Плоская геометрия - Свойства базовых фигур (Точки, Линии, Углы, Треугольники, Четырехугольники, Окружности)

'Найдите значение k, представляющее круг, проходящий через начало координат (0,0).'

'Понимайте объяснение расстояния между 1 точками. Найдите формулы для расстояния между началом O и точкой P(a), и между точками A(a) и B(b).'

'(1) Какую форму представляет уравнение $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$?\n(2) Чтобы уравнение $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ представляло собой окружность, определите диапазон значений для константы $p$.'

'(1) Найдите координаты середины хорды, образованной пересечением прямой x+y=1 и окружности x^{2}+y^{2}=4, и определите длину хорды.'

'(1) Проходящий через ось x и ось y, и проходящий через точку A(-4,2). (2) Проходящий через точку (3,4), касающийся оси x, и имеющий свой центр на прямой y=x-1.'

'Постройте область, удовлетворяющую неравенствам $x^{2}+y^{2}>1$ и $|x| + |y| > 1$, и объясните их взаимосвязь.'

'Пример 29 | Форма треугольника Для 4 точек А(4,0), B(0,2), C(3,3), D, ответьте на следующие вопросы.'

'Найдите координаты точек внутреннего деления, точек внешнего деления и центроида в Примере 30'

'Практика (63=>Эта Книга стр.137) (2) Пусть координаты точки P будут (x, y), тогда из AP^2+BP^2=18 мы получаем {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18, упрощая получаем x^2+y^2-4y=0, что означает x^2+(y-2)^2=2^2. Следовательно, точки, удовлетворяющие условию, находятся на окружности (1). Напротив, любая точка на окружности (1) удовлетворяет условию. Следовательно, желаемая траектория представляет собой окружность с центром в (0,2) и радиусом 2.'

'Для отрезка прямой, соединяющего A (-3) и B (6), найдите координаты следующих точек: (1) Точка, делящая внутренне в соотношении 2:1 (2) Точка, делящая внешне в соотношении 2:1 (3) Точка, делящая внешне в соотношении 1:2 (4) Середина'

'Взяв прямую BC как ось x и точку P как начало координат, координаты вершин треугольника ABC могут быть выражены следующим образом: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\nгде b ≠ 0, c > 0. Проверьте уравнение 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²).'

'Что такое диаметр?'

'Найдите уравнение окружности, касающейся обеих осей x и y.'

'Найдите траектории следующих точек Q и R относительно точки P, двигающейся по параболе y=x^2 и двух точек A(3,-1), B(0,2).'

'Поскольку точка (3,4) лежит на прямой 3x-2y-1=0, искомая прямая проходит через точки (-7,-11) и (-1,6).'

'Упражнение (2) Парабола y=x^2 и прямая y=m(x+2) пересекаются в различных точках A и B. Найдите траекторию середины отрезка AB при изменении значения m.'

'Найдите стандартное уравнение окружности.'

''

'Когда глава 3 (28t) принимает все действительные значения, для трех точек A(t, t^{2}), B(t, t-2), C(t+√3, t^{2}-t-1), ответьте на следующие вопросы:\n(1) Докажите, что для каждого действительного числа t точки A и B различны.\n(2) Найдите все значения t, при которых треугольник ABC является прямоугольным.\n(3) Определите диапазон значений t, при которых треугольник ABC является остроугольным.'

'Уравнение перпендикулярного биссектрисы отрезка BC равно y-0=-2(x-5), что упрощается до y=-2x+10. Решив уравнения (4) и (5) одновременно, получаем x=4, y=2. Следовательно, центр описанной окружности находится в точке (4,2), а радиус равен sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5. Таким образом, искомое уравнение равно (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25.'

'Окружность с центром в (-2, 3) и радиусом 3'

'Когда точки пересечения 22 окружностей, окружности, проходящие через точки пересечения окружности и прямой, и уравнения линий относительно x, y записаны как f(x, y), кривая, представленная уравнением f(x, y) = 0 (включая случаи, когда это представляет собой линию), называется кривой f(x, y) = 0 и уравнение называется уравнением кривой.'

'Найдите уравнение касательной к точке P(4,6) на окружности.'

'Найдите значения константы k, при которых линии не образуют треугольник.'

'Результаты с (1) по (3) указывают на то, что координаты центра тяжести G треугольника PQR изменяются с $\\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right)$ на $\\left(-1, \\frac{5}{3}\\right)$.'

''

'Учитывая, что длина перпендикуляра, опущенного из точки (2,1) на прямую kx + y + 1 = 0, равна √3, найдите значение постоянной k.'

'Найдите уравнения линий параллельных и перпендикулярных к прямой 4x+3y-6=0, проходящих через точку пересечения прямых 2x-y-1=0 и x+5y-17=0.'

'Пересечение в точках (-1, 3) и (3, -1)'

'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'

'(2) (1) Из (1), в треугольнике △AOB, где ∠AOB = 90°, круг, проходящий через точки A, B, O, имеет AB как свой диаметр.'

'Практический пример 17 Площадь сектора'

'Найдите длину дуги и площадь сектора с радиусом 4 и центральным углом 150°.'

'Задача (1) На координатной плоскости, когда точки A(a, 2), B(5, 1), C(-4, 2a) лежат на одной прямой, найдите значение константы a.'

'(1) Он касается и оси x, и оси y, проходящей через точку A(-4,2). (2) Проходя через точку (3,4), касаясь оси x, с центром на прямой y=x-1.'

'Проблема нахождения координат точки P. Найдите координаты точки P (x, y), находящейся на прямой, соединяющей две точки A (6, -3) и B (1, 7).'

'Вне круга (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5. Включая границу.'

'Координаты центра тяжести G треугольника ABC с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) составляют (\\frac{x1+x2+x3}{3}, \\frac{y1+y2+y3}{3})'

'Математика II река 36 книг стр.119\n(1) Радиус r является расстоянием между центром (-5,4) и началом координат, поэтому r^2=(-5)^2+4^2=41\nСледовательно, уравнение окружности, которое мы ищем, это (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) Центр является серединой диаметра, поэтому его координаты (-3+3)/2, (6+(-2))/2 это (0,2)\nРадиус r - это расстояние между центром (0,2) и точкой A(-3,6), поэтому r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nСледовательно, уравнение окружности, которое мы ищем, это x^2+(y-2)^2=25\nДругое решение (2) На окружности, пусть P(x, y) будет точка, отличная от A, B, тогда AP ⊥ BP, таким образом, когда x ≠ -3, x ≠ 3, (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nСледовательно, (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 что есть x^2+(y-2)^2=25\nЭто уравнение выполняется при x=-3, x=3, то есть точки (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) удовлетворяют ему, поэтому это уравнение окружности, которое мы ищем.'

'Для стандартного угла определите, верно ли следующее утверждение, и объясните почему.\n"Углы, превышающие 360 градусов, не существуют"'

'Взяв OP как радиус.'

'(5) Прямая, параллельная оси y, перпендикулярна оси x. Поскольку координата x точки, через которую она проходит, равна 5, получаем x=5'

''

'Важный пример 58: Точки пересечения параболы и окружности\nПусть r - положительная постоянная. Рассмотрим параболу y=x^{2} и окружность x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}, и ответим на следующие вопросы:\n(1) Когда r=2, найдите все координаты точек пересечения между параболой и окружностью.\n(2) Исследуйте, как меняется количество точек пересечения между параболой и окружностью по мере изменения r по всем положительным действительным значениям.'

'Найдите значения a, когда прямые (a-2)x+ay+2=0 и x+(a-2)y+1=0 параллельны, совпадают или перпендикулярны.'

'Понять формулу для расстояния между 2 точками на плоскости. Найдите формулу для расстояния между точками O(0; 0), A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}).'

'Для двух окружностей \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \:\n(1) Найти уравнение прямой, проходящей через две точки пересечения двух окружностей.\n(2) Найти центр и радиус окружности, проходящей через две точки пересечения двух окружностей и точку (1,3).'

''

'(1) Найдите уравнение окружности с центром в точке (-5,4), проходящей через начало координат.\n(2) Найдите уравнение окружности с диаметром AB, где A(-3,6) и B(3,-2).'

'Даны окружности, обозначенные как C_1 и C_2, соответственно. (1) Пусть координаты точки касания на окружности C_1 будут (x_1, y_1) такие, что x_1^2 + y_1^2 = 9'

'Важный пример 49 Расстояние между точкой на параболе и прямой\nДаны две точки A(0,1) и B(2,5) и парабола y=x^{2}+4x+7. Пусть точка P движется по параболе.\n\nНайдите минимальное значение площади S треугольника PAB.'

'Постройте диапазон существования точки (a, b) на плоскости ab, когда отрезок прямой, соединяющий точки A(1,-2) и B(-2,1), пересекает параболу y=x^{2}+ax+b только в одной точке, отличной от A и B.'

'Рассчитайте расстояние между двумя точками на плоскости.'

'Уравнение прямой AB выглядит так: x/a + y/b = 1. Пусть точка P(a, b) и расстояние между точкой P и прямой AB равно d. Найдите максимальное значение d.'

'Количество узлов решетки'

'Пусть уравнение искомой окружности будет (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0). Условие того, что окружность (2) касается окружности C, это 0<r<5 и √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r, следовательно r=5-√4=3. Таким образом, искомое уравнение: (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'Найдите координаты точки Q:\n\nПусть координаты точки Q будут (x, y).\n(1) Пусть OP=r, а угол между OP и положительным направлением оси x будет α, тогда r cosα=-2, r sinα=3.\nСледовательно, x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π.'

'Координаты точек\nПусть точки A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) даны.\nНайдите расстояние между двумя точками.\nAB=√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)\nВ частности, расстояние от начала координат O до A равно OA=√(x₁² + y₁²)'

'Пример 55 Условия касания и уравнения окружностей и линий'

'Взяв точку B в качестве начала координат и ребро BC в качестве оси x, координаты каждой вершины могут быть представлены как A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a). Докажите, что PA² + PC² = PB² + PD².'

'На плоскости есть n окружностей, таких, что любые две окружности пересекаются, и три или более окружностей не пересекаются в одной и той же точке. На сколько частей делится плоскость этими окружностями?'

'Диапазон прохождения точек и кривых'

'Аналогичный вопрос Возьмем точку P(1/2, 1/4) на координатной плоскости. Когда две точки Q(α, α^2) и R(β, β^2) на параболе y=x^2 движутся так, что три точки P, Q, R образуют равнобедренный треугольник с основанием QR, найдите локус центра тяжести G(X, Y) треугольника PQR. [Токийский университет]'

'Парабола и круг имеют 4 общие точки, когда вершина параболы находится на отрезке линии, соединяющем точку (0, -37/4) и точку (0, -3) (исключая конечные точки), как показано на рисунке. Следовательно, -37/4 < a < -3.'

