Искусственный интеллект | Номер 1 в бесплатном приложении для завершения домашнего задания

'Поскольку обе стороны положительны, возведение в квадрат дает (mb+1)² = m²+1. Следовательно, m{(b²-1)m+2b}=0. Поскольку m≠0, то m=2b/(1-b²). Таким образом, уравнение прямой QR имеет вид y=2b/(1-b²)(x-b).'

'[1] Когда b ≠ 1, уравнение прямой QR, с уклоном m, равно y=m(x-b), что эквивалентно mx-y-mb=0'

'Процедура поиска траектории [1] Представьте координаты любой точки на траектории как (x, y), и выразите заданные условия в терминах x, y. [2] Выведите уравнение траектории и определите геометрическую форму, представленную этим уравнением. [3] Проверьте, что любая точка на форме удовлетворяет условиям. Исключите любые точки на форме, которые не удовлетворяют условиям.'

'(2) Пусть точка P(x, y), так как AP=BP означает AP^2=BP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\nТакже, так как AP=CP означает AP^2=CP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\nРешая это, мы получаем P(3, 2)'

'Рассмотрите альтернативное решение, то есть, когда точка B зафиксирована, треугольник ABD зафиксирован, поэтому нам нужно рассмотреть только случай, когда площадь треугольника BCD максимальна.'

'Требуемая касательная проходит через точку A и не перпендикулярна к оси x, поэтому её можно представить в виде y=m(x-6)+8, что эквивалентно mx-y-6m+8=0.'

'Важный пример 179 Равенство площадей и определение функций\nНайдите значение константы m, при котором площади двух фигур, ограниченных кривой y=x^{3}-6 x^{2}+9 x и линией y=m x, равны. Здесь 0<m<9.'

'Обычно кривая $f(x, y)=0$ делит координатную плоскость на несколько областей (блоков). Когда $f(x, y)$ является многочленом от $x, y$, знак $f(x, y)$ остается постоянным внутри разделенных блоков.'

'Пусть m - действительное число. Пусть A, B будут точками пересечения параболы y=x^{2} и прямой y=mx+1 на координатной плоскости, а O - начало координат.'

'Найдите траекторию точки P, где сумма квадратов расстояний от точек А и В является постоянным значением k. Предполагается, что k больше 0.'

'Пусть линия, проходящая через точку P, обозначается как ℓ, которая пересекает кривую C в трех различных точках, с x-координатами пересечения точек α, β, γ (α<β<γ). Докажите, что когда площади двух областей, ограниченных линией ℓ и кривой C, равны, линия ℓ проходит через начало координат.'

'Найти траекторию точек P, удовлетворяющих условию, при котором разница между квадратами расстояний от фиксированных точек A и B является константой k. Предполагаем, что k > 0.'

'266 Практическая задача по математике 182 => этой книги p. 333\n(1) Уравнение линии AP:\n\ny = -3px + 3p\n\nКоордината x пересечения линии с параболой задается -3px + 3p = -3x^2 + 3\nРешая это уравнение, получаем x^2 - px + p - 1 = 0.\nСледовательно, (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\nОтсюда x = 1, p - 1\nУсловие, что отрезок AP и C имеют общую точку Q, отличную от A, заключается в том, что координата x точки Q равна p - 1.\n\n*Следовательно*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'Найдите длину хорды, отрезанной прямой y = -x + 6 на окружности x^2 + y^2 = 25 для данной хорды в 53 иены.'

'Пусть t - положительное вещественное число. На плоскости xy есть две точки P(t, t^{2}) и Q(-t, t^{2}+1), а также парабола C: y=x^{2}. Пусть f(t) - площадь области, ограниченной прямой PQ и кривой C. Найдите минимальное значение f(t) и соответствующее значение t.'

'Траектория точек, которые удовлетворяют заданным условиям при движении, образует форму, которая называется траекторией точек, удовлетворяющих данным условиям. Чтобы продемонстрировать, что траектория точек P, удовлетворяющих данным условиям, является формой F, необходимо доказать две вещи: 1. Любая точка P, удовлетворяющая данным условиям, находится на форме F. 2. Любая точка P на форме F удовлетворяет данным условиям.'

'На параболе y=x^2, движущейся на плоскости xy, две точки A и B и начало O соединены отрезком прямой, образуя треугольник AOB, где ∠AOB=90°. Найдите траекторию центроида G треугольника AOB.'

''

'Пример 51 | Максимальная и минимальная площадь треугольника Для 0 < a < sqrt{3} существуют три линии: l: y = 1-x, m: y = sqrt{3}x + 1, n: y = ax. Пусть A будет пересечением l и m, B - пересечением m и n, а C - пересечением n и l. Найдите значение a, при котором площадь S треугольника ABC будет минимальной. Также найдите значение S в этот момент.'

'Прямая AC перпендикулярна l, поэтому (q-1)/(p-7) * 1/2 = -1'

'Практика (64 => Книга стр.138) (1) Пусть a > 0, и определим ось координат так, чтобы A(-a, 0), B(a, 0). Пусть координаты точки P будут (x, y), данным условием будет AP^2 + BP^2 = k, тогда {(x+a)^2+y^2} + {(x-a)^2+y^2} = k, 4x=1 это общая внутренняя касательная, Глава 3 □ Практика Геометрические уравнения'

'(2) Когда образуется треугольник PAB, точка P не находится на линии AB. Уравнение линии AB y=-x+2. Исключив y из этого уравнения и y=x^2, мы решаем и получаем x=1,-2. Следовательно, для образования треугольника PAB необходимо, чтобы s≠1, s≠-2. Пусть координаты R будут (x, y). Поскольку R - центроид треугольника PAB, у нас есть x=\\frac{s+3+0}{3}, y=\\frac{t-1+2}{3}, что приводит к s=3x-3, t=3y-1. Подставив в (1), мы получаем 3y-1=(3x-3)^2, т. е. y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}. Из (3) и (4) у нас x≠\\frac{4}{3}, x≠\\frac{1}{3}. Поэтому искомая траектория - парабола y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}, за исключением точек (\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}) и (\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}).'

'Когда из точки P можно провести две касательные к параболе y =\x0crac{1}{2} x^2$, обозначим две точки касания как A и B, а область, заключенную между отрезками PA, PB и параболой, как S. Найдите минимальное значение S, когда PA и PB перпендикулярны друг другу.'

'Прикладные задачи в геометрии'

'Важный пример 182 Максимальная и минимальная площадь (3)\nКогда кривая y = | x ^ 2-x | и прямая y = mx имеют три различные точки пересечения, найдите значение m, при котором сумма площадей двух частей, ограниченных этой кривой и линией, S, минимальна.\n[Похожий вопрос Университет Ямагата] <Пример 169'

'Диапазон прохождения точек и кривых \ a, b \ как вещественные числа. Парабола на координатной плоскости - это парабола \ C: y=x^{2}+a x+b \ имеющая параболу \ y=-x^{2} \ и две общие точки, одна общая точка с координатой \ x \ удовлетворяющая \ -1<x<0 \, и другая общая точка с координатой \ x \ удовлетворяющая \ 0<x<1 \. (1) Постройте возможный диапазон точки \\( (a, b) \\) на координатной плоскости. (2) Постройте возможный диапазон параболы \ C \ на координатной плоскости. [Токийский ун-т]'

''

'Пусть а - положительная константа. Докажите, что площадь, окруженная касательной в любой точке P на параболе y=x^{2}+a и параболе y=x^{2}, постоянна независимо от положения точки P, и найдите значение этой постоянной.'

'Найдите координаты точки Q, которая симметрична точке P(3,7) относительно точки A(-2,-3).'

'Найдите траекторию точки P так, чтобы отношение расстояний от точек A(-4,0) и B(2,0) до точки P было 2:1.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите уравнение прямой, перпендикулярной линии, соединяющей точки A(0,6) и B(4,4).'

'Точка P лежит на линии \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \, поэтому пусть её координаты будут \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\), где t>0\nСогласно \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\),\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ означает, что \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \, поэтому\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\nУпрощая, получаем\n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\nРешая это уравнение, получаем t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0, поэтому t=2 \\sqrt{2}\nСледовательно, координаты точки P равны \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'Использование расстояния между точкой и прямой'

'В треугольнике ABC пусть D будет точкой, делящей сторону BC в соотношении 1:2. Докажите, что: 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD².'

'Область D, представленная системой неравенств (1) по (4), представляет собой штриховую часть на диаграмме. Область D включает граничные линии. Пусть k будет общим количеством производства, тогда x+y=k. Неравенство (5) представляет собой линию с наклоном -1 и пересечением с осью y равным k. Чтобы найти максимальное значение k, когда эта линия (5) пересекается с областью D, мы можем определить, что когда линия (5) проходит через точку (10,4), значение k максимизируется. В этом случае k=10+4=14, следовательно, максимальное общее количество производства составляет 14 единиц.'

'Докажите, что три перпендикуляра, опущенные из трех вершин треугольника ABC на противоположные стороны или их продолжения, пересекаются в одной точке.'

'Найдите локус точки P, которая находится на равном расстоянии от точек A(-1,-2) и B(-3,2).'

'Докажите следующие неравенства. Также определите, когда происходит равенство.'

'Уравнение прямой, проходящей через пересечение двух прямых'

'В диаграмме Е два треугольника со скользящими линиями совпадают, поэтому сумма углов а и b составляет 90 градусов. Следовательно, угол RPQ также равен 90 градусов, поэтому треугольник PQR является прямоугольным равнобедренным треугольником. Следовательно, сумма углов x и y на диаграмме W составляет 45 ✕ 2 = 90 градусов.'

'Из рисунков 2, 3 и 4 выберите все правильные предложения, чтобы описать погоду в регионе Канто и ответьте символами.'

