где D отличается от точек A и B, а E отличается от точек A и C, докажите, что DB/AD + EC/AE = 1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
'(4) Для плоскости PQR и ребра OD справедливо следующее. Когда q=1/4, какова плоскость PQR? Когда q=1/5, какова плоскость PQR? Когда q=1/6, какова плоскость PQR?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
'(1) Доказательство: В тетраэдре OABC, для t, удовлетворяющего условию 0<t<1, проведем точки K, L, M, N, где ребра OB, OC, AB, AC соответственно разделяются внутренне в пропорции 43t:(1-t). Доказать, что четырехугольник KLNM является параллелограммом.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
'Представление компонентов скалярного произведения'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
'Путем решения для y в (1) получаем y = ±(b/a)√(x² - a²), таким образом y = ±(b/a)x√(1 - a²/x²). При приближении x к бесконечности, y приближается к ±(b/a)x. То же самое происходит, когда x отрицателен, а его абсолютное значение приближается к бесконечности. Следовательно, две линии y = (b/a)x и y = -(b/a)x являются асимптотами гиперболы (1) (линии, к которым кривая приближается по мере близости). Эти асимптоты также представляют собой две линии, представленные выражением (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0, с заменой 1 справа от (1) на 0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
'Найдите условие, чтобы показать, что AB параллельно CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
'Похожести и различия между плоскостью и пространством 2'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
'Найдите условия, при которых четырехугольник PQSR будет параллелограммом.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
'Рассмотрим равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 1 на плоскости. Для точки P, вектор v(P) задается как v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
'В комплексной плоскости, если A(0), B(β), C(γ), найдите комплексные числа, представляющие точки E и G.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
'Для точек A(1,2), B(2,3), C(-1,2) найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной BC. Найдите острый угол α, образованный прямыми x-2y+3=0 и 6x-2y-5=0.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
"При изменении k от 1 до 2, отрезок A'B' параллельно двигается от отрезка AB до CD, как показано на диаграмме."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
'В трапеции ABCD, показанной справа, где AD=a и BC=b. Пусть E будет точкой, делящей AB в соотношении m, а F будет пересечением CD с прямой через E, параллельной AD, тогда EF=(na+mb)/(m+n) выполняется.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
'Какая кривая получится при сжатии или увеличении круга x^2 + y^2 = 4 следующим образом?\n(1) Уменьшение вдоль оси y в 2 раза\n(2) Увеличение вдоль оси x в 3 раза'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
'Пусть O - центроид треугольника ABC. Прямая l, проходящая через точку O, но не проходящая через вершину A, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть S - площадь треугольника ABC, а T - площадь треугольника APQ. Определите уравнение прямой l, минимизирующей T / S, и найдите минимальное значение T / S.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
'(1) Окружность с радиусом 1, центр которой находится в точке, делящей отрезок AB в соотношении 2:3\n(2) Окружность с диаметром AD, где точка D делит сторону BC в соотношении 3:2'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
'Внутри прямоугольного треугольника ABC0 с углом в 90 градусов строятся бесконечная серия квадратов B0B1C1D1, B1C2D2 и так далее. Пусть длина одной стороны n-го квадрата Bn-1BnCnDn будет an, а его площадь Sn. Для каждого натурального числа k большего 1 выполняется ak=ralpha(k-1), где a0=1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