'Два окружности, касающиеся координатных осей и прямой'

'Взяв линию BC в качестве оси x и перпендикулярную биссектрису стороны BC в качестве оси y, середину отрезка BC, обозначенную как L, принимается за начало координат O, а координаты каждой вершины могут быть представлены как A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0). В этом случае L(0,0), M((a+c)/2, b/2), N((a-c)/2, b/2), поэтому координаты точек пересечения, делящих три медианы AL, BM, CN в пропорции 2:1, равны ((a/3), (b/3)), ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), и все они ((a/3), (b/3)), таким образом, три медианы AL, BM, CN пересекаются в этой точке.'

'Упражнение 1: Найдите радиус и общую площадь вписанных окружностей равносторонних треугольников'

'Иллюстрируйте радиус следующих углов. Также определите, в какой четверти они находятся.'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nСледовательно, BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2, поэтому △ABC - это прямоугольный равнобедренный треугольник с ∠C=90∘.'

'Найдите уравнение прямой'

'Практика Пусть вещественное число t удовлетворяет 0<t<1, рассмотрим 4 точки O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) на координатной плоскости. Кроме того, определим точку D на отрезке AB так, чтобы ∠ACO=∠BCD. Найдите максимальную площадь треугольника ACD. [Токийский университет]'

'Когда точка (x, y) движется внутри круга радиусом 1 с центром в начале координат, изобразите диапазон движения точки (x+y, x y).'

'Для круга $C: x^{2}+y^{2}=25$ ответьте на следующие вопросы:\n1. Найдите уравнение круга с центром в $(12,5)$, который касается окружности $C$ внешне.\n2. Найдите уравнение круга с центром в $(1,-\\sqrt{3})$, который касается окружности $C$ внутренне.'

'Найдите длину дуги и площадь сектора с радиусом 4 и центральным углом 150 градусов.'

'Пусть a и b - положительные действительные числа. Параболы C1: y = x^2 - a и C2: y = -b(x - 2)^2 обе касаются линии ℓ в точке P(x0, y0). Определим S1 как площадь, ограниченную прямой x = 0, параболой C1 и касательной линией ℓ, и S2 как площадь, ограниченную прямой x = 2, параболой C2 и касательной линией ℓ. Ответь на следующие вопросы:\n(1) Выразите a, x0, y0.\n(2) Выразите отношение площадей S1 : S2 через b.'

'Расстояние между точкой и прямой'

'Представьте в виде графика множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению y=x+1 с прямой в качестве границы. Также представьте на графике области точек, удовлетворяющие неравенствам y>x+1 и y<x+1.'

'Найдите координаты точки P на оси x, равноудаленной от точек A(-1,2) и B(3,4).'

'Найдите уравнение окружности, проходящей через точку (2,1) и касающейся оси x и оси y.'

'Базовый пример 70: Даны A(-2,1), B(6,-3), C(1,7), найдите координаты следующих точек.'

'Рассмотрим следующую задачу.'

'Исследуйте, как меняется количество точек пересечения между окружностью (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 и прямой y=2x-3 в зависимости от радиуса r.'

'Стандартный пример 103'

'Даны три вершины A(5,-2), B(1,5), C(-1,2), найдите длины трех сторон треугольника ABC и определите, к какому типу треугольника он относится.'

'Постройте область, представленную следующими неравенствами.'

'Найдите уравнение касательной, проведенной из точки A(3,1) к окружности x^2+y^2=2, а также координаты точки касания.'

'Пусть A и B будут точками пересечения параболы y=9-x^{2} и оси x. Когда в область, заключенную этой параболой и осью x, вписывается трапеция с отрезком AB в качестве основания, определите максимальную площадь этой трапеции.'

'Найдите количество узлов решетки внутри области, ограниченной уравнениями y = -x^2 + 8x и y = x (включая границу).'

'Пусть круг (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 обозначается как C.\n(1) Когда круг (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 обозначается как C₁, определите положение C и C₁.'

'Точка D находится в четвертом квадранте, окружность D касается оси x и оси y, поэтому координаты точки D можно предположить как (d, -d), радиус равен d. Поскольку точка D находится под линией l, у нас есть 3d - 4d - 12 < 0. Расстояние между точкой D и линией l равно |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5. Поскольку окружность D касается линии l, расстояние между точкой D и линией l равно (d + 12) / 5 = d. Следовательно, d = 3.'

'Найдите уравнение касательной к точке A на окружности с A(0,3) и B(8,9) в качестве диаметра.'

'Есть точки A(-1,3) и B(5,11).'

'Найдите значение a, когда два круга касаются друг друга.'

'Найдите уравнение прямой, которая касается окружности x^2 + y^2 = 9 и параллельна прямой 4x + 3y - 5 = 0.'

'Для точек A(0,1) и B(4,-1): (1) Найдите уравнение окружности C1 с центром на прямой y=x-1, проходящей через точки A и B. (2) Найдите уравнение окружности C2, симметричной окружности C1, найденной в (1) относительно прямой AB. (3) Пусть P и Q будут точками на окружностях C1 и C2, соответственно. Найдите максимальную длину отрезка PQ. [Университет Гунмы]'

'Есть параллелограмм ABCD с вершинами A(-2,3), B(5,4) и C(3,-1). Найдите координаты вершины D и точки пересечения P диагоналей.'

'Найдите уравнение следующей окружности:\n(1) Окружность с центром в (1,1), касающаяся прямой 2x-y-11=0'

'Известные точки А(6,0) и B(3,3), когда точка P движется по окружности x^2 + y^2 = 9, найдите локус центроида G треугольника ABP.'

"Пусть C и C' будут двумя точками пересечения A, B, а середина отрезка AB будет M. Следовательно, длина отрезка OM равна расстоянию между началом координат O и линией ℓ."

'Используя координаты (p, q) точки B, определите условие, при котором прямая AB будет перпендикулярна прямой ℓ, если угловой коэффициент ℓ равен 2.'

'Когда от точки P(1, ) до кривой C можно провести ровно 2 касательные, ответьте на следующие вопросы. (i) Найдите уравнения 2 касательных. (ii) Пусть Q и R будут точками касания между найденными линиями в (i) и кривой C. Предположим, что координата x точки Q меньше, чем координата x точки R. Найдите площадь S фигуры, ограниченной отрезком PQ, отрезком PR и кривой C.'

'Исследуйте позиционные отношения между следующими окружностями и линиями, и найдите координаты точек пересечения, если они существуют.'

''

'Предположим, на плоскости координат есть четыре окружности, которые касаются оси x, оси y и прямой 3x + 4y - 12 = 0. Упорядочите радиусы этих окружностей по возрастанию и объясните отношение между центром каждой окружности и прямой.'

'Найдите коэффициент наклона прямой, образующей угол \\frac{\\pi}{4} с прямой x-\\sqrt{3}y=0.'

'Для точки A(-2, -3) найдите координаты точки Q, симметричной точке P(3, 7).'

'Найдите уравнение касательной к точке P на следующем круге.'

'Пусть A будет пересечением двух прямых \ 3 x+2 y-4=0 \ (1) и \ x+y+2=0 \ (2). Определите уравнение прямой, проходящей через точку A и B(3,-2) для (1). Определите уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой \ x-2 y+3=0 \ для (2).'

'Имея A(-2,-3), B(3,7), C(5,2), найдите координаты следующих точек.'

'Давайте найдем уравнение касательной круга x^2 + y^2 = r^2 в точке (a, b).'

'Пусть прямая 3x+2y-4=0 будет (1), а x+y+2=0 будет (2), причем A - точка пересечения двух прямых. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и точку B(3,-2).'

''

'Какая форма треугольника ABC, образованного следующими 3 точками?'

'Найдите уравнения следующих окружностей:\n1. Окружность с центром в (2, -3) и радиусом 1\n2. Окружность с центром в (3, 4), проходящая через начало координат\n3. Окружность с диаметром, определяемым точками (3, 1) и (-5, 7)\n4. Окружность с центром в (5, 2), касающаяся оси y'

'Найдите центр и радиус окружности, проходящей через две точки пересечения двух окружностей \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) и касающейся прямой \ y=x \.'

'Точка A находится в первой четверти, окружность A касается оси x и y, поэтому координаты точки A могут быть приняты как (a, a), а радиус равен a. Поскольку точка A находится ниже прямой l, у нас есть 3a + 4a - 12 < 0. Расстояние между точкой A и прямой l равно |3a + 4a - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7a + 12) / 5. Поскольку окружность A касается прямой l, расстояние между точкой А и прямой l равно a, следовательно, (-7a + 12) / 5 = a, что приводит к a = 1.'

'Изучите формулы для координат внутренних и внешних точек деления и покорите пример 74!'

'Окружность и линия'

'Для каких значений постоянной k окружность C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 проходит через точки A(x, y) и B(x, y)? Здесь . Отрезок AB будет диаметром окружности C только тогда, когда k=.'

'Объясните, что такое третий квадрант.'

'Покажите границы области, представленные неравенствами.'

'Задача на определение отношений между прямой и окружностью, а также координат их точек пересечения.'

'Найдите уравнения следующих окружностей.'

"Уравнение прямой, проходящей через две точки пересечения C и C', равно \\square x+\\square y=15. Кроме того, площадь S треугольника с двумя точками пересечения и началом координат O равна S=\\square."

'Какие формы представляют эти уравнения?'

'Данные две прямые параллельны или перпендикулярны?'

'Овладейте формулой расстояния между точкой и прямой, завоевывайте пример 83!'

'Иллюстрировать радиус угла θ и указать, в каком квадранте находится угол'

'Когда треугольник ABC является прямоугольным треугольником с вершинами A(1,1), B(2,4) и C(a,0), найдите значение константы a.'

'Найдите координаты точки P на окружности круга с уравнением x^2-2x+y^2-4y+4=0, наиболее близкой к точке A(-1,1). Также найдите расстояние между точками A и P.'

'Точка на плоскости'

'(2) Прямоугольный равнобедренный треугольник, где \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \'

'Относительно точек A(0,1) и B(4,-1)'

'Глава 4: Фигуры и уравнения'

'Проблема определения расстояния между двумя точками на плоскости.'

'Найдите координаты следующих точек.'

'Дан круг TR: x^{2}+y^{2}=1, обозначаемый как C_{0}, а C_{1} - круг, полученный путем сдвига C_{0} на 2a единицы в положительном направлении оси x, где a - 0<a<1. Также, пусть A и B будут двумя точками пересечения C_{0} и C_{1} в первой четверти, а P(s, t) - точка на C_{0}, отличная от точек A и B. Найдите траекторию центроида G треугольника PAB по мере движения P в части C_{0}, исключающей две точки A и B.'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ - это равнобедренный треугольник'

'В этом случае расстояние между центром (0,0) окружности (1) и прямой (2) равно радиусу окружности √k, поэтому'

'Найдите количество касательных, которые можно провести из точки P(1, ) на кривую C: y=x^3-x.'

''

'Учитывая центр и радиус круга, найдите уравнение окружности.'

'Найдите уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом r.'

'Найдите круг, проходящий через пересечение 2 окружностей'

'Доказать, что для остроугольного треугольника ABC выполняется следующее уравнение: tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C.'

'Найдите локус середины P отрезка, соединяющего точку A(2,0) и точку Q при движении точки Q по окружности x^2 + y^2 = 1.'