'Рисунок 7 - это диаграмма, вид снизу, показывающая, как Тэцуо простирает свою правую руку к зеркалу. Встая и устанавливая линию, соединяющую правый глаз, левый глаз и кончик правой руки H параллельно зеркалу, рассматривайте отраженный кончик руки H на зеркале. Пометьте точку R на поверхности зеркала, чтобы H совпал с отраженным изображением при просмотре зеркала только правым глазом, и пометьте точку L аналогичным образом при просмотре зеркала только левым глазом. (1) Нарисуйте точки R и L на диаграмме на листе с ответами, не стирая используемые для рисования линии. (2) После того, как вы отметили R и L на поверхности зеркала, сделайте шаг ближе к зеркалу перпендикулярно зеркалу (направление стрелки), сохраняя ту же позу, чтобы наблюдать отраженный кончик руки H. Когда смотрите на зеркало только правым глазом, как отраженный H выглядит относительно точки R? Выберите наиболее подходящий ответ. Аналогично, когда смотрите на зеркало только левым глазом, как Х отражается относительно точки L? Выберите наиболее подходящий вариант и ответьте.'

"(6) Нониус калипера на рисунке 6, как и в (1), имеет минимальный интервал в 1,95 мм. На рисунке 6 шкала, соответствующая P на рисунке 3, немного превышает 20 мм основной шкалы (соответствующий позиции P' на рисунке 3). Кроме того, где Q соответствует рисунку 3, нониус считывает 3,5, а главная шкала считывает 34 мм. Путем аналогичного рассуждения для (4), длина PP' вычисляется как 34 - 20 - 1,95 × 3,5 × 2 = 0,35 мм. Следовательно, диаметр кнопки определяется как 20 + 0,35 = 20,35 мм."

'Выберите правильный ответ для направления линии, нарисованной на блоке B, и угла, на который повернулся блок B, и укажите символ. На диаграмме пунктирная линия представляет направление исходной линии блока, а двойная дуга представляет угол поворота блока B.'

'Для следующих утверждений относительно пункта 11k, X и Y, выберите правильную комбинацию верного и неверного из вариантов ниже и ответьте с соответствующим номером.'

'Проблема об удлинении металлического стержня и его измерении.'

''

'Мы провели эксперимент по образованию и свойствам аммиака. Ответьте на каждый из следующих вопросов.'

'Исходя из способа, которым график складывается в тексте, при рисовании графика C на рис. 3, можно увидеть, что он образует толстую пунктирную линию. Из рис. 3 можно понять, что комбинация (самый длинный, самый короткий) относительно длины до зажигания - (В, А). Кроме того, из наклона графика можно найти комбинацию (самый длинный, самый короткий) для длины, которая горит в одну минуту - (С, А). Следовательно, ① - (У), а ② - (О).'

'На диаграмме справа, когда синий цвет помещается в позицию a, невозможно разместить синий на позиции 1 <ширина> (3). Поэтому, когда синий цвет помещается в позицию b, его нельзя разместить в позициях (4) по (6). Точно так же, путем дальнейшего рассмотрения, можно разместить синий цвет в позициях c→d→e→f, и можно увидеть, что максимальное количество синих можно разместить - 6. Из данного состояния, можно переместить cиний цвет из позиции b в позицию (5), и в то же время, также можно переместить cиний цвет из позиции a в позицию (2). Другими словами, из 4 синих в столбце I есть 3 способа сделать 2 из них синими, а именно (a и b), (a и (5), (2) и (5)). То же самое относится к столбцу I и позитивному столбцу, поэтому общее количество способов разместить 6 синих составляет 3 × 3 × 3 = 27. Более того, во всех случаях имеется 2 варианта оставшегося узора, поэтому общее количество составляет 27 × 2 = 54.'

'Проблема на распространение света'

'Чтобы изобразить плоскую фигуру 1, на линии, продленной от OD на длине (1) в фигуре(1), возьмите точку L так, чтобы OD было равно DL, нарисуйте перпендикуляр биссектрисы OL. Для этого возьмите точку M на левой стороне OL так, чтобы OM было равно LM, и точку N на правой стороне OL так, чтобы ON было равно LN, и соедините M и N. Затем соедините точки P и D, и нарисуйте перпендикулярную биссектрису PD. Для этого возьмите точку Q на левой стороне PD так, чтобы PQ было равно DQ, и точку R на правой стороне PD так, чтобы PR было равно DR, и соедините Q и R. Кроме того, позвольте пересечение линий MN и QR быть S. Наконец, нарисуйте часть круга с центром в S, проходящую через D и P, где точка пересечения круга с центром в O, исключая D, будет E.'

' (1) Рассмотрим случаи фигур A (синий в середине), B (синий в углах) и C (синий посередине краев). В каждом случае оставшиеся части могут быть прилеплены только одним уникальным способом, чтобы гарантировать их неравенство при повороте. В этой ситуации, если одна половина желтая, а другая красная, или если одна половина красная, а другая желтая, то во всех случаях могут быть два рисунка. Затем, рассматривая расположение синих областей, есть одна возможность в случае фигуры A, и в случаях фигур B и C, при повороте на 90 градусов, есть по 4 возможности. Поэтому общее число вариантов (1+4+4)×2=18.'

'Исходя из подчеркнутой части d, объясните за 20-30 слов преимущества деревянных табличек по сравнению с бумагой.'

'Найдите угол между прямой $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ и плоскостью $\\alpha: x-4 y+z=0$.'

'Докажите, что центр вписанной окружности P(z) треугольника OAB с вершинами O(0), A(α), B(β) удовлетворяет данному уравнению.'

'Когда точка P(z) движется вдоль прямой, проходящей через -1/2 и перпендикулярной к действительной оси, какую форму рисует точка Q(w), представленная как w=1/z?'

''

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,1,0) и перпендикулярной прямой $\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$.'

'В параллелограмме ABCD пусть точка P будет внутренним делением диагонали AC в отношении 3:1, а точка Q - внутренним делением стороны BC в отношении 2:1. Докажите, что точки D, P, Q коллинеарны.'

''

'Опишите условия, необходимые для выполнения условий совместной, сходящейся и копланарной.'

'Вопрос: Докажите теорему о серединах, которая утверждает, что в треугольнике ABC, если D и E - середины сторон AB и AC соответственно, то BC // DE и BC = 2DE.'

'В полярных координатах пусть точка A(3, π) будет на линии g, перпендикулярной стартовой линии. Найдите полярное уравнение траектории, где отношение расстояний от поля O и линии g до точки P постоянно. (А) 1:2 (Б) 1:1'

'Найдите острый угол, образованный двумя линиями.'

'Практика доказать, что в треугольнике OAB с тремя разными точками O(0), A(α), B(β) в качестве вершин, центр вписанной окружности вершины O как P(z), тогда z удовлетворяет следующему уравнению.'

'Докажите условие коллинеарности.'

'Найдите геометрическую фигуру, представляемую всеми точками $P(z)$, удовлетворяющими уравнению $|z-\\alpha|=|z-\eta|.'

"Доказательство элементарной геометрией для примера 123\n1. Стратегию удлинения медианы для создания параллелограмма можно использовать для доказательства утверждения, но для этого нужны дополнительные точки и вспомогательные линии, что делает ее менее интуитивной. Удлиняя точку M на отрезке AM так, чтобы AM = MH, и так как EM = GM, можно вывести, что четырехугольник AGHE является параллелограммом. Следовательно, AE = GH, и из AB = AE следует AB = GH. Кроме того, AC = AG и AE // GH, в результате чего ∠EAG + ∠AGH = π, поэтому ∠AGH = π - ∠EAG = ∠BAC. Следовательно, ∠AGH = ∠BAC (1) - (3), и из ∠AGH = ∠BAC следует, что треугольник ABC ≡ треугольнику GHA, так что BC = AH = 2AM. Введем точку B' так, что BC // B'A, что означает, что ∠MAE = ∠GHA = ∠ABC = ∠BAB'. Таким образом, ∠MAB' = ∠MAE + ∠EAB' = ∠BAB' + ∠EAB' = π/2, что показывает, что AE // GH и углы между сторонами равны. Следовательно, AM ⊥ B'A и BC // B'A приводят к AM ⊥ BC и BC // B'A."

'Базовый пример 121 Применение теоремы косинусов'

'Пожалуйста, объясните обратную теорему Пифагора.'

'(2) Докажите, что уравнение (1 + tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2) = 1 верно, когда размеры углов A, B и C треугольника ABC представлены соответственно A, B и C.'

'Из результата (2) можно сделать вывод, что поскольку точка X делит сторону AC внешне в определенной пропорции, и точка Y также делит сторону AC внешне в равной пропорции, точки X и Y совпадают. Следовательно, мы можем заключить, что три линии AC, PQ и RS пересекаются в одной точке.\n\nДавайте подтвердим это, используя геометрическое программное обеспечение. Независимо от изменений в форме четырехугольника ABCD, три линии AC, PQ и RS будут пересекаться в одной точке. Пожалуйста, переместите позиции точек P, Q, R и S в программе.'

'Каково уравнение параболы, полученной параллельным переносом параболы y=2x^{2} на -2 единицы вдоль оси x и на 3 единицы вдоль оси y?'

'В тетраэдре ABCD, где BC=BD, пусть AO будет перпендикуляром из точки A на плоскость BCD. Если точка O лежит на биссектрисе угла ∠CBD в точке E, докажите, что AE перпендикулярна CD.'

'Доказательство: Для любой точки P, не находящейся на треугольнике ABC, его сторонах и медианах, следующее уравнение справедливо: \AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"Относительно полу-линии OX под углом 80 градусов, симметричным для точки A является точка A', а относительно полу-линии OY, симметричным для точки B является точка B'. Пусть пересечение линии A'B' и полу-линии OX будет P, а пересечение линии A'B' и полу-линии OY будет Q."

'Докажите, что в треугольнике ABC, если O - центр описанной окружности, а P, Q, R - симметричные точки сторон BC, CA, AB соответственно, то O является ортоцентром треугольника PQR.'