'Докажите, что в трапеции ABCD, AD // BC и AD: BC = 1:2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
'Точки P и Q на сторонах OA и OB равностороннего треугольника OAB со стороной длиной 1. Когда площадь треугольника OPQ точно в половину площади треугольника OAB, найдите диапазон возможных значений длины PQ.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
'Найдите координаты точки Q, которая делит отрезок AB в соотношении m:n.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
'В правильном шестиугольнике , выразите через и .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
'Вопрос 62\n(1) Определите точки D, которые внутренне делят отрезок BC в соотношении 5:4, и точки E, которые внутренне делят отрезок AD в соотношении 2:1.\n(2) Найдите отношение V_{1} : V_{2}.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
'(1) Прямоугольный равнобедренный треугольник с BA=BC\n(2) Равносторонний треугольник\n(3) Прямоугольный треугольник с ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
'На комплексной плоскости пусть точки, представляющие z1, z2, z3, z4, z5, будут обозначены как A, B, C, D, E соответственно. Из следующих (0) по (5) правильными являются (E) и (G). (0) △ABC - равносторонний треугольник. (1) △BCD - равносторонний треугольник. (2) △OCE - прямоугольный треугольник. (3) △BCE - прямоугольный треугольник. (4) Четырехугольник ABDC - параллелограмм. (5) Четырехугольник AOEC - параллелограмм.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
'Докажите следующие теоремы, используя комплексную плоскость: (1) В треугольнике ABC, где середины AB и AC обозначаются как D и E соответственно, выполняется условие BC // DE и BC = 2DE (Теорема о средней линии). (2) В треугольнике ABC, когда середина BC равна M, уравнение AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) верно (Теорема о медиане).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
'Докажите, что в равнобедренном треугольнике ABC, взяв точку D на основании BC и нарисовав хорду ADE окружности треугольника ABC. В этот момент квадрат AB равен AD умножить на AE.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
'(2) В треугольнике точка лежит на продолжении стороны , точки и лежат на сторонах и соответственно, удовлетворяя следующим условиям: '
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
'Вопрос 51 | Размер сторон и углов в треугольнике\nВ треугольнике ABC, пусть M будет серединой стороны BC, а D - точкой пересечения биссектрисы угла A и стороны BC.\nДокажите следующие утверждения (1), (2):\n(1) AB > BD\n(2) Если AB > AC, то ∠BAM < ∠CAM'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
"Упражнение 44: Пусть пересечение AB и PQ будет R, а пересечение PQ и CD будет R'. Поскольку AD//BC, имеем PR:RQ=AP:BQ, PR':R'Q=PD:QC, AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC, PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. Следовательно, AP:BQ=PD:QC."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
'Теорема Пифагора и её обратное: В треугольнике ABC, если BC=a, CA=b, AB=c, то ∠C=90° тогда и только тогда, когда a²+b²=c².'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'В треугольнике ABC, согласно теореме косинусов, cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. Из (1) получаем, что AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90, и так как AD > 0, то AD = 3 \\sqrt{10}. Пусть ∠ADB = θ. В треугольнике ABD, согласно теореме косинусов, AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cosθ. Кроме того, BD:CD = 2:3, поэтому CD = \\frac{3}{2}BD. В треугольнике ADC, согласно теореме косинусов, AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. Следовательно, 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