'Исследуйте отношения положения между следующими окружностями и линиями, и, если есть общие точки, найдите их координаты.'

'Поскольку центр окружности C3 является началом O, расстояние между окружностью C и окружностью C3 равно PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\nПусть r3 будет радиусом окружности C3, так как окружность C3 вписана в окружность C, мы имеем r3 < 3 и √5 = 3 - r3\nСледовательно, r3 = 3 - √5\nТаким образом, уравнение окружности C3 будет x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'Постройте области, представленные следующими неравенствами.'

'Существует параллелограмм ABCD с вершинами A(-2,3), B(5,4) и C(3,-1). Найдите координаты вершины D и точку пересечения P диагоналей.'

'Найдите координаты середины отрезка и длину отрезка, отрезанного кругом с центром (2, 1) и радиусом 2 от прямой y=-2x+3.'

'Найти уравнение касательной, проведенной из точки A(7,1) к окружности x^2+y^2=25.'

'Найдите уравнение окружности, проходящей через точки (0,2) и (-1,1) с центром на прямой y=2x-8.'

'Когда парабола (1) и окружность (2) имеют 4 общие точки, найдите диапазон r.'

'Найдите центр и радиус окружности, проходящей через две точки пересечения двух окружностей x^2+y^2=2 и (x-1)^2+(y+1)^2=1, касающейся прямой y=x.'

'На рисунке 6, какая длина может быть прочитана с помощью штангенциркуля в интервалах скольки миллиметров?'

''

'Какие значения на вертикальной оси для точек (2) и (3)?'

'2021 Шибуя Академия средней школы Макухари (1-й раз) (4)\nКак показано на рисунке 5-1, существует призма $ABCD-EFGH$ с ромбической основой и всеми прямоугольными боковыми гранями. Точки $K, L, M, N$ находятся на ребрах $AB, BC, CD, DA$ соответственно, с $AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$.\nКроме того, точка O находится на диагонали $EG$ ромба $EFGH$, с $EO: OG = 1: 5$.\nСоединение каждой вершины четырехугольника $KLMN$ с точкой O создает пирамиду O-KLMN. Ответьте на следующие вопросы. Объем пирамиды можно рассчитать как (площадь основы) x (высота ÷ 3).'

'Объясните разницу между яркой красной звездой и темной красной звездой.'

'Имеется прямоугольный треугольник ABC, как показано на рисунке 2, и квадраты со сторонами AD, BD и CD соответственно. В этом случае, какова площадь квадрата со стороной CD в квадратных сантиметрах?'

'Каков размер клетки A на рисунке 12 (длина между PQ) в микрометрах? Используйте значение, полученное в (5), и ответьте целым числом.'

'полуостров'

'(3) Как показано на правом графике, скала B находится на высоте 48 м над уровнем моря и находится на расстоянии 70 м к северу от точки A, скала C находится на высоте 53 м над уровнем моря и находится на расстоянии 70 м к югу от точки A, просто запишите их местоположения.'

'(2) Линия, нарисованная точкой O, становится жирной линией. Во-первых, центральный угол полукруга с радиусом 6 см находится между (2) и (3). Добавляя часть между 8 и 9 (которая равна длине дуги 60 градусов), получаем в сумме 180×3+90+60×2 = 750 градусов. Кроме того, дуга между 3 и 4 имеет радиус 12+6=18 см и центральный угол 30 градусов. Следовательно, длина линии, нарисованной точкой O, вычисляется как 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 см.'

'На рисунке 5-1 изображен прямоугольный треугольник с углом A, где AB=3 см и AC=6 см, а также прямоугольный равнобедренный треугольник с углом D, где DE и DF равны 6 см. Ответьте на следующие вопросы о геометрической фигуре, образованной сочетанием этих прямоугольных треугольников. Примите значение числа пи равным 3,14. Также обратите внимание, что объем конуса можно вычислить как произведение площади основы на высоту, деленное на 3.'

'Высота над уровнем моря вулканического пепла слоя X составляет 53 метра на скале A и 44 метра на скале B. Когда они отмечены кружками на графике, это выглядит как показано на правом графике.'

'(4) Набор точек, где разница в расстоянии от A до источника звука и от B до источника звука постоянна и составляет 350 м, образует линию, указывающую на наличие источника звука. Это представлено (I). Кривая, где разница расстояний от двух точек до источника звука постоянна, называется гипербола.'

'Не влезает на лист А3'

'Кометы - это небесные тела в солнечной системе, которые вращаются вокруг солнца, как планеты. Кометы обладают характерной чертой внезапного блеска при приближении к солнцу издалека в солнечной системе и внезапного затемнения и исчезновения при удалении. Кроме того, как показано на рисунке 6, кометы имеют другой вид с длинным хвостом, волнующимся, в отличие от других небесных тел. Хвост кометы простирается в противоположном направлении от солнца. (5) Предположим, что была обнаружена новая комета, и она была видна сразу после заката в тот день. Опишите внешний вид хвоста кометы в виде прямой линии.'

'(3) Источник звука A находится в точке, до которой звук достигает за 1 секунду, а B - в точке, до которой звук доходит за 2 секунды. Следовательно, нарисовав окружность радиусом 350 × 1 = 350 метров с центром в A и окружность радиусом 350 × 2 = 700 метров с центром в B, две точки пересечения этих двух окружностей указывают на положение источника звука.'

'Выберите одно правильное утверждение, которое можно сделать на основе графика на рисунке 4.'

'Найдите длину каждой стороны следующего треугольника.'

'Уравнение плоскости, перпендикулярной двум осям координат'

'Прямоугольный треугольник с углом C равным 90 градусов'

'Пусть полярные координаты точки A будут (r₁, θ₁), а точки B - (r₂, θ₂). Найдите площадь треугольника OAB, обозначаемую как S.'

'В параллелограмме ABCD, пусть M будет серединой стороны AB, E - точкой, делящей сторону BC на 1:2, а F - точкой, делящей сторону CD на 3:1. Если →AB=b и →AD=d'

'Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной 1. Когда точка P движется вдоль стороны AB, а точка Q движется вдоль стороны CD независимо, найдите область, через которую может пройти точка R, которая делит отрезок PQ в соотношении 2:1.'

'Хотя можно прямо подставить z=x+yi в уравнение (3)(2) и вычислить его, вычисления становятся очень сложными (см. первое рассмотрение после ответа). Поэтому сначала рассмотрим уравнение эллипса, сходного с формой C и имеющего фокус на оси x, а затем повернем его, чтобы найти уравнение C. (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 Координаты фокусов равны, \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}, так что они (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0). Длина большой оси составляет 2\\cdot2, а длина малой оси составляет 2\\cdot1, поэтому площадь для нахождения равна \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi.'

'Касательная в любой точке кривой C в первом квадранте всегда пересекает положительные части оси x и y, и точки пересечения обозначены соответственно как Q и R. Точка P делит сегмент QR внутренне в соотношении 2:1.'

'Для полярных координат найдите уравнения следующего круга и прямой: (1) Круг с центром в точке A(3, π/3) и радиусом 2. (2) Прямая, проходящая через точку A(2, π/4) и перпендикулярная к OA (O - полюс).'

'(2) 128\nВ равнобедренной трапеции \ \\mathrm{ABCD} \, где \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~см}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~см}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \, при увеличении \ \\angle \\mathrm{B} \ на \ 1^{\\circ} \, насколько увеличится площадь \ S \ трапеции \ \\mathrm{ABCD} \? Предположим, что \ \\pi=3.14 \.'

'Найдите расстояние между двумя точками.'

'Найдите вектор положения ортоцентра треугольника.'

'В координатном пространстве, пусть A(1,0,2) и B(0,1,1). Когда точка P движется вдоль оси x, найдите минимальное значение AP+PB.'

'На координатной плоскости, окружность C проходит через точку (0,0), ее центр находится на прямой x+y=0, и она касается гиперболы xy=1. Найдите уравнение окружности C. Здесь говорится, что окружность и гипербола касаются в точке, если касательные окружности и гиперболы совпадают в этой точке.'

'Для эллипса $x^{2}+4 y^{2}=4$ найдите траекторию точки $P(a, b)$ вне эллипса, из которой две касательные к эллипсу пересекаются под прямым углом.\n[Тип Университет Токио]\nБазовый 155'

'Кривая, представленная параметрическими переменными'

'Найдите геометрическую фигуру, представленную всеми точками P(z), которые удовлетворяют уравнению $|z-\\alpha|=r(r>0)$.'

'На кривой \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1, пусть \\mathrm{P} будет точкой в первой четверти, где касательная пересекает ось x и ось y в точках \\mathrm{A}, \\mathrm{B} соответственно. Если начало координат \\mathrm{O}, найдите минимальное значение \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB}.'

'Найдите координаты и длину хорды, образованной пересечением следующих прямой и кривой.'

'Основные понятия 1 Полярные уравнения и прямые линии (1) Полярное уравнение окружности с центром в полюсе O и радиусом a r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) Окружность с центром в (a, 0) и радиусом a r=2a cos θ (3) Окружность с центром в (r₀, θ₀) и радиусом a r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) Прямая, проходящая через полюс O и образующая угол α с начальной прямой θ=α (5) Прямая, проходящая через точку A(a, α) и перпендикулярная к OA'

'(4) Для плоскости PQR и ребра OD ситуация следующая. При q = 1/4 плоскость PQR - . При q = 1/5 плоскость PQR - 又. При q = 1/6 плоскость PQR - ネ. Выберите то, что подходит для двух 〜 ネ, один из 0 до 5, можно выбирать один и тот же вариант несколько раз.'

'Найдите траекторию центра P окружности, касающейся как окружности $(x-4)^{2}+y^{2}=1$, так и прямой $x=-3$.'

'Для эллипса \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\) координаты фокусов \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\). Фокусы находятся на оси x, длина большой оси составляет 2a, а малой оси - 2b.'

'Докажите, что разность расстояния от любой точки на гиперболе до ее двух фокусов постоянна.'

'Укажите условие того, что три различные точки A(α), B(β), C(γ) лежат на одной прямой.'

'Предположим, что концы A и B отрезка длиной 2 двигаются вдоль оси x и оси y соответственно. Когда $\\mathrm{BP}=1$, найдите траекторию точки P.'

'Проходя через точку A(3, -4), найдите прямую параллельную прямой l: 2x-3y+6=0 и назовите ее g. Определите уравнение прямой g.'

'В правильном шестиугольнике ABCDEF, с центром O, точка P делит сторону CD внутри в соотношении 2:1, а точка Q является серединой стороны EF. Если вектор AB равен a, а вектор AF равен b, выразите векторы BC, EF, CE, AC, BD, QP через векторы a и b.'

''

'Когда точка P(z) движется по периметру окружности с центром в -i и радиусом 1 (за исключением начала координат), что за форму рисует точка Q(w), представленная уравнением (3) 114 w=1/z?'