'Рассмотрим куб, как показано на рисунке, нарисуйте равномерно расположенные линии на трех смежных гранях ABCD, BEFC и CFGD, и предположим, что можно двигаться вдоль этих линий. В каждом из следующих случаев определите количество возможных кратчайших путей: (1) Переход от A к C на грани ABCD (2) Переход от A к F на гранях ABCD и BEFC (3) Переход от A к F на гранях ABCD, BEFC и CFGD'

'На диаграмме справа, используя красные, синие, желтые и белые краски, чтобы четко обозначить А, Б, В и Д'

'Есть две окружности, касающиеся в точке A. Когда касательная в точке B на одной окружности пересекает другую окружность в точках C и D, докажите, что AB делит внешний угол ∠CAD пополам.'

''

'Пожалуйста, объясните теорему о вписанных углах.'

''

'Глава 3 Свойства фигур'

'Даны три точки A, Q, B на окружности круга и точка P на линии AB так, что P находится на той же стороне, что и Q. Докажите следующее утверждение, используя метод доказательства от противного: ∠APB > ∠AQB ⇒ Точка P находится внутри круга.'

'Постройте квадрат PQRS на основе вершин треугольника ABC.'

'Докажите, что биссектриса угла в точке A, биссектриса 60 градусов в точке B и биссектриса угла в точке C в треугольнике ABC пересекаются в одной точке.'

'Прямая AG является биссектрисой внешнего угла BAC. Пусть H будет точкой на продолжении луча BA, докажите следующее уравнение:'

'Имеется отрезок AB и точка P на нем. Построим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, возьмем точку Q на отрезке AC и точку R на отрезке BC так, чтобы четырехугольник PQCR стал квадратом. Нарисуйте квадрат PQCR.'

'На рисунке, пусть E будет точкой пересечения биссектрисы внешнего угла CAD треугольника ABC, вписанного в окружность, с окружностью снова, а F - точкой пересечения с продолжением стороны BC. Если AE = AC, докажите, что BE = CF.'

''

'В трапеции ABCD, где PR / / BC, PR ≠ BC, пусть точки P и Q делят стороны PR и BC в отношении m: n. Докажите, что прямые AB, CD и PQ пересекаются в одной точке.'

''

''

'Основные моменты проблем, связанных с длиной'

'Докажите, что, как показано на схеме справа, для прямоугольного треугольника ABC, где ∠B=90 градусов, на стороне BC взят точку D (D отличается от B и C). Затем берется точка E так, что ∠ADE=90 градусов и ∠DAE=∠BAC. Докажите, что четыре точки A, D, C, E находятся на одной окружности.'

'Докажите, что угловая биссектриса угла A в треугольнике ABC пересекается с стороной BC в точке D, разделяя BC внутренне в пропорции AB:AC. Докажите это двумя следующими способами:\n(1) Сосредоточьтесь на треугольниках ABD и ECD, когда линия, параллельная AB и проходящая через точку C, пересекается с линией AD.\n(2) Сосредоточьтесь на площадях треугольников ABD и ACD, опуская перпендикуляры из точки D на линии AB и AC.'

'Касательно вариантов, отличных от 1 и 3 в справке (5). Во-первых, поскольку точки D, A, P находятся на одной линии, они не могут находиться на одном и том же круге. Следовательно, варианты, содержащие точки А и Р, не применимы. Затем, согласно ответам, четыре точки D, A, C, E находятся на одном круге (правое верхнее диаграмма). Следовательно, описанный окружностью треугольника DAE должен пройти через точку C, поэтому он не пройдет через точку F. Следовательно, вариант 3 не применим. Аналогично, описанный окружностью треугольника DCE должен пройти через точку A, поэтому он не пройдет через точку F. Следовательно, вариант 4 не применим. Точно также, рассматривая круг, проходящий через четыре точки D, C, P, Q (нижнее правое диаграмма), ясно, что вариант 5 также не применим.'

''

'Докажите, что для произвольной точки P, не на сторонах, медианах или их продолжениях треугольника ABC, с центроидом обозначенным как G, выполняется следующее уравнение:'

'Докажите, что в треугольнике ABC, когда центр окружности - O, а симметричные точки относительно сторон BC, CA, AB - P, Q, R соответственно, O является ортоцентром треугольника PQR.'

'Докажите, что в треугольнике ABC с ∠B=90°, когда точка P на стороне BC, мы имеем AB < AP < AC.'

'Базовый пример 67 Описанная и ортоцентр треугольника'

'Хотите раскрасить области A, B, C, D, E на правой диаграмме. Для соседних областей должны использоваться разные цвета, и все указанные цвета должны быть использованы. Сколько существует способов раскраски? (1) Используя 5 цветов (2) Используя 4 цвета (3) Используя 3 цвета'

'Используя теорему Талеса, докажите, что если описанная окружность треугольника ABC пересекает биссектрису угла ∠BAC в точке M, то MA = MB + MC означает AB + AC = 2BC.'

'Как показано на схеме справа, за пределами треугольника ABC выбраны три точки D, E, F так, что треугольники ABD, BCE и CAF каждый образуют равносторонний треугольник.'

'В трапеции ABCD, где AD // BC, пусть точки P и Q будут точками, где стороны BC и DA внутренне делятся в соотношении m:n. Докажите, что линии AC, BD и PQ пересекаются в одной точке.'

'Постройте равносторонние треугольники BAD и ACE на внешней стороне прямоугольного треугольника ABC с углом ∠A=90°. Пусть точка пересечения отрезков CD и BE будет P. Докажите, что точки C, E, A, P лежат на одной окружности.'

'Найдите общее количество путей, удовлетворяющих следующим условиям для кратчайшего пути от точки P до точки Q справа на диаграмме PR:'

'Использование диаграмм дерева'

''

{'title': 'Russian', 'type': 'string'}

'Используя теорему Менелая, докажите следующее, когда стороны BC, CA, AB треугольника ABC или их продолжения пересекают линию l, не проходящую через вершины треугольника в точках P, Q, R соответственно.'

'Давайте подумаем о проблеме, связанной с свойствами геометрических фигур. Используя свойства следующих фигур, мы предоставим доказательство для указанной проблемы.'

'Базовый пример 82 Обратная сторона Теоремы о круге\nНа правой диаграмме L, M, N - середины сторон \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ четырехугольника \ \\mathrm{ABCD} \ Вписанного в круг. Более того, пересечение линии ML и линии DA - точка P, а пересечение линии NL и линии CB - точка Q. Докажите, что эти 4 точки M, N, P, Q находятся на одной окружности.'

'В треугольнике ABC, если центр вписанной окружности I является симметричным относительно сторон BC, CA и AB и обозначается как P, Q, R соответственно, то какая это точка I относительно треугольника PQR?'

'Перпендикулярная биссектриса: Точка P лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка AB. \ \\Leftrightarrow \ Точка P находится на равном расстоянии от точек A и B.'

'Докажите, что длины двух касательных, проведенных к окружности из точки вне окружности, равны.'

'Докажите, что треугольник ABC является равносторонним треугольником, если центр массы и ортоцентр совпадают.'

'Дан треугольник ABC, как показано справа. Постройте квадрат PQRS так, чтобы сторона QR лежала на отрезке BC, вершина P лежала на отрезке AB, а вершина S лежала на отрезке AC.'

'Докажите, что прямая AB является касательной к описанной окружности треугольника BDF.'

'Докажите, что три прямые AB, CD, PQ пересекаются в одной точке. Подсказка: Покажите, что пересечение AB и PQ совпадает с пересечением CD и PQ.'

'Справа на диаграмме показана коробчатая диаграмма баллов, полученных 30 учениками на тесте по науке. Какой из нижеперечисленных вариантов соответствует гистограмме, построенной на основе этих баллов?'

'Как показано на схеме справа, проведите перпендикуляры PD, PE, PF из точки P на описанной окружности треугольника ABC на прямые AB, BC, CA, соответственно. Докажите следующее.'

'Используя теорему о вписанных углах, докажите условие того, что точки A, B, P, Q лежат на одной окружности.'

'Биссектриса угла: Точка P лежит на биссектрисе угла ABC.'

'Доказательство вписанного четырехугольника в окружность - Базовый пример 83'

'Упражнение 68\nПусть ортоцентр остроугольного треугольника ABC обозначается как H, центром описанной окружности как O, серединой стороны BC как М, а серединой отрезка AH как N. Докажите, что длина отрезка MN равна радиусу описанной окружности треугольника ABC с использованием того факта, что AH=2OM.'

'Используя теорему Талеса, докажите, что если описанная окружность треугольника ABC пересекает биссектрису угла ∠BAC в точке M, то когда MA = MB + MC, мы получаем 84AB + AC = 2BC.'

'Докажите, что следующее уравнение верно в треугольнике ABC с центроидом G: AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'В равнобедренном треугольнике ABC, где AB=AC, возьмем две точки F и G на основании BC, проведем хорды AFD и AGE вписанной окружности треугольника ABC. Докажите следующее: (1) AB² = AF * AD (2) Четыре точки D, E, F, G лежат на одной окружности.'

'Докажите, что в треугольнике ABC, когда середина стороны BC равна M, уравнение AB²+AC²=2(AM²+BM²) верно (Теорема медианы).'

'Докажите, что в трапеции ABCD, где AD//BC, AD≠BC, стороны AD и BC разделены на точки P и Q в том же отношении m:n. Затем докажите, что линии AB, CD и PQ пересекутся в одной точке.'

'Теорема Менелая'

'Задача доказательства с использованием теоремы касательной'

'Нарисуйте сектор OAB с центром в O, как показано справа. На отрезке OA нарисуйте квадрат PQRS, где сторона QR совпадает с OA, а вершина P лежит на отрезке OB, а вершина S находится на дуге AB.'

''

'Как подходить к расчёту площади геометрических фигур'

'Основные моменты решения задач по углам'

'На окружности O проведите касательные PA и PB из внешней точки P, и нарисуйте хорду CD, проходящую через точку M, где отрезок AB пересекает отрезок PO. Докажите, что точки P, C, O и D лежат на одной окружности. Здесь C и D не находятся на прямой PO.'