'Объясните и докажите условия подобия треугольников.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'В треугольнике \ \\triangle ABC \, если точки \ P \ и \ Q \ лежат на сторонах \ AB \ и \ AC \ или на их продолжении, то выполняются следующие свойства: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
'В △ABC, так как OA=OC, угол OCA=угол OAC=40°, следовательно α=180°-2×40°=100°. Также, так как OA=OB, OB=OC, угол OAB=угол OBA=β, а угол OBC=угол OCB=25°. Следовательно, в △ABC, 2×40°+2×25°+2β=180°, откуда 2β=50°, и, таким образом, β=25°. Другое решение: Сначала найдем β, затем, согласно теореме об угле вписанной дуги, получим α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
'Пусть радиус описанной окружности будет R, согласно теореме синусов, 6/sin C = 2R, отсюда R = 8/√7 = 8√7/7. Пусть радиус вписанной окружности будет r, тогда △ABC = r/2(6+4+5), △ABC = 15√7/4, поэтому r = √7/2.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
'Упражнение: точка M делит сторону AB треугольника ABC в соотношении 1:2, а точка N делит сторону BC в соотношении 3:2. Пересечение линии AN и CM обозначается как O, а пересечение линии BO и стороны AC обозначается как P. Если площадь треугольника AOP равна 1, найдите площадь треугольника ABC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
'Задача нахождения длин или углов на чертеже: \\n, ,\\n, , а делит пополам,\\n, - равносторонний треугольник, где .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
'Углы, заключенные дугами PS и PT этой окружности, равны'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.63
'В математическом учебнике A, пример 29 на странице 337, AD является биссектрисой угла ∠A, поэтому BD:DC=AB:AC=12:9=4:3. Следовательно, DC=3 / (4+3) * BC = 3 / 7 * 6 = 18 / 7. Кроме того, AE является биссектрисой внешнего угла ∠A, поэтому BE:EC=AB:AC=12:9=4:3. BC:CE=(4-3):3=1:3. Таким образом, CE=3 * BC=3 * 6=18. Следовательно, DE=DC+CE=18 / 7 + 18=144 / 7.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
'Пример 53 Применение тригонометрии (1) Из края кровли здания высотой 20 м при взгляде вниз в определенную точку угол составляет 30 градусов. Найдите расстояние между этой точкой и зданием. Также найдите расстояние между этой точкой и краем крыши здания.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
'Пример 52 | Сравнение сторон и углов двух треугольников\nВ треугольниках ABC и DEF, AB = DE и AC = DF. Доказать, что если ∠A > ∠D, то BC > EF.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
'Согласно теореме о мощности точки, для точки пересечения P двух хорд AB и CD окружности верно, что PA * PB = PC * PD. Кроме того, когда проводится касательная от внешней точки P к окружности с точкой касания T, и линия, проходящая через P, пересекается с окружностью в точках A и B, тогда PA * PB = PT^2 верно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
'В треугольнике найдите решение, когда AR, BP и CQ равны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.69
'\\n Плоскость, проходящая через три точки A, B, C, обозначается как α, плоскость, проходящая через три точки A, C, D, обозначается как β, а плоскость, проходящая через четыре точки P, Q, R, S, обозначается как γ.\\n (1) Предположим, что PQ параллельно AC, тогда PQ пересекает AC в точке X на плоскости α.\\n Точка X находится на линии AC, потому что линия AC находится на плоскости β, следовательно точка X также находится на плоскости β. Кроме того, X находится на линии PQ, потому что линия PQ находится на плоскости γ, поэтому X также находится на плоскости γ. Следовательно, X лежит на пересечении плоскостей β и γ, что является линией RS. Однако это противоречит PQ // RS. Следовательно, PQ // AC. Точно так же, RS // AC.\\n Из PQ // AC имеем AP:PB=CQ:QB, поэтому AP/PB=CQ/BQ, что означает AP/PB\\cdot BQ/QC=1. Кроме того, из RS // AC имеем CR:RD=AS:SD, поэтому CR/RD=SA/DS, что означает CR/RD\\cdot DS/SA=1. Следовательно, (1)×(2) приводит к AP/PB\\cdot BQ/QC\\cdot CR/RD\\cdot DS/SA=1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