"Тема: Исследование квадратных уравнений, представленных комплексными числами и вращения математика В Главе 3 математики С мы изучали геометрические фигуры на комплексной плоскости, а в Главе 4 узнали свойства квадратов. Здесь мы исследуем случаи, когда форма, представленная уравнением комплексного числа z, является квадратной. Сначала давайте подтвердим основные понятия квадратов по следующей проблеме. CHECK 3-A Найти уравнение траектории точки P с общим расстоянием 6 от точек F(√5, 0) и F'(-√5, 0)."

'Найдите векторное уравнение окружности.'

''

'Предположим, что △ABC - это равносторонний треугольник с вершинами A(-1), B(1) и C(√3 i). Докажите, что если △PQR с вершинами P(α), Q(β), R(γ) также является равносторонним треугольником, то уравнение α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 верно.'

'Докажите уравнение касательной линии в точке (x0, y0) на окружности, используя векторы.'

'(2) Сумма расстояний от точки z до 2 точек (√3+3i)/2 и -(√3+3i)/2 постоянна и равна 4, следовательно, фигура C - это эллипс с 2 фокусами в (√3+3i)/2 и -(√3+3i)/2. Пусть c будет расстоянием от начала координат, которое является центром этого эллипса, до фокусов. Координаты фокусов на плоскости XY равны (c, 0) и (-c, 0). Этот эллипс совпадает с эллипсом, в котором сумма расстояний от точек на эллипсе до 2 фокусов также составляет 4.'

'Рассмотрим окружность C с радиусом a в первом квадранте плоскости xy, касающуюся как линии l: y=mx(m>0), так и оси x. Кроме того, рассмотрим окружности, касающиеся линии l, оси x и окружности C в одной точке каждая с радиусом b, где b>a. (1) Выразите t через m. (2) Выразите b/a через t. (3) Найдите предел lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1).'

'(1) Пусть длины трёх сторон треугольника ABC будут AB=8, BC=7, CA=9. Пусть вектор AB=b, вектор AC=c, и пусть P будет центром вписанной окружности треугольника ABC. Выразите вектор AP через b и c.'

'Теорема о середине: В треугольнике ABC, пусть середины сторон AB и AC обозначаются буквами M и N соответственно. Тогда MN // BC и MN = 1/2 BC'

'Есть четырехугольник ABCD, вписанный в круг. Когда AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'Описанная окружность треугольника'

'Определите диапазон значений переменной x, при которых треугольник со сторонами 3, 5, и x становится остроугольным.'

'Дан правильный тетраэдр OABC с длиной ребра 6. Пусть L будет серединой ребра OA, M - точкой деления ребра OB на 2:1, а N - точкой деления ребра OC на 1:2. Найти площадь треугольника LMN.'

'В треугольнике ABC, если B=30°, b=√2, c=2, найдите значения A, C и a.'

''

'Центр окружности, проходящей через точки A, P и Q, является точкой пересечения перпендикулярных биссектрис двух хорд.'

'(2) острый угол'

'Используя теорему о мощности точки, покажите свойства двух касательных, проведенных из точки P к окружности.'

'Для правильного восьмиугольника найдите следующие числа.\n(1) Количество четырёхугольников, которые могут быть образованы путём соединения 4 вершин\n(2) Количество треугольников, образованных соединением 3 вершин, которые разделяют грань с правильным восьмиугольником'

'На прямой x=1, точка T находится там, где y-координата равна √3. Точка P - это пересечение прямой OT и полукруга радиусом 1. Искомым углом является ∠AOP.'

'На прямоугольном полу размером 240 см на 396 см мы хотим покрыть его квадратными плитками со стороной a см без промежутков. Найдите максимальное значение a в этом случае. Кроме того, определите количество плиток, которые могут быть уложены.'

'Объясните и докажите свойства центра окружности, центра вписанной окружности и центроида треугольника.'

'Определите, находятся ли четыре точки A, B, C, D на правой диаграмме на одной окружности.'

'Радиус описанной окружности \ \\frac{85}{8} \, радиус вписанной окружности 2'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, где AB = 8, BC = 10, CD = DA = 3. Найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'79. В треугольнике ABC, AB=2, BC=4, CA=2√3. Пусть AD будет высотой из вершины A к стороне BC, а E и F - точками пересечения окружности с диаметром AD и сторонами AB и CA соответственно. E и F отличаются от A. [Токийский медицинский университет Цзикейкай]\n(1) Докажите, что точки E, B, C и F лежат на одной окружности.\n(2) Найдите площадь треугольника EBF.'

'Как показано на диаграмме, пронумеруйте все вершины равностороннего треугольника со стороной 2 и каждую середину стороны от 1 до 6. Сопоставьте результат первого броска кубика с этим номером. Трижды соедините точки, соответствующие числам, выпавшим на кубике, чтобы создать форму. Найдите ожидаемое значение площади полученной формы.'

'Теорема 25 Теорема о силе точки II'

'\ \\triangle ABC \ - прямоугольный треугольник, в котором \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \, и примечание: \ AD \ - диаметр окружности. Проведите вспомогательные линии \ AD, ED, EF, DF \.'

'Пусть p и q - длины диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD, а θ - один из углов, образованных диагоналями. Выразите площадь S четырехугольника ABCD через p, q и θ.'

'Пожалуйста, объясните о точках внутри и снаружи круга и размерах углов.'

'В треугольнике ABC, O - центр окружности. Найдите углы α и β на правой диаграмме.'

'Условия для параллелограмма: Четырехугольник является параллелограмом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий. [1] Два противоположных отрезка параллельны. [2] Два противоположных отрезка равны. [3] Два противоположных угла равны. [4] Одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине. [5] Диагонали пересекаются в своих соответствующих серединах.'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, где AB = BC = 1, BD = √7 и DA = 2, найти:\n1. Положение точки A\n2. Длина стороны CD\n3. Площадь четырехугольника ABCD S'

'Найдите центр описанной окружности O треугольника ABC.'

'Дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность PR с AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, найти площадь S четырехугольника ABCD.'

'Определите минимальную длину диагонали в прямоугольнике длиной 40 см. Кроме того, опишите форму прямоугольника при этом минимуме. Пусть вертикальная длина прямоугольника будет x см, тогда горизонтальная длина будет (20-x) см. Поскольку x>0 и 20-x>0, у нас получается 0<x<20. Обозначим длину диагонали как l см, l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1), где l^2 достигает минимального значения 200 при x=10. Поскольку l>0, когда l^2 минимизируется, l также минимизируется. Таким образом, минимальное значение длины диагонали l составляет sqrt(200)=10 sqrt(2)(см). В этот момент горизонтальная длина также равна 10 см, превращая прямоугольник в квадрат.'

''

'Возьмите точку O на плоскости и определите две перпендикулярные линии в точке O, как показано на диаграмме справа. Их называют соответственно x-осью и y-осью. Точка O называется началом координат. В этом случае, если точка A находится в координатах (3, 2), укажите ее x-координату и y-координату.'

'На плоскости имеется 10 непересекающихся линий, ни одна из которых не проходит через одну и ту же точку. Если две из 10 линий параллельны, определите количество точек пересечения и треугольников, образованных этими 10 линиями.'

'Пример 4: Параболическая антенна\nПарабола в английском языке называется параболой. Поверхность параболической антенны, используемой для приема спутникового вещания, имеет форму поверхности, которая образуется в результате вращения параболы вокруг своей оси.'

"Окружности O и O' с радиусами 5 и 8 соответственно внешне касаются в точке A. Пусть B и C - точки, в которых общая внешняя касательная этих двух окружностей касается окружностей O и O'. Продлим BA, чтобы пересечься с окружностью O' в точке D.\n(2) Докажите, что точки C, O' и D коллинеарны.\n(3) Найдите отношения AB:AC:BC."

'Подсчитайте количество параллелограммов, образованных 3 параллельными линиями и 5 пересекающими их линиями.'

'Расстояние между двумя точками\n(1) Расстояние между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) на координатной плоскости равно\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nВ частности, расстояние между началом координат O и точкой A(x1, y1) равно OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) Расстояние между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) в координатном пространстве равно\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nВ частности, расстояние между началом координат O и точкой A(x1, y1, z1) равно OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

''

''

'Найдите расстояние между A и P.'

'Докажите, что центры тяжести треугольников ABC и DEF совпадают.'

'Минимальное значение равно 10√2 см, квадрат'

'Для заданного отрезка AB нарисуйте следующие точки.'

'Математика I\nСледовательно, площадь треугольника (ABC) равна\n\nПример 1 Дан лист бумаги в форме равностороннего треугольника со стороной (10 см). Предположим, что вершины этого равностороннего треугольника - (A, B, C), а точка (P) на стороне (BC) находится на расстоянии (2 см) от точки (B). При складывании этого бумажного равностороннего треугольника таким образом, чтобы точка (A) совпадала с точкой (P), точки пересечения складок со сторонами (AB, AC) будут (D, E) соответственно. В это время, если (AD=) равняется A (см), (AE=) равняется B (см), и площадь △ADE равна C (см^{2}).\n[Из Киотского университета Макиэ]'

'В треугольнике ABC, где BC=17, CA=10, AB=9. Найдите значение sinA, площадь треугольника ABC, радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.'

'Базовый пример 85 Длина отрезка, отрезанная параболой от оси x\n(1) Найдите длину отрезка, отрезанного графиком квадратичной функции y=-x^{2}+3x+3 от оси x.\n(2) Докажите, что длина отрезка, отрезанного графиком квадратичной функции y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 от оси x, постоянна независимо от значения постоянной a.'

'Известно, что AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6, найдите длины сторон треугольника.'

'(2) В треугольнике ABC, если BC = 5, CA = 3, AB = 7. Пусть D и E - точки пересечения угла A и его внешнего угла с линией BC, соответственно. Найдите длину отрезка DE.'

'На плоскости есть 10 прямых линий так, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. Когда именно 2 из этих 10 линий параллельны, определите количество точек пересечения, образованных этими 10 линиями, и количество треугольников, образованных.'

'Построить следующие точки:\n(1) Точка P находится на одинаковом расстоянии от сторон AB, BC, CA\n(2) Точка Q находится на одинаковом расстоянии от точек A, B, C'

'Нарисуйте следующие окружности на основе круга O и хорды AB, показанных справа. Обратите внимание, что точки P и Q отличаются от A и B и не находятся на перпендикулярной биссектрисе хорды AB.'

'Для прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c, где радиус описанной окружности равен 3/2, а радиус вписанной окружности равен 1/2, ответьте на следующие вопросы. Предположим, что a ≥ b ≥ c:'

''

'Напишите следующие математические термины и их соответствующие определения на японском языке.'

'Длина более короткой стороны составляет не менее 1 метра и не более 3 метров'

'Найдите уравнение параболы, полученной симметричным перемещением параболы y=-2x^2+3x-5 относительно следующих прямых или точек.'

'Найдите угол θ, образованный следующими двумя линиями. Предположим, что 0° ≤ θ ≤ 90°.(1) AB и FG (2) AE и BG (3) AF и CD'

'В равностороннем треугольнике ABC со стороной 1, пусть D делит BC в соотношении 1:2, пусть E делит CA в соотношении 1:2, пусть F делит AB в соотношении 1:2. Пусть P будет пересечением BE и CF, Q будет пересечением CF и AD, а R будет пересечением AD и BE. Найдите площадь треугольника PQR.'