'Даны точки A и M внутри и на окружности окружности O. Теперь нарисуйте хорду PQ, проходящую через M так, чтобы AM делала угол PAQ пополам. Нарисуйте такие хорды PQ.'

"Докажите, что если две окружности O и O', проходящие через точку P, имеют общие внешние касательные C и D, и если прямая, проходящая через точку P, пересекает две окружности в точках A и B, то AC перпендикулярна BD."

'Задана окружность O с фиксированными точками A и M внутри нее. Проведите хорду PQ, проходящую через M так, чтобы AM делала угол ∠PAQ пополам. Постройте такую хорду PQ.'

'Овладейте использованием диаграмм Венна, чтобы покорить Пример 49!'

'Учитывая отрезок AB длиной 1 и отрезки длиной a и b, нарисуйте отрезок длиной b/3a.'

''

'ТРЕНИРОВКА 25'

'Нарисуйте прямоугольник PQRS внутри остроугольного треугольника ABC, как показано справа, так чтобы 2PQ=QR, сторона QR лежит на стороне BC, вершина P лежит на стороне AB, а вершина S лежит на стороне CA. (Опишите только метод рисования)'

''

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'На правом рисунке △ABC и △CDE являются равносторонними треугольниками, и вершины B, C, D находятся на одной прямой. Пусть точка пересечения AD и BE будет F, докажите, что точки A, B, C, F лежат на одной окружности.'

''

'Хотите раскрасить области A, B, C, D, E на правую фигуру. Сколько существует способов раскрасить с трех цветов, когда окраска смежных областей разными цветами?'

'Проблема: Длина в пропорции, представленная как произведение сегментов\nДля данного сегмента AB длиной 1 и сегментов длиной a, b:\n(1) Нарисуйте сегмент длиной a/b.\n(2) Нарисуйте сегмент длиной 2ab.'

'Давайте вспомним длину касательной и теорему касательной!'

'Докажите, что в остроугольном треугольнике ABC, где перпендикуляры из вершин B и C к противоположным сторонам являются соответственно BE и CF, с их пересечением в точке H. Пусть точкой пересечения прямой AH и стороны BC является D, докажите, что AD перпендикулярен BC.'

'Доказать, что в треугольнике ABC биссектрисы углов B и C пересекаются в точке I. Нарисуем перпендикуляры из точки I на стороны BC, CA и AB, обозначим их как IP, IQ, IR соответственно. У нас получается, что IR=IP, IP=IQ, следовательно, IR=IQ, что значит, что IP=IQ=IR. Следовательно, точка I лежит на биссектрисе угла A. Таким образом, биссектрисы трех внутренних углов треугольника ABC пересекаются в одной точке I. Эта точка, где пересекаются биссектрисы углов, называется центром вписанной окружности треугольника, и круг с центром в центре и касающийся трех сторон называется вписанной окружностью.'

'Нарисуйте квадрат PQRS внутри сектора OAB с центром в O, так что сторона QR лежит на отрезке OA, вершина P лежит на отрезке OB, а вершина S лежит на дуге AB, согласно диаграмме справа. (Укажите только метод рисования).'

'Раскраска (плоскость).'

'Нарисуйте точку, которая делит данную отрезок AB внутренне в соотношении 3:2.'

'Нарисуйте перпендикуляр к биссектрисе линии AB (1) Нарисуйте два круга с точками A и B в качестве центров, каждый с равным радиусом, и обозначьте точки пересечения двух кругов как C и D. (2) Нарисуйте линию CD.'

'Для (1) и (2) найдите длину сегмента AD в соответствии с инструкциями.'

'Как показано на рисунке справа, две окружности с различными радиусами касаются в точке A. Нарисуйте линию, касающуюся внутренней окружности в точке D, и пусть B и C будут точками пересечения с внешней окружностью. Докажите, что AD делит ∠BAC пополам.'

'Дан пример разделения 25 регионов (плоскость):'

'Для подмножеств A, B универсального множества TR, проверьте, что следующее уравнение выполняется с помощью диаграмм.'

'В треугольнике ABC со своим описанным кругом, на стороне BC взятa точка D так, что ∠BAD=∠CAD. Кроме того, пусть P будет точкой пересечения касательной к окружности в точке A и прямой BC. Доказать, что PA=PD.'

'Нарисуйте квадрат PQRS внутри сектора OAB с O в центре, так чтобы сторона QR лежала на линии OA, вершина P лежала на линии OB, а вершина S лежала на дуге AB (предоставьте только метод рисования).'

'Я хочу покрасить области A, B, C, D и E на правой диаграмме. Когда окрашивают смежные области разными цветами, используя не более 4 цветов, сколько существует способов окрасить области?'

"Докажите, что когда два пересекающихся круга O и O' имеют общий хорд AB, проходящий через точку P, хорда круга O, проходящая через P - это CD, а хорда круга O', проходящая через P, - это EF, тогда четыре точки C, D, E, F лежат на одной окружности. Однако обратите внимание, что четыре точки C, D, E, F не коллинеарны."

'Докажите следующее в тетраэдре ABCD: (а) Пусть M будет серединой ребра AD, тогда AD перпендикулярно плоскости MBC; (б) AD перпендикулярно BC.'

'На плоскости α есть прямая ℓ. Точка A не на α, точка B на ℓ, и точка O на α, но не на ℓ. Докажите следующее: OB перпендикулярен ℓ, AB перпендикулярен ℓ, OA перпендикулярен OB, значит OA перпендикулярен α.'

"Имеются две окружности O и O', пересекающиеся в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, пересекает окружности O и O' в точках A и B, а прямая, проходящая через точки A и Q, пересекает окружность O' в точке C. Пусть AD будет касательной к окружности O в точке A, тогда докажите, что AD // BC."

''

'На правой схеме найдите x, y, z. Здесь ℓ - это касательная к окружности O, а точка A - точка касания. Кроме того, в (2) ∠ABD=∠CBD.'

"На правой схеме есть две окружности O и O', пересекающиеся в точках P и Q. Пусть A будет пересечением касательной к окружности O в точке P и окружности O', B - пересечением прямой AQ и окружности O, а C - пересечением прямой BP и окружности O'. Докажите, что AC=AP."

"Даны две окружности O и O', пересекающиеся в двух точках P и Q, как показано на диаграмме. Обозначим касательную от точки P к окружности O, входящей в окружность O' в точке A, пересечение линии AQ и окружности O в точке B, и пересечение линии BP и окружности O' в точке C. Докажите, что AC = AP."

'Обратное теореме Чевы'

'Даны три точки A, B, Q на окружности круга, и точка P такая, что она находится по ту же сторону от линии AB, что и точка Q, докажите следующие утверждения: \n1. Если точка P находится на окружности ⇒ ∠APB = ∠AQB \n2. Если точка P внутри окружности ⇒ ∠APB > ∠AQB \n3. Если точка P снаружи окружности ⇒ ∠APB < ∠AQB'

'Построение биссектрисы угла AOB (1) Нарисуйте окружность с центром в точке O и подходящим радиусом, и отметьте пересечения с полулиниями OA и OB как C и D, соответственно. (2) Нарисуйте окружности с центрами в точках C и D и равными радиусами, и отметьте одну из точек пересечения двух окружностей как E. (3) Нарисуйте полулинию OE.'

'В данной фигуре найдите значения α и β. Где ℓ - это касательная к окружности O, а точка A - точка касания. Кроме того, в (3) говорится, что PQ // CB.\n(1)\n(2)\n(3)\nСосредоточьтесь на касательной и треугольнике, используя теорему о касательной.\n(2) Значение ∠CAB можно найти, используя теорему о вписанных углах.\n(3) Из PQ // CB, ∠ABC=∠BAQ\nВ (1) пусть точка D будет на линии ℓ, как показано на рисунке.\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nСледовательно, α=∠BAD=70°'

'Нарисовав параллельные линии (*), проведя перпендикуляр к PQ, можно создать линию параллельную l.'

'Докажите свойство угловых биссектрис'

'Построение перпендикуляра отрезка PQ: (1) Нарисуйте окружность с центром в точке P и любым радиусом, пересекающуюся с прямой l в точках A и B. (2) Нарисуйте окружности с центрами в точках A и B, каждую с радиусом, и определите одну из точек пересечения этих двух окружностей как Q. (3) Проведите линию PQ.'

'Докажите следующее, используя обратное утверждение теоремы Чевы: (1) Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2) Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.'

'Как показано на правом рисунке, два круга с разными радиусами касаются точки A. Проведите линию, проходящую через точку D на внутреннем круге, с точками B и C как точками пересечения с внешним кругом. Докажите, что AD делит угол BAC пополам.'

'Пусть P(2,3,1) будет точкой. Пусть D, E и F будут точками симметричными точке P относительно плоскости XY, плоскости YZ и плоскости ZX соответственно. Определите координаты точек D, E и F.'

'Докажите, что длина дуги равна для равных центральных углов в круге.'

'Нарисуйте данную отрезок AB и отметьте точку, которая делит его внешне в отношении 5:1.'

'Есть два круга, касающиеся точки P. Как показано на схеме справа, если две линии, проходящие через точку P, пересекают внешний круг в точках A, B и внутренний круг в точках C, D. Докажите, что AB и CD параллельны.'

'1) Какой из прямоугольников справа, ABCD, описан окружностью?\n2) В остроугольном треугольнике ABC на стороне BC взята точка D (отличная от точек B и C), и проведены перпендикуляры DE, DF от точки D к сторонам AB и AC, соответственно. Докажите, что четырёхугольник AEDF вписан в окружность.'

'Докажите Теорему 17: Если два отрезка AB и CD, или продолжения отрезков AB и CD пересекаются в точке P, и PA * PB = PC * PD, то точки A, B, C, D лежат на одной окружности.'