'Построение линейного отрезка заданной длины Когда даны линейные отрезки длиной 1, a и b, укажите процедуру построения отрезка длиной √(b/a).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
'Практика 109\nПусть H будет серединой стороны AB, а M - серединой стороны OC.\nПоскольку треугольники OAC и OBC являются равносторонними треугольниками, у нас есть AM перпендикулярно OC и BM перпендикулярно OC.\nСледовательно, плоскость ABM перпендикулярна OC.\nПусть V будет объемом, который необходимо определить, и треугольная пирамида OABM.\n∠AOP=60°\n∠POM=60°\nТреугольник OAB является равносторонним.\nИспользуйте результат из (1).\nПодставьте cosθ из (2).\nИсследуйте случай, когда квадратный корень из 11t²-6t+3 минимален. В этот момент S также минимален.\nОтносительно перпендикулярности линии и плоскости обратитесь к Основной информации 3 на странице D.207.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
'Угол места от точки A до вершины башни составлял 30°. Затем, из точки B, которая находится в 100 м ближе к башне по горизонтали, угол места до вершины башни составил 45°. Учитывая высоту глаз 1,6 м и √3=1,732, определите высоту башни.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
'Теорема о середине: В треугольнике ABC, если M и N - середины отрезков AB и AC, то MN // BC и MN = 1/2 BC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
'(1) Прямоугольный треугольник с B=90°\n(2) Равнобедренный треугольник с BC=CA\n(3) Равнобедренный треугольник с AB=CA или треугольник с A=120°'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'Имеем AB=3 и AR:RB=1:2, значит AR=1 и RB=2; имеем AC=7 и AQ:QC=1:6, значит AQ=1 и QC=6. В круге O, по теореме о мощности точки, AR * AB=AQ * AP, откуда 1 * 3=1 * AP, и следовательно AP=3. Следовательно, PC=7-3=4. Рассмотрим треугольник ARC и линию PB, применяя теорему Менелая, получаем, что CP/PA * AB/BR * RS/SC=1, то есть 4/3 * 3/2 * RS/SC=1.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
'В непрямоугольном треугольнике ABC пусть P, Q, R будут точками, симметричными центру описанной окружности O относительно сторон BC, CA и AB соответственно.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
'Объясните площадь треугольника с описанной окружностью и вписанной окружностью.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
'(2) По формуле косинуса, . Поскольку является острым углом, то , а также, поскольку , то . Решением является . Подставив в (1), мы получаем . Так как является острым углом, то . Таким образом, .'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.85
'Упражнение 35 |III ⇒ Книга стр. 390\n(1) В △ABF и △DCF, по теореме об углах, вписанных в окружность,\n\n∠BAF=∠CDF,\n∠ABF=∠DCF\nСледовательно, △ABF подобен △△DCF\n\nСоотношение их площадей\n△ABF: △DCF=1: 4=1²: 2²\n\nСледовательно, коэффициент подобия 1: 2\nПоэтому, FC=2, FB=2y, FD=2, FA=2x'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
'Найдите угол вписанного в круг четырехугольника на радиусе 35'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
'По правилу синуса 3/ sin 60°= b / sin 45°=2 R b=3 ⋅ (1/√2) ⋅ (2/√3)=√6 R=3/(2 sin 60°)= 3/2 ⋅ (2/√3)=√3'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.89
"Докажите, что две окружности O и O' пересекаются в точках A и B.Пусть касательная к окружности O в точке A обозначается как l, а касательная к окружности O' в точке A обозначается как l'. Пусть C будет точкой пересечения l' и окружности O, отличной от A, а D будет точкой пересечения l и окружности O', отличной от A.(1) Докажите, что треугольник ABC и треугольник DBA подобны.(2) Докажите, что когда точки B, C и D коллинеарны, хорда AC проходит через центр окружности O.(3) Докажите, что когда точки B, C и D коллинеарны, и линия, проходящая через центр окружности O и точку B, пересекает l в точке E, (AC/AD)^2=AE/DE верно."