'В треугольнике ABC, если AB = 6, BC = 7, CA = 5, найти радиусы описанной окружности R и вписанной окружности r.'

''

'На полукруге с радиусом 1 точка с координатой x равной 1/2 - это точка P. Искомый угол - это угол AOP.'

'Найдите координаты точки Q, симметричной точке P(3, 4) относительно прямой y = 2x + 1.'

'Пусть длины сторон треугольника ABC будут обозначены как a, b, c. Если (a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6 и площадь равна 15√3, то найдите радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r треугольника ABC.'

'Вписанная окружность треугольника'

''

'При симметричном перемещении относительно начала координат, вершина находится в точке \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\), образуя вогнутую параболу,\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { также подходит }\\right) \\]'

''

'Найдите расстояние между следующими двумя точками.'

'Есть бумага равностороннего треугольника со стороной длиной 10 см. Пусть A, B и C будут вершинами этого равностороннего треугольника, а точка P будет точкой на стороне BC такой, что BP=2 см. При складывании этой бумаги равностороннего треугольника так, чтобы вершина A совпадала с точкой P, пусть пересечения ребер AB, AC и складки обозначены как D и E, соответственно. В этой точке, AD= см, AE= см, и площадь треугольника ADE составляет см².'

'Для треугольника ABC, который не является равносторонним треугольником, с центром вписанной окружности O, центроидом G и ортоцентром H, докажите следующее: (1) Пусть L будет серединой стороны BC, а M, N - серединами отрезков GH и AG соответственно. Докажите, что четырехугольник OLMN является параллелограммом. Можно использовать факт AH=2OL. (2) Докажите, что точка G лежит на отрезке OH. (3) Докажите, что OG:GH=1:2.'

''

'Позиционное соотношение между параболой и осью x'

'Сводка определения формы треугольника'

"Есть два окружности P и Q, пересекающиеся с двумя окружностями O и O'. Как показано на правой диаграмме, проведите линию из точки A, которая находится за пределами P от отрезка QP, касательно к окружности O и пересекающейся с окружностью O', с точками касания C, а точками пересечения - B и D. Если AB=a, BC=b, CD=c, выразите c через a и b."

'Докажите следующее, используя обратное утверждение теоремы Цевы:\n1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.\n2. Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.'

''

'Четырехугольник ABCD вписан в окружность O, AB=3, BC=CD=√3, косинус угла ABC=√3/6. Найдите: (1) Длина отрезка AC (2) Длина стороны AD (3) Радиус окружности O'

'Найдите площадь следующих фигур.\n1. Параллелограмм ABCD с AB=2, BC=3 и ∠ABC=60 градусов\n2. Правильный восьмиугольник, вписанный в круг с радиусом 10'

''

'В треугольнике ABC, когда a=13, b=7, и c=15, найдите A.'

'Какая форма максимизирует площадь прямоугольного треугольника, у которого сумма длин двух сторон равна 16? Также вычислите максимальное значение.'

'Отношения между окружностью и прямой имеют три случая. Здесь r - радиус окружности, а d - расстояние между центром окружности и прямой. [1] Пересечение в 2 точках (2 общие точки) 0 ≤ d < r [2] Касание (1 общая точка) 0 ≤ d < r [3] Разделение (нет общих точек) 0 ≤ d < r Когда есть только одна общая точка, окружность и прямая касаются, и эта прямая называется касательной, а общая точка - точкой касания. Давайте сначала исследуем свойства касательных окружности.'

'Определить условия существования треугольников'

'В треугольнике ABC, где AB=6, BC=a, и CA=4, пусть M и N будут серединами BC и CA соответственно. (1) Найдите значение a, когда AM=√10. (2) Когда a равно значению из (1), найдите длину сегмента BN.'

'(2) Самая длинная сторона - CA, поэтому AB + BC = 18, CA < AB + BC, следовательно, треугольник ABC существует.'

''

'ТРЕНИРОВКА 112 (1)\nПусть точка O на плоском квадрате будет началом, рассмотрим координатную плоскость с восточным направлением как положительным направлением оси x, а северным направлением как положительным направлением оси y.\nТочка A находится на 28 единиц к востоку от точки O. Кроме того, точка P находится к югу от линии, соединяющей точки O и A.\nТочка P находится на расстоянии 25 от O и на расстоянии 17 от A.\n(1) Найдите координаты точки A.\n(2) Найдите координаты точки P.'

'Практика 3: Внутренний центр, внешний центр, центр масс треугольника'

''

'Вычислите значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике'

'Доказательство того, что на окружности есть четыре точки'

'Одна из точек пересечения двух графиков - точка (-1,0)'

'Докажите, что точки B, C, F, E лежат на одной окружности, когда из вершины A остроугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная линия AD к стороне BC, а из D проведены перпендикулярные линии DE, DF к сторонам AB и AC, соответственно.'

'В прямоугольном треугольнике ABC, где AB>AC и ∠A = 90°, проведите перпендикуляр AD от вершины A к ребру BC.'

'В пятиугольнике ABCDE, описанном около окружности, где AB = 7, BC = 3, CD = 5, DE = 6, ∠BCD = 120° и ∠A = 82°, найти:\n(1) Длина сегмента BD\n(2) Длина сегмента AD\n(3) Длина стороны AE\n(4) Площадь четырехугольника ABDE'

''

'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

''

'Глава 7 Применение к треугольникам'

'В △ABC, предположим, что AB = 7√3 и ∠ACB = 60°. Каков радиус описанной окружности O △ABC? Позвольте точке P двигаться по дуге AB, содержащей точку C описанной окружности O.'

'(1) Найдите меры трех углов треугольника ABC, где ∠A=90°, AB=2, и BC=3.\n(2) Найдите длины трех сторон треугольника ABC, где ∠A=70° и ∠B=∠C.'

'(1) ∠C<∠B<∠A\n(2) CA=AB<BC'

'На диаграмме справа точка I является центром вписанной окружности треугольника ABC. Найдите следующее: (1) 𝛼 (2) AI:ID'

'Рассмотрим координатную плоскость с точкой O в качестве начала, восточное направление как положительное направление оси x и северное направление как положительное направление оси y.'

'График квадратичной функции y = ax^2 + 2ax + a + 6 (a≠0) пересекает ось x в двух точках P и Q, и длина отрезка PQ равна 2√6. Определите значение константы a.'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

None

'Используя результат предыдущего вопроса, найдите длину стороны следующего правильного многоугольника, вписанного в круг радиуса 10. Также найдите длину перпендикуляра, опущенного из центра О круга к стороне правильного многоугольника. Можно использовать таблицы тригонометрических функций. Округлите результат до двух десятичных знаков.'

'На данной схеме найдите значение x. Здесь PT является касательной к окружности, а T - точкой касания.'

'ПРАКТИКА 4 (3) В △ABC, BC=a, CA=b, AB=c, радиус описанной окружности равен 3, а площадь равна S. В этом случае S=ABc. Варианты ответов: (0) 1/2 (1) 1/3 (2) 1/6 (3) 1/8 (4) 1/12'

''

'(1) В треугольнике ABC, если a=1, b=√3, а A=30°, найдите длины оставшейся стороны и размер угла.'

'Найдите площадь четырехугольника ABCD, где 77^{3} AB = 5, BC = 6, CD = 5, DA = 3, и ∠ADC = 120^{\\circ}.'

'Внутри угла XOY находится точка A такая, что ∠XOA=30° и OA=3. Когда точки P и Q взяты на OX и OY соответственно, найдите минимальное значение AP+PQ+QA.'

'На прямоугольном полу размером 2 м 40 см на 3 м 72 см вы хотите покрыть плитками квадратной формы со стороной a см без зазоров. Найдите максимальное значение a. Также найдите количество плиток, которое можно выложить.'

'Объясните проблемы, связанные с сторонами и углами треугольника, и докажите следующие теоремы:\n1. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.\n2. Разность длин любых двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны.'

'угол между двумя линиями'

"Докажите, что если окружность O проходит через общий хорд AB двух пересекающихся окружностей O и O', и хорда CD окружности O и хорда EF окружности O', то четыре точки C, D, E, F находятся на одной окружности. При этом четыре точки C, D, E, F не лежат на одной прямой."

'В △ABC, где радиус описанной окружности равен R. Найдите следующее: (1) при a=10, A=30°, B=45°, найдите C, b, R (2) при b=3, B=60°, C=75°, найдите A, a, R (3) при c=2, R=√2, найдите C'

'Исосцелес треугольник с углом 74 градуса, максимальное значение - 32'

'(1) Какие из следующих четырехугольников вписаны в окружность?\n(2) В остроугольном треугольнике ABC, точка D взята на стороне BC (различная от B и C), и из точки D проведены перпендикуляры DE и DF к сторонам AB и AC соответственно. Докажите, что четырехугольник AEDF вписан в окружность.'

'В городе, где дороги похожи на сетку, найдите кратчайший путь от точки A до точки B.\n(1) Сколько возможных маршрутов существует?\n(2) Сколько из маршрутов проходят через точку C из (1)?\n(3) Сколько из маршрутов из (1) не проходят через точку C?'

'Объяснение с использованием условия четырехугольника, вписанного в круг\n(1) Какие из прямоугольников ABCD могут быть вписаны в круг?\n(2) Существует четырехугольник ABCD, вписанный в круг, и прямая параллельная стороне AD пересекают стороны AB, DC в точках E, F соответственно. Докажите, что четырехугольник BCFE также вписан в окружность.'

''

'Найдите уравнения параболы, когда данная парабола в примере (1) симметрично перемещается относительно оси (1) (2) относительно начала координат.'

'■Описанный круг…точка пересечения перпендикулярных биссектрис сторон треугольника\nСредняя школа\nПерпендикулярная биссектриса отрезка\nТочка P лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка AB ⇔ PA=PB\nНа одной линии\nИными словами\n“Перпендикулярная биссектриса отрезка AB есть множество точек, равноудаленных от точек A и B”'

'(1) Сколько треугольников можно сформировать, соединив 3 вершины правильного пятиугольника? Сколько из этих треугольников имеют 2 общих стороны с правильным пятиугольником? (2) Сколько отрезков можно сформировать, соединив 2 вершины правильного пятиугольника?'

'Точка P находится на полуокружности радиусом √5, поэтому OP = √5\nВ прямоугольном треугольнике OPQ, OQ² + 2² = (√5)², следовательно, OQ² = 1 и OQ = 1\nСледовательно, координаты точки P (-1,2)\n\nСледовательно, sin θ = 2/√5, cos θ = -1/√5, tan θ = 2/-1 = -2'

'При сумме длин двух сторон, образующих прямой угол треугольника, равной 16, какая форма увеличивает площадь треугольника? Также определите его максимальное значение.'

'Обзор определения формы треугольника'

'В тетраэдре ABCD с боковой длиной 4, пусть M будет серединой стороны CD, а угол AMB равен θ'

'Угол ∠XOY=30° с точкой A, где OA=3 внутри угла. Точки P и Q взяты на OX и OY соответственно. Найдите минимальное значение AP+PQ+QA.'