'Доказать, что $\\angle BAT = \\angle ACB$.'

'На правой диаграмме, поскольку ∠CAD=∠EBC, четырёхугольник ABDE вписан в окружность. Следовательно, по теореме вписанных углов, ∠ADE=∠ABE. Кроме того, поскольку ∠BEC=90 градусов, ∠ADC=90 градусов, четырёхугольник CEHD также вписан в окружность. ∠HEC + ∠HDC = 180 градусов. Поскольку сумма противоположных углов равна 180 градусам, четырёхугольник CEHD также вписан в окружность.'

'Докажите, что для любых трех различных прямых l, m, n, если l // m и m // n, то l // n.'

'В треугольнике ABC, если середина стороны AB – точка D, а середина стороны AC – точка E, то DE // BC и DE = 1/2 BC. линейные сегменты, соединяющие вершины треугольника со серединами противоположных сторон, называются медианами треугольника. Рассмотрим три медианы треугольника, у которого есть следующее свойство. Теорема 5: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в соотношении 2:1.'

'Постройте точку, которая делит данный отрезок AB внутренне в отношении 1:4.'

'Докажите, что в неравностороннем треугольнике ABC, с центром вписанной окружности I и прямыми BI, CI, пересекающими стороны AC, AB в точках E, D соответственно, если DE // BC, то AB=AC.'

'426'

'Теорема Чевы'

'Глава 3 Фигуры и Уравнения 97 (2) Прямая BC взята на ось x, а прямая, перпендикулярная прямой BC, проходящая через точку D, взята на ось y, где точка D становится началом О, что можно представить как A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0). В этом случае, 2AB²+3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²}+3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a²+5b²+30c² = 5(a²+b²+6c²) Также 3AD²+2BD² = 3{(-a)²+(-b)²}+2(3c)² = 3(a²+b²+6c²) ...(2) Из (1) и (2) имеем 3(2AB²+3AC²)=5(3AD²+2BD²)'

'Суммировал некоторые теоремы, формулы и важные свойства.'

'Как можно представить затененную часть на рисунке с помощью неравенств? Покажите это пошагово.'

'На плоскости XY имеются три точки A(2, -2), B(5, 7), C(6, 0). Докажите, что перпендикулярные бисектрисы каждой стороны треугольника ABC пересекаются в одной точке (эта точка пересечения является центром описанной окружности треугольника ABC, также известной как центр окружности).'

'На плоскости есть три точки A(2,-2), B(5,7), C(6,0). Докажите, что перпендикулярные биссектрисы каждой стороны треугольника ABC пересекаются в одной точке (эта точка пересечения - это центр описанной окружности треугольника ABC, также известный как внешний центр). ПОДСКАЗКА: Докажите, что точка пересечения перпендикулярных биссектрис сегмента AC и сегмента AB находится на перпендикулярной биссектрисе сегмента BC.'

''

'Постройте область, представленную следующими неравенствами.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через начало координат, когда перпендикулярные расстояния от точек (5,0) и (3,6) до прямой l равны.'

''

'Доказательство: В треугольнике ABC, при условии, что середина стороны BC - это M, тогда AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (Теорема о медиане).'

'Докажите, что центроиды треугольника DEF и треугольника ABC совпадают, когда точки D, E, F взяты на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC так, что BD:DC=CE:EA=AF:FB.'

'Как найти уравнение касательной к окружности'

'Глава 3 Фигуры и Уравнения\nУсловие того, что две линии (1), (2) перпендикулярны, это\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1, решая для а, получаем a=\\uparrow-3\nДругим способом, условие параллельности двух линий (1), (2) это\n\3⋅a-1⋅1=0, следовательно, a=\\frac{1}{3}\\nУсловие того, что две линии (1), (2) перпендикулярны, это\n\3⋅1+1⋅a=0, следовательно, a=\\uparrow-3\\nПерпендикулярно ⇔ Произведение уклонов равно -1 ⇽ 2 линии\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 и\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\nПараллельно ⇔ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\nПерпендикулярно ⇔ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'Докажите, что в треугольнике ABC, когда G - центр тяжести, уравнение AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2) верно.'

'Глава 3 Геометрия и Уравнения\n121\nПусть дана прямая 2x - y + 3 = 0, точка Q и её симметричная точка P. Найдите траекторию точки P при движении точки Q вдоль прямой 3x + y - 1 = 0.'

'Определите значение положительной константы a так, чтобы площади, заключенные между кривыми y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x и y=x^{2}-a x, были равными.'

'Найдите координаты точки Q после поворота точки P(4,2) вокруг точки A(2,5) на π/3.'

'Прямая, проходящая через точку пересечения двух прямых'

'Найдите площадь треугольника, образованного прямыми x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0.'

'Докажите следующее уравнение в треугольнике ABC'

'Соотношение между длинами сторон треугольника и тригонометрическими функциями выглядит следующим образом.'

'Докажите равенство, показывающее размеры внутренних углов A, B и C треугольника ABC.'

'Укажите связанные страницы для следующих терминов: ① условие ② транзитивный закон (неравенство) ③ касательная'

'Докажите, что уравнение (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 выполняется, когда внутренние углы ∠A, ∠B, ∠C треугольника ABC обозначаются как A, B, C соответственно.'

'Вопрос 3 Пространственная геометрия и геодезия'

'Как показано на схеме справа, правильный двенадцатигранный делится на 12 равных треугольников диагоналями. Возьмем точки O, A, B, тогда ∠AOB=360°÷12=30°, OA=OB=a. Применяя теорему косинусов к треугольнику OAB, получаем 1=(2-√3)a², следовательно a²=1/(2-√3)=(2+√3)/((2-√3)(2+√3))=2+√3. Следовательно, S=12 треугольников OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3)'

'72 (2) смещено параллельно оси x на 1, ось - прямая x=1, вершина в точке (1,0)'

''

'Выразить количество фигуры двумя способами'

'Подводя итог решению треугольников, из шести элементов треугольника (3 стороны a, b, c и 3 угла A, B, C), для уникального определения треугольника, по меньшей мере один из следующих трех элементов, содержащих по меньшей мере одну сторону, необходим в качестве условия: [1] одна сторона и ее смежные углы [2] две стороны и угол между ними [3] три стороны. Исходя из этих условий, при определении оставшихся трех элементов, мы объясняем использование теоремы в соответствии с условиями.'

'В треугольнике ABC докажите, что следующее уравнение выполняется:\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'Длина биссектрисы угла треугольника (2)'

''

'Есть лист бумаги в форме равностороннего треугольника со стороной 10 см. Пусть вершины этого равностороннего треугольника обозначены как A, B, C, и точка P находится на стороне BC так, что BP = 2 см. При сгибании этого листа равностороннего треугольника так, чтобы вершина A совпала с точкой P, и пересечение сгиба со сторонами AB, AC обозначены как D, E соответственно. В этот момент AD = 2 кв. см, AE = 1 кв. см, и площадь треугольника ADE составляет 3 кв. см.'

'Решение треугольника (2)'

'Можно нарисовать две линии, проходящие через начало координат и образующие угол 15 градусов с линией y=x. Найдите уравнения этих линий.'

''

'При симметричном перемещении относительно начала координат, вершина становится \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) и образует параболу вниз\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { тоже подходит }\\right)\\]\nПоменяв знаки у координат \ x \ и \ y \, парабола меняется с выпуклой вверх на выпуклую вниз.'

'Найдите уравнение параболы после сдвига параболы y = -2x^2 + 3 параллельно оси x на -2 и параллельно оси y на 1.'

'В прямоугольном треугольнике ABC, с BC=18 и CA=6, точка D взята на гипотенузе AB. Из D проведены перпендикуляры DE и DF к BC и CA соответственно. Найдите длину отрезка DE и площадь, когда сумма площадей треугольников ADF и DBE минимальна.'

'Пусть полярные координаты точки A будут (3,0). Найдите полярное уравнение траектории точек P, где расстояние до полюса O равно расстоянию до прямой l, проходящей через точку A и перпендикулярной начальной прямой.'

'В тетраэдре ABCD со стороной 1, пусть середины ребер AB и CD обозначаются как E и F соответственно, а центроид треугольника BCD обозначается как G.'

'Докажите, что для эллипса, проходящего через фокусы и имеющего хорду AB, параллельную малой оси, квадрат длины малой оси равен произведению длины большой оси и длины хорды AB, которая равна 120. ПОДСКАЗКА: Рассмотрите уравнение эллипса как x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).'

'На координатной плоскости, когда длина отрезка AB равна 9, а его конечные точки A, B движутся по оси x и оси y соответственно, найдите траекторию точки P, делящей отрезок AB в соотношении 1:2.'

'Докажите, что середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD обозначены как P, Q, R, S соответственно, а середины диагоналей AC и BD обозначены как T и U. Покажите, что середины отрезков PR, QS и TU совпадают.'

'Определить уравнение плоскости'

'Докажите, что в тетраэдре OABC, если центроид ∆OAB равен G1 и центроид ∆OBC равен G2, то G1G2 параллельно AC.'

'Упражнение 67 -> Буклет стр.134\n(1) Пусть уравнения двух плоскостей α и β будут соответственно (1) и (2). Вычитая (1) из (2), получаем'

'Диапазон существования точек на плоскости\nДля треугольника OAB, когда \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \, диапазон существования точки P равен\n(1) Линия AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\nВ частности, отрезок линии AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) Окружность и внутренняя часть треугольника OAB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\n(3) Окружность и внутренняя часть параллелограмма OACB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) Точка F симметрична точке C относительно отрезка OA, поэтому треугольник ADF ≡ треугольнику ADC. Значит, треугольник ADF = 1/6 треугольника OAB подразумевает, что треугольник ADC = 1/6 треугольника OAB. Также, так как треугольник ADC = 1/3(1-α) треугольника OAB, решив уравнение, получаем α = 1/2, что удовлетворяет условию 0 < α < 1.'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через следующие 3 точки.'