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
'При случайном выборе 4 различных точек из набора из 16 точек { (x, y) | x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1, 2, 3 }, найдите следующие вероятности:'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
'Объясните и докажите условия соответствия треугольников. 1) Докажите, что треугольники соответствуют друг другу, когда их три стороны равны. 2) Докажите, что треугольники соответствуют друг другу, когда две стороны и угол между ними равны. 3) Докажите, что треугольники соответствуют друг другу, когда одна сторона и углы на её концах равны. 4) Объясните и докажите условия соответствия прямоугольных треугольников. 5) В частности, докажите, что треугольники соответствуют друг другу, когда гипотенуза и другая сторона равны. 6) Докажите, что треугольники соответствуют друг другу, когда гипотенуза и один острый угол равны.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
'Аналогичная задача 9 => Страница 467 этой книги В △ABC, согласно закону косинусов, b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos 60° = a^2 + c^2 - ac = (a^2-2ac+c^2)+ac Поэтому ac=b^2-(a-c)^2; Следовательно ac=(b+a-c)(b-a+c)'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
'На правой схеме AB = BC = CD = DE = EF. Точка C делит отрезок CD внешне в соотношении 3:2 в точке A и в соотношении 2:3 в точке B.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
'(1) На рисунке 1, сколько различных кратчайших путей существует от точки A до точки B?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
'Пример 32 ⇒ Страница 342 книги\n(1) В △ABC, поскольку AD - биссектриса угла A,\nBD:DC=AB:AC=3:4\nСледовательно, BD=3/(3+4)BC=3/7×6=18/7\nВ △ABD, поскольку BI - биссектриса угла B,\nAI:ID=BA:BD=3:18/7=7:6'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
'Вот математические задачи, основанные на формуле косинусов.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
'Упражнение 42: Учебник стр. 338 (1) △BEF и △AEF, с BE и AE в качестве их основ соответственно, имеют равные высоты, поэтому △BEF: △AEF = BE: AE. В △ABD, отрезок DE является биссектрисой угла ∠ADB, следовательно BD: AD = BE: AE. Из (1), (2) следует △BEF: △AEF = BD: AD. В результате объединения (1) и (2) получаем △BEF: BD = △AEF: AD. Аналогично, из (1) следует △CEF: △AEF = CD: AD. Значит △CEF: CD = △AEF: AD. Таким образом, △BEF: BD = △CEF: CD. Следовательно △BEF: △CEF = BD: CD. В △ABC отрезок AD является биссектрисой угла ∠BAC, поэтому AB: AC = BD: CD. (3), (4) влечет △BEF: △CEF = AB: AC.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.98
'В треугольнике ABC, где угол A равен 60 градусов, найдите длины AC (высота) и AB (гипотенуза).'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.00
'Количества, связанные с формами, такие как длина, углы, площадь и объем, взаимосвязаны из-за различных свойств форм. Используя эти связи, становится возможным вычислить неизвестные количества известных. Тригонометрические пропорции - это понятия, определенные с использованием свойств подобия треугольников. В этой главе исследуются отношения между количествами, связанными с формами, с использованием тригонометрических пропорций.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
'Пожалуйста, объясните разницу между теоремой Менелая и ее обратным утверждением.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
'В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C=90 градусов, AB=1. Пусть ∠B=θ. Проведем перпендикуляр CD из точки C на сторону AB, и перпендикуляр DE из точки D на сторону BC. Пусть F будет точкой пересечения AE и CD.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
'С вершины башни высотой 10 метров, глядя на вершину горы через пруд, угол возвышения составляет 30°. Кроме того, угол депрессии вершины горы, отраженный на поверхности воды, составляет 45°. Найдите высоту вершины горы.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
'A = 180°-(B+C) =180°-(110°+40°)=30° По правилу синусов a=2R sin A =2 ⋅ 7 sin 30° =2 ⋅ 7 ⋅ (1/2)=7'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
'Используя правило синусов, найдите следующие значения.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
'Имеется тетраэдр ABCD. Точки P, Q, R, S на отрезках AB, BC, CD, DA соответственно. Предположим, что точки P, Q, R, S коллинеарны и отличны от любой вершины тетраэдра. (1) Если PQ и RS параллельны, доказать, что уравнение AP/PB * BQ/QC * CR/RD * DS/SA = 1 выполняется. (2) Если PQ и RS не параллельны, доказать, что уравнение AP/PB * BQ/QC * CR/RD * DS/SA = 1 выполняется.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
'В треугольниках \ \\triangle POS \ и \ \\triangle PSH \ согласно (4) углы \ \\angle POS = \\angle PSH \, а \ \\angle P \ общий. Поэтому \ \\triangle POS \ и \ \\triangle PSH \'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
'Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
'Равносторонние треугольники, квадраты, пятиугольники и шестиугольники можно построить, но семиугольники нельзя. Среди правильных многоугольников некоторые можно построить, используя только линейку и циркуль, в то время как другие нельзя. Немецкий математик Гаусс уточнил условия возможности построения. Метод построения правильного 17-угольника, который он открыл в 19 лет, был записан в первой записи его дневника, найденной после его смерти. Говорят, что это открытие помогло Гауссу решиться жить математиком.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
Для ромба, у которого сумма длин диагоналей равна 10 см:
(1) Найдите максимальную площадь.