"На правой диаграмме два круга O и O' касаются внешне. A и B - это точки, в которых общая касательная кругов O и O' пересекает круги. Если радиусы кругов O и O' соответственно равны 6 и 4, найдите длину отрезка AB."

'В треугольнике 128 (3), когда á=√6+√2, b=2, C=45°, найдите длину оставшейся стороны и размер угла.'

'Существует четырехугольник ABCD, вписанный в окружность радиусом TR, где длины сторон AB=√7, BC=2√7, CD=√3 и 141DA=2√3. Найти: (1) значение cos B (2) длина диагонали AC (3) площадь S четырехугольника ABCD'

'Существует 4 дороги, идущие с востока на запад и 4 дороги, идущие с севера на юг. Сколько кратчайших путей существует для следующих мест: (1) От точки A до точки B. (2) Из точки A, проходя через точки C и D, до точки B. (3) Из кратчайших путей от точки A до точки B те, которые проходят хотя бы через одну из точек C или D.'

'Парабола y = x² и окружность x² + (y - 5/4)² = 1 касаются в двух разных точках. Найдите площадь S области, ограниченной более коротким дугой окружности с двумя точками касания как конечными точками и параболой.'

'(1) Расстояние между точкой A и прямой BC\n(2) Площадь треугольника ABC'

'Дана кривая y=9-x^2 пересекает ось x в точках A и B, и в области, ограниченной этой кривой и отрезком AB, вписан трапеции ABCD. Найдите максимальную площадь этой трапеции. Кроме того, определите координаты точки C в этот момент.'

'Найдите длину дуги и площадь следующего сектора:'

'Базовый пример 69 Координаты центра тяжести треугольника'

''

'Найдите площадь треугольника с вершинами O(0,0), A(x1, y1) и B(x2, y2).'

'Найдите уравнение окружности, проходящей через точку (4,2) и касающейся осей x и y.'

'Найдите расстояние между двумя точками A(a) и B(b) на числовой прямой.'

'Найдите координаты точки Q после вращения точки P(4, 2√3) вокруг начала координат на π/6.'

'Найдите координаты следующих точек: (5, 1), (9, 5), (3, 9)'

''

''

'Пусть a будет постоянной, удовлетворяющей условию a > 1. На плоскости координат есть точка M(2, -1). Для точки P(s, t), отличной от M, берется точка Q так, чтобы три точки M, P, Q были расположены на одной прямой в указанном порядке, и длина отрезка MQ была в a раз больше длины отрезка MP.'

'Рассмотрим окружность с радиусом r и центром C, и прямую ℓ с расстоянием d от C. Определите отношения положения между окружностью и прямой на основе отношения между d и r.'

'Каков будет вид точек пересечения P(x, y) двух прямых l: tx-y=t и m: x+ty=2t+1 при изменении t на действительные значения? Найдите их уравнения и постройте график.'

'Когда прямая (3) пересекает область D в одной точке, угловой коэффициент m максимален, когда прямая касается окружности C. Рассчитайте максимальный угловой коэффициент m в этой точке.'

'Найдите уравнение следующих окружностей.'

'Расстояние между точкой и прямой'

'Найдите координаты точки, равноудаленной от трех точек A(1,5), B(0,2) и C(-1,3).'

'Какое неравенство представляет закрашенная область на рисунке? Исключите граничную линию.'

'Рассмотрим две точки A(-1,2) и B(4,2) на плоскости координат. Пусть t - вещественное число, такое что 0 < t < 1. Точка P делит отрезок OA в отношении t:(1-t), а точка Q делит отрезок OB в отношении (1-t):t. Найдите минимальную длину отрезка PQ и соответствующее значение t.'

'Найдите уравнение прямой, касательной к окружности x^2+y^2=8 и перпендикулярной к прямой 7x+y=0.'

'Когда линия с уклоном -1 пересекает область D, и окружность с центром в (3,2) имеет расстояние до линии меньше или равно радиусу 1. Найдите максимальное значение n в этом случае.'

'Проходя через точку A(3,1), пусть P и Q будут точками касания двух касательных прямых, касающихся окружности x^{2}+y^{2}=5. Найдите уравнение прямой PQ.'

'Для окружностей \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) и \ x^{2}+y^{2}=4 \ найдите: (1) Сколько общих касательных у двух окружностей? (2) Определите уравнения всех общих касательных для двух окружностей.'

'Найдите диапазон постоянной k таким образом, чтобы круг x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 (1) и прямая y = kx + 2 имели общую точку.'

'Есть ли у данного круга и прямой общая точка? Если да, найдите координаты этой точки.'

'Учитывая радиус и радиус, представляющий угол, пусть P будет точкой пересечения с окружностью радиусом r.'

'Приведите данный угол 42140° к углу на единичной окружности в стандартном положении.'

'Центроид треугольника, образованного движущейся точкой расстоянием 2 от начала координат с фиксированными точками (5,0) и (0,3), находится на кривой x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0.'

'Найдите следующие координаты: (\x0crac{3}{14}, 0) и (0,-\x0crac{3}{4}).'

'Для того чтобы треугольник ABC с вершинами A(1,1), B(2,4) и C(a, 0) был прямоугольным треугольником, найдите значение a.'

'Формы и Уравнения\nДля трех точек A(0,0), B(2,5), C(6,0) найдите координаты точки P, когда PA² + PB² + PC² минимально.'

'Найдите уравнение касательной к окружности в точке A (4,6) на окружности x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.'

'На координатной плоскости найдите уравнения двух линий, проходящих через точку (-2, -2) и касающихся параболы y=1/4 x^{2}.'

'Когда 3 прямые 2x-y-1=0, 3x+2y-2=0, y=1/2x+k пересекаются в точке A, каково значение k, и каковы координаты точки A?'

'Найдите положение трех точек A(-2, -2), B(2, 6), C(5, -3) на координатной плоскости.\n(1) Найдите уравнение перпендикулярной биссектрисы отрезка AB.\n(2) Найдите координаты окружности треугольника ABC.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (7,1) и касающейся окружности x^2+y^2=25, и найти координаты точки касания.'

''

'Найдите уравнение окружности с центром на прямой y = -4x + 5, касающейся и оси x, и оси y.'

'Найдите уравнение окружности, проходящей через точки (4, -1), (6, 3) и (-3, 0).'

'Исследуйте форму треугольника ABC с вершинами A(2a, a+√3a), B(3a, a), C(4a, a+√3a). Здесь, a>0.'

'Найдите координаты точки, делящей отрезок AB между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) внутренним образом в соотношении m:n.'

'Найдите уравнение касательной на данной окружности в заданной точке.'

'Найдите координаты оставшейся вершины D параллелограмма с вершинами A(4,5), B(6,7), C(7,3).'

''

'На числовой прямой есть 3 точки A(3), B(-3), C(5). Точка D делит отрезок AB внутренне в пропорции 2:1, точка E делит отрезок AC внешне в пропорции 3:1, найдите координаты точки, которая делит отрезок DE внутренне в пропорции 3:4.'

'Пусть n≥2. На плоскости есть n окружностей, где ни одна пара окружностей не пересекается и три или более окружности не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения образуют эти окружности?'

'Найдите длину отрезка AB, где A и B - точки пересечения параболы y=x^{2} (1) и прямой y=x+3(2).'

'Напротив, точка P(x, y) на прямой x+y=2 удовлетворяет условию AP^2-BP^2=4. Следовательно, искомая траектория - это прямая x+y=2.'

'Найдите длину дуги и площадь.\n(1) Радиус 10 с углом π/5\n(2) Радиус 3 с углом 15°'

'Найдите координаты оставшейся вершины D параллелограмма с вершинами A(5,-1), B(3,3) и C(-1,-3).'

''

'Найдите локус точек P, удовлетворяющих следующим условиям:\n(1) Точки P, равноудаленные от точек O(0,0) и A(3,2)\n(2) Точки P такие, что угол OPA = 90 градусов, где O(0,0) и A(6,0)\n(3) Точки P, такие что AP^2 - BP^2 = 4, где A(3,2) и B(1,0)'

'На плоскости находится n окружностей, где любые две окружности пересекаются, и три или более окружности не пересекаются в одной точке. На сколько частей делит эти окружности плоскость?'

'Найдите расстояние между следующими двумя точками: (1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'Следовательно, координаты точки C $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$, и поэтому $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$. Кроме того, расстояние между точкой A и линией (3) равно $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$. Следовательно, площадь треугольника, который мы ищем, это $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$.'

'На плоскости xy, рассматривая прямые l: x+t(y-3)=0 и m: tx-(y+3)=0 при изменении t по всем действительным числам, какую форму образуют точки пересечения прямых l и m? [Гифу]'

'Относительно треугольника ABC с вершинами A(1,1), B(2,4) и C(a,0)'

'Постройте график следующих уравнений, представляющих линии на координатной плоскости.'

'Найдите уравнение касательной, удовлетворяющей следующим условиям.'

'Глава 3: Фигуры и Уравнения'

'Известны три вершины A(4,5), B(6,7), C(7,3) параллелограмма, найдите координаты оставшейся вершины D.'

'Определите форму треугольника ABC с вершинами A(2a, a+√3a), B(3a, a), и C(4a, a+√3a). Предположим, что a>0.'

'Какого типа треугольник с вершинами в точках A(1, -1), B(4,1), C(-1,2) является треугольник ABC?'

'Найдите координаты точки $Q$, которая является симметричной точке $P(3,2)$ относительно прямой $\\ell: x+y+1=0$.'

'Вопрос 84'

'Найдите уравнение окружности PR. (1) Проходящей через точки (0,2), (-1,1) и с центром на прямой y=2x-8.'

'Найдите условия для того, чтобы общее уравнение круга x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 представляло круг. Также найдите центр и радиус.'

'Найдите уравнения следующих окружностей'

'Найдите координаты следующих точек. (1) Точка, делящая отрезок 3:1 внутренне (2) Точка, делящая отрезок 3:1 внешне (3) Точка, делящая отрезок 1:3 внешне (4) Середина'

'Когда точки A(a,-2), B(3,2), C(-1,4) коллинеарны, найдите значение константы a.'

'Найти касательную в точке на окружности круга.'

'Для точек A(7,6), B(-3,1) и C(8,1) в PR 3, пусть P будет серединой BC, Q будет точкой, делящей CA внешне в отношении 3:2, а R - точкой, делящей AB внутренне в отношении 3:2. Найдите координаты центроида треугольника PQR.'

''

'Найдите максимальное значение k, такое что условие x^{2}+y^{2} ≤ 1 подразумевает 3 x+y ≥ k.'

''

'Найдите уравнения 4 линий.'

'Найдите локус точек P, удовлетворяющих следующим условиям:'

'Найдите шкалу середины отрезка прямой, соединяющей точку 4 на шкале и точку 9 на шкале.'

'(1) На координатной плоскости найдите все уравнения прямых, параллельных прямой y=-2x и на расстоянии √5 от начала координат. [Токийский университет Денки] (2) Найдите расстояние между параллельными прямыми 2x-3y=1 и 2x-3y=-6.'