'Решите следующую задачу о векторах: Пусть площади \ \\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \ будут обозначены как S, где \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ представляет область.'

'Найти уравнение гиперболы с асимптотами в виде двух прямых y=√3x, y=-√3x и расстоянием 4 между двумя фокусами.'

'Важный пример 57 | Уравнение плоскости\nНайти уравнение плоскости, проходящей через точки A(0,1,-1), B(4,-1,-1), C(3,2,1).'

'Докажите, что следующая теорема верна:\nТеорема 1: Дробно-линейное преобразование преобразует окружность в комплексной плоскости в окружность.'

'Рассмотрим положительное целое число 42k и две кривые, заданные на интервале 2kπ≤x≤(2k+1)π: C₁: y=cos x и C₂: y=(1-x²)/(1+x²).'

'Найдите уравнение касательной кривой в точке P, определите асимптоты и координаты их пересечения, и докажите, что площадь треугольника OQR не зависит от выбора точки P.'

'Найдите полярное уравнение прямой с полярными координатами (p, α) ноги H перпендикуляра, опущенного из полюса O на прямую.'

'Из условий'

'Важный пример 67 Уравнения пересечения плоскостей, включая уравнение плоскости. Пусть пересечение плоскостей будет ℓ с уравнениями (1) α: 3x-2y+6z-6=0 ⋯ ⋯ (1) β: 3x+4y-3z+12=0 ⋯ ⋯ (2). Выразите уравнение пересечения ℓ в виде x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n. (2) Определите уравнение плоскости γ, которое включает линию ℓ и проходит через точку P(1,-9,2).'

'Докажите следующую теорему с использованием комплексной плоскости. Для четырехугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса 100, выполняется уравнение AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD (теорема Птолемея).'

'Упражнение (2) Докажите, что если две хорды PQ и RS, проходящие через один из фокусов F коники, пересекаются под прямым углом, то 1/PF*QF + 1/RF*SF является постоянным.'

'Есть вогнутое зеркало формы полусферы. Пусть O будет центром сферы, r - радиус, а AB - диаметр. Если луч света образует угол θ с диаметром AB, начиная с точки A и отражается в точке P на зеркале, пересекая диаметр AB в точке Q, тогда ∠APO=∠OPQ. При бесконечном приближении точки P к точке B, куда приближается точка Q?'

'Докажите, что среди четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.'

'Исследуйте, как можно выразить векторы позиции пяти центров (центроид, инцентр, ортоцентр, центр описанной окружности и центр вписанной окружности) треугольника с вершинами в точках A(𝐚), B(𝐛) и C(𝐜) с использованием 𝐚, 𝐛 и 𝐜.'

'Важная тема 40 | Сравнение величин векторов'

'При преобразовании уравнения'

'Укажите условие для того, чтобы отрезок AB был перпендикулярен CD.'

'Изучите параметрическое представление эллипса, выразите его только через x и y, удалив t.'

'Пусть четырехугольник ABPC, вписанный в окружность, удовлетворяет следующим условиям (a), (b):\n(a) Треугольник ABC – равносторонний треугольник.\n(b) Пересечение AP и BC делит отрезок BC на p:(1-p) [0<p<1].\nВыразите вектор AP через векторы AB, AC и p.'

'Расскажите о математиках, которые использовали древнегреческие методы для вычисления площадей и объемов.'

'Важный пример 57 | Уравнение плоскости\nНайдите уравнение плоскости, проходящей через точки A(0,1,-1), B(4,-1,-1) и C(3,2,1).'

'Докажите, что шестиугольник вписан в конический разрез.'

'Когда точка z движется вдоль окружности радиусом 1 с центром в начале координат O, какую фигуру рисует точка w, представленная w=(1-i) z-2 i?'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через следующие три точки:\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'Для |x - π/2|, когда заключенная часть является серой областью на правом рисунке и симметрична относительно прямой x = π/2, найдите объем V.'

'Пусть ABCD - четырехугольник на плоскости. Если диагонали AC и BD перпендикулярны, докажите следующее:\n(1) Пусть $\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$, $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$, тогда $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$.\n(2) $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$.'

'Пусть ABCD - четырехугольник со сторонами AC и BD, и окружностью, вписанной в четырехугольник ABCD с центром в точке O. Пусть векторы OA, OB, OC, OD обозначены как a, b, c, d.'

'Доказать, что если линейный сегмент $PO$ и $QO$, проходящий через концы хорды $PQ$ на параболе $y^{2}=4 p x(p>0)$ и начало $O$ перпендикулярны, то хорда $PQ$ проходит через фиксированную точку.'

'Если кривая $f(x, y)=0$ удовлетворяет $f(x,-y)=f(x, y)$, то она симметрична относительно оси x, и если $f(-x, y)=f(x, y)$, то она симметрична относительно оси y. \nПусть координаты точки Q на кривой будут $(x, y)$ и выведем соотношение между x и y.'

'Глава 3 Отражение о Геометрии и Уравнениях Метод поиска касательной круга'

'Дан отрезок AB длиной 4. Найти точку локуса P во время ее движения, при условии удовлетворения уравнения 2AP² - BP² = 17 с точками A, B и смещении на 71.'

'Учитывая, что длина перпендикуляра, опущенного из точки (1,1) на прямую ax - 2y - 1 = 0, равна √2, найдите значение константы a.'

'Найдите острый угол θ, образованный двумя прямыми x+3y-6=0 и x-2y+2=0.'

'Отражательная симметрия, расстояние между точкой и линией'

'Практика (4) 127 Для прямой y = a x+1-a^2/4. (1), когда a изменяется по всем действительным значениям, проиллюстрируйте область, которую прямая (1) может пересечь.'

''

'На плоскости xy, кроме начала координат, возьмем три различные точки P1(a1, b1), P2(a2, b2), P3(a3, b3). Далее, возьмем три прямые l1: a1x+b1y=1, l2: a2x+b2y=1, l3: a3x+b3y=1.'

'Давайте подумаем о том, как доказать теорему сложения и формулы удвоенного угла, используя геометрические фигуры. Хотя диапазон α, β и θ ограничен, интересно увидеть геометрическое значение теоремы сложения.'

'Постройте область движения точки (x+y, x-y), когда вещественные числа x, y изменяются, удовлетворяя следующим условиям: (1) -1≤x≤0, -1≤y≤1'

'Для треугольника ABC с вершинами A(6,13), B(1,2), C(9,10): (1) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и делящей площадь треугольника ABC пополам. (2) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку P, делящей сторону BC внутренне в отношении 1:3 и делящей площадь треугольника ABC пополам.'

'Подставив x=3 в уравнение 3x-4y+11=0, получим y=5, и подставив y=2 в уравнение 3x-4y+11=0, получим x=-1. Следовательно, координаты вершин треугольника - (-1,2),(3,2),(3,5). Пусть r - радиус искомой окружности, а координаты центра представлены как (3-r,r+2), удовлетворяя -1<3-r<3 и 2<r+2<5, что приводит к решению 0<r<3. Расстояние между прямой 3x-4y+11=0 и центром окружности равно радиусу окружности, что дает уравнение |3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r. Решив это, мы получаем |12-7r|=5r, тогда 12-7r=±5r, что приводит к r=1. При r=1 координаты центра (2,3), а уравнение окружности (x-2)^2+(y-3)^2=1'

'Отношения между двумя прямыми'

'Рассмотрите решение задачи о поиске уравнения окружности.'

'Возьмем точку A(-3,0) и рассмотрим две точки B и C, удовлетворяющие следующим условиям для 0°<θ<120°.'

''

'Найдите уравнение следующей прямой.'

'Доказать, что три медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке. Покажите, что в треугольнике ABC выполняется неравенство 2AB^2 < (2 + AC^2)(2 + BC^2).'

''

'(1) Найдите острый угол \ \\theta \, образованный двумя прямыми \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \. \n(2) Прямая \ y=-x+1 \ образует угол \ \\frac{\\pi}{3} \ и проходит через точку \\( (1, \\sqrt{3}) \\). Найдите уравнение этой прямой.'

''

'Найдите локус точек, для которых угол APB, проходящий через точки A, B, является постоянным значением α.'

'Докажите, что перпендикуляры, опущенные из каждой из трех вершин треугольника ABC на противоположную сторону или ее продолжение, пересекаются в одной точке (эта точка пересечения трех перпендикуляров называется ортоцентром треугольника).'

None

''

'(1) Докажите, что три медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке. (2) В треугольнике ABC докажите, что 2AB²<(2+AC²)(2+BC²) верно.'

'Докажите следующее неравенство относительно значения математической константы π. Не используйте π=3.14…… . [Университет Оиты]'

'Докажите, что кривая C является гиперболой, найдя уравнение кривой, полученное в результате вращения C: x^2 + 6xy + y^2 = 4 вокруг центра на угол π/4.'

'Найдя уравнение кривой, полученной в результате поворота начала координат в качестве центра на π/4, докажите, что кривая C является гиперболой.'

'Докажите, что в четырёхугольнике OABC, если квадрат OA плюс квадрат BC равен квадрату OC плюс квадрату BA, то OB перпендикулярен AC.'

'Доказать, что в треугольнике ABC, когда середины сторон AB и AC равны соответственно D и E, BC параллельно DE и BC=2DE (Теорема о середине).'

'Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,1), где касательная в точке P на кривой, проходящей через (1,1), пересекает ось x и ось y в точках Q, R соответственно, с O в качестве начала координат. Учитывая, что кривая находится в первом квадранте и всегда удовлетворяет условию △ORP = 2△OPQ.'

'О симметрии кривых.'

'Докажите, что сумма расстояний OA + OB от начала координат O до точек A, B, где касательные, проведенные в точке P (не на координатных осях) на кривой \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a} (a > 0) пересекают ось x и ось y соответственно, остается постоянной.'

'Докажите, что в четырехугольнике OABC, если OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2, то OB перпендикулярен AC.'