(2) Найдите минимальный периметр.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
Далее, если середина стороны обозначить как , тогда
\[
egin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}
\text { Следовательно } \quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-8 \overrightarrow{\mathrm{OM}}
\text { Следовательно, } \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \text { Таким образом }
\end{aligned}
\]
Таким образом, \( \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \), площадь в раза меньше.
C, O, M лежат на одной прямой в этом порядке. и имеют общую базу , следовательно, отношение площадей равно отношению высот.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
В треугольнике точка делит сторону в отношении внутренне. Покажите, что уравнение верно. [Чуо Университет]
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
Найдите траекторию следующей кривой.
(3) PF:PH = 2:1 поэтому PF=2PH
Следовательно, PF²=4PH² поэтому x²+(y-1)²=4(y+1)²
Простая задача: x²-3y²-10y-3=0
Т.е. x²-3(y+5/3)²=-16/3
Т.е. 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1
Следовательно, точка P лежит на гиперболе (1).
Обратно, все точки P(x, y) на гиперболе (1) удовлетворяют условию. Таким образом, траектория точки P - это гипербола 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
Есть четырехугольник , в котором и он не является параллелограммом. Пусть и — это середины сторон и соответственно, и пусть и — это середины диагоналей и соответственно. (1) Выразите и через и . (2) Докажите, что .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
В треугольнике △ABC, точка D делит отрезок AB в соотношении 3:1, а точка E делит отрезок AC в соотношении 2:3. Пусть P будет точкой пересечения отрезков BE и CD. Учитывая, что ∠AB = ∠c, выразите ∠AP через ∠b и ∠c.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
В треугольнике , если точка делит сторону внутренне в отношении , докажите, что уравнение выполняется.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
На плоскости xy, если эллипс (x^2/4) + y^2 = 1 смещен на 1 единицу в направлении оси x и на a единиц в направлении оси y, и полученный эллипс проходит через начало координат, тогда a= .
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
В △ABC пусть D — это середина стороны AC, E — это середина отрезка BD, а F — точка, делящая сторону BC в соотношении 1:2. Покажите, что три точки A, E и F лежат на одной прямой.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
Дана гипербола rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{9}=1 . Найдите уравнение кривой, координаты фокусов и уравнения асимптот после её параллельного переноса на 2 единицы по оси x и на -3 единицы по оси y.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
В параллелограмме пусть будет точкой, делящей внутренне в соотношении , а будет точкой, делящей диагональ внутренне в соотношении . Докажите, что три точки лежат на одной прямой.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
Пусть полюсом является точка O. Найдите полярное уравнение прямой, проходящей через точку A с полярными координатами (√3, π/6) и перпендикулярной прямой OA.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
Покажите следующее выражение. В треугольнике , где , и центроид . Выразите \overrightarrow{\mathrm{AI}}\, используя \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\, и \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}. В треугольнике \( \mathrm{ABC} точка пересечения биссектрисы угла ngle \mathrm{A} с стороной — это , следовательно . Следовательно, \overrightarrow{\mathrm{AD}}=rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10}. Далее, \mathrm{BD} = 5 imes rac{7}{10} = rac{7}{2}. Следовательно, \overrightarrow{\mathrm{AI}} = rac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} = rac{2}{3} imes rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}} + 7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10} = rac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AB}} + rac{7}{15} \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
ТРЕНИРОВОЧНОЕ ЗАДАНИЕ 25
Пусть имеет как середину , как середину отрезка , и как точку, делящую внутренне в отношении 1:2. Покажите, что точки лежат на одной прямой.