'Постройте области, представленные следующими неравенствами.'

'Найдите условия a и b, при которых прямая y = ax + b имеет точку пересечения с отрезком прямой, соединяющим две точки A(-1,5) и B(2,-1), и построить на плоскости ab.'

'Найдите все значения a, которые разделяют плоскость на 6 частей.'

'Найдите координаты двух точек пересечения двух окружностей x^2 + y^2 = 10 и x^2 + y^2 - 2x + 6y + 2 = 0.'

'1. Найдите уравнение окружности с центром в (0,0) и радиусом √2.'

'Найдите уравнение окружности с центром в (1,1), касающейся прямой 4x+3y-12=0.'

'На координатной плоскости, пусть точка A(-3,2) и точка B(4,0). Найдите координаты точек, находящихся на одинаковом расстоянии от оси x и оси y, соответственно.'

'Найдите координаты точки, которая делит точку A (x1, y1) и точку B (x2, y2) внешне. Внешнее деление в соотношении m: n.'

'Найти уравнение окружности, проходящей через точку (2,3), касательную к оси Y и с центром на прямой y=x+2.'

''

''

'Определите количество точек пересечения между линией и окружностью в геометрии и уравнениях.'

'Найдите уравнения следующих окружностей:'

'Описание задачи о полярных линиях окружности относительно точки A. Для данной окружности x^2+y^2=r^2 и внешней точки A(p, q) найдите уравнение прямой β, проходящей через точки касания P, Q двух касательных, проведенных из точки A к окружности. Используя уравнение p x+q y=r^2, докажите, что полярная линия точки A, проходящая через другую точку B, подразумевает, что полярная линия точки B проходит через точку A.'

'Пусть S будет площадью правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 1'

'В правильной тетраэдре OABC со стороной a, точки P, Q, R взяты на ребрах AB, BC и OC соответственно. Начиная с вершины O, проходя через точки P, Q, R последовательно, какова длина кратчайшего пути до вершины A?'

'В четырехугольнике ABCD, AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-t (0<t<3). Также предполагается, что четырехугольник ABCD имеет описанную окружность.'

''

'Для правильной четырёхгранной призмы ABCD с длиной ребра 6, пусть E будет точкой на ребре BC такой, что 2BE=EC, а M - серединой ребра CD.'

'Рассмотрим треугольник с длинами сторон a, a+2, a+4.'

'В треугольнике ABC, AB = 8, AC = 5, и ∠A = 120°. Пусть D - пересечение угловой биссектрисы ∠A и стороны BC. Найдите длину сегмента AD.'

'Конус с радиусом 2 и наклонной высотой 6 касается сферы O как на своей боковой поверхности, так и в центре основания. Определите радиус, объем и площадь поверхности этой сферы.'

'(2) BD=3, AD=3 \\sqrt{7}'

'Выберите наиболее подходящий термин из (А) по (Е), чтобы заполнить пропуск.'

'Пусть площадь шестиугольника ABCDEF будет S'

'Упражнение 1: На сторонах AB, BC, CA равностороннего треугольника ABC со стороной 1 берутся точки D, E, F так, что AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Выразить площадь треугольника DEF, S, через x. (2) Найти значение x, которое минимизирует S в (1) и минимальное значение.'

'В △ABC, где a=2, b=√2, c=1. Найдите:\n(1) cos B, sin B\n(2) Площадь △ABC, S\n(3) Радиус вписанной окружности △ABC, r\n(4) Радиус описанной окружности △ABC, R\nСм. стр. 265, Основное понятие 3, Базовое 162.'

''

'188\nМатематика I\n(1) Как показано на рисунке, возьмем вершины A, B, C треугольника T таким образом, что AB=5, BC=6, CA=7.'

'При b=4, c=4√3 и B=30° найти a, A, C и R.'

'В прямоугольном треугольнике, где сумма длин двух сторон равна 20, найдите треугольник с минимальной длиной гипотенузы и определите длину гипотенузы.'

'В треугольнике ABC пусть радиус описанной окружности будет R. Найдите следующие значения: (1) Когда A=60°, C=45°, a=3, найдите c и R'

'Практика (1) На правой диаграмме найдите длины отрезков DE и AE.\n(2) Используя правую диаграмму, найдите следующие значения: sin 15°, cos 15°, tan 15°'

'Пожалуйста, объясните теорему о круге.'

'Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной 1. Точки D, E, F взяты на сторонах AB, BC, CA соответственно так, что AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Выразите площадь треугольника DEF, обозначенную как S, через x. (2) Найдите значение x, при котором S минимально, и минимальное значение.'

'Пожалуйста, объясните, что такое диаграмма на основании следующего текста: В C.O.D. (Concise Oxford Dictionary) диаграмма описывается как морская карта CHARTNavigator с контурами берегов, скалами, отмелями и т. д.'

'В треугольнике ABC пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла A и ребра BC. Найдите длины отрезков BD и AD в следующих случаях:'

'Найдите площадь S правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса a.'

''

'В △ABC, пусть радиус описанной окружности будет R. Найдите следующее: (2) Когда a=√2, B=50°, и R=1, найдите значения A и C'

'Как представить координаты точки P(a, b) на координатной плоскости?'

'Для проверки, можно ли изобразить более четырех множеств с помощью кругов, попробуем представить четыре множества A, B, C, D с помощью кругов. Сначала нарисуем диаграммы Венна для множеств A, B, C, а затем попытаемся добавить диаграмму Венна для множества D, чтобы наблюдать результат.\n\nЗатем, чтобы проверить, можно ли изобразить четыре множества с помощью кругов, нарисуем четыре разных круга на плоскости и посчитаем пересечения. В этом случае, четыре круга должны следовать следующим правилам:\n- Любая пара кругов пересекается в двух точках\n- Любая тройка кругов не пересекается в одной точке\n\nПосчитайте количество областей, созданных пересечениями четырех кругов, и убедитесь, что это число совпадает с числом общих частей, образованных четырьмя множествами и их дополнениями.'

'Пожалуйста, объясните теорему Пифагора.'

'На плоскости координат есть одна прямая и две параболы, Прямая L: y=ax+b, Кривая C_{1}: y=-2x^{2}, Кривая C_{2}: y=x^{2}-12x+33. Когда прямая L пересекается с кривой C_{1} и кривой C_{2} в двух точках каждая, выполняется неравенство a^{2}-a<b<a^{2}, где a>0.'

'В треугольнике ABC найдите следующее.'

'Найдите площадь следующей фигуры. (2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \\sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ параллелограмм \ \\mathrm{ABCD} \'

'Решение треугольника (1)'

'Вычислите значения тригонометрических функций из заданных координат. (1) P(-1,1) (2) P(-√3, 1)'

'В треугольнике ABC, при b=2, c=√5+1 и A=60 градусов, определите, является ли C острым углом, прямым углом или тупым углом.'

"Определите условия p, q, r относительно треугольников следующим образом: p - все три внутренних угла разные q - не является прямоугольным треугольником r - ни один из углов не равен 45 градусам Выберите правильные варианты из каждого выбора: (1) Противоположное утверждение 'r подразумевает (p или q)' - 'a _______ подразумевает не r'. [Варианты] 0 (сила и q) (1) (не p и не q) (2) (быть как q) (2) Какой треугольник служит противоположным примером для утверждения '(p или q) подразумевает r'? [Варианты] Прямоугольный равнобедренный треугольник (1) Треугольник с внутренними углами 30 градусов, 45 градусов, 105 градусов (2) Равносторонний треугольник (3) Треугольник со сторонами 3, 4, 5 (4) Равнобедренный треугольник с углом вершины 45 градусов (3) r - это причинно-следственная связь для (p или q) как _______. [Варианты] (0) Необходимое и достаточное условие (1) Только необходимое, но не достаточное условие (2) Только достаточное, но не необходимое условие (3) Ни необходимое, ни достаточное условие"

''

'Параболическая антенна'

'В остроугольном треугольнике ABC, пусть BD и CE будут перпендикулярами, опущенными из вершин B и C на их соответственные противоположные стороны. Если BC=a, а угол A обозначается как A, выразите длину отрезка DE через a и A. Кроме того, вы можете использовать свойство, что если угол PRQ=90 градусов для отрезка PQ, то точка R лежит на окружности около круга с отрезком PQ в качестве диаметра.'

'Есть четырехугольник ABCD, вписанный в круг. Если AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, при AB = BC = 1, BD = √7, DA = 2, найти: (1) A (2) Длина стороны CD (3) Площадь четырехугольника ABCD'

'Минимальная площадь треугольника'

'Максимальный угол треугольника'

''

'Площадь прямоугольника, вписанного в круг (1)'

'Определите диапазон значений x, при которых треугольник со сторонами 3, 5 и x образует остроугольный треугольник.'

'Был сложен кусок оригами в форме равностороннего треугольника со стороной 10 см, обозначенного как ABC.'

''

'В треугольнике ABC, если B=30°, b=√2, c=2, найдите значения A, C и a.'

'В треугольнике ABC, где AB=6, BC=4 и CA=5, найдите длину отрезка BD, где биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D.'

''

'На прямой x=1 пусть точка с y-координатой sqrt{3} будет T. Точка P, в которой линия OT пересекает полукруг радиусом 1, находится в рисунке. Искомый угол θ - это ∠AOP.'

''

'В треугольнике ABC, где b=3, c=√2, и A=45°, найдите длину стороны a.'

'На правой диаграмме найдите длины отрезков AB, BC и CA.'

'Пожалуйста, объясните теоремы и формулы, относящиеся к следующему треугольнику.'

''

'(1)\\[ \egin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\\\ & =180^{\\circ}-(30^{\\circ}+105^{\\circ}) \\\\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\] Следовательно, площадь треугольника ABC равна \\[ \egin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]'

'В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AB=2, BC=1, CD=3 и cos ∠BCD=-1/6. Найдите AD и площадь четырехугольника ABCD.'

'В прямоугольнике длиной 40 см, каково минимальное значение длины диагонали? Кроме того, каким является прямоугольник в этот момент? Если вертикальная длина прямоугольника равна x см, то горизонтальная длина равна (20-x) см. Кроме того, x>0 и 20-x>0, следовательно, 0<x<20. Пусть l см будет длиной диагонали прямоугольника. l^2 = x^2+(20-x)^2 = 2x^2-40x+400 = 2(x-10)^2+200. Минимальное значение l^2 достигается при x=10 и равно 200. Поскольку l>0, когда l^2 минимально, l также минимально. Следовательно, минимальная длина диагонали равна sqrt(200)=10 sqrt(2) см. В этот момент горизонтальная длина равна 20-x=10 см, делая длину диагонали минимальной, когда прямоугольник является квадратом.'

'Объясните о четвертях на координатной плоскости и приведите пример второй четверти.'

'Радиус описанной и вписанной окружности треугольника'

'203 Основные условия треугольника тупого угла'

'В четырехугольнике ABCD, если AB=8, BC=5, CD=DA=3, а A=60 градусов, то какова длина диагонали BD?'