'Найдите траекторию точек, которые удовлетворяют следующему условию: расстояние от точки F равно расстоянию от прямой l. Здесь F находится в (c, 0), а l - это ось Y (x=0).'

'Нарисуйте хорду AB параллельную малой оси, проходящую через фокусы эллипса. Докажите, что квадрат длины малой оси равен произведению длины большой оси и хорды AB.'

'Докажите, что когда три различные точки A(α), B(β), C(γ) на единичной окружности и точка H(z), не находящаяся на окружности, удовлетворяют уравнению z=α+β+γ, то H является ортоцентром △ABC.'

'(1) Пусть кривая C представлена параметрическими уравнениями x=2(t+1/t+1) и y=t-1/t. Найдите уравнение кривой C и нарисуйте ее общую форму. [Университет Цукубы]'

'Докажите, что сумма 1/FP и 1/FQ, проходящая через один из фокусов F параболы, постоянна независимо от направления хорды.'

''

''

''

'Нарисуйте хорду AB параллельно малой оси, проходящую через фокусы эллипса. Докажите, что квадрат длины малой оси равен произведению длины большой оси и длины хорды AB, которая равна 49.'

'＜Теорема Птолемея＞ Для четырехугольника ABCD, вписанного в круг, выполняется следующее уравнение:\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'На окружности радиусом a находятся две подвижные точки P, Q. P, Q одновременно отправляются из фиксированной точки A по окружности и движутся в противоположных направлениях по часовой стрелке. Пусть O будет центром окружности. Когда соотношение угловых скоростей радиусов OP и OQ постоянно и равно 1:k (k > 0, k ≠ 1), найдите полярное уравнение траектории середины отрезка PQ. Когда P и Q совпадают, точка M представляет собой точку P (Q).'

'Возьмем точку Pn(xn, yn) (n=0,1,2, …) на двумерной координатной плоскости, удовлетворяющую следующим условиям (A), (B). 90(A) (x0, y0)=(0,0), (x1, y1)=(1,0) (B) Для n ≥ 1 вектор PnPn+1 имеет длину, равную половине вектора Pn-1Pn и направлен в сторону, полученную поворотом Pn-1Pn против часовой стрелки на 90 градусов. В этом случае пределы xn и yn при приближении n к бесконечности равны lim{n→∞}xn= A, lim{n→∞}yn= B. [Университет Мэйдзи]'

'Пусть A(α) и B(β) будут двумя различными точками. При m>0, n>0, и m≠n, множество всех точек P(z), удовлетворяющих уравнению n|z-α|=m|z-β| состоит из точек, которые делят отрезок AB внутри или снаружи в пропорции m:n, причем эти точки являются концами диаметра окружности (окружность Аполлония). Докажите это утверждение.'

'Найдите локус точки $Q$, когда две касательные, проведенные из внешней точки $C_1$, пересекаются перпендикулярно.'

'Докажите, что треугольник OAB с вершинами O(0), A(1) и B(i), где угол O прямой, и треугольник PQR с вершинами P(α), Q(β), R(γ), где угол P прямой, удовлетворяют уравнению 2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0.'

'Пусть a - константа, большая 1. Найдите площадь S области, ограниченной кривой x^2-y^2=2 и линией x=\\sqrt{2} a, рассматривая вращение \\frac{\\pi}{4} с центром в начале координат.'

'В треугольнике ABC, пусть M будет серединой стороны BC. Следующее уравнение выполняется.'

'Рассмотрим прямую $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ и кривую $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$, где $a$ и $b$ - положительные константы.'

'Кроме того, точка R лежит на окружности с диаметром PQ, поэтому ∠PRQ = π/2'

''

''

"В эллипсе с длиной большой оси 2a, центром O и малой осью BB', пусть P будет точкой на эллипсе, отличной от B и B'. Пусть BP и B'P пересекают большую ось или ее продолжение в точках Q и R, соответственно, так что OQ・OR=a². Докажите это, используя окружности."

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через три точки A(0,1,-1), B(4,-1,-1) и C(3,2,1).'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат O и перпендикулярной к оси z.'

'На плоскости xy рассмотрите кривую \ C \, заданную полярным уравнением \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \.'

'Докажите, что касательная в точке $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ на гиперболе $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ делит угол $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$, образованный точкой $\\mathrm{P}$ и двумя фокусами $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$. Здесь $x_{1}>0, y_{1}>0$.'

'(1) Точка z является перпендикулярным биссектрисой отрезка, соединяющего точки 1 и i. (2) Точка z - это окружность с центром в точке 1-i и радиусом 2.'

'Используя комплексную плоскость, докажите следующую теорему. Для четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с радиусом 100 единиц, выполняется уравнение AB·CD+AD·BC=AC·BD (теорема Птолемея).'

'Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку C(0,3,-2) и перпендикулярной оси z.'

'Пример 46 | Кооперативное условие Определите значение x, чтобы следующие 4 точки были соседствующими: A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [Подобно университету Кейо] Условие того, что точка P находится в плоскости ABC для трех не коллинеарных точек A, B, C, заключается в том, что одно из следующих условий выполняется: В случае, если начало в O, [1] существуют действительные числа s, t такие, что \\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] существуют действительные числа s, t, u такие, что \\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ Представьте [1] или [2] с компонентами и сведите к проблеме уравнения.'

'Пусть \ \\mathrm{O} \ - начало координат. На оси \ x \ есть фиксированная точка \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\). Теперь рассмотрим движущуюся точку \ \\mathrm{P} \ на плоскости так, что \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) . Найдите (1) уравнение, представляющее траекторию точки \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) с использованием \ x, y \. (2) Определите максимальное значение \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ и соответствующее значение угла \ \\angle \\mathrm{POA} \. [Институт технологии Сайтама]'

''

''

''

'Докажите, что когда три различные точки A(α), B(β) и C(γ) на единичной окружности и точка H(z), не находящаяся на окружности, удовлетворяют уравнению z=α+β+γ, тогда H является ортоцентром △ABC.'

'Докажите ортоцентр треугольника\nУчитывая три различных точки A(α), B(β), C(γ) на единичной окружности и точку H(z), не находящуюся на окружности, когда уравнение z = α + β + γ верно, докажите, что H является ортоцентром треугольника ABC.'

'Найдите уравнение кривой, полученной симметричным образом переместив гиперболу $x^{2}-2 y^{2}=-4$ вокруг точки (-3,1).'

'Возьмите точку O на отрезке AB (исключая оба конца), постройте квадраты AOCD и OBEF со сторонами AO, OB по одну сторону от отрезка AB. Докажите, что AF⊥BC, используя комплексную числовую плоскость.'

'Докажите, что площадь треугольника $\\triangle \\mathrm{OQR}$, образованного точками пересечения $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ касательной в точке $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ на гиперболе $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ и асимптоты, с началом координат как $\\mathrm{O},$ не зависит от выбора точки $\\mathrm{P}.$'

'Уравнение плоскости\n(1) Уравнение плоскости, проходящей через точку \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) и перпендикулярной ненулевому вектору \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\), задается как \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) Общий вид \ a x+b y+c z+d=0 \, где \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)'

'(2) Найдите уравнение гиперболы с асимптотами двух прямых $y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x$ и фокусами в точках $(0,4),(0,-4)$.'

'Для положительного числа a рассмотрим касательную к параболе y=x^{2} в точке A(a, a^{2}), которая получается путем поворота точки A на -30°. Пусть l будет этой повернутой линией. Пусть B будет точкой пересечения линии l и параболы y=x^{2}, не являющейся A. Кроме того, пусть C(a, 0) и O будут началом координат. Найдите уравнение прямой l. Кроме того, обозначим S(a) область, ограниченную отрезками OC, CA и параболой y=x^{2}, и T(a) область, ограниченную отрезком AB и параболой y=x^{2}. Найти c=lim_{a→∞} (T(a)/S(a)).'

''

'Ключевой пример 139 Использование полярных координат'

'Как найти позиционный вектор точки S'

'Изучение доказательства совпадения точек.'

'Дан четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD, и круг с центром O, описанный вокруг четырехугольника ABCD. Пусть векторы OA, OB, OC, OD обозначаются как a, b, c, d соответственно.\n(1) Если величины векторов a+b+c и a+b+d равны, докажите, что стороны AB и CD параллельны или точка O лежит на стороне AB.\n(2) Если центроиды треугольников ABC, BCD, CDA, DAB равноудалены от точки O, докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.'

'Рассмотрим окружность с центром в точке O. На окружности этой окружности есть 3 точки A, B, C такие, что OA+OB+OC=0. Задача состоит в том, чтобы доказать, что треугольник ABC - равносторонний треугольник. Пусть радиус окружности равен r (r>0), тогда |OA|=|OB|=|OC|=r. Из OA+OB+OC=0 имеем OA+OB=-OC. Следовательно, |OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}, что упрощается до |OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2}. Таким образом, r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2}, что приводит к OA·OB=-r^{2}/2. В этом случае |AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}. Поскольку |AB|>0, |AB|=sqrt{3}r. Аналогично, |BC|=|CA|=sqrt{3}r. Следовательно, AB=BC=CA. Таким образом, треугольник ABC является равносторонним треугольником.'

'Выразите следующие уравнения в полярной форме: (1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4'

'Применение теоремы Чевы'

'В правильном шестиугольнике ABCDEF, пусть M будет серединой стороны DE. Пусть O будет точкой пересечения диагоналей AD, BE и CF. Следующие векторные отношения справедливы:'

'Расстояние между точкой A(x₁, y₁) и линией ax + by + c = 0 равно |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²). Вектор 𝑛, перпендикулярный линии ax + by + c = 0, равен 𝑛 = (a, b). стр.343 Основные понятия 1.'

'Определите условия для доказательства AB ⊥ CD.'

'Уравнения плоскости, уравнения прямой'

'Полярные координаты и траектории'

'Найдите уравнение кривой, полученное увеличением исходной окружности в 5/2 раза в направлении x относительно оси y.'

'Докажем, что середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD, обозначенные P, Q, R, S соответственно, и середины диагоналей AC, BD, обозначенные T, U, совпадают для отрезков PR, QS, TU.'

'Докажите, что 1/PF*QF + 1/RF*SF является постоянным, когда две хорды PQ и RS, проходящие через один из фокусов F коники, пересекаются под прямым углом.'

'Найдите уравнение кривой, образованной увеличением круга x^2+y^2=4 в 5/2 раза вдоль оси x с осью y в качестве опоры.'

'По теореме хорды'

'Докажите следующие геометрические свойства:\n1) Докажите, что вертикальные углы равны.\n2) Когда линии $\\ell$ и $m$ пересекают линию $n$, если $\\ell \\parallel m$, то соответствующие углы и внутренние углы также равны.\n3) Что касается линий $\\ell$ и $m$, если одна пара соответственных углов или внутренних углов равна, то докажите, что $\\ell \\parallel m$.'

'Пример 47 | Центроид треугольника'

'Когда берется на ребре x, координаты каждой вершины могут быть представлены как A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0).\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nСледовательно \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

''

'На диаграмме справа квадрат разделен на 5 областей путем соединения середин каждой стороны, всего 14 меньших областей. Когда соседние области окрашены разными цветами, сколько различных способов окрасить в следующих сценариях? Предполагается, что цветовые схемы, идентичные после вращения, считаются одинаковыми. (1) Выбрать 2 цвета из 4 разных цветов для окрашивания. (2) Выбрать 3 цвета из 4 разных цветов и использовать все 3 цвета для окраски.'

''

'Упражнение 43: На странице 339 этой книги, касающееся площади, поскольку △ABP=¼△ABC, следовательно, BP:BC=1: 3. Таким образом, BP:PC=1: 2. Кроме того, учитывая, что AB:AC=1:2 из условий. Следовательно, AP является биссектрисой угла ∠BAC. Таким образом, ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°.'

'Докажите, что если пересечение двух биссектрис двух вершин ∠A и ∠C четырехугольника ABCD лежит на диагонали BD, то пересечение двух биссектрис двух вершин ∠B и ∠D лежит на диагонали AC.'

'Пример 48 Отношения пяти центров В остроугольном треугольнике ABC, центр описанной окружности - O, ортоцентр - H, и центр масс - G. (1) Пусть OM и ON - перпендикуляры, опущенные из O на стороны AB и BC соответственно. Пусть L - середина отрезка BH. Докажите следующее: (a) Четырехугольник MLNO является параллелограммом. (b) AH = 2ON (2) Если треугольник ABC не является равносторонним, докажите, что точки G, O, H коллинеарны, и что G делит отрезок OH внутренним образом в соотношении 1:2.'

'Какие могут быть отношения между линией ℓ и плоскостью α?'

"Докажите, что на правой диаграмме, где точка P является точкой касания, точки пересечения двух окружностей O и O', имеющих общий внешний касатель, как C и D. Пусть A и B будут точками пересечения линии, проходящей через точку P, с двумя окружностями O и O', кроме P, тогда AC ⊥ BD."

'Упражнение 19 ⇒ Эта книга стр. 282 Пусть одна сторона куба определяется как сетка, двигается вправо, назад и вверх соответственно, представлены соответственно →, ↗, ↑. (1) Как показано на правой фигуре, предположим, что есть путь в верхнем левом углу, путь от A до B является перестановкой → 3 и ↗ 2, поэтому это 5!/(3!2!)=10. Среди них путь, проходящий через марку × на рисунке, равен 1, поэтому количество путей для поиска равно 10-1=9 (способов). (2) Будьте внимательны, чтобы не учитывать случаи, когда оба точки C и D проходят дважды. (Общее)-(Прохождение точки C или точки D) Можно решить таким же образом (1) и (2). Рассмотрите пути к B, проходящие через диагональную часть Рисунка 2. Можно создать виртуальный путь или использовать другие методы, как альтернативное решение.'

'Применение четырехугольника, вписанного в окружность радиусом 36'

'Минимальное значение AC+BC достигается, когда точки A, B, C коллинеарны на развернутой диаграмме правильного октаэдра, изображенном на правой фигуре [3]. В этом случае ∠ACB равен ∠PRQ на рисунке [2]. Следовательно, в треугольнике PQR, согласно теореме косинусов'

'Упражнение: Докажите следующее утверждение.'

''

'Теорема о мощности точки'

'В треугольнике ABC пусть точка пересечения биссектрисы угла ∠B и стороны AC будет обозначаться как D, а точка пересечения биссектрисы угла ∠C и стороны AB будет обозначаться как E.'

'Площадь четырехугольника, вписанного в круг\nПри поиске площади четырехугольника, вписанного в круг, существует формула, аналогичная формуле Герона. Давайте рассмотрим эту формулу на основе недавнего вопроса экзамена.\nПусть четырехугольник ABCD вписан в круг. Обозначим длины сторон DA, AB, BC и CD как a, b, c, d соответственно, а угол DAB=θ. Также пусть T - это площадь четырехугольника ABCD.\n(1) Докажите, что a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ.\n(2) Докажите, что T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]. Где s=(a+b+c+d)/2.\n[Университет Ямагучи]'

'[2] Когда $AP = PQ$, если мы рассмотрим движение точки $P$ по часовой стрелке от точки $A$, существует 5 способов выбора точки $P$ так, чтобы $AP = PQ$.'

'Теорема о медиане 98'

'В △ABC, если середина стороны BC равна M, то следующее уравнение верно: \n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (Теорема о медиане)'

'Из теоремы пересечения хорд и BC=BD, мы имеем ∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°. Также, ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°, ∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°. Следовательно, θ=180°-(44°+47°)=89°.'

'Даны две параллельные прямые ℓ и m, прямая n, пересекающая их, и две точки A и B. Пусть точка C будет на прямой ℓ, а точка D - на прямой m, таким образом, что CD // n и AC ⊥ BD. Построить точки C и D.'

'Для интуитивного понимания отношений между наборами братьев и сестер лучше всего нарисовать диаграмму. Пусть универсальное множество будет U, а множества братьев, сестер, младших братьев и младших сестер будут обозначены как P, Q, R и S соответственно.'

'Пример 49 Теорема Менелая и Площадь Треугольника'

'Для треугольника ABC справедливо следующее:'

'Теорема Менелая'

'(3) Докажите совпадение треугольника DAE и треугольника CAB.'

'(3) Пусть точка пересечения прямой AH и стороны BC будет D, а точка пересечения прямой CH и стороны AB будет E, тогда'

'В треугольнике ABC пусть D будет точкой пересечения биссектрисы угла A и стороны BC, а E и F - точками пересечения биссектрис углов ADB и ADC со сторонами AB и AC соответственно. Докажите следующее: (1) Треугольник BEF: Треугольник AEF = BD: AD (2) Треугольник BEF: Треугольник CEF = AB: AC'

'Важный пример 57 | Теорема Симпсона'

'Доказательство с использованием теоремы о секущей'

''

'Доказательство важного примера 101 Равенство сторон и углов\nВ треугольнике ABC докажите, что следующее уравнение верно:\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\nПримеры 62, 63\nКак упоминается в руководстве D.172 и примере 55, для доказательства уравнения P=Q можно использовать следующие методы:\n[1] Преобразовать P или Q, чтобы вывести другое.\n[2] Преобразовать как P, так и Q, чтобы вывести одно и то же выражение.\n[3] Преобразовать P-Q, чтобы показать, что оно равно 0.\nВыбор метода зависит от данной проблемы, но здесь мы показываем подход [3]. Таким образом, для упрощения P-Q, мы рассматриваем уменьшение символов, что включает в себя\nИзбавление от углов и преобразование проблемы так, чтобы она включала только стороны\nДля этого мы можем использовать формулы, например \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \.'

'Нижеперечисленные (1), (2), (3) известны как три великие геометрические проблемы Греции. (1) Проблема триизгнутия угла: Разделить данный угол на три равные части (2) Проблема удвоения куба: Построить куб с удвоенным объемом данного куба (3) Проблема квадратуры круга: Построить квадрат с той же площадью, что и у данного круга.'

'Глава 3 Геометрические свойства Проверить вопросы'

''

''

'Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения О отрезков BE и CD, проходит через середину стороны BC в треугольнике ABC, где BC параллельно AB и AC пересекаются в точках D и E.'

'Теорема о перпендикуляре'

'Докажите, что когда четырехугольник ABCD вписан в окружность, существует точка E на диагонали BD такая, что ∠BAE=∠CAD.'

'Упражнение (1) Докажите, что когда произвольная точка O выбрана внутри ΔABC, и биссектрисы углов ∠BOC, ∠COA, ∠AOB пересекают стороны BC, CA, AB в точках P, Q, R соответственно, то AP, BQ, CR пересекаются в одной точке.\n(2) Пусть D - точка пересечения, когда внешний биссектриса угла ∠A в ΔABC продолжается вдоль стороны BC. Пусть E, F будут точками пересечения биссектрис углов ∠B, ∠C со сторонами AC, AB, соответственно. Покажите, что три точки D, E, F коллинеарны.'

'Доказать, что линия l перпендикулярна плоскости OAB, когда линия OA перпендикулярна плоскости альфа и линия l лежит на плоскости альфа.'

'Следовательно, по теореме о силе точки, AB²=AD×AE'

'Найдите координаты точки, симметричной (2, 3) относительно прямой x = 1, и новое уравнение.'

'Пожалуйста, объясните, как нарисовать 6 отрезков между параллельными линиями.'

'Пожалуйста, объясните диаграммы Венна 4 множеств из упражнений в Главе 2 о множествах и утверждениях.'

'Доказательство: Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n на плоскости α, то прямая l перпендикулярна плоскости α.'

'Доказательство отношения биссектрисы угла 42 и отрезка'