'Справа на рисунке показана диаграмма размаха баллов 30 студентов на тесте по науке. Когда эти баллы, которые составляют эту диаграмму размаха, представлены в виде гистограммы, какое из чисел от 0 до 2 ему соответствует?'

'В прямоугольнике со стороной 40 см найдите минимальную длину диагонали. Также определите характеристики прямоугольника в этот момент.'

'Дано правильное тетраэдр ОАВС с длиной ребра 6. Пусть L - середина ребра ОА, M - точка, делящая ребро ОВ на 2:1, и N - точка, делящая ребро ОC на 1:2. Найдите площадь треугольника LMN.'

'Есть четырехугольник ABCD вписанный в круг. Если AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'Когда длины трех сторон ∆ABC следующие, определите, является ли угол A острым, прямым или тупым.'

'На полуокружности радиусом 1, точка, в которой x-координата равна 1/2, это точка Р. Искомый угол - это ∠AOP.'

'В треугольнике ABC, где AB=3, AC=2, и ∠BAC=60°, если биссектриса угла A пересекает BC в точке D, найдите длину отрезка AD.'

'Имея длины диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD как p и q, и один из углов, который они образуют, как θ, выразите площадь S четырехугольника ABCD через p, q и θ.'

'В четырехугольнике ABCD, который не является параллелограммом, AD=BC. Пусть P и Q - середины AB и CD соответственно, а M и N - середины AC и BD соответственно. (1) Выразите →PQ, →MN через →AD, →BC. (2) Докажите, что PQ перпендикулярно MN.'

'Полярное уравнение прямой (1)'

'Окружность, проходящая через точку A(-3,0) и касающаяся прямой x=3, имеет центр в точке P(x, y). Найдите локус точки P.'

'Полярное уравнение окружности (2)'

'Найдите координаты точки R'

'(1) Эллипс $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$ (2) Окружность $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$ (3) Гипербола $\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\\frac{(y+1)^{2}}{9}=1$'

'Рассмотрим эллипс $x^{2}+4 y^{2}=4$ и прямую $y=t(x+2)$ и их точку пересечения $P(x, y)$. Выразите эллипс, исключив точку $(-2, 0)$ с использованием параметра $t$.'

"Эллипс\nВ этом разделе мы узнаем про локус точек, в которых сумма расстояний от двух фиксированных точек остается постоянной.\nУравнение эллипса\nНа плоскости локус точек, в которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F и F' остается постоянной. Две фиксированные точки, F(c, 0) и F'(-c, 0) [c>0], называются фокусами эллипса. Найдем уравнение эллипса C с суммой расстояний 2a от этих двух точек, используя концепцию локуса."

'Полярное уравнение траектории'

'Пусть k будет постоянной. Определите количество точек пересечения между эллипсом x^{2}+4y^{2}=20 и прямой y=(1/2)x+k.'

'Что такое спираль Архимеда?'

'Найти траекторию точки P, такую что отношение расстояний от точки TR (F(0,1)) и прямой l: y=-1 задано. 107 (1) 1: 1 (2) 1: 2 (3) 2: 1 Пусть P(x, y), и пусть PH будет перпендикуляром от P до прямой l, тогда PH=|y-(-1)|=|y+1|'

'В центре вписанной окружности треугольника\n(1) В треугольнике ABC, где AB = 6, BC = 3, CA = 4, и вписанный центр I. Выразите AI через AB и AC.'

'Если окружность радиусом 2, x^2+y^2=25, масштабируется вдоль оси x на 3/5 относительно оси y, к какому типу кривой она превратится?'

'Окружность с центром в (-2i) и радиусом 2 (1) Окружность с центром в (-1/2i) и радиусом 3/2'

''

'Найти минимальное расстояние между точкой P на эллипсе x^2+4y^2=4 и точкой Q на прямой x+2y=3.'

'Найдите часть, полученную удалением точки 2 из круга с центром в точке 1 и радиусом 1.'

'Глава 4 Форма и кривая - Упрощая до y^{2} = -12x, следовательно, точка P лежит на параболе y^{2} = -12x. Наоборот, все точки P(x, y) на этой параболе удовлетворяют условию. Таким образом, искомая траектория - парабола y^{2} = -12x.'

'Что такое окружность Аполлония?'

'(1) Перпендикуляр, делящий отрезок, соединяющий точки 0 и 1 (2) Круг с радиусом 2, центр в точке 3'

'Найдите минимальное расстояние между точкой P на эллипсе $x^{2} + 4y^{2} = 4$ и точкой Q на прямой $x + 2y = 3$.'

''

'Пусть TR будет константой. Найдите количество точек пересечения между эллипсом x ^ {2} + 4y ^ {2} = 20 и прямой y = \\frac{1}{2} x + k.'

'Докажите, что когда прямая, проходящая через фокус \ \\mathrm{F} \ параболы \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) пересекает параболу в точках \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \, произведение координат \ y \ точек \ \\mathrm{A} \ и \ \\mathrm{B} \ остается постоянным.'

''

'Найдите траекторию точки P так, чтобы отношение расстояний от точки F(1,0) и прямой ℓ: x=-2 до точки P было 1:2.'

'Найдите фокус и директрису параболы $y^{2}=3 x$. Кроме того, нарисуйте ее общую форму.'

''

'Найдите локус центра P(x, y) окружности, проходящей через точку A(4,0) и касающейся прямой x = -4.'

'Учитывая три различные точки A(α), B(β), C(γ) и следующее отношение между ними, найдите меры 86 углов в треугольнике ABC с этими тремя точками в качестве вершин.'

'ТРЕНИРОВКА 41\nИз точки P(1,3), проведите перпендикуляр к линии ℓ: 2x-3y+4=0, где точка пересечения - Н.\n(1) Найдите координаты точки Н, используя векторы.\n(2) Найдите расстояние между точкой P и линией ℓ.'

''

'Найдите треугольник OAB.'

'В правильном пятиугольнике ABCDE со стороной 1, пусть AB = b и AE = e.'

'Представим точки A, B в декартовых координатах как A(2 cos π / 6, 2 sin π / 6), B(4 cos π / 3, 4 sin π / 3)\nТо есть, A(√3, 1), B(2, 2√3)\nСледовательно, декартовое уравнение прямой AB это (2√3 - 1)(x - √3) - (2 - √3)(y - 1) = 0'

'Упражнение 109 (1) Асимптоты - это две прямые y=1/2x, y=-1/2x пересекающиеся в начале координат, поэтому уравнение гиперболы, которое надо найти, описывается как, где a>0, b>0,'

'Найдите стандартную форму параболы с фокусом в F(p, 0) (p ≠ 0) и неподвижной прямой ℓ: x = -p.'

'Найдите полярные уравнения следующего круга и прямой в полярных координатах. 135\n1) Окружность с центром в точке (1, 3/4π) и радиусом 1\n2) Линия, проходящая через точку A(2, π/4) и перпендикулярная к линии OA (O - полюс)\n3) Линия, проходящая через точки A(2, π/6) и B(4, π/3)'

'На координатной плоскости, с началом координат O как полюсом, и положительной частью оси x в качестве начальной линии. В этот момент объясните, какое отношение между полярными координатами (r, θ) и прямоугольными координатами (x, y) одной и той же точки P.'

'Найдите полярное уравнение окружности с полярными координатами (a, 0) и радиусом a.'

'Следовательно, уравнение траектории точки P имеет вид x^{2}+y^{2}=a^{2}-1, представляя собой окружность с радиусом \\sqrt{a^{2}-1}, с центром в начале координат. Однако необходимо исключить 4 точки пересечения с асимптотическими линиями y=\\pm a x, которые представляют собой (\\pm \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}, \\pm a \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}) (с произвольными знаками).'

'Важный пример 139 Использование полярных координат\nДокажите, что когда оба конца хорды, проходящей через один фокус \ \\mathrm{F} \ эллипса, являются \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \, \ \\frac{1}{\\mathrm{FP}} + \\frac{1}{\\mathrm{FQ}} \ постоянна независимо от направления хорды.'

'Полярное уравнение с одним фокусом F определенного конуса представлено следующим образом, где a - положительная постоянная, а e - эксцентриситет.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Пример 90 | Равномерное круговое движение'

'Пусть P(z) является центром вписанной окружности треугольника OAB с вершинами в трех различных точках O(0), A(α) и B(β), тогда покажите, что z удовлетворяет следующему уравнению.'

'(1) \ y^2 = 12x \, Фигура опущена'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Пожалуйста, математически выразите условие для точек A, B и C находиться на одной прямой.'

"Локус точки P, где разница расстояний от двух различных фиксированных точек F и F' является ненулевой константой, называется гиперболой, с точками F и F' в качестве фокусов. Разница расстояний должна быть меньше длины сегмента FF'. Давайте найдем уравнение гиперболы с фокусами в точках F(c, 0) и F'(-c, 0) и разницей расстояния 2a от этих двух точек. Здесь c > a > 0."

'Найдите координаты середины и длину хорды, образованной пересечением прямой y=x+2 и эллипса x^{2}+3y^{2}=15.'

''

'Пример 137 Полярные координаты и траектория Пусть полярные координаты точки A равны (2,0). Пусть Q будет любой точкой на окружности круга C, диаметр которого является отрезком прямой OA, соединяющим полюс O и точку A. В точке Q проведите касательную к кругу C и опустите перпендикуляр OP от полюса O до точки P. Пусть полярные координаты точки P будут (r,θ). Найдите полярное уравнение траектории точки P, где 0 ≤ θ < π.'

'(1) Найдите уравнения прямых, проходящих через точку A(-2,3), параллельных и перпендикулярных к прямой ℓ: 5x+4y-20=0.'

'(а) Фокус: точка (-1/2, 0), Директриса: прямая x = 1/2, диаграмма опущена'

'Пример 1 | Основы векторов\nОпределите следующие векторы, используя вершины правильного шестиугольника ABCDEF с длиной стороны 1, как показано на рисунке, и точку пересечения O диагоналей AD, BE:\n(1) Вектор, равный AB\n(2) Вектор с тем же направлением, что и OA\n(3) Обратный вектор AC\n(4) Вектор параллельный AF и с величиной 2'

'Практика Для треугольника ABC и любой точки P на плоскости следующее векторное уравнение представляет собой окружность. Какого это рода окружность?\n(1) |→BP+→CP|=|→AB+→AC|\n(2) 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC'

'Рассмотрим отрезок AB длиной 2, где точка A лежит на оси x, а точка B движется вдоль оси y. Найдите локус точки P так, чтобы при продлении отрезка AB выполнялось условие BP = 1.'

'Найдите полярное уравнение окружности с центром в поляре и радиусом a.'

'Доказать, что когда касательная в точке P(x1, y1) на параболической кривой y^2=4px(p>0) пересекает ось x в точке T, а фокус параболы находится в точке F, тогда ∠PTF=∠TPF. При условии, что x1>0, y1>0.'

'Пример 104 Траектория и Парабола'

'В математике, учитывая что OP = r, OA = 2, и угол AOP = |θ - π / 4|, из (1),\nr cos |θ - π / 4| = 2\nчто означает, что r cos (θ - π / 4) = 